Contenido 5 Estabilidad..................................... ......................................................... ........................................ ....................................... ........................ ..... 1
Unidad 5 ESTABILIDAD...... ESTABILIDAD.......................... ....................................... ....................................... ...................................... ....................... ..... 3 5.1 Criterio de Routh-hurwitz...... Routh-hurwitz.......................... ........................................ ............................................... ................................ ..... 3 5.2 Lugar geoetri!o de "a# rai!e# ....................................................................$ .
5.2.1 Reg"a# Reg"a# genera"e# %ara !on#truir !on#truir e" "ugar geoetri!o de "a# rai!e#............ rai!e#........ ....& & 5.2.2 Can!e"a!ion de "o# %o"o# !on ' !on !ero# ( ...........................................1) .
Unidad 5 ESTABILIDAD 5.1 Criterio de Routh-hurwitz. El número de raíces de en el semiplano derecho es igual al número de cambios de signo que se suceden en la primera columna del arreglo de Routh de dicho polinomio. Determina la localización de las raíces de un polinomio con coeficientes constantes y reales con respecto al semiplano derecho o izquierdo de Laplace. Puede ser aplicado a istemas !"# $!$"# y multilazos.
%plicación& Dada la '(L) del sistema&
*. e toma la ecuación característica del sistema&
+. e construye el arreglo de Routh&
Donde&
e in,estigan los signos de la primera columna del arreglo. Las raíces de la ecuación característica est-n todas en el semiplano izquierdo del plano s i& todos los elementos de la primera columna tienen el mismo signo. i eisten cambios de signo# el número de cambios de signo es el número de raíces con parte real positi,a/. E0emplo 1.*& )onsidere la ecuación característica& *2345s67 8 2 + 2 + 2 9 Procedemos a construir el arreglo de Routh& 4ay dos cambios de signo: por lo tanto# hay dos polos en el semiplano derecho. "bser,e que&
5.2 Lugar geoetri!o de "a# rai!e#
.
Este m;todo permite el dise
.1 nos muestra que la respuesta del tiempo tiende a ?.?@>@ p.u# lo que implica un error en r;gimen permanente del +1A con respecto a la entrada.
El primer paso es representar el %=R como un controlador proporcional B ,5s67Bp# cerrando el lazo de control y aumentado poco a poco el ,alor de B p podemos encontrar el ,alor de ganancia que hace que el sistema se ,uel,a oscilatorio. Este ,alor es aproimadamente 1?# y la respuesta en el dominio del tiempo se muestra en la figura >.C# donde tambi;n se puede obser,ar como a pesar de que el sistema se ,uel,e m-s oscilatorio al aumentar B p# el error permanente se reduce# y el comportamiento final del sistema tiende a comportarse similar a la tensión referencia.
La figura >.@# muestra el L3R del sistema donde se obser,a que la ganancia con la cual el sistema se ,uel,e inestable 5cruza el e0e imaginario6# es >@.+# que es un ,alor muy cercano a 1? mencionado anteriormente. )on un controlador proporcional# si aumentamos la ganancia tenemos oscilaciones y si la disminuimos# aumentamos el error permanente. Para e,itar esta situación se cambiara el %=R de un B p a un BP! 5controlador proporcional integral6# representado por la función de transferencia&
Donde& BP73anancia del controlador proporcional. B!73anancia del controlador integral.
Los par-metros del controlador se escogen de manera que BP se encuentre entre un inter,alo de ? a B # 5B& ganancia donde se inestabilidad el sistema6 en este caso B7 >@.+. El controlador B ! se encuentran entre ?.* y *? debido que en este inter,alo de ,alores se logra obtener un tiempo de retardo menor a ?.1 s 5tr 7 tiempo que dura la se# el resultado se puede ,er en la figura >.9# donde las oscilaciones tienden a amortiguarse y el error permanente se reduce casi totalmente. )on este controlador se obtiene un tr 7 ?.>>C s y un $ P 7 *+.1A# par-metros que se ,er-n afectados al final del dise
na ,ez dise.G# donde se obser,a como el -ngulo de apertura del polo en el semiplano derecho es de C?H. Para proporcionar un adecuado amortiguamiento este -ngulo de salida debe ser *9?H# por lo tanto se debe agregar *+?H de compensación en el lazo de realimentación del P.
Para compensar los *+?H necesarios se utiliza un filtro de segundo orden de adelanto de fase de la forma&
Para encontrar los par-metros del filtro# se hace uso de ecuaciones que nos permitan encontrar los ,alores correctos para B d# I# z# y p. Para a,eriguar I se usó la figura >.*?# que es la relación entre el Jm 5grados que deben ser compensados6 y el I. En la figura >.*? se indica utilizar dos filtros que compensen C?H cada uno# siendo I igual a *>
"tra forma de a,eriguar la ganancia I del filtro es mediante la fórmula @F.
)on lo que para un -ngulo de C?H se obtiene un I7*># que es igual al encontrado mediante la figura >.*?. El ,alor del cero y el polo del filtro se encuentra haciendo uso de las siguientes ecuaciones @F&
Donde Kc es la frecuencia de cruce por cero# igual a G.88 rads y I es la ganancia igual a *>. )on esto se encuentra que el cero debe ubicarse en s7M+.G> y el polo en s7M8>.G. 'alta por determinar el ,alor de la ganancia B d que suministre un amortiguamiento del *1A. Para esto se realiza el L3R de la función de transferencia desde la tensión de referencia hasta la salida del P# y se busca que la ganancia que proporcione el amortiguamiento deseado. Esta ganancia es aproimadamente ?.@C+# como se obser,a en la figura >.**.
Por lo tanto se tiene&
ustituyendo el controlador proporcional Bd5s6# por el obtenido en la ecuación >.@# y al cerrar el lazo de realimentación del P se obtiene la figura >.*+# donde se obser,a como el error permanente tiende a cero# y como la respuesta se amortigua r-pidamente con un sobrepaso m-imo de @.>A# aspectos que cumplen con los par-metros del dise.*8 y >.*> muestran como no solo se me0ora la salida = term# sino que tambi;n se amortigua adecuadamente las salidas K y Pe.
5.2.1 Reg"a# genera"e# %ara !on#truir e" "ugar geoetri!o de "a# rai!e#. Resumiremos las reglas y el procedimiento general para construir los lugares geom;tricos de las raíces del sistema de la figura +.1.8.
Primero# obtenga la ecuación característica
% continuación# ,uel,a a ordenar esta ecuación para que el par-metro de inter;s aparezca como el factor multiplicati,o# en forma
En estos an-lisis suponemos que el par-metro de inter;s es la ganancia B# en donde B N?. 5i B O ?# lo cual corresponde al caso de realimentación positi,a# bebe modificarse la condición de -ngulo.6 in embargo obser,e# que el m;todo toda,ía es aplicable a sistemas con par-metros de inter;s diferentes a la ganancia. *.
bique los polos y ceros de 35s6 54s6 en el plano s. Las ramificaciones del lugar geom;trico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros 5ceros finitos o ceros en infinito6. % partir de la forma factorizada de la función de transferencia en lazo abierto# ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. "bser,e que los ceros en lazo abierto son los de 53s6 54s6# en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de 53s6 y los polos de 54s6. "bser,e que los lugares geom;tricos de las raíces son sim;tricos con respecto al e0e real del plano s# debido a que los polos y ceros comple0os sólo ocurren en pares con0ugados. Encuentre los puntos inicio y fin de los lugares geom;tricos de las raíces y localice tambi;n el número de lugares geom;tricos de las raíces separados. Los puntos del lugar geom;trico que corresponde a B 7 ? son los polos en lazo abierto. Esto se aprecia a partir de la condición de magnitud# suponiendo que B tiende a cero# o que
Esta última ecuación implica que conforme B disminuye# el ,alor des debe tender a uno de los polos en lazo abierto. Por lo tanto# cada lugar geom;trico de las raíces se origina en un polo de la función de transferencia en lazo abierto 53s6 54s6. )onforme B tiende a infinito# cada lugar geom;trico tiende al cero de la función de transferencia en lazo abierto o al infinito del plano comple0o. Esto se aprecia del modo siguiente& si suponemos que B tiende a infinito en la condición de magnitud# entonces&
Por tanto# el ,alor de s debe aproimarse a uno de los ceros finitos en lazo abierto o a un cero en lazo abierto en infinito. i se incluyen los ceros en infinito en la cuenta# 53s6 54s6 tiene la misma cantidad de ceros que de polos.F na gr-fica del lugar geom;trico de las raíces tendr- tantas ramificaciones como raíces tenga la función característica. Dado que# por lo general# la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros# la cantidad de ramificaciones es igual a la de los polos. i la cantidad de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto# la cantidad de ramificaciones indi,iduales del lugar geom;trico de las raíces que terminan en los ceros finitos en lazo abierto ser- igual a la cantidad m de ceros en lazo abierto. Las n M m ramificaciones restantes terminan en infinito 5 n M m ceros implícitos en infinito 6 a lo largo de las asíntotas. í incluimos los polos y los ceros en infinito# la cantidad de polos en lazo abierto es igual a la de ceros en lazo abierto. Por tanto# siempre podemos plantear que los lugares geom;tricos de las raíces empiezan en los polos de 53s6 54s6 y terminan en los ceros de 53s6 54s6 conforme B aumenta de cero a infinito# en donde los polos y los ceros incluyen tanto aqu;llos finitos y en infinitos en el plano s. +.M Determine los lugares geom;tricos de las raíces sobre el e0e real. Los lugares geom;tricos de las raíces sobre el 0e real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre ;l. Los polos y los ceros comple0os con0ugados de la función de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares geom;tricos de las raíces sobre el e0e real# porque la contribución del -ngulo de un par de polos o ceros comple0os con0ugados es 8C?sobre el e0e real. )ada parte del lugar geom;trico de las raíces sobre el e0e real se etiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. %l construir los lugares
geom;tricos sobre el 0e real# seleccione un punto en ;ste. i la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar# este punto se encuentra en el lugar geom;trico de las raíces. El lugar geom;trico de las raíces y su firma complementaria alternan segmentos a lo largo del e0e real. 8.M Determine las asíntotas de los lugares geom;tricos de las raíces. i el punto de prueba s se ubica le0os del origen# se considera que no cambia el -ngulo de cada cantidad comple0a. Entonces# un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los efectos del otro. Por tanto# los lugares geom;tricos de las raíces para ,alores de s muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos -ngulos 5pendientes6 se obtengan mediante Qngulos de las asíntotas&
En donde n 7 número de polos finitos de 53s6 54s6 m 7 números de ceros finitos de 53s6 54s6 %quí# 7 ? corresponde a las asíntotas con el -ngulo m-s peque
i un punto de prueba se localiza le0os del origen# entonces di,idiendo el denominador entre el numerador# podemos escribir 53s6 54s6 como
Dado que la ecuación característica es
Puede escribirse como&
Para un ,alor grande de s la ecuación anterior se aproima mediante
i la abscisa de la intersección de las asíntotas y el e0e real se representa mediante s 7S a# entonces
" bien&
Debido a que todos los polos y ceros comple0os ocurren en pares con0ugados# S a siempre es una cantidad real. na ,ez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el e0e real# es f-cil dibu0ar las asíntotas en el plano comple0o. Es importante se.M Encuentre los puntos de desprendimiento y de ingreso. Debido a la simetría con0ugada de los lugares geom;tricos de las raíces# los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el e0e real o bien ocurren en pares comple0os con0ugados. i un lugar geom;trico de las raíces se ubica entre dos polos en lazo abierto adyacentes sobre el e0e real# eiste al menos un punto de desprendimiento entre dichos dos polos. %simismo# si el lugar geom;trico de las raíces esta entre dos ceros adyacentes 5un cero puede ubicarse en MT6 sobre el e0e real# siempre eiste al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. i el lugar geom;trico de las raíces se ubica entre un polo en lazo abierto y un cero 5finito o no finito6 sobre el e0e real# puede o no eistir puntos de desprendimiento o de ingreso# o bien pueden eistir ambos.
uponga que la ecuación característica se obtiene mediante
Los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso corresponden a las raíces múltiples de la ecuación característica. Por tanto# los puntos de desprendimiento y de ingreso se determinan a partir de las raíces de
En donde la prima indica una diferenciación con respecto a s. Es importante se
2 5uma de los -ngulos de ,ectores hacia el polo comple0o en cuestión desde los ceros6 %ngulo de llegada a un cero comple0o 7 *9? M5suma de los -ngulos de ,ectores hacia el cero comple0o en cuestión desde otro cero6 2 5uma de los -ngulos de ,ectores hacia el cero comple0o en cuestión desde los polos6 El -ngulo de salida aparece en la figura +.1.>
C.M Encuentre los puntos en los que los lugares geom;tricos de las raíces cruzan el e0e imaginario. Los puntos en los que los lugares geom;tricos de las raíces intersectan al e0e 0U se encuentran con facilidad por medio de& 5a6 el criterio de estabilidad de Routh# o 5b6 suponiendo que s 7 0U en la ecuación característica# igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despe0ando U y B. En este caso# los ,alores encontrados de U representan las frecuencias en las cuales los lugares geom;tricos de las raíces cruzan el e0e imaginario. El ,alor de B que corresponden a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce. @.M (omando una serie de puntos de prueba en la ,ecindad amplia del origen del plano s# trace los lugares geom;tricos. Determine los legares geom;tricos de las raíces en la ,ecindad amplia del e0e U y el origen. La parte m-s importante de los lugares geom;tricos de las raíces no est- sobre el e0e real ni en las asíntotas# sino en la parte de la ,ecindad amplia del e0e 0U y el origen. La forma de los lugares geom;tricos de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión. 9.M Determine los polos en lazo cerrado. n punto específico de cada ramificación del lugar geom;trico de las raíces ser- un polo en lazo cerrado si el ,alor de B en dicho punto satisface la condición de magnitud. Por otra parte# la condición de magnitud nos permite determinar el ,alor de la ganancia en B en cualquier ubicación de las raíces específicas sobre el lugar geom;trico. 6 si es necesario# se establece una graduación de los lugares geom;tricos en t;rminos de B. Los lugares geom;tricos de las raíces son continuos con B6. El ,alor de B que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar geom;trico de las raíces se obtienen a partir de la condición de magnitud# o bien
Este ,alor debe calcularse en forma gr-fica o analítica. i este problema de la ganancia B de la función de transferencia en lazo abierto# entonces# aplicando la condición de magnitud encontramos las ubicaciones correctas de los polos en lazo cerrado para un B determinado de cada ramificación de los lugares geom;trico de las raíces# mediante un enfoque de prueba y error o mediante $%(L%V# lo cual se presentara en la sección +.1.*.
)onfiguraciones comunes de polos y ceros y los correspondientes lugares geom;tricos de las raíces. Para concluir Esta sección mostramos la tabla +.1.*# que contiene ,arias configuraciones de polos y ceros en lazo abierto y los correspondientes lugares geom;tricos de las Wotas del )urso de )ontrol ! $. ). Xaime )id $on0araz *+ raíces. El patrón de los lugares geom;tricos de las raíces sólo depende de la separación relati,a de los polos y ceros en lazo abierto. i el número de polos en lazo abierto ecede el número de ceros finitos en tres o m-s# eiste un ,alor de la ganancia B m-s alldel cual los lugares geom;tricos de las raíces entran en el semiplano derecho del plano s y# por lo tanto# el sistema puede ,ol,erse inestable. n sistema estable debe tener todos sus polos en lazo cerrado en el semiplano izquierdo del plano s. "bser,e que# una ,ez que hemos adquirido cierta eperiencia con el m;todo# nos es f-cil e,aluar los cambios en los lugares geom;tricos de las raíces debidos a las modificaciones en el número y ubicación de los polos y ceros en la lazo abierto ,isualizando las gr-ficas de los lugares geom;tricos de las raíces que se producen de las di,ersas configuraciones de los polos y ceros.
5.2.2 Can!e"a!ion de "o# %o"o# !on ' !on !ero# (
.
i 35s6 contiene polos id;nticos a cero 45s6# al obtener la función de transferencia de lazo abierto se cancelar-n y no se tendr-n en cuenta a la hora de dibu0ar el lugar de las raíces. in embargo ese polo que se ha cancelado es un polo de la función de transferencia de lazo cerrado del sistema. Por lo tanto para obtener el total de los polos de lazo cerrado se ha de a
