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Resumen Cálculo II
Primitivas o antiderivadas o
Llamamos a o o
Definición de antiderivada: una función es una primitiva o antiderivada de una función si y sólo si , para todo La operación de determinar una primitiva o antiderivada de una función se denomina integración y se denota:
”
∫
∈
integral indefinida de
y se lee “integral de de diferencial de
Resultado(c/demo): Resultado(c/demo): la integración y la diferenciación son operaciones inversas Reglas básicas de integración: 1. Regla de la constante
+ 1 1 , ≠ 1 [ ± ] ] ± sen cos cos cos sensen sec tgtg sect c tg g sec cosec cotg cotg coseccotg cosec √1 1 arcarc sensen ar arcc coscos 1 1 arcarc tg tg ar arcc cotg cotg √1 1 arc sec|| ar arcc cose cosecc|| 2. Regla de la potencia
3. Regla del múltiplo constante
4. Regla de la suma o diferencia
o
o
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Integración de funciones trigonométricas:
Integrales que dan por resultado funciones trigonométricas inversas:
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Suma finita de números
,,,…, ⋯ =
o
Definición: se define la suma de términos
o
Observación: el límite inferior no debe comenzar necesariamente en 1, pero tiene que ser menor o igual al límite superior Propiedades:
o
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como
= = ± ± = = = Resultados: . =
21 =
Integrales definidas o
o
[,] ∆ < < < ⋯[ < ,−] < < ⋯ < ∆ − − ‖∆‖ max∆,∆,…,∆,…,∆} [ − , ] ∆ ∑= .∆ − ≤ ≤ .∆ lim ‖∆‖→ = ∀ > 0, ∃ > 0 ∆ [− , ] ‖∆‖ > 0 .∆ < = [,] [,] lim ∆ ‖∆‖→ =
Suma de Riemann: sea una función definida en un intervalo cerrado . Sea una partición arbitraria en sub intervalos determinado por los puntos y sea longitud del i-ésimo intervalo . Llamaremos norma de la partición a la longitud del intervalo más largo . Si es un punto cualquiera del intervalo entonces se llama Suma de Riemann de asociada a la partición a la suma con Definición rigurosa de integral definida:
Si y sólo si
Tal que para toda partición y cualquiera sea la elección de . Si entonces:
o
Teorema continuidad implica integrabilidad: si
cerrado
entonces es integrable en
en el intervalo
es una función continua en el intervalo . Es decir, si es continua entonces existe
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o
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∈ [,]
Teorema la integral definida como área de una región: sea
una función continua en el intervalo cerrado y tal que para todo entonces el área de la región del plano delimitada superiormente por la gráfica, inferiormente por el eje y lateralmente por las rectas y se calcula:
[,]
≥ 0 ∫ 0 [,] ∫ ∫ [,] . [ ± ] ± [,] ≥ 0 ∈ [,] ≥ 0 [,] ≤ ∈ [,] ≤ [,] ∈ [,] . [,] [,] ∫ Definiciones: Si es integrable en
entonces
Si es integrable en entonces Propiedades integrales definidas: 1. Si es integrable en los intervalos cerrados determinado por , y entonces
o
Esta relación vale cualquiera sea el orden entre , y 2. Si y son funciones integrables en y es una constante
3. Si es integrable en
y además
4. Si y son funciones integrables en entonces
o
o
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y
Teorema del valor medio del cálculo integral(c/demo): si
intervalo cerrado
o
para todo
, entonces existe un número
entonces
para todo
es una función continua en el tal que:
Definición de valor medio o promedio: si es una función continua en el intervalo entonces el valor medio de la función en , denotado se calcula de la siguiente manera:
Teorema fundamental del cálculo(c/demo): si
es una función continua en un intervalo abierto que contiene a , entonces para todo perteneciente a :
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().′ [,] [,] ∘ ′ (). ()
o
Generalización del teorema fundamental: si es una función continua y es derivable
o
Teorema regla de Barrow(c/demo): si
o
o
o
es una función continua en un intervalo cerrado y es una función tal que para todo perteneciente a ( es primitiva de ) entonces:
Teorema método de sustitución(c/demo): si
y son funciones tales que continuas en un intervalo y es primitiva de entonces:
son
Observación: al aplicar el método de sustitución algunas integrales requieren un cambio de variable Teorema método de sustitución para integrales definidas: sean y funciones tales que y son continuas en un intervalo entonces:
[,] ∘ ′ (). () () [,] [ ≤ ∈ ,] [ ] [,] ≥ 0 ∈ [,] ∈ [,], ≤ [ ] [,] ≥ ≥ 0 ∈ [,] ∈ [,] ≤ ≤ [ ] []} Teorema área entre dos curvas: si y son dos funciones continuas en el intervalo cerrado
,y para todo gráfica de , la gráfica de , la recta
o
y
entonces el área de la región delimitada por la y es:
Volumen y área de sólidos de revolución: 1. Método de los discos (perpendicular al eje de giro) : sea una función continua en el intervalo , con para todo , y sea la región del plano limitada por la gráfica de ecuación , el eje de rotación y las rectas de ecuación y . Al hacer girar alrededor de un eje de rotación de ecuación , donde para todo se genera un cuerpo sólido (de revolución) cuyo volumen se calcula:
2. Método de las arandelas (perpendicular al eje de giro) : sean y dos funciones continuas en el intervalo , con para todo y sea la región del plano limitada por las gráficas de ecuación , y las rectas de ecuación y . Al hacer girar alrededor de un eje de rotación de ecuación , donde para todo , se genera un cuerpo sólido (de revolución) cuyo volumen se calcula:
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[,] ≥ 0 ∈ [,] 2 . ′ [,] 2 1 [ ′] [, ] − 2 − 0 : l n 0,∞ ∞, ∞ ln1 0 lnln 12 lliimm→ln ln ∞∞ → [ln||] 1 , ≠ 0 [ln ] 1 , > 0 1 ln , > 0
3. Método de las capas (paralelo al eje de giro) : sea una función continua en el intervalo , con para todo y sea la región del plano limitada por la gráfica de ecuación , al eje y a las rectas de ecuación y . Al hacer girar alrededor del eje , se genera un cuerpo sólido (de revolución) cuyo volumen se calcula:
o
Área de una superficie de revolución: sea una función tal que sea continua en el intervalo . Al hacer girar la gráfica de la función alrededor del eje de revolución (ya sea el o el ) se genera una superficie que se llama superficie de revolución cuya área está dada por:
Donde es la distancia entre la gráfica de y el eje de revolución Teorema integración de funciones pares e impares(c/demo): sea una función continua en el intervalo cerrado 1. Si es par entonces:
2. Si es impar entonces:
Función logaritmo natural o
Sea
o
o
o
Resultado(c/demo):
Teorema derivada del logaritmo natural(c/demo):
Definición de logaritmo natural: la función logaritmo natural denotada por ln se define:
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o
o
o
o
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Teorema propiedades de la función logaritmo natural(c/demo excepto ④)
0,∞
1. El dominio de la función logaritmo natural es y su rango son los reales 2. La función logaritmo natural es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio 3. La gráfica de la función logaritmo natural es cóncava hacia abajo en todo su dominio 4. y Propiedades del logaritmo natural: sean y números reales y sea real 1. 2. 3.
lim→ ln ∞ lim→ ln ∞ llnn. ln ln ln ln ⁄ ln ln
>0
Base del logaritmo natural: como la función ln es continua, creciente e inyectiva, y su rango son todos los reales entonces existe un único tal que . Llamaremos al número base de los logaritmos naturales. La continuidad y el rango nos aseguran la existencia de . La inyectividad nos asegura su unicidad Teorema: la base del logaritmo natural es el número . Es un número irracional
1 ln 1
ln 1
≅ 2,7
o
Observaciones referidas al signo de logaritmos naturales(justificar con gráficas): 1. Si entonces 2. Si entonces 3. Si entonces Integración:
o
Integrales importantes:
o
0 <> 1 < 1 ln >ln0 < 0 1 ln 0 1 ln|| cos sen sen tg cos ln|| ln|cos| sen sectg tg sec sec secsec sec tg sec tg ln|| ln|sec tg| sec tg sec sectg ≠ 1 : log ln1 .ln 0,∞ Sustitución
Sustitución
o
Definición logaritmo en base : sea un número real positivo real positivo se define:
y sea un número
Llamaremos a función logarítmica en base ,
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Teorema derivada de la función logaritmo(c/demo): la derivada de la función logaritmo en
o
base es:
[log ] ln1 . 1 , > 0 : l o g > 1 0,∞ ∞, ∞ lliimm→ ∞∞ → 0< < 10,∞ ∞, ∞ lliimm→ ∞∞
Gráfica de 1. Caso 1
o
:
Creciente en todo su dominio Cóncava hacia abajo en todo su dominio
2. Caso 2
→
Decreciente en todo su dominio Cóncava hacia arriba en todo su dominio
′ ′ [,] [ ]
Teorema método de integración por partes(c/demo): sean
y funciones tales que
y
son
continuas en un intervalo abierto entonces:
Teorema método de integración por partes para integrales definidas: sean
que
′ ′ y
son continuas en
y funciones tales
entonces:
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Función exponencial : como la función logaritmo es inyectiva, admite función inversa o
Definición: la función inversa de la función logaritmo natural exponencial natural que se denota
o
es la función
por definición de función inversa por definición de función inversa Propiedades: sean y números reales cualesquiera, entonces: 1. 2. 3. 4. Propiedades de la función exponencial natural: como la función es la inversa de la función logaritmo natural, hereda las siguientes propiedades: 1. El dominio de la función exponencial natural es el conjunto y el rango
o
−:− − ∞,∞ − 0,∞ ∘ − ⇔ llnn , ∀ ∈ − − ∘ , ∀ ∈ .1 + : .−
ln
0,∞ lim→− 0 lim→ ∞
: ∞,∞
2. La función es continua, creciente e inyectiva 3. La gráfica de la función es cóncava hacia arriba 4. y
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o
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Teorema derivada de la función exponencial natural(c/demo):
[] [] .
Ejemplos importantes:
[ ] [ ] 0− [ ]
exponencial
constante
o
potencial
≠ 1 : ( ) : > 1 ∞, ∞ 0,∞ 0 < < 1 ∞, ∞ 0,∞ [] ln [] ln ln Definición función exponencial en base : sea un número real positivo número real cualquiera, se define la función exponencial en base :
y sea un
La gráfica de la función exponencial en base se obtiene por reflexión respecto de la primera bisectriz, de la gráfica de la función logaritmo en base de . Gráfica de : 1. Caso 1 :
2. Caso 1
es creciente, continua, inyectiva y cóncava hacia arriba :
es decreciente, continua, inyectiva y cóncava hacia arriba Teorema derivada de la función exponencial en base (c/demo): sea un número real distinto del 1, y sea una función derivable respecto de , entonces:
o
o
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Teorema reglas de integración para funciones exponenciales:
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Funciones hiperbólicas o
Definición: 1. La función seno hiperbólico, denotada por senh, se define:
− senh 2 − cosh 2 − s enh tgh cosh − cosh −− , ≠ 0 cotgh senh 1 2− , ≠ 0 cosech senh 1 2− sech cosh
2. La función coseno hiperbólico, denotada cosh, se define:
3. La función tangente hiperbólica, denotada tgh, se define:
4. La función cotangente hiperbólica, denotada cotgh, se define:
5. La función cosecante hiperbólica, denotada por cosech, se define:
6. La función secante hiperbólica, denotada sech, se define:
o
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Identidades(c/demo): 1. 2. 3.
senh 1 cosh tgh 1 sech cotgh 1 cosech 2016
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o
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Teorema derivada de las funciones hiperbólicas(c/demo):
1. 2. 3. 4. 5. 6. o
[senh] cosh [cosh] senh [tgh] sech [cosech] cosechcotgh [sech] sechtgh [cotgh] cosech
Integrales de funciones periódicas:
cosh senh senh cosh sech tgh cosechcotgh cosech sechtgh sech cosech cotgh o
o
senh tgh cotgh cosech cosh sech
Las funciones hiperbólicas no son periódicas: son inyectivas , , lo tanto admiten función inversa. No son inyectivas y Definición: 1. La función seno hiperbólico inverso, denotado senh-1, se define: si y sólo si
y
por
− − senh senh − ∞,∞ senh senh− ∞,∞ cosh ≥ 0 − − cosh cosh − [1,∞ cosh cosh− [0,∞ tghtgh−− 1,1 tgh− tgh− ∞,∞ − − cotgh cotgh − ∞,1∪ 1,∞ cotgh cotgh− ∞,0∪ 0,∞
2. Para el caso particular del coseno hiperbólico inverso, se debe restringir su dominio tal que para ya que con su dominio original, no es inyectiva. La función seno hiperbólico inverso, denotado cosh-1, se define: si y sólo si
3. La función tangente hiperbólica inversa, denotado tgh-1, se define: si y sólo si
4. La función cotangente hiperbólica inversa, denotado cotgh-1, se define: si y sólo si
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o
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Observaciones Las funciones parabólicas inversas también se pueden escribir: senh-1: arsenh (área seno hiperbólico) cosh-1: arcosh (área coseno hiperbólico) tgh-1: artgh (área tangente hiperbólico) cotgh-1: arcotgh (área cotangente hiperbólico) Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se pueden obtener por reflexión respecto de la primera bisectriz de las gráficas de las funciones parabólicas
o
Teorema(c/demo excepto ③ y ④)
1. 2. 3. 4. o
Teorema derivada de las funciones hiperbólicas inversas(c/demo):
o
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senh−− arsenh ln √ 1 cosh− arcosh ln+ √ 1 tgh artgh ln −+ senh− arsenh ln − [senh− ] − √ + [cosh− ] √ − , > 1 [tgh −] −, || < 1 [cotgh ] − , || > 1
Integrales que dan por resultado funciones parabólicas inversas:
√ 1 1 senh− √1 1 cosh− − 1 tgh 1 {cotgh−||| |< >11
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Integrales impropias: o
Con intervalo de integración no acotado: Si es una función continua en le intervalo
o
o
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entonces:
Si es una función continua en el intervalo
entonces:
Si es una función continua en el intervalo
entonces:
Donde es un número real cualquiera. En cada caso si el límite existe se dice que la integral impropia es convergente, caso contrario (si el límite no existe) se dice que la integral impropia diverge. En el tercer caso si al menos uno de los límites diverge, la integral diverge Cuando la función tiene una discontinuidad infinita: Si es una función continua en el intervalo y presenta una discontinuidad infinita en entonces:
o
[, ∞ → lim ∞,] − →− lim ∞, ∞ − − →− lim → lim [, →lim ,] →lim [,∪,] →lim →lim Si es una función continua en el intervalo infinita en entonces:
y presenta una discontinuidad
Si es una función continua en el intervalo discontinuidad infinita en entonces:
y presenta una
En cada caso si el límite existe se dice que la integral impropia es convergente, caso contrario (si el límite no existe) se dice que la integral impropia diverge. En el tercer caso si al menos uno de los límites diverge, la integral diverge Resultado(c/demo): la integral impropia
,
>0 0<≤1 1< [,∞ 0 ≤ ≤ ∈ [,∞ ∫ ∫ ∫ ∫
Diverge si y converge si Criterio de comparación para integrales impropias: si y son dos funciones continuas en el intervalo y además para todo entonces:
Si
Si
es convergente entonces
es divergente entonces
también es convergente
también es divergente
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Integración numérica: o
[,] ∫ ≈ 2 [ 22 ⋯2− ] [,] ∫ ≈ 3 [ 42 ⋯4− ] Regla de los trapecios: sea continua en
. La regla de los trapecios para aproximar
esta dada por:
o
Regla de Simpson (sólo si es par): sea continua en aproximar
. La regla de Simpson para
esta dada por:
Sucesiones o
o
o
o
o
o
o
o
Definición: una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los naturales. En general vamos a usar la notación de subíndice para denotar los elementos de una sucesión Gráfica: como una sucesión es una función de dominio natural, su gráfica esta representada por puntos aislados Notación: la sucesión de término general se denota Observación: ya que el primero representa la sucesión y el segundo representa el n-ésimo término general Límite de una sucesión: sea la sucesión diremos que el límite de la sucesión es , o que la sucesión converge, si y sólo si:
} } ≠ } lim → > 0 ∈ ℕ ∈ ℕ > |lim | < ⇔ ∀ > 0,∃< ∈ ℕ:∀ < ∈ ℕ > | | < → l i m → } ∈ ℕlim lim→ → l→im 1 1 } ≤ + ∈ℕ } ≥ + ∈ℕ } } Si este límite no existe, entonces diremos que la sucesión diverge. Cuando crece sin cota, natural, se hace arbitrariamente próximo a , tan próximo como se quiera Definición rigurosa de límite de una sucesión: El límite cuando tiende a infinito de es si y sólo si para todo , existe tal que para todo si se verifica que es decir . En símbolos: Teorema: sea una función en una variable real tal que
sucesión tal que , para todo entonces similar al anterior se puede formular en el caso que Límite fundamental de las sucesiones (c/demo):
Definiciones: Sucesión creciente: una sucesión
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Sucesión decreciente: una sucesión todo Sucesión monótona: una sucesión creciente o siempre decreciente
(existe) y sea la . Un teorema
no exista
es creciente si y sólo si
es decreciente si y sólo si
para todo para
es monótona si y sólo si es siempre
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} ≤ } ∈ ℕ } ≥ ∈ ℕ || ≤ ∈ ℕ }} } }} + ≥≤ 00 + } > 0 ∀ ∈ ℕ +⁄ ≥ 1 } +⁄ ≤ 1 } } } } } } ⇒ } ∈ ℕ ! 1! ! 1 ! 1.2.3.4… } ⋯ } ⋯ ⋯ = ,,,…,,… } ⋯ } l i m → = ∑ ∑= ∑= }
Sucesión acotada superiormente: una sucesión está acotada superiormente si y sólo si existe un número tal que para todo Sucesión acotada inferiormente: una sucesión está acotada inferiormente si y sólo si existe un número tal que para todo Sucesión acotada: una sucesión es acotada si y sólo si existe un número tal que para todo Observaciones: 1. El elemento de una sucesión creciente es una cota inferior 2. El elemento de una sucesión decreciente es una cota superior 3. Si una sucesión es acotada entonces tiene cota inferior y superior Criterios de monotonía: Criterio de la diferencia(se puede aplicar a toda sucesión): 1. Si entonces la sucesión es creciente 2. Si entonces la sucesión es decreciente Criterio del cociente(sólo si es una sucesión tal que )
o
o
1. Si
entonces la sucesión
es creciente
2. Si
entonces la sucesión
es decreciente
Teorema sucesiones monótonas y acotadas:
Si una sucesión es creciente y acotada superiormente entonces es convergente Si una sucesión es decreciente y acotada inferiormente entonces es convergente Teorema: toda sucesión convergente es acotada, es decir: es convergente es acotada Contrarecíproco: si una sucesión no está acotada entonces la sucesión no es convergente Definición factorial: sea , el factorial de denotado por de la siguiente manera . Es decir es el producto de los primeros naturales.
o
o
Series numéricas o
o
Definición de serie: sea una sucesión y sea entonces la sucesión es una sucesión de sumas parciales denominada serie y se denota:
Los números se llaman términos de la serie Definición de convergencia y divergencia: para la sucesión , la n-ésima suma parcial es
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Si la sucesión de sumas parciales converge, es decir entonces diremos que la serie converge. Llamaremos a suma de la serie y se escribe Si la sucesión de sumas parciales diverge diremos que la serie diverge
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o
o
o
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Serie telescópica:
1 = 1 1 Definición serie geométrica: una serie de la forma: = .− . . ⋯.− ⋯,
Se llama serie geométrica de razón Teorema convergencia de la serie geométrica(c/demo): sea la serie geométrica de razón Si entonces la serie geométrica converge y su suma es
∑= .− , | ≠| 0 0 < < 1 ∑= .− − || ≥ 1
o
o
o
o
o
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∑= .− ∑= .−
Si entonces la serie geométrica diverge Propiedad de la serie: la convergencia o divergencia de una serie no se ve afectada si se le agrega o suprime un número finito de términos al comienzo de la serie y dos Teorema propiedades de las series convergentes: sean las series series convergentes tales que su suma son y respectivamente entonces: 1. La serie es convergente y su suma es (con constante) 2. La serie es convergente y su suma es 3. La serie es convergente y su suma es Propiedades de las series divergentes: sea la serie convergente y sea la serie divergente: 1. La serie , con , es divergente 2. La serie es divergente Nota: si tanto como son divergentes, entonces no se puede asegurar nada sobre la convergencia o divergencia de la serie Teorema límite del término general de una serie convergente(c/demo): si la serie es convergente entonces Criterio del término general para la divergencia: si o no existe, entonces la serie es divergente Teorema criterio del término general para la divergencia: si es una función continua, positiva y decreciente para todo tal que para todo entonces la
o
≠0
∑=
∑=
∑∑= . = ∑= ∑∑= . ≠ 0 = ∑= ∑= lim→ 0
. ∑=
∑= ∑=
∑= ∑= lim→ ≠ 0 ∈ℕ
≥1 integral impropia ∫ y la serie ∑= ambas convergen o ambas divergen Observación: el criterio de la integral también es válido si las hipótesis se cumplen a partir de un cierto > 1, analizo la integral impropia desde
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Definición serie p: una serie de la forma:
1 1 1 1 = 1 2 3 ⋯ 1 ⋯, > 0 Se llama serie p. Hay un caso particular, el de la serie armónica: 1 1 1 1 1 = 1 2 3 ⋯ ⋯ Teorema convergencia de la serie p(c/demo): sea la serie p ∑ = , > 0
o
0 <> 1≤ 1 = ∑= ∑ = ≤ ∑= ∑ 0 < ∈ ℕ ∑∑= ∑∑= = = ∑= ∑= ∑= ∑= lim→ ⁄ > 0 ∑= lim→ ⁄ 0 ∑= ∑= lim→ ⁄ ∞ ∑
Converge si Diverge si
Criterios para series de términos positivos:
Criterio de comparación directa: sean y dos series de términos positivos tales que para todo 1. Si la serie es convergente entonces la serie es convergente 2. Si la serie es divergente entonces la serie es divergente Criterio de comparación en el límite: sean y dos series de términos positivos 1. Si
entonces las series
y
ambas
convergen o ambas divergen 2. Si
y la serie
es convergente entonces la serie
es convergente
3. Si
y la serie
es divergente entonces la serie
= es divergente
Series alternadas: entre las series de términos positivos y negativos figuran las series alternadas cuyos términos son positivos y negativos (o negativos y positivos) alternadamente Definición: una serie de la forma: o
o
⋯1 ⋯ 1 = O + ⋯1+ ⋯ 1 = Con > 0 para todo se llama serie alternada Teorema criterio de las series alternadas (criterio de Leibniz): si 0 < + ≤ para todo y lim→ 0 entonces la serie alternada ∑ =1 (o ∑=1+) es convergente
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Teorema resto
∑=1+
+ <
∑=1
de una serie alternada: sea la serie alternada (o ). Si la serie alternada es convergente y para todo , el valor absoluto del resto ( ), resultante de aproximar la suma de la serie alternada por , n(“primer término despreciado”). ésima suma parcial de la serie es menor o igual que En símbolos:
+ 1 < + || | | 1 = = =|| ∑ ∑= = ∑ ∑=|| ∑= ∑= ∑= = ∑ ∑= lim→+⁄ < 1 lim→+⁄ > 1 lim→+⁄ ∞ ∑= + lim→ ⁄ 1 ∑ = ∑= lim→ || < 1 ∑= lim→ || > 1 lim→ || ∞ lim→ || 1 ⋯ ⋯ =
Series de términos cualesquiera: o Definición serie absolutamente convergente: si la serie converge entonces la serie es absolutamente convergente Definición serie condicionalmente convergente: si la serie es convergente y la serie o es divergente entonces la serie es condicionalmente convergente o Teorema: toda serie absolutamente convergente es convergente, es decir, si la serie es absolutamente convergente entonces la serie es convergente. El recíproco de este teorema es falso. Contraejemplo: serie armónica alternada o Criterios para series de términos cualesquiera: Criterio del cociente: sea una serie de términos no nulos
1. Si
entonces la serie
es absolutamente
convergente
2. Si
o
entonces la serie
es divergente
3. Si
Criterio de la raíz: sea
una serie de términos no nulos
1. Si convergente
entonces la serie
2. Si es divergente
o
3. Si
entonces el criterio no decide
es absolutamente
entonces la serie
entonces el criterio no decide
Series de potencias: o Definición: si es una variable, una serie de la forma
Se llama serie de potencias. Más en general, toda serie de la forma
= ⋯ ⋯
Se llama serie de potencias centrada en , donde es una constante
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o
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∑=
Teorema convergencia de una serie de potencias: sea una serie de potencias centrada en , entonces una y sólo una de las tres afirmaciones siguientes se cumple: La serie converge sólo cuando , su centro Existe un número real positivo tal que la serie de potencias es absolutamente convergente para todos los valores de tales que La serie es absolutamente convergente para todos los valores de El número se denomina radio de convergencia de la serie de potencias. Si la serie converge sólo en , el radio de convergencia es , y si converge en toda la recta real entonces
∞
0
| | >
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