MATA KULIAH
: KALKULUS III
TUJUAN
:
Maha Mahasi sisw swa a
diha dihara rapk pkan an dapa dapatt
mema memaha hami mi dan dan
memili memiliki ki penget pengetahu ahuan an serta serta kemam kemampu puan an terhad terhadap ap mate materi ri-m -mat ater erii
kalk kalkul ulus us
III
yang yang
meli melipu puti ti::
Sist Sistem em
persamaan linear, Matrik, Vektor Memberi bekal pengetahuan bagi para mahasiswa meng mengen enai ai
Mate Matema mati tika ka
Tekn Teknik ik
Lanj Lanjut ut
khus khusus usny nya a
menge mengenai nai Aljab Aljabar ar Linea Linearr agar agar dapat dapat diapl diaplik ikasi asikan kan keda kedallam
duni unia
indu ndustri stri
pada
umumn mumnya ya
ser serta
memberikan dasar untuk optimasi sistem industri.
POKOK BAHASAN: 1. SISTEM SISTEM PER PERSAM SAMAAN AAN LINE LINEAR AR DAN DAN MATRIK MATRIKS S Pengantar system persamaan linear, Eliminasi Gaussian, Matriks dan Operasi matriks, Aturan-aturan ilmu hitung matriks, Matriks elementer dan metode untuk mencari A-1, Sistem persamaan dan keterbalikkan
2. DETERMINAN Fungsi Fungsi Determin Determinan, an, Menghitu Menghitung ng determin determinan an dengan dengan reduksi reduksi baris, baris, Sifat-sifa Sifat-sifatt fungsi determinan, ekspansi ko-faktor; Aturan Cramer.
3. VEKTOR VEKTOR-VE -VEKTO KTOR R DI RUANGRUANG-2 2 DAN RUA RUANGNG-3 3 Penganta Pengantarr (Vektor/Ge (Vektor/Geometr ometrik), ik), Norma Norma vector, vector, Hasil Hasil kali titik dan kali silang, Garis dan bidang di ruang-3
4. RUAN RUANG-R G-RUA UANG NG VEKT VEKTOR OR Ruang-n Euclidis, Ruang vector umum, Sub ruang dll
PUSTAKA: 1. Anton, Anton, Howard, Howard, 2000, 2000, DasarDasar-dasa dasarr Aljabar Aljabar Linear Linear,, Edisi Edisi ke 7 2. Stroud Stroud , K.A., K.A., Matema Matematika tika untuk Mahasisw Mahasiswa. a.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Selamet Riyadi
KALKULUS III
1
M. XII GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG BERDIMENSI 3
Bidang-bidang Dalam Ruang Berdimensi 3
Dalam geometri analitis bidang, sebuah garis bisa didapatkan dengan menentukan kemiringan dan salah satu titikna. Demikian juga, sebuah bidang dalam ruang berdimensi 3 bisa didapatkan dengan menentukan inklinasi dan salah satu titiknya. Sebuah metode yang mudah untuk menguraikan inklinasi adalah dengan menentukan suatu vektor tak nol (disebut suatu “normal”) yang tegak lurus dengan bidang tersebut. Anggap persamaan bidang tersebut melalui titik P o (x0, y0, z0) dan mempunyai vektor tak nol n = (a, b, c) sebagai normal. z
n P (x, y, z) P0 (x0, y0, z0) y
x
Dari gambar tersebut terlihat bahwa bidang tersebut persis mengandung titik-titik P (x, y, z) dimana vektor Po P ortogonal terhadap n. n.
Po P
Po P
=0
=((x - x0), (y - y0), (z - z0)), maka:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 Kita sebut ini bentuk “normal titik” dari persamaan sebuah bidang.
Contoh:
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Selamet Riyadi
KALKULUS III
2
Cari sebuah persamaan bidang yang melalui titik (3, -1, 7) dan tegak lurus terhadap n = (4, 2, -5)
Jawab: 4(x – 3) + 2(y + 1) – 5(z – 7) = 0 4x + 2y – 5z + 25 = 0
Teorema: Jika a, b, c, dan d adalah konstanta dan a, b, dan c tidak semuanya nol, maka grafik persamaan ax + by + cz + d = 0 adalah sebuah bidang yang mempunyai vektor n = (a, b, c) sebagai normal.
Persamaan ax + by + cz + d = 0 adalah persamaan linear dalam x, y, dan z, ini disebut bentuk umum dari persamaan sebuah bidang.
Bukti.
Menurut hipotesis, koefisien a, b, dan c tidak semuanya nol. Anggap , untuk
saat ini, bahwa a
0. maka persamaan ax + by + cz + d = 0 bisa ditulis ulang
≠
dalam bentuk a (x + (d/a) ) + by + cz + d = 0. Tetapi ini adalah suatu bentuk normal-titik fari bidang yang melalui titik ( d/a, 0, 0 ) dan mempunyai n = ( a, b, c ) sebagai normalnya. Jika a = 0, maka b
≠
0 atau c≠ 0. sebuah modifikasi langsung dari uraian di atas
akan menangani kasus-kasus lain ini.
Sebagaimana penyelesaian suatu sistem persamaan linear ax + by = k1 cx + dy = k2 berpadanan dengan titik-titik potong garis ax + by = k 1 dan
cx + dy = k2 dalam
bidang-xy, demikiam juga penyelesaian sebuah sistem ax + by + cz = k1 dx + ey + fz = k2 gx + hy + iz = k3 berpadanan dengan titik potong tiga bidang ax + by + cz = k 1
dx + ey + fz = k2
dan gx + hy + iz = k3
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Selamet Riyadi
KALKULUS III
3
Bentuk Vektor dari Persamaan Sebuah Bidang z P (x, y, z) n r-r 0 r r 0
P0 (x0, y0, z0) y
x
Dari gambar, anggap r = (x, y, z) adalah vektor dari titik asal ke titik P (x, y, z). Anggap r 0 = (x0, y0, z0) adalah vektor dari titik asal ke titik P 0 (x0, y0, z0) dan anggap n = (a, b, c) adalah suatu normal vektor pada bidang tersebut, maka
Po P
= r – r 0, sehingga n. Po P = n(r – r 0) = 0
Ini disebut “bentuk vektor dari persamaan sebuah bidang
Contoh: Persamaan ( -1, 2, 5 ). (x – 6, y – 3, z + 4 ) = 0 Adalah persamaan bidang dalam bentuk vektor yang melalui titik ( 6, 3, -6 ) dan tegak lurus terhadap vektor n = (-1,2, 5 )
Garis-garis dalam Ruang Berdimensi 3 z
l P (x, y, z) P0 (x0, y0, z0) v
(a, b, c)
y
x
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Selamet Riyadi
KALKULUS III
4
Anggap l adalah garis dalam ruang berdimensi 3 yang melalui titik P 0 (x0, y0, z0) dan sejajar dengan vektor tak nol v = (a, b, c). Dalam gambar terlihat bahwa l persis terdiri dari titik-titik P (x, y, z) dimana vektor Po P
sejajar dengan v, dimana terdapat skala t sedemikian, sehingga:
Po P
= t.v
(x – x0, y – y0, z – z0) = ( ta, tb, tc )
x – x0 = ta,
dengan (-
y – y0 = tb ,
∞
z – z0 = tc, sehingga: x = x0 + ta, y = y0 + tb , z = z0 + tc
< t < + ∞ ), disebut sebagai “Persamaan Parametrik” untuk l.
Contoh: Garis yang melalui titik (1, 2, -3 ) dan sejajar dengan vektor v = (4, 5, -7) mempunyai persamaan parametrik
X = 1 + 4t,
y = 2 + 5t,
z = -3 – 7t
(- ∞ < t < + ∞ )
Contoh: •
Cari persamaan parametrik untuk l yang melalui titik-titik P 1 (2, 4, -1), dan P2 (5, 0, 7)
•
Dimanakah garis tersebut memotong bidang xy.
Jawab: * P1P2
(3, 4,8) sejajar dengan l dan P 1 (2, 4, -1) terletak pada l, maka garis
=
−
l: x = 2 + 3t, y = 4 – 4t, z = -1 + 8z (- ∞ < t < + ∞ )
* Garis tersebut memotong bidang xy pada titik dimana z = - 1 + 8t = 0, dimana t = 1/8, sehingga (x, y, z) = (19/8, 7/2, 0)
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Selamet Riyadi
KALKULUS III
5
Bentuk Vektor dari Persamaan Sebuah Garis
z
l P0 (x0, y0, z0)
P (x, y, z) r-r 0
r 0
r (a, b, c) v y
x
Pada bahasan sebelumnya dinyatakan bahwa
Po P
= r – r0 , maka dengan
demikian: r – r 0 = tv → r = tv + r 0
Persamaan ini disebut “bentuk vektor dari persamaan sebuah garis” dalam ruang berdimensi 3
Contoh: persamaan (x, y, z) = (-2, 0, 3) + t(4, -7, 1); adalah persamaan garis dalam bentuk vektor yang melalui titik (-2, 0, 3) yang sejajar dengan vektor v = (4, -7, 1)
Beberapa Masalah Tentang Jarak
Masalahnya : 1. jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Selamet Riyadi
KALKULUS III
6
2. jaak antara dua bidang yang sejajar.
Kedua masalah tersebut berkaitan. Jika kita bisa mencari jarak antara sebuah titik dab sebuah bidang, maka kita bisa mencari jarak antaa dua bidang yang sejajar dengan menghitung jarak antara salah satu bidang dengan sebarang titik Po pada bidang satunya lagi.
Po v
w
Jarak antara bidang-bidang sejajar v dan w sama dengan jarak antaa P 0 dan w. Jarak D antara sebuah titik P0 (x0, y0, z0) dan bidang ax + by + cz + d = 0 adalah
D=
ax 0
+
by 0
a2
+
+
b2
cz 0 +
+
d
c2
Contoh: Cari jarak D antara titik (1, -4, -3) dan bidang 2x –3y + 6z = -1
Jawab: 2x – 3y + 6z + 1 = 0
D =
( 2)(1) + ( − 3)( − 4) +( 6)( − 3) 2
2
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
(
)
+ −3
2
+6
2
+1
−3 =
7
3 =
7
Selamet Riyadi
KALKULUS III
7
Diketahui dua bidang, keduanya bisa berpotongan, di mana kita bisa menanyakan gais atau titik potongnya, atau sejajar, di mana kita bisa menanyakan jarak antara keduanya. Contoh berikut mengilustrasikan masalah kedua.
Contoh: Bidang-bidang X + 2y – 2z = 3
dan
2x 4y – 4z = 7
Sejajar karena normalnya ( 1, 2, -2 ) dan ( 2, 4, -4 ), adalah vektor-vektor yang paalel. Cari jarak antara keduanya.
Penyelesaian. Untuk mencari jarak D antara kedua bidang tersebut, kita bisa memilih sebarang titk pada salah satu bidang dan menghitung jaraknya kebidang lainnya. Dengan menetapkan y = z = 0 dalam persamaan x + 2y – 2z = 3, kita dapatkan titik Po (3, 0, 0 ) pasa bidang ini. Jarak antara Po dan bidang 2x + 4y – 4z = 7 adalah
D
=
( 2 )( 3)
+
2
( 4 )( 0) 2
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
+
(
)( 0)
+ −4
( −3)
2
+
6
2
−7
−3 =
7
3 =
7
Selamet Riyadi
KALKULUS III
8
