Por Eleazar J. García
Regla de la cadena para la integración una función diferenciable cuyo conjunto de imágenes es el intervalo [ a, b ].
Sea
F una antiderivada o primitiva de f Sea f una función definida en [ a, b] y F una de f en en [ a, b ]. Entonces:
∫
f [ g ( x)]· g ′( x) dx =
∫
f g ( x) d ( g ( x) ) = F[ g( x)] + C,
C∈ ℝ.
Note que: D x [ F ( g ( x)) + C] = F ′( g ( x))· g ′( x) + 0 = F ′( g( x))· g ′( x). Ahora, como F como F es es una primitiva de f , entonces, F′( x) = f ( x) , por lo que: F ′[ g ( x)] ) ]· g ′( x) = f [ g( x)] ) ]· g ′( x). ). F ′ g ( x )
Luego, tenemos que:
1.
∫
[ g( x)] · g′( x) dx = n
[ g ( x)]n
+1
n +1
+ C, n ≠ −1 .
Comprobación: En efecto, d [ g ( x)]n+1
dx
d [ g ( x)]n +1 +C = n +1 dx n + 1
( = 2.
∫
x dx= n
x n +1 n +1
( n + 1) g ( x )
+ C, x≠ 1 .
Comprobación:
d x n+1
d + ( C ) dx
d xn +1 d +C = + ( C ) 1 + dx n + 1 d x n dx
( n +1) −1
n +1
) ⋅ g ′ ( x) + 0 =
n
( x) ⋅ g′ ( x) .
Eleazar J. García
=
( n + 1) x( n+1)−1
+ 0 = x n
n +1
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
∫ ∫ ∫ ∫
x d=x
x1+1 1+1
4 x dx= 4 5
+
C =
∫
+ C
2
x 6 2x6 x dx= 4 + C= + C 6 3
−3
−3
x2
7
x x dx= −3
5
4
+1
4
7
x 7 + C= + C= x7 + C 4 4 +1 7 7
7
(2 + 1)5 dx
Note que D : x (x2 + 1= )
2,por lo que es necesario multiplicar por 2 y
1 2
de la
siguiente manera,
5.
∫ ∫
( 2 + 1) dx = 5
5 x
1 2
∫ ∫
2( 2 x + 1) dx =
dx = 5
3 x + 4 2
5
x 3x + 4 2
1 2
∫
(2 x + 1) 6 6
+C =
( 2 x + 1)6
+C
12
dx
Observe que: D , por tal razón, debemos multiplicar por 6 y x (3 x + 4) = 6 x 2
1 6
de la
forma siguiente,
∫
5 3 x + 4 2
∫
x dx = 5
x 3x + 4 2
dx =
5 6
∫
6x (3 x 2 + 4)
1
−
1 2
5 (3 dx = · 6
2
+ x4) 2 1 2
=
6.
∫
5 3
3
2
+ 4 + C 1
(2 + y)(4 y+ y + 5) 3 dy 2
+C
Lic. Eleazar J. García
Puesto que: D y ( 4 y+ y2 + 5) = 4 + 2 y = 2 ( 2 + y) , por lo tanto, debemos multiplicar por 2 y
1
de la manera siguiente,
2
∫
1
1
2
3
2( 2(2 + y)(4 y+ y + 5) 3 dy
4
∫
1
2
4
2
3
∫
dz
3 z 2 + 5 z
Como:
∫
6 z + 5
ln ( 3 z 2 + 5 z )
2 D ) = z ln ( 3 z + 5 z
dz =
3 z 2 + 5 z 6 z + 5 2
3
∫
( 6 z + 5) ln ( 3z 2 + 5 z ) 3 z 2 + 5 z
dz , y
, entonces,
+ 5 z
6 z + 5
ln ( 3 z 2 + 5 z )
3 z2 + 5 z
dz =
∫
( 6 z+ 5) ln ( 3 z2 + 5 z) 3 z2 + 5 z
dz =
∫
ln ( 3z 2 + 5 z ) ⋅
6 z + 5
dz, 3 z2 + 5 z
2
= ln ( 3 z2 + 5 z) + C Resuelva:
1.
4.
∫ ∫
5 4
6 z + 5
ln ( 3 z 2 + 5 z )
∫
∫
1 2
1 (4 y + y + 5) 3 3 + C= (4 y+ y2 + 5) 3 + C (4 + 2 )(4 y+ y + 5) dy= · 4 2 8 3
= ·
7.
1
(2 + )(4 y+ y + 5) dy= · 2 2
x 3
dx,
x>0
2.
2
5 u (3 (3 + 2u ) 3 du 2
3
5.
∫ ∫
3 x + 4 5
x
dx
7(1 + 5 ) 3
2 x + 5 x 2 + 4
3. x dx
6.
∫ ∫
( 4 3 x + 3 6 x5 ) dx
4
3 − 2 x
,
dx 3 x< 2
