VIBRACIONES DE SISTEMAS CON 2 GRADOS DE LIBERTAD 1.- INTRODUCCIÓN El estudio de las vibraciones con 2 gdl sirve como una introducción simple para tratar el comportamiento de sistemas con varios grados de libertad. Un sistema con 2gdl tendrá dos frecuencias naturales. Cuando la vibración libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y la configuración correspondiente en un modo normal. Los dos grados de libertad del sistema tendrán entonces dos modos normales de vibración correspondientes a las dos frecuencias naturales. La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos modos normales de vibración. Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurrirá a la frecuencia de excitación y la amplitud de las dos coordenadas tendera a un máximo, a las dos frecuencias naturales.
Modelo de sistema con 2 gdl.
Péndulo con base móvil. Sea el sistema discreto con 2 gdl de la Figura (a). En este caso tan sencillo, las ecuaciones diferenciales del movimiento pueden obtenerse aplicando a cada una de las masas el Principio de D’Alembert y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección del movimiento.
Llamemos x1 y x2 a los desplazamientos de cada una de las partículas a partir de su posición de equilibrio, medidos como positivos cuando están a la derecha. El muelle de la izquierda se ha estirado x1, el de la derecha se ha comprimido x2 y el central se ha deformado x2-x1. Las fuerzas sobre cada una de las partículas se indican en la figura. Sobre la partícula de la izquierda, se ejerce una fuerza hacia la izquierda –k1x1, y una fuerza hacia la derecha debido a la deformación del muelle central k2(x2-x1), suponemos que x2 es mayor que x1.
Sobre la partícula derecha, se ejerce una fuerza hacia la izquierda –k3x2 y otra fuerza hacia la izquierda debido a la deformación del muelle central –k2(x2-x1).
Así, teniendo en cuenta que la fuerza en el resorte y amortiguador centrales dependen de la posición y velocidad relativas entre ambas masas, estableciendo el equilibrio de fuerzas en dirección x (Fig. b) resulta:
Ecuaciones diferenciales, que no son independientes y constituyen un sistema ya que ambas incógnitas x1(t) y x2(t) aparecen en las dos, y pueden expresarse matricialmente:
También se puede escribir de forma más abreviada, con notación matricial: [ M ]{x} c{x } [ k ]{x} {F (t )}
Las matrices [M], [C] y [K], llamadas respectivamente matriz de inercia, matriz de amortiguamiento y matriz de rigidez, son simétricas, como se puede observar. Se observa, además, en este ejemplo que la matriz [M] es diagonal. Esta es una característica de los sistemas de parámetros discretos que no se presenta en muchas otras ocasiones. Si en la expresión las tres matrices [M], [C] y [K] fueran diagonales, las dos ecuaciones serían independientes o estarían desacopladas, siendo en tal caso resolubles cada una de ellas por las técnicas desarrolladas para los sistemas con 1 gdl. 2.- VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS. MODOS DE VIBRACIÓN La resolución del problema de vibraciones libres no amortiguadas permitirá la determinación de los parámetros modales característicos del sistema de dos grados de libertad: sus dos frecuencias naturales y sus dos modos naturales de vibración. Suponiendo que no hay fuerzas exteriores aplicadas al sistema y que los términos disipativos de energía son nulos, el sistema de ecuaciones del movimiento se reduce a m1 0 x1 k11 k12 x1 0 0 m x k 2 2 21 k22 x2 0
Donde: k11 = k1 + k2 ;
k22 = k2 + k3
La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales puede abordarse por distintos procedimientos. Estando interesados en la posibilidad de que el sistema realice un movimiento armónico síncrono, se supondrán, análogamente a como se hacía con sistemas de 1 gdl, soluciones de la forma:
x1(t) = X1eiωt , x2(t) = X2eiωt Sustituyendo estos valores y sus derivadas segundas se obtendrán dos ecuaciones: ( m1 2 k11 ) X 1 k 2 X 2 0 k 2 X 1 ( m2 2 k 22 ) X 2 0 Lo que constituye un sistema de ecuaciones en X 1 y X2. Para que dicho sistema tenga solución distinta de la idénticamente nula, se tendrá que cumplir que el determinante del sistema sea nulo. Desarrollando el determinante y ordenando, se obtiene una ecuación bicuadrática cuyas raíces son:
Si 12 y 22 son las dos soluciones de la ecuación, sólo podrá tener lugar movimiento armónico en estas dos frecuencias ω1 y ω2 que son las frecuencias naturales del sistema.
El sistema de dos ecuaciones en X1 y X2 puede ponerse, a su vez, en la forma:
Sustituyendo en cualquiera de estas expresiones los valores de 12 y 22 se determina la relación existente entre las amplitudes de los movimientos de las dos masas. Los movimientos síncronos que cumplen esta relación de amplitudes son armónicos, y reciben el nombre de modo natural de vibración. Hay dos modos naturales, ( X 11 , X 21 ) y ( X 12 , X 22 ), uno para cada frecuencia, 12 y 22 . Al desplazar el sistema de su posición de equilibrio según un modo natural y soltarlo, comenzará a oscilar libre y armónicamente a la frecuencia del modo. 3.- VIBRACIÓN ARMÓNICA FORZADA Consideremos un sistema excitado por una fuerza armónica F1senωt. Suponiendo que la ecuación de su movimiento es: m1 0
0 x1 k11 k12 x1 F1 sent m2 x2 k 21 k 22 x2 0
La solución es de la forma: x1 X 1 sent x2 X 2 Sustituyendo en la ecuación se tiene:
(k11 m1 2 ) X 1 F1 k12 k 21 (k 22 m2 2 ) X 2 0 De manera abreviada: X F Z ( ) 1 1 X 2 0 Premultiplicando a la ecuación anterior por Z ( ) 1 obtenemos: X 1 F1 1 Z ( ) X 2 0 Donde: Z ( ) m1m2 (12 2 )(22 2 )
(ω1 y ω2 son las frecuencias modales normales). Luego:
2 F k12 X1 1 (k11 m1 ) 2 k 21 (k 22 m2 ) 0 X 2 Z ( ) (k 22 m2 2 ) F X1 m1m2 (12 2 )(22 2 )
X2
k12 F m1m2 ( 2 )(22 2 ) 2 1
4.- ACOPLAMIENTO DE COORDENADAS Las ecuaciones diferenciales de movimiento para el sistema de dos grados de libertad están generalmente acopladas en el sentido de que las dos coordenadas aparecen en cada ecuación. En el caso más general, las dos ecuaciones tiene la forma: m11 x1 m12 x2 k11 x1 k12 x 2 0 m21x1 m22 x2 k 21 x1 k 22 x2 0
Que en forma matricial se expresa como: m11 m12 x1 k11 k12 x1 0 m 21 m22 x2 k 21 k 22 x2 0 Que inmediatamente revela el tipo de acoplamiento presente. Existe acoplamiento dinámico o de masa si la matriz de masas es no diagonal, mientras que existe acoplamiento estático o de rigidez si la matriz de rigidez es no diagonal. Es posible encontrar un sistema de coordenadas con ninguna forma de acoplamiento. Cada ecuación puede entonces ser resuelta independientemente. Tales coordenadas son las coordenadas principales (también llamadas coordenadas normales) Aunque es siempre posible desacoplar las ecuaciones de movimiento para el sistema no amortiguado, esto no es siempre posible en el sistema amortiguado 5.- VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS Para la vibración libre del sistema no amortiguado de dos grados de libertad, las ecuaciones de movimiento en forma matricial son: [ M ]{x} [k ]{x} {0}
Donde: m M 11 m21
m12 = matriz de masa o matriz de inercia (matriz cuadrada) m22
k12 k k 11 = matriz de rigidez (matriz cuadrada) k 21 k 22 x X 1 = vector desplazamiento (matriz de columna) x2
Si multiplicamos por M-1 tenemos:
AK 0 IX
Donde la matriz A es la matriz del sistema o la matriz dinámica puesto que define las propiedades dinámicas del sistema. Suponiendo movimiento armónico X X , con 2 , la ecuación anterior se vuelve: [ A I ]{ X } 0
La ecuación característica del sistema es el determinante igualado a cero: A I 0
Las raíces i de la ecuación característica son los valores propios y las frecuencias 2 naturales del sistema se determinan a partir de ellos por medio de la relación: i i Sustituyendo i en la ecuación matricial, obtenemos la correspondiente forma modal Xi que se denomina vector propio. Así, para un sistema con 2 grados de libertad, tendremos 2 valores propios y 2 vectores propios. 6.- PROPIEDADES ORTOGONALES DE LOS VECTORES PROPIOS Los modos normales, o los vectores propios del sistema, son ortogonales con respecto a las matrices de masa y de rigidez. Sea la ecuación para el modo i-ésimo: KX i i MX i …(1) Premultiplicando por la traspuesta del modo j ( X ' j ) : X ' j KX i i ( X ' j MX i ) …(2) Lo mismo con la ecuación para el modo j y premultlipicamos por ( X 'i ) X 'i KX j j ( X 'i MX j ) …(3) Como K y M son matrices simétricas, se cumplen las siguientes relaciones: X ' j MX i X 'i MX j …(4) X ' j KX i X 'i KX j …(5) Restando la ecuación (3) de la (2) obtenemos: 0 (i j ) X 'i MX j …(6) Si i j , entonces: X 'i MX j 0 …(7) También se tiene: X 'i KX j 0 …(8) Las ecuaciones (7) y (8) anteriores definen el carácter ortogonal de los modos normales. Finalmente, si i j , la ecuación (6) se satisface para cualquier valor finito de los productos dados por las ecuaciones. Entonces: X 'i MX j M i …(9) X 'i KX j K i …(10) Estas son la masa generalizada y la rigidez generalizada respectivamente. 7.- COORDENADAS NATURALES. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MODAL
Además de las coordenadas x1(t) y x2(t) empleadas para definir el movimiento del sistema, un cambio de coordenadas interesante es:
En forma matricial:
Donde se ha llamado matriz [X] a la matriz cuyas columnas son los modos naturales de vibración (matriz de modos). Introduciendo esta transformación de coordenadas en la ecuación matricial de movimiento del sistema y premultiplicando por [X]T:
Teniendo en cuenta las ortogonalidades y ortonormalidad resulta:
o bien, teniendo en cuenta que las matrices presentes son diagonales:
Estas dos ecuaciones son independientes, y puede cada una de ellas resolverse con los métodos estudiados para los sistemas con 1 gdl. A las coordenadas y1(t) e y2(t), definidas con este cambio de variable se les denomina coordenadas naturales, y en ellas las ecuaciones del movimiento están desacopladas. El método seguido a la hora de desacoplar las ecuaciones del sistema constituye la técnica de análisis modal. 8.- MATRIZ MODAL P Es posible desacoplar las ecuaciones de movimiento de un sistema con 2 gdl, siempre que conozcamos previamente los modos normales del sistema. La matriz modal para un sistema con dos grados de libertad esta dad por: x x P 1 1 [ X 1 , X 2 ] x2 1 x2 2
La matriz modal hace posible inducir todas las relaciones de ortogonalidad en una ecuación. Para esta operación necesitamos también la traspuesta de P, que es
1 xx 2},{ 1 P X1,[ X2]' 1 xx 2},{ 2 Con cada fila representando un modo. Si formamos ahora el producto P’MP o P’KP, el resultado será una matriz diagonal puesto que, los términos fuera de la diagonal expresan simplemente las relaciones de ortogonalidad, que son nulas. Realizando la operación indicada con la matriz moda, tenemos: P ' MP [ X 1 , X 2 ][ M ][ X 1 , X 2 ]'
X l MX 1 1l X 2 MX 1
X 1l MX 2 X 2l MX 2
0 M 1 0 M2 Los términos diagonales son la masa generalizada Mi Aplicando también con la matriz rigidez, se tiene: 0 K P' KP 1 0 K2
Los términos diagonales son la rigidez generalizada Ki Si cada una de las columnas de la matriz moda P se divide por la raíz cuadrada de la ~. masa generalizada Mi, la nueva matriz es la matriz modal reducida y se designa por P Se ve fácilmente que la diagonalizacion de la matriz de masa por la matriz modal reducida resulta una matriz unitaria.
~ ' MP ~I P 1
Como: M i K i i , la matriz de rigidez tratada similarmente por la matriz modal reducida se convierte en la matriz diagonal de los valores propios. ~ ' KP ~ 1 P 0
0 2
9.- AMORTIGUAMIENTO MODAL EN VIBRACIONE FORZADA Para un sistema amortiguado se tiene: [ M ]{x} c{x } [ k ]{x} {F (t )} …(1) Lo que da generalmente un conjunto de 2 ecuaciones acopladas para un sistema con 2 gdl.
~Y y premultiplicamos la ecuación (1) por la traspuesta de P (P’), Si hacemos X P obtenemos: P' MPY P' CPY P' KPY P' F ~ ' CP ~ ~ ' MP ~y P ~ ' KP ~ son matrices diagonales. En general P Hemos demostrado que P no es diagonal y la ecuación anterior esta acoplada con la matriz amortiguamiento. ~ ' CP ~ se diagonaliza, en cuyo caso Si C es proporcional a M o a K, es evidente que P podemos decir que el sistema tiene amortiguación proporcional. Entonces la ecuación… esta completamente desacoplada y su raíz i-ésima tendrá la forma: ~ yi 2 ii yi i2 yi f i (t ) Así, en lugar de 2 ecuaciones acopladas, se tiene 2 ecuaciones no acopladas similares al de un sistema con un grado de libertad. PROBLEMAS: P.1.- Determine las ecuaciones de movimiento y las frecuencias naturales y formas modales del sistema mostrado en la figura. Solución: 1) Relaciones cinéticas: Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas, y escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
2) Sumando y restando las dos ecuaciones diferenciales tenemos, la ecuación diferencial de un MAS.
Dos movimientos armónicos simples de frecuencias
Las soluciones de estas dos ecuaciones, son respectivamente
Ψa = x1 + x 2= Ψ0a sen(ωat+Φa) Ψb = x1 - x2 = Ψ0b sen(ωbt+Φb) Donde las amplitudes Ψ0a y Ψ0b y las fases iniciales ωa y ωb están determinadas por las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de cada una de las partículas. Despejando x1 y x2 de las dos ecuaciones anteriores tenemos
3) Condiciones iniciales: En el instante t = 0, las posiciones iniciales de las partículas son respectivamente x01 y x02. Las velocidades iniciales son cero. Las ecuaciones se transforman después de algunas operaciones en
4) Modos normales de vibración: El primer modo normal de vibración de frecuencia ωa se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en fase x01 es igual a x02. El muelle central no sufre ninguna deformación y por tanto, no ejerce ninguna fuerza sobre las partículas, las cuales se mueven como si no estuvieran acopladas.
El segundo modo normal de frecuencia ωb se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en oposición de fase x01 = -x02. Las ecuaciones del movimiento de cada oscilador se reducen a las siguientes.
P.2.- Escoja las coordenadas del desplazamiento de c y, θ para la rotación, de la barra uniforme mostrada en la figura. Determine las frecuencias naturales del sistema. Solución:
1).- D.C.L. (figura):
2).- Para la barra en equilibrio: a).- Relaciones cinéticas:
F
x
0 mg k s1 k s 2 0
mg s1 s 2 k
…(1)
l l 0 k s1 ( ) k s 2 ( ) 0 4 2 l l s1 ( ) s 2 ( ) …(2) 4 2
M
c
3).- Para el movimiento: l s1 ) 4 l k(x s2 ) 2
Fe1 k ( x Fe 2
a).- Relaciones cinéticas: l l mx mg k ( x s1 ) k ( x s 2 ) mx 4 2 l l mg kx k k s1 kx k k s 2 mx 4 2 l mg 2kx k k ( s1 s 2 ) mx 4 l mx 2kx k 0 4 l l l l M c I c k ( x 4 s1 )( 4 ) k ( x 2 s 2 )( 2 ) I l l2 l l l2 l kx k k s1 kx k k s 2 I 4 16 4 2 4 2
F
x
l 5l 2 l l k k ( s1 s 2 ) I 2 16 4 2 2 l 5l I kx k 0 2 16 kx
b).- Cálculo de las frecuencias naturales y formas modales: l k 0 4 l 5l 2 I kx k 0 2 16
mx 2kx
m 0
0 x 2k kl / 4 x 0 I c kl / 4 5 Kl / 16 0
2
(m.
5kl 1 ml 2 .2k ) 16 12 1 2 2m. ml 12
(m.
5kl 1 1 kl ml 2 .2k ) 2 4m. ml 2 . 16 12 12 4 1 2m. ml 2 12
P.3.- Las dos barras de la figura son de igual longitud pero de masas diferentes. Determine las ecuaciones de movimiento y las frecuencias naturales y formas modales usando métodos matriciales. Solución: 1) D.C.L.:
2).- Para la barra en equilibrio: a).- Relaciones cinéticas: Para (a):
M
l 3l 0 m1 g ( ) k1 ( s1 )( ) 0 2 4 2m1 g 3k1
o1
s1
Para (b):
M
l 3l l 0 m2 g ( ) k1 ( s1 )( ) k 2 ( s 2 )( ) 0 4 4 2
o2
3).- Para el movimiento:
3l1 3l 2 s1 ) 4 4 l Fe 2 k 2 ( 2 s 2 ) 2 Fe1 k1 (
a).- Relaciones cinéticas: Para (a): 3l1 3l 2 l 3l I o1 1 m1 g ( ) k1 ( s1 )( ) I o11 2 4 4 4 2 2 9l 1 9l 2 k1 k1 I o11 16 16
M
o1
Para (b):
M
o1
3l1 3l 2 l 3l I o1 1 m1 g ( ) k1 ( s1 )( ) I o11 2 4 4 4
3l1 3l 2 l l 3l l I o 2 2 m 2 g ( ) k1 ( s1 )( ) k 2 ( 2 s 2 )( ) I o 22 4 4 4 4 2 2 2 2 2 9l 1 9l 2 l 2 k1 k1 k 2 I o 22 16 16 4
M
o2
Acomodando: 9l 21 9l 2 2 I o11 k1 k1 0 16 16
9l 21 9l 2 2 l 2 2 k1 k1 k2 0 16 16 4 Luego, la forma matricial será: I o 22
9l 2 9l 2 k k 1 1 1 0 0 1 16 16 9l 2 l 2 2 0 I o 2 2 9l 2 k1 ( k1 k 2 ) 16 4 16
I o1 0
P.4.- La figura muestra un sistema no amortiguado de dos grados de libertad. Asumiendo pequeños ángulos de oscilación, obtenga la ecuación de movimiento del sistema. Solución: 1) D.C.L.:
2) Relaciones cinéticas: a).- Para (a):
F
mx 2kx1 m1 x1
x
x1
2kx1 0 m1
b).- Para (b):
F
y
0 T cos m2 g
T
m2 g cos
F
x
m 2 x2 Tsen m 2 x2
m 2 g .Tg m2 x2 x2 g 0
Como: x2 x1 l ( x1 l) g 0
x1 g 0 l l
P.5.- Determine las frecuencias naturales del sistema mostrado en la figura, asumiendo que al cuerda que pasa encima del cilindro no se desliza.
Solución:
1) D.C.L.:
2) Relaciones cinéticas: a).- Para (a):
F
x
mx m1 g k1 (r s1 ) k 2 ( x r s 2 ) m1 x
m1 g k1 r k1 s1 k 2 x k 2 r k 2 s 2 m1 x
k1 r k 2 x k 2 r m1 x
a).- Para (b):
M
o
I o m1 gr k1 (r s1 )r k 2 ( x r s 2 )r I o
m1 gr k1 r 2 rk1 s1 k 2 xr k 2 r 2 k 2 s 2 r I o k1 r 2 k 2 xr k 2 r 2 I o
Acomodando se tiene: m1 x k1 r k 2 x k 2 r 0 I o k1 r 2 k 2 xr k 2 r 2 0
Donde: I o
1 m0 r 2 2
La forma matricial será :
m1 0
0 x k r (k k ) x 0 1 2 2 1 m0 r k 2 r (k1 k 2 ) 0 2
3) Calculo de las frecuencias naturales: 1 1 1 (m1 r.( k1 k 2 ) m0 r.k 2 ) 2 4m1 .( m0 r ).(k1 k 2 ) m0 r .k 2 ) 2 2 2 2 1 1 2m1 .( m0 r ) 2m1 .( m0 r ) 2 2 k (k k 2 ) 1 k 2 2k1 2k 2 2 2k1k 2 2 2 1 ( ) 2m1 m0 4 m1 m0 m0 m1 m0 (m1 r.( k1 k 2 )
P.6.- La siguiente figura muestra un péndulo doble. Determinar las frecuencias naturales de oscilación cuando m1 = m2 = m y L1 = L2 = L
Solución: Tomando momentos respecto a la masa 1 y al punto O:
Para pequeños ángulos de oscilación, senθ = θ, entonces las ecuaciones del movimiento quedan de la forma:
Las soluciones de estas dos ecuaciones, son respectivamente:
Derivando dos veces respecto al tiempo las ecuaciones anteriores y reemplazando en las ecuaciones diferenciales se tiene:
Efectuando: Resolviendo la ecuación se obtienen:
P.7.- Encuentre las frecuencias naturales del sistema que se muestra en la siguiente figura, si: k1 = k2 =k3 = k, m1 = m2 = m, r1 = r2 = r y J1 = J2 = J Solución: 1) D.C.L.:
2) Relaciones cinéticas:
Donde: J1 = J2 = (1/2)mr2 son los momentos de inercia de los cilindros. Reordenando las ecuaciones anteriores se tiene:
3) Cálculo de las frecuencias naturales: -El movimiento se compone de dos movimientos armónicos simples. Luego se tiene:
-Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales:
-Sustituyendo k1 = k2 =k3 = k , m1 = m2 = m, r1 = r2 = r y J1 = J2 = J en las dos ecuaciones anteriores:
-La solución de las dos ecuaciones anteriores se obtiene igualando a cero el determinante de los coeficientes A y B:
-Efectuando:
-Resolviendo la ecuación bicuadrática se obtienen:
P.8.- Para el siguiente sistema de dos grados de libertad dado en la figura, determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento usando las coordenadas x1 y x2 para las masas m y 2m. (b) El modo normal de las frecuencias.
Solución: 1) D.C.L.
2) Relaciones cinéticas:
Donde:
Para la ecuación de momentos:
3) calculo de las frecuencias naturales y los modos normales: -Escribiendo las dos ecuaciones diferenciales en forma de matrices:
-Sea:
2m , y comparando el determinante de la matriz del coeficiente en la k
ecuación anterior:
-Resolviendo: 1 0.658
(b): Los modos normales son: X1 1 2 X 2 (1 ) X1 0.921 X 2 1 1 X1 2.17 X 2 2 1
P.9.- Determine el estado de equilibrio amortiguado de las vibraciones forzadas de las masas m1 y m2 del sistema de dos grados de libertad mostrado en la figura, asumiendo que las constantes de rigidez de los resortes son k1 = k2 = 1N/m, m1 = m2 = 1kg, ω=1 y la constante de amortiguamiento del aire es c = 1N-m/seg.
Solución: Las ecuaciones de movimiento son:
Reemplazando F0 cos t F0 e it , x1 X 1e it , x 2 X 2 e it , ω=1:
Reemplazando k1 = k2 = 1N/m, m1 = m2 = 1kg y c = 1N-m/seg.
Resolviendo X1 y X2, se tiene:
Por lo tanto:
Luego, se tiene:
P.10.- Determine las frecuencias naturales del sistema mostrado en la figura. Considere a la polea como un cilindro sólido. m1 =m, m2 =2m, r1 = r2 /2
Solución: 1) D.C.L.:
2) Relaciones cinéticas:
F m x k ( x r ) m x 1 M o I o kr2 ( x r2 ) kr1 2 m2 r22 x
1
1
2
1
3) Reemplazando: m1 =m, m2 =2m, r1 = r2 /2 y asumiendo un movimiento armónico con frecuencia ω:
k m 2 x 0 2kr1 2 2 2 2 kr ( 5 kr 4 mr ) 1 1 1 0 Efectuando: 2
2
2
2
2
4m 2 r1 4 4kmr1 2 5kmr1 r 2 5k 2 r1 4k 2 r1 0 4 4 9
k 2 k2 2 0 m m
Resolviendo: 2
1 0.1172 k / m 2 2 2.1328k / m REFERENCIAS: Thomson William T. “Teoria De Vibraciones: Aplicaciones” Balachandran Balakumar. “Vibraciones”. Rao V. Dukkipati, Srinivas Dukkipati, J. Srinivas “Textbook Of Mechanical Vibrations” http://www.imac.unavarra.es/web_imac/pages/docencia/asignaturas/emyv/pdfdoc/vib/vi b_2gdl.pdf http://www.dance-net.org/files/material/dd2006_JCLG.pdf http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/acoplados/acoplados.html
