Sistemas con dos grados de libertad.: Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Sistemas con dos grados de libertad. 1.- Deduzca la ecuación de movimiento del sistema mostrado. El cilindro circular tiene una masa “m” y un radio “r” y rueda sin deslizar dentro de la acanaladura circular de radio “R”. R K

K M

2.- Dos péndulos idénticos están rígidamente unidos a los extremos de un eje, el cual tiene una rigidez torsional “K”. Las masas de los discos d e los péndulos son iguales a “m” y la longitud de las varillas (Que son rígidas y sin peso) es”L”. S uponiendo que el eje descansa sobre un cojinete sin fricción, deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema. 2 Resp. mL θ 1 + ( mgL +  K )θ 1 − K θ 2 = 0

2 + ( mgL +  K )θ 2 − K θ 1 = 0 mL θ  2

K

1

2

L

m

m

L

m

m

3.- Deduzca la ecuación de frecuencia del sistema. El peso de las poleas se supone despreciable 4 2 Resp. ( m1 + m2 )ω  − ( K 1m2 +  K 2 m1 + 4 K 2 m2 )ω  +  K 1K 2 = 0

K1

m1 K2 m2

“Apéndice B” Página: 185

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 4.- Un bloque rectangular de masa “m” está soportado por medio de cuatro resortes colocados en sus esquinas. Determine la ecuación de frecuencia, si únicamente es permitido el movimiento en el plano vertical. 4 2 2 2 2 Resp.  J 0 mω  − ( 2 K  x J 0 + 2 K  x mh + 2 K  y mb )ω  + 4 K  x K  y b = 0

2b Kx

Kx

h Ky

Ky

5.- Una varilla rígida sin peso que tiene dos masas “m” fijas en sus extremos, está unida a dos resortes. Deduzca una expresión para la ecuación de frecuencia del sistema. 4 2 Resp.  J 0 mω  − ( K 1 +  K 2 ) J 0 + ( K 1 L1 +  K 2 L2 ) mω  +  K 1 K 2 ( L1 + L2 ) = 0 2

K1

K2 O

m

L1

m

L2

6.- Suponiendo que la varilla de conexión no tiene peso, determine las frecuencias de oscilación del sistema mostrado. Resp.

ω 1

=

 K  m

,

ω 2

=

 K  rad    seg    2m 

K

K

K

K

m

m

“Apéndice B” Página: 186

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 7.- Calcule las frecuencias naturales del sistema. Resp.

ω 1

= 1.96

 K  m

,

ω 2

= 2.16

 K  rad    seg    m

K

K

m

K

K

m

K

K

K

lb −  seg 2   , calcule  x ( t ) ∧  x ( t ) para las  K 1 = 200 ∧  K 2 = 400lb 8.- Si m1 = m2 = 1 , 1 2   p lg    p lg   siguientes condiciones iniciales: a)  x1 ( 0 ) = 0.3 ,  x1 ( 0 ) = 0 ,  x2 ( 0 ) = 0 ,  x 2 ( 0 ) = 0  b)  x1 ( 0 ) = 0.3 ,  x1 ( 0 ) = 0 ,  x2 ( 0 ) = 0 ,  x 2 ( 0 ) = 5 Resp. a)  x1 ( t ) = 0.114 cos( 9.37t ) + 0.186 cos( 30.2t )  x2 ( t ) = 0.145 cos( 9.37t ) − 0.145 cos( 30.2t ) o o  b)  x1 ( t ) = −0.117 cos( 9.37t  + 167 ) − 0.186 cos(30.2t  − 177 )

 x2 ( t ) = −0.149 cos( 9.37t  + 167 o ) + 0.145 cos( 30.2t  − 177o )

K1

m1

K2

m2

9,- Un péndulo doble está unido a cuatro resortes de igual rigidez. Encuentre sus frecuencias por  medio de la ecuación de Lagrange, para ángulos de oscilación pequeños. Resp.

ω 1

=

2 K 

m

+

3.12 g 

 L

,

ω 2

=

2 K  m

+

0.58 g  rad    seg   L 

“Apéndice B” Página: 187

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L K

K m

L K

K m

10.- Un bloque de masa “M” se mueve a lo largo de un plano horizontal liso y conduce un  péndulo simple de longitud “L” y una masa “m” como se muestra en la figura. En el punto “A” están unidos al péndulo dos resortes iguales de módulo “K”. Determine las ecuaciones de movimiento del sistema para pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio, utilizando la ecuación de Lagrange. Resp. ( M  + m ) x  + 2 Kx + mLθ  + 2aK θ  = 0

 + ( mgL + 2 Ka 2 )θ  + mL x + 2aKx = 0 mL2θ  M

a K

K  A m

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