Soal- Analisa Dinamik Stuktur31

Analisa Dinamika Struktur

SOAL 3

q3

h3 q2

h2 q1

h1

L

DIKETAHUI :

Struktur pada gambar di atas dengan data sebagai berikut : = 980 cm / detik2  

L

=6m

q1

= 3 t/m

g

h1

=6m

q2

= 3 t/m

k1

h2

=5m

q3

= 2!5 t/m

k2  

= "  103 kg/cm

h3

="m

k3

= 3  10   3 kg/cm

 

= 5  103 kg/cm

DIMINTA :

#entukan $esp%n struktur tersebut diatas akibat gempa &' (entr% PENYELESAIAN :

Analisa Dinamika Struktur

•

)erhitungan *assa : +1 = q1 , L = - 3  103 .  6 = 18,000 kg +2 = q2 , L = - 3  103 .  6 = 18,000 kg +3 = q3 , L = - 2!5  103 .  6 = 15,000 kg

m1

=

m2

=

m3

=

ω 1

 g  ω 2

 g  ω 3

 g 

=

18000

=

=

980

= 18!36kg det

2

/ cm

= 18!36kg det

2

/ cm

= 15!306kg det

2

/ cm

18000 980 15000 980

•

*%de' *atematik 

•

ree %d

Analisa Dinamika Struktur

erdasarkan keseimbangan gaa  gaa pada 4reeb%d diagram! maka dapat disusun ) -)ersamaan i44erensia' . gerakan sebagai berikut : m1 , 1  k 1 , 1  k 2 - 2  1 .

=077777777777-1.

m2 , 2  k 2 - 2  1 .  k 3 - 3  2 . = 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 - 2 . m3 , 3  k 3 - 3  2 .

=077777777777-3.

)ersamaan tersebut dapat ditu'is menadi : m1 , 1  - k 1  k 2 . 1  k 2 , 2

=077777777777-".

m2 , 2  - k 2 , 1 .  - k 2  k 3 . 2  k 3 , 3

=077777777777-5.

m3 , 3  k 3 , 2  k 3 , 3

=077777777777-6.

tau bi'a ditu'is da'am bentuk matriks menadi : m1 0  0 m2   0 0

k 1 + k 2     0  y 2 + − k 2    m3   y 3    0 0  y1

− k 2 - k 2 + k 3. − k 3

0  y1 

0    − k 3 y 2 = 0 k 3   y 3 0

 7 7 7 7 7 7 7 7 -  .

ika dipakai unit massa m = 10 kg det2 / cm dan unit kekakuan k = 1000 kg / cm maka matriks massa dan matriks kekakuan struktur 3 ; diatas ada'ah : 1!836/ [m] =  0   0

 9 k  [ k ] =  −"k     0

0 1!836/ 0

−" k   k 

−3k 

 0   1!5306 

0  −3k   3k   

0

 7 7 7 7 7 7 7 7 - 8 .

 7 7 7 7 7 7 7 7 - 9 .

Analisa Dinamika Struktur

)ersamaan &igen )r%b'em ang dapat diper%'eh dari matriks < m  dan matriks < k  ada'ah :

9k  −1!836 mω 2  − "k    0 

− "k 

  − 3k   2 3k  −1!5306mω   0

 k  −1!836 mω 2

− 3k 

 7 7 7 7 7 7 7 7 - 10 .

Sehingga persamaan diatas dapat ditu'is menadi :

 9k  − 1!836/ω 2  k   m   − "k     0  

− "k  /k  − 1!836/ω 

2

k  m

− 3k 

  0    φ 1   0 − 3k   φ 2  =  0   φ 3   0 2 3k  − 1!5306ω    k   m

 7 7 7 7 7 7 7 7 - 11 .

)enederhanaan persamaan - 11 .! menadi : - 9  1!836 > . ?1 @ " ?2

= 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 - 12 .

@" ?1  -   1!836 > . ?2  3 ?3

= 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 - 13 .

@3 ?2  - 3  1!5306 > . ?3

= 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 - 1" .

engan mengambi' ni'ai ?1 = 1! maka pada persamaan - 12 . dan persamaan - 13 . akan menadi: •

•

)ersamaan - 12 . - 9  1!836 > . ?1  " ?2

=0

- 9  1!836 > . 1  " ?2

=0

9  1!836 >  " ?2

=0

)ersamaan - 13 .

" ?2

= 9  1!836 > 

?2

= 2!25  0!"592 > 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 - 15 .

Analisa Dinamika Struktur

@" ?1  -   1!836 > . ?2  3 ?3

=0

@"  1  -   1!836 > . - 2!25  0!"592 > .  3 ?3

=0

@"  15!5  "!1326 >  3!21"" >  0!8"3" > 2  3 ?3

=0

11!5  !3" >  0!8"3" > 2  3 ?3

=0

3 ?3

= 11!5  !3" >  0!8"3" > 2

?3

= 3!916  2!""9 >  0!2811 > 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 - 16 .

Substitusi )ersamaan - 15 . dan persamaan - 16 . ke da'am persamaan - 1" .

•

@3 ?2  - 3  1!5306 > . ?3

=0

@3 -2!25  0!"592 > .  -3  1!5306 > . -3!916  2!""9 >  0!2811 > 2 . = 0 @6!5  1!36 >  11!501  !3" >  0!8"33 > 2  5!995 >  3!"8 > 2  0!"302 > 3 = 0 5!001  11!96"" >  "!5913 > 2  0!"302 > 3

= 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 - 1 .

(ara pa'ing sederhana mencari ni'ai > ada'ah dengan cara c%ba  c%ba dan diper%'eh : λ  1

5000 = 0!81 →ω 1 = 0!81 × =1"!581rad  / det 18!36

λ 2

= "!125 →ω 2 =

λ 3

3000 = !"" →ω 3 = !"" × = 38!205 rad  / det 15!306

 A%

"000 = 29!92 rad  / det "!125 × 18!36

 Ai'ai ungsi ?i

 Ai'ai ungsi ?i

Analisa Dinamika Struktur

*%de B = 0!81

*%de BB = "!125

*%de BBB = !""

1

?1 = 1

?11 = 1

?12 = 1

?13 = 1

2

?2 = 2!25  0!"592 > 

?21 = 1!891

?22 = 0!3558

?23 = @1!1696

3

?3 = 3!9162!""9>  0!2811 > 2

?31 = 2!155

?32 = @1!"023

?33 = 1!2682

C31

C32

C33

C21

C22

C11

C23

C12

*%de BB

*%de B

Gambar Normal Mode

a'am bentuk matriks! dapat ditu'is :

C13

*%de BBB

Analisa Dinamika Struktur

 1 [φ ] =  1!891  2!155

1

 −1!1696   1! 2682   1

0!3558

−1!"023

Sedangkan Dekt%r 4rekuensi sudutna :

[ω ]

1"!581   = 29!92   38! 205  

)artisipasi tiap m%de

[φ ]  j T  × [ M ] = Tj = T   Mj [φ ]  j [ M ][φ ]  j  Pj

( )

 P  1 = φ    j

T 

1!836/ ×[ M ] ×m = -1×1!891×2!1/55.   0   0

0

 0 18!36/  1!5306  0

1!836/ 0

1!836   = 3! "32 18 !36 =158 !685kg  / det  3!3298  

( )

 P 2 = φ    j

T 

1!836/ ×[ M  ] ×m = -1×0!3558 ×−1!"023.   0   0

0 1!836/ 0

 18!36/ 0  1!5306  0

 1!836  =  0!6535 18!36 = 6!31"6kg  / det     − 2 ! 1"6"  

( )

 P 3 = φ    j

T 

1!836/ ×[ M  ] ×m = -1×−1!1696 ×1!2682.   0   0

0 1!836/ 0

 1!836   = −2!1"82 15!306 = 2" !9"36 kg  / det   1!9"11  

 0 18!36/  1!5306  0

Analisa Dinamika Struktur

 M 1 = -1

1!891

1!836/  0 2!1/55.    0

0

 1   1!891 18!36/ 0     1!5306  2 ! 1/55   0

1!836/ 0

= 28!"168 kg det2 / cm

 M 2 = -1

0!3558

1!836 −1! "023.   0   0

0 1!836 0

1      0  0!3558 18!36 1!5306   −1! "023  0

2

= 93!2802 kg det  / cm

 M 3 = -1

−1!1696

1!836/  0 1! 2682.    0

0 1!836/ 0

1      0 −1!1696 15!306 1!5306    1!2682   0

= 10"!2"8" kg det2 / cm

*aka )artisipasi tiap m%de ada'ah : T 1

=

T 2

=

T 3

=

•

 P 1  M 1  P 2  M 2  P 3  M 3

=

=

=

158!685 28!"168 6!31"6 93!2802

2"!9"36 10"!2"8"

= 0!5521

= 0!06

= 0!2393

$esp%n struktur akibat beban gempa &' (entr% Bntegrasi Aumerik  ipakai ni'ai t = 0!0"2 detik dan ni'ai g = 980 cm / det2 maka ni'ai a!b dan k  + = 4rekuensi natura' Et = se'isih Faktu

Analisa Dinamika Struktur

a1

2

2

= ω 1 −

( ∆t ) 2

a1 = 1"!5812 −

2

( 0!0"2) 2 2

a1

= − 921!1812rad 

a2

= ω 2 −

a2

= 29!92 −

a2

= − 235!"661rad 

a3

= ω 3 −

a3

= 38! 205 −

2

2

( ∆t ) 2 2

2

( 0!0"2 ) 2 2

2

2

( ∆t ) 2 2

2

( 0!0"2 ) 2

a3 = 325   !8352rad 2

b=

1

( ∆t ) 2

−

+ = 4rekuensi natura'

2ζω i

Et = se'isih Faktu

2∆t 

G = rasi% redaman = 5 H

b1

=

b1 =

1

( ∆t )

2

−

2ζω 1 2∆t 

1

( 0!0"2 ) 2

−

2 × 0!05 ×1"!581 2 × 0!0"2

Analisa Dinamika Struktur

b1 = 5"9!5351rad  / det

1

=

b2

2

( ∆t )

−

2ζω 2 2∆t 

1

b2 =

( 0!0"2)

−

2

2 × 0!05 × 29!92 2 × 0!0"2

b2

= 531!2125 rad  / det

b3

=

1 2

( ∆t )

b3 =

−

2ζω 3 2∆t 

1

( 0!0"2)

−

2

2 × 0!05 ×38!205 2 × 0!0"2

b3 = 521!"113rad  / det

0

k 

=

1

( ∆t )

2

−

+ = 4rekuensi natura'

2ζω i

Et = se'isih Faktu

2∆t 

G = rasi% redaman = 5 H 0

k 1

1

=

( ∆t )

k 1 = 0

k 2

( 0!0"2)

2

+

2 × 0!05 ×1"!581 2 × 0!0"2

= 58"!251rad / det

=

k 2 =

k 2

2∆t 

1

0

k 1

2ζω 1

+

2

1

( ∆t )

2

+

2ζω 2 2∆t 

1

( 0!0"2) 2

+

2 × 0!05 × 29!92 2 × 0!0"2

= 602!5"" rad  / det

Analisa Dinamika Struktur

k 3

=

k 3 =

1

( ∆t )

2

+

2ζω 3 2∆t 

1

( 0!0"2) 2

+

2 × 0!05 × 38!205 2 × 0!0"2

k 3 = 612!355rad  / det