Tema: 11.11. Áreas y Perímetros. Objetivos:
Definir los conceptos de Área y Perímetro. Explicar cómo se obtiene tanto el Área como el Perímetro de una figura. Mencionar las medidas de superficie más utilizadas en la l a obtención de Áreas y Perímetros. Explicar cómo se obtiene el Área de figuras combinadas y cuando son equivalentes.
Antes de abordar el tema de Áreas y Perímetros es necesario definir ciertos conceptos que nos permitirán introducirnos a su estudio. Superficie: se refiere a la forma que posee el cuerpo en estudio. A este respecto Superficie: podemos encontrar superficies rectangulares, cuadradas, circulares, etc. Área: es la medida de una superficie, el Área se refiere al tamaño Área: que dicha superficie ocupa o posee. Para saber la medida de una superficie superficie,, se toma como unidad u nidad un cuadrado que tenga por lado una unidad de longitud. Ejemplo: Para conocer el Área de un rectángulo que tiene en la base 5 unidades y de altura 4 unidades, lo que necesitamos realizar es dividir en 20 unidades dicho cuadrado, es así como obtenemos 20 unidades cuadradas. 1
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5 Una vez realizado lo anterior, procedemos a obtener el Área correspondiente correspondiente a ese cuadrado. Área = 5 x 4 = 20 unidades u2 La unidad en que se mide el Área son unidades u nidades de longitud o distancia al cuadrado u2. Perímetro : es igual a la medida del contorno, pero también se le define cómo el conjunto Perímetro: de líneas que limitan a la figura. Ejemplo: El Perímetro de la figura de el ejemplo anterior se obtiene mediante la suma de todos sus
Luego entonces tenemos que: 4 + 4 + 5 + 5 = 18 ó 2(4) + 2(5) = 18 El Perímetro se mide en unidades de longitud o distancia. Tablas.
Relación con el sistema métrico decimal. En la siguiente tabla se mencionan las medidas de superficie más utilizadas. Medidas de superficie.
Múltiplos
Nombre
Símbolo
Equivalencia
Miriámetro cuadrado
= mam2=
100 km2 = 1000 000 000 m2
Kilómetro cuadrado
=km2=
100 hm2 = 1 000 000 m2
Hectómetro cuadrado
=hm2=
100 dam2 = 10 000 m2
Decámetro cuadrado
=dam2=
100 m2
Si tomamos en cuenta que la unidad principal es el metro cuadrado m 2,, que equivale a 100 dm2 = 10 000 cm2 y así sucesivamente. A las anteriores equivalencias se les denomina submúltiplos. Decímetro cuadrado = dm2 = 0.01 m2 =100 cm2 Submúltiplos
Centímetro cuadrado = cm2 = 0.0001 m2 = 100mm2 Milímetro cuadrado = mm2 = 0.000001 m2
Las unidades utilizadas en la obtención del Perímetro son de longitud o distancia.
Múltiplos
Nombre
Símbolo
Equivalencia
Miriámetro
=mam=
10 km=10 000 m
Kilómetro
=km=
10 hm=1 000 m
Hectómetro
=hm=
10 dam=100 m
Decámetro
=dam=
10 m
Siendo la unidad fundamental el metro, tenemos que 1m = 10 dm = 100 cm = 1,000 mm. Decímetro = dm = 0.1 m = 10 cm Submúltiplos
Centímetro = cm = 0.01 m = 10 mm
Ejemplos: 1. Calcula el Área del siguiente rectángulo. Sí la base tiene una longitud de 11 cm y una altura de 9 cm. Solución: utilizando la fórmula para calcular el Área del rectángulo, tenemos que: Área=base x altura = A b x a = A = 11 cm x 9 cm = 99 cm2 A=99cm2. 2. Calcular el Área en km2 de un rectángulo que tiene 24 m, de base y su Perímetro es de 80 m. Solución: primero analicemos los datos que se nos proporcionan. Base = 24 m Perímetro = 80 m. Para que puedas determinar el Área es necesario conocer la base y la altura, pero en este ejemplo tenemos conocimiento sólo de la base; pero hay que recordar la fórmula del Perímetro, la cuál nos refiere que P = 2a + 2b, ahora de esta fórmula podemos despejar la altura, ya que conocemos el Perímetro y conocemos la base. Entonces tenemos que: sustituyendo los valores tenemos:
(a= altura)
factorizamos al dos. a= 16 m. Pues bien, ya tenemos la base y la altura, ahora ya podemos determinar el Área. Entonces tenemos que: A= b x a
A= 24 m x 16 m = 384 m2
Pero se nos presenta un pequeño problema, nos piden que el Área la determinemos en km 2,, así es que hay que realizar una conversión. 1 km2--------- 1, 000 m2
X = 0.384 km2
x ----- 384 m2 [384 m2]
= 0.384 km2
X=
=
Respuesta: el Área del rectángulo tiene 0.384 km2 ó 3.84 x 10-4 km2 (notación científica). 3. Se tiene un triángulo, del cuál se desea calcular la longitud de un lado y el Perímetro, si el Área es de 40 m2 y de altura tiene 10 m. Solución: primero analicemos los datos que nos proporcionan. Altura = a = 10 m Lado = L = x Area = A = 40 m2 Enseguida debemos determinar el lado que nos pide, pero ¿ cómo?. Pues bien, como tenemos el dato del Área y recordando cuál es la fórmula del Área, tenemos:
A=
. Y de la fórmula ¿qué tenemos?.
Tenemos o conocemos el Área y la altura, por lo tanto podemos despejar la base, que es el dato que nos piden.
80m2 = b x 10 m
b=8 m Ahora para determinar el Perímetro: Lo determinamos por el teorema de Pitágoras, que refiere lo siguiente: El otro lado c2= a2 + b2 c2 = 102 + 82
Entonces tenemos que el Perímetro = 10m + 8m +
= 18m +
Respuesta: la base del triángulo es de 8 m y el Perímetro de P = 18 m + 4. Calcula el Área de un trapezoide isósceles con los siguientes datos que se te proporcionan. B= 17 cm b= 8 cm a= 24 cm
Área = 1 m2 ---10 000 cm2 X --- 2 000
A=
Área =
A= A= 300 cm2 = 0.03 m2 5. Calcula el Área y el Perímetro del círculo de 4 mm de radio. Solución: sabemos que el Área del círculo es: A= r2 y el Perímetro P=2 r Sustituyendo valores. A= ( 4 mm)2 A= ( 16 mm) A= 50.2655 mm2
P= ( 4 mm) P= (6.2832) (4mm). P= 25.1327 mm.
6. Calcular el Área en m2 y el Perímetro en m de la siguiente figura. apotema (segmento perpendicular del centro de un polígono regular a cualquiera de sus lados. El segmento es mediatriz del lado).
Área =
ó A= 2.598xlado al cuadrado. Perímetro = número de lados por lado = n l Hay que convertir el Área y el Perímetro a m2.
os o=l=4 mm. P = 6 ( 4 mm) tema = 3 mm. P = 24 mm
1m2 1 000 000 mm2 X= x 36 mm2
a=
x = 0.0000 36m2 realizando otro procedimiento
Áreas de figuras combinadas.
Las Áreas de figuras combinadas pueden calcularse mediante la determinación de las Áreas individuales a través de la suma o resta de ellas, según resulte conveniente. Ejemplos: 1. Determinar el Área de la siguiente figura. Solución: podemos dividir la figura en dos partes, una será el semicírculo y otra el rectángulo A, B, C, D. Entonces tenemos: Área del círculo=AC=r2 Área del rectángulo = Ar=bxa Área total = Ac + Ar
Ac =
r2 =
(4m)2 =
16m2 = 25.1327 m2
Ar = 8m x 4m = 32 m2 Área total = 57.1327 m2 2. Calcular el Área sombreada de la siguiente figura. Solución: podemos sacar el Área de los 4 sectores circulares, ya que conocemos el radio, luego el Área obtenida se la restamos al Área del cuadrado, es decir: El Área sombreada = al Área de cuadrado. El Área de 4 el sector circular. Área del cuadrado = Ac = (6m)2 = 36m2 .
Área del círculo =A cir= =(3m)2=28.2743 m2
r2)
El Área sombreada será: 36 m 2 – 28.2743 m2 = 7.7256 m2 3. Calcular el Área sombrada de la siguiente figura. Solución: podemos dividir en 3 la figura anterior. 1. un rectángulo de 70 cm x 180 cm. 2. un círculo de 150 mm de diámetro. 3. Un triángulo de 70cmx(2.10m–180cm). Ahora bien, para poder hacer las operaciones correctamente hay que tener unidades homogéneas, es decir, hay que tener unidades de la misma especie, por lo tanto manejaremos todo en cm. 150 mm = 15 cm. 2.10 m = 210 cm. Enseguida procedemos a sacar el Área de cada una de las figuras.
Área = base x altura Área = 180 cm x 70 cm A= 12600 cm2
Área =
ó A= r2
Después para sacar la base del triángulo se resta la longitud de la base del rectángulo (
Área =
A= Ahora se suman tanto el Área del rectángulo cómo el Área del triángulo, después se le restará el Área del círculo. Área total = Área del rectángulo + Área del triángulo – Área del círculo. At = Ar + At - Ac
At= 12 600 cm2 + 1050 cm2 – 176.7145 cm2
At= 13,473.2855 cm2 Convirtamos a m 2: 1 m2= 10 000 cm2
x = 13473.2855 cm2 x = 1. 34732855 m2 At = 1.34732855 m2
Respuesta: el Área sombreada es de 13473.2855 cm2 ó 1.34732855 m2 A continuación te sugerimos que realices los siguientes ejercicios. 1. Si un piso tiene 20 m. de largo y 80 m de ancho ¿cuántas losetas son necesarias para cubrirlo si cada loseta mide 40 cm de lado? Solución: lo primero que hay que hacer en cualquier problema, es tratar de dibujar el problema, claro, si es que se puede. después sacamos el Área del piso. A= 20 m x 80 m A= 1,600 m2 Ahora sacamos el Área de una loseta, pero primero hay que convertir a m los 40 cm. 40 cm = 0.4 m Área = lado al cuadrado. A= (.4m)2
A= 0.16 m2
Ahora dividimos el Área del piso entre el Área de la loseta, el resultado nos dará el número de losetas necesarias.
Número de losetas necesarias =
n= Respuesta: se necesitarán 10,000 losetas para cubrir completamente el piso. Equivalencia.
Si dos figuras planas poseen la misma Área se dice que son equivalentes por su Área. Ejemplos: El paralelogramo R,S,T,V, y el triángulo A,C,B, siguientes tienen la misma Área, entonces son equivalentes por su Área.
A = b(a) A=
b (2a) = b (a) A = b (a)
El Área del trapecio A,B,C,D, es equivalente al Área del rectángulo E,F,G,H.
El Área del hexágono A,B,C,D,E,F, es equivalente al Área del rectángulo G,H,I,J.
