Separata Mecánica de fluidos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUACHO


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MECÁNICA DE FLUIDOS

INTRODUCCIÓN

La mecánica de fluidos envuelve un amplio rango de aplicaciones que tienen en común la manipulación artificial de los fluidos en beneficio del hombre o del medio ambiente. Tales aplicaciones van desde la distribución del agua para riego o consumo humano, la disposición de desechos líquidos, la producción de energía eléctrica, los procesos de transporte de fluidos, la utilización de vehículos de transporte y los procesos naturales atmosféricos u oceánicos. Por estas razones, el conocimiento y el entendimiento de los principios y conceptos básicos de la mecánica mecánica de fluidos son esenciales esenciales para el análisis y el diseño de cualquier cualquier sistema en el cual un fluido sea el medio de trabajo.

Ing. Alberto Sánchez Guzmán

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Ing. Ronald Rodríguez Espinoza


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INTRODUCCIÓN

La mecánica de fluidos envuelve un amplio rango de aplicaciones que tienen en común la manipulación artificial de los fluidos en beneficio del hombre o del medio ambiente. Tales aplicaciones van desde la distribución del agua para riego o consumo humano, la disposición de desechos líquidos, la producción de energía eléctrica, los procesos de transporte de fluidos, la utilización de vehículos de transporte y los procesos naturales atmosféricos u oceánicos. Por estas razones, el conocimiento y el entendimiento de los principios y conceptos básicos de la mecánica mecánica de fluidos son esenciales esenciales para el análisis y el diseño de cualquier cualquier sistema en el cual un fluido sea el medio de trabajo.


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INDICE ........................................................................................................................ ....................................................... 2 INTRODUCCIÓN ................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................. ........... 3 INDICE ........................................................... ......................................................................................................... ............................................. 6 MECÁNICA DE FLUIDOS ............................................................

I.

................................................................................................. .................................. 6 SISTEMA DE UNIDADES ............................................................... ................................................................................. ...................... 6 A. Sistema Internacional de Unidades ........................................................... ............................................................................................................... ............................................ 6 1. Unidades base ................................................................... ............................................................................................ ................................. 7 2. Unidades Suplementarias ........................................................... ...................................................................................................... ............................................. 8 3. Unidades derivadas ......................................................... .......................................................................................................................... ....................................................... 8 4. Prefijos ................................................................... ........................................................................................ ...................... 9 B. Sistema Británico de Unidades ..................................................................

............................................................................................. ............................... 10 II. PRESIÓN DE UN FLUIDO .............................................................. ................................................................................................................ .......................................... 10 A. Leyes de Pascal ...................................................................... .................................................................................... .................... 11 B. Presión absoluta y manométrica................................................................ ............................................................................................. ............................... 12 C. Manómetros y barómetros .............................................................. .......................................................................................................... ........................................... 13 D. Carga de un fluido ............................................................... ................................................................................... .................... 15 III. PROPIEDADES DE UN FLUIDO...............................................................

A. Densidad, Peso Específico y Gravedad Específica ....................................................... 15 ............................................................................................................... .......................................... 15 1. Densidad: (ρ)..................................................................... ..................................................................................................... ........................................... 16 2. Peso Específico: (γ) .......................................................... ......................................................................................... ............................... 16 3. Gravedad Específica: (s.g.).......................................................... ............................................................................................ ............................... 17 4. Volumen específico: ( V ) ............................................................. ˆ

.............................................................................................................. .......................................... 18 B. Compresibilidad .................................................................... ........................................................................................................................ ..................................................... 19 C. Viscosidad ................................................................... ................................................................................................... ........................................... 19 1. Viscosidad dinámica ........................................................ ................................................................................................. ............................... 21 2. Viscosidad cinemática.................................................................. ..................................................................................................... ........................................... 21 3. F luido uido New Newtoniano toniano .......................................................... ................................................................................................................. ...................................................... 21 4. F luido uido ideal ........................................................... .............................................................................. .................... 21 5. Diagrama Reológico o Reograma ..........................................................

IV. FLUJO DE FLUIDOS Y LA ECUACIÓN DE BERNOULLI ...................................... 24 ............................................................................................... ................................ 24 A. Rapidez de flujo de fluido............................................................... ................................................................................ .................... 24 1. Rapidez de flujo de volumen (Q) ............................................................ ...................................................................................... .................... 25 2. Rapidez de flujo de peso (W) ..................................................................


3



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 ) .............................................................. .................................................................................. .................... 25 3. Rapidez de flujo de Masa ( M ................................................................................................ ............................... 26 B. Ecuación de continuidad ................................................................. ..................................................................................... .................... 30 C. Flujo en secciones no circulares .................................................................

D. Conservación de la Energía – Ecuación de Bernoulli .................................................. 31 ................................................................................................ ............................... 31 1. Energía nergía Pot P ote encial (E P)................................................................. ................................................................................................. ............................... 31 2. Energía nergía Ciné Ci nética tica (EC) .................................................................. ................................................................................................ ............................... 32 3. Energ nergía ía de de F lujo (EF ) .................................................................

E. EXPANSIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI: ECUACIÓN GENERAL DE ...................................................................................................................... ..................................................... 35 LA ENERGÍA ................................................................. .............................................................................................. ............................... 35 1. Dispositivos mecánicos ............................................................... .................................................................................................... ........................................... 36 2. Fricción e un fluido ......................................................... ............................................................................... .................... 37 3. Ecuación General de la Energía ........................................................... .............................................................................. .................... 38 4. Potencia requeridas por bombas .......................................................... .......................................................................... ...... 38 5. Eficiencia Mecánica de las Bombas....................................................................

6. Potencia suministrada a motores de fluido .............................................................. 39 7. Eficiencia Mecánica de los Motores de fluidos ........................................................ 39 V. NÚMERO DE REYNOLDS, FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO ........... 42 ................................................................................ .................... 42 A. Flujo Laminar y Flujo Turbulento ............................................................ ....................................................................................................... ........................................... 43 B. Número de Reynolds ............................................................

C. Radio hidráulico para secciones transversales no circulares ...................................... 45 D. Número de Reynolds para secciones transversales no circulares cerradas ............... 46 VI. PERDIDAS DE ENERGÍA DEBIDO A LA FRICCIÓN .............................................. 47 ........................................................................................ ............................... 47 A. Ecuación de Darcy-Weisbach ......................................................... ...................................................................... ......... 48 B. Pérdidas de fricción en un flujo laminar ............................................................. .................................................................. ......... 48 C. Pérdidas de fricción en un flujo turbulento ......................................................... ....................................................................................................... ........................................... 49 D. Diagrama de Moody ............................................................ ................................................................................... .................... 50 E. Ecuaciones del factor de fricción ............................................................... ............................................................................................................. .......................................... 50 1. F lujo luj o La L aminar................................................................... ......................................................................................................... ........................................... 51 2. F lujo Turbule Turbulent nto o.............................................................. ................................................................................................... ........................................... 55 VII. PÉRDIDAS MENORES ........................................................

A. Primer Método: Ecuación Fundamental de las Pérdidas P érdidas Menores............................ 55 ......................................................................................................... ........................................... 56 1. Dilatación súbita.............................................................. ..................................................................................................... ........................................... 58 2. Dilatación Gradual .......................................................... ..................................................................................................... ........................................... 60 3. Contracción Súbita ..........................................................


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4. Contracción Gradual .................................................................................................. 61 5. Perdida de entrada...................................................................................................... 62 6. Pérdidas por bifurcaciones......................................................................................... 64

a)

Divergencia. ....................................................................................................... 64

b) Convergencia. .................................................................................................... 64 7. Coeficientes de resistencia para válvulas y junturas ................................................. 65

B. Segundo Método: Longitud de tubería equivalente ..................................................... 67 BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................... 73 ANEXOS .................................................................................................................................... 74 I.

PROPIEDADES DEL AGUA .......................................................................................... 74

II. PROPIEDADES DE LÍQUIDOS COMUNES: .............................................................. 76 III. RUGOSIDAD DE MATERIALES COMUNMENTE USADOS EN CONDUCTOS . 78 IV. DIMENSIONES DE TUBOS DE ACERO: .................................................................... 79 V. COEFICIENTES DE PÉRDIDAS DE DIVERSAS VÁLVULAS Y ACCESORIOS . 81 VI. DIAGRAMA DE MOODY:.............................................................................................. 82


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MECÁNICA DE FLUIDOS La mecánica de fluidos estudia el comportamiento de los fluidos, ya sea en reposo (estática de fluidos) o en movimiento (dinámica de fluidos). Fluido: Un fluido es una sustancia que se deforma continuamente al ser sometida a un

esfuerzo cortante (esfuerzo tangencial) no importa cuan pequeño sea este. Los fluidos pueden ser: Líquidos: Se les considera incompresibles. Ejemplo: el agua, aceite, gasolina, etc. Gases o vapores: Son compresibles. Ejemplo: El aire, oxígeno, nitrógeno, etc.

I.

SISTEMA DE UNIDADES: A. Sistema Internacional de Unidades: 1. Unidades base: En la siguiente tabla se muestran las siete unidades básicas, mutualmente independientes entre sí, en las cuales se fundamenta el SI. Magnitud longitud

masa

tiempo

Unidad Base del SI Nombre Símbolo metro

kilogramo

segundo


Definición

m

Es la longitud del trayecto del recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 segundos.

kg

Es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo sancionado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) en 1889; y depositado en el pabellón de Breteuil, de Sévres.

s

Es la unidad de tiempo y expresa la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

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corriente eléctrica

temperatura termodinámica

cantidad sustancia

intensidad luminosa

-


amperio

A

Es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados a una distancia de un metro uno del otro en el vacío, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2×10 -7 newton por metro de longitud.

kelvin

K

Es la fracción 1/276.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

mol

Es la unidad de cantidad de materia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se use el mol, deben especificarse las entidades de los elementos que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas, o grupos especificados de esas partículas.

cd

Representa la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540×1012 hertz y cuya intensidad energética en esa dirección es 1/683 watt por estereorradián.

de

mol

candela

2. Unidades Suplementarias: Además, el SI contiene dos unidades suplementarias, las cuales se definen geométricamente y pueden ser adimensionales, las que para fines de cálculo se considera la unidad. Magnitud

ángulo plano

Unidad Suplementaria del SI Nombre Símbolo radián

ángulo sólido estereorradián


Definición

rad

Es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo y que interceptan sobre la circunferencia de este círculo, un arco de longitud igual a la del radio.

sr

Es el ángulo sólido que tiene su vértice en el centro de una esfera, y que intercepta sobre la superficie de esta esfera un área igual a la de un cuadrado que tiene por lado el radio de la esfera.

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3. Unidades derivadas: Las unidades del SI derivadas se expresan algebraicamente en términos de unidades base, o bien, combinando las unidades base con las unidades suplementarias. Los símbolos de las unidades derivadas se obtienen mediante operaciones matemáticas matemáticas de multiplicación y división.

4. Prefijos: En el SI los múltiplos y submúltiplos de las unidades se designan con prefijos. Mediante ellos se evita el uso de valores numéricos muy largos o muy pequeños. Un prefijo se une directamente al nombre de la unidad o al símbolo de la misma1. Cuando los prefijos se unen a las unidades SI, las unidades así formadas se denominan “múltiplos y submúltiplos de unidades SI” a fin de distinguirlas de las

unidades SI del sistema coherente. Prefijo yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

1

Símbolo Y Z E P T G M k h da d c m µ n p f a z y

Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

Valor 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 0,1 0,01 0.001 0,000 001 0,000 000 001 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 000 000 001

Por ejemplo: un kilometro (símbolo 1 km), es igual a mil metros (símbolo 1 000 m o 10 3 m).


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B. Sistema Británico de Unidades: También conocido como sistema de unidades gravitacional inglés o sistema libra pie-segundo.

longitud tiempo masa fuerza

pie Segundo (s) Slug (lb.s2/pie) Libra (lb)

También se emplea emplea la unidad unidad lbm (libras – masa) como la unidad de masa, en lugar de slug; por lo que la fuerza se denota como lb f . La equivalencia numérica de la lb f y la lbm se aplica solamente cuando el valor de g (gravedad) es igual al valor estándar . Utilizando la ley de Newton: F

w

m

g

(1)

g c

Donde: w = peso. g = gravedad

g = 9,8066 m/s2 g = 980,66 cm/s2

g

gc = constante de conversión

Relación g/gc : g c g g c g g c


9,8066 980,66 1

9

c

N g cm / s 2

gc g

g

Kg m / s 2

dina 32, 174

c

lbm pie / s

2

lb f

N Kg dina g

lb f lbm



II.

-


PRESIÓN DE UN FLUIDO: La presión se define como la cantidad de fuerza ejercida sobre un área unitaria de una sustancia: F

P

(2)

A

A. Leyes de Pascal: Blaise Pascal, un científico del siglo XVII, describió dos importantes principios acerca de la presión: La presión actúa uniformemente en todas direcciones sobre un pequeño volumen de fluido. En

un

fluido

confinado

entre

fronteras

sólidas,

la

presión

actúa

perpendicularmente a la frontera.

En la siguiente figura se muestra la columna estacionaria de un fluido de altura h 2 y una sección transversal de área constante A, donde A=A 0=A1=A2. La presión por encima del fluido es P 0, es decir podría ser la presión de la atmósfera que lo rodea. En cualquier punto del fluido, digamos h 1, éste debe soportar todo el fluido f luido que esta por encima de dicho punto. punto. Se puede demostrar demostrar que en cualquier punto punto de un fluido inmóvil o estático, las fuerzas son iguales en todas las direcciones. Además, para un fluido en reposo, la presión es igual en todos los puntos a una misma altura. P 0

A0 P 1

h1

A1

h2 h3

P 2

A2


10



-


La masa total del fluido para la altura h 2 y densidad ρ es: m

V

(3) La fuerza total F del fluido sobre el área A2 debida únicamente al fluido es: m

A h2

F

F

m g

(4)

A h2 g

La presión P se define como la fuerza/unidad de área: P

F

A h2 g

A

P

A

(5)

h2 g

Esta es la presión sobre A 2 debida a la masa de fluido que está encima. Sin embargo, para obtener la presión total P 2 sobre A2 debe añadirse la presión P 0 que soporta todo el líquido: P2

P

P2

P 0

h2 g

(6)

P 0

La ecuación (6) es la expresión fundamental para calcular la presión de un fluido a cualquier profundidad. Para calcular P 1: P1

h1 g

(7)

P 0

La diferencia de presión entre los puntos 2 y 1 es: P2

P1

h2 g

P0

h1 g

P 0

En Unidades del Sistema Internacional: Internacional:

P2

P1

g h2 h1

(8)

En Unidades del Sistema Ingles:

P2

P1

g g c

h2

h1

(9)

Puesto que lo que determina la presión de un fluido es la altura vertical del mismo, la forma del recipiente no afecta la presión.

B. Presión absoluta y manométrica: Cuando se mide la presión de un fluido, se debe hacer la medición en relación con alguna presión de referencia que por lo general es la presión atmosférica. A esta presión resultante resultante se le conoce como presión manométrica. La presión absoluta es aquella que se mide en relación con el vacío perfecto.


11



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Ambas presiones se relacionan por la siguiente ecuación: Pabs

Pman

P abs

(10)

C. Manómetros y barómetros: Los manómetros son aparatos que sirven para medir la presión y que utilizan la relación que existe entre un cambio de presión y un cambio de elevación en un fluido estático.

Fig.: Manómetro

Los barómetros son dispositivos que se utilizan para medir la presión atmosférica.

Fig.: Barómetro


12



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D. Carga de un fluido: Es común expresar presiones en términos de carga en metros o pies de un cierto fluido. Esta carga o altura en m ó pies de un fluido es aquella que ejerce la misma presión que las presiones que representa. En Unidades del Sistema Internacional:

P

h carga

g

(11)


P g c

h

(12)

g

Problema 1: Para el manómetro diferencial que se muestra en la figura siguiente, calcule la diferencia de presión entre los puntos A y B. La gravedad específica del aceite es de 0,85.

B

10pulg

A 32pulg Aceite

9pulg

Agua

Solución: Considerar los puntos 1 y 2, que por estar a un mismo nivel, están a la misma presión:


13



-


B

10pulg

A 32pulg Aceite

9pulg

Agua

1

P1 P A

Aceite

P B P B

g 13pulg PA PA P B

P B

Aceite

Agua

P 2

g 9 pulg

PB

g 13pulg 32pulg

0,85

Agua

P A

Agua

P A

2

g

19pulg

0,85

lb f

62, 4 3 pie

P B

19pulg 7,15 pulg

Aceite

Agua Agua

g 32 pulg

g 9 pulg g 9 pulg

9pulg 1pie3 3

12 pulg

3

lb f 0,258 pulg 2

P A

Problema 2: El manómetro de mercurio de la figura siguiente está conectado a la succión y a la descarga de una bomba para agua (el lado izquierdo a la succión y el derecho a la descarga). Dando por sentado que la succión y la descarga están en el mismo nivel, determinar el incremento de presión originado por la bomba.


14



-


Altura de la succión y la descarga

h3

Agua

h2

15 cm

Mercurio s.g.=13,6 h1 a

Solución: La presión en el punto a debido a la columna de líquido en el lado izquierdo es: Pa

La presión en el punto

Psucción

H 2O

g h3

Hg

g h2

h1

a debido a la columna de líquido en el lado derecho es:

Pa

Pdescarga

H 2O

g h3

h2

Hg

g h1

Restando: 0 P succión Pdesc arg a

Pdesc arg a

Pdescarg a Psucción

Psucción

g

H2 O Hg

g h2

m 9,81 2 s

h3 H2 O

0,15 m

Pdesc arg a

III.

h3

Psucción

h2

Hg

g h2

g h2

g h2

13,6 1000

Hg

kg 3

m

h1

h1

H2 O

1000

kg

3

m

18540,9 Pa

PROPIEDADES DE UN FLUIDO: A. Densidad, Peso Específico y Gravedad Específica: 1. Densidad: (ρ)

La densidad de un fluido es su masa por unidad de volumen: m

(13)

V


15



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La densidad se mide en recipientes cuya capacidad se conoce exactamente, llamados picnómetros. Kg

Unidades en el Sistema Internacional:

m3 slug pie3

Unidades en el Sistema Ingles:

2. Peso Específico: (γ)

El peso específico de un fluido es su peso por unidad de volumen, es decir representa la fuerza ejercida por la gravedad sobre una unidad de volumen de fluido.. W

m g

V

V

(14)

g

N


m3 lb f


pie 3

Las densidades y los pesos específicos de los fluidos varían con la temperatura. 3. Gravedad Específica: (s.g.)

A menudo resulta conveniente indicar el peso específico o densidad de un fluido en términos de su relación con el peso específico o densidad de un fluido de referencia común, el cual por lo general es agua pura a 4 ºC. A dicha temperatura el agua posee su densidad más grande. La gravedad específica puede definirse de dos maneras: 1º Como el cociente de la densidad de una sustancia entre la densidad del agua a 4ºC. s.g .

sustancia

(15)

H 2O ,4 ºC

2º Como el cociente del peso específico de una sustancia entre el peso específico del agua a 4 ºC. s.g .

sustancia

(16)

H 2O ,4 ºC


16



-


Las propiedades del agua a 4 ºC son constantes y tienen los valores siguientes: En Unidades del Sistema Internacional:

H 2O , 4ºC

1000

Kg m3

,

9,81

H 2O , 4ºC

KN m3

En Unidades del Sistema Ingles 1,94

H 2O , 4º C

slugs pies

, 3

62, 4

H 2O , 4º C

lb f pies 3

Sin embargo, las propiedades de los fluidos varían con la temperatura. En general, la densidad (y por lo tanto el peso específico y la gravedad específica) disminuye cuando aumenta la temperatura. 4. Volumen específico: (V ) ˆ

Es el volumen ocupado por una unidad de masa de fluido. Se aplica frecuentemente a los gases. El volumen específico es el reciproco de la densidad: V

1

(17)

ˆ


V


V

m3

ˆ

ˆ

kg pie 3 slug

Problema 1: Una gasolina dada pesa 46 lb f /pie3 , ¿Cuáles son los valores de su densidad, volumen específico y gravedad específica?

Solución: 46

lb f pie 3 46

g

V ˆ

1

lb f

pie3 pie 32,174 2 s

1 slug 1, 429 pie 3

1, 429

0,7


slug pie3

pie 3 slug

17



1, 429 gasolina

s.g .

H 2O ,4 ºC

1,94

-


slug

pie3 slug

0, 737

pie3

Problema 2: Un recipiente contiene 85 L de agua a 10 ºC y presión atmósférica. Si se calienta el agua hasta 70 ºC. a) ¿Cuál será el cambio porcentual en el volumen? b) ¿Qué cantidad de agua se debería quitar para mantener el volumen en su valor inicial?

Solución: a) De las tablas del apéndice:

9,81

H 2O ,10ºC

kN m3

y

9,59

H 2O ,70ºC

kN m3

A 10 ºC: V10 ºC

85 L

1 m3 3

10 L

0, 085 m3

El peso del fluido es: W

V

9,81

kN m

3

0, 085 m3

0,834 kN

A 70 ºC: V70º C

W

0,834 kN kN 9,59 3 m

0,08695 m3

El cambio porcentual es: V V10º C

100

V70ºC V 10º C V 10º C

0,08695 0,08500

100

0,08500

100

2, 29 %

b) Se debe quitar: 0,08695 0,08500

0,00195m 3

B. Compresibilidad: La compresibilidad se refiere al cambio en l volumen de una sustancia cuando hay un cambio en la presión que experimenta. La cantidad usada normalmente para medir este fenómeno es el módulo volumétrico de elasticidad o, simplemente, módulo volumétrico, E .

E


P V / V

18

(18)



-


donde: P = Presión V = Volumen

Esta ecuación no se aplica normalmente a los gases. En mecánica de fluidos se considera: Los líquidos son sólo ligeramente compresibles. Los gases son fácilmente compresibles.

C. Viscosidad: La viscosidad es una medida de de la resistencia del fluido al corte cuando el fluido está en movimiento (debe recordarse que un fluido no puede resistir esfuerzos de corte sin moverse, y un sólido si). Los líquidos no son perfectamente fluidos, sino viscosos, es decir, que para separar dos porciones juntas de un líquido hay que vencer el esfuerzo que opone precisamente la cohesión y que constituye su viscosidad. 1. Viscosidad dinámica:

Cuando un fluido se mueve, se desarrolla en el una tensión de corte, cuya magnitud depende de la viscosidad del fluido. La tensión de corte

, puede

definirse como la fuerza requerida para deslizar una capa de área unitaria de una sustancia sobre otra capa de la misma sustancia. F A


19

(19)



-


F y

x Una condición fundamental que se presenta cuando un fluido real está en contacto con una superficie frontera, es que el fluido tiene la misma velocidad que la frontera. Entonces en la figura, el fluido que está en contacto con la superficie inferior tiene velocidad cero y el que está en contacto con la superficie superior tiene velocidad . Si la distancia entre las dos superficies es pequeña, entonces la rapidez de cambio de velocidad con respecto de la posición “y” es lineal:

d

(20)

dy

donde: = viscosidad dinámica del fluido. = esfuerzo cortante. d dy

= gradiente de velocidad o rapidez de corte.

En Unidades del Sistema Internacional:

N

m

N

m2 m / s

m2

s

Pa s

Kg m s

En Unidades del Sistema Ingles: lb s pies 2

ó

slug pie s

En Unidades del Sistema cgs (obsoleto):


20



-

poise

dina s


g

0,1 Pa s cm 2 cm s poise centipoise 0, 001 Pa s 1 mPa s 100

2. Viscosidad cinemática:

Se define como la razón de la viscosidad absoluta a la densidad del fluido. (21) En Unidades del Sistema Internacional: m2 s

En Unidades del Sistema Ingles: pies 2 s

En Unidades del Sistema cgs (obsoleto):

stoke

cm 2

1 10

s

centistoke

stoke 100

4

m2 s

1 10

6

m2 s

3. Fluido Newtoniano:

Los fluidos que obedecen la ley de viscosidad de Newton (ecuación 17) se llaman fluidos newtonianos. En los fluidos newtonianos existe una relación lineal entre el esfuerzo cortante y el gradiente de velocidad. Esto significa que la viscosidad (μ)

es constante e independiente de la velocidad cortante. 4. Fluido ideal:

Se trata de un fluido en el cual los efectos debidos a la viscosidad, a la tensión superficial y a la presión de vapor son cero. Un líquido ideal es incompresible. 5. Diagrama Reológico o Reograma:


21



-


Para fluidos no newtonianos, la relación entre el esfuerzo cortante y el gradiente de velocidad no es lineal, es decir la viscosidad no permanece constante. Algunos líquidos no obedecen esta ley simple de Newton, por ejemplo las pastas, lechadas, altos polímeros y emulsiones. Problema 1: Si la viscosidad del agua a 68 ºF es 0,01008 poise, calcule su ) en lb f .s/pie2. Si la gravedad específica a 68 ºF es 0,998,

viscosidad absoluta (

calcule su viscosidad cinemática ( ) en pie2.s.

Solución: 1lb f

444800 dinas

1 pie 30, 48 cm 1

cm2 1 poise

0,01008 poise

2,11 10

5

dina s 1lb f

30,48 cm

444800 dinas

1 pie

2

lb f s pie 2

2,11 10

0, 998 1,94

5

lb f s pie2

slug pie

3


1

lb f s 2

pie 1 slug

22



1,09 10

5

-


pie 2 s

Problema 2: El fluido que fluye en la figura tiene una viscosidad absoluta ( ) de 0,0010 lb f .s/pie2 y gravedad especifica de 0,913. Calcule el gradiente de velocidad y la intensidad de esfuerzo cortante en la frontera, a 1, 2 y 3 pulgadas de la frontera, asumiendo: a) Una distribución de velocidad de línea recta, y b) Una distribución de velocidad parabólica.la parábola en el dibujo tiene su vértice en A y el origen en B. pulg 45 s

y

A

v 3 pu lg v

B v

Solución: a) Para una velocidad de línea recta: dv

45

dy

3

15 s

1

dv dy

Para y=0 (es decir, en la frontera), v 0 y 0, 0010

lb f s pie2

15 s

1

0, 015

dv dy

15 s

1

lb f pie 2

Para y=1, 2 y 3 pulgadas, se tiene también:

dv dy

15 s

1

y

0,015

lb f pie 2

respectivamente. b) Para la asunción parabólica, la parábola pasa a través de los puntos v 0 cuando y

0 y v 45 cuando y


3 . La ecuación de esta parábola es:

23



-

v 45

a

En el punto v 0 , y 0 se tiene a


y 3

2

5 por lo que al reemplazar en la ecuación

anterior se tiene: v 45

5

y 3

2

Derivando: dv

10 3 y

dy

Además: 0,0010

Para y 0pulg , v 0

pulg

Para y 1pulg , v 25 Para y 2pulg , v 40 Para y 3pulg , v 45

IV.

s

dv

,

pulg

s pulg

s pulg

s

dy

, , ,

dv dy dv dy dv dy

y

1

30 s

20 s

1

10 s

1

0 s

1

dv dy 0,03

lb f pie 2 lb f

y

0,02

y

0,01

y

0

pie 2

lb f pie 2

lb f pie 2

FLUJO DE FLUIDOS Y LA ECUACIÓN DE BERNOULLI: La mayoría de problemas concernientes al flujo de fluidos en conductos y tubos implican la predicción de las condiciones en una sección de un sistema cuando se conocen las condiciones de alguna otra sección.

A. Rapidez de flujo de fluido: La cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se puede expresar mediante tres términos que definimos a continuación: 1. Rapidez de flujo de volumen (Q):

También llamado caudal o flujo volumétrico.


24



-

Q


(22)

A v

donde: A = área de la

sección.

v = velocidad promedio del flujo. En Unidades del Sistema Internacional: m3

Q

s

En Unidades del Sistema Ingles: pies 3

Q

s

2. Rapidez de flujo de peso (W): W

(23)

Q

donde: γ

= peso específico del fluido.

Q = caudal o flujo

volumétrico.


W

N s

En Unidades del Sistema Ingles: W

lb f s

 ): 3. Rapidez de flujo de Masa ( M M

v A

(24)

M

Q

(25)

donde: ρ

= densidad del fluido.


25



-


A = área de la sección. Q = caudal o flujo

volumétrico.


Kg

M

s


slugs

M

s

Conversiones usadas: 1 1 1 1 1

L min

m3 s gal min

gal min

pie s

16, 67 10 60 000 3, 785

449

m3 s

L min L min

6,309 10

3

6

5

m3 s

gal min

B. Ecuación de continuidad: Considere el tubo de la figura, en donde un fluido fluye de la sección 1 a la sección 2 con una rapidez constante. Esto es la cantidad de fluido que pasa por cualquier sección en un cierto tiempo dado es constante. En este caso decimos que se tiene un flujo constante.


26



-


P

2

v

2

2

P

1

z 2

j o u l F

v

1

z 1

1

Ahora bien, si no se agrega fluido, se almacena o se retira entre la sección 1 y la sección 2, entonces la masa de fluido que pasa por la sección 2 en un tiempo dado, debe ser la misma que la que fluye por la sección 1, en el mismo tiempo. Lo anterior se puede expresar en términos de la rapidez de flujo de masa como: M 1

Pero M

(26)

M 2

A v , entonces tenemos: 1

A1 v1

2

(27)

A2 v2

La ecuación (26) es un planteamiento matemático del principio de continuidad y se conoce como ecuación de continuidad . Se utiliza para relacionar la densidad del fluido, el área de flujo y la velocidad de flujo en dos secciones de un sistema en el que existe un flujo estable. Es válida para todos los fluidos, ya sean líquidos o gases. Si el fluido que se encuentra en el tubo de la figura 1 es un líquido que puede ser considerado incompresible, entonces los términos ρ1 y ρ2 de la ecuación (26) son iguales. La ecuación entonces queda: A1 v1

A2 v2

(28)

Pero como Q A v , entonces tenemos: Q1


Q2

27

(29)



-


La ecuación (27) es la ecuación de continuidad aplicada a líquidos; establece que para un flujo estable, la rapidez de flujo de volumen es la misma en cualquier sección. También se le puede utilizar, con un error pequeño, para gases a baja velocidad, es decir, menor que 100 m/s. Problema 1: Asuma que el conducto mostrado en la figura tiene un diámetro interior de 12 y 18 pulgadas en las secciones 1 y 2, respectivamente. Si el agua esta fluyendo en el conducto a una velocidad de 16,6 pies/s en la sección 2, encontrar: a) La velocidad en la sección 1. b) La razón de flujo de volumen en la sección 1. c) La razón de flujo de volumen en la sección 2. d) La razón de flujo de peso, y e) La razón de flujo de masa.

1

2 Flujo de fluido

Solución: a) Ecuación de continuidad: A1 v1 4

12 pulg

2

v1

4

v1

A2 v2 18 pulg

2

16, 6

pies s

pies

37,35

s

b) La razón de flujo de volumen o caudal se calcula: Q1

c) Q2

A2 v2

A1 v1

4

4

18pulg

12 pulg

1pie 12 pulg

1pie

2

37,35

12 pulg 2

16, 6

pies s

pies s

29,32

29,32

pies3 s

pies3 s

Como el fluido es incomprensible, se tiene: Q1 Q2


28



d) W

Q

e) M

lb f

62, 4

Q 1,94

29,32

pie3 slug pie3

-

29,32

pie3


1829, 60

s pie3

s

slug

56,88

s

lb f

s

Problema 2: En la cámara rectilínea de la figura, la sección1 tiene un diámetro de 4 pulgadas y un flujo de 2 pies 3 /s. La sección 2 tiene un diámetro de 3 pulgadas y una velocidad promedio de 36 pies/s. Calcule la velocidad promedio y el flujo de volumen en la sección 3 si tiene un diámetro de 1 pulgada. ¿Es el flujo en 3 de entrada o de salida? 1

Water

2

3

Solución: flujos de masa

flujos de masa

entran

M 1

M2

salen

M 3

Asumiendo que M 3 está saliendo: Q1

Si

Q2

Q3

es constante, se tiene: Q1 2

pies3 s

4

3 pulg

1 pie


A3 v3

2

36

12 pulg

v3

Q3

Q2

4

Q3

pies s

42,88

1 pulg

29

4

1 pie

1 pulg

12 pulg

2

v3

pies s

1 pie 12 pulg

2

42,88

pie s



-

Q3


0,234

pies s

C. Flujo en secciones no circulares: La ecuación de continuidad se aplica igualmente al flujo en secciones transversales no circulares, del mismo modo que en conductos y tubos circulares. Sección no circular

Caudal

Q Q

d i

d e

Di

De

A v

Q v

4

Di

2 4

2 de

Q Q

d i

l

d e

L

A v

Q v

4

Di 2

4

d e 2

Q Q

l 1


l 2

L1

30

L2

A v

Q v l22 L12



-


D. Conservación de la Energía – Ecuación de Bernoulli: El análisis de un problema de línea de conductos, como el que se ilustra en la figura siguiente, toma en cuenta toda la energía del sistema. En física usted aprendió que la energía no puede ser creada ni destruida, sino que puede ser transformada de un tipo a otro. Motor

2

Bomba

1

Flujo

Cuando se analizan problemas de flujo en conductos. Existen tres formas de energía que siempre hay que tomar en consideración: 1. Energía Potencial (E P):

Debido a su elevación, la energía potencial del fluido con respecto de algún nivel de referencia es: E P

m g z

(30)

E P

w z

(31)

donde: m

= masa.

g = gravedad. z = altura. w = peso del elemento.

2. Energía Cinética (E C):

Debido a su velocidad, la energía cinética del fluido es: EC


1 2

m v2

31

(32)



-


w v2

E C

(33)

2 g

donde: m

= masa.

v = velocidad. w = peso del elemento.

3. Energía de Flujo (EF):

En ocasiones conocida como energía de presión o trabajo de flujo, esta representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de una cierta sección en contra de la presión. P V

(34)

P w

(35)

EF EF

Luego, la energía total del sistema es: E

E P

EC

EF

Considerando la figura, la energía total en la sección 1 es: E1

E P1

EC 1

EF 1

y en la sección 2 es: E2

E P2

EC 2

EF 2

Si no se agrega energía al fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces el principio de conservación de la energía requiere que: E1 w z1 z1

w v12

w P1

2 g v12

2 g

P1

z 2

E 2 w z2 v22

P2

w v22 2 g

w P2

2 g

(36)

A la ecuación (35) se le conoce como la ecuación de Bernoulli. a z también se le llama cabeza de elevación.


32



a a

v2 2 g P

-


se le llama cabeza de velocidad.

se le llama cabeza de presión.

Fig.: Daniel Bernoulli (1700-1782)

Restricciones a la ecuación de Bernoulli: Es válida solamente para fluidos incompresibles, puesto que el peso específico del fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés. No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la energía total del fluido es constante. No puede haber transferencias de calor hacia dentro o fuera del fluido. No puede haber pérdidas de energía debido a la fricción.

En realidad, ningún sistema satisface todas estas restricciones. Sin embargo, existen muchos sistemas para los cuales solamente se tendrá un error despreciable cuando se les aplica la ecuación de Bernoulli. Las limitaciones 2 y 4 serán eliminadas al expandir la ecuación de Bernoulli a la Ecuación General de la Energía.


33



-


Problema 1: Un ducto de aire horizontal es reducida su área de sección transversal desde 0,75 pies 2 a 0,20 pies2. Asumiendo que no hay pérdidas, ¿Qué cambio de presión ocurrirá cuando fluye 1,5 lb f /s de aire?

lb f

0,200

Use

para las condiciones de presión y temperatura implicadas.

pie 3

Solución:

1

2 Flujo de fluido

Q

W

1, 5

lb f

0,200

v1

v2

Q A1

Q A2

7,5

s lb f pie

7, 5

pie3 s

3

pies 3

s 0,75 pies 2 7,5

10

pies s

pies3

s 0,20 pies 2

37,5

pies s

Aplicando la ecuación de Bernoulli en 1 y 2: P1

v12 2 g

P1

z 1 P2

P2

v2 2 2 g

v2 2

z 2

v12

2 g

Problema 2: Calcular el caudal ideal que circula por la tubería de la figura. Despréciense los rozamientos, l=500 mm.


34



-


4

l

2

a

1

m m 0 5 1

m m 0 0 1

3

Solución: Aplicando la ecuación de Bernoulli en los puntos 1 y 3: P1

v12

z 1

2 g

v32

P3

2 g

z 3

En el punto 3 se produce un punto de estancamiento, por lo que v3 v12

P3

0

P 1

2 g

v1

Pero: P1

g a , y P3

2 g

P3

P 1

g a l

Reemplazando en la ecuación anterior se tiene: v1

Q

2 g

g

a l

g a

g

A1 v1

4

0,15 m

2

3,132

m s

2 g l

0, 00553

2

9,81

m s

2

0, 5 m

3,132

m s

m3 s

E. EXPANSIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI: ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA 1. Dispositivos mecánicos: Se pueden clasificar de acuerdo con la característica que si éste entrega energía al fluido o a si el fluido entrega energía al dispositivo. Una bomba es un ejemplo común de un dispositivo mecánico que añade energía a un fluido. Un motor eléctrico o algún otro dispositivo principal de potencia hace


35



-


funcionar un eje de la bomba. Ésta entonces toma su energía cinética y la entrega al fluido, lo cual trae como resultado un aumento en la presión de fluido y éste empieza a fluir.

Fig.: BOMBA

Los motores de fluido, turbinas, accionadores giratorios y lineales son ejemplos de dispositivos que toman energía de un fluido y la transfieren en forma de trabajo, ocasionando la rotación de un eje o el movimiento lineal de un pistón.

Fig.: TURBINA

2. Fricción e un fluido:


36



-


Un fluido en movimiento ofrece una resistencia de fricción al flujo. Parte de la energía del sistema se convierte en energía térmica (calor), el cual se disipa a través de las paredes del conducto en el que el fluido se desplaza. La magnitud de la pérdida de energía depende de las propiedades del fluido. La velocidad de flujo, el tamaño del conducto, la rugosidad de la pared del conducto y la longitud del tubo.

3. Ecuación General de la Energía: La ecuación general de la energía es una expansión de la ecuación de Bernoulli, que hace posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas y adiciones de energía.

Motor

2

E2

Válvula de compuerta

P2

v2 2 2 g

z 2

Bomba

1

E1

P1

2 1

v

2 g

Flujo

z 1

Para el sistema mostrado en la anterior figura, la ecuación general de la energía en las secciones 1 y 2 es: P1

v12 2 g

z1

h A

hR

hL

P2

v2 2 2 g

z 2

(37)

Donde: h A

Energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico como puede ser una bomba.

h R

Energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo mecánico como podría ser un motor de fluido.


37



h L

-


Pérdidas de energía por parte del sistema, debidas a fricción el los conductos, o perdidas menores debidas a la presencia de válvulas y conectores.

Es de suma importancia que la ecuación general de energía éste escrita en la dirección del flujo.

4. Potencia requeridas por bombas: La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. En mecánica de fluidos podemos considerar que la potencia es la rapidez con que la energía esta siendo transferida. P A

Pero como:

W

hA W

Q , tenemos: P A

hA

(38)

Q

Donde: P A = Potencia añadida al fluido. γ

= Peso específico del fluido que fluye por la bomba.

W= Rapidez de flujo de peso. Q= Rapidez de flujo de volumen del fluido. Unidades en el Sistema Internacional:

P A

Watt

Unidades en el Sistema Británico: lb f pie

P A

s

Conversiones: 1 hp 1

lb f pie s 1 hp

550

lb f pie s

1,356 W 745, 7 W

5. Eficiencia Mecánica de las Bombas:


38



-


Debido a las pérdidas de energía ocasionadas por la fricción mecánica en los componentes de la bomba, la fricción del fluido en la misma y la excesiva turbulencia del fluido que se forma en ella, no toda la potencia suministrada a la bomba es transmitida al fluido. e M

El valor de

e M

Potenciatransmitida al fluido

P A

Potencia puesta en la bomba

P I

(39)

siempre será menor que 1.

6. Potencia suministrada a motores de fluido: La energía transmitida por el fluido a un dispositivo mecánico, como a un motor de fluido o a una turbina, está representada en la ecuación general de energía por el término h R , que es una medida de la energía transmitida por cada unidad de peso de fluido al tiempo que pasa por el dispositivo. La potencia transmitida está dada por: P R P R

hR

hR W Q

(40)

Donde: P R

= Potencia transmitida por el fluido al motor.

h R

= Energía transmitida por el fluido.

W

= Rapidez de flujo de peso .

γ

= Peso específico del fluido que fluye por la bomba.

Q

= Rapidez de flujo de volumen del fluido.


P A

Watt

Unidades en el Sistema Británico: P A

lb f pie s

7. Eficiencia Mecánica de los Motores de fluidos:


39



-


Del mismo modo que en las bombas, las pérdidas de energía en un motor de fluido se producen por fricción mecánica y de fluido. Por consiguiente no toda la potencia transmitida al motor es convertida a potencia de salida del dispositivo. e M

salida de potencia del motor

P O

Potencia transmitida por el fluido

P R

También se tiene que

(41)

e M

Problema 1: Aceite, de s.g.=0,84, está fluyendo en una tubería en una tubería bajo las condiciones mostradas en la figura siguiente. Si las pérdidas de energía debidas a la fricción desde el punto 1 al punto 2 es de 3 pies, encontrar la presión en el punto 2.

Q

2,08

pie 3

1

s

z1

D1

6 pulg

P1

65 psi

10,7 pies

Q

2,08

2

D2 z2

pie3 s

9 pulg

4 pies Nivel de referencia

Solución: Aplicando la ecuación general de la energía en los puntos 1 y 2: v12

P1

2 g

P2

z1 P1

hA

hR

v12

v2 2

2 g

h L z1

P2

v2 2 2 g

z 2

z 2

Calculando las velocidades:


40



2,08

s 1 pie

6 pulg

2,08

2

10,60

2

4,71

s 1 pie

9 pulg

0,84

P2

67,95 psi

pie

65

lb f pie3

s

2

: 2

lb f

144 pulg

pulg 2

1 pie2 lb f

0,84

1 pie2

lb f

9 784, 64

pies

12 pulg

62, 4

P 2

s

pie3

Reemplazando en la ecuación

P2

pies

12 pulg

v2 4


pie3

v1 4

-

144 pulg

2

62,4

67, 95

pie 10, 60 s 2

3

pie

2

pie 4, 71 s pies 32,174 s

2

10, 7 4 pies

lb f 2

pulg

Problema 2: Calcule la potencia transmitida por el aceite al motor de fluido que se muestra en la figura siguiente., si la rapidez de flujo de volumen es de 0,25 m 3 /s. Existe una pérdida de energía e 1,4 N.m/N en el sistema de conductos. Si el motor tiene una eficiencia del 75 %, calcule la producción de potencia.

Aceite s. g . 0, 86

10 m

Flujo Motor

300 mm de diámetro inetrior


41



-


Solución: Aplicando la ecuación general de la energía en los puntos 1 y 2: v12

P 1

z1

2 g

h R

v2

m3 0,25 s

Q Al 2 4

z1

z2

0,3 m

3,54 2

hA

z1

h R

hL

v2 2

z2

2 g

v2 2

P 2

2 g

z 2

hL

m s

10 m

Reemplazando en la ecuación

: 3,54

h R

10 m 2

m

2

s

1, 4 m

m

7,96 m

9,81 2 s

Calculando la potencia transmitida por el fluido al motor: P R

hR

Q

7,96 m

0,86 9,81

kN

0, 25

m3

m3 s

16, 79 kW

Con una eficiencia del motor del 75 %: P 0

e M 0,75

P0

V.

P R P 0 16,79 kW

12,60 kW

NÚMERO DE REYNOLDS, FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO: A. Flujo Laminar y Flujo Turbulento: Para calcular la cantidad de energía pérdida debido a la fricción en un sistema de fluido, es necesario caracterizar la naturaleza del fluido. Un flujo lento y uniforme se conoce como Flujo Laminar, mientras que un flujo rápido y caótico se conoce como Flujo Turbulento. Los métodos que se utilizan para calcular la pérdida de


42



-


energía es diferente para cada tipo de flujo. Una importante razón para crear un flujo turbulento es promover la mezcla en aplicaciones como: Mezcla de dos o más fluidos. Aceleración de reacciones químicas. Aumento de la transferencia de calor hacia un fluido o fuera de este.

LAMINAR

TRANSICIÓN

TURBULENTO

Fig.: Experimento de Reynolds

B. Número de Reynolds: En la década de 1880, Osborne Reynolds, ingeniero británico, estudió la transición entre el flujo laminar y turbulento a través de un tubo, y fue el primero en demostrar que un flujo laminar o turbulento puede ser predicho si se conoce la magnitud de un número adimensional, conocido ahora como Número de Reynolds: N Re


v d

43

(42)



-


donde: densidad del fluido v velocidad promediode flujo d diámetro vis cos idad del fluido

Fig.: Osborne Reynolds (1842-1912). Nació en Irlanda, pero fue profesor en la Universidad de Manchester.

Para aplicaciones prácticas en flujos de conductos, tenemos que: Si el N Re para el flujo es menor que 2000, el flujo será laminar. Si el N Re es mayor que 4000, se puede suponer que el flujo es turbulento. En el intervalo de números de Reynolds comprendido entre 2000 y 4000, es imposible predecir que tipo de flujo existe; por consiguiente, este intervalo se conoce como región crítica. Las aplicaciones típicas involucran flujos que se encuentran bien colocados en el intervalo de los flujos laminares o en el intervalo de los flujos turbulentos, de modo que la existencia de esta región de incertidumbre no ocasiona gran dificultad. Si se encuentra que el flujo de un sistema está en la región crítica, la práctica normal consiste en cambiar la rapidez de flujo o el diámetro del conducto para hacer que el flujo sea claramente laminar o turbulento. Entonces se hace posible un análisis más preciso.


44



-


C. Radio hidráulico para secciones transversales no circulares: El radio hidráulico se define como: A

R

(43)

PM

Donde: R: radio hidráulico. A: Área neta de la sección transversal de una corriente de flujo. PM: Perímetro mojado, es decir, aquella porción del perímetro de la sección transversal donde hay contacto entre el fluído y el contorno sólido. Unidades en el Sistema Internacional :

R

m

Unidades en el Sistema Británico :

R

pies

En las figuras siguientes se presentan secciones transversales típicas no circulares cerradas. Las secciones mostradas podrían representar (a) un intercambiador de calor de casco y tubo, (b) y (c) ductos de distribución y (d) trayectoria de flujo dentro de una máquina.

A d

D

4

D2

PM

d 2

D d (a)


45



-


S 2

A

S PM

4 S

(b)

S

A

B H

PM

2 B

H

2 H

(c)

B

A d

S

PM

S2

4

4 S

d 2 d

(d)

S

D. Número de Reynolds para secciones transversales no circulares cerradas: Cuando el fluido llena completamente el área de la sección transversal disponible y se encuentra bajo presión, la velocidad promedio del flujo se determina utilizando la rapidez de flujo de volumen y el área neta de flujo en la ecuación de continuidad: v

Q / A , donde el área es la misma que se utilizó para calcular el radio hidráulico.

El Número de Reynolds para un flujo en secciones no circulares se calcula de manera muy parecida a la usada para conductos y tubos circulares. La única alteración es la sustitución del diámetro, D, con 4R, cuatro veces el radio hidráulico.


46



-

v

N Re

4 R


v

4 R

(44)

Problema 1: Determine si el flujo es laminar o turbulento, si fluye glicerina a 25 ºC en un conducto cuyo diámetro interior es de 150 mm. La velocidad promedio de fl ujo es de 3,6 m/s.

Solución: El número de Reynolds se calcula de: v d

N Re

Donde: 1258

kg

(del apéndice)

m3 9,60 10 1 Pa s (del apéndice) m

v

3,6

d

0,15 m

s

Reemplazando: 1258 N Re

Debido a que el N Re

VI.

kg

3,6

m

0,15 m m3 s 9,60 10 1 Pa s

708

2000 , el flujo es laminar.

PERDIDAS DE ENERGÍA DEBIDO A LA FRICCIÓN: A medida que un fluido fluye por un conducto, tubo o algún otro dispositivo, ocurren pérdidas de energía debido a la fricción interna en el fluido. Tales pérdidas traen como resultado una disminución de la presión entre dos puntos del sistema de flujo.

A. Ecuación de Darcy-Weisbach: Se define como: h L

f

L

v2

D 2 g

(45)

Donde:


47



-


h L: pérdida de energía debido a la fricción. L: Longitud de la corriente de flujo. D: Diámetro de la tubería. v: velocidad media del fluido. f : factor de fricción (adimensional) g : gravedad.

Esta ecuación de puede utilizar parta calcular la pérdida de energía en secciones largas y rectas de conductos redondos, tanto para flujo laminar como turbulento.

B. Pérdidas de fricción en un flujo laminar: Cuando se tiene un flujo laminar, el fluido parece desplazarse en forma de varias capas, una sobre la otra. Debido a la viscosidad del fluido, se crea una tensión de corte entre las capas del fluido. La energía se pierde del fluido mediante la acción de vencer a las fuerzas de fricción producidas por la tensión de corte. Puesto que el flujo laminar es tan regular y ordenado, podemos derivar una relación entre la pérdida de energía y los parámetros medibles del sistema de flujo. Esta relación se conoce como ecuación de Hagen-Poiseuille: h L

32

L v

(46)

D 2

Donde: h L: pérdida de energía debido a la fricción. μ: viscosidad. L: Longitud de la corriente de flujo. D: Diámetro de la tubería. v: velocidad media del fluido. γ: peso específico del fluido.

Comparando la ecuación de Darcy-Weisbach con la ecuación de Hagen-Poiseuille se deduce el factor de fricción como: f

64

(47)

N Re

C. Pérdidas de fricción en un flujo turbulento:


48



-


Para el flujo turbulento de fluidos en conductos circulares resulta más conveniente utilizar la ecuación de Darcy-Weisbach para calcular la pérdida de energía debido a la fricción. No podemos determinar el factor de fricción, f , mediante un simple cálculo como se hizo para un flujo laminar, pues el flujo turbulento no se conforma de movimientos regulares y predecibles 2. Las pruebas han mostrado que el número adimensional f depende de otros dos números, también adimensionales: El número de Reynolds y la rugosidad relativa del conducto. Esta última es el cociente del diámetro, D, del conducto entre la rugosidad promedio, ε, de la pared del conducto.

D r

La condición de la superficie del conducto depende bastante del material con que está hecho el conducto y el método de fabricación. Para conductos y tuberías disponibles comercialmente, el valor de diseño de la rugosidad de la pared, ε, ha sido determinada de la forma en que se muestra en la figura anterior. Éstos son solamente valores promedio para conductos nuevos y limpios. Se debe esperar que haya algo de variación. Después de que un conducto ha estado en servicio durante algún tiempo, la rugosidad puede cambiar debido a la formación de depósitos sobre la pared, o debido a la corrosión. En el anexo III, podemos encontrar una tabla con valores de rugosidad para diversos materiales.

D. Diagrama de Moody: Se usa para evaluar el factor de fricción. El diagrama muestra el factor de fricción, f . 2

El flujo turbulento es bastante caótico y esta cambiando constantemente, por lo que para calcular el valor de f , se debe recurrir a datos experimentales. Un método bastante empleado en el cálculo de f , es el uso del diagrama de Moody.


49



-


El diagrama muestra el factor d fricción, f , graficado contra el número de Reynolds, N RE ,

con una serie de curvas paramétricas relacionadas con la rugosidad relativa,

D / .Estas curvas fueron generadas a partir de datos experimentales por L.F.

Moody. Tanto f como N RE están graficados en escalas logarítmicas, debido al amplio intervalo de valores encontrados.

E. Ecuaciones del factor de fricción: Alternativamente al diagrama de Moody, y sobre todo en los casos en que se requiere automatizar la solución haciendo uso de algún ordenador, es necesario tener ecuaciones para encontrar el factor de fricción. En la bibliografía se pueden encontrar una diversidad de ecuaciones para el cálculo del factor f para diferentes intervalos del N Re y tipos de conductos. Sin embargo, por fines prácticos, en esta guía se hará uso de lo siguiente: 1. Flujo Laminar:

Se usará la ecuación (46):


50



-


64

f

N Re

2. Flujo Turbulento:

Se puede hacer uso de la ecuación desarrollada por P. K. Swamee y A. K. Jain: 0,25

f

(48)

2

log

1

5, 74 N Re 0,9

3, 7 D /

Esta ecuación se utiliza para intervalos de D/ε comprendidos entre 1 000 y 1×10 6 y para números de Reynolds que van de 5×10 3 hasta 1×10 8. Problema 1: Un ventilador de flujo axial de marca y modelo dados trabajando a 900 rpm posee la siguiente performance presión – caudal volumétrico provisto por su fabricante:

P

30 10

7

Q 2 ; P

pie 3

pulg de H 2O, Q

s

El ventilador toma el aire de la atmósfera en reposo y lo descarga a un recinto a presión atmosférica a través de un tubo de sección rectangular 8 ×16 pulg de chapa lisa, de longitud total 200 pies. Despreciando las pérdidas menores determine que caudal volumétrico de aire entrega en condiciones estándar. Se puede considerar la P

energía añadida por el ventilador como: h A

.

8 pulg P amb v

Ventilador

P amb

v

0

1 6

L

p u l g

200 pies

Solución: Aplicando la E. G. E. en la entrada y en la descarga: P 1

2

v1

2 g


z 1

h A

h R

51

h L

P 2

v2

2

2 g

z 2



-

v2 2

h A P

Pero: h A


hL

2 g

1

, y reemplazando en la ecuación (1) se tiene: P

v2 2

hL

2 g

El valor de P se puede calcular a partir de

2

P

30 10

7

Q 2 , el cual se debe

expresar en función de v2 y convertir sus unidades al S. I. 7

Q2

P

30 10

P

30 pulg H 2O

30 10

7

249,17 Pa

7

10

1 pulg H 2O

P A

A2 v2 2

A2 v2 2

pulg H 2O pie3 min

2

7475,1 112 A2 v22

249,17 Pa

0,0283 m 1min 1 pie3

2

1 pulg H 2O

60 s

3

0,08258 m2

Las pérdidas por fricción se calculan a partir de la ecuación de Darcy para secciones no circulares: h L

f

L

v2 2

4 R 2 g

4

Donde R, es el diámetro hidráulico: R

A

0,08258 m2

PM

1, 2192 m

0,06773 m

Donde PM , es el perímetro mojado. L

200 pies

0,3048 m 1 pie

60,96 m

Reemplazando en la ecuación (2) y ordenando tenemos: 86,4587

v2 0, 7638


2 g

52

5

1 225, 01 f



-


Donde el valor de f se calcula a partir de: 0,25

f

2

1

log

5, 74 D

3,7

6

N Re0,9

D, es el diámetro hidráulico: D

4 R 0 (rugosidad)

El N Re se calcula a partir de: v2 4 R

N Re

7

Para el aire a condiciones estándar: 1, 225 kg / m3 12,01 N / m3 1,789 10 5 Pa s

Se realizan las iteraciones partiendo de un supuesto para el valor de v2, obteniéndose la siguiente tabla: v 2

1 38,66712503 49,36134214 49,92915853 49,95536102

NRe

f

18550,9782 0,026308769 717312,9934 0,012284312 915701,1819 0,011780574 926234,7315 0,011757743 926720,8133 0,011756697

El caudal volumétrico es Q 4,125

Q

0,0825805 3,19315052 4,07628431 4,12317488 4,12533869

m3 s

Problema 2: Calcule el mínimo diámetro de una tubería de acero comercial (

3 0,046 mm ) que debe transportar un caudal de 8 m /min de aceite de viscosidad

cinemática 10-5 m2 /s y densidad relativa 0,8 asumiendo que la pérdida de energía mecánica a lo largo de 300 m de tubería no debe superar 25 kg f .m/s.

Solución:


53



-


La pérdida de energía se calcula con la ecuación de Darcy: h L

f

v2

L

1

D 2 g

Datos: 0, 046 mm Q

8

m3

1min

min

60 s

10

5

Ac

h L L

4, 6 10 5 m s

m2 s

rel

25

0,133

m3

0,8 1000

H 2O

kg f m

245, 25

s

kg

800

m3

kg m3

J s

300 m

Flujo de peso: W

h L

v

Q g h L  W Q A

800

kg

0,133

3

m

m3

9,81

s

m s

1043,78

2

N

s

J s 0,235 m N 1043,78 s 4 0,133 4 Q 0,169 245, 25

D2

D2

D2

Reemplazando en la ecuación (1)

0,235 m

300 m

f

D

0,538

D

0,169 D2

m 9,81 2 s

2 f D5

f

5

2

0,538

2

Además se tiene: N Re

v D

v D


4 Q

16 942, 68

D

D

54

,y




0,25

f

2

1

log 3,7

D1

-

5, 74

D

N Re0,9

f

5

0,538

Se realizan las iteraciones partiendo de un supuesto para el valor de D0, obteniéndose la siguiente tabla: D0

NRe

f

1 0,54981157 0,53457055 0,53391638 0,53388803 0,5338868

1,69E+04 3,08E+04 3,17E+04 3,17E+04 3,17E+04 3,17E+04

D1

0,02703035 0,54981157 0,02348591 0,53457055 0,02334256 0,53391638 0,02333636 0,53388803 0,0233361 0,5338868 0,02333608 0,53388675

Se observa que las iteraciones se estabilizan en el diámetro 0,5338 m.

VII.

PÉRDIDAS MENORES: Estás pérdidas generalmente son pequeñas en comparación con las pérdidas debido a la fricción y ocurren cuando hay un cambio en la sección cruzada de la trayectoria de flujo o en la dirección de flujo, o cuando la trayectoria de flujo se encuentra obstruida por ejemplo: con una válvula.

A. Primer Método: Ecuación Fundamental de las Pérdidas Menores Las pérdidas menores de energía son proporcionales a la cabeza de velocidad del fluido a fluir este alrededor de un codo, a través de una dilatación o contracción de la sección de flujo, o a través de una válvula: h L

K

v2 2 g

(49)

Donde: h L : es la pérdida menor de energía. K : coeficiente de

resistencia (adimensional).


55



v:

-


velocidad de flujo promedio en el conducto en el lugar donde se presenta la

pérdida menor. 1. Dilatación súbita:

Cuando un fluido fluye a través de una tubería que se ensancha bruscamente, su velocidad disminuye abruptamente ocasionando una turbulencia entre la vena líquida y la pared de la tubería que genera una pérdida de energía. Región de turbulencia

v1

D1

D2

La pérdida menor se calcula mediante: h L

K

v12 2 g

(50)

Donde: v1 ,

es la velocidad de flujo promedio en el conducto menor que esta delante de la

dilatación. El valor de K depende tanto de la proporción de los tamaños de los dos conductos como de la magnitud de la velocidad de flujo como podemos ver en la siguiente tabla:


56



-


Tabla: Coeficientes de resistencia-Dilatación súbita Velocidad, v1

1,0

0,6 m/s 2 pies/s 0,0

1,2 m/s 4 pies/s 0,0

3 m/s 10 pies/s 0,0

4,5 m/s 15 pie/s 0,0

6 m/s 20 pies/s 0,0

9 m/s 30 pies/s 0,0

12 m/s 40 pies/s 0,0

1,2

0,11

0,10

0,09

0,09

0,09

0,09

0,08

1,4

0,26

0,25

0,23

0,22

0,22

0,21

0,20

1,6

0,40

0,38

0,35

0,34

0,33

0,32

0,32

1,8

0,51

0,48

0,45

0,43

0,42

0,41

0,40

2,0

0,60

0,56

0,52

0,51

0,50

0,48

0,47

2,5

0,74

0,70

0,65

0,63

0,62

0,60

0,58

3,0

0,83

0,78

0,73

0,70

0,69

0,67

0,65

4,0

0,92

0,87

0,80

0,78

0,76

0,74

0,72

5,0

0,96

0,91

0,84

0,82

0,80

0,77

0,75

10,0

1,00

0,96

0,89

0,86

0,84

0,82

0,80

∞

1,00

0,98

0,91

0,88

0,86

0,83

0,81

D2/D1

Fuente: H. W. King y E. F. Brater. 1963. Hadbook of Hydraulics, 5ª ed. Nueva York: McGrawHill. (Tabla 6-7. Velocidades convertidas a unidades S.I.)

El valor de K también puede ser calculado analíticamente a partir de la ecuación general de la energía: P1

v12 2 g

z1

h A

hR

P2

hL

v2 2 2 g

z 2

En donde se puede suponer que: h A 0 , h R 0 , P1 P 2 , y z1

z 2 , por lo que

obtenemos: v12

h L

v2 2

(51)

2 g

Además, de la ecuación de continuidad se tiene: v2


A1 A2

D1

v1

D2

57

2

v1

(52)



-


Reemplazando en la ecuación (48): 2 1

D1 D2

1

v h L

4

(53)

2 g

Pero sabemos que: h L

K

v12 2 g

(54)

Igualando las ecuaciones (50) y (51) obtenemos: D1

K 1

D2

4

(55)

Un caso particular de las pérdidas de energía por dilatación súbita sería el de una tubería que abastece un depósito:

v1

2

D1

D2

En este caso D2 es mucho mayor que D1, por lo que de la ecuación (53) se tiene K=1, quedando la ecuación de la pérdida de energía como:

h L

v12

1

2 g

(56)

2. Dilatación Gradual:

En la dilatación gradual, la transición de un conducto menor a uno mayor es menos abrupta por lo que la pérdida de energía es menor que en la dilatación súbita. Esto se logra colocando una sección cónica entre los dos conductos.


58



-


Zona de separación para ángulo de cono grande

v1

Ángulo de cono

D1

D2

La pérdida de energía para una dilatación gradual se calcula mediante la ecuación: h L

K

v12

(57)

2 g

Donde: v1 , es la

velocidad del conducto menor que está delante de la dilatación.

El valor del coeficiente de resistencia, K , depende tanto de la proporción de los diámetros D2 /D1 y del ángulo de cono θ , como podemos ver en la siguiente tabla: Tabla: Coeficientes de resistencia-Dilatación gradual Ángulo del cono, D2/D1

2º

6º

10º

15º

20º

25º

30º

35º

1,1

0,01

0,01

0,03

0,05

0,10

0,13

0,16

0,18 0,19 0,20 0,21 0,23

1,2

0,02

0,02

0,04

0,09

0,16

0,21

0,25

0,29 0,31 0,33 0,35 0,37

1,4

0,02

0,03

0,06

0,12

0,23

0,30

0,36

0,41 0,44 0,47 0,50 0,53

1,6

0,03

0,04

0,07

0,14

0,26

0,35

0,42

0,47 0,51 0,54 0,57 0,61

1,8

0,03

0,04

0,07

0,15

0,28

0,37

0,44

0,50 0,54 0,58 0,61 0,65

2,0

0,03

0,04

0,07

0,16

0,29

0,38

0,46

0,52 0,56 0,60 0,63 0,68

2,5

0,03

0,04

0,08

0,16

0,30

0,39

0,48

0,54 0,58 0,62 0,65 0,70

3,0

0,03

0,04

0,08

0,16

0,31

0,40

0,48

0,55 0,59 0,63 0,66 0,71

∞

0,03

0,05

0,08

0,16

0,31

0,40

0,49

0,56 0,60 0,64 0,67 0,72

40º

45º

50º

Fuente: H. W. King y E. F. Brater. 1963. Hadbook of Hydraulics, 5ª ed. Nueva York: McGrawHill. (Tabla 6-8)


59


60º


-


La pérdida de energía calculada con la ecuación (56) no incluye la pérdida debido a la fricción en las paredes de la transición. A menor ángulo de conicidad ( θ), menor pérdida de carga localizada, pero a cambio se precisa una mayor longitud de la transición, por lo que aumentan las pérdidas de carga debido a la fricción. Se ha demostrado experimentalmente, tomando en cuenta tanto la pérdida de fricción de la pared como la pérdida debido a la dilatación, que el ángulo óptimo de conicidad en el cual la pérdida de energía es mínima es de aproximadamente 7º. 3. Contracción Súbita:

La pérdida de energía cuando ocurre un estrechamiento brusco de la sección o también llamado contracción súbita, se calcula a partir de la siguiente ecuación: h L

K

v2 2 2 g

(58)

Donde: v2 ,

es la velocidad en la corriente hacia abajo del conducto menor a partir de la

contracción. Vena contracta

Flujo

2

1 Zonas de turbulencia

Líneas de trayectoria

Fig.: Vena contracta en una dilatación súbita

Como se puede observar en la figura, la turbulencia ocasionada por la contracción y la posterior dilatación genera la pérdida de energía.


60



-


El valor del coeficiente de resistencia, K , depende de la proporción de los tamaños de los dos conductos y de la magnitud de la velocidad de flujo como podemos ver en la siguiente tabla: Tabla: Coeficientes de resistencia-Contracción súbita Velocidad, v2 D2/D1 0,6 m/s 2 pies/s

1,2 m/s 4 pies/s

1,8 m/s 6 pies/s

2,4 m/s 3 m/s 4,5 m/s 6 m/s 9 m/s 12 m/s 8 pie/s 10 pies/s 15 pies/s 20 pies/s 30 pies/s 40 pies/s

1,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

1,1

0,03

0,04

0,04

0,04

0,04

0,04

0,05

0,05

0,06

1,2

0,07

0,07

0,07

0,07

0,08

0,08

0,09

0,10

0,11

1,4

0,17

0,17

0,17

0,17

0,18

0,18

0,18

0,19

0,20

1,6

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,25

0,25

0,25

0,24

1,8

0,34

0,34

0,34

0,33

0,33

0,32

0,31

0,29

0,27

2,0

0,38

0,37

0,37

0,36

0,36

0,34

0,33

0,31

0,29

2,2

0,40

0,40

0,39

0,39

0,38

0,37

0,35

0,33

0,30

2,5

0,42

0,42

0,41

0,40

0,40

0,38

0,37

0,34

0,31

3,0

0,44

0,44

0,43

0,42

0,42

0,40

0,39

0,36

0,33

4,0

0,47

0,46

0,45

0,45

0,44

0,42

0,41

0,37

0,34

5,0

0,48

0,47

0,47

0,46

0,45

0,44

0,42

0,38

0,35

10,0

0,49

0,48

0,48

0,47

0,46

0,45

0,43

0,40

0,36

∞

0,49

0,48

0,48

0,47

0,47

0,45

0,44

0,41

0,38

Fuente: H. W. King y E. F. Brater. 1963. Hadbook of Hydraulics, 5ª ed. Nueva York: McGrawHill. (Tabla 6-9. Velocidades convertidas a unidades S.I.)

Un caso particular de la pérdida de energía por contracción súbita es el de una tubería que sale de un depósito (embocadura). 4. Contracción Gradual:

Al pasar un fluido por una contracción gradual tal como se muestra en la figura, las pérdidas de energía se reducen sustancialmente, siendo la totalidad de las pérdidas de carga debidas a la fricción.


61



-


D1

v2 D2

Fig.: Contracción gradual

La pérdida de energía se calcula con la siguiente ecuación: h L

K

v2 2

(59)

2 g

En donde el coeficiente de resistencia, K , se calcula en función del ángulo de cono θ , como

se puede observar en la siguiente tabla: Tabla: coeficientes de pérdida para contracciones graduales Ángulo del cono, θ

Coeficiente de pérdida, K

30 º

0,02

45º

0,04

60º

0,07

5. Perdida de entrada:

Esta pérdida ocurre cuando un fluido fluye desde un depósito o tanque relativamente grande hacia un conducto. La pérdida de energía en una entrada se calcula a partir de: h L

K

v2 2 2 g

(60)

El valor del coeficiente de resistencia, K , depende de la geometría de la entrada:


62



-


Tanque grande

Conducto de proyección hacia adentro

v2

D2

K 1, 0

Tanque grande Entrada de borde cuadrado

v2

D2

K 0,5

Tanque grande

Entrada achaflanada v2

K


63

D2

0,25



-

Tanque


r

grande Entrada redondeada

D2

v2 r / D2

K

0

0, 50

0,02

0,28

0, 04

0, 2 4

0,06

0,15

0,10

0,09

0,15

0,04 (Bien redondeada)

6. Pérdidas por bifurcaciones:

Si los conductos tienen el mismo diámetro, las bifurcaciones pueden ser de dos tipos:

a) Divergencia: la corriente se divide en dos. v

v1 v 2

h L,1

h L,2

v12

K

2 g

K

v22 2 g

(61)

(62)

Ángulo, θ

90 º

45 º

K

0,50

0,25

b) Convergencia: Cuando se reúnen dos corrientes.


64



-


v

v1

v

2

h L,1

h L,2

v12

K

2 g

K

v22 2 g

(63)

(64)

Ángulo, θ

90 º

45 º

K

1,00

0,50

7. Coeficientes de resistencia para válvulas y junturas:

Las válvulas se utilizan para controlar la cantidad de flujo y pueden ser válvulas de globo, de ángulo, de mariposa, etc.

Fig.: Válvula de retención

Fig.: Válvulas de compuerta

Fig.: Válvula de mariposa Ing. Alberto Sánchez Guzmán

Fig.: Válvula de cuchillo 65



-


Fig.: Válvulas de globo

Fig.: Válvulas aguja

Fig.: Válvulas de bola

Fig.: Válvulas de diafragma

Las junturas dirigen la trayectoria de flujo u ocasionan un cambio en el tamaño de la trayectoria de flujo. Se incluyen los codos de varios diseños, tes, reductores, boquillas y orificios.

Fig.: Codo de 90º


Fig.: Te normal

66

Fig.: Reductor



-

Fig.: Codo de calle reductor de 90º


Fig.: Unión

Fig.: Tapa

Fig.: Niples

Las pérdidas de energía que ocurren cuando un fluido fluye través de una válvula o juntura se calcula a partir de: h L

K

v2 2 g

(65)

El valor del coeficiente de resistencia, K , se puede calcular del Anexo V.

B. Segundo Método: Longitud de tubería equivalente Este método consiste en considerar las pérdidas secundarias como longitudes equivalentes, es decir longitudes en metros de un tramo de tubería del mismo diámetro que produciría las mismas pérdidas de carga que los accesorios en cuestión. Luego se aplica la ecuación de Darcy - Weisbach, considerando agregar a los tramos rectos de la tubería, las longitudes equivalentes de los accesorios diversos.


67



h L

-

f

L

Le D


v2 2 g

(66)

Donde: h L : Pérdida de energía debido a la fricción.

f : Factor de fricción. L: Longitud total de los tramos de tubería.

Le : Suma de todas las longitudes equivalentes a los accesorios diversos. v : Velocidad media del fluido.

D : Diámetro de la tubería. g : Gravedad.

Para encontrar las longitudes equivalentes de los diversos, se utiliza el nomograma de la figura siguiente.


68




-

69




-


Problema 1: Un equipo industrial requiere de un caudal de agua de 5,7 m 3 /min que será obtenido desde una línea de alimentación principal cuya presión es 800 kPa (man). En el equipo se requiere una presión de entrada mínima de 500 kPa (man). La disposición de la línea de alimentación está fijada y posee una longitud total de 65 m con 4 codos estándares. Determínese el diámetro de tubería de hierro galvanizado (

0,152 mm ) que

satisface a este requerimiento.

Entrada al equipo:

P 2

Alimentación:

P 1

Equipo

Q

Solución: Aplicando la ecuación general de la energía en la alimentación y en la entrada del equipo: v12

P1

2 g

z 1

hA

h R P1

h L

P2

h L P 2

v2 2 2 g

z 2

1

h L , se calcula para la tubería recta y para los 4 codos: 

Tubería recta: Se aplica la ecuación de Darcy: h L1

L

f

v2

D 2 g

2

Pero: Q

v 4

4 Q

D

D 2

2

3

Reemplazando en la ecuación (2) se tiene: h L1


8 f L Q 2 2

D 5 g

70

4





-


4 codos: Se aplica la ecuación de perdidas de energía para accesorios: h L2

v2

K

5

2 g

Donde el valor de K para un codo normal de 90º es 0,75. Reemplazando el valor de v en la ecuación (5) 8 K Q

h L2

2

2

6

D 4 g

Pero, para 4 codos se tiene: 2 32 K Q

h L2

2

7

D 4 g

Por lo tanto el valor de h L se calcula de: h L

hL1

8 f L Q 2

h L

2

hL2

32 K Q 2

D 5 g

2

D 4 g

8

Reemplazando la ecuación (8) en la (1): 8 Q2 2

f L

4 K P1

D 5

P 2

9

D4

Reemplazando datos: m3

1 min 8 5, 7 min 60 s

2

2

65 f D

800 500 kPa

4 0,75

5

D

65 f

3

D5

D4

4

1000

103 Pa 1kPa

kg m3

40967,87

Ordenando: D

0, 070289

4

65 f

D

3

10

3

11

La cual la podemos escribir como: D1


0, 070289

71

4

65 f

D0



-


En donde se asumirá un valor para D0 , con el cual se va a calcular el N Re y luego f ; los que al reemplazar en la ecuación anterior nos dará un valor para D1 . Este valor se reemplazara en la ecuación como D0 hasta que D1 D0 . Además el valor de f se calcula de la ecuación de P. K. Swamee y A. K. Jain: 0,25

f 1

log 3,7

Donde:

12

2

5, 74

N Re0,9

D

1, 52 10 1 m

Y, el valor del Número de Reynolds se calcula a partir de la ecuación: v D

N Re

Donde:

1000

kg m

3

y

4

Q D

13

1,52 10 3 Pa s

Efectuando los cálculos se tiene la siguiente tabla: D0

N Re

f

D1

0,5 0,107047675 0,141146897 0,132147281 0,13416237 0,133692457 0,13380103 0,13377589 0,133781708 0,133780361

1,59E+05 7,44E+05 5,64E+05 6,02E+05 5,93E+05 5,96E+05 5,95E+05 5,95E+05 5,95E+05 5,95E+05

1,83E-02 2,18E-02 2,06E-02 2,09E-02 2,08E-02 2,08E-02 2,08E-02 2,08E-02 2,08E-02 2,08E-02

0,107047675 0,141146897 0,132147281 0,13416237 0,133692457 0,13380103 0,13377589 0,133781708 0,133780361 0,133780673

Donde se puede observar que el diámetro se estabiliza en D 0,1338 m Luego, se seleccionara un diámetro igual o mayor a dicho valor, pues se requiere de una presión de entrada al equipo no menor a 500 kPa. Además debe adoptarse un valor estandarizado de diámetro de tubería.


72



-


BIBLIOGRAFÍA

EVETT, J. y LIU, C. Fluid Mechanics and Hydraulics. Edit. McGraw-Hill, Inc. United States of America. 1984. FOX, R. y McDONALD, A. Introducción a la mecánica de fluidos. Segunda edición. Editorial Interamericana. México, 1983. FRANZINI, J. y FINNEMORE, E. Mecánica de fluidos con aplicaciones en ingeniería. Novena edición. Edit. McGraw-Hill, Inc. España, 1999.

KUNDU, P. y COHEN, I. Fluid Mechanics. Second edition. Academic Press. United States of America, 2002. MATAIX, Claudio. Mecánica de Fluidos y máquinas hidráulicas. Segunda edición. Ediciones del Castillo S.A. España, 1986. MOTT, Robert. Mecánica de Fluidos Aplicada. Cuarta edición. Editorial PRENTICE-HALL. México, 1996.


73



-


ANEXOS I.

PROPIEDADES DEL AGUA Unidades S.I. [101 kPa (abs) y 25 ºC]

Temperatura

Peso específico 3

(º C )

(kN / m )

Densidad 3

(kg / m )

Viscosidad dinámica ( Pa s) o 2

( N s / m )

Viscosidad cinemática (m 2 / s)

0 5

9,81 9,81

1 000 1 000

1,75 × 10-3 1,52 × 10-3

1,75 × 10-6 1,52 × 10-6

10

9,81

1 000

1,30 × 10-3

1,30 × 10-6

15 20

9,81 9,79

1 000 998

1,15 × 10-3 1,02 × 10-3

1,15 × 10-6 1,02 × 10-6

25

9,78

997

8,91 × 10-4

8,94 × 10-7

30 35

9,77 9,75

996 994

8,00 × 10-4 7,18 × 10-4

8,03 × 10-7 7,22 × 10-7

40

9,73

992

6,51 × 10-4

6,56 × 10-7

45

9,71

990

5,94 × 10-4

6,00 × 10-7

50 55

9,69 9,67

988 986

5,41 × 10-4 4,98 × 10-4

5,48 × 10-7 5,05 × 10-7

60

9,65

984

4,60 × 10-4

4,67 × 10-7

65 70

9,62 9,59

981 978

4,31 × 10-4 4,02 × 10-4

4,39 × 10-7 4,11 × 10-7

75

9,56

975

3,73 × 10-4

3,83 × 10-7

80 85

9,53 9,50

971 968

3,50 × 10-4 3,30 × 10-4

3,60 × 10-7 3,41 × 10-7

90

9,47

965

3,11 × 10-4

3,22 × 10-7

95

9,44

962

2,92 × 10-4

3,04 × 10-7

100

9,40

958

2,82 × 10-4

2,94 × 10-7

Fuente:

R.

L.

Mott,

1996. Mecánica

de

Fluidos

Aplicada ,

PRENTICE-HALL

HISPANOAMERICANA S.A., México, 4a. Ed., p.535.


74



-


2

Sistema Británico de Unidades (14,7 lb f /pulg absolutas)

Peso específico

Temperatura (º F )

3

(lb f / pie )

Densidad 3

( slugs / pie )

Viscosidad dinámica (lb f s / pie2 )

Viscosidad cinemática 2

( pie / s)

32 40

62,4 62,4

1,94 1,94

3,66 × 10-5 3,23 × 10-5

1,89 × 10-5 1,67 × 10-5

50

62,4

1,94

2,72 × 10-5

1,40 × 10-5

60

62,4

1,94

2,35 × 10-5

1,21 × 10-5

70

62,3

1,94

2,04 × 10-5

1,05 × 10-5

80

62,2

1,93

1,77 × 10-5

9,15 × 10-6

90

62,1

1,93

1,60 × 10-5

8,29 × 10-6

100 110

62,0 61,9

1,93 1,92

1,42 × 10-5 1,26 × 10-5

7,37 × 10-6 6,55 × 10-6

120

61,7

1,92

1,14 × 10-5

5,94 × 10-6

130 140

61,5 61,4

1,91 1,91

1,05 × 10-5 9,60 × 10-6

5,49 × 10-6 5,03 × 10-6

150

61,2

1,90

8,90 × 10-6

4,68 × 10-6

160 170

61,0 60,8

1,90 1,89

8,30 × 10-6 7,70 × 10-6

4,38 × 10-6 4,07 × 10-6

180

60,6

1,88

7,23 × 10-6

3,84 × 10-6

190

60,4

1,88

6,80 × 10-6

3,62 × 10-6

200

60,1

1,87

6,25 × 10-6

3,35 × 10-6

212

59,8

1,86

5,89 × 10-6

3,17 × 10-6

Fuente:

R.

L.

Mott,

1996. Mecánica

de

Fluidos

Aplicada ,

PRENTICE-HALL



75



II.

-


PROPIEDADES DE LÍQUIDOS COMUNES:

Unidades S.I. [101 kPa (abs)]

Viscosidad dinámica ( Pa s) o

sg

Peso especifico (kN / m 3 )

Acetona

0,787

7,72

787

3,16 × 10-4

Alcohol, etílico

0,787

7,72

787

1,00 × 10-3

Alcohol metílico

0,789

7,74

789

5,60 × 10-4

Alcohol propílico

0,802

7,87

802

1,92 × 10-3

Amoniaco

0,826

8,10

826

-

Benceno

0,876

8,59

876

6,03 × 10-4

Tetracloruro de carbono

1,590

15,60

1590

9,10 × 10-4

Aceite de ricino

0,960

9,42

960

6,51 × 10-1

Etilenglicol

1,100

10,79

1100

1,62 × 10-2

Gasolina

0,68

6,67

680

2,87 × 10-4

Glicerina

1,258

12,34

1 258

9,60 × 10-1

Queroseno

0,823

8,07

823

1,64 × 10-3

Aceite de linaza

0,930

9,12

930

3,31 × 10-2

Mercurio

13,54

132,8

13 540

1,53 × 10-3

Propano

0,495

4,86

495

1,10 × 10-4

Agua de mar

1,030

10,10

1 030

1,03 × 10-3

Trementina

0,870

8,53

870

1,37 × 10-3

Aceite de petróleo, medio Aceite de petróleo, pesado

0,852

8,36

852

2,99 × 10-3

0,906

8,89

906

1,07 × 10-1

1996. Mecánica

de

Gravedad específica

Fuente:

R.

L.

Mott,

Fluidos

Densidad 3

(kg / m )

2

( N s / m )

Aplicada ,

PRENTICE-HALL



76



-


2

Sistema Británico de Unidades (14,7 lb f /pulg absolutas)

Gravedad específica

Peso especifico 3

Viscosidad dinámica

Densidad 3

( slugs / pie )

(lb f s / pie2 )

sg

(lb f / pie )

Acetona

0,787

48,98

1,53

6,60 × 10-6

Alcohol, etílico

0,787

49,01

1,53

2,10 × 10-5

Alcohol metílico

0,789

49,10

1,53

1,17 × 10-5

Alcohol propílico

0,802

49,94

1,56

4,01 × 10-5

Amoniaco

0,826

51,41

1,60

-

Benceno

0,876

54,55

1,70

1,26 × 10-5

Tetracloruro de carbono

1,590

98,91

3,08

1,90 × 10-5

Aceite de ricino

0,960

59,69

1,86

1,36 × 10-2

Etilenglicol

1,100

68,47

2,13

3,38 × 10-4

Gasolina

0,68

42,40

1,32

6,00 × 10-6

Glicerina

1,258

78,50

2,44

2,00 × 10-2

Queroseno

0,823

51,20

1,60

3,43 × 10-5

Aceite de linaza

0,930

58,00

1,80

6,91 × 10-4

Mercurio

13,54

844,9

26,26

3,20 × 10-5

Propano

0,495

30,81

0,96

2,30 × 10-6

Agua de mar

1,030

64,00

2,00

2,15 × 10-5

Trementina

0,870

54,20

1,69

2,87 × 10-5

Aceite de petróleo, medio

0,852

53,16

1,65

6,25 × 10-5

Aceite de petróleo, pesado

0,906

56,53

1,76

2,24 × 10-3

Fuente:

R.

L.

Mott,

1996. Mecánica

de

Fluidos

Aplicada ,

PRENTICE-HALL

HISPANOAMERICANA S.A., México, 4a. Ed., p.538


77



III.

RUGOSIDAD

DE

-

MATERIALES


COMUNMENTE

USADOS

EN

CONDUCTOS:

Rugosidad

Material

(m)

Rugosidad ( pie)

Vidrio, plástico

suavidad

suavidad

Cobre, latón, plomo (tubería)

1,5 × 10 -6

5 × 10-6

Hierro fundido: sin revestir Hierro fundido: revestido de asfalto Acero comercial o acero soldado

2,4 × 10 -4

8 × 10-4

1,2 × 10 -4

4 × 10-4

4,6 × 10 -5

1,5 × 10 -4

Hierro forjado

4,6 × 10 -5

1,5 × 10 -4

Hierro galvanizado

1,5 × 10 -4

5 × 10-4

Acero remachado Concreto

1,8 × 10 -3 1,2 × 10 -3

6 × 10-3 4 × 10-3


78



IV.

-


DIMENSIONES DE TUBOS DE ACERO: Calibre 40

Tamaño nominal dela tubería (pulgadas)

(pulg)

(mm)

(pulg)

(mm)

(pulg)

(pie)

(mm)

(pie2)

(m2)

1/8

0,405

10,3

0,068

1,73

0,269

0,0224

6,8

0,000 394

3,660×10-5

1/4

0,540

13,7

0,088

2,24

0,364

0,0303

9,2

0,000 723

6,717×10-5

3/8

0,675

17,1

0,091

2,31

0,493

0,0411

12,5

0,001 33

1,236×10-4

1/2

0,840

21,3

0,109

2,77

0,622

0,0518

15,8

0,002 11

1,960×10-4

3/4

1,050

26,7

0,113

2,87

0,824

0,0687

20,9

0,003 70

3,437×10-4

1

1,315

33,4

0,33

3,38

1,049

0,0874

26,6

0,006 00

5,574×10-4

1¼

1,660

42,2

0,140

3,56

1,380

0,1150

35,1

0,010 39

9,653×10-4

1½

1,900

48,3

0,145

3,68

1,610

0,1342

40,9

0,014 14

1,314×10-3

2

2,375

60,3

0,154

3,91

2,067

0,1723

52,5

0,023 33

2,168×10-3

2½

2,875

73,0

0,203

5,16

2,469

0,2058

62,7

0,033 26

3,090×10-3

3

3,500

88,9

0,216

5,49

3,068

0,2557

77,9

0,051 32

4,768×10-3

3½

4,000

101,6

0,226

5,74

3,548

0,2957

90,1

0,068 68

6,381×10-3

4

4,5000

114,3

0,237

6,02

4,026

0,3355

102,3

0,088 40

8,213×10-3

5

5,563

141,3

0,258

6,55

5,047

0,4206

128,2

0,139 0

1,291×10-2

6

6,625

168,3

0,280

7,11

6,065

0,5054

154,1

0,200 6

1,864×10-2

8

8,625

219,1

0,322

8,18

7,981

0,6651

202,7

0,347 2

3,226×10-2

10

10,750

273,1

0,365

9,27

10,020 0,8350

254,5

0,547 9

5,090×10-2

12

12,750

323,9

0,406

10,31

11,938

0,9948

303,2

0,777 1

7,219×10-2

14

14,000

355,6

0,437

11,10

13,126

1,094

333,4

0,939 6

8,729×10-2

16

16,000

406,4

0,500

12,70

15,000

1,250

381,0

1,227

0,114 0

18

18,000

457,2

0,562

14,27

16,876

1,406

428,7

1,553

0,144 3

20

20,000

508,0

0,593

15,06

18,814

1,568

477,9

1,931

0,179 4

24

24,000

609,6

0,687

17,45

22,626

1,886

574,7

2,792

0,259 4

Fuente:

Diámetro exterior

R.

L.

Mott,

Grosor de la pared

1996. Mecánica

Diámetro interior

de

Fluidos

Aplicada ,

Área de flujo

PRENTICE-HALL



79



-


Calibre 80

Tamaño nominal dela tubería (pulgadas)

(pulg)

(mm)

(pulg)

(mm)

(pulg)

(pie)

(mm)

(pie2)

(m2)

1/8

0,405

10,3

0,095

2,41

0,215

0,017 92

5,5

0,000 253

2,350×10-5

1/4

0,540

13,7

0,119

3,02

0,302

0,025 17

7,7

0,000 497

4,617×10-5

3/8

0,675

17,1

0,126

3,20

0,423

0,035 25

10,7

0,000 976

9,067×10-5

1/2

0,840

21,3

0,147

3,73

0,546

0,045 50

13,9

0,001 625

1,510×10-4

3/4

1,050

26,7

0,154

3,91

0,742

0,061 83

18,8

0,003 00

2,787×10-4

1

1,315

33,4

0179

4,55

0,957

0,079 75

24,3

0,004 99

4,636×10-4

1¼

1,660

42,2

0,191

4,85

1,278

0,106 5

32,5

0,008 91

8,278×10-4

1½

1,900

48,3

0,200

5,08

1,500

0,125 0

38,1

0,012 27

1,140×10-3

2

2,375

60,3

0,218

5,54

1,939

0,161 6

49,3

0,020 51

1,905×10-3

2½

2,875

73,0

0,276

7,01

2,323

0,193 6

59,0

0,029 44

2,735×10-3

3

3,500

88,9

0,300

7,62

2,900

0,241 7

73,7

0,045 90

4,264×10-3

3½

4,000

101,6

0,318

8,08

3,364

0,280 3

85,4

0,061 74

5,736×10-3

4

4,5000

114,3

0,337

8,56

3,826

0,318 8

97,2

0,079 86

7,419×10-3

5

5,563

141,3

0,375

9,53

4,813

0,401 1

122,3

0,126 3

1,173×10-2

6

6,625

168,3

0,432

10,97

5,761

0,480 1

146,3

0,181 0

1,682×10-2

8

8,625

219,1

0,500

12,70

7,625

0,635 4

193,7

0,317 4

2,949×10-2

10

10,750

273,1

0,593

15,06

9,564

0,797 0

242,9

0,498 6

4,632×10-2

12

12,750

323,9

0,687

17,45

11,376

0,948 0

289,0

0,705 6

6,555×10-2

14

14,000

355,6

0,750

19,05

12,500

1,042

317,5

0,852 1

7,916×10-2

16

16,000

406,4

0,842

21,39

14,314

1,193

363,6

1,117

0,103 8

18

18,000

457,2

0,937

23,80

16,126

1,344

409,6

1,418

0,131 7

20

20,000

508,0

1,031

26,19

17,938

1,495

455,6

1,755

0,163 0

24

24,000

609,6

1,218

30,94

21,564

1,797

547,7

2,535

0,234 4

Fuente:

Diámetro exterior

R.

L.

Mott,

Grosor de la pared

Diámetro interior

1996. Mecánica

de

Fluidos

Aplicada ,

Área de flujo

PRENTICE-HALL



80



V.

COEFICIENTES

DE

-

PÉRDIDAS


DE

DIVERSAS

VÁLVULAS

Y

ACCESORIOS: Tipo de válvula o accesorio

Coeficiente de pérdidas k

Codo de 45º normal

0,35

radio largo

0,20

Codo de 90º normal

0,75

radio largo

0,45

cuadrado o inglete

1,30 1,5

Curva 180º, estrecha T, normal flujo directo, pierna bloqueada

0,4

usada como codo, entrando por un ala

1,3

usada como codo, entrando por la pierna

1,5

flujo con derivación

~1

Acoplamiento o conexión

0,04

Unión

0,04

Válvula de compuerta o charnela abierta 100 %

0,20

abierta 75 %

0,90

abierta 50 %

4,5

abierta 25 %

24,0

Válvula de diafragma abierta 100 %

2,3

abierta 75 %

2,6

abierta 50 %

4,3

abierta 25 %

21,0

Válvula de globo o esférica abierta 100 %

6,4

abierta 50 %

9,5 2,0

Válvula de retención (check) de columpio de disco

10,0

de bola

70,0

Fuente: R. H. Perry y otros, Chemical Engineer’s Handbook , McGraw-Hill, Inc., Nueva York, 4a Ed., 1963, sec. 5, p. 33.


81


Separata Mecánica de fluidos

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