SOLUCIÓN DE ECUACIONES CÚBICAS: Método completo de Cardano En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars libro Ars Magna Magna (del (del latín, que significa 'ran !rte' o '!rte "agno') por el matem#tico italiano erolamo $ardano (%&%%&*) $ardano (%&%%&*) que publicó en el a+o de %&&, razón por la cual se le llama m-todo de $ardano. $ardano.
!rm"la general ada la ecuación cúbica 3
2
J*X + L*X + M*X + N = 0
onde /, L, ", 0, son reales 1 2 es la incógnita. 3i se cumple 3*J*M = L2 , la ecuación es un cubo perfecto igualado a cero 1 las tres raíces valen4
X i=
L J
−
$aso contrario, el m-todo inicia dividiendo todos los coeficientes de la ecuación para J , 3
X
2
+ a∗ X + b∗ X + c = 0
5 sea, a=L/J, b=M/J, c=N/J Luego, se calcula la siguiente cantidad4 , 2
Q=
3∗ b− a 9
3i 67 67,, las las tres tres raí raíce ces s son son real reales es e idid-nt ntic icas as X X 1=X 2 = 2=X X 3= - (a/3)
3i 68, se calcul cula 9.
La ecuación propuesta para calcular 9 es,
R=
9∗a∗b − 27∗c − 2∗ a
3
54
3i 68 1 97, una de las raíces es el número real4 X 1=-(a/3) =-(a/3).. Las otras dos se obtienen
•
resolviendo el trinomio que resulta de la división4 3
X
2
+ a∗ X + b∗ X + c
X − X 1
•
3
3i 68 1 98, se calcula 4
D =Q + R
2
3i 7, las tres raíces son4
X 1=2∗√ R− 3
a
&
3
X 2= X 3=−√ R −
3i :, las tres raíces son reales 1 se calculan con4
X i=
[
2∗ √ −Q∗cos 2
( )] β
3
+
θi
−
a 3
Para X1, corresponde θ1=0o Para X2, corresponde θ2=120o Para X3, corresponde θ3=240o
3
a 3
