Elementos de máquinas I Resumen sobre deflexión de vidas y ejes por el método de integración.
Deflexión de Vigas y Ejes Curva Elástica: Es la curva generada por el centroide de cada área transversal de la viga (o eje) cuando esta se deflecta. Se utiliza para analizar las respuestas que puede tener una viga sometida a esfuerzos con el fin de evitar posibles fallas como el agrietamiento, por lo que es necesario definir la ecuación de la curva curva y su pendiente. Para ello, se utilizarán los diagramas de momento con la siguiente convención: Los momentos positivos causan que la curva elástica sea cóncava hacia arriba y los momentos negativos ocasionan que sea cóncava hacia abajo. Radio de curvatura (ρ): Si el material es homogéneo y se comporta de manera elástico-lineal, se puede obtener obtener la siguiente siguiente relación: relación:
Donde M Donde M es es el momento interno en la viga y EI y EI es es la rigidez a la flexión del flexión del material. Pendiente y Desplazamiento por integración: La curva elástica se puede representar por v=f(x), v=f(x), donde v mide el desplazamiento de la curva. Del cálculo se obtiene lo siguiente: [ ]
Si se considera que la mayoría de curvas elásticas en una viga son poco pronunciadas, se tiene que y esta pendiente se puede despreciar y la expresión anterior queda así: Si se diferencia a ambos lados la expresión 4 de modo que V=dM/dx V=dM/dx (cortante) y si se diferencia dos veces esta misma expresión de modo que w=dV/dx (distribución w=dV/dx (distribución de carga), se obtienen respectivamente las siguientes expresiones:
Las expresiones 4 a 6, sirven para determinar la curva elástica de deflexión por medio de integraciones si se conoce M, conoce M, V o w en función de la posición x posición x de de la viga. Es importante incluir las constantes de integración.
Condiciones de frontera y de continuidad: Para determinar las constantes de integración, se deberán utilizar unas condiciones de frontera que se podrán conocer en algunos puntos de la viga, como aquellos donde hay extremos fijos (v (v=0, dv/dx=0), dv/dx=0), pasadores (v (v=0), etc. Si se tienen funciones distintas para M, para M, V o w (ej. w (ej. M M 1, x1) , , M ( x x2)), se deberán determinar 1, M 2, 2, M ( x las condiciones necesarias para que v( x) x) sea continua en los límites donde son válidas cada una de estas funciones.
Vigas y ejes estáticamente indeterminados: método de integración Como se dijo anteriormente, se puede resolver la ecuación 4, si se conoce M ( x), por medio de dos integraciones. En el caso de una viga estáticamente indeterminada, M ( x) quedará expresada en términos de las redundantes desconocidas, por lo que al integrar, se obtendrán las 2 constantes de integración más estas redundantes para determinar. En general, estas redundantes se podrán determinar haciendo uso de las condiciones de frontera y continuidad mencionadas anteriormente
