Unidad 5 Sistemas de Varios Grados de Libertad

Unidad 5 Sistemas de varios grados de libertad 5.1 Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad cuando se requieren dos coordenadas para describir su movimiento. Tal Tal sistema ofrece una introducción simple al estudio del comportamiento de sistemas con varios grados de libertad. Un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales. Cuando la vibración tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, eiste una relación de!nida entre las amplitudes de las dos coordenadas ", la con!guración correspondiente es un modo normal. #os dos grados de libertad entonces tendrán dos modos normales de vibración, correspondientes a las dos frecuencias naturales. #a vibración libre iniciada ba$o cualquier condición será en general la superposición de los dos modos normales de vibración. Sin embargo, la vibración armónica for%ada ocurrirá a la frecuencia de ecitación " la amplitud de las dos coordenadas tendera a un máimo, a las dos frecuencias naturales. Consideremos el sistema no amortiguado de la !gura. Usando coordenadas &1 " &' medidas desde una referencia inercial, las ecuaciones diferenciales de movimiento para el sistema son( m x´ 1=−k ( x 1− x 2 )− k x 1

´ =k ( x  x − x )− kx

2 m x 2

1

2

2

)e!nimos a*ora un modo normal de oscilación como uno en el cual cada masa eperimenta un movimiento armónico de la misma frecuencia, pasando simultáneamente por la posición de equilibrio. +ara tal movimiento podemos escribir(

iωt 

 x 1= A 1 e

iωt 

 x 2= A 2 e

Sustitu"endo en las ecuaciones diferenciales tenemos(

( 2 k − ω m) A −k A =0 2

1

2

−k A + ( 2 k −2 ω m ) A =0 2

1

2

ue se satisfacen para cualquier - 1 " -' si el determinante es cero

|

( 2 k −ω m ) 2

|

−k  =0 ( 2 k −2 ω m) 2

−k 

aciendo /'0, el determinante de arriba conduce a la ecuación caracter2stica(

( ) ( )

2

3  k  k   λ − 3  λ + =0 m 2 m 2

#as ra2ces de esta ecuación son(  λ1=

(

3

 λ2=

(

3

2

2

1

− √ 3 2

1

+  √ 3 2

)

)

k   k  = 0.6339745962 m m

 k  k  =2.366025404 m m

 3 las frecuencias naturales del sistema son( ω1 =√  λ1=

ω2 =√  λ2=

√

0.634

k  m

√

2.366

k  m

Si sustituimos estas frecuencias naturales en las ecuaciones diferenciales nos permite *allar la ra%ón de las amplitudes. +ara / 1'04.667 89m obtenemos(

(1)

( )  A 1  A 2

=

1 k  = =0.7320508076 2 2 k − ω1 m 2 −0.6339

ue es la ra%ón de amplitudes o la forma modal correspondiente al primer modo normal. -nalógicamente usando / ''0'.64' 89m obtenemos( (2)

( )  A 1  A 2

=

k  1 = =−2.732050808 2 2 k − ω2 m 2 −2.366

+ara la forma modal correspondiente al segundo modo normal. +odemos representar los dos modos normales grá!camente como en la !gura. :n el primer modo normal las dos masas se mueven en fase; en el segundo modo normal las masas se mueven en oposición o fuera de fase.

:$emplo :n la !gura los dos p
Suponiendo que los despla%amientos angulares contrarrelo$ son positivos ", tomando momentos con respecto a los puntos de suspensión, obtenemos las siguientes ecuaciones de movimiento para oscilaciones peque=as( 2 2 ml θ´ 1=−mglθ1− ka ( θ1−θ2 )

2 2 ml θ´ 2=−mglθ 2+ ka ( θ1− θ2 )

:studiando soluciones de modo normal de la forma( θ1= A 1 cos ωt  θ2= A 2 cos ωt 

Se encuentra que las frecuencias naturales " las formas modales son(

√

√

(1)

 A 1  A 2

2

 g  g k  a ω1 = ω2=  + 2 l l m l2 (2)

( ) = ( ) =−  A 1  A 2

1.0

1.0

-s2, en el primer modo, los dos p