1 ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
UNIDAD II SESIÓN I 1.1 CONCEPTOS GENERALES EN EL ESTUDIO DE VIGAS: VI GAS: TEORÍA DE VIGAS MARCO CONCEPTUAL
Como parte de la teoría introductoria del curso de Análisis Estructural II, en el que en la primera se tratará el Cálculo Estructural mediante matrices (Método Flexibilidades y Rigideces), en esta sección abordaremos la teoría de Vigas las cuales sirven de base para el análisis elástico lineal de sólidos deformables. Para el tratamiento de vigas dentro del rango elástico lineal existen dos teorías: La viga de Timoshenko y La Viga de Navier-Bernoulli, ambas teorías consideran las hipótesis siguientes:
Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es elástico lineal, con módulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable (no hay deformación transversal). Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical sólo depende de x: para un sistema de referencia cuyo eje x pase por la directriz del elemento. Hipótesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra sólo sufren desplazamiento desplazamiento vertical y giro: no existe deformación axial: ε x= 0.
La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: σ yy= 0.
Aunque la teoría de de Bernoulli es un caso particular de la la teoría de Timoshenko, esta última es posterior a la de Bernoulli, la trataremos inicialmente debido a que fue la primera en aparecer y sus hipótesis generales planteadas son las mismas para ambas teorías, las cuales fueron hechas por Bernoulli.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
2 ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
La teoría de Vigas según Navier-Bernoulli (aparece en 1744), cuya aplicación es correcta para elementos largos o esbeltos para la relación h/L ≤ 1/10, y sus hipótesis de análisis, además de las establecidas, para la teoría general, son las siguientes:
Las secciones transversales de la viga permanecen planas, indeformadas y normales a la directriz durante el proceso de deformación. Los Esfuerzos presentes en el proceso de deformación son los axiales y momentos flectores. Las ecuaciones c o n s t i t u t i v a s (Relaciones Hoockianas: esfuerzo-deformación): serán las relaciones axial-alargamiento unitario y momento-deformación vertical. Se desprecian los efectos de la deformación por cortante, esto es coherente solo para el caso de elementos muy largos o lo suficientemente esbeltos, por lo que supone que el cortante por más grande que sea no genera deformación alguna. En la realidad las tensiones tangenciales si generan deformaciones sin embargo, en los movimientos de vigas alargadas (h/L ≤ 1/10) , estas son despreciables.
a
b
Fig. 1: Imagen de la Viga de Bernoulli: a) viga si deformar b) Viga deformada ante la aplicación de una carga en el extremo libre: la sección transversal de la viga se mantiene perpendicular al eje neutro (directriz de la viga).
El flector origina un giro directamente proporcional al mismo, o sea: dy/dx=M(x)/EI
La deformación vertical en cualquier punto será:
La teoría de Vigas según Timoshenko (1922), cuya aplicación es correcta para elementos en un rango de la relación 1/10≤h/L≤1/5, y su hipótesis de análisis, además de las establecidas, para la teoría general, son las siguientes:
Como decíamos las hipótesis generales de la viga de Timoshenko son las mismas que de la viga de Bernoulli. Timoshenko introduce la hipótesis de que Las secciones transversales de la viga permanecen planas, indeformadas y no necesariamente normales a la directriz durante el proceso de deformación. Entonces aquí se considera la deformación por cortante, siendo los esfuerzos presentes en el proceso de deformación: el axial, el cortante y la flexión. Las ecuaciones c o n s t i t u t i v a s (esfuerzo-deformación): serán las relaciones axialalargamiento unitario, cortante- rotación angular adicional (distorsión de la sección transversal) y momento-deformación vertical. Un desplazamiento horizontal, en dirección de la directriz de la viga, se calculará (Fórmulas de Navier-Bresse):
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
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= − ( − ) − ∫ ( − ) ∫=
Un desplazamiento vertical (flecha), en dirección perpendicular a la directriz, será:
( − ) ∫ ( − ) ∫ Donde: G: Módulo de Elasticidad Tangencial (Cortante) AQY : Área de la sección efectiva en cortante: AQY =AreaAxial/ff ; ff: Factor de Forma
ff=1.2
ff=10/9=1.111
ff=2
El giro en cualquier punto será:
∫
Comparación entre la viga de Bernoulli y la viga de Timoshenko.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
4 ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.2 MATRIZ DE EQUILIBRIO Para una barra cargada en sus nudos, cuya respuesta es como sólido rígido (la barra no se deforma solo sufre desplazamiento), se define su ecuación de equilibrio como sigue:
f 1+ Hf 2= 0
o escrita matricialmente:
{f 1}+ [H]{f 2}= 0 En donde: {f 1}: es el vector fuerzas aplicadas en el nudo 1 o inicial. {f 2}: es el vector fuerzas aplicadas en el nudo 2 o final. [H]: es la Matriz de equilibrio de la barra. Además si la barra se comporta como sólido rígido, se cumple que:
{d2}= [H]T{d1} En donde: {d1}: es el vector desplazamientos en el nudo 1 o inicial. {d2}: es el vector desplazamientos en el nudo 2 o final. [H]T: es la transpuesta de la Matriz de equilibrio de la barra. Z
{f 1}+[H]{f 2}=0
m2z
∑f x=0
f 1x+f 2x=0
∑f y=0
f 1y+f 2y=0
∑f z=1
f 1z+f 2z=0
∑Mz1=0 m1z+m2z+f 2xΔy-f 2yΔx=0
f 1y
f 1x
1
f 1y
0
1
0
0
0
0
f 2y
0
0
1
0
0
0
f 2z
0
Δz
-Δy
1
0
0
m2x
-Δz
0
Δx
0
1
0
m2y
Δy -Δx
0
0
0
1
m2z
f 1z m1x m1y m1z
+
0
0
Matriz de Equilibrio
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
2
f 2x m2x
DZ
f 1z
∑My1=0 m1y+m2y-f 2xΔz+f 2zΔx=0
0
f 2y
m1z
∑Mx1=0 m1x+m2x+f 2yΔz-f 2zΔy=0
0
m2y
f 2z
0
f 2x
1
m1y =0Y
DX
f 1x
m1x
X DY
5 ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1.3 MATRIZ DE FLEXIBILIDAD La matriz de flexibilidad de una barra, nos representa los desplazamientos del nudo de un de sus extremos considerando que el otro se encuentra empotrado, a partir de fuerzas que actúan en el extremo libre de la misma. f2 2
δ= Sf 2 o escrita matricialmente:
d
{d}=[S]{f 2} En donde: {d}: es el vector desplazamientos en el extremos libre. [S]: es la matriz de Flexibilidad. {f 2}: es el vector fuerzas que actúan en el extremo libre.
1
Matriz de Flexibilidad de Barra de Pórtico Plano
S=
L/EA
0
0
0
L /3EI
3
L /2EI
0
L /2EI
2
L/EI
2
1.4 MATRIZ DE RIGIDEZ 1.4.1 RELACIÓN DE RIGIDEZ DE UNA BARRA CARGADA MATRIZ DE RIGIDEZ
La relación de rigidez de una barra cargada es la que equilibra las fuerzas actuantes en los extremos de la barra con las fuerzas que generan los desplazamientos generados por estas y las fuerzas aplicadas en el interior de la misma. O sea:
O escrita de forma compacta:
{f}=[k]{d}+f°
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
6 ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
En donde: {f}: es el vector fuerzas aplicadas en los nudos o extremos de la barra. [k]: es la matriz de Rigidez del Elemento, que solo depende de la geometría de la misma y del tipo del material. {d}: es el vector desplazamiento de nudos. {f°}: es el vector fuerzas aplicadas en el interior de la barra. Matriz de Rigidez de un elemento viga-columna, bidimensional, según la teoría de Bernoulli, en donde se obvia las deformaciones por cortante. EA/L
0
0
-EA/L
0
0
0
12EI/L^3
6EI/L^2
0
-12EI/L^3
6EI/L^2
0
6EI/L^2
4EI/L
0
-6EI/L^2
2EI/L
-EA/L
0
0
EA/L
0
0
0
-12EI/L^3
-6EI/L^2
0
12EI/L^3
-6EI/L^2
0
6EI/L^2
2EI/L
0
-6EI/L^2
4EI/L
Matriz de Rigidez de un elemento viga-columna, bidimensional, según la teoría de Timoshenko, en donde se considera los efectos de las deformaciones por cortante
EA/L
0
0
-EA/L
0
0
0
12EI/L3(1+Φ)
6EI/L2(1+Φ)
0
-12EI/L3(1+Φ)
6EI/L2(1+Φ)
0
6EI/L2(1+Φ)
0
-6EI/L2(1+Φ)
(2-Φ)EI/L(1+Φ)
-EA/L
0
0
EA/L
0
0
0
-12EI/L (1+Φ)
-6EI/L (1+Φ)
0
12EI/L (1+Φ)
-6EI/L (1+Φ)
0
6EI/L (1+Φ)
(2-Φ)EI/L(1+Φ)
0
-6EI/L (1+Φ)
(4+Φ)EI/L(1+Φ)
Φ=
12 ()^2
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
(4+Φ)EI/L(1+Φ)
y
G=
E 2(1+)
