MATEMÁTICA I FACULTAD DE NEGOCIOS
UNIDAD II: LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL SESIÓN 07: Aplicaciones de la derivada de una función real y regla de la cadena
Estimado estudiante te invitamos a disfrutar de los recursos didácticos que hemos dispuesto para facilitar tu aprendizaje. En el siguiente link se encuentra alojado la videoclase de REGLA DE LA CADENA
I. Resolver los siguientes problemas: 1.
la ecuación de demanda del producto Sea producto del fabricante, donde x es el número número de artículos demandados y p es su precio unitario en dólares. Halla la razón de cambio del precio con respecto a los artículos demandados, cuando éstos son 5. Interpreta el resultado. DATOS:
= 50 500 2
= 5002 =5 = 500 500 2 Solución:
= 500 500 2′ = 4 Entonces, reemplazamos reemplazamos
′ ′5 = 45 ′ ′5 = 20
=5
Interpretación: La demanda por la fabricación de un artículo adicional provocaría una disminución aproximada de 20 dólares. 2.
la función de demanda del producto de un fabricante. Encontrar la razón de Sea cambio instantánea del precio p por unidad con respecto a la cantidad q. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto respecto a q cuando éste es igual a 5?
= 1 00
Solución: En este caso tenemos t enemos la función precio respecto de la cantidad, para calcular la razón de cambio instantánea, derivamos:
′ ′ = 10 100 0′′ ′ = 2
¿Qué tan rápido está cambiando cambiando el precio con respecto respecto a q cuando éste es igual a 5? 5?
= 2 ′5 = 25 ′5 = 10 Interpretación: Cuando se están produciendo 5 unidades, por cada una más que se produzca, el precio disminuirá en 10 unidades monetarias.
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3.
La función de costo total de una fábrica de medias es estimada como: , donde q es la producción en docenas de pares y c es el costo total. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando q=5000.
= 10484.696.750 0.000328 Solución: La función es:
= 10484.69 6.750 0,000328 Ordenando: = 0,000328 6.750 10484.69 ′ = 20.0003286.7500 ′ = 0,000656 6.750 (Función de costo marginal) Reemplazando = 5000 ′5000 = 0,0006565000 6,750 = 3,47 Interpretación:
El costo de producir una docena de pares adicional será de 3,47 dólares aproximadamente. 4.
Las ecuaciones de ingreso y de costo de cierto producto de un fabricante son y respectivamente, donde q es el número de unidades. Calcula la razón de cambio de la utilidad por unidad extra producida.
= 30 0.30
= 4.5 100
Solución:
= 30 0.30 ( 4.5q + 100) = 30 0.30 4.5 100 = 0.30 25.5 100 ′ = 20.30 25.5 ′ = 0.6 25.5
Rpta: la utilidad por una unidad extra producida es: -0.6q+25.5
5.
Un fabricante estima que cuando se producen “q” unidades de un cierto artículo, el costo total es
C ( x)
q2
3q 98 , y todas las “q” unidades se venderán cuando el precio sea
8 dólares por unidad. a) Encontrar el costo marginal. b) Calcular el costo de producir la novena unidad como una adicional más. c) Encontrar el ingreso marginal.
p ( q )
75
q
3
Solución: a)
3
C(x)=
= 2 3 8 = 3 4 b) 8 = 3=5 c) R=p q
= 753 = 25 3 = 25 23 MATEMÁTICA 1 – FACULTAD DE NEGOCIOS
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6.
Suponga que el ingreso (en dólares) por la venta de x unidades de un producto está dado por 60 x 2 74 x . Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 49 unidades. Interprete su R( x) 2 x 2 resultado.
Solución:
74 60 = 2 2 74´ 2 2 60 742 2´ 60 ´ = 2 2 74 2 2 60 742 120 ´ = 2 2 240 148 148 120 148 240 ´ = 2 2 240 148 148 120 148 240 ´ = 2 2 240 148 120 240 ´ = 2 2 240 148 120 ´ = 2 2 24049148 12049 ´49 = 2492 ´49 = 30 ó
Interpretación:
El ingreso recibido por las ventas de una unidad adicional (50) será aproximadamente de 30 dólares. 7.
Un fabricante determina que cuando se producen x miles de unidades de cierto artículo, la utilidad generada será U(x)= –400 x 2 + 6800 x – 12000 dólares. ¿Cuál es la razón de cambio de la utilidad respecto al nivel de producción, cuando se producen 9 0 00 unidades?
Solución:
= 400+6800x – 12000 ′ = 800 6800 ′ = 8009 6800 U’(9)= -400
Interpretación: La utilidad de producir y vender mil artículos adicionales genera una pérdida de 400 dólares. 8.
Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por la 2 ecuación R( x ) 100 x x , x 0; donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se vende diariamente. a) Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x b) Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (x=20)
Solución:
Interpretación:
= 100 = 100 2 X=20 100 220 = 60
El ingreso recibido por la venta de mil barriles adicionales es 60 miles de dólares aproximadamente.
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9.
La demanda de bebidas destiladas está dada por q= - 0,00375p+7,87, donde p es el precio al menudeo (en dólares) de una caja de licor y q es el número promedio de cajas compradas por año por un consumidor. a) Calcule e interprete la elasticidad de la demanda cuando p=$118 por caja. b) Determine el precio por caja para el que la demanda tendrá elasticidad unitaria.
= 0.00375 7.87 = $118 = 118 = 0.00375118 7.87 0.00375 = 0.06
INTERPRETACION: La demanda es inelástica porque es menor a uno
II. En los siguientes ejercicios, determine la derivada de las siguientes funciones compuestas 1.
f ( x) (3 2 x)10
Solución:
= 10323 2 = 10322 = 2032 z 3.
f ( x)
5
2.
f ( x) 5(4 x 1) 8
Solución:
= 54 1 = 404 1 4 1 ′ = 404 1 .4 = 160 4 1 4.
f ( x)
2 10
(3 x )
(4 x
3
5
1)8
Solución:
= 54 1− = 584 1−4 1′ ′ = 404 1−12 ′ = 480 4 1− ′ = +
Solución :
= 53 − − ′ = 5103 . 3 = 503 − .2 = 1003 − f ( x) 3 (3x 2) 4
5.
f ( x)
9
Solución:
Solución:
= √ 3 2 ′ = 43 3 23 2 = 43 3 2 3
6. f ( x) 4 ( x
5
2 x 3) 5
Solución:
′ = 54 2 3 2 3 ′ = 54 2 3 5 2 MATEMÁTICA 1 – FACULTAD DE NEGOCIOS
x
2
= 9 = 9 − 9 ′ = 9 − − = 9 7.
f ( x)
2
3
x 2
Solución:
′ = 12 2 3− 2 3′ ′ = 12 2 3− 3−´ ′ = 12 2 3 6 − Página 4
8.
f ( x)
( x 2 1) 3
9.
( x 2) 2
3 1 1 2
1 2 2 2′ ′ = 2 ′ = 3 1 2 2 2 1 2 21 6 1 ′ = 1 2 23 2 ′ = 1 222 6 1
f ( x)
x 3
( x 3
2) 3
( x 2)
= 2 1 1 2 2 1 3 2 2′ = 2 11 2 21 3 2 3 = 1 2 2 22 1 33 = 1 [2 4 2 1 9 ] = 1 2 4 2 9 9 = 1 2 429 9 9 4 = 1 7 2 11.
7
Solución:
′ = ′ 2 2 2 ′ 7 2 2′ ′ = 3 2 2 ′ = 3 2 27 2 1 ′ = 2 32 2 7
f ( x)
Solución:
6 ′ = 4 2
12.
( x 1) 2
Solución:
Solución:
10.
f ( x)
f ( x) ( x 5 2) 7 ( x 2
2) 3
Solución:
´ = ( )′( ) ( )( )′ ´ = ′ ′ ´ = ´ = . . ´ =
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13.
( x 3
7) 5
x 2
= 7 2 2 7 2′ = 5 7 7 22 7 1 = 5 7 3 22 7 1 75.3 2 7 = 2 30 7 = 7 14 2
f ( x) ( x 5 2) 7 ( x 5 2) 7
Solución:
= 2 ′ 2′ 2 2 2′ 2′
= 7 2 5 2 2 7 2 5 = 2 5 2 7 2 7 2 = 2 5 2 7 14 7 14 = 2 5 2 14
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