INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEPIC
MÉTODOS DE DERIVACION E INTEGRACIÓN NUMÉRICA MÉTODOS NUMÉRICOS
2012
ING. ROBERTO ORAMAS BUSTILLOS
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRANTES: CRISTINA FIGUEROA MACIAS GUSTAVO FLORES VIDAURI JOSE ALEJANDRO LEGORRETA MURRILLO OMAR EDUARDO MIRAMONTES PRADO OSCAR ABDIEL ALTAMIRANO MORELOS URIEL GARCIA SIXTO RICARDO RUBIO RAMIREZ RAMON CASILLAS MARTINEZ
INGENIERIA ELECTRICA
4º SEMESTRE 3ª
ING. ROBERTO ORAMAS BUSTILLOS
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRANTES: CRISTINA FIGUEROA MACIAS GUSTAVO FLORES VIDAURI JOSE ALEJANDRO LEGORRETA MURRILLO OMAR EDUARDO MIRAMONTES PRADO OSCAR ABDIEL ALTAMIRANO MORELOS URIEL GARCIA SIXTO RICARDO RUBIO RAMIREZ RAMON CASILLAS MARTINEZ
INGENIERIA ELECTRICA
4º SEMESTRE 3ª
INTRODUCCION Este trabajo habla de la diferenciación e integración numérica y se muestran diversos métodos para la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana. Se explican algunas técnicas de aproximación para la resolución de diferenciales como lo son la formula de diferencia progresiva y regresiva, la formula de tres puntos y la formula de cinco puntos, cada una detallada con ejemplos sencillos para su fácil comprensión. También se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Los métodos que se abordan son: método del trapecio, métodos de Simpson, integración de Romberg, método de cuadratura gaussiana.
OBJETIVO Hacer una investigación detallada y precisa de los métodos utilizados para la resolución de ejercicios de diferenciación e integración numérica (derivadas e integrales), que por los métodos analíticos no suelen tener resultado.
DESARROLLO DE LA INVESTIGACION A continuación se hace mención de algunos de los métodos numéricos que se utilizan para la resolución de problemas de diferenciación e integración numérica, explicándose con detalle cada uno de ellos, así como mencionando ejemplos y aplicaciones de los mismos.
Diferenciación numérica
Integración numérica
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de a función matemática o función subprograma usando valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función. Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de un próximo línea secante a través de los puntos ( x , f (x)) y ( x+h, f (x+h)). Elegir un número pequeño h, h representa un cambio pequeño adentro x , y puede ser positivo o negativa. La cuesta de esta línea es Esta expresión es Neutonios cociente de la diferencia. La cuesta de esta línea secante diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h. Como h los acercamientos ponen a cero, la cuesta de la línea secante acercamientos la cuesta de la línea de la tangente. Por lo tanto, el verdad derivado de f en x es el límite del valor del cociente de la diferencia mientras que las líneas secantes consiguen cada vez más cerca de ser una línea de la tangente: Desde inmediatamente el sustituir 0 para h resultados adentro división por cero. Una valoración simple del tres-punto es computar la cuesta de una línea secante próxima a través de los puntos ( x-h, f (x-h)) y ( x+h, f (x+h)). La cuesta de esta línea es Más generalmente, la valoración del tres-punto utiliza la línea secante a través de los puntos ( x − h1, f ( x − h1)) y( x + h2, f ( x + h2)). La cuesta de esta línea es La cuesta de estas líneas secantes diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h2 de modo que la valoración del tres-punto sea una aproximación más exacta a la línea de la tangente que la valoración del dos-punto cuando h es pequeño. A la ecuación 1 se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas finitas.
Se puede representar generalmente como:
o
Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación. Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos (i) e (i+1) para estimar la derivada. Al termino completo (o sea, la diferencial entre h) se le conoce como primera diferencia dividida finita. Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas. Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación 2.
Las primeras usan a, mientras x con sub-índice i+1 que las segundas usan información igualmente espaciada alrededor del punto donde esta estimada la derivada. Las aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto. Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y ordenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando como se deriva cada una de ellos. Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia atrás La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dado por:
Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:
Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida hacia atrás. Aproximaciones a la primera derivada con diferencias centrales. Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:
Para obtener
Que se puede resolver para
o
La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h. Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada. Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte. Aproximaciones a derivadas de orden más alto usando diferencias finitas. Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior. Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de de la siguiente forma:
La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 10 para obtener:
Que se puede resolver para
A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y centrales. Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse (véase en fórmulas mas adelante). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación. Formulas de exactitud para diferencias de orden superior Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie de Taylor después de algunos términos. Las fórmulas de mas exactitud se pueden desarrollar incluyendo términos adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia adelante (Ecuación 6) se puede resolver para:
En contraste con la ecuación 2, se puede retener el término de segundo orden sustituyendo la ecuación 12 en la ecuación 13 para obtener:
Agrupando términos
Nótese que la inclusión del término con segunda derivada ha dado una exactitud. Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares para diferencias hacia atrás y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior.
Graficas de aproximaciones con diferencias divididas finitas de la primera derivada. El azul es de aproximación y el verde de la derivada verdadera
HACIA ADELANTE
HACIA ATRAS
.CENTRALES
MÉTODO DE LA SECANTE POR MEDIO DE DIFERENCIA DIVIDIDA. Un problema fuerte en al implementación del método de Newton-Raphson es el de la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras funciones, existen algunas de estas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de evaluar. En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida, como se muestra en la siguiente figura:
Fórmula de diferencia progresiva y regresiva.
Diferencias finitas. Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.
DIFERENCIAS FINITAS. Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central. Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma
Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0. Una diferencia regresiva, atrasada o anterior
Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Relación con las derivadas La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite
Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha es
Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es
La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:
Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).
Cálculo de diferencias finitas La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δ f . El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder f con su derivada. Formalmente, invirtiendo la exponencial
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie
asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:
El error de la aproximación es del orden de h2. Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son
Derivadas de órdenes mayores De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de h / 2 para: y Aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de en x , obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f :
Métodos de diferencias finitas Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas. Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.
FORMULA DE TRES PUNTOS Supongamos que solo tenemos tres datos
igualmente espaciados, es
decir,
. Aplicando la fórmula
con
anterior con tres puntos, para respectivamente, obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres puntos")
Planteamiento inverso En primer lugar es necesario demostrar la existencia de ligamiento entre los tres loci analizados. Suponiendo que se trata de un cruzamiento prueba entre un triheterocigoto (AaBbCc) y un homocigoto recesivo (aabbcc) los pasos que es necesario realizar para demostrar la existencia de ligamiento son los siguientes: A. B. C. D.
Comprobar mediante un c2 que el locus A, a segrega correctamente: ½ A ½ a. Comprobar mediante un c2 que el locus B, b segrega correctamente: ½ B ½ b. Comprobar mediante un c2 que el locus C, c segrega correctamente: ½ C ½ c. Comprobar mediante un c2 que la segregación combinada de los loci A, a y B, b no se ajusta a la esperada en caso de independencia (¼ AB, ¼ Ab, ¼ aB, ¼ ab). E. Comprobar mediante un c2 que la segregación combinada de los loci A, a y C, c no se ajusta a la esperada en caso de independencia (¼ AC, ¼ Ac, ¼ aC, ¼ ac). F. Comprobar mediante un c2 que la segregación combinada de los loci B, b y C, c no se ajusta a la esperada en caso de independencia (¼ BC, ¼ Bc, ¼ bC, ¼ bc). G. Comprobar que la segregación combinada de los tres loci A, a; B, b y C, c no se ajusta a la esperada en caso de independencia (1/8 ABC, 1/8 ABc, 1/8 AbC, 1/8 aBC, 1/8 Abc, 1/8 aBc, 1/8 abC y 1/8 abc). Una vez demostrada la existencia de ligamiento entre los tres loci, el objetivo del problema de los tres puntos es deducir a partir de los datos de una descendencia:
1) El orden relativo de los tres loci, es decir, determinar el locus que ocupa la posición central. 2) Calcular los valores de la fracción de recombinación (r1 y r2) entre el locus central y cada uno de los extremos, y entre los dos loci extremos (r). 3) Calcular el valor del coeficiente de coincidencia (c) y de la interferencia (I) entre los tres loci. Para ello, vamos a suponer que estamos analizando la descendencia de un cruzamiento prueba entre un individuo triheterocigoto (AaBbCc) en fase de acoplamiento (ABC/abc) y un homocigoto recesivo (aabbcc). Nuestro primer objetivo será averiguar el orden de estos tres loci sobre el mismo cromosoma, es decir, determinar cual es el locus que ocupa la posición central. Esta cuestión puede ser resuelta de dos formas distintas:
1. En un cruzamiento prueba como el indicado (AaBbCc x aabbcc), suponiendo
Que los tres loci están en fase de acoplamiento (ABC/abc) y que el locus central es el B, b; se esperan ocho clases de descendientes. Las dos clases más frecuentes serán las procedentes de gametos parentales formados cuando no se da sobre cruzamiento entre los loci analizados: ABC y abc. Las dos clases menos frecuentes serán las dobles recombinantes, procedentes de gametos originados cuando se da sobre cruzamiento entre el locus A, a y el locus B, b y también entre el locus B, b y el locus C, c: AbC y aBc. Aquel locus cuyo intercambio de alelos en las clases dobles recombinantes reconstituye las clases parentales será el central. En el caso que nos ocupa, el único locus que cumple esta condición es el B, b.
b) La otra forma de determinar el locus central consiste en calcular las distancias genéticas entre los tres loci considerados. La distancia genética es el valor de la fracción de recombinación en tanto por cien. La distancia mayor corresponderá a los dos loci extremos. En este caso, la mayor distancia genética correspondería a la encontrada entre los loci A, a y C, c. Por tanto, el locus central sería el B, b. Es importante destacar que para determinar el locus central y calcular las fracciones de recombinación y distancias genéticas es necesario analizar los tres loci en los mismos descendientes. Podría darse el caso (normalmente bastante frecuente) de que no se haya podido determinar el fenotipo de algunos individuos para alguno de los tres loci estudiados. Por ejemplo, en un individuo AB- se habría determinado su fenotipo A para el locus A, a, su fenotipo B para el locus B, b y no se habría podido averiguar su constitución genética en el locus C, c. En otro individuo de la descendencia puede ser otro locus diferente el que no se haya podido analizar. Para determinar el orden es necesario emplear descendientes en los que haya sido posible determinar el fenotipo en los tres loci estudiados. Posteriormente, calculamos los valores de la fracción de recombinación.
Fracción de recombinación entre A, a y B, b; r1:
Fracción de recombinación entre B, b y C, c; r2:
Fracción de recombinación entre A, a y C, c; r:
Teniendo en cuenta que el locus central es el B, b, el mayor valor de la fracción de recombinación corresponderá a r. Por último, calculamos el coeficiente de coincidencia (c) que se define como la frecuencia de los dobles sobre cruzamientos observados frente a los dobles sobre cruzamientos esperados.
El coeficiente de coincidencia (c) nos permite saber si se da interferencia cromosómica (I), es decir, si el hecho de que se de un sobre cruzamiento en una determinada región (por ejemplo entre el locus A, a y el B, b) favorece o impide el que se den más sobre cruzamientos en una región próxima a la anterior (por ejemplo entre el locus B, b y el C, c). La interferencia (I) se define como I = 1 - c, pudiendo ser positiva cuando c es menor que uno y negativa cuando c es mayor que 1. Cuando c es igual a 1 (igual cantidad de dobles sobre cruzamientos observados y esperados) se dice que no hay interferencia. Planteamiento directo En el planteamiento directo sabemos que tres loci están ligados, conocemos las frecuencias de recombinación y (r1, r2 y r), el valor del coeficiente de coincidencia (c) y la interferencia (I). A partir de estos datos, lo que se pretende es calcular las frecuencias de los gametos que produce un triheterocigoto (AaBbCc) y, por consiguiente, las frecuencias de los 8 fenotipos distintos de la descendencia obtenida en un cruzamiento prueba (AaBbCc x aabbcc). En el siguiente esquema se indican los ocho tipos de gametos que produce un triheterocigoto en fase de acoplamiento (ABC/abc), así como las frecuencias de los ocho tipos de individuos de la descendencia (ocho fenotipos).
En el esquema anterior hemos visto los 8 tipos de gametos que produce el parental triheterocigoto en fase de acoplamiento, hemos clasificado los gametos en base a si se da sobre cruzamiento sólo en la región I (entre A, a y B, b), sólo en la región II (entre B, b y C, c), en ambas zonas I y II (uno entre A, a y B, b y el otro entre B, b y C, c) y cuando no se da ningún sobre cruzamiento. La suma de las frecuencias de los 8 tipos de gametos debe ser la unidad: 2y + 2z + 2t + 2x = 1 (total gametos). El valor del coeficiente de coincidencia (c) es:
El valor de la fracción de recombinación en la región I se calcularía como:
El valor de la fracción de recombinación en la región II se obtendría de la siguiente forma:
Teniendo en cuenta que conocemos el valor del coeficiente de coincidencia (c); el valor de la fracción de recombinación en la región I (r1), y el valor de la fracción de recombinación en la región II (r2). Lo mejor es despejar el valor de la frecuencia “t” (gameto doble recombinante) en la fórmula del coeficiente de coincidencia:
Una vez conocido el valor de "t", podemos averiguar el valor de la frecuencia "y" despejando en la siguiente fórmula:
Finalmente, sólo necesitamos conocer el valor de la frecuencia “x”, frecuencia que
tendríamos despejando en la siguiente ecuación:
Teniendo en cuenta que se trata de un cruzamiento prueba y que, por tanto, los fenotipos de la descendencia coinciden con los gametos producidos por el individuo triheterocigoto, las frecuencias de los diferentes tipos de gametos indicados coincidirían con las de los 8 fenotipos distintos obtenidos en el cruzamiento. Estos son algunos de los métodos más sobresalientes para resolver la diferenciación numérica o mejor conocida como la derivada. Tomando en cuenta que en realidad existen muchos métodos para poder resolver distintos casos especiales que suelen presentarse en la vida cotidiana.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA En análisis numérico la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utilizan. El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runga-Kutta pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. Razones para la integración numérica Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.
MÉTODO DEL TRAPECIO La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado:
Una línea recta se puede representar como:
El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre los limites ɑ y b:
El resultado de la integración es:
Que se denomina regla del trapecio. Obtención de la regla del trapecio Antes de la integración, la ecuación se puede expresar como:
Agrupando los últimos 2 términos:
La cual puede integrarse entre x= ɑ y x =b para obtener:
Este resultado se evalúa para dar:
Ahora como b² ‐ ɑ² = (b ‐ ɑ) (b + ɑ).
Multiplicando y agrupando términos se tiene:
Que es la fórmula para la regla del trapecio. Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une ƒ (ɑ) y ƒ (b). Recuerde que la formula para calcular el area de
un trapezoide es la altura por el promedio de las bases. En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide esta sobre su lado. Por lo tanto, la integral aproximada se representa como:
Error de la regla del trapecio Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimación al error de truncamiento local para una sola aplicación de la regla del trapecio es:
Donde ᵹ está en algún lugar en el intervalo de ɑ a b. La ecuación indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algún error. INTEGRACIÓN DE ROMBERG La integración de romberg es una técnica diseñada para obtener integrales numéricas de funciones de manera eficiente, que se basa en aplicaciones sucesivas de la regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulaciones matemáticas, se alcanzan mejores resultados con menos trabajo. El algoritmo de integración de romberg. Observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación que, conforme aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor estimación de la integral. Estas formulaciones se expresan en una forma general muy adecuada para la implementación en computadora:
Donde 1ʲ+1k-1 eIjk-1 = las integrales más y menos exactas, respectivamente; e Ijk=Ia integral mejorada. El subíndice k significa el nivel de la integración
donde k=1 corresponde a la estimación original con la regla del trapecio, k=2corresponde a 0(h⁴ ), k=3 a 0(h⁶ ) y asi sucesivamente. El subíndice j se usa para distinguir entre las estimaciones mas (j+1) i meno (j) exactas. Por ejemplo, con k=2 y j =1, la ecuación (22.8) se convierte en
Que es equivalente a la ecuación La forma general representada por la ecuación se atribuye a Romberg, y su aplicación sistemática para evaluar integrales se denomina integración de Romberg. La figura 22.3 es una representación grafica de la sucesión y estimaciones de la integral generadas usando este procedimiento. Cada matriz corresponde a una sola iteración. La primera columna contiene las evaluaciones de la regla del trapecio, designadas por I j,1 , donde j=1 indica una aplicación con un solo segmento (el tamaño de paso es b-a) , j=2 corresponde a una aplicación con dos segmentos [el tamaño de paso es (ba)/ 2], j=3 corresponde a una aplicación de cuatro segmentos [el tamaño de paso es (ba)/ 4], y así sucesivamente. Las otras columnas de la matriz se generan mediante la aplicación sistemática de la ecuación para obtener sucesivamente mejores estimaciones de la integral. Si TN.1es el valor calculado de la integral (en donde 2N corresponde al número de intervalos los de 1 es el orden del polinomio de interpolación usado):
Usado para el cálculo numérico la formula de los trapecios. T0, 1 seria el primer estimado; es decir, usando directamente las formulas de los trapecios;
T1,1 seria el estimado para dos intervalos idénticos de ancho (b-a)/2:
Simplificado,
En general:
La formula de extrapolación de Richardson puede ser utilizada para cada par de secuencia T0,1,…..TN,1. Por ejemplo:
En general, La secuencia del método de Romberg que explicada, puede ser presentada en forma tabular como s inicia a continuación: Construcción de la tabla de Romberg i/j 0 1 2 3 4 5 6
1 T0,1 T1,1 T2,1 T3,1 T4,1 T5,1 T6,1
2 T0,2 T1,2 T2,2 T3,2 T4,2 T5,2
3 T0,3 T1,3 T2,3 T3,3 T4,3
4 T0,4 T1,4 T2,4 T3,4
5 T0,5 T1,5 T2,5
6 T0,6 T1,6
7 T0,7
MÉTODO DEL SIMPSON Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación mas fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos. Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre ƒ
(ɑ ) y ƒ (b), los tres puntos se pueden unir con una parábola. Si hay dos puntos igualmente espaciados entre ƒ ( ɑ ) y ƒ (b), los cu atro puntos se pueden unir mediante un polinomio de tercer grado. Las formulas que resultan de tomar las integrales bajo esos polinomios se conocen como reglas de Simpson.
Regla de Simpson La regla se Simpson ⅓ resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado
se sustituye en la ecuación:
Si se designan ɑy b como xₒ y x₂ , y ƒ₂ (x) se representan por un polinomio de Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en:
Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas se obtiene la siguiente formula:
Donde, en este caso, h=(b - ɑ )/2. Esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” se origina del hecho de que h está dividida en 3 en la ecuación.
OBTENCIÓN Y ESTIMACIÓN DEL ERROR DE LA REGLA DE SIMPSON 1/3 Como se hizo en el cuadro 21.2 para la regla del trapecio, la regla de Simpson 1/3 se obtiene al integrar el polinomio de interpolación de Newton-Gregory hacia adelante:
Observe que se escribió el polinomio hasta el término de cuarto grado, en lugar de hasta el de tercer grado como se esperaría. La razón de esto se vería un poco después. Advierta también que los limites de integración van de x ₒ a x₂. Por lo tanto, cuando se realizan las sustituciones para simplificar. La integral es de
y evaluando en los limites se obtiene:
Observe el resultado significativo de que el coeficiente de la tercera diferencia dividida es cero. Debido a que ∆ƒ(xₒ)= ƒ(x₁ )- ƒ(xₒ) y ∆²ƒ(xₒ) = ƒ(x₂)- 2ƒ(x₁)+ƒ(xₒ), la ecuación (C21.3.1) se reescribe como:
Así, el primer termino es la regla de Simpson 1/3 y el segundo es el error de truncamiento. Puesto que se suprime la tercera diferencia dividida, se obtiene el resultado significativo de que la formula tiene una precisión de tercer orden.
Como se esperaba. Observe que la precisión no es tan buena como la obtenida con la fórmula de cinco puntos.
INTEGRACIÓN MÚLTIPLES Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo, una ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional puede escribirse como sigue:
Al numerador se le llama integral doble. Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble de una función sobre un área rectangular. Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales iteradas.
Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta primera integración se incorpora en la segunda integración. Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos múltiples, a la primera dimensión manteniendo constante los valores de la segunda dimensión. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLOS Y APLICACIONES EJEMPLO DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA FÓRMULA DE 5 PUNTOS . Consideremos la siguiente tabla de datos
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
Estimar
y
1.00 1.010050167 1.02020134 1.030454534 1.040810774 1.051271096 1.061836547 1.072508181 1.083287068 1.094174284
.
SOLUCIÓN. Para estimar
se puede usar la fórmula de cinco puntos
mientras que para estimar
podemos usar una fórmula de tres puntos, para
ser
exactos,
Estimación de
la
fórmula
apropiada
es
la
fórmula
para
.
con la fórmula de cinco puntos. Seleccionamos cinco puntos
de tal manera que,
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1 1.010050167 1.02020134 1.030454534 1.040810774 1.051271096 1.061836547 1.072508181 1.083287068 1.094174284
Ahora aplicamos la fórmula, como
Como se esperaba ya que Estimación de
con la fórmula de tres puntos para estimar
.
Seleccionamos tres puntos de tal manera que, X 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1.00 1.010050167 1.02020134 1.030454534 1.040810774 1.051271096 1.061836547 1.072508181 1.083287068 1.094174284
Ahora aplicamos la fórmula, como
Como se esperaba. Observe que la precisión no es tan buena como la obtenida con la fórmula de cinco puntos. EJEMPLO DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA DEL MÉTODO DEL TRAPECIO. 1. Aplicación simple de la regla del trapecio. *Planteamiento del problema. Con la ecuación integre numéricamente
Desde a=0 hasta b=0.8, recuerde de la sección PT6.2 que el valor exacto de la integral se puede determinar en forma analítica y es 1.640533. SOLUCION: al evaluar la función en los limites f (0)=0.2 f (0.8)=0.232 Sustituyendo la ecuación se tiene que
La cual representa un error de:
Que corresponde a un error relativo porcentual de Ɛ1=89.5%. E n situaciones reales, tal
vez no conozcamos previamente el valor verdadero. Por lo tanto, se requiere una estimación del error aproximado. EJEMPLO DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA MULTIPLE. Planteamiento del problema: suponga que la temperatura en una placa rectangular se describe mediante la siguiente función:
Si la placa tiene 8m de largo (dimensión x) y 6m de ancho (dimensión y), calcule la temperatura promedio. SOLUCION: Primero se usara la regla del trapecio con dos segmentos en cada dimensión. Observe que un promedio simple de estos valores es 47.33. La función también se evalúa analíticamente, cuyo resultado seria 58.66667. Para realizar numéricamente la misma evaluación se emplea primero la regla del trapecio a lo largo de la dimensión x con cada uno de los valores de y. Estos valores se integran después a lo largo de la dimensión y para dar como resultado final 2688. Dividiendo este entre el área se obtiene la temperatura promedio: 2668/(6×8)=56. También podemos emplear la regla de Simpson 1/3 de la misma manera con un solo segmento. Esta integral da como resultado de 2816 y un promedio de 58.66667, que es exacto. ¿Por qué pasa esto? Recuerde que la regla de Simpson 1/3 dio resultados perfectos con polinomios cúbicos. Como el término del grado mayor en la función es de segundo grado, en el presente caso se obtiene el mismo resultado exacto.
Para funciones algebraicas de grado superior, así como funciones trascendentes, será necesario emplear segmentos múltiples para obtener estimaciones exactas de la integral. Estas con frecuencia proporcionan mejores recursos para la integración numérica de integrales múltiples. EJEMPLO DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA CON SIMPSON Y TRAPECIO COMPUESTO. Integre la siguiente función de manera analítica. Después emplee las reglas del trapecio y la de Simpson 1/3 para integrar numéricamente la función. En ambos casos, use la versión de aplicación múltiple con n=4. Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numéricos.
