Solución de Blasius.
Blasius obtuvo una solución exacta para la capa límite laminar en una placa plana infinitesimalmente delgada, resolviendo por primera vez en 1980 la ecuación de cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad.
Ecuación de cantidad de movimiento
Ecuación de continuidad
Consideraciones en una capa límite laminar:
El flujo es estacionario, incompresible y bidimensional en el plano xy.
El No. Reynolds es suficientemente alto como para que la aproximación sea razonable.
La capa laminar permanece así sobre el rango de interés.
El flujo exterior se obtiene cuando se ignora la capa límite, porque se supone que es muy delgado, U(x)=V=U= constante.
, no permanece término de gradiente de presión en la ecuación de cantidad de movimiento en x de la capa límite.
La velocidad (U) en dirección solamente en x, no varía en dirección y;
La ecuación de cantidad de movimiento (1) y la ecuación de continuidad (2), se convierten en:
Sustituyendo ec. (3) en la ecuación de cantidad de movimiento (1),
Considerando una capa límite de gradiente de presión cero;
Las ecuaciones anteriores son ecuaciones diferenciales parciales que describen el paso de un flujo laminar por una placa plana. La ec. (7) es de tercer orden, tres condiciones de frontera deben de ser especificadas. Así se puede obtener una solución particular para u y v en en función de x y y y . Condiciones de frontera:
Superficie de la placa;
Borde de la capa límite;
y =0 u=0 v =0
y = u=U
∞
Se involucra la función corriente siguientes relaciones:
(x,y) para simplificar el sistema de tal forma que se cumplan las
Satisfacen las dos dimensiones (dimensionalidad) de la e cuación de continuidad Así nos independizamos de la ecuación de continuidad y nos queda:
Las condiciones límite de esta ecuación para
(x,y) son:
para x≥0 para x≥0 C.L.2: en y=0, para x≥0 C.L.3: cuando y→ para y>0 C.L.4: en x=0, C.L.1: en y=0,
∞
En las relaciones no aparece ninguna característica en la geometría, por ello se puede suponer la similitud. La clave para la solución es la suposición de similitud (“principio de similaridad”). Este principio se deriva a partir de condiciones de similaridad geométrica, es decir dos cuerpos son similares cuando la relación entre sus dimensiones permanece constante, se extiende a otras propiedades. Entonces, decimos que dos sistemas son físicamente similares cuando las relaciones entre sus dimensiones, fuerzas actuantes, velocidades, temperaturas etc. son proporcionales entre sí. Esto equivale a emplear un nuevo modelo en función de variables adimensionales obtenidas a partir de variables dimensionales y cuyos valores son válidos, tanto para el sistema original como para el nuevo modelo. Estas variables se conocen como variables de similaridad y el problema consiste en encontrar las variables de similaridad apropiadas para cada caso. Es decir, a través de un análisis dimensional así encontrar las variables características de manera lógica que estén en orden con el sistema. Puesto que Uo es constante, el campo exterior no introduce en el problema una longitud característica (como podría ser la distancia que caracteriza el gradiente de dicho campo), y tampoco la placa tiene una longitud característica, pues su extensión es semi-infinita. Por otro 2 lado, como [v]=[L /T], tampoco podemos formar una distancia característica a partir de v , pues como el problema es estacionario no hay un tiempo característico. En definitiva, el problema
depende de los siguientes parámetros: x, y, ν, U0 . Con ellos se pueden formar sólo dos combinaciones adimensionales independientes, que se pueden elegir como;
√ ( ) La ecuación (7) se reduce a una ecuación diferencial ordinaria, a través de la variable similitud (ƞ) que combina las variables independientes x y y en una variable adimensional independiente, de tal forma que la función corriente nos queda expresada como el producto entre un factor escalar [No. 1/2 Reynolds = (μxU/ƿ) + y una función conocida como factor de forma *Φ(ƞ)+:
( ) El desarrollo matemático en las ecs. (10) y (11), para obtener las expresiones buscadas para los términos que aparecen en la ec. (7) son las siguientes:
( ) () Donde
,
,
son la primera, segunda y tercera derivadas de
en función de ƞ.
Sustituyendo las ecs. (12) a (16)en la ec. (7 ) de cantidad de movimiento.
( ) () * () + ( ) Haciendo operaciones algebraicas;
Donde está ecuación es diferencial ordinaria, no-lineal de tercer orden.
Las condiciones de frontera se deducen como: Ƞ=0 =0
ƞ= =2
∞
=0 Corresponden para y=0
corresponden para y=
∞
Las tres condiciones de frontera anteriores son suficientes para permitir una solución para la ec. (17), pero su solución analítica es bastante compleja por lo que Blasius resolvió la misma por expansión en series alrededor de ƞ=0 y mediante una expansión asintótica para grandes valores de ƞ, que luego son igualadas para un valor apropiado de ƞ.
La solución para la ec. (17), está en función de , por medio expansión de las series de Taylor.
Diferenciando la ec. (18) , con respecto a Ƞ.
Alrededor de ƞ=0, y
son ceros y C0 y C1 deben ser ceros. Los valores de la serie de
son sustituidas en la ec. (17), obteniendo;
,
y
La variable de similitud ƞ debe tener valores desde cero a infinito, los coeficientes de ƞ deben de ser cero. Entonces: C3=0 C4=0
Todas las condiciones que no son cero deben de ser expresadas en términos de C2, el resultado es el siguiente:
La ecuación (21) es la solución en serie de la ecuación (17), está satisface las condiciones de frontera para
Las tres condiciones de frontera
y
, son usadas para evaluar
C2. La ecuación de Blasius también se puede resolver mediante técnicas númericas, por ejemplo empleando la técnica “Shooting” o bien mediante transformaciones en una ecuación diferencial de segundo orden para luego aplicar diferencias finitas y el algoritmo de Thomas. Otras alternativas es el método mejorado de Euler y Runge-Kutta. Usando métodos numéricos, Gold-Stein obtiene un valor de 1.32824 para C2. La tabla 10-1 muestra los valores de
como funciones de ƞ determinados por Howarth, los cuales son
más exactos que los valores originales dados por Blasius. Valores de u/U de la ecuación también son incluidos. Se muestran los valores en las figuras (1-3).
Fig1. Tabla de Valores Φ,Φ´,Φ´´ y u/U.
Fig2. Gráfico Φ,Φ´,Φ´´ o u /U vs ƞ.
,
