Similitud de Froude en flujo con superficie libre
En flujos con superficie libre y ningún efecto de la compresibilidad, si la superficie es amplia, la influencia de tensión es despreciable. Al pasar a considerar los fluidos reales entra en juegos los esfuerzos cortantes y en consecuencia, la similitud dinámica debe incluir, además de Froude, a Reynolds. En numerosas situaciones de flujo con superficie libre las fuerzas cortantes son pequeñas con relación a las de gravedad, y satisfaciendo la constante de Froude se logra una similitud dinámica aceptable. El caso del flujo sobre un vertedero o aliviadero de una presa es un caso típico de lo dicho anteriormente, como también lo es la resistencia al movimiento de un barco, donde el oleaje sea la cusa predominante. En estos casos se tiene: Fp = Fm
; ;
Se ha identificado dos aceleraciones de gravedad aceptando el caso, no usual, donde el modelo se construya en un lugar de diferente gravedad del prototipo. Cuando, por ejemplo, un barco tiene una forma hidrodinámica (más resistente de superficie y menos de forma) o el vertedero es bajo y de lámina vertiente, el efecto del número de Reynolds no puede descartarse.
Ejemplo Un modelo de un aliviadero de lámina vertiente de una presa que funciona con agua, se construye a escala 1:40, cuando el gasto en el modelo es 100 lps, la altura H m de agua sobre la cresta es de 20 cm. ¿Cuáles serán el gasto y la altura respectiva del prototipo? ¿Cuál será la presión en el pie del aliviadero, si en el punto equivalente del modelo es 0,25 kg/cm 2? Considere similitud de Froude, la aceleración de gravedad constante y una longitud de aliviadero en el prototipo de 45 m. Solución: de acuerdo con la similitud de Froude se tendrá
De acuerdo con la ecuación de la continuidad:
O sea que Las alturas de agua se relacionan con longitudes que son:
√
La fórmula de desagüe del aliviadero es la de un vertedero, o sea:
Donde L es la longitud del aliviadero; en consecuencia:
=1
La presión se obtendrá igualando los números de Euler.
Como
(agua ambos) se tiene:
Similitud para números de Reynolds altos
Cuando el número de Reynolds tiende a infinito, la distribución de velocidades sólo depende de la rugosidad absoluta. Dicha distribución viene dada por:
Esta ecuación puede aplicarse a partir de que k > 6 δ’, donde δ’ es el espesor de la subcapa laminar y es a partir de ese valor donde la superficie comienza a comportarse como totalmente rugosa (independiente del número de Reynolds). La similitud geométrica incluía las rugosidades absolutas, tanto en magnitudes como en distribución, lo cual es imposible alcanzar en la práctica, puesto que la similitud dinámica debería lograrse haciendo que las relaciones en el prototipo y en el modelo sean iguales, para garantizar similitud de distribución de velocidades. En consecuencia, haciendo uso de la ecuación:
Que lleva a:
Como
, se concluye que
La imposibilidad práctica anteriormente señalada puede ser subsanada de dos formas: -
Casos donde existen algunos datos de mediciones de velocidades en el prototipo, con los cuales se puede calibrar el modelo; es decir, si existen valores de para algunos , se miden en el modelos las para las correspondientes, y si existen diferencias se ajusta hasta que coincidan razonablemente. Es evidente que este tipo de aproximación –calibración- no puede emplearse sino cuando existe el prototipo. Este sería el caso de modelaje de ríos, estuario, o diagnóstico de estructuras existentes, etc., como ha sido el modelo de fondo fijo de la barra del Lago de Maracaibo. La segunda forma consistiría en encontrar la rugosidad equivalente de grano Con lo cual, la similitud dinámica podría simplemente lograrse de arena, con hacer:
-
Este sistema es el apropiado para prototipos por construir.
Debe recordarse que la rugosidad absoluta no influye en el caso que el flujo sea laminar o turbulento con superficie lisa. Sin embargo, persistiría el problema de la rugosidad en aquellas situaciones donde el flujo es de transición. Ejemplo Se desea hacer un modelo de una tubería de concreto a presión de 2m de diámetro, cuya rugosidad equivalente es de 0,8 mm. Para ello se dispone de un material cuya rugosidad equivalente es de 0,1 mm. ¿Cuál será el diámetro de la tubería del modelo? ¿Si ambos líquidos son agua a 20°C, a partir de que gastos será válida la similitud tanto en el prototipo como en el modelo? Suponga que la escala se establece para régimen rugoso. Solución: si el régimen es rugoso la escala será:
En consecuencia,
Ahora bien, el régimen es rugoso cuando
En consecuencia, se tiene que:
Y si el régimen es rugoso se cumple que para tuberías circulares.
Lo cual significa que para el límite:
La viscosidad cinemática del agua a 20°C, 10 -6 m2/seg, con lo cual se tiene:
Resultando:
) ( ( )
Lo anterior significa que el modelo debe trabajar con gastos mayores a 770 lps, él no será representativo del prototipo, cuando el gasto en éste sea inferior a 6.260 lps. Ejemplo Se desea estudiar el flujo en un canal rectangular de 4 cm de ancho, cuya rugosidad equivalente es de 1 mm, y el gasto es de 20 m 3/seg. El modelo se construye en escala 1:10 y en ambos casos se usa agua (ν=10-6m2/seg). ¿Cuál será la altura de agua en el prototipo, si en el modelo es de 30cm? Solución: aceptando régimen rugoso se tendrá que la rugosidad equivalente del modelo es:
Como existe superficie libre debe cumplirse la igualdad de número de Froude, entonces, para igual gravedad, se tiene:
Y entonces:
() √ La altura del agua en el prototipo será simplemente 10*0,3= 3m Debe comprobarse, si tanto el prototipo y el modelo funcionan e n régimen rugoso. Esta comprobación podría hacerse aproximadamente reemplazando en la ecuación a D por 4R, donde R es el radio hidráulico de donde se tendría:
En consecuencia, los espesores de las respectivas capas laminares son:
En razón de lo cual se tiene:
En el prototipo está justo el régimen rugoso pero no acontece lo mismo con el modelo, que está en régimen de transición entre liso y rugoso y, por lo tanto, no es representativo. Una solución sería modificar la escala del modelo, para construirlo de mayor tamaño y asegurar régimen rugoso.
INTRODUCCIÓN
Los métodos del análisis dimensional se basan sobre el principio de la homogeneidad dimensional de Fourier (1822), el cual establece que una ecuación que expresa una relación física entre cantidades debe ser dimensionalmente homogénea; esto es, las dimensiones de cada lado de la ecuación deben ser las mismas. Aunque se puede argumentar con éxito que la similitud y el análisis dimensional son de hecho idénticos, ya que implican las mismas cosas y con frecuencia conducen a los mismos resultados, sus métodos son lo suficientemente diferentes para justificar el tratamiento de los mismos como tópicos diferentes. El análisis dimensional es una herramienta conceptual muy utilizada en la física, la química y la ingeniería para ganar comprensión de fenómenos que involucran una combinación de diferentes cantidades físicas. Es además, rutinariamente utilizada para verificar relaciones y cálculos, así como para construir hipótesis razonables sobre situaciones complejas, que puedan ser verificadas experimentalmente. La investigación adicional de este principio revelará que el mismo proporciona un medio de determinar las formas de las ecuaciones físicas, a partir del conocimiento de las variables principales y de sus dimensiones. Aunque no se puede esperar que las manipulaciones dimensionales produzcan soluciones analíticas de los problemas de física, el análisis dimensional provee una poderosa herramienta en la formulación de problemas que desafían la solución analítica y que deben ser resueltos experimentalmente. En este caso, el análisis dimensional entra en su propiedad señalando el camino hacia un máximo de información, a partir de un mínimo de experimentación. Logra lo anterior por medio de la formación de grupos adimensionales, algunos de los cuales son idénticos con las relaciones de fuerzas desarrolladas con el principio de similitud.
CONCLUSIÓN
El análisis dimensional sólo se pueden escribir tres ecuaciones, ya que sólo existen tres dimensiones fundamentales independientes: M, L y T. Este hecho limita la plenitud con la que se puede resolver un problema de más de tres incógnitas, pero no limita la utilidad del análisis dimensional para obtener la forma de los términos de la ecuación. También es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tamaño real si los números adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real. Así, para este tipo de cálculos, se utilizan ecuaciones dimensionales, que son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas, las cuales se usan para demostrar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta.
