introduccion a las ecuaciones diferencialesDescripción completa
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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
CURSO: CÁLCULO 4 Tema:
SOLUCIÓN SOLUC IÓN DE EDO´S EDO´S POR TRANSF TRANSFORMAD ORMADA A DE LAPLACE LAPLACE
La transformada de Laplace es util u ´ til para resolv resolver er ecuaci ecuaciones ones difere diferenciale ncialess que inv involucran olucran funciones f ( ( t), peri´odicas, odicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos: Ejemplo 1.- Resolver el siguiente problema de valor inicial
y ′′ + 2y′ + y
= δ ( (t
− π)
y (0)
=
0
y ′ (0)
=
0
´ SOLUCION Tomando la transformada a ambos miembros, obtenemos que:
s2 + 2s + 2 Y (s) = e −πs
Y (s) =
Y (s) =
e−πs s2 + 2s + 2 e−πs
(s + 1) 2 + 1
y al aplicar la transformada inversa:
y (t) = e −(t−π) sen (t
− π) H ( (t − π)
La gr´ afica de la funci´on afica on y (t), se muestra en la Figura 1.
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias
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Figura 1:
Ejemplo 2.- Resolver el siguiente problema de valor inicial
donde f ( t) est´a dada por:
x′′ + 16x = f ( t) x (0)
=
0
x′ (0)
=
1
cos4t si, 0 0
si,
≤t<π t≥π
´ SOLUCION La funci´on f ( t) puede interpretarse como una fuerza externa que act´ua en un sistema mec´anico s´olo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente. Primero usamos la funci´on de Heaviside para reescribir f ( t): f ( t) = cos (4t)
