Solucion de Blasius

Tarea 04

Julio Jul io C´esar esar Vega Ott Ott 14-05-19

1

Ecuacion o ´n de Blasius

Primeramente, antes de llegar a la soluci´on on de Blasius hay que considerar las siguientes ecuaciones. ∂u  ∂ v  + =0 ∂x ∂y

Ecuaci´  on de continuidad  ontinuidad 

Ecuaci´  on de momento lineal 

∂u ∂u ∂ 2 u  +  v =  ν  2 u  + v ∂x ∂y ∂y

Determinaci´  on de  η   de Blasius  Blasius 

u =

Funci´  on de corriente  orriente 

Funci´  on  η   de Blasius  Blasius 

∂ψ ∂y f ( f (η ) =

√ ψ

 U  νx

(3)

− ∂ψ ∂x

(4)

ν xU  Con estas cinco ecuaciones se construye la ecuaci´on de Blasius. Primero despejamos la funci´on on corriente (ψ (ψ) de la ecuaci´on on 5. ψ  =

√ 

νxUf (η )

(2)

 

 =  y η  = y v  =

(1)

(5)

(6)

Reemplaza Reemplazamos mos la ecuaci´ ecuaci´ on o n 6 en la ecuaci´on on de la corrient corrientee 4 con velocidad velocidad u (despu´ (despu´es es se realizara el mismo procedimiento pero en v), entonces la ecuaci´on resultante es la siguiente, u  =

∂  √  ( νxUf (η )) ∂y

(7)

Para el lector puede sonar tentativo derivar el termino en la ecuaci´on 7, pero esto solo nos llevar llevar´´ıa a un error para determinar la ecuaci´on on de Blasius, ya que se puede hacer notar que en la ecuaci´on on 7 ning´ un un termino depende de y por p or lo cual estar´ estar´ıamos en graves graves problemas para lograr el objetivo, es por esto que se realizan arreglos matem´aticos aticos de la ecuaci´on on de funci´on on de corriente en u de la ecuaci´on on 4 como se muestra en la ecuaci´on on 8. u  =

∂ψ ∂ψ ∂η · = ∂y ∂η ∂y

1

(8)

Antes de determinar la ecuaci´on on 8 se procede a expresar el siguiente termino que se genera de la ecuaci´ ecuaci´on on 3 al dejar todo en funci´on on de y. ∂η = ∂y

 

 U  νx

(9)

Dado al termino dado en 9 solo quedar´ quedar´ıa determinar de la ecuaci´ on on 8 el termino

∂ψ ∂η

√  ∂ψ ∂  √  = ( νxU  (10) νx U )f ( f (η ) = νxUf  ∂η ∂η Resolviendo la ecuaci´on on 8 reemplazando los valores de los terminos de 9 y 10 se tiene lo siguiente, 



 =  U f  u = U

(11)

Ya con aquello se obtuvo el valor de la velocidad en u de la ecuaci´on on 4, ahora se realizar´a el procedimiento para buscar la velocidad en v v  =

∂  − ∂ψ =− ( ∂x ∂x

√ 

νxUf (η )) = −

   1 2

νU  f  + x

 ∂f  νxU  ∂x

√ 



 

(12)

De la ecuaci´on on 12 se debe determinar la funci´on on f en funci´on on de x, por lo cual se aplica el mismo arreglo que en la ecuaci´on on 8 1 1 ∂f  ∂f  ∂η ∂η = =  f  · = − η · f   · 2 x ∂x ∂η ∂x ∂x 



(13)

reemplazando la ecuaci´on on 13 en la ecuacion 12 queda finalmente lo siguiente, 1 v  = 2

  



νU  ∂f  η  − f  x ∂η

 

(14)

Adicionalmente se determinara los siguientes terminos que seran utilizados m´as adelante. 1 ∂u ∂u ∂η ∂  =  · = (U f  ) · − η 2x ∂x ∂η ∂x ∂η 

∂u U  = − ηf  → ∂x 2x



(15)

se deja al lector que resuelva la velocidad u en funci´on de y ∂u =  U f  ∂y



 

 U  νx

 

(16)

∂ 2 u ahora solo falta encontrar el valor de  por lo que se tiene lo siguiente, ∂y 2 ∂ 2 u ∂  ∂u ∂η ∂η ∂  ∂u ∂η U 2  ·  = ∂y  · ∂η ∂η  · ∂y  = νx f  = ∂y 2 ∂y ∂η ∂y











(17)

Reemplazando lo obtenido 17, 11 y 12 en 2 se obtiene con un poco de algebra la ecuaci´on o n de Blasius,  1 νU  U   U  U 2 −U f  · 2x ηf  + 2 x (ηf  − f ) · U f  νx = ν νx f  



 



2



 



U 2  U 2 − 2x ηf  f  + 2x ηf  f 

U 2 U 2 x − 2x f  f  = x f  / 2 U   1 (18) Ecuaci´  on de Blasius  f  + f f  = 0 2 Se consideran las siguientes condiciones de contorno sobre la placa plana y lejos de ella, 















 =  U  x  = 0 ⇒ u = U 

 

(19)

 =  v = 0 y  = 0 ⇒ u = v x =

(20)

 =  U  ∞ ⇒ u = U 

 

(21)

La ecuaci´ ecuaci´on on de Blasius con las correspondientes condiciones de contorno es:  1 =  f  (0) = 0, 0, (22) f  + f f  , f (0) f (0) = f  f ( f (∞) = 1 2 La soluci´on on del problema se obtiene con el m´etodo etodo no lineal  Runge-Kutta, el cual tendr tend r´ıamos ıam os una tabla con los datos de la tabla inicial como lo son, 





η   f 0 0 0.4 0.027 .. .. . . 4.8 3.085

f’ 0 0.133 .. .

f” ?? ?? ??1 .. .

0.988

??

n

Pero Pero antes antes de aplicar aplicar Runge-Kutt Runge-Kuttaa se necesita saber una condici´on on para f  para  f  (η), se puede determinar un valor con el m´etodo etodo de shooting sho oting (disparo), el cual involucra involucra el metodo de Euler y elegir un valor inicial para f  (η ) ( el valor puede ser al azar pero con la condicion que al infinito sea 1) e ir iterando hasta hallar un valor de contorno incial para la segunda derivada de la funci´on η, si se sigue el procedimiento se puede hallar que la condicion de contorno para la segunda derivada de η de  η  es 0.332 



3