MATEMÁTICA BÁSICA CERO Ingeniería y Arquitectura
SOLUCIONARIO 1.
Calcule el área sombreada, si se conoce que los terrenos que lo limitan son cuadrados.
SOLUCIÓN:
): = 25 = ±√25 = ±5 Calculando el Área del Cuadrado (144 ): = 144 = ±√ 144 144 = ±12 Calculando el Área del Cuadrado (25
Calculando el Área del Triángulo:
⊿ = 2.ℎ. ℎ = 5.212 = 30 2.
Calcular la suma de las regiones sombreadas sabiendo que el área del cuadrado ABCD es 60 cm2.
SOLUCIÓN:
Prolongando y uniendo se tiene:
S
5 S = 60 cm 2 S = 12 cm2
Según la figura, el área sombreada es S
S
Por lo tanto el área sombreada es 12 cm 2. Calcule el área del rectángulo ABCD(en
3.
) y la medida del ángulo AEB de la figura:
SOLUCIÓN:
5
5
√
Nos piden encontrar el área del rectángulo, que por formula es: ► ►
= .ℎ = 55√ 3 = √
Nos piden encontrar la
∡.
E 5
A
H 5
√
B
5/2 ∡
Por propiedad el punto E es el punto medio del rectángulo, entonces el segmento EH= , además AH=HB= (esto también se podría concluir de la misma manera, dado que el triangulo AEB. Es un triangulo isósceles y la altura EH se comporta como una bisectriz del ).
√ 3
Del triángulo AEH, observamos que se trata de un triángulo notable de 30º y 60º. Así el
∡ = 60º
E 5
√ ∡ = º A
Por tanto
4.
H
5/2
.
En el gráfico se tiene una circunferencia cuyo radio mide 12 cm, en la cual se han inscrito cuatro circunferencias iguales. Calcule el área de la región sombreada. SOLUCIÓN:
r r
r
R=12
Nos piden encontrar el área sombreada y de acuerdo al grafico se tendrá:
= − = − 4 …∗} Donde:
:: área sombreada. área de la circunferencia mayor. R:radio : área de la circunferencia menor. de la circunferencia mayor. r: radio de la circunferencia menor.
Por dato tenemos que el radio de la circunferencia mayor es de 12 cm, así en este caso se cumple que:
Observar que
̅ = ̅ = 12…1} =
̅ = 24
24+2+2+2= 24= 24 2 + = 12…2} ++ = =2 + + = 2 + = √ 2 − − = −√ 2 …3} 12 {−2−+==−√ 2 = 12−√ 2 + √ 2 = 12 1+√ 212 = 12 = 1+ √ 2 2 = 1+12√ 2 . 1−√ 1− √ 2 = 12(√ 2 −1)…4} = − 4 …∗} = 12 − 4[12(√ 2 −1)] = √ −
Del triángulo OPQ, por el teorema de Pitágoras se tiene que:
De {3}y{2} tenemos el sistema de ecuaciones:
Sumando verticalmente se tiene:
Reemplazando {1} y {4} en {*}
5.
Si ABCD es un cuadrado, calcula el área sombreada (“O” es centro de la figura) B
C
O
8m
A
D
SOLUCIÓN:
Calculando el Área del Cuadrado (25
):
B
C
E
r
O
8m
r a
A
D
De donde DC = DA 2r + a = 8 …... (1) En el triángulo COD: (r+a)2 + (r+a)2 = 82 2(r+a)2 = 64 (r+a)2 = 32 …… (2) r+a = 4
√ 2
Resolviendo 1 y 2 2r + a = 8 r+a=4 Restando (2) de (1) r = 8 – 4
√ 2 √ 2
Analizamos la figura anterior, el área de la región sombreada (A s) está dada por: As = 2(
-
-
)
82 8 8 (8 4 2 ) 2 As = 2 4 2 2
As = 216 32 32 32 As = 64 6.
2
16
2 1
Calcular el área sombreada: 3
3
3
3 3
3
SOLUCIÓN:
= ⊿−⊾
ENTONCES EL AREA DE UN TRIANGULO EQUILATERO ES:
⊿ = √ = 9√ 3
AREA DE UN SECTOR CIRCULAR ES:
⊾ = .. = = ⊿−⊾ = √−
Reemplazando tenemos: FINALMENTE:
. = 360
⊿ = √
7.
AOB es un sector circular, es tal que medida del ángulo AOB = 30º. Calcule el área de la región sombreada, si el semicírculo de centro M tiene área K . B
M O
A
SOLUCIÓN:
AREA DE UN SECTOR CIRCULAR ES:
. = = 2 AREA DE UN SECTOR CIRCULAR ES: . = 360 = − Reemplazando tenemos: .30 . = 360 − B
r M
30º O
r
2r
A
R
= . −=. - K = 32 − = 2
Andrés siembra en un terreno rectangular tomates y lechugas. Si el largo y ancho del terreno están en relación como 2 es a1.¿Cuál es el perímetro del terreno que corresponde a las lechugas?
SOLUCIÓN:
El largo y ancho del terreno están en relación como 2 a 1: Entonces: K=30
̅ = 60 = 2, ̅ = ̅ = 30 ⇒
̅̅ , usando el teorema de Pitágoras: = ̅ + ̅ ̅ = 400+900 = √ 1300 = 10√ 13
Calculamos la longitud
̅= 20 + 30 ̅̅ = 10√ 13m
C
El triángulo que corresponde a la lechuga es: 30m
El perímetro del terreno de la lechuga es: P=20+30+ P=50+
10√ 13 10√ 13 ≈
D
20m
E
Alrededor de un tapiz cuadrado de 5,35 m de lado se corta una faja de 50 cm. de ancho a) ¿Cuánto mide el lado del nuevo cuadrado obtenido? b) Al tapiz así reducido se lo rodea de un cordón; ¿qué longitud de cordón habrá que comprar? SOLUCIÓN:
50 cm
= 0,5 m
5,35 m X
X
50 cm
a)
5,35==4,0,5+ +0, 5 35 =4 = 44, 3 5 = 17,4
b) P
Se necesita alambrar los 4 lados de terreno cuadrado de 45,50 metros de lado, con 3 hileras de alambre, dejando una abertura de 2,25 cm. ¿Cuántos metros de alambre de necesitaran?
SOLUCIÓN:
Perímetro del terreno cuadrado=4x45,50=182m Alambre necesario= 3 hileras-espacio dejado
Alambre necesario= 3x182-3,25=539,25m En Huanchaco se construye una escuela en un terreno rectangular de 76m por 44m. El edificio también es rectangular y mide 24 m por 8m, con patio para recreo de 1500m 2 de área libre. En el resto del terreno se hace un jardín. ¿Cuál es el perímetro del jardín, si necesita ser cercado?
SOLUCIÓN:
Área del edificio
824 = 192
Área del patio + área del edificio=
1500+192 = 1692
1644 = 3344 Área del Jardín= 3344−1692 = 1652 Del Área del Jardín: 44 x Ancho= 1652 ⇒ ancho= 37.55m Área Total=
Perímetro= 2(44)+2(37,55)= 163,10m Un propietario en Salaverry posee un terreno rectangular ABCD cuya área es 11 700 m 2 y cuyo ancho es 115 metros menos que su largo. Por razones de urbanización, la municipalidad le expropia el triángulo de la esquina; donde AN 16 m y cuya área es 304 m2 a) Calcule el perímetro del terreno. b) Calcule el perímetro del terreno expropiado
SOLUCIÓN:
16m
304m2
11 700 m 2
L
a) Área del rectángulo= 11700
LxL−115 = 11700= 0 L − 115L−11700 L -180 L +65 (L-180)(L+65)=0
L=115
0 ˅ ⇒
L-180= L+65=0 L=180 m Ancho=L-115=65m.
∴ Perímetro=180+180+65+65=490m b) Área del triángulo=304
304 = 38 16. = 304 ⇒ y = 2 8r = 87,5 cm Por Pitágoras: z = 16 + 38 ⇒z = 1700 ⇒ z= 41,23m ∴ Perímetro=16+38+41,23=95,23m
Alrededor de un pozo circular de 7656,25 cm2 de área se construye una pared de 75 cm de ancho. a) Calcule el diámetro del pozo b) Calcule la longitud exterior de la pared. SOLUCIÓN:
X
75 cm
r
π πr = 7656,25π r = 87,5 cm Diámetro 2r = 287,59 = 175cm b) Radio exterior de la Pared= R = 87,5 +75 = 162,5 Longitud exterior de la pared=Lc = 2π = 325π cm. a) Área del pozo= 7656,25
En un circo, la pista circular tiene 314 m 2 de área. El espacio reservado a los espectadores se extiende desde el borde de la pista hasta la lona de la carpa, que también es circular y tiene un área de 942 m 2. ¿Cuál es el ancho del espacio reservado para los espectadores? ( Considerar 3.,14 )
Pista Area 314 m2
r
X
x = Ancho desde el borde de la Pista hasta la lona. r = radio de la pista R= radio del circo
⇒πr = 314 3,14r = 3,14 r = 10 ⇒ A total=314+942 ⇒ A total=1256 ⇒πrr= =201256 ∴ Ancho=x= 20−10 = 10m A=314
3,14r = 1256
De un trozo cuadrado de hule de 2,56 m 2 de área, corto un carpeta circular para la mesa, cuya área es de 2,0096 m2 . ¿Encuentre la relación entre el lado del cuadrado y el radio de la carpeta circular? (Considere 3.,14 )
SOLUCIÓN:
Área del cuadrado de Hule=2,56 m 2) = Área de la carpeta circular:
∴ = .. = 2
L = 2,πr56 ⇒= 2, 0=0961,6 3,14r = 2,0096 r = 0,8m
L
r
Un ganadero del valle de Chao quiere cercar un área de 20000 m 2 que será dividido en dos corrales adyacentes. Calcule el perímetro dela cerca en términos de x.
SOLUCIÓN
Área =A=2xy=20000
⇒ = ----------- (1)
Perímetro=P=4x+3y ------- (2) Sustituyendo (1) en (2)
= 4 +3 = 4x+
Una ventana Norman tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo en la parte superior. calcule el perímetro de la ventana en términos de su ancho, si el área de la ventana es 10 m 2. SOLUCIÓN
Área total= A= área del rectángulo + área de semicírculo A=Ar+As Área del rectángulo: Ar=x.y
Área de semicírculo: As= π = ⇒ A=x.y += =10 Despejando y: = − ---------- (1) El perímetro es: = +2 +π ⇒ = 1+ +2
------- (2)
Sustituyendo (1) 2n (2) se obtiene:
= 1+ π2 +210 − π8 ⇒ = + π2+ 20 − π4 ∴ = 1+ +
