INTEGRAL INDEFINIDA Def.vada de otra función 0 en (1) Una función J es una primitiva o antiderivad ÐBÑ a B − M un intervalo M si J w ÐBÑ œ 0 ÐB
'
(2) El conjunto de todas las primitivas de una función 0 se llama integral indefinida de 0 ß se le denota 0 ÐBÑ .B denota por 0ÐBÑ .B œ J ÐBÑ G Si J es una primitiva de 0 ß entonces ' 0ÐBÑ El símbolo se llama " signo integral" 0ÐBÑ se llama integrando 0ÐBÑ.B : elemento de integración G : constante de integración El proceso que permite obtener las integrales indefinidas de las funciones elementales se llama " integración".
'
a' b
Propiedades de la la integral indefinida . 0ÐBÑ 0 ÐBÑ .B œ 0ÐB 0ÐBÑ ww La derivada de una integral indefinida es (1) .B igual al integrando " . .B œ B G (2) caso particular .B ÐJ ÐBÑ Ñ . B œ J ÐBÑ G 5 0 ÐB ÐBÑ .B œ 5 0 ÐB ÐBÑ .B (3) Ð0ÐB Ð0ÐBÑ „ 1ÐBÑ Ñ.B œ 0ÐBÑ 0ÐBÑ .B „ 1ÐBÑ .B (4)
'' '
' ' ' ÚÝ ' ÛÝÜ ' '
'
0ÐBÑ 0 ÐBÑ .B œ J ÐBÑ G Ê
'
0Ð+ 0Ð+ BÑ .B œ +" JÐ+B JÐ+BÑ G 0ÐB ,Ñ .B œ J ÐB ,Ñ G 0Ð+B 0Ð+B ,Ñ .B œ +" J Ð+B ,Ñ G
METODOS DE INTEGRACION I
Integración por cambio de variable o sustitución
'
(Corresponde a la regla de la cadena en derivación) 0 Ð1ÐB Ð1ÐBÑÑ ÑÑ 1wÐBÑ ÐBÑ .B se puede determinar Una integral de la forma haciendo la sustitución
'
œ
? œ 1ÐBÑ .? œ 1w ÐBÑ .B
'
Si J es una primitiva de la función 0 ß entonces
0Ð1Ð 0Ð1ÐBÑÑ 1w ÐBÑ .B œ 0Ð?Ñ 0Ð?Ñ .? .? œ J Ð?Ñ G œ J Ð1ÐBÑÑ G Ë Ë 1ÐBÑ œ ? ? œ 1 ÐB
II
Integración por Partes
Si ? œ 0 ÐBÑ y @ œ 1ÐBÑ son funciones tales que continuas,
0 w y 1w son entonces
' 0 ÐBÑ 1w ÐBÑ .B œ 0 ÐBÑ 1ÐBÑ ' 0 w ÐBÑ 1ÐBÑ .B o equivalentemente
' ? .@ œ ? @ ' @ .? III Integración parciales
de
funciones
racionales
Una función racional es aquella de la forma
0ÐBÑ 1ÐBÑ ,
por
fraciones
donde 0ÐBÑ y 1 ÐBÑ
son polinomios. Se le llama propia si 1<Ð0ÐBÑÑ 1<Ð1ÐBÑÑ y en todo otro caso es impropia. 0ÐBÑ La separación de 1ÐBÑ en una suma de fracciones parciales depende de dos condiciones: a) La fracción debe ser propia. De no ser así, se hace la división y se trabaja con el residuoß en efecto del algebra de polinomios tenemos que, si 1<Ð0ÐBÑÑ 1<Ð1ÐBÑÑ ß entonces al efectuar la división podemos expresar la fracción en la forma: 0 ÐBÑ <ÐBÑ œ ;ÐBÑ 1ÐBÑ 1ÐBÑ donde 1<Ð<ÐBÑÑ 1<Ð1ÐBÑÑ b) Los factores de 1ÐBÑ deben conocerse. Es decir 1ÐBÑ debe expresarse como producto de potencias de factores lineales Ð:B ;Ñ7 o de potencias de factores cuadráticos irreducibles Ð+B# ,B -Ñ 8 , donde 7ß 8 son enteros positivos. Si se cumplen estas condiciones, aplicamos las siguientes reglas para la descomposición de la fracción. Regla 1.Para cada factor de la forma Ð:B ;Ñ7 ß la descomposición contiene una suma de 7 fracciones parciales de la forma : E$ E" E# E7 :B; Ð:B;Ñ# Ð:B;Ñ$ ÞÞÞÞÞÞÞÞ Ð:B;Ñ7 donde E 5 es una constante real. Para cada factor de la forma Ð+B# ,B -Ñ8 en donde 8 " y Ð+B# ,B -Ñ es irreducible, la descomposición en fracciones parciales contiene una suma de 8 fraciones de la forma: F$BG $ F" BG" F# BG# F8 BG8 ÞÞÞÞÞ # # # # $ +B ,BÐ+B ,B-Ñ Ð+B ,B-Ñ Ð+B# ,B-Ñ8 donde F 5 y G 5 son Regla 2.-
constantes reales a determinar.
IV
Integrales de funciones trigonométricas
'
A)
Potencias de funciones trigonométricas Integrales de la forma M7 8 œ =/87 B -9=8B .B ß 7ß 8 − ™ a) 7 o 8 impar positivo. Si 7 œ #5 "ß =/87 B -9=8 B œ =/8 #5 B -9= 8B =/8B
œ
Ë Exprese en términos de -9=B y efectue la sustitución ? œ -9=B,
Si 8 œ #5 "ß =/87 B -9=8B œ =/87B -9= #5 B -9=B
œ b)
Ë Exprese en términos de =/8B y efectue la sustitución ? œ =/8Bß
Si 7 y 8 son pares positivos se utilizan las identidades
=/8#B œ "# Ð" -9=#BÑ -9=# B œ "# Ð" -9=#BÑ
para bajar los exponentes de las funciones trigonométricas. c) Si 7 y 8 son pares negativos, se obtiene un integrando con potencias positivas pares de =/-B y -9=/-B. 7 œ #5 , 8 œ #: Ê =/87 B -9=8B œ -9=/- #5 B =/- #:B
œ d) Las integrales de la forma
œ -9=/- #5 B =/- #:# B =/- #B Ë Ë expreselos en función de >1 B y efectue la sustitución ? œ >1Bß.? œ =/-# B.B
'
>17 B .B ß
'
->17 B .B , donde 7 es un entero
positivo se calculan utilizando las identidades
B)
Ú ' ' ÛÜ '
œ
>1#B œ =/-#B " ->1#B œ -9=/-# B "
Productos de senos y cosenos Las integrales de las formas
=/85B =/8:B .B =/85B -9=:B .B -9=5B -9=:B.B
surgen en la teoría de la corriente alterna, problemas de transferencia de calor, flexión de vigas y en muchos otros problemas de ciencia e ingeniería. Estas integrales pueden determinarse utilizando integración por partes con dos aplicaciones. Otra forma más simple es recurriendo a las siguientes identidades
=/85B =/8:B œ =/85B -9=:B œ -9=5B -9=:B œ C)
" # " # " #
aa a
bb b
-9=Ð5 :ÑB -9=Ð5 :ÑB =/8Ð5 :ÑB =/8Ð5 :ÑB -9=Ð5 :ÑB -9=Ð5 :ÑB
Funciones racionales de senos y cosenos
'
Las integrales de la forma V Ð=/8Bß -9=BÑ.B donde V es una función racional se determinan efectuando la sustitución > œ >1 B# œ "=/8B -9=B obteniéndose una integral de una función racional en la variable >ß la cual puede integrarse por fracciones parciales. De esta sustitución se tiene:
-9=B œ
"># ">#
=/8B œ
#> ">#
.B œ
#.> ">#
Si la función racional verifica que VÐ =/8Bß -9=BÑ œ VÐ=/8Bß -9=BÑ empleando la sustitución > œ >1B la integral dada se reduce a una función racional de la variable > más simple que en la sustitución anterior. En este caso se tiene que:
-9=B œ
V
È
" ">#
È
> ">#
=/8B œ
.B œ
.> ">#
Sustituciones trigonométricas
È È
Si un integrando contiene
una de las expresiones
È
+# ? #
+# ? # o ?# +# donde + ! ( o potencias de ella) se puede eliminar el radical ß
haciendo una sustitución trigonométrica.
È ÚÝÝ
+# ?#
? œ +=/8> ! Ÿ > Ÿ 1# ß si ? 0 - 1# > !ß si ? ! .? œ +-9=> .> +# ?# œ + -9= > + > ?
ÛÝÝ œ ÜÚ È ÛÜ È
+ # ?#
> œ +<- =/8 ?+
È ÚÝÝ
+# ?#
?# +#
? œ + >1 > ! Ÿ > Ÿ 1# ß si ? 0 - 1# > !ß si ? ! .? œ + =/- # > .> +# ?# œ + =/- >
ÛÝÝ œ ÜÚ È È ÛÜ
+# ? #
?
> +
> œ +<- >1 ?+
È ÚÝÝ
? œ +=/- > ! Ÿ > Ÿ 1# ß si ? + 1 > $#1 ß si ? Ÿ - + .? œ + >1 > =/- > .> ?# +# œ + >1 > ? > ?# +# + ? +ß > œ +<- =/- ?+ ? Ÿ +ß > œ #1 +<-=/- ?+
ÛÝÝ œ ÜÚÈ ÛÜ œ
È
Integrales de funciones que contienen un trinomio de segundo grado +B# ,B -ß con + Á !Þ La expresión cuadrática +B# ,B -ß con + Á ! puede reducirse a la forma +Ð?# „ 5 # Ñ efectuando una completación de cuadrados. De esta forma la integral
M" œ
' '
.B
+B# ,B -
œ
'
" +
.?
?# „ 5 #
' '
Si se tiene una integral de la forma
M# œ
ÐEBFÑ.B +B# ,B -
.B | ! .? ? " +B# ,B Ë ? œ +B# ,B .? œ Ð#+B ,Ñ.B
œ
'Ú È ' ' È ÛÜ ' È È ' È ' È
Usando transformaciones análogas a las anteriores se pueden reducir .B
las integrales de las formas:
' È 'È
.B +B# , B -
ÐEBFÑ .B +B# ,B -
VI
|
+B# ,B
+ !ß + !ß
| !
.? ?
"
ÐEBFÑ.B +B# ,B -
ß -
.? ?# „ 5 # .? 5 # ?#
.B
+B# ,B -
Integración de algunas funciones irracionales
'
: " ;"
: # ;#
: $ ;$
: 8 ;8
Consideremos integrales de la forma V ÐBß B ß B ß B ß ÞÞÞÞÞB Ñ.B donde V es una función racional. Si 5 œ 7Þ-Þ7ÞÐ;" ß ;# ß ;$ ß ÞÞÞß ; 8Ñ , entonces la sustitución B œ > 5 transforma la función irracional en una función racional en la variable > .
