UNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO GUILLERMO GUILLERMO URRELO
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
MATEMÁTICA BÁSICA II I UNIDAD: FUNCIONES
COMPETENCIAS
Comprende situaciones problemáticas en las que se utiliza funciones, deduciendo-infiriendo datos y hechos implícitos y explícitos y los interpreta de manera adecuada. Demostrando esfuerzo y compromiso. Posee un pensamiento resolutivo y razona lógicamente al enfrentarse a situaciones problemáticas referentes a funciones; analizando conceptos, propiedades y datos; proponiendo alternativas de solución coherentes y acertadas. acertadas. Demostrando seguridad y puntualidad. Utiliza estrategias adecuadas al resolver situaciones problemáticas que involucran funciones, clasificando conceptos, datos y hechos, demostrando habilidades comunicativas al relacionarse con los demás.
CAPACIDADES: Comprensión , Razonamiento lógico , Pensamiento resolutivo , Socialización CONTENIDOS
Conceptos generales de función Función lineal y afín lineal Función cuadrática Ejercicios y problemas.
Docente: María Teresa Castañeda Medina
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SABERES PREVIOS
¿Qué número esconde “x”?
1. 2.
+
+
−
sigui entes ecuaciones ecuaciones Resolver las siguientes 1. 2 − 6 + 5 = 0 2. 52 − 2 + 3 = 0
Resolver las siguientes sigui entes inecuaciones x−2
1. 3 < + 1 2. 32 + 5 − 1 < ( + 2)(3 − 2) − 1
Concepto de función
1. Si inflas un globo, ¿de qué depende el volumen de este? 2. Menciona algunas relaciones funcionales de tu entorno 3. Las siguientes relaciones son funciones. ¿Por qué?
Las horas del día y la temperatura registrada cada hora. Día del mes y la cotización del dólar al cierre de este día Los departamentos de un edificio y las personas que viven en cada uno de ellos.
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IMPORTANCIA DE LAS FUNCIONES
Las funciones son una manera sumamente útil de describir muchas situaciones del mundo real en las que el valor de una cantidad varía con, depende de, o determina el valor de otra. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Por ejemplo: Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en nuevos soles para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y". Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información. Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta. recta. El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial. Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. torres. Los biólogos, también utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos.
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FUNCIONES 1.
FUNCIÓN Es muy frecuente, en geometría, en física, en economía, etc., hablar de ciertas magnitudes que dependen del valor de otras. Por ejemplo, el área de un cuadrado depende de la longitud de su lado, el espacio recorrido por un móvil en un tiempo determinado depende de su velocidad, el número de ventas de un producto depende de su precio, etc. Estas situaciones se describen matemáticamente mediante funciones.
1.1.
DEFINICIÓN: Si A y B son conjuntos no vacíos, una función f de A en B es una relación entre los elementos de A y B de forma que a cada elemento “x” del conjunto A le corresponde uno y sólo un elemento “y” que pertenece al conjunto B, esto lo denotamos como:
f : A B
Ó también A B f
Que se lee: “f es una función de A en B”
y , estamos diciendo que a x le corresponde y.
Si escribimos f x
, donde la Dada la función f: A B, f se puede escribir en la forma: f= ( x, y) AxB/y=f(x)
ecuación y=f(x) es llamada regla de correspondencia, y nos permite calcular la imagen de un elemento del dominio.
La función como una máquina: El dominio es el conjunto de entradas (la materia prima ) para la máquina, el proceso que se realiza dentro de ella o sea la forma de procesar la entrada ( regla de
correspondencia ) y los valores de la función (imágenes ) son las salidas de la máquina.
Entrada
OBSERVACIÓN: y f x For ma de proc esar la entrada
El conjunto de valores que alcanza una función se denomina imagen de la función o recorrido de la función. Siendo común el uso del término rango, el término correcto es imagen.
x S alida
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Observaciones:
1. Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. 2. En una función, dos pares ordenados distintos no deben tener la misma primera componente
1.2.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN (Preimagen): Sea f: A
B una función de A en B llamaremos dominio de la función f al conjunto de todas
sus primeras componentes de los pares ordenados de la función, al cual denotaremos por
Dom(f), esdecir:
Dom( f )= x A / y B / (x; y) f
1.3.
RANGO DE UNA FUNCIÓN (Imagen): Sea f: A B una función de A en B llamaremos rango de la función f al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la función, al cual denotaremos por
Ran(f) , es decir:
Ran( f )= y B / x A (x; y) f
Ejemplo: Calcule el Dominio y Rango de la siguiente función: f=(7; a), (9; b), (11; c), (13; 6)
Resolución ; 9; 11; 13 Dom(f)= 7
Ran(f)= a ; b ;c; 6
IMPORTANTE: Sea la función: f: A
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B A = Dom(f) Ran(f) B
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Para no olvidar: 1.
El dominio de una función es llamado también conjunto de partida
o conjunto de
preimágenes. 2.
El rango de una función es llamado también conjunto de llegada o conjunto de las
imágenes. 3.
2.
Una función queda bien definida si tiene su dominio y su regla de correspondencia.
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL , diremos que f es una función real de variable 2.1. DEFINICION: Sea f: A B , si A R B R f: R R real,
o ien
La regla de correspondencia es la ecuación que relaciona a las variables “x” e “y” en toda la función real:
Variable independiente
y = f (x) Variable dependiente
Las funciones reales de variable real se pueden graficar en el sistema de coordenadas cartesianas; su dominio se tomará sobre el eje de las x y su rango sobre el eje de las
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y.
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Y
f x
x ; y
Imagen
0
x
X
Dominio
om (f)} que puede Sea f(x) es una función, la gráfica de f(x) es el conjunto G f = {(x; f(x) ) / x D
representarse en el plano cartesiano. Ejemplos de funciones reales:
a) g x 3x 2x 7 2
4 x; si : 0 x 4 b) f x x 4 si : x 4 2.2. CRITERIO GRÁFICO PARA
DISTINGUIR UNA FUNCIÓN:
Si una gráfica es intersecada por una recta vertical en más de un punto, entonces la gráfica no corresponde a la gráfica de una función. Equivalentemente, una gráfica es de una función si y sólo si toda recta vertical la interseca a lo más en un punto.
L
Y
Y
L
P1 P1 X
P2
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X
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2.3. CRITERIO PARA CALCULAR EL DOMINIO Y EL RANGO DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar “x ”, de tal manera que f(x) sea real, salvo el caso en que el dominio sea especificado.
El rango se determina partiendo de la condición dada para los “ x ” en el dominio y se construye las cotas o valores adecuados para y=f(x).
Ejemplo:
x 4 x 7 , x 2;3 2
Halle el dominio y el rango de la siguiente función f x
Resolución
Para este caso ya nos dan el dominio de la función: x 2;3 , luego: y f x x 2 4x 7 , despejamos x en función de y: Completando cuadrados:
Si una función se define mediante una regla que relaciona x con f(x) sin hacer mención específica de su dominio, se entiende que éste constará de todos los valores de x para los cuales f(x) sea un número real. A este respecto, recuerde que:
2
y 7 x 4 x y 7 4 x
2
4 x 4
y 3 x 2
2
x 2 y 3 x 2 y 3
1. 2.
x
2
3 2; 3 2 2
y
0
y
y
33
La división entre cero no está permitida. La raíz cuadrada de un número negativo no está definida.
3 1 0 y 3 1
3 y 4 y 3; 4 Ran( f )
3; 4
¡Recuerda que una función es una relación, pero no toda relación es una función!
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES 3.
FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES A veces, la función se define en un dominio dividido o “particionado” de modo que se da una regla de correspondencia para cada parte del dominio. Esto se denomina función definida por partes.
Ejemplo: Una función de este tipo es: () = {
−;− ≤ < 0 ;≤<2 +;≤ ≤
El dominio es [−4; 4] y se ha dividido en tres partes. El valor de determina la regla que se ha de usar. Así, para hallar (−2), como = −2 cumple con −4 ≤ < 0, se aplica la primera regla y, según ella, (−2) = −1.
Verifica que: (1) = 0 y (3) = 4
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PRACTICA DIRIGIDA DE FUNCIONES “Definición” 1.
Si F representa a una función: F
3; 7a 2b ,2; 5,2; a 2,3; 5b 2a ¿cuál (o cuáles)
de los siguientes conjuntos son funciones?. Fundamenta
b)
a;b , b a; 5,5;b a ,a b; 5 B 3;b , b; 3, 3; 8, 9; 2a b
c)
C = {(;), (; ) , ( b; a ) , (a; b)}
a) A
SOLUCIÓN
2.
Sea la función tal que
{(3; a
f x
2
), (3;1), (5;4), (5; a b), (b;4)}. Determinar los elementos
de la función.
SOLUCIÓN
3.
Determina los elementos del rango de la función f ( x) 2 x 3 , si el Dom(f)= {0;1;2;3}.
SOLUCIÓN
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4.
Dada la siguiente función:
x 3 1 f x x 1 3
si : x 3 si : x 3
Calcular: a) f(2)
b) f(3)
c) f(4,5)
SOLUCIÓN
5.
¿Cuál de los puntos siguientes: (1,-2) (3,-15) (4,-26) no pertenece a la gráfica de la función 2 f x x 3 x 2 ?
SOLUCIÓN
6.
Una compañía de telefonía móvil cobra a sus clientes una cantidad fija al mes de 10 € más 0,1 € por cada minuto de llamada. Construir una tabla que relacione el tiempo consumido y el coste de la factura. ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente? Expresar algebraicamente la función correspondiente.
SOLUCIÓN
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7.
Se ha establecido en forma experimental que para una variedad de cerdo silvestre, la relación entre su edad E (meses) y su peso P (Kg.), está descrita por la función: P = 0,15 + 1,2 E ; válida entre el nacimiento y los 18 meses.
a) b) c) d)
¿Cuál es la variable independiente en este modelo? ¿Cuál es el dominio de la función? De acuerdo al modelo, ¿cuánto pesa un ejemplar de 9 meses de edad? Según la función, ¿aproximadamente, a qué edad un ejemplar llega a pesar 7,5 Kg?
SOLUCIÓN
8.
El nivel de contaminación de una ciudad a las 6 de la mañana es de 30 partes por millón y crece de forma lineal 25 partes por millón cada hora. Sea y la contaminación en el instante t después de las 6 de la mañana. Hallar la ecuación que relaciona y con t.
y=30+25t
Calcular el nivel de contaminación a las 4 de la tarde.
280
Indica que magnitud representa la variable independiente y cuál la variable dependiente
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PRÁCTICA DOMICILIRIA DE FUNCIONES “Definición” 1. Determine si la relación es una función, e indique el dominio y el rango. a) {(0,0); (1,1); (2,4); (4,16)} b) {(2,5); (3,7); (4; 9); (5,11)} c) {(1,1); (1, −1); (2,4); (3,9); (3; −9)}
2. Hallar el valor de “a” para que el siguiente conjunto de pares ordenados sea una función. Indicar el dominio y rango. 2
f = {(-4; 1), (-1; 8), (a; 7), (2; 5), (3; 6), (-1; a -1), (4; 3)}
3. Hallar los valores de a y b para que el siguiente conjunto de pares ordenados sea una función. Indicar el dominio y rango. f = {(3; 2a 3b ), (-2; 5), (2; 2a 3b ), (6; 7), (3; 8), (a + b; 3), (2; -4)} 2
2
g f 2 Del gráfico que se muestra, calcular el valor de: E f 3 g f 3 f g f 2
4.
1
2
2
5
3
3
5 2 3
5. Dada la siguiente función:
2 1 2x f x x x 4
si : x 0 si : x 0
Calcular: a) f(-1)
b) f(0)
c) f(1)
6. Cuando se excava hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta con arreglo a la siguiente fórmula: t = 15 + 0.01 h, donde t es la temperatura alcanzada en grados centígrados y h es la profundidad, en metros, desde la corteza terrestre. Calcular: ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 m de profundidad? ¿Cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura de 100 º C?
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7. El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en función de la longitud de la base.
A(x)=x(15-x)
8. Dos monos subieron por un poste. El 1° subió lentamente al principio y después aumento la velocidad gradualmente. ¿Cuál es la gráfica de este mono?
a) Describe con palabras el ascenso del otro mono b) ¿Qué separación había entre los monos después de 1 minuto, 2 minutos,…? 1 minuto = Aprox. 25m
2 minuto = Aprox. 25m
c) ¿Qué tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste? d) Completa la gráfica sabiendo que el 2° mono se quedó arriba y el 1° mono bajó a velocidad constante. 9)
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FUNCIONES ELEMENTALES Algunas funciones son de uso frecuente en matemáticas y otras áreas, por lo que el conocimiento de sus principales características como dominio, rango y gráfica, se hace indispensable. Las ecuaciones o reglas de correspondencia que definen a otras funciones pueden ser parecidas a las de algunas de estas funciones especiales, existiendo tan solo algunas pequeñas diferencias, de modo que tengan características parecidas. Entre las funciones elementales tenemos:
a) Función constante. b) Función lineal y afín lineal. c) Función cuadrática. d) Función raíz cuadrada. e) Función valor absoluto. f) Función creciente y decreciente. g) Funciones pares e impares. En esta unidad estudiaremos dos de las funciones elementales muy utilizadas en la vida diaria, la función lineal y la función cuadrática.
FUNCIÓN LINEAL 1. DEFINICIÓN La fórmula de la función lineal es: y = mx donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinación).
()=;≠
Su dominio y su rango es el conjunto de los números reales. Su gráfica es una recta inclinada que pasa por el origen.
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()=
FUNCIÓN LINEAL AFÍN
La regla de correspondencia de la función afin es: f(x)=ax+b; a 0, donde “a” es la pendiente
de la recta (grado de inclinación). Si “a” es positiva la recta es creciente. Si “a” es negativa la recta es decreciente. La ordenada en el origen es “b”, punto donde la recta corta al eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son: (0, b)
(0;
() = +
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PRÁCTICA DIRIGIDA DE FUNCION LINEAL Y LINEAL AFIN 1. Dibuje la gráfica de cada función, determine el dominio y el rango.
2 x 1
a) f x
SOLUCIÓN
3 x 1
b) F x
2
SOLUCIÓN
2. Escribe la ecuación de la función lineal afín que pasa por los puntos A =(4, 7) y B = (5, −1). SOLUCIÓN
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3. Dada la
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES función () = + , ∀ si sabes que (1) = 7, (−3) = 4, halla + .
SOLUCIÓN
4. Las tarifas de una empresa de transportes son: · Si la carga pesa menos de 10 toneladas, 40 euros por tonelada. · Si la carga pesa entre 10 y 30 toneladas, 30 euros por tonelada (la carga máxima que admiten es de 30 toneladas). Si consideramos la función que nos da el precio según la carga, ¿cuál será la ecuación que define la función y cuál será su dominio?
SOLUCIÓN
5. La compañía telefónica “A” ofrece cobrarme una cuota fija de 15 dólares al mes más 0,05 dólares por minuto. La compañía “B” ofrece cobrarme sólo por el consumo 0,25 dólares por minuto. Qué compañía telefónica me conviene más, si mi consumo es de más de 150 minutos al mes. Rpta. La compañía A
SOLUCIÓN
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6. Escribe la ecuación de la recta cuya gráfica es la siguiente: SOLUCIÓN
7.
El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 e uros en total. Halla la función que nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando.
SOLUCIÓN
8. En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los grados centígrados que son los grados Fahrenheit. Sabiendo que 10°C =50°F y que 60°C=140°F, obtén la ecuación que nos permita traducir temperaturas de °C a °F.
SOLUCIÓN
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PRÁCTICA DOMICILIARIA DE FUNCION LINEAL 1. Escribe la ecuación de la recta cuya gráfica es la siguiente:
2. Dibuja la gráfica de la siguiente función:
3. Calcular el dominio de la función: f x A)
6;7
B)
5;7
C) D) E)
5;7 5;7 7;7
Y
x 7 -5
4. Grafica la siguiente función y hallar su dominio y rango: () = −2 +
1 2
5. Halla la ecuación de la recta que pasa por (-1; 2) y cuya pendiente es −
1 3
1
Rpta. ()= − +
5
3
3
6. Un grifo vierte agua a un depósito dejando caer cada minuto 25 litros. Formar una tabla de valores apropiada para representar la función "capacidad" en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar una piscina de 50 m3? (1litro=0.001 m3) Rpta. 33 h 20 min
7. Pasada la Navidad, unos grandes almacenes hacen en todos los artículos un 20% de descuento. a) ¿Cuál será el precio rebajado de unas zapatillas de deporte que costaban 45 €? ¿Y de un chándal que costaba 60 €? b) Si llamamos x al antiguo precio del artículo e y al precio rebajado, ¿qué función se obtiene? Rpta. y=0,8x)
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8. Los beneficios de una empresa desde el momento de su creación son los que figuran en la siguiente tabla:
a) b) c) d)
MESES TRANSCURRIDOS
0
3
BENEFICIOS (millones de €)
4
3
6
9 1
Representar el beneficio en función del tiempo transcurrido. ¿Q ué tipo de función se obtiene? Indicar a continuación su expresión algebraica. Hallar analíticamente el dato que falta en la tabla. Hallar analíticamente a partir de qué mes la empresa no tendrá beneficios.
9. Dos agricultores de zonas diferentes cultivan maíz con los rendimientos y costes que se indican debajo. Averigua cuántas ha. debe tener cada uno para empezar a tener beneficios y quién tiene más beneficio en función del número de ha cultivadas.
Rpta. El primero obtiene beneficios a partir de 4,45 ha. El segundo a partir de 3,60 ha. Y el primero tiene más beneficios en función de las ha. Cultivadas.
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FUNCIÓN CUADRÁTICA ¿Qué es una función cuadrática? Es una expresión polinómica de la forma: f(x)=ax2+bx+c, donde a, b y c son números reales, con a≠0 El dominio de la función es
R (el conjunto de los números reales)
Su gráfica es una parábola: Existen dos casos:
Así a>0, la parábola se abre hacia arriba Si a<0, la parábola se abre hacia abajo Y
Y
h; k •
a
•
0
a
0
h; k X
X
Además presenta las siguientes características:
Tiene un vértice, punto donde la función alcanza un máximo o un mínimo. En una parte de su dominio, las parábolas son crecientes y en otras decrecientes. Cuando a < 0, el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo")
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Cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba")
Tiene un eje de simetría (recta imaginaria paralela al eje “y”) que pasa por el vértice y
divide a la parábola en dos partes iguales. La ecuación del eje de simetría es:
=ℎ=
− 2
La parábola tiene un vértice : V (h; k) b
Donde:
h=-
a
,
k=c-
b
a
La gráfica siempre corta al eje “y” en el punto (0;c)
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La gráfica corta al eje “x” en los puntos: Si 2 − 4 > 0 la gráfica corta al eje x en dos puntos diferentes. Si 2 − 4 = 0 la gráfica corta al eje x en un punto Si 2 − 4 < 0 la gráfica no corta al eje x.
¿CÓMO GRAFICAR UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA? Para graficar una función cuadrática se debe tener en cuenta lo siguiente:
El Vértice de la parábola El punto de corte con el eje “y” Los puntos de corte con el eje ”x” Brazos hacia arriba (a>0) Brazos hacia abajo (a<0) Pero también podemos tener en cuenta el eje de simetría, punto de corte con el eje “y” y tabulación.
DOMINIO Y RANGO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales: D (f) = R ; es decir todos los valores reales que toma la variable x . El rango de una función cuadrática está formado por todos los valores reales que toma la variable y .
a) Si a>0 el rango de la función cuadrática es [; +∞[ b) Si a<0 el rango de la función cuadrática es ]−∞; ]
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PRÁCTICA DIRIGIDA DE FUNCION CUADRÁTICA
1. Gráfica las siguientes funciones. Determinando el vértice, las intersecciones con los ejes x e y, eje de simetría y dominio y rango.
a)
() = 2 − 4 + 4
SOLUCIÓN
b)
() = −22 + 6 − 3
SOLUCIÓN
2. Considérese la función f x x2 1 Encontrar su dominio y rango.
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3.
Expresa la regla de correspondencia de la función graficada.
SOLUCIÓN
4.
En un partido de fútbol, Luis hace un tiro de pelota, la cual cae al suelo sin que ningún jugador del equipo contrario logre atraparla. Cuando Luis hace el tiro la pelota se encuentra a una altura de 0,605 m. La trayectoria que sigue la pelota está dada por la ecuación () = −0,022 + 1,2 − 0,605, donde: X: representa la distancia horizontal recorrida por la pelota Y: representa la altura a la que se encuentra la pelota a) Representa gráficamente la situación b) Determina el dominio y el rango según el contexto c) ¿Cuánto alcanzó horizontalmente la pelota golpeada por Luis? Rpta. 60,5 m. d) ¿Qué altura máxima alcanzó la pelota? 18,605 m. Rpta.
SOLUCIÓN
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5.
Representa (determina la función) matemáticamente la situación: La trayectoria de una bala de cañón que se dispara desde la superficie y sigue una trayectoria parabólica con un alcance de 100 metros y una altura máxima de 15 metros.
SOLUCIÓN
6.
Un empresario quiere saber con certeza los posibles ingresos en su peña turística. La entrada vale S/. 20 por persona si ingresa un grupo de 10 personas, pero si ingresan más de 10 personas se realiza S/. 1 de descuento por persona adicional. Por ello necesita un modelo que represente la intención. ¿Cuál es? ¿Con qué número de asistentes se obtiene el máximo ingreso?
Rpta. () = −2 SOLUCIÓN
7.
+ 10 + 200
Dada la parábola siguiente: = − 2 + 6 − 5, halla el eje de simetría.
SOLUCIÓN
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8.
Los gastos anuales de una empresa por la fabricación de x computadoras son ( ) = 20 000 + 250 en dólares, y los ingresos que se obtienen por las ventas son () = 600 − 0,1 2 en dólares. ¿Cuántas computadoras deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo? Rpta. 1750 computadoras
SOLUCIÓN
9.
En un prado se quiere cercar un recinto rectangular para que paste una cabra. Sabiendo que se tienen 24 m de alambre y cuatro estacas para hacerlo: a) Halla la fórmula del área. Rpta. = 12 − 2 b) Haz la representación gráfica. c) ¿Cuándo es máxima el área? ¿Cuánto vale?
SOLUCIÓN
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10. Los ingresos mensuales en soles de un fabricante de zapatos están dados por la función: I (z)=1000z-z2, donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes. Realicen el gráfico aproximado de la función y respondan: a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos? c) ¿A partir de qué cantidad de pares de zapatos comienza a tener pérdidas?
SOLUCIÓN
PRÁCTICA DOMICILIARIA DE FUNCIÓN CUADRÁTICA 1. Halle el vértice, las intersecciones con el eje X (si existen), el eje de simetría, dominio, rango y grafique las parábolas a) = −2 + 6 − 8
b)
() = 2 − 2 − 3
2. Halla el valor de “a” en la siguiente parábola sabiendo que su eje de simetría es x = – 3; además y = ax2 – 6x – 1
3. Dados los siguientes datos, determina la ecuación de la función cuadrática a la que pertenece. = (0; 5), (−1) = 3, (1) = 3
Docente: María Teresa Castañeda Medina
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UNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO GUILLERMO URRELO
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
4. Los ingresos y los gastos de una empresa durante los 8 primeros años vienen definidos en miles de millones de euros por las siguientes funciones cuadráticas: 2 + 5 + 2 4 4 2 5 31 − + 6 2 3
: () = − :()=
a) Halla los momentos en los que los ingresos y los gastos se igualan b) ¿Cuándo son máximos los ingresos? c) ¿Cuándo son mínimos los gastos? d) Grafica las funciones en un mismo plano cartesiano 5. La demanda de un producto cajamarquino en función de su precio p en soles está dado por: () = −2 + 70 + 1275
a. b. c. d. 6.
Grafica la función que representa la demanda ¿Para qué precio la demanda es máxima? ¿Cuál es el dominio de la función en el contexto planteado? ¿Cuál es la demanda del producto si se oferta el producto a S/.30?
En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los recursos de la isla comenzaron a escasear y la población decreció. El número de iguanas a los t años de 2
haberlos dejado en la isla está dado por: I(t)= - t +22t+112 (t >0). Calcule:
a) La cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó. b) ¿En qué momento la población de iguanas se extingue? 7. Si el número de turistas que hace un recorrido en autobús a una ciudad es exactamente 30, una empresa cobra 20 soles por persona. Por cada persona adicional a las 30, se reduce el cobro personal en S/. 0,5. ¿Cuál es el número de turistas que debe llevar el autobús para maximizar los ingresos de la empresa?
8. Si la función de ganancia, en nuevos soles, de una empresa de ventas está dada por ()
= − 2 2
+ 60 + 1500, grafica la función y encuentra la ganancia máxima.
9. Para poder ahorrar en el material a utilizarse para hacer el corral, Camila decide construir el corral para el conejo de tal forma que la pared del garaje actué como un lado del corral. De esta forma ella solamente necesita alambrar tres lados del corral. Si cuenta con 120 m. de alambre, ¿cuáles son las dimensiones del corral que le provee el área máxima?
Docente: María Teresa Castañeda Medina
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