Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Sistemas de control I Trabajo Final “Sistema de control de un cooler” Profesores: Mathe, Ladislao Cáceres, Óscar Alumnos: Cervetto, Rodrigo Reyes, Leandro Calificación:
Introducción: El objetivo del siguiente trabajo es la modelación matemática de un sistema físico y la simulación de su funcionamiento. Para la realización del sistema, se pondrán en práctica las herramientas necesarias y los métodos aprendidos además de los conceptos teóricos vistos durante el cursado de esta materia. Nuestro problema a desarrollar se basa en el enfriamiento de un chip que genera calor mientras está en funcionamiento, a través de un cooler, cuya función es mantener al chip en una temperatura ambiente para evitar el sobrecalentamiento del mismo. El cooler será controlado por un motor de corriente continua de 12V, cuyas especificaciones serán detalladas más adelante.
Modelo matemático: Para comenzar con la modelación matemática del sistema, partimos de nuestro motor de corriente continua cuyo circuito está representado en la siguiente imagen:
Un motor de corriente continua es una máquina que convierte energía eléctrica en energía mecánica. A partir de la siguiente ecuación que se obtiene fácilmente aplicando la Ley de Ohm, podemos comenzar a modelar el motor: e a (t)=Ri (t)+L
donde
e a (t)
di ( t ) +e b (t) dt
es la tensión aplicada al motor e
que circula por el mismo.
R
y
L
i (t ) , la corriente
representan la resistencia e
inductancia eléctrica del motor respectivamente. Además,
e b (t)
es la fuerza contra-electromotriz generada en el rotor que se produce debido a la tensión aplicada respondiendo a la Ley de Lenz. Esto queda expresado en la siguiente ecuación: e b (t)=k m ω(t ) ω( t)
es la velocidad angular del eje del motor y k m la constante
de la fuerza contra-electromotriz. Ahora, analizando la mecánica en el eje del motor, podemos deducir la siguiente expresión:
τ m =J
dω (t) + τ L + Bω(t) dt
Allí, J
es el momento de inercia del rotor y
fricción (sin carga).
τL
B
, la constante de
es el par de carga (que consideramos
nula). Por otra parte, la relación entre el par desarrollado por el motor y la corriente de armadura es directamente proporcional: τ m (t)=k i i(t)
en la cual
ki
es la constante del par.
Teniendo estas ecuaciones, al unirlas y transformarlas al dominio de Laplace obtenemos lo siguiente: Ea ( s )=RI ( s ) + sLI ( s ) + k m Ω(s) k i I ( s )=sJ Ω ( s ) + BΩ( s)
Acomodamos convenientemente la segunda ecuación poniéndola en función de Ω ( s ) : I ( s )=
sJ + B Ω(s ) ki
Reemplazando ésta en la primera y operando, obtenemos la función de transferencia del motor: ki Ω(s) = 2 E a ( s ) ( JL ) s + ( JR+ LB ) s+(BR+k i k m ) R =1.17 Ω L =0.58 mH
J
=1.62x
−6
10
kg m2
B =0.0025 Nms
k i =0.011 Vs km
=0.011
Nm A
Finalmente, el diagrama de bloques del motor queda de la siguiente manera:
Por este bloque, ingresa tensión (12V) y entrega rps (revoluciones por segundo). A continuación, aproximamos la respuesta del flujo de aire a la velocidad que nos entrega el motor. El máximo flujo de aire es de 0.43
m3 min , dato proporcionado por el fabricante del cooler. Por
otro lado, la velocidad angular máxima es de 43.5 rps (fíjese que no sobrepasa los 50 rps que es la velocidad angular máxima que soportaría nuestro cooler). Además, el área por donde pasa el flujo de aire es de 0.0037
m
2
. De esta manera, por condiciones
de diseño, suponemos que la velocidad lineal del aire que sale de este bloque llega al 63% a los 3 segundos.
La transferencia de calor utilizada para nuestro problema se da exclusivamente por convección. Ésta se produce por medio de un fluido que transporta calor entre zonas con diferentes temperaturas. Para relacionar la velocidad del aire con el calor disipado por nuestro cooler, utilizamos una función lineal obtenida del siguiente gráfico:
Tomamos los puntos (0,0) y (10,5) ya que nuestro rango de trabajo se encuentra en ese intervalo. Utilizando las unidades del Sistema Internacional (SI), llegamos a la siguiente expresión: h ( t ) =k h v (t ) H ( s )=k h V (s) k h =2092
J m ℃ 3
Prosiguiendo, la ecuación de transferencia de calor por convección es la siguiente:
dQ(t) =h ( t ) A ∆ T dt
la cual transformada a Laplace queda: sQ ( s ) =H ( s ) A ∆ T Q(s) 1 = A∆T H (s) s
De esta manera obtenemos nuestros siguientes dos bloques:
Para pasar de calor a temperatura, utilizamos la siguiente ecuación de calor que las relaciona linealmente: Q (t )=mCe ∆ T (t) ∆ T ( s) 1 = Q(s) mCe
donde el calor específico del aire lo consideramos constante y su valor es 1012 simple cálculo: m=∂ V
∂ =1.2
kg m3
J kg ℃ . La masa del aire podemos obtenerla con un
−4 3 V=1.015x 10 m
Por último, utilizamos un LM35, el cual es un sensor de temperatura que relaciona linealmente la temperatura medida con la tensión. En este caso, la relación es de 0.010
V ℃ .
Suponemos además que en 0.8 segundos llega al 63% antes de estabilizarse ya que el sensor debe detectar rápidamente la variación de temperatura. Justo antes de este bloque, utilizamos un acondicionador ya que en un principio habíamos considerado el calor disipado por el cooler como positivo y el calor generado por el chip, negativo, todo referenciado desde una variación de temperatura de 0 ℃ (la temperatura ambiente es igual a la temperatura del chip).
Además, se encuentra otro acondicionador para llevar la tensión que entrega el sensor al orden de los 12V con el que alimentamos el motor. Nuestro esquema final sin compensar quedaría representado de la siguiente manera:
Nuestra función a lazo abierto sería:
−6
5.645 ×10 TFOL= −9 5 −6 4 2.255 ×10 s +8.033 ×10 s +0.007323 s3 +0.01158 s2 +0.003046 s
Función de transferencia lazo abierto:
TFOL=
5.645 ×10−6 −9 5 −6 4 3 2 2.255 ×10 s +8.033 ×10 s +0.007323 s +0.01158 s +0.003046 s
De la forma zpk: TFOLzpk=
2503.1 2 6 s( s+1.25)( s+0.3333)(s +3560 s+3.242 ×10 )
Los polos son los siguientes: p1=0 p2=−0.33
p3=−1.25 p4 =−1780.2+269.4 і p5=−1780.2−269.4 і
El lugar de raíces de la función de transferencia a lazo abierto:
Y aquí veremos mejor los polos cercanos a cero:
Su diagrama de bloques es:
En los siguientes gráficos utilizamos como entrada un escalón de 12, que representa los 12V de corriente continua con que se alimenta el motor. Variación de temperatura ( ℃ ) en función de tiempo (segundos):
Como podemos observar, la variación de temperatura
∆T
aumenta de manera constante a medida que transcurre el tiempo. El chip iría aumentando su temperatura a gran escala. El error de régimen de la temperatura es infinito porque aumenta el ∆ T
aumenta de manera constante.
Transferencia de calor (Joule) en función del tiempo (segundos):
El error de régimen es de aproximadamente 1W.
Función de transferencia lazo cerrado:
TFCL=
0.0005416 s +0.0005645 2.255 ×10 s +8.033 ×10 s +0.007323 s3 +0.01158 s 2+ 0.003046 s+6.774 ×10−5 −9 5
−6 4
De la forma zpk: TFCLzpk =
2.0025 ×10−5 (s+1.25) (s +1.258)(s +0.3009)(s +0.02448)(s 2+ 3560 s+3.242 ×10−6)
Los ceros y polos son los siguientes: c 1=−1.25 p1=−1780.2+ 269.4 i p2=−1780.2−269.4 i p3=−1.258 p4 =−0.3009 p5=−0.0245
Los polos dominantes son
p4
y
p5
Ecuación característica: 2.255 ×10−9 s 5+ 8.033 ×10−6 s 4 +0.007323 s3 +0.01158 s2 +0.003046 s+6.774 × 10−5=0
El diagrama de bloques de la función de transferencia de lazo cerrado:
Variación de temperatura ( ℃ ) en función de tiempo (segundos):
El error a régimen permanente en la variación de temperatura es de aproximadamente 6.5
℃
por encima de la temperatura
ambiente. Este valor, comparado a los 130
℃
que admite el
chip es muy pequeño. Además es improbable que el ambiente donde se trabaje alcance una temperatura ambiente de 120
℃ .
Considerando también que el tiempo de establecimiento de la temperatura es aproximadamente de minuto y medio, nuestro sistema no precisaría de un compensador. Transferencia de calor (Joule) en función del tiempo (segundos):
Por otra parte, el error de régimen permanente del calor es 0.
Respuesta en frecuencia:
Analizando el diagrama se pueden ver los siguientes parámetros: Margen de Ganancia: 73.8dB Margen de Fase: 67.9º
A continuación se muestra el diagrama de Nyquist
Anexos: Cooler
Motor DC
Script: Ki = 0.011; Km = 0.011; R = 1.17; L = 0.58e-3; J = 1.62e-6; B = 0.0025; r = 0.03429; A = pi*(r^2); h = 0.027432; m = 0.0071; Ce = 1012; T = 80; G = tf(Ki,[(J*L) ((J*R)+(L*B)) ((B*R+Ki*Km))]); H = tf([0.46/(60*43.5*A)],[3 1]); g1 = 2092; g2 = A; g3 = tf(1,[1 0]); g4 = 1/(m*Ce); sen = tf(0.01,[0.8 1]); FTOL = G*H*g1*g2*g3*g4*sen; FTCL = feedback(G*H*g1*g2*g3*g4,sen*12);
