MATEMÁTICAS II
Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Curso 2010-2011. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.
Lección 4. Aplicaciones de la integral. Resumen de la lección. 2.1. Áreas de regiones planas. Área encerrada por la gráfica de una función. Sea f una función continua ca de en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. La región D encerrada por la grá fi ca f en dicho intervalo [a, b] es la región del plano que queda limitada por la grá fica O X y x = a a y x = x = b b. de f , el eje OX y las rectas x = y y
=
f (x)
D a
b
x
Área encerrada por una función Se verifica que el área de la región encerrada por la grá fica de f es b
area a ´rea (D) =
Z
|f | dx.
a
Área encerrada entre las gráficas de dos funciones. Sean f, g funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b]. La región D encerrada entre las grá fi cas cas de estas dos funciones es es la región del plano que queda limitada por dichas dichas gráficas x = a a y x = x = b. b. y las rectas x =
y y
=
f ( x)
D
y
a
=
g ( x)
b
x
Área entre dos funciones
Se verifica que el área de la región encerrada entre las grá ficas de estas dos funciones es b a ´rea (D) =
Z a
|f − g| dx.
Área encerrada por la gráfica de una función en coordenadas polares. Sea la curva en coordenadas polares de finida por la función continua r = r (θ) donde θ ∈ [α, β ] . La región D encerrada por la curva r = r (θ) cuando θ ∈ [α, β ] es la región que queda limitada por las semirectas θ = α y θ = β, y la propia curva. Esto es, el conjunto de puntos en coordenadas polares D = {(r, θ) : θ
∈ [α, β ] , 0 ≤ r ≤ r (θ)} .
y r
=
r (θ )
D
β
α x
Región encerrada en coordenadas polares
Se verifica que el área de la región D encerrada por la curva en coordenadas polares es 1 a´rea (D) = 2
2
β
Z α
r2 (θ) dθ.
2.2. Volúmenes de sólidos de revolución. Sólido de revolución generado por el área encerrada por la grá fica de una función. Sea f ≥ 0 una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y D la región encerrada por la grá fica de f en [a, b] . El sólido de revolución V generado por D alrededor del eje OX es el sólido del espacio obtenido al girar una vuelta completa la región D alrededor del eje OX. Igualmente se puede de finir alrededor del eje OY . y y
=
f ( x)
V D a
y
V b
y
=
f ( x)
x D a
Alrededor eje OX
b
x
Alrededor eje OY
Volumen de revolución alrededor del eje OX . Sea f ≥ 0 una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. El volumen del sólido de revolución V generado por la región encerrada por la grá fica de f en [a, b] alrededor del eje OX se calcula como: b
Z
vol (V ) = π
f 2 (x) dx.
a
Volumen de revolución alrededor del eje OY . Sea f ≥ 0 una función continua en un intervalo cerrado [a, b] con a > 0. El volumen del sólido de revolución V generado por la región encerrada por la grá fica de f en [a, b] alrededor del eje OY se calcula como: b vol (V ) = 2π
Z
xf (x) dx.
a
2.3. Longitudes de curvas. Longitud del arco de una curva parametrizada. Sea C una curva y c (t) con t ∈ [a, b] una parametrización regular a trozos suya. La longitud del arco de curva C comprendido entre los puntos c(a) y c(b) se calcula como b
long (C ) =
Z a
3
0
kc (t)k dt.
El resultado de la fórmula anterior es independiente de la parametrización regular a trozos tomada para la curva C . Longitud del arco de curva descrito por una función. Sea f una función de clase C en un intervalo cerrado y acotado [a, b] cuya gráfica es una curva C. La longitud del arco de curva C comprendido entre los puntos A = (a, f (a)) y B = (b, f (b)) es 1
b
Z q
long (L) =
1 + [f (x)]2dx. 0
a
Longitud de un arco de curva en coordenadas polares. Sea r = r (θ) la ecuación en coordenadas polares de una curva C de forma que r (θ) es una función de clase C 1 en el intervalo [α, β ] . La longitud del arco de curva C comprendido entre el punto A (de ángulo polar α y distancia polar r(α)) y el punto B (de ángulo polar β y distancia polar r(β )) es β
long (C ) =
Z q
[r (θ)]2 + [r (θ)]2dθ.
α
4
0
Ejercicios de la lección. Ejercicio 1. Halla el área de la siguientes regiones planas:
1. Región encerrada por la grá fica de la función y = sen x en el intervalo [0, 2π] .
2. Región encerrada por la grá fica de la función y = x en el intervalo [ −1, 1] . 3
3. Región encerrada por la grá fica de la función y = ex en el intervalo[1, 3] . Ejercicio 2. Halla las siguientes áreas.
1. El área encerrada entre las curvas y = x e y = x
− x en el intervalo [0, 1] . 2. El área encerrada entre las curvas y = 6x − x e y = x − 2x en [0, 6] . 3
2
2
2
3. El área limitada por las curvas y = 2x, y = x e y = x . 3
4. El área limitada por las curvas y = x y x = y . 2
Ejercicio 3. Calcula el área de las siguientes regiones planas.
1. La región encerrada, cuando x ∈ [0, 1] , entre la función f (x) = sen x y su recta tangente en el origen .
3. La región encerrada por la curva y = x (cos x + sen x) cuando y x ∈ [0, π] .
π . 2
h i
2. La región encerrada por la función f (x) = sen x cos x en el intervalo 0, 2
≥
0 y
Ejercicio 4. Calcula las siguientes áreas:
1. El área encerrada por la cardioide r = 1 − cos θ. 2. El área encerrada por un lóbulo de la lemniscata r = 3. El área encerrada por la curva r = 1 + sen θ.
cos(2θ).
p
4. El área encerrada por una de las hojas de la curva rosa de cuatro hojas r = 4 |cos(2θ)| .
Ejercicio 5. Halla el volumen de los siguientes sólidos.
1. La esfera de radio R . 2. El tronco de cono de base mayor a, base menor b y altura h . 5
3. El sólido que se obtiene al girar alrededor del eje OY la región plana encerrada por la curva y = x , cuando 1 ≤ x ≤ 2. 2
4. El sólido que se obtiene al girar alrededor del eje OY la región plana limitada por las gráficas y = x + x + 1 e y = 1, cuando 0 ≤ x ≤ 1. 3
5. El sólido que resulta de taladrar un agujero cilíndrico de radio r a través del centro de una esfera maciza de radio R, siendo R > r. Ejercicio 6. Un depósito de agua tiene forma de hemielipsoide de revolución , la que se obtiene al girar alrededor del eje OY el tramo de elipse de ecuación x2 y 2 + = 1 situado en el primer cuadrante. 16 9
1. Determina el volumen total del depósito. 2. Calcula el volumen de agua almacenada en el depósito si el nivel de agua alcanza una altura h . Ejercicio 7. Calcula los siguientes volúmenes de revolución alrededor del eje OX . x
1. El generado por el área encerrada por la función f (x) = en el x + 3x + 2 intervalo [0, +∞) . 2
2. El generado por el área encerrada por la función f (x) = log intervalo (0, 1] .
1 en el x
µ¶
Ejercicio 8. Sea D el cuerpo de revolución engendrado al hacer girar la región A = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y
≤ f (x)} ,
1
con f (x) =
q −
x (9
x2 )3
alrededor del eje OY . Calcula el volumen del sólido D. Ejercicio 9. Sea D el cuerpo de revolución engendrado al hacer girar la región A = (x, y) : 0 ≤ x ≤ π/4, 0 ≤ y ≤ tan2 x .
©
ª
alrededor del eje OX . Halla el volumen del sólido D . Ejercicio 10. Considera el sólido generado al girar alrededor del eje OY la región encerrada por la curva y =
√ log x 9−x
2
,
el eje OX , la recta x = 1 y la recta x = 3. Determina que el volumen de dicho sólido es finito y halla su valor. Ejercicio 11. Calcula la longitud de los siguientes arcos de curva. 6
1. La curva parametrizada c (t) = (3t − t , 3t ) con t ∈ [0, 2] . 3
2. La curva parametrizada c (t) = e
¡
t
2
t/2
− t, 4e
¢
con t ∈ [−8, 3] .
Ejercicio 12. La astroide es la curva de finida por la ecuación x2/3 + y 2/3 = 1. Encuentra una parametrización de dicha curva y halla su longitud. Ejercicio 13. Calcula las longitudes de los siguientes arcos.
1. El trozo de curva y = x
3/2
cuando x ∈ [0, 4] .
2. El arco de la curva y = cosh x para −1 ≤ x ≤ 1. x3 1 3. El trozo de curva de ecuación y = + con x 6 2x
∈
∙1 2
¸
,2 .
4. El arco de curva y = x para 0 ≤ x ≤ 1. 2
Ejercicio 14. Sea C la curva de corte entre las cuádricas x = 1 − z 2 e y = z2 . Encuentra una parametrización de la curva y halla la longitud del tramo de dicha √
" #
curva con z ∈ 0,
2 . 2
Ejercicio 15. Determina las longitudes de los siguientes arcos de curva:
1. La espiral de arquímedes r = θ con θ ∈ [0, 4π] . 2. La cardioide r = 1 − cos θ. 3. La curva de ecuación r (θ) = sen θ − cos θ. Ejercicio 16. Se consideran las curvas en coordenadas polares de ecuaciones r = 2 − 2cos θ y r = −6cos θ.
1. Halla el área de la región encerrada por ambas curvas. 2. Determina la longitud del contorno que rodea al área del apartado anterior.
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