Cálculo Integral Prof: Celestina Peña Quiñones UNI - FIIS Resumen de prácticas (para la 2da práctica y el parcial)
1. Expresar Expresar como como una una integral integral definidas definidas las siguientes siguientes sumas sumas n
a) lím
n →∞
∑
n( i − 3n )
( n + 4i ) 2 lím b) lím 2 2 , c) 3 , 3 3 n →∞ n →∞ ( i + n) i =1 2n + 4in + 4i i =1 n + ( n + 4i )
i =1
∑
n2
n
d) lím
n→∞
e) lím
∑= ( n i 1
2
+ 2in + i 2 )
2n 2 + 2in + i 2
1 2 2 ( n − 1) 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 3 lím , n→ ∞ n 3 n n
+n
n
∑ i =1
x − ( x − x − ) , ∑ → = 9 + x − n
i 1
g) lím P
0
i
i 1 3 i 1
i 1
x ∈ [1, 3]
3
x + xi −1 ( x − x ) , lím ∑ i i i −1 P →0 3 i =1
g) lim n→ ∞
∑
n2
n
h)
n
,
1 + n + 2 + 2n + ⋅ ⋅ ⋅ + n − 1 + n( n − 1)
n→∞
f)
2n + 4i
n
x ∈ [ − 2, 6]
2(2i − n) (4 i n − 4i 2 )
( n 2 + (2 i − n 2 )
16 n 4
− ( 2 i − n) 4
2. Hallar Hallar un valor aproxi aproximad mado o de la integral integral definid definidaa de las siguie siguiente ntess funcione funcioness en los intervalos indicados a) f ( x )
= 1 , x ∈ [ − 5,−1] , x
i) con una una partición regular de de longitud 1.
ii) con la partición P = { − 5, − 4.5, − 3, − 2.5,
− 2, − 1}
− x 2 − 6 x − 8, si x ∈ [ − 6,−3] b) f ( x ) = x + 4, si x ∈ − 3,0 x + 4, si x ∈ ( 0,4] i) Con una partición regular de longitud 1.5 ii) Con la partición P = { − 6, − 5.5, − 4, − 3.5,
− 3, − 2.5, − 2, − 1, 0,1, 2.5, 3, 4}
3. Expresand Expresando o como límite límite de una una suma hallar hallar el valor valor de las siguie siguientes ntes integrales integrales.. a)
∫ −3 ( x 2 − 2 x + 1) dx , 3
b)
4
∫ −
2
x 2 + 2 x + 5 dx ,
c)
∫ − ( x 4
4
3
− 3 x ) dx
3 + 2 x − x 2 , si x ∈ [ − 4,1] f ( x ) dx donde f ( x ) = d) −4 5 − x3 , si x ∈ ]1, 4] 4
∫
4. Hallar Hallar núme números ros reales reales A, B tales tales que que A ≤
a) f ( x )
= x 2 − 1 − 3,
x ∈ [ − 4, 6] ,
b
∫ f ( x) dx ≤ B para las siguientes funciones:
b)
a
4 x + 4, f ( x ) = 3 4 − x 2 ,
( 1 + x 2 ≤ ≤ ≤ ( ) ( ) A f x dx g x dx B c) , donde f ( x ) = ∫a ∫ a b
b
x ∈ [ − 3, 4] x ∈ ] 4,8]
tan −1 x − x
1 + x
2
, g ( x )
=
x 3 1 + x2
5. Evalua Evaluarr las siguie siguiente ntess integ integral rales: es:
−1
x + 1
∫
a)
− 4 x 2
dx
b)
+ 8 x + 25
2 6. Dado f ( x ) = x
3/ 2
∫
−1
− 4x + 3
x −
, x ∈ [ − 2, 5]
x
2
1 2
+1
dx
¿tiene f valor medio?.
En caso afirmativo halle este valor y el punto ó puntos donde ocurre. 7. Hallar x −1 x + h−1 1 (t + 1) 2 dt lim x − dt − h→ 0 h −1 (t + 1) 2 + 1 −1 (t + 1) 2
∫
∫
+ 1
8. Mediante Mediante límite límite de una una suma, suma, hallar el área área de la región región acotada acotada por por las curvas 1 2 x 2 y = − x + 12 , y = − 2 x 3 3
II PRACTICA CALIFICADA DE MATEMÁ MATEMÁTICAS TICAS II (MA-123) CICLO 2001-I
1.- Evaluar las siguientes integrales: 30 dx
4
∫ 2
a)
c)
2+ 2
∫ 1
x
2
(2.0 pts)
b)
4
12 f ( x )dx
,
si f ( 2 x
3
+ 1) = x
π / 6
∫
0
4 3 dx 2 − cos 2 x
6
(2.5 pts)
(2.5 pts)
2.- Exprese como una integral definida y luego evalúe el siguiente límite: n
lim
n→ ∞
∑= i 1
(2i − n) n 2
− in + n 2 )
(3.0 pts)
n3
3.- Utilizando la definición como el límite de una sumatoria, calcule el área de la región limitada por la gráfica de f ( x ) = x
2
− 2x − 3 ,
la recta x = 5 y el eje X
(3.5 pts)
4.- Sea g una función estrictamente creciente tal que g(2) = 1 , g ′( 2) = 2
f ( x ) =
g ( x )
2
(1 + t )dt , entonces, calcule ( f −1 )′(0)
∫ 1
y (3.0 pts)
5.- Evaluar:
2 x+1 x − ∫ 1 lim h→ 0 2
tdt +
x +1
∫
2
1 + 2t − t
1
2
dt −
2t − t
x + h +1
∫
1
2 2t − t dt
(3.5 pts)
CICLO 2001-II
1.- Evaluar las siguientes integrales: 1
a)
∫
x
0
2
c)
∫ 1
2
dx
(3.0 pts)
+1
x 1 + x 2 x
2
5 x − x
+ 2
5 x − x 2 3
+ 5 x − x
4
∫
b)
dx
4 −2 ( x 3
+ 2) 2
x ( x
+ 4)
dx
(3.0 pts)
(3.0 pts)
2.- Calcular el siguiente límite:
1 lim h→ 0 h
π
∫
9
π
cos(3t +) dt +
−3 + 2 h
9
u 6 du u
3π −6 h sen
−3 − h
∫
3π +6 h
3
(3.5 pts)
3.- Utilizando la definición como límite de una sumatoria, calcular el área de la región limitada por las curvas : x ζ1 : y = + 1 ζ2 : y 2 = 4( x + 4) , ζ3: ( y − 2) 2 = 4 − 2 x , 2
ζ4 : y =
( x + 4) 2 16
2
b
4.- Calcular : L =
∫
∫
2
2
t
t
(4.0 pts)
dy + dx dt dt
a
si x = t
x ≤ 0
,
cos(u / t )
u
2
du
y
=
dt
∫
2t
sen(u − t )
1+ t u
2
2
+ t − 2ut
donde a es el valor de t para el cual x = y = 0 y un valor extremo
du
b es el valor de t en el cual y tiene (3.5 pts) CICLO 2001-I
EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁ MATEMÁTICAS TICAS II (MA-123 1.- Evalúe las siguientes integrales: e2
dx
∫
a)
(2.5 pts)
x − xLnx
1
xdx
π
∫ cos x + sec x
c)
0
∫
b)
π cos x
π / 2
− ∫ 0
π / 8
2 cos 2 x + sen 2 x
sen 2 x tg 2 xdx
0
(2.0 pts)
dx
(4.0 pts) 2.- Dado el triángulo rectángulo ACB, recto en C, tal que: BC = a y m ∠ ABC = θ . Sea P un punto sobre el lado CA . Determine Determine la distancia distancia media de B a P. P. Sugerencia: Sugerencia: Exprese Exprese BP = f ( P Bˆ C ) . 3.- La rapidez R con la que un tumor tumor crece está relacionada con su tamaño x por la ecuación R = r x Ln (k/x), (k/x), donde donde r y k son constan constantes tes positiva positivas. s. Determine Determine cuando cuando crece crece más rápidamente rápidamente el tumor y muestre muestre la gráfica de R en términos términos de x, indicando indicando los pasos pasos necesarios para la obtención de dicha gráfica. 5.- Si f(0) = 0, hallar la regla de correspondencia de f si cumple con la siguiente relación:
t + x e t / x
2
x
∫
x2 f ′( t / x )
0
dt =
∫
1 /x
0
sentx( xt 2
) dt +
1
f (x)
∫ 1
1 + t 2
−
cosh f( *t ( )
f ′( f * ( t)) f ′(
dt f * ( t)
EXAMEN PARCIAL PARCIAL DE MATEMÁ MATEMÁTICAS TICAS II (MA-123) CICLO 2001-II
1.- Evaluar las siguientes integrales: 4
a)
∫ 1
x − 1 + 1 x − 1 − 1
π / 4
dx (3.0 pts)
∫
2 3 tgx + senx e cos x dx −π / 4
b)
f ( x )
∫
c)
Ln(1 + tg θ ) sec θ
0
e
2.- Calcular
d θ , si f ( x) =
∫ + 0
x cos x
1 sen 2 x
dx
(3.0 pts)
Ln 1 t −3 f ′(t )dt dx x 2
x
x 2
si se cumple que: f ( x) =
∫ x
y
π
π
∫ ∫ 2
3.- Si
1
(2.0 pts)
x / t
t x
dt
1+( x / t )
+
1 / x
∫ 0
∫
x ecos zx dz
g (tu ) du
(4.0 pts)
1
b − c − a Ln(ka + c) + Lnk − b − c − a Ln(a + c) = 1 a a
lim k → ∞
a + c = 3 e , determinar : a, b y c
(3.5 pts) xLnx +1 e x
4.- Bosquejar la gráfica de la función f ( x ) = , indicando : Dominio. Rango. Valores Valores extremos. Intervalos de crecimiento cr ecimiento y de decrecimiento. decre cimiento. Concavidad y Punto de inflexión. Asíntotas. Asíntotas. (4.5 pts)
II PRACTICA CALIFICADA CALIFICAD A DE MATEMÁTICA MATEMÁTICAS S II ( MA-123) CICLO 2002-I n
in + n 2
∑
1.- Expresar como una integral definida lim n→ ∞ i=
+
(2n
1
2
2n 4
−i
+ i 2n2
(3.0 pts)
2 3/ 2
)
2.- Mediante el límite de una una sumatoria calcular el área de la región encerrada por las curvas:
x 3
, y = −3 + 2 x , y 8 3.- Evaluar las siguientes integrales :
=−
y
∫
a)
b)
sen 2 x cos 2 x (2.5 pts)
π / 6
π / 2
4.- Calcular
∫
π / 6
− x + sen−1 (cos x)
∫ −
x
f ( x )dx
∫
1
4
− 2x − 4
dx
4
dx
π / 3
=
x 2
y el eje Y.
(4.0 pts)
2dx
7/4
∫
c)
x )3 (2.5 pts) (2 +
3/ 2
x − 1 2 − x ( 3 x − 1 + 2 − x ) 2 (3.5 pts)
si se cumple que. 1 − senx
f ( sen ( x + t ) ) dt =
1 + senx
+
x
∫
0
t x f dt ; x
x ∈ 0,
2
π
(4.5 pts)
EXAMEN PARCIAL PARCIAL DE MATEMÁTICAS II (MA-123 U-V) CICLO 2002-I 1.-
Sea f ( x )
= e− x
2
x
2
∫
t
e dt Cuántos de los siguientes enunciados son ciertos. Justifique:
0
a) f es continua en [ 0,1 ]
2.-
b) f es derivable en [ 0,1 ] c) f ´ (0) = 1 f ( x ) = −2 y f ( y ) + 1 d) si x > 0 , ∃ y ∈ [ 0, x ] tal que (4.0 ptos) x Sea f la función definida por: f ( x ) = 1 − 6 e − x , grafique f indicando: Dominio. Dominio. Intervalos Intervalos de crecimiento y decrecimiento decrecimiento valores extremos. extremos. Concavidad Concavidad y punto de inflexión. Asíntotas (4.0 ptos)
(
1
3.-
Si
2
∫
t
e dt +
0
∫ 0 ( f x
2
( v ) − 9) dv =
2
f ( x )
∫ 1
dt *
t f
( t )
Exprese una posible graf rafica de la funció ción g(x) (x) = f (x) – 3 ¿Ex ¿Expliq lique? π /
4.- a)
∫
π /
2
dx
4
tgx sen x − sen x + 1
4
π
5.- Demostr Demostrar ar que: que:
∫ 0
2
(3.0 ptos)
b)
(
(3.0 ptos)
2
cosh x 1 + senh x dx
∫ (cosh x + cosh x) 2
3
3/ 2
(3.0 ptos)
2
x − π dx = 0 2 2 2 + sen x sen x
(3.0 ptos)
II PRACTICA CALIFICADA DE CALCULO INTEGRAL (CB-131) CICLO 2002-II 1.- Evaluar las siguientes integrales :
a)
1/ 2
∫
0
− xsen 1 2 x 2 dx
b)
2
∫
0
(2.5 pts)
x 5
xdx
π
dx
c)
1 + x 3 (2.5 pts)
∫
0
csc x + cot x cos x (3.0 pts)
2.- Hallar el valor del siguiente límite expresándola como una integral definida 2i − 5n
n
∑
lim n→∞ i =1
n 6n 2
− 5in + i 2
, considerar una partición regular del intervalo [ − 2, − 1]
3.- Dada la la función
1 2 x − + +4 9 ( 6 ) x 2 2 f ( x ) = − 1 + − x 1 arcsen( x) 2
, x ∈ [ − 6, − 2 , x ∈ [ 0, 1 , x ∈ 0, 1]
Hallar el área bajo la gráfica de f limitada por las rectas x = - 6, x = - 4, x = -2, x = 0 y x = 1. (4.0 pts) 1
∫
4.- Hallar el valor de
0
arcsenx ∫ 0
u3
−u
1 − x
2
du dx
(4.0 pts)
5.- La temperatu temperatura ra de un caldo caldo de pollo pollo que se se saca del refrigerad refrigerador or (5°) y se pone pone en el fuego, durante los primeros 10 minutos, puede modelarse por la función f(t) = 5 + 0.5t(t +1), en donde f(t) es la temperatura (en grados centígrados) del caldo a los t minutos minutos de haberse puesto puesto a la lumbre. Calcule la temperatura promedio que tuvo el caldo de pollo pollo durante los 10 minutos en se calentó.¡A qué temperatura llego a los?. ¿En qué instante de los primeros 10 minutos de calentamiento, el caldo tuvo la temperatura promedio?.
EXAMEN PARCIAL DE CALCULO INTEGRAL (CB-131) CICLO 2002-II 1.- Graficar la función f si f ( x ) = ctghx , indicando : Dominio. Rango. Simetrías. Intervalo de Crecimiento y de Decrecimiento. Decre cimiento. Valores Valores Extremos. Concavidad y punto de inflexión. Asíntotas. (4.0 pts) 2.- Si
2
∫
1
e2
∫
e
2
e t dt = k , k ∈ ℜ , evaluar la siguiente integral :
1 x
cosh( x + y ) = cosh x cosh y + senhxsenhy
Lnx
∫
1
3.- Demostrar que
2
e t dt dx
4.- Evaluar las siguientes integrales :
(3.0 pts) (3.0 pts)
5 x 2
10
∫
a)
− 25 2
( x − 5) x
5 2
(3.0 pts)
dx
b)
2 senx − sen2 x
π / 2
∫
senx − cos x
0
(3.0
dx
pts)
1+ Lnx
e
c)
∫ 1
∫
x
1 − x 2 + xe 2
dx
2
0
+1
dx
II PRACTICA CALIFICADA DE CALCULO INTEGRAL (CB-131) CICLO 2003-II 1.- Evaluar las siguientes siguientes integrales: a)
π / 2 2usen2u
∫
π
3 + cos 4u
0
du
(3.0 pts)
b)
( 2 x
0
π ) senx
2 x 1
dx
(3.0
pts) 2.- Exprese como una integral definida el siguiente límite y luego evalúelo, si n
lim
n→∞
∑= i 1
n2
(n
2
+ 2in + i
2
)
2n
2
+ 2in + i
(4.0
2
pts) 3.-
Sea f una función lineal con pendiente positiva y sea h una función cuya regla de x
correspondencia es :
∫ 0 f (t ) dt τ d τ h ( x) =
D x3 h( x )
y sea g la función tal que:
= 12( 4 x − 3)
cos−1 ( senx)
∫ ∫
0 1/ 2
0
∫
tal que:
x
(1 + cos x ) g ( cos t ) dt = senx , determine el valor de:
( f ( x ) + 3) 2 dx 8 x 2 (1 + x 2 g ( x ) )
(5.0 ptos)
4.- Mediante el límite de sumatorias calcular el área de de la región limitada por las gráficas de las curvas: C1 : 4(y + 8) = (x – 4) 2
0 é y
para x
<0
C2 : 2y = -5 + 2
C3 : 4y = – 15x + 28
2 x
(5.0 pts)
EXAMEN PARCIALDE PARCIALDE CALCULO INTEGRAL (CB-131) CICLO 2003-II 1.- Evaluar Evaluar las siguientes siguientes integrales: integrales: Ln 2
a)
∫
0
dx x
+ 2 + e − x
e 2.2.- Demos Demostr trar ar a) f ′ es integrable y
3
(2.5 pts)
f ′ ( x )
b)
∫
0
≤ M ∀ x∈ ℜ
2
4 x 2
+9
dx (3.0 pts)
entonces f ( x )
≤
f ( a )
+ M x − a
(2.0 pts)
b)
1
2
17
dx
∫ 1 + x
≤
1
3.3.- Calc Calcul ular ar::
4.4.- Calc Calcul ular ar::
lim
4
(2.5 pts)
24
x 2 tg 2 ( x )
u2 +1 ( x − u ) − u
x 0
x
sen 2 t
2
t
∫
x − 2
x→2
∫
7
≤
u
∫
t 2
0
dt (3.0 pts)
+1 dt du t
(3.0 pts) x
5.-
1 Bosquejar Bosquejar la gráfica gráfica de la función función f ( x ) = 1 + x indicando:
, x
>0
i)Valores i)Valores extremos e intervalos de crecimiento y de decrecimiento ii) ii) Conc Concav avid idad ad y punt puntos os de infl inflex exió ión. n. iii) iii) Asín Asínto tota tass
II PRACTICA CALIFICADA DE CALCULO INTEGRAL (CB-131) CICLO 2003-I 1.- Calcular el siguiente límite
1 + lim n→ ∞
n + 2 + 2n
+ + n −1 + n2
n( n − 1)
+ n
(3.0 pts)
2.- Hallar el área de la región limitada por la gráfica de la función función
f ( x ) = k cos kx
puntos x = ±
x ∈ −
,
π
2 k
,
2 k π
π
, k > 0 y las tangentes a dicha gráfica en los
(4.0 pts)
2k
3.- La temperatura T en cierto día satisface
π
T (t ) = 70 + 8 sen (t − 9) 12
donde t era el número de horas después de medianoche.
Encuentre la temperatura promedio de 6am a 6pm 4.- Resolver la siguiente ecuación x
∫
g ( x )
16 dt
t (16 − t 2 )
g ( x) =
9
1
∫
=
2π 3
2 + x 3 − Ln 5 , − 2tg −1 + Ln 2 5 x − 10
x
Ln2 −1 1 + x 2
dx
(4.0 pts)
5.- Evaluar las siguientes integrales :
si
π
a)
1/ 3
xsenx
∫
3 + cos 2 x
0
dx
(3.0 pts)
b)
∫ 1
dx x 3 x
2
+ 2 x − 1
(3.0 pts)
CICLO 2003-I
EXAMEN PARCIAL PARCIAL DE CALCULO INTEGRAL (CB-131) (CB-13 1) 1.- Evaluar las siguientes integrales: π
a)
0
xdx
∫
6
(3.0 pts)
1 + senx
0
b)
Determine la siguiente integral :
Calcule
a
(2.5 pts)
∫
sec 3 xdx
f ( x ) = tg h x(1 + x) 2 3
2.- Sea la función
∫
x 1 + ( x − a) 2 dx
(2.5 pts)
x ∈
,
− 2, 0
x / 2
x1
xe
∫
( senhx ) 3 / 2
x0
dx , donde f ( x0 ) , f ( x1 ) son los valores extremos de f ( x) (4.0
pts) siendo x 0
< x1 .
1 / t
∫
3.- Sea
te
3 ut 2
du
2 + senh(ut )
0
Si f ( x)
x f 2 ( x )
∫ + ∫ xf (tx)dt = 1
2
dw
x
xwf *
0
w
x
+ x , determine f(x)
>0
(4.0
pts) 2
4.- Un balón balón de gas, determi determina na su presión presión interior interior mediante mediante la funció función n P (t ) = t 3e 4− 2t , donde t es el tiempo expresado en minutos. El área de la región limitada por la curva P (t ) , el eje T y la recta t = t0 da un estimado de la resistencia interna del material en el instante t0, con el que que está está fabricado fabricado dicho balón. balón. Halle Halle la resistencia resistencia de dicho dicho material y el instante en que ocurre cuando el balón está a mayor presión. (4.0 pts) CICLO 2004-I
II PRACTICA CALIFICADA DE CALCULO INTEGRALAL CB-131) 1.- Evaluar las siguientes integrales: π
a)
∫
0
xsenx 3 + cos 2 x
dx
(2.5 pts)
b)
1
15( x − x 4 )1/ 4
1/ 2
4 x 5
∫
dx
2.- Expresar como una integral definida el siguiente límite de sumatorias: sumatorias: n
L = lim n→ ∞
∑= i 1
( senxi −1 − senxi )
xi .xi −1 con partición en el intervalo 0,
4
π
(2 pts)
3.- Si
tgx du 1+ u 2
∫ f ( x) = 0
∫
0
v 2 + v + 1 t + dv dt 2 v + 1
1
tgt
∫ 1
2 − f * ( 2)
?
(4.0 pts)
e 4 ln x
si: f ( x) =
4.- Grafique la función f ,
, ¿existe
, indicando: x 2 ln x Dominio, Rango . Valores Valores extremos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Concavidad y punto de inflexión . Asíntotas. (4.0 pts)
5.- Calcular el promedio de las áreas de los rectángulos cuya base se encuentra en el eje Y y los otros dos vértices están sobre las curvas y = e − x , y = − e − x para x ∈ [ 0, ln 10] CICLO 2004-I
EXAMEN PARCIAL PARCIAL DE CALCULO INTEGRAL (CB-131) (CB-13 1) 1.- Calcular las siguientes siguientes integrales: −2 x 2 + 6 x + 10 dx a) (3.0 pts) −3
∫
⇒
1
∫ F ( x) dx
4.- Calcular :
∫ 1
f ´
xLnx
dx
] 1/ ( 2 x senx )
lim 1 + Ln( x 2 + 1) x→0 y − x y − x y < y < xe x xe
F ( x )
=
x 2
∫
(3.0 pts)
(3.0 pts) (3.0 pts)
3 xf ( t ) dt y f es una función tal que
1
y cumple la siguiente relación:
f (0) = e x 2
si
0
1 + ( xLnx) Ln(1 + x )
[
2.- Calcular el siguiente límite: 3.- Probar que si: 0 < x < y
∫
b)
(
t
t
dt = 4
2 x
∫
x
5.- Sea f : ℜ → ℜ tal que f en
satisfaciendo
2
e t
−2tx + x 2
dt +
− ∞, 3 ]
3 f ( x ) + 2 f ( − x) =
x
∫ −
( )
sen h t 3 dt
x
(4.0 pts)
es un polinomio y f en 3, + ∞
− 5 x + 4 , 4 x − 1,
x ≤ 3 x
>3
es otro polinomio,
,
hallar el área de la región limitada por:
( f o f ) ( x) + 16 y = 625 5 1
2
,
1≤ x ≤ 4 ,
y la recta y
=4
(4.0 pts)
