REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA EXTENSIÓN MATURÍN
SISTEMAS DE CONTROL DE VARIAS ENTRADAS Y SALIDAS
Profesor:
Realizado por:
Ing. Daniel Porras
Br. Muñoz A. Alberto N
Semestre: IX Sección: Nocturno –DD
Maturín, Febrero de 2014
INTRODUCCIÓN En muchos procesos industriales el objetivo consiste en mantener más de una variable en su set-point o valor deseado. En este tipo de casos se dice que el problema de control es multivariable (lo cual implica que el número de variables a controlar puede ser 2 o mayor de 2). Para ejemplificar el control de sistemas multivariables se considera un reactor de tanque agitado con múltiples entradas y múltiples salidas donde supongamos que se desea controlar el nivel, la temperatura y la composición del efluente del reactor. Como potenciales variables manipuladas podemos emplear el flujo de la corriente de producto, la carga térmica del medio de calentamiento y el flujo los reactivos. En este caso es más o menos simple el proponer el siguiente “apareamiento" de lazos de control (por "apareamiento" entiéndase
la decisión de que variable manipulada controla a que variable controlada). En sistemas multivariables la interacción entre variables es el efecto más importante en el diseño y sintonización de lazos de control. Se dice que un proceso presenta interacción cuando una variable de entrada afecta a más de una variable de salida. Afecta quiere decir que la variable controlada se aleja de su set-point en virtud de cambios en la variable de entrada.
En la práctica en general se presentan muchas variables a controlar a la vez, que responden a los estímulos de distintas señales de entrada a la vez (Multiple Input – Multiple Output, MIMO). Por ejemplo, alcanza con que tengamos que controlar producción (en el sentido de cantidad producida) y calidad (en el sentido de composición) de un proceso para que tengamos al menos dos salidas. Un caso tan sencillo como una simple mezcla de corrientes implica un control MIMO:
Un tanque de flasheo también implica varias variables de entrada y de salida:
En forma esquemática
Si tenemos dos entradas y dos salidas
Para definir la dinámica del proceso son necesarias cuatro funciones de transferencia:
O en forma matricial
Y en forma general
Cuando intervienen varias variables se dan interacciones entre ellas. En general, para un problema con n variables podrían plantearse en principio !n interacciones. Volviendo a un sistema de 2x2, pueden identificarse dos tipos de “acoplamientos” entre la s señales:
Una alternativa es el acoplamiento 1 – 1 / 2 – 2
En este esquema de conexión puede identificarse un “lazo oculto” que
muestra la interconexión de los lazos más allá del esquema principal. Este lazo “oculto” tiende a desestabilizar a los otro s lazos y a hacer el ajuste más
difícil.
Supongamos que el controlador 2 se desconecta o se pone de modo que M2(s) = 0. Entonces
Pero en general
Y el segundo término es el término de interacción entre los dos lazos. Obsérvese que ambos lazos no pueden ser ajustados independientemente. La otra alternativa es el acoplamiento 1 – 2 / 2 – 1
Y pueden realizarse las mismas consideraciones que antes. Un sistema algo más complejo ya incrementa notoriamente el número de variables a controlar y manipular. Veamos por ejemplo un esquema (simplificado) de torre de destilación:
Variables a controlar: x D, xB, P, hD, hB Variables a manipular: D, B, R, Q D, QB En principio habría !5 = 120 posibilidades de vinculación, aunque algunas no son muy razonables desde el punto de vista físico (p.ej. es poco razonable querer controlar h B ajustando el flujo de destilado). Se torna
importante contar con una metodología para ordenar el trabajo. Una alternativa es la siguiente:
Método de las ganancias relativas (“relative gain array”) Se define como ganancia relativa entre dos variables i , j
Se construye la siguiente matriz de ganancias relativas
Consideremos el caso más simple, un sistema de 2x2:
Para calcular
Entonces
Por lo tanto
En resumen
como C 2 = 0,
Puede observarse que s i λ es próximo a 1 la interacción entre C 1 y M 1 es muy fuerte, mientras que el segundo bucle no ejerce gran influencia. Entonces la configuración preferida es la 1-1/2-2. Si λ es próximo a cero sería lo contrario y la configuración preferida sería 12/2-1. Las mayores interacciones entre los bucles se dan cuando λ = 0.5. Si λ > 1 al cerrar el segundo bucle se reduce la ganancia entre C 1 y M1;
el efecto es mayor a mayor λ. Si λ < 0 las ganancias de bucle abierto y de bucle cerrado entre C 1 y M1 son de distinto signo y por lo tanto no deben vincularse; el efecto es mayor a mayor valor absoluto de λ.
Variables de Estados Las variables de estado son el subconjunto más pequeño de variables de un sistema que pueden representar su estado dinámico completo en un determinado instante. Estas variables de estado deben ser linealmente independientes; una variable de estado no puede ser una combinación lineal de otras variables de estado. El número mínimo de variables de estado necesarias para representar un sistema dado, n, es normalmente igual al orden de la ecuación diferencial que define al sistema. Si el sistema es representado en forma de función de transferencia, el número mínimo de variables de estado es igual al orden del denominador de la función transferencia después de haber sido reducido a una fracción propia. Cabe destacar que al convertir una representación de espacio de estado a la forma de función de transferencia puede perderse información interna sobre el sistema, pudiendo por ejemplo describir un sistema como estable aun cuando la representación de espacio de estado indica que es inestable en ciertos puntos. En circuitos eléctricos, el número de variables de estado es a menudo, pero no siempre, igual al número de elementos almacenadores de energía, como bobinas y condensadores.
Espacio de Estados En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de
primer
orden
que
se
combinan
en
una
ecuación
diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último sólo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo). La representación de espacios de estado (también conocida como aproximación en el dominio del tiempo) provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. Con
entradas
y
salidas,
tendríamos
que
escribir
veces
la transformada de Laplace para procesar toda la información del sistema. A diferencia de la aproximación en el dominio de la frecuencia, el uso de la representación de espacios de estado no está limitado a sistemas con componentes lineales ni con condiciones iniciales iguales a cero. El espacio de estado se refiere al espacio de
dimensiones cuyos ejes coordenados
están formados por variables de estados. El estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio.
CONCLUSIONES
Los sistemas MIMO en general presentan interacción entre cada una de las salidas y sus diferentes entradas, existen, sin embargo, algunos sistemas que pueden ser modelados como sistemas de lazos múltiples independientes siempre y cuando exista dependencia fuerte entre cada salida y una única entrada, sin embargo, como fue analizado, el sistema puede ser modelado como un sistema multivariable de lazos independientes que es en general el análisis a seguir dentro de este trabajo. Cabe anotar que aun cuando se consideran lazos independientes, éstos interactúan entre sí, de tal forma que cada lazo ve al otro como una perturbación, por lo que si se logra un control exitoso, los resultados demostrarían además robustez en cuanto a las perturbaciones se refiere.
