Ring Faktor Dan

BAB V RING FAKTOR DAN TEOREMA-TEOREMA ISOMORFISMA

A. Ring Faktor

Dalam bagian ini akan diuraikan ring-ring faktor. Berdasarkan pada uraian sebelumnya, jika A suatu ideal dari ring R, maka A adalah subgrup dari grup penjumlahan R ( yang komutatif) dan merupakan grup normal. Selanjutnya, akan diuraikan ring faktor R/A. Karena elemen-elemen R/A adalah koset-koset dari A, elemen-elemen tersebut dapat ditulis dalam bentuk I + r dengan r ∈ R. Dan R/A merupakan ring dijelaskan dalam teorema berikut. R/A = { r + A | r ∈ R } melambangkan himpunan kelas-kelas ekuivalensi dari R modulo A dengan A ideal. Atau menunjukkan himpunan koset-koset r + A. Beberapa sifat dari koset : ( i). u + A = v + A bila dan hanya bila u – v ∈ A (ii). (u + A) ∩ ( v + A ) ≠ ∅ bila dan hanya bila u + A = v +A.

Teorema a.1. Diberikan A suatu ideal dari ring R. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan pada himpunan R/A dengan aturan ( u + A) + ( v + A ) = ( u+v) + A ( u + A ) ( v + A ) = uv + A Terhadap operasi tersebut R/A adalah suatu ring dan disebut ring faktor. Selanjutnya, pemetaan θ : R → R/A didefinisikan oleh θ (u) = u + A adalah homomorfisma dari R ke R/A. Bukti : Beberapa syarat yang berkaitan dengan ring harus dibuktikan. =========================== ========================================= ============================ =============== = STRUKTUR ALJABAR II 46

Akan dibuktikan sifat tertutup. Misalkan u + A = u1 + A dan v + A = v1 + A. Harus ditunjukkan bahwa uv + A = u1v1 + A dan ( u+v) + A = (u1 + v1) + A. Karena u + A = u1 + A maka u – u1 ∈ A atau u ≡ u1 (mod. A). Dan v + A = v1 + A maka v – v1 ∈ A atau v ≡ v1 ( mod.A). Menurut teorema a.1. pada bab III, ( u+v) ≡ (u1 + v1) (mod. (mod. A) dan uv ≡ u1v1 (mod. A). Maka ( u + v ) + A = ( u1 + v1) + A dan uv + A = u1v1 + A. Akan dibuktikan satu dari aturan-aturan distributif. Diberikan u,v,w ∈ R. (u+A) [ (v+A) + ( w + A )] = ( u+A) [ ( u+w) + A ] = ( u (v+w)) + A = ( uv + uw ) + A = (uv + A ) + ( uw + A) = ( u+A) ( v+A) + ( u+A) ( w+A) 0+A = A adalah elemen identitas penjumlahan dari R/A dengan 0 ∈ R. Jika R mempunyai elemen identitas perkalian e, maka e + A adalah identitas perkalian dari R/A. Jika ring R komutatif maka setiap ring faktor R/A juga komutatif. Tetapi sebalikmya tidak benar. Ring R/A dapat komutatif meskipun R tidak komutatif.

g

Ring faktor R/A belum tentu merupakan daerah integral meskipun R adalah daerah integral. Sebagai contoh, Z adalah daerah integral, padahal Z6 bukan daerah integral. Teorema a.2. Jika R suatu ring dan A adalah ideal dari R, maka pemetaan φ : R → R/A didefinisikan sebagai

φ (u) = u + A; untuk setiap u ∈ R; adalah

homomorfisma dari R ke R/A dan Ker (φ ) = A. =========================== ========================================= ============================ =============== = STRUKTUR ALJABAR II 47

Bukti : Diberikan u,v ∈ R maka φ (uv ) = uv + A = (u+A)(v+A) = φ(u) φ(v) φ ( u+v) = ( u+v) + A = ( u+A) + (v+A) = φ (u) + φ (v)

Ambil u ∈ Ker (φ ) maka u ∈ R dan φ(u) = 0 + A; 0+A elemen nol dari R/A. φ (u ) = u+A = 0+A maka u ∈ A.

Ambil u ∈ A, maka u ∈ R. Karena φ homomorfisma maka φ(u) = u+A.

g

Contoh : Diberikan φ : Z → Zn didefinisikan sebagai φ (m) = r, dengan r adalah sisa pembagian m jika dibagi dengan n( r) adalah suatu isomorfisma. Karena Ker (φ ) = nZ, dari teorema a.1. menunjukkan bahwa Z/nZ merupakan suatu ring dengan operasi-operasi pada kelas residu dapat dihitung dengan pemilihan dan pembentukan operasi korespondensi dalam Z. Dapat ditunjukkan pula bahwa ring Z/nZ isomorfik dengan Zn.

Soal Latihan

1. Didefinisikan θ : Z12 → Z4 dengan θ ([a]12 ) = [a]4 untuk setiap [a]12 ∈ Z12 a. Buktikan θ tertutup b. Buktikan θ homomorfisma c. Susunlah tabel Cayley untuk operasi ring pada Z12 / ([4]). 2. a. Buktikan bahwa operasi perkalian bersifat asosiatif dalam dalam setiap ring faktor R/A. b. Buktikan hukum distributif =========================== ========================================= ============================ =============== = STRUKTUR ALJABAR II 48

[(A + u) + (A+v) ] (A+w) = (A+u)(A+w) + (A+v)(A+w) untuk setiap ring faktor.

3. Buktikan bahwa jika R komutatif dan A suatu ideal dari R, maka R/A komutatif.

4. Buktikan bahwa jika R mempunyai identitas e, maka A+e adalah identitas untuk R/A.

5. Diberikan A dan B ideal dari ring R dengan A ⊆ B. Buktikan bahwa B/A, yaitu himpunan koset berbentuk b+A dengan b ∈ B, adalah ideal dari ring R/A.

6. Diberikan A suatu ideal dari ring R. Buktikan R/A adalah ring komutatif bila dan hanya bila rs – sr ∈ A untuk setiap r,s ∈ R.

7. Diberikan R ring ring dari semua matriks berordo 2 berbentuk

  x 0  x , y , z Z ∈   y z  

r( x , y , z ) =  

Diberikan A himpunan bagian dari R yang terdiri dari semua elemen r (0, y, 0), dengan y ∈ Z. Buktikan : a. A ideal dari R b. R tidak tidak komutatif tetapi R/A komutatif

=========================== ========================================= ============================ =============== = STRUKTUR ALJABAR II 49

B. Teorema Isomorfisma Isomorfisma Ring

Dalam bagian ini akan diberikan hubungan dasar antara ring-ring faktor dan bayangan homomorfisma dari R.

Teorema b.1. Teorema Isomorfisma pertama Diberikan φ suatu homomorfisma dari ring R ke ring S dengan kernel A. Maka S adalah isomorfik dengan ring faktor R/A; dengan pemetaan α : R/A → S didefinisikan sebagai α(u+A) = φ(u) ; untuk setiap u+A ∈ R/A.

Bukti : Sudah dibuktikan pada bab 3 dalam teorema b.2. bahwa A = Ker φ adalah ideal dari R. Maka dapat dibentuk ring faktor R/A. Akan ditunjukkan pemetaan α di atas tertutup (terdefinisi dengan baik). Ambil u+A, v+A ∈ R/A dengan u+A = v+A; u,v ∈ R. Berarti u – v ∈ A. Atau u = v + a; a ∈ A. Maka diperoleh φ ( u) = φ ( v+a ) = φ (v) + φ (a) ; karena φ homomorfisma. Karena a ∈ A; dengan A = ker φ ; maka φ (a) = 0. Sehingga φ (u) = φ (v). Selanjutnya, akan ditunjukkan α : R/A → S isomorfisma. Pertama, ditunjukkan bahwa α homomorfisma. α ((u+A)+(v+A)) = α ((u+v) + A)

= φ (u+v) = φ (u) + φ (v) ; karena φ homomorfisma = α (u+A) + α ( v+A) α ((u+A)(v+A))

= α (uv + A ) = φ (uv )


= φ (u) φ (v) ; karena φ homomorfisma = α ( u+A) α ( v+A ) Terbukti α homomorfisma. Kedua, akan dibuktikan α pemetaan injektif. Ambil u+A, v+A ∈ R/A dengan α ( u+A ) = α ( v+A ). Ambil u+A ∈ Ker α. Maka α (u+A) = 0 = φ (u). Dari bentuk tersebut, berarti u ∈ Ker φ = A, u ∈ A. Sehingga diperoleh u+A = o+A = A, adalah identitas penjumlahan dari ring R/A. Maka Ker α = {0}. α (u+A) = α (v+A) ⇒ α (u+A) - α (v+A) = 0 α ((u-v) + A) = 0; α homomorfisma. φ ( u-v ) = 0 ⇒ u – v ∈ Ker φ

( u – v ) + A ∈ Ker ⇒ ( u – v ) + A = 0 atau (u+A) – (V+A) = 0 Akan dibuktikan α surjektif. Diberikan s ∈ S. Diasumsikan bahwa φ surjektif, ada suatu r ∈ R dengan φ (r ) = s. Maka α ( r + A ) = φ ( r ) = s. g

Terbukti α surjektif.

Teorema itu disebut Teorema Isomorfisma Pertama untuk ring karena teorema

tersebut

merupakan

aturan

dasar

dalam

mempelajari

homomorfisma. Teorema tersebut dapat diartikan (diinterpretasikan) dengan menyatakan bahwa jika ring isomorfik tidak berbeda, maka hanya bayangan homomorfik dari ring R adalah ring-ring faktor R/A, dengan A adalah suatu ideal dari R. Diberikan suatu penjelasan sebagai berikut dalam menggunakan teorema ini. Misalkan F suatu field dan φ : F → S adalah homomorfisma. Untuk menentukan beberapa informasi tentang S, perlu diketahui suatu =========================== ========================================= ============================ =============== = STRUKTUR ALJABAR II 51

hal tentang ideal dari F. Setiap elemen taknol F mempunyai invers, maka suatu ideal taknol dari F memuat elemen identitas (satuan) dan oleh karena itu memuat setiap elemen dari F. Maka F hanya mempunyai dua ideal sederhana (trivial), sehingga hanya ada 2 kemungkinan untuk A = Ker φ. Jika A = <0> maka menurut teorema b.2 (dalam bab III), φ merupakan suatu isomorfisma yaitu S adalah field isomorfik dengan F.

Alternatif lain, yaitu A = F, di mana F/A = F/F adalah suatu ring dengan hanya 1 elemen dengan setiap koset f + F = 0 + F. Maka dari teorema b.1 menyebabkan S adalah ring dengan 1 elemen. Dari uraian di atas dapat dirumuskan definisi berikut ini.

Definisi b.1. Diberikan R dan S suatu ring. Suatu isomorfisma dari R pada S adalah pemetaan θ : R → S yang merupakan pemetaan satu-satu dan onto dan memenuhi θ (a+b) = θ(a) + θ(b)

dan θ(ab ) = θ(a) θ(b) untuk setiap a,b ∈ R. Jika ada isomorfisma dari R terhadap S, maka R dan S disebut isomorfik dan ditulis R ≈ S.

1

Dalam keadaan θ(a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b), operasi pada ruas kiri dalam setiap persamaan adalah operasi pada R dan operasi pada ruas kanan adalah dalam S. Karena dari operasi penjumlahan maka ring isomorfisma juga merupakan grup penjumlahan dari R ke S. Ini berarti θ(0) = 0 dan θ(-a) = -θ(a) untuk setiap a ∈ R. Contoh berikut menunjukkan bahwa suatu isomorfisma antara grup penjumlahan dari dua ring tidak selalu merupakan ring isomorfisma.


Contoh :

1.

Diberikan θ pemetaan dari ring bilangan bulat ke ring bilangan bulat genap yang didefinisikan oleh θ (n ) = 2n untuk setiap n. Pemetaan tersebut merupakan isomorfisma antara grup aditif, tetapi bukan merupakan ring isomorfisma karena tidak memenuhi definisi perkalian : θ (mn) = 2mn padahal θ(m) θ(n) = ( 2m )( 2n ) = 4mn

Meskipun pemetaan ini bukan ring isomorfisma, dapat ditentukan apakah beberapa pemetaan dari ring bilangan bulat ke ring bilangan bulat genap dapat merupakan ring isomorfisma. Jawabannya adalah tidak. Sebagai contoh, ring dari bilangan bulat mempunyai elemen satuan tetapi ring dari bilangan bulat genap tidak mempunyai elemen satuan. Perlu diingat, meskipun bilangan bulat dan bilangan bulat genap tidak berbeda sebagai grup tetapi berbeda sebagai ring.

2. Diberikan ring Z[

2

] melambangkan semua bilangan a+ b

a,b ∈Z. Dan didefinisikan θ : Z[ θ( a + b

)=a–b

2

2

2

] → Z[

2

2

dengan

] oleh

.

Pemetaan ini merupakan pemetaan satu-satu dan onto. Dan diberikan operasi pada ring, untuk penjumlahan, θ ((a+b

2

) + (c+d

2

)) = θ ((a+c) + (b+d = (a+c) – ( b+d)

dan θ (a + b

2

) + θ ( c+d

2

) = ( a-b

2

2

))

2

)+(c–d

= (a+c) – ( b+d)

2

)

2

untuk perkalian, θ ((a+b

2

)(c+d

2

) = θ ((ac + 2bd) + (bc + ad) = (ac + 2 bd) – (bc+ad)

2

)

2

dan juga, =========================== ========================================= ============================ =============== = STRUKTUR ALJABAR II 53

θ (a+b

2

) θ ( c+d

2

) = (a – b

2

) (c- d

2

)

= (ac + 2bd) – (bc + ad) Maka θ adalah suatu isomorfisma dari Z [

2

2

] onto Z[

2

].

Isomorfisma seperti ini, dari ring ke dirinya sendiri, disebut automorfisma.

3.

Dapat dibuktikan bahwa Z6 ≈ Z2 X Z3 menggunakan pemetaan θ : Z6→ Z2XZ3 yang didefinisikan oleh θ([a]6) = ([a]2 , [a]3 ).

Berikut ini, beberapa pernyataan yang ekuivalen yang menunjukkan bahwa θ adalah terdefinisi dan injektif : [a]6 = [b]6 ⇒ 6| (a-b)

⇒ 2| (a-b) dan 3 | (a-b) ⇒ [a]2 = [b]2 dan [a]3 = [b]3 ⇒ ([a]2, [a]3) = ([b]2, [b]3 ) Karena |Z6| = | Z2 x Z3 | , θ adalah surjektif (onto) jika θ injektif. Selanjutnya, θ pada penjumlahan : θ ([a]6 ⊕ [b]6) = θ( [a+b]6 )

= ([a+b]2 , [a+b]3 ) = ([a]2 ⊕ [b]2 , [a]3 ⊕ [b]3) = ([a]2 , [a]3) + ([b]2 , [b]3 ) = θ ([a]6) + ([b]6)

Searah dengan itu , θ menunjukkan perkalian. Selanjutnya, Z6 ≈ Z2 X Z3

, diasumsikan.

Jika satu dari dua grup isomorfik adalah Abelian, maka harus juga merupakan Abelian. Dengan cara yang sama, jika satu dari dua ring isomorfik adalah komutatif, maka harus juga merupakan komutatif. Atau, jika R dan S ring-ring isomorfik dan R komutatif, maka S adalah komutatif.

=========================== ========================================= ============================ =============== = 54 STRUKTUR ALJABAR II

Sifat lain dari ring isomorfik termasuk adanya elemen satuan, adanya elemen pembagi nol, yang merupakan daerah integral dan yang merupakan field. Metode umum yang terkenal untuk menunjukkan bahwa dua ring tidak isomorfik yaitu menemukan beberapa cirri bahwa satu dari ring-ring mempunyai cirri isomorfik tetapi yang lainnya tidak. Konsep

berikut

akan

membantu

dalam

menetukan

apakah

ketunggalan dari ring bilangan bulat. Jika n adalah bilangan bulat positif dan a adalah elemen ring, maka na = a + a + a + …… + a ( n suku ).

Definisi b.2. Diberikan R ring. Jika ada suatu bilangan bulat positif n sedemikian sehingga na = 0 untuk setiap a, maka bilangan bulat terkecil disebut karakteristik dari R. Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka R disebut mempunyai karakteristik 0.

Jika suatu ring mempunyai sebuah elemen satuan e dan karakteristik n ≠0 maka ne = 0. Di lain pihak, jika ne = 0 dan a ∈ R, maka na = n(ea) = (ne) a = 0a = 0. Maka, untuk suatu ring dengan satuan e, karakteristik dapat didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga ne = 0, jika ada suatu bilangan bulat maka ring mempunyai karakteristik 0.

Contoh : 1. Ring bilangan bulat mempunyai karakteristik 0, tidak ada bilangan bulat positif n sedemikian sehingga n.1 = 0. Untuk alasan yang sama, ring dari bilangan rasional dan ring bilangan real juga mempunyai karakteristik 0. Karakteristik dari Zn adalah n, karena n[1] = [n] = [0] padahal k[1] = [k] ≠ 0 untuk 0

2. Ring Zn adalah daerah integral maka n adalah suatu prima. Jika ring Zn adalah suatu daerah integral maka karakteristiknya adalah suatu prima.

Soal Latihan 1. Suatu ideal P dari ring komutatif R adalah ideal prima jika jika P ≠ R dan untuk setiap a,b ∈ R, ab ∈ P maka a ∈ P atau b ∈ P. Buktikan bahwa jika n adalah bilangan bulat positif, maka adalah ideal prima dari Z bila dan hanya bila n adalah bilangan prima.

2. Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan P ≠ R adalah ideal dari R. Buktikan bahwa P adalah ideal prima bila dan hanya bila R/P adalah daerah integral.

3. Jika I dan J adalah ideal dari ring R, maka I + J didefinisikan sebagai { a+b | a∈I dan b∈J }. Buktikan : a. I + J adalah ideal dari R, b. J adalah ideal dari I+J, c. I∩J adalah ideal dari I d. I/(I∩J) ≈ (I+J)/J.

4. Diketahui I dan J ideal dari ring ring R, dengan J ⊆ I. Buktikan : a. I/J adalah ideal dari dari R/J, b. (R/J) / (I/J) ≈ R/I.


Ring Faktor Dan

Recommend Documents