Estudio de la regla de la cadena para l integración.Descripción completa
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1. Regla de la Palanca
1. DIAGRAMAS DE FASE
Regla de la Palanca Los diagramas de fases son representaciones gráficas de las fases que están presentes en un sistema de aleación a diversas temperaturas presiones y composiciones; los diagramas de fases se construyen empelando la información recopilada en la curvas de enfriamiento. Las curvas de enfriamiento son gráficos de tiempo y temperatura generados para diversas composiciones de aleaciones y brindan información sobre las temperaturas de transición de las fases. En los diagramas de fases binarios en equilibrio temperatura-composición se indican que fases están presentes a diferentes composiciones y temperaturas para condiciones de enfriamiento o calentamiento lentos q ue se acercan al equilibrio.
1.1.
DIAGRAMAS DE FASE BINARIOS
En los diagramas bifásicos la composición qu!mica de cada una de las dos fases se indica por la intersección de la isoterma con los l!mites de fase el fragmento en peso de cada fase en una región de dos fases puede determinarse usando la regla de la palanca a lo largo de una isoterma "l!nea de enlace a una temperatura particular#. En estos diagramas tambi$n se relaciona la regla de las fases de %ibbs la cual establece que en el equilibrio el n&mero de fases más los grados de libertad es igual al n&mero de componentes más ' P ( ) * + ( ' de forma abreviada con la presión 1atm.
P + F = C + 1. 1.2.
REGLA DE LA PALANCA
1
Regla de la Palanca Esta fórmula matemática consiste en encontrar las cantidades de , de sustancia en los diagramas de fases Estas cantidades normalmente se epresan como porcentae del peso ", peso# y es válida para cualquier diagrama de fase binario. La regla de la palanca da la conocer la composición de las fases y es un concepto com&nmente utili/ado en la determinación de la composición qu!mica 0real de una aleación en equilibrio a cualquier temperatura en una región bifásica. En regiones de una sola fase la cantidad de la fase simple es 122,. En regiones bifásicas se deberá calcular la cantidad de cada fase. 3 la t$cnica es 4acer un balance de materiales. Para calcular las cantidades de l!quido y de sólido se construye una palanca sobre la isoterma con su punto de apoyo en la composición original de la aleación "punto dado#. El bra/o de la palanca opuesto a la composición de la fase cuya cantidad se calcula se divide por la longitud total de la palanca para obtener la cantidad de dic4a fase. +onsideremos el siguiente diagrama bifásico5
6i como en el eemplo del diagrama estamos a una temperatura 71 y con una composición del sistema 81, de 9 tendremos una me/cla de dos fases L y 6 "l!quido y
2
Regla de la Palanca sólido# determinaremos la composición qu!mica de cada una y sus cantidades relativas. :s!5 • •
abrá en la fase L "l!quido# a 71 un 8', en peso de 9 y "1- 8' # , de :. La composición de la fase 6 "sólido# a 71 será de un 8<, de 9 y un "1 = 8< #, de :.
Para determinar las cantidades relativas de L "l!quido# y 6 "sólido# que 4ay a una temperatura y composición prefiadas usaremos la regla de la palanca 5
Longitud de la isoterma opuesta al l!quido
% de líquido *
8< = 81 *
Longitud total de la isoterma
8< = 8'
Para cualquier composición y temperatura
% de slido *
Longitud de la isoterma opuesta al sólido -- Longitud total de la isoterma
81 = 8' *
8< = 8'
Evidentemente5
% de L + % de S
=
1.".
1!!%
DEMOS#RACI$N DE LA REGLA DE LA PALANCA
3
Regla de la Palanca Para el caso de la regla de la palanca primero debemos tra/ar una 0isoterma en el punto de temperature o porcentae de 9-para nuestro caso cementita- requerido por el problema. %ramos de 9 en la me/cla bifásica * %ramos de b en la fase l!quida ( %ramos de b en la fase sólida ")racción de peso de las me/clas de fases#")racción en peso promedio de 9 de la me/cla de las fases# * ")racción de peso de la fase l!quida#"fracción de peso de 9 en la fase l!quida# ( ")racción de peso de la fase sólida#")racción de peso de 9 en la fase sólida#. 1# 122, ">o# * 81, ">l# ( 8', ">s#
Regla de la Palanca Dna disolución ideal a temperatura constante5 sean dos l!quidos 9 y + que forman una solución ideal. 6e mantiene la temperatura fia a valor 7 por encima de los puntos de congelación 9 y +. 6e representa entonces la presión P del sistema frente a 8 9 la fracción molar total de 9 en el sistema. l
v
nB , total n B+ nB X B= = l v l v n total nB + nB + n C + nC l
"1#
v
onde n B y n B son los n&meros de moles de 9 en la fase liquida y vapor respectivamente. Entonces se obtiene5 v
X B v
=
l
¿
l
¿
X B PB
X C X C PC
P= PC +( P B− PC ) X B ¿
¿
¿
l
"'# disolución ideal
"<# disolución ideal "para F FF#
6in embargo la curva ) )F )FF es una representación de la presión de vapor total v l v frente a X B para ello debemos transformar X B en una función de X B empleando la Ley de Raoult. Para ello tenemos5
❑
v
l
¿
PB = X B P = X B P B para poder escribir
l
v
¿
X B= X B P / P B sustituyendo en "<#
5
Regla de la Palanca P= PC +( P B− PC ) X B P / P B espeando P de $sta ecuación tenemos5 ¿
¿
P=
¿
¿
¿
v
¿
P B P C
"A# disolución ideal
X B ( P C − PB ) + PB ¿
v
"@#
¿
¿
v
Esta es la ecuación que buscamos y corresponde a P frente a X B y corresponde a la curva ) )F )FF. La fracción molar global de 9 es5
X B= Por lo que5
nB l
n +n
"B#
v
l
v
n B= X B n + X B n l
v
l
"G# v
n B=n B + n B= X B n + X B n
:demás5 ?gualando estas epresiones para l
"H#
n B se tiene5 v
l
l
v
v
"I#
X B n + X B n = X B n + X B n
l l v v n ( X B− X B ) =n ( nB − X B )
"12#
)inalmente5 l v n EH =n EI
"11#
onde E y E? son las longitudes de los segmentos que van desde E 4asta las curvas de l!quido y el vapor de la figura anterior; nl y nv son el n&mero total de moles en las fases l!quido y vapor respectivamente. La ecuación 11 se conoce como la regla de la palanca. La deducción de la regla de la palanca se aplica igualmente a cualquier sistema bifásico de dos componentes no solo al equilibrio liquido-vapor. :4ora bien si tenemos J y K que son las fases presentes nα y n β son los n&meros totales de moles en las fases J y K respectivamente y la lα y l β son las longitudes de los segmentos que pertenecen a un punto contenido en la /ona de dos fases del diagrama de fases y llegan 4asta las curvas de las fases J y K entonces por analog!a tenemos5 α α
β β
n l =n l
6
Regla de la Palanca +on frecuencia se usa la fracción en peso global de 9 "en ve/ de 89# como abscisa del diagrama de fases. En este caso las masas sustituyen a los n&meros de moles en la deducción anterior y la regla de la palanca pasa a ser5 α α
β β
m l =m l onde5
α
β
m y m
son las masas de las fases J y K respectivamente.
