Regla de la cadena
a) z=x2+xy+y2, x=s+t, y=st. b) z=exytany,x=s+2t, y=s/t.
1)
Sea f (x, y) = x 2 + y 2 donde x=t2, y=2t, hallar
dz . dt
8) Usando la regla de la cadena, encuentre las derivadas indicadas de las funciones dadas:
2) Sea f (x, y, z) = 3x 2 + y 2 + z 2 donde x=4uv2, y=5u2+10v2, ∂f ∂f z=u3. Hallar y . ∂u ∂v 3) Si z=f(x,y)=x2y-y4x3, donde x=t3 e y=lnt, hallar la diferencial de z respecto de t. 4)
Si z=f(x,y)=x2y-y4x3, donde x=t3+2s; y=slnt, hallar
∂z . ∂t
a) f (x, y) = x + (y − 2)3; x = r + 5t; y = 3r − 4t; b) z = x 2 + x y − y 3; x = r 2 − 5s; y = s 3; c) f (x, y) =
∂z y ∂s
2
b) z =
x 2 + y 2 , x=e2t, y=e-2t.
7) Calcular
∂z ∂z y : ∂s ∂t
df dt ∂w ∂w ; ∂t ∂r
∂y ∂y ; ∂r ∂t
f) w = x y − yz − x 2yz; x = t − 1; y = 2t 3; z = t 2 + 1;
b) u=f(x,y,z), donde x=x(r,s,t), y=y(r,s), z=z(t).
a) z=x2y+xy2, x=2+t4, y=1-t3.
x + y 2 ; x = t 2 + t; y = t − 200;
e) y = e 2x ; x = r − 3t 2;
a) u=f(x,y), donde x=x(r,s,t), y=y(r,s,t)
dz : dt
∂z ∂z , ∂r ∂s
d) w = e xyz; x = r + 5t; y = 2t 3; z = 1 − 3r 2;
5) Utilice un diagrama de árbol para formular la regla de la cadena en cada caso:
6) Calcular
∂f ∂t
g) w = e x+y; x = r + t; y = u − 2t; z = u − 2r 2; 9)
Sea z =
∂z cuando r=3, s=5 y t=2. ∂r
Sean y=x2(2x-3) y x=t2-2trs. Encuentre
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∂w ∂w ∂w ; ; ∂u ∂r ∂t
x 2 + 2x y y x=r2-5s y=2t3. Use la regla de la ca-
dena para encontrar 10)
dw dt
∂y r=0,s=1 y t=∂t 20
11) Sea z=f(u,v) y u y v funciones de t. a) Establezca la regla de la cadena para este caso. b) Defina w=f(t,v) donde v tamdw bién es función de t, aplicar a) para calcular . Simplifique. dt 12) Suponga z=f(t,u,v,w,x) y además t,u,v,w y x son funciones de r y s. Establezca las reglas de las cadenas aplicables a este caso. 13)
Sea z=f(u-v,v-w,w-u). Demostrar que
∂z ∂z ∂z + + =0 ∂u ∂v ∂w
Sea u=x4y+y2z3+φ(x/y) donde x = 1 + rse t, y = rs 2e −t, ∂u cuando r=2, s=1, t=0 sabiendo que φ z = sr 2sent. Calcular ∂s ´(3/2)=-1. 14)
15) Suponga que la función de costos conjuntos de una empresa que elabora dos tipos de paraguas está dada por C(q1,q2)=q12+2q22+4q1q2+700. Se tiene planeado reducir la producción de los dos tipos de paraguas en los próximos meses de acuerdo a las fórmulas q1=150-3t y q2=100-2t, donde t está medido en meses. Exprese la razón de cambio de los costos con respecto al tiempo. 16) La función de costos conjuntos de dos productos viene dada por C(qA,qB)=0,02(qA+qB)3-0,1(qA+qB)2+3(qA+qB)2+300 y las funciones de demandas son qA=125-pA2-0,1pB2; qB=130∂c -0,1pA2-2pB2. Use la regla de la cadena para calcular . Eva∂pA
17) La función de producción de una fábrica está dada por 1 2 P(K, L) = 120K 3 L 3 , donde L es el tamaño de la fuerza laboral medio en horas-trabajador por semana y K es el monto de capital invertido por semana en u.m. Cuando la empresa tiene L=27 y K=8, mantiene un ritmo de crecimiento en el tamaño de la fuerza laboral de 1,5 horas trabajador/semana y de 0,5 um/semana en su tasa de inversión. Calcule el ritmo de crecimiento en la producción para estos niveles de producción. 18) La ecuación de demanda de un producto depende del precio, p1, de este producto y del precio, p2, de otro producto p2 a través de la relación: q1 = 30 miles de artículos. Se pien3 p12 sa aumentar los precios de estos dos productos en los próximos meses. El precio de cada artículo dentro de t meses estará dado por: p1=120+0,4t +0,02t2 y p2=90+0,1t +0,03t2 . Determine el ritmo de crecimiento de la demanda dentro de un año. 19) La función de costos conjuntos de dos productos viene dada por: C(q1,q2)=120+2q13+2q1q2-25q1-10q2+0,3q22 y las funciones de demanda de estos productos son q1=12-p1+p2 y ∂C ∂C q2=15+p1-2p2. Usando la regla de la cadena, calcule y ∂p1 ∂p2 p1=7 y p2=5.
luar dicha derivada cuando pA=2 y pB=3.
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