Principios de Espectroscopia.UNAM. FQ. Serie de Problemas
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Primera Solemne.
Cálculo Integral Jornada Diurna Nombre: Indicaciones:
Ψ No está permitido el uso de libros ni apuntes. Ψ Debe desarrollar desarrollar cada pregunta pregunta en la hoja correspondie correspondiente nte,, no se aceptan aceptan hojas ho jas anexas. Ψ Preguntas incompletas y/o con desarrollo incoherente serán evaluadas con menor puntaje. Ψ Debe resolver los ejercicios utilizando los contenidos vistos en clases. Ψ Está permitido permitido el uso de calculado calculadora ra no simbólica simbólica.. Ψ El uso de aparatos aparatos tecnológicos tecnológicos tales como celulares, celulares, tablets tablets o similares similares,, durante durante el desarrollo desarrollo de la evaluación evaluación será sancionado con la nota mínima. Pregunta 1
Pregunta 2
Pregunta 3
NOTA
Puntaje
Puntaje recorregido
DECLARO HABER REVISADO LA EVALUACIÓN Y ESTAR DE ACUERDO CON LA CALIFICACIÓN
Día
Mes
Año
Firma Estudiante
1
NOTA
Pregunta 1 (Teorema fundamental del Cálculo.) .
Determine la existencia del siguiente límite l´ım
x→0
1 x2
2
4x2
x2
t + sen2 t
√ t
dt.
(2.0 puntos)
Pregunta 2 (Sumas de Riemann) .
Utilice sumas de Riemann para expresar el siguiente límite con una integral definida y de ser posible 1 1 1 calcule su valor. l´ım + + ... + . (2.0 puntos) n n(n + 1) n(n + 2) n(n + n) →∞
3
Pregunta 3 (Problemas de valor inicial).
Para un grupo urbano particular, algunos sociologos estudiaron el ingreso anual promedio actual y (en dólares) que una persona con x años de educación puede recibir al buscar un empleo ordinario. En el estudio se estimo que la razón a la que cambia el ingreso con respecto a la cantidad de años de educación de una persona está dada por:
√
dy = 5 x5 dx
− x, 2 ≤ x ≤ 20
Determine el ingreso de una persona que tiene 16 años de estudios, si se sabe que los ingresos de una persona con 9 años de educación es y = 20000 dólares. (2.0 puntos)
4
PAUTA Observación. La solución de los siguientes problemas puede no ser única. Si encuentra algún «Herror» favor comuniquelo vía email. Solución Pregunta 1 (Teorema fundamental del Cálculo.) .
Determine la existencia del siguiente límite l´ım
x→0
1 x2
2
4x
x2
t + sen2 t
√ t
(2.0 puntos)
dt.
Solución. Observe que al aplicar la regla de L’Hôpital y el teorema fundamental del cálculo se obtiene:
l´ım
x→0
1 x2
4x2
t + sen t
x2
2
√ t
√
2
[4x2 + sen2 (2x)]4 = l´ım x 0 4x2 →
−
sen2 (2x) = l´ım 4 1 + x 0 4x2 →
sen(2x) = l´ım 4 + 4 x 0 2x →
Por lo tanto l´ım
x→0
1 x2
4x2
x2
t + sen2 t
√ t
2
1 [4x + sen ( 4x )]8x 0 2x 4x2
dt = l´ım x→
2
2
√
2
− [x
2
+ sen ( x )]2x x2
[ x2 + sen2(x)] x2
sen 2 (x)
− − − − 1
x2
2
sen(x)
1
2
x
= 6
dt = 6
Solución Pregunta 2 (Sumas de Riemann) .
Utilice sumas de Riemann para expresar el siguiente límite con una integral definida y de ser posible 1 1 1 calcule su valor. l´ım + + ... + . (2.0 puntos) n n(n + 1) n(n + 2) n(n + n) Solución. Observe: →∞
l´ım
n→∞
1 + n(n + 1)
1
n(n + 2)
+ ... +
1 n(n + n)
n
= l´ım
n→∞
k=1
1 n(n + k )
n
= l´ım
n→∞
k=1
n
= l´ım
n→∞
5
k=1
1
n2 (1 +
1
k 1+ n
k n)
1
·n
n
= l´ım
n→∞
k=1
1
n
1+
n
= l´ım
n→∞
k=1
f (xk )∆k
k n
Continuación solución Pregunta 2 (Sumas de Riemann).
Donde f (x) = l´ım
√ 11+ x , xk = nk y ∆ k = n1 . Por lo tanto:
n→∞
1 + n(n + 1)
1 + ... + n(n + 2)
1 n(n + n)
n
= l´ım
n→∞
f (xk )∆k
k=1
1
=
√
1 dx = 2 1 + x 10 1 + x
√ 0
|
√ − 1)
= 2( 2 Por lo tanto l´ım
n→∞
1 + n(n + 1)
1
n(n + 2)
+ ... +
√
1 = 2( 2 n(n + n)
− 1)
Solución Pregunta 3 (Problemas de valor inicial).
Para un grupo urbano particular, algunos sociólogos estudiaron el ingreso anual promedio actual y (en dólares) que una persona con x años de educación puede recibir al buscar un empleo ordinario. En el estudio se estimo que la razón a la que cambia el ingreso con respecto a la cantidad de años de educación de una persona está dada por:
√
dy = 5 x5 dx
− x, 2 ≤ x ≤ 20
Determine el ingreso de una persona que tiene 16 años de estudios, si se sabe que los ingresos de una persona con 9 años de educación es y = 20000 dólares. (2.0 puntos) Solución. Observe que del enunciado se puede deducir que la función ingreso es de la forma: y(x)
=
=
dy dx + c = dx 5/2
[5x
−
√ − [5 x5
x]dx + c
10 7/2 x]dx + c = x 7
−
x2
2
+ c
Por otro lado se tiene que y (9) = 20000, de donde se deduce que: 10 7/2 9 7
6827 − 812 + c = 20,000 ⇒ c = 23,14 ≈ 16,916, 21429
10 De lo anterior se tiene que la función ingreso es y (x) = x7/2 7 una persona con 16 años de estudio es: y(16) =
