ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Jenis Matriks. 1. Matriks Nol (0): Matriks yang semua entrinya nol. Contoh: [
], [
]
2. Matriks Identitas (I): Matriks m x m dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain. Contoh: [
], [
]
3. Matriks Diagonal: Matriks yang semua entri selain diagonal utamanya adalah nol. Secara umum:
[
]
Contoh: [
]
4. Matriks Segitiga (triangle matrix) ada dua jenis: a) Matriks Segitiga Bawah (lower triangle matrix): Matriks persegi yang semua entri di atas diagonal utamanya adalah nol. Contoh:
[
]
b) Matriks Segitiga Atas (upper triangle matrix): Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya adalah nol. Contoh: [
]
5. Transpose Matriks: Jika A matriks berukuran m x n, maka transpose dari matriks A yaitu AT adalah matriks berukuran n x m yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom. Contoh: A=[
[
] maka AT = [
]
maka
[
] ,
]
Sifat Transpose Matriks: 1. (AT ) T = A 2. (A ± B) T = AT ± BT 3. (A B) T = BT AT 4. (kA)T = kAT 6. Matriks Simetris: Matriks persegi A disebut simetris jika A = AT Contoh:
E=[
] , D= [
]
7. Matriks Konjugasi (Conjugate Matrix) : Matriks yang entri nya merupakan complex conjugate dari matriks yang memiliki entri bilangan kompleks. Complex conjugate dari sebuah bilangan kompleks z = a + bj didefinisikan sebagai z* = a – bj Contoh: A=
maka A* =
8. Matriks Hermitian (Transpose Conjugate Matrix): Merupakan transpose dari matriks A dengan entri adalah complex conjugate dari entry A. Contoh: A=
maka AH = A*T =
9. Invers Matriks: Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A. Dituliskan juga B = A -1. Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers. Contoh: B =[
] adalah invers dari A = [
karena : AB = [ dan BA = [
][ ][
] ]
] [
[
]= I ]= I
Cara mencari invers khusus matriks berukuran 2x2: Jika diketahui matriks:
[
]
maka matriks A dapat dibalik jika determinan A yaitu ad – bc ≠ 0. Inversnya (A -1) dicari dengan rumus
[
]
[
]
Latihan: Carilah invers dari A = [
]
Penyelesaian: [
]
[
]
(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)
Sifat: Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka: AB dapat dibalik, yaitu (AB)-1 = B-1 A-1
10. Pangkat Matriks: Jika A adalah suatu matriks persegi, maka dapat didefinisikan pangkat
bulat tak negatif dari A sebagai: A0 = I, An = A A … A sampai n faktor dengan (n ≥ 0) Jika A bisa dibalik, maka dapat didefinisikan pangkat bulat negatif sebagai A-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1 sampai n faktor dengan (n ≥ 0) Jika A adalah matriks persegi dan r, s adalah bilangan bulat, maka: 1. Ar As = Ar+s 2. (Ar)s = Ars Sifat: 1. A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A 2. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, … 3. Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA dapat dibalik dan (
)
Teknik Matriks 1. Invers Matriks Diagonal Jika diketahui matriks diagonal : D = [
]
maka inversnya adalah: D-1 = [
]
maka pangkatnya adalah: Dk = [
]
2. Invers Matriks dengan Operasi Baris Elementer (OBE). Caranya hampir sama dengan mencari penyelesaian SPL menggunakan matriks (yaitu dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan) A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1 In dengan E adalah matriks dasar/matriks elementer (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE).
Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A-1. Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas I ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I]. Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I | A-1]. Contoh: Cari invers untuk A = [
]
Penyelesaian: (
|
)
b2 - 2b1 & b3 – b1 = (
|
)
b3 + 2b2 = (
|
)
– b3 = (
|
)
b1 - 3b3 & b2 + 3b3 = (
|
)
(
|
)
b1 – 2b2 =
Jadi A-1 =
Metode lain: ( )
( )
Determinan Matriks 2x2. Jika A adalah matriks persegi, determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah hasil kali entri diagonal utama dikurangi hasil kali entri diagonal balik. Jika diketahui matriks A berukuran 2x2:
[
Jika diketahui matriks
[
] maka det (A) = |A| = ad – bc
] maka det (A) = |A| = (2x5) – (3x4) = -2
Determinan Matriks berukuran 3x3 dicari dengan aturan Sarrus. ( )
[
( )
Determinan Matriks nxn (1) Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi kofaktor. A=[
] tentukan determinan A
Pertama buat minor dari = [
] = det M =
Kemudian kofaktor dari (
)
=(
x
adalah: )
x
Determinan Matriks nxn (2) Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda cij = ± Mij. Untuk membedakan apakah kofator pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan cij = (-1)i+j Mij.
[
]
Determinan Matriks nxn (3) Determinan matriks dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama A=[
]
Maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah: Det (A) =
[
]-
[
= ( )( = + + Determinan Matriks nxn (4) yoga _ Ex: Adjoint Matriks (1) _ Jika diketahui matriks 3x3 _ Kofaktor dari matriks tersebut adalah: c11=9 c12=8 c13=-2 c21=-3 c22=-1 c23=4 c31=-6 c32=-12 c33=3 _ Matriks kofaktor yang terbentuk 1/31/2012 16 Adjoint Matriks (2) beni _ Adjoint matriks didapat dari transpose matriks kofaktor, didapat: Invers Matriks nxn (1) _ Rumus: dengan det(A)¹0 _ Ex: Cari invers dari 1/31/2012 17 Invers Matriks nxn (2) adrianosi Penyelesaian: _ det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)2(1)(2)-(-2)(4)(3)-1(0)(-1) =3-7-0-4+24+0 =16 _ Adjoint A = _ Maka A-1 = Metode Cramer (1) yosia _ Digunakan untuk mencari penyelesaian SPL selain dengan cara eliminasi-substitusi dan eliminasi Gauss/Gauss-Jordan. _ Metode Cramer hanya berlaku untuk mencari penyelesaian SPL yang mempunyai tepat 1 solusi. 1/31/2012 18
]+
[
] )+
-
( -
) -
Metode Cramer (2) _ Diketahui SPL dengan n persamaan dan n variabel a11 x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2 ………………… an1 x1 + an2x2 + … + ann xn = bn dibentuk matriks Metode Cramer (3) helmi _ Syaratnya |A|¹0 _ Penyelesaian untuk variabel-variabelnya adalah: dengan |Ai| adalah determinan A dengan mengganti kolom ke-i dengan B. 1/31/2012 19 Metode Cramer (4) _ Ex: Carilah penyelesaian dari: 2x+3y-z = 5 x+2z = -4 -x+4y-z = 6
Soal _ Buktikan _ Buktikan 1/31/2012 20
Tugas _ Buat program untuk menghitung determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dengan bahasa C++ ! _ Input berupa ukuran matriks (harus persegi), elemen-elemen matriks, baris/kolom yang akan dijadikan patokan. _ Output berupa matriks yang bersangkutan dengan nilai determinannya. _ Dikumpulkan di
[email protected] paling lambat saat TTS ! Kuis _ Cari a,b,c agar simetris _ Cari invers dari _ Cari matriks diagonal A supaya _ Cari nilai x supaya
