Series de Taylor Taylor Suponga que f que f ( x) x) es una función, y que todas las derivadas f derivadas f ', f '' , f ''' , etc. existen en x en x = a. Entonces la serie de Taylor de f de f ( x) x) es la serie de potencias
o, en notación sumatoria,
Una serie de Maclaurin es una serie de Taylor en el caso donde a = 0. Las sumas parciales de la serie de Taylor son llamadas polinomios de Taylor. Estas pueden ser usadas para aproximar la la función en la vecindad vecindad de x de x = a. Ejemplo:
Encuentre los polinomios de Taylor para la función f ( x) x) = sin( x) x) alrededor de x de x = 0.
La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento matemático matemático más importante para comprender, manejar y formular métodos numéricos que se basan en la aproximación aproximación de funciones por medio de polinomios.
Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los métodos numéricos se basan en la aproximación de funciones por medio de polinomios. La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la vecindad de un punto dado. Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera. El error del método numérico depende de la precisión con la que el polinomio aproxima a a la función verdadera. Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del desarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la solución exacta. Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden n en el punto Xi, para el cual se conoce el valor de la función a0 y el de sus derivadas: a1, a2, a3, a4, … an, …
Se trata de encontrar un polinomio de la forma:
P(X) = a0 + a1X + a 2 X 2 + a 3 X 3 + ... + a n X n + ... _____ (1.13) que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xi. El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y las primeras n derivadas del polinomio se hacen coincidir con las n primeras derivadas de la función en el punto Xi.
P(Xi ) = f(Xi ) P'(Xi) = f'(Xi ) P''(Xi ) = f''(Xi ) ... P(n) (Xi ) = f (n) (Xi )
_____ (1.14)
El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13): __
f(X) = P(X) = b0 + b1(X - X i ) + b 2 (X - X i ) 2 + b 3(X - X i ) 3 + ... + b n(X - X i) n + ...
__ (1.15)
Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresión (1.13), se obtiene:
a0 = b0 - b1X i + b2 Xi2 - b3 Xi3 + b 4 Xi4 - ... a1 = b1 - 2b 2 Xi + 3b 3 Xi2 - 4b 4X i3 + ... _____(1.16)
a2 = b 2 - 3b 3 Xi + 6b 4X i2 - ... ... an = bn - ... Las n primeras derivadas del polinomio son:
P'(X) = b1 + 2b2 (X - Xi ) + 3b3 (X - Xi )2 + ... + nbn (X - Xi )n-1 + ... P''(X) = 2b 2 + 3 2b3 (X - Xi ) + ... + n(n-1)bn (X - Xi )n-2 + ...
P'''(X) = 3 2b3 + ... + n(n-1)(n-2)bn (X-Xi )n-3 + ...
_____ (1.17)
... P(n) (X) = n(n-1)(n-2) ... 3 2 1bn + ... = n!bn + ...
Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto X i:
P(Xi ) = b0 P'(Xi ) = b1
0!b0 1!b1
_____ (1.18)
P''(Xi ) = 2b2 = 2!b2 ... P(n) (Xi ) = n!bn Una función f(x) es analítica en xi, s i se puede representar por medio de una serie de potencias en términos de h = xi+i – xi, dentro de un radio de convergencia 0 < xi+i - xi, y si todas sus derivadas son continuas en la vecindad de xi. Los polinomios son funciones analíticas en todas partes. Si la función f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad de un punto x0, excepto en el mismo, el punto se denomina singular y entonces la función no es analítica en x0. Algunas funciones trascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) es analítica excepto en (n + ½). Ejemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30, conociendo los valores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando los primeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. No olvidemos trabajar en radianes: Xi = 0 = 0 ;
Xi+1 = 30 = /6 ; 2
h = Xi+1 - Xi = 3
iv
/6 - 0 = 4
/6
v
5
vi
6
f(X) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h /2! + f'''(Xi)h /3! + f (Xi)h /4! + f (Xi)h /5! + f (Xi)h /6! f(X) = cos X
f(0) = cos 0 = 1
f'(X) = - sen X
f'(0) = - sen 0 = 0
f''(X) = - cos X
f''(0) = - cos 0 = - 1
f'''(X) = sen X
f'''(0) = sen 0 = 0
iv
f (X) = cos X
iv
f (0) = cos 0 = 1
www.dcb.unam.mx/users/gustavorb/.../1.5%20Serie%20de%20Taylor.ppt http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/taylor-series.html
