5. GARI GARIS S DAN DAN BIDA BIDANG NG DI DI RUAN RUANG G3
Pada bagian ini akan menjelaskan penggunaan vektor-vektor untuk menurunkan persamaaan garis dan persamaan bidang di ruang 3. Persamaan-persamaan ini digunakan untuk memecahkan beberapa soal geometrik dasar. 5.1 Persam Persamaan aan bidan bidang g di ruang ruang 3 Bidang merupakan suatu permukaan datar.
Untuk membentuk suatu persamaan garis dibutuhkan 2 titik, sedangkan untuk membentuk persamaan bidang dibutuhkan 3 titik atau satu titik dan vektor normal dari bidang tersebut. Vektor normal sendiri merupakan vektor yang tegak lurus ke bidang tersebut. Jika terdapat satu bidang yang melalui titik P (x 0,y0,z0) dan memiliki vektor normal n = (a,b,c), maka bila ingin mencari persamaan dari bidang tersebut diperlukan suatu titik sembarang Q(x,y,z) yang terletak pada bidang tersebut.
Dari definisi bahwa vektor normal tegak lurus terha dap bidang, maka :
=0
a(x-x0) + b (y-y 0) + c(z-z0) = 0 Kita akan menamakan ini bentuk normal titik dari persamaan bidang. Selanjutnya dari persamaan tersebut,dengan mengkalikan dan mengumpulkan suku-sukunya,maka : ax+by+cz+(-ax0 – by0 – cz0) = 0 ax+by+cz+d = 0 dimana a, b, c, dan d adalah kostanta, dan a,b,c tidak semuanya nol.
33
Teorema 7. Jika a, b, c, dan d adalah konstanta, , dan a,b, serta c tidak semuanya nol maka grafik persamaan ax+by+cz+d = 0 adalah sebuah bidang yang mempunyai vektor n = (a, b, c) sebagai normal
Bukti : Menurut hpotesi, maka koefisien a, b, c tidak semuanya nol. Untuk sementara anggaplah bahwa a ≠ 0. Maka persamaan ax+by+cz+d = 0 dapat dituliskan sebagai : a(x + ??? )+by+cz+d = 0
tetapi ini merupakan bentuk normal titik dari bidang yang
melewati titik (??? , 0, 0) dan mempunyai n = (a,b,c) sebagai normal. Jika a = 0, maka b ≠ 0 atau c ≠ 0. Modifikasi langsung dari argumen di atas akan menangani kasus lain ini. Persamaan ax+by+cz+d = 0 adalah persamaan linear di x,y,dan z, persamaan ini disebut bentuk umum persamaan bidang.
Seperti halnya pemecahan sistem persamaan linear ax + by = k 1 cx + dy = k 2 bersesuaian dengan titik perpotongan perpotongan garis ax + by = k 1 dan cx + dy = k 2 di bidang xy, maka demikian juga pemecahan sistem ax + by + cz = k 1 dx + ey + fz = k 2 gx + hy + iz = k 3 bersesuaian dengan titik perpotongan perpotongan bidang ax + by + cz cz = k 1 , dx + ey + fz = k 2, 2, dan gx + hy + iz = k 3. 3.
34
Beberapa kemungkinan geometrik yang terjadi pada persamaan ax + by + cz = k 1, dx + ey + fz = k 2 dan gx + hy + iz = k 3
Yang tidak memiliki solusi: (a), (b), (c) Yang memiliki banyak solusi: (d), (e) Yang memiliki solusi tunggal: (f)
5.2.Persam 5.2.Persamaan aan garis di ruang ruang 3
Diberikan titik P (x 0,y0,z0) dan dan vekt vektor or =
z
(a,b,c). Akan ditentukan persamaan garis yang melalui titik P dan sejajar dengan
Q P
l
.
Misalkan Q(x,y,z) sebuah titik sembarang y
pada garis tersebut. Vekt Ve ktor or
seja sejaja jarr deng dengan an vekt vektor or
x
sehingga
=t
dengan t
(x-x0) + (y (y-y0) + (z-z0) = t (a, (a, b, b, c)
35
Dengan demikian diperoleh persamaan parametrik untuk l karena garis l ditelusuri oleh P dan Q jika parameter l berubah dari
yaitu :
x = x0 + ta y = y0 +tb dimana z = z0 + tc
Bila pada persamaan tersebut parameter t di eliminasi maka maka diperoleh persamaan simetrik sebagai berikut :
5.3.Jarak titik terhadap bidang
Vektor normal n pada bidang bidang ax + by + cz+ d = 0 dapat ditulis sebagai ( a,b,c). Titik A(xA, yA) berada di luar bidang, sedangkan sembarang titik P(x,y,z) pada bidang, sehi sehing ngga ga :
PA
. n
PA
n
c o s
x A x a y y . b D n A z A z c D = jarak titik A ke bidang axA byA czA (ax by cz ) D a 2 b 2 c 2
D
axA byA czA d a
2
b2 c2
Persamaan tersebut digunakan untuk mencari jarak suatu titik ke bidang yang telah telah diketahui persamaannya.
36
5.4 Jarak titik terhadap garis Tidak seperti menghitung jarak titik terhadap garis pada dimensi dua, karena persamaan garisnya berbeda. Oleh karena itu, diperlukan bantuan satu titik (Q) yang terletak pada garis g 1 sedemikian sehingga jika dihubungkan dengan titik yang diketahui(P) akan saling tegak lurus Jadi jarak P terhadap g1 = jarak antara dua titik P dan Q (PQ)
Cont Contoh oh Soal Soal : Tentukan jarak titik (2,3,-1) ke garis g 1 dengan persamaan x = 2t-1; y = t-3; z = t.
Jawab : Misalkan titik Q pada garis g 1 dengan koordinat (2t-1, t-3, t), maka :
Jadi :
37
