Calculo 3: 2013-2 INCREMENTOS Y DIFERENCIALES En esta parte generalizaremos el concepto de incrementos y diferenciales a funciones de dos o más variables. Recordemos que dada y f ( x) se define el incremento de la variable dependiente y como y f ( x x) f ( x)
De manera análoga para una función de dos variables z f ( x, y) , definimos el incremento de la variable dependiente z como z f ( x x, y y) f ( x, y)
Como podemos observar, z produce la cantidad de cambio en la función cuando ( x, y) cambia de ( x x, y y) . Definición de diferenciabilidad Una función f dada por z f ( x, y) es diferenciable en P( x0 , y0 ) si z puede expresarse en la forma z f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y 1 x 2 y
donde 1 y 2 0 cuando ( x, y) (0,0) . La función f es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R. Ejemplo Mostrar que la siguiente función es diferenciable en todo punto
f ( x, y) x 2 3 y En efecto Haciendo z f ( x, y) , el incremento de z en un punto arbitrario ( x, y) en el plano es z f ( x x , y y ) f ( x, y ) ( x 2 2 x x x 2 ) 3( y y ) ( x 2 3 y ) 2 x x x 2 3 y 2 x x 3 y x( x) 0( y ) f x ( x , y ) x f y ( x, y ) y 1 ( x ) 2 ( y )
donde 1 x y 2 0 . Como 1 0 y 2 0 cuando ( x, y) (0,0) , se sigue que f es diferenciable en todo punto en el plano. La gráfica de f se muestra en la figura siguiente
Debemos de tener en cuenta que el hecho de que existan las derivadas parciales de f no garantiza que la función sea diferenciable. El teorema siguiente proporciona una condición suficiente para la diferenciabilidad. A continuación presentamos un teorema que proporciona una condición suficiente para la diferenciabilidad de una función de dos variables.
Definición de diferencial total Si z f ( x, y) y x y y son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales de las variables independientes x e y son
dx x y dy y
y la diferencial total de la variable dependiente z es dz
z z dx dy f x ( x, y ) dx f y ( x, y ) dy x y
Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por ejemplo, si w f ( x, y, z, u) entonces dx x , dy y , dz z y du u y la diferencial total de w es dw
w w w w d x d y dz du x y z u
Ejemplo Hallar la diferencial total de cada función a)
z 2 x sen y 3x2 y 2
b) w x 2 y 2 z 2 Solución
a) La diferencial total dz de z 2 xsen y 3x 2 y 2 es dz
z z dx dy x y
(2sen y 6 xy 2 )d x (2 xcos y 6 x 2 y )d x.
b) La diferencial total dw de w x 2 y 2 z 2 es w w w dw d x d y dz x y z 2 x d x 2 yd y 2 zd z.
TEOREMA 1 Condiciones suficientes para la diferenciabilidad
Si f es una función de x e y , para la que f x y f y son continuas en una región abierta R , entonces f es diferenciable en R.
Interpretación del teorema 1
El teorema 1 nos dice que se puede elegir ( x x , y y) suficientemente cerca de ( x , y) para hacer que 1 x y 2 y sean insignificantes. En otros términos, para x y y pequeños, se puede usar la aproximación z dz
lo cual lleva a la siguiente aproximación
f ( x x, y y) f ( x, y)
z z z z dx dy f ( x x, y y ) f ( x, y ) dx dy x y x y
Ejemplo 1 Uso de la diferencial como aproximación Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en z 4 x 2 y 2 cuando ( x , y) se desplaza del punto (1,1) al punto (1.01,0.97) . Comparar esta aproximación con el cambio exacto en z . Solución Se hace ( x , y) (1,1) y ( x x , y y) (1.01 ,0.97) y se obtiene d y y 0.03 . Por tanto, el cambio en z puede aproximarse mediante
z dz
z z x y dx dy x y 2 2 x y 4 x y 4 x2 y 2
d x x 0.01 y
Cuando x 1 y y 1 , se tiene z
1 1 0.02 (0.01) (0.03) 2(0.01) 0.0141. con 2 2 2
respecto al cambio exacto se tiene z f (1.01,0.97) f (1,1) 4 (1.01)2 (0.97) 2 4 (1) 2 (1) 2 0.0137
(Proceso solucionado con calculadora)
En la figura siguiente se puede observar el cambio exacto corresponde a la diferencia entre las alturas de dos puntos sobre la superficie de un hemisferio
Ejemplo2 Estimar
2(2.02)3 (2.97)2
Solución Estimar f ( x, y) 2( x)3 ( y) 2 , a 2 , b 3. Después es fácil calcular el valor exacto de
f (2,3) 2.8 9 25 5 . A continuación,
df 3x 2 dx 2 x3 y 2
y
df y 3 dy 2x y2
Por lo que
12 3 y f y (2,3) 5 5 En este caso utilizando x 0.02 y y 0.03 tenemos f x (2,3)
2(2.02) 2 (2.97) 2 f (2.02, 2.97) f (2,3) f x (2,3).(0.02) f y (2,3).( 0.03) 12 3 .(0.02) .(0.03) 5.03 5 5 El valor real con cuatro decimales es 5.0305 5
Ejemplo 3 Un envase metálico cerrado tiene la forma de cilindro circular recto, 6 pulgadas de altura interior, 2 pulgadas de radio interior y 0.1 pulgadas de grosor. Si el costo del metal es de 40 centavos por pulgadas cúbica. Aproxime mediante diferenciales el costo total del metal empleado en la elaboración del envase.
0.1pulg
0.1pulg
Solución La figura muestra el envase. Si V pulgadas cúbicas es el volumen de un cilindro circular recto que tiene un radio de r pulgadas y una altura de h pulgadas, entonces V r 2h
El volumen exacto del metal empleado en el envase es la diferencia entre los volúmenes de dos cilindros circulares rectos para los cuales r 2.1 , h 6.2 y r 2 y h 6 respectivamente. El incremento V proporciona el volumen exacto del metal, pero como únicamente se desea un valor aproximado, se calcula dV que es el diferencial total de V. V V dV dr dh r h 2 hdr r 2 dh Con r 2, h 6, dr 0.1 y dh 0.2,
dV 2 (2)(6)(0.1) (2) 2 (0.2) 3.2 De este modo, V 3.2 , por lo que el metal empleado en el envase es aproximadamente 3.2 pulg3. Puesto que el costo del metal es de 40 centavos por pulgada cúbica, entonces el número aproximado de centavos del costo aproximado es 128 402 . Conclusión El costo aproximado del metal empleado en el envase es $4.02. Ejemplo 4 El punto (1,2) está sobre la curva cuya ecuación es ……………………. (1) f ( x, y) 2 x3 y3 5xy 0 Aproxime la coordenada y del punto cercano ( x, y) sobre dicha curva para el que x 1.2.
Solución
El incremento entre f (1, 2) 0 y f ( x, y) 0 sobre esta curva es f ( x, y) 0 df , por lo que cuando se calculan las diferenciales en la ecuación (1) se obtiene
df
f f dx dy (6 x 2 5 y )dx (3 y 2 5x)dy 0 x y
Ahora al sustituir x 1, y 2 y dx 0.2 , se obtiene la ecuación (4)(0.2) 7dy 0 . De donde se sigue que dy
0.8 0.114 0.1 . Esto deja a (1.2; 2.1) como las coordenadas aproximadas del 7
punto cercano.
Nota Una función de tres variables w f ( x , y, z) se dice que es diferenciable en ( x , y, z ) si w f ( x x , y y, z z ) f ( x, y, z ) puede expresarse en la forma
w f x x f y y f z z 1 x 2 y 3 z
donde 1 , 2 y 3 0 cuando ( x, y, z) (0,0,0) . Con esta definición de diferenciabilidad el teorema 1 pude generalizarse y lo podemos utilizar en el siguiente ejercicio.
Ejemplo 5 Estimar 1,982 2,012 1,052 Solución Tomamos f ( x, y, z) x2 y 2 z 2 , como P( xo , y0 , z0 ) (2,2,1) ; así h 0,02 ; k 0,01 ; r 0,05 ;
f (2,2,1) 22 22 12 3 ; además
luego tenemos que f y
( 2,2,1)
1 f ; 3 z
y x y z 2
2
2 (2,2,1)
( 2, 2,1)
z x y z 2
2
f x
( 2, 2,1)
x x y z 2
2
2 ; 3
2 ( 2,2,1)
1 ; finalmente se tiene que 3
2 ( 2, 2,1)
2 2 1 1,982 2,012 1,052 3 (0,02) (0,01) (0,05) 3,01 . 3 3 3
Ejemplo 6 El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es 0.1 milímetros. Las dimensiones de la caja son x 50 centímetros, y 20 centímetros y z 15 centímetros, como se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado.
Solución El volumen de la caja está dado por V xyz , y por tanto
V V V dx dy dz x y z yzdx xzdy xydz.
dV
Utilizando 0.1 milímetros = 0.01centímetros, se tiene dx dy dz 0.01 , y el error propagado
es aproximadamente dV (20)(15)(0.01) (50)(15)(0.01) (50)(20)(0.01) 300(0.01) 750(0.01) 1000(0.01) 20.5 centímetros cúbicos.
Derivada de la Función Compuesta Teorema.- Sea
f : D 2
una
función diferenciable, u u , , x h(r , s) y y g (r, s) , y existen las derivadas parciales x y las derivadas parciales de la función compuesta u f ( x(r , s), y(r , s)) u u x u y u u x u y ; . r x r y r s x s y s
definida por u f ( x, y) y x x y y , , , ; Entonces r s r s se pueden calcular mediante:
Caso Particular: Si z f ( x, y) , donde x x(t ) ; y y(t ) , entonces la derivada total de z respecto de x se puede calcular: o bien haciendo la sustitución, o bien, aplicando la siguiente fórmula:
dz z dx z dy dt x dt y dt
………………….. (1)
s t
Ejemplo 7 Dada la función z=2xy donde x s 2 t 2 ; y ; hallar
z z ; s t
Solución Como
z z x x y 1 y s 2 y; 2 x; 2s 2t; ; 2 entonces x y s t s t t t
z z x z y 1 2 x 2(3s 2 t 2 ) (2 y)(2s) (2 x) 4 ys s x s y s t t t z z x z y s 2 xs 2st 2 2s 3 (2 y)(2t ) (2 x)( 2 ) 4 yt 2 t x t y t t t t2
Ejemplo 8 Si z x2 y 3xy 4 , donde x sen 2t y y cos t . Determine dz dt cuando t 0 . Solución
Por la regla de la cadena tenemos 4 2 3 dz z dx z dy (2 xy 3 y )(2cos 2t ) ( x 12 xy )(sent ) dt x dt y dt
No es necesario escribir las expresiones para x y y en términos de t simplemente observemos que cuando t 0 tiene x sen 0 0 y y cos0 1 . Por lo tanto dz z dx z (0 3)2cos0 (0 0)( sen 0) 6 dt x dt t t 0
La derivada del ejemplo 2 se puede interpretar como la razón de cambio de z con respecto a t cuando el punto ( x, y) se desplaza por la curva C cuyas ecuaciones parametricas son x sen2t , y cost . Ver figura
En particular, cuando t 0 , el punto ( x, y) es (0,1) y dz dt 6 es la razón del incremento cuando uno se desplaza por la curva C que pasa por el punto (0,1) . Por ejemplo si
z T ( x, y) x2 y 3xy 4 representa la temperatura en el punto ( x, y) , entonces la función compuesta z T (sen 2t , cost ) representa la temperatura en los puntos sobre C y la derivada dz dt representa la razón a la cual la temperatura cambia a lo largo de C .
Ejemplo 9 La figura anterior muestra un bloque de hielo cilíndrico que se funde. Debido al calor del Sol que le llega desde arriba, su altura h decrece con más rapidez que su radio r . Si su altura disminuye a 3cm/h y su radio a 1cm/h cuando r 15 cm y h 40 cm ¿Cuál es la tasa de cambio del volumen V del bloque en ese instante? Solución
Con V r 2 h , la regla de la cadena ofrece dV V dr V dh dr dh 2 rh r 2 . dt r dt h dt dt dt dr dh 3 se encuentra que Al sustituir los valores de r 15 cm , h 40 cm , 1 y dt dt dV 2 (15)(40)(1) (15)2 (3) 1875 5890.49 (cm3/h). dt
Así en el instante en cuestión, el volumen del bloque cilíndrico disminuye a poco menos de 6 litros por hora. Ejemplo 10 Dos objetos recorren trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones parametricas siguientes x1 4cos t
y
y1 2sent
x2 2sen 2t
y
y2 3cos 2t (Segundo objeto)
(Primer objeto)
¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando t ? Solución En la figura siguiente se puede ver que la distancia s entre los dos objetos está dada por
s ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
y que cuando t , se tiene x1 4 , y1 0 , x2 0 , y2 3 y s (0 4)2 (3 0)2 5 .
Cuando t , las derivadas parciales de s son las siguientes.
( x2 x1 ) ds 1 4 (0 4) 2 2 d x1 5 5 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( y2 y1 ) ds 1 3 (3 0) 2 2 d y1 5 5 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( x2 x1 ) ds 1 4 (0 4) 2 2 d x2 5 5 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( y2 y1 ) ds 1 3 (3 0) 2 2 d y2 5 5 ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
Cuando t , las derivadas de x1 , y1 , x2 y y2 son x1 4sent 0 , t x2 4cos 2t 4 , t
y1 2cost 2 t y2 6sen 2t 0 t
Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia a una velocidad o ritmo ds s dx1 s dy1 s dx2 s dy2 dt x1 dt y1 dt x2 dt y2 dt 4 3 4 3 (0) (2) (4) (0) 5 5 5 5 22 . 5
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Evaluar f (1,2) y f (1.05,2.1) y calcular z y b) utilizar la diferencial total dz para aproximar z :
a) f ( x, y) 9 x2 y 2
b) f ( x, y) x 2 y 2
d) f ( x, y) xe y
e) f ( x, y) 3x 4 y
c) f ( x, y) xsen y f) f ( x, y )
x y
2. En los ejercicios siguientes hallar z f ( x, y) y utilizar la diferencial total para aproximar la cantidad a) ((1.95)2 (2.01)2 )2 b)
(5.05)2 (3.1)2 52 32
c) (2.03)2 (1 8.9)3 (2)2 (1 9)3
1 (3.05) 2 1 32 2 d) (5.95) 2 6 2 e) sen [(1.05) (0.95)2 ] sen(12 12 ) (3.1)2 (4.2)2 11.72
f) g)
3
(5.1)2 2(5.2)2 2(5.3) 2
3. Aproximar la coordenada y del punto P cerca de (1; 2) que se encuentra sobre la curva
2 x3 2 y3 9 xy, si la coordenada x de P es 1.1. 4. Aproximar la coordenada x del punto P cerca de (2; 4) que se encuentra sobre la curva
4 x4 4 y 4 17 x 2 y 2 si la coordenada y de P es 3.9. 5. Volumen El radio r y la altura h de un cilindro circular recto se miden con los posibles errores de 4% y 2%, respectivamente. Aproximar el máximo error porcentual posible al medir el volumen. 6. Viento la fórmula para la frialdad producida por el viento C (en grados Fahrenheit) es
C 35,74 0.6215T 35.75 0.16 0.4275T 0.16 donde es la velocidad del viento en millas por hora y T es la temperatura en grados Fahrenheit. La velocidad del viento es 23 3 millas por hora y la temperatura es 8o 1o . Utilizar dC para estimar el posible error propagado al calcular la frialdad producida por el viento. 7. Péndulo
El periodo T de un péndulo de longitud L es T 2 L g , donde g es la
aceleración de la gravedad. Un péndulo se lleva de la zona del canal, donde g 32.09 pies s 2 , a Groenlandia, donde g 32.23pies s 2 . Debido al cambio en la temperatura, la longitud del péndulo cambia de 2.5 pies a 2.48 pies. Aproximar el cambio en el periodo del péndulo.
8. Área En un triángulo, dos lados adyacentes miden 3 y 4 pulgadas de longitud, y entre ellos forman un ángulo de 4 . Los posibles errores de medición son
1 pulgadas en los lados y 0.02 16
radianes en el ángulo. Aproximar el máximo error posible al medir el área. 9. Volumen Un abrevadero tiene 16 pies de largo (ver la figura A). Sus secciones transversales son triángulos isósceles en los que los dos lados iguales miden 18 pulgadas. a) Expresar el volumen del abrevadero en función de y determinar el valor de para el que el volumen es máximo.
b) El error máximo en las mediciones lineales es de media pulgada y el error máximo en la medida del ángulo es 20 . Aproximar el cambio a partir del volumen máximo.
10. Deportes Un jugador de béisbol en el jardín central se encuentra aproximadamente a 330 pies de una cámara de televisión que está en la base. Un bateador golpea una pelota que sale hacia una valla situada a una distancia de 420 pies de la cámara (ver figura B). a) La cámara gira 90 para seguir la carrera. Aproximar el número de pies que el jugador central tiene que correr para atrapar la pelota. b) La posición del jugador central podría tener un error hasta de 6 pies y el error máximo al medir la rotación de la cámara de 10 . Aproximar el máximo error posible en el resultado del apartado a).
Figura A
Figura B
11. Las dimensiones de una caja son 10 cm, 12 cm y 15cm, con un posible error de 0.02 en cada medición. Aproxime mediante diferenciales el máximo error si el volumen de la caja se calcula a partir de estas medidas. 12. La función S 0,1091w0,425h0,725 da el área de la superficie corporal de una persona, en términos del peso w y la estatura h . Si el error en la medida de w es a lo sumo 3%, y el error en la medida de h es a lo más 5%, ¿Cuál es el porcentaje máximo de error aproximado en la medida de S ? 13. En un experimento para hallar la rapidez promedio, un ingeniero usa la formula v s , donde t s es la distancia recorrida, t el tiempo, y v la rapidez promedio. Si existe un 1% de error al medir s , y un 2% al medir t , ¿qué tan grande es el porcentaje de error en el cálculo de v? 14. Dos lados de un triángulo miden 150 y 200 metros y el ángulo que forman es de 60 0. Sabiendo que los errores en la medición son de 0.2 metros en la medida de los lados y de 1 0 en la del ángulo. Hallar el máximo error probable que se puede cometer al evaluar su área.
15.
El sistema cardiovascular humano es similar a circuitos eléctricos en serie y en paralelo. Por ejemplo, cuando la sangre circula a través de dos resistencias en paralelo, como se muestra en la figura , entonces la resistencia equivalente R de la red es
R1 R2
RR 1 1 1 o R 1 2 R R1 R 2 R1 R 2 Si los errores porcentuales en la medición de R 1 y R 2 son 0.2% y 0.6% , respectivamente, encuentre el error porcentual máximo aproximado en . 16. La presión P , en Kilopascales, el volumen V , en litros y la temperatura T en Kelvin, de un mol de un gas ideal, están relacionados mediante la ecuación PV 8.31T . Determine la razón a la cual la presión cambia cuando la temperatura es de 300K y se incrementa a razón de 0.1K s y el volumen es de 100 L y se incrementa a razón de 0.2 L s . 17. La tensión T en la cuerda del yo-yo que se muestra en la figura es
R 2r R 2 donde mg es su peso constante. Determine el cambio aproximado en la tensión si R y r se T mg
2
incrementan de 4cm y 0.8 cm a 4.1 cm y 0.9cm, respectivamente. ¿La tensión aumenta o disminuye?
18. Movimiento de proyectiles. Se dispara un proyectil a un ángulo con velocidad v a través de un abismo de ancho D hacia el muro del acantilado vertical que es esencialmente infinito tanto en la altura como en profundidad, ver figura. a) Si el proyectil sólo está sujeto a la fuerza de la gravedad, demuestre que la altura H a la cual golpea el muro del acantilado como una función de las variables v y está dada por
1 D2 H D tan g 2 sec2 . 2 v b) Calcule la diferencial total de H. c) Suponga que D 100 pies, g 32 pies s 2 , v 100 pies s y 45 0 . Calcule H. d) Suponga, para los datos del inciso c), que el error en la medición de v es a lo sumo
1 pies s y que el error en la medición de es a lo sumo 10 . Calcule el error máximo aproximado en H. e) Al dejar que D varíe, H también puede considerarse como una función de tres variables. Encuentre la diferencial total de H. Empleando los datos de los incisos c) y d) y suponiendo
que el error en la medición D es a lo sumo 2 pies s , calcule el error máximo aproximado en H.
19. La temperatura en un punto ( x, y) es T ( x, y) , medida en grados Celsius. Un animalito se arrastra
1 de tal modo que su posición después de t segundos está definida por x 1 t , y 2 t , 3 donde x y y se miden en centímetros. La función de la temperatura cumple con Tx (2,3) 4 y Ty (2,3) 3 . ¿Qué tan rápido se eleva la temperatura en la trayectoria del animalito después de 3
segundos? 20. La altura de un cono circular es de 30 pulg. En un cierto instante y crece a razón de 2 pulg./seg, el radio de la base en ese mismo instante es de 20 pulg./seg y crece a razón de 1 pulg/seg. A qué velocidad crece el volumen en aquel instante. 21. El radio de un cilindro circular recto se incrementa a razón de 6 pulgadas por minuto y la altura decrece a razón de 4 pulgadas por minuto. ¿Cuál es la velocidad o el ritmo de cambio del volumen y del área superficial cuando el radio es 12 pulgadas y la altura 36 pulgadas? 22. La longitud , ancho w y la altura h de una caja cambia con el tiempo. En un cierto instante, las dimensiones son 1 m y w h 2 m , y y w se incrementan a razón de 2m s , en tanto que h disminuye a razón de 3 m s . Encuentre en ese instante las razones a las cuales las siguientes
magnitudes cambian. a) El volumen b) El área superficial c) La longitud de la diagonal. 23. El automóvil A viaja hacia el norte por la carretera 16 y el automóvil B viaja hacia el oeste por la carretera 83. Los vehículos se aproximan a la intersección de dichas carreteras. En un cierto momento, el automóvil A está a 0.3 km de la intersección y se desplaza a 90km h mientras que el automóvil B está a 0.4 km de la intersección y viaja a 80 km/h. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los automóviles en ese momento?
24. El radio de una esfera disminuye a razón de 2cm s y el radio de un cono recto inscrito en dicha esfera aumenta a razón de 1cm s . Calcular la rapidez con que varía el volumen del cono cuando el radio de la esfera es de 10 cm y el radio de la base del cono 6 cm . Una pared hace un ángulo de 1200 con el suelo, una escalera de 20 cm. de longitud está recargada contra la pared y su parte superior esta resbalando a la rapidez de 3cm/seg. Que rápido está cambiando el área del triangulo formado por la escalera, la pared y el suelo cuando la escalera hace un ángulo de 300 con el suelo.
25.
