introduccion a las ecuaciones diferencialesDescripción completa
Solución de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Usando Transformada de Laplace Determine la solución de la E.D.O dada 1. y'' 2 y' y cos t sen;t
y(0) 1,
y'(0) 3
Primer paso. Aplicamos transformada de Laplace en ambos lados de (1). L y'' 2 L y' L y Lcos t L sent s Y ( s ) sy sy (0) y '(0) 2 sY ( s) 2 y (0) Y ( s )
s
2
s 1 2
1
s 1 2
~ ( 2)
Segundo paso. Sustituimos las condiciones iniciales en (2): s 2Y ( s ) s 3 2 sY ( s ) 2 Y ( s ) Preparado
s s2 1
Gil Sandro Gómez
1
s2 1
~ (3) 1
Tercer paso. Reorganizamos la ecuación (3) y despejamos a Y(s). s
s 2Y ( s ) 2sY (s ) Y (s )
2
2
Y ( s ) s 2s 1
Y ( s ) s 2s 1
s
2
1
s 1 2
s5
2 2 s 1 s (s 1) 5s 5
s 1 2
s 5s 2 s 4 3
2
2 s 1
s 5s 2 s 4 3
Y (s)
s 1 2
2
2s 1 s 1 2
~ (4)
Ahora haremos uso de nuestro conocimiento de transformada inversa de Laplace y de lo que habíamos estudiado en nuestro curso de Algebra, las fracciones parciales. Preparado
Gil Sandro Gómez
2
Cuarto paso. Aplicamos Transformada inversa de Laplace a (4). s 3 5s 2 2s 4 L Y( s) L 2 ~ (5) 2 s 2s 1 s 1 1
1
Primero haremos el cálculo al lado derecho de (5) y luego al lado izquierdo. 1
L
1
s 3 5s 2 2s 4 L 2 2 s s s 2 1 1
Y ( s) 1
y( t) ~ (6)
s 3 5s 2 2s 4 L 2 2 s 1 s 1
Preparado
Gil Sandro Gómez
1
B CS D A 2 L ~ (7) 2 s s 1 1 s 1
3
Quinto paso. Procedemos a determinar los valores de las constantes A, B, C y D. 2 3 2 2 2 s 5s 2 s 4 A s 1 B s 1 s 1 CS D s 1 ~ (8) Desarrollamos a (8) y tenemos: s 5s 2s 4 As A Bs Bs Bs B Cs 2Cs Cs Ds 2Ds D ~ (9) 3
2
2
3
2
3
2
2
Usando la teoría de la igualdad de los polinomios, tenemos que: B C 1
A B 2 C D 5 ~ (10) B C 2 D 2 A B D 4
