Bniversidad de !osta #ica Escuela de <sica *aboratorio de <sica =eneral CCC
7rof8 7rof8 9ac,. :ose !arlos !astillo. Estudiantes8 *eonel 9ustamante 49111;16
. INFORME ESPECIAL Respuesta a la frecuencia Objetivos:
1. Estudiar Estudiar el comportamiento comportamiento del voltaje voltaje a través del resisto resistorr con la variación variación en la frecuencia de la señal de entrada. 2. Estudiar Estudiar el comportamien comportamiento to del ánulo ánulo de desfase entre entre el voltaje voltaje de la fuente fuente y la corriente del circuito con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 3. Obtener Obtener experimental experimentalmente mente la frecuenc frecuencia ia de potencia potencia media. media. . !omp !ompar arar ar las curv curvas as de " # vrs f y $ vrs f para dos casos de capacitancias distintas. %. Obtener Obtener el valor experimenta experimentall de la frecuencia frecuencia de resonanc resonancia. ia. Introucci!n.
En el pres presen ente te infor informe me se expo expone nen n los los result esultado adoss y anál anális isis is resp respec ecti tivo vo del del labor aborat ator orio io real eali&ado &ado '#espu espues estta a la frec frecue uenc ncia ia() () en el cual ual se estu estudi dió ó el comportamiento del voltaje en circuitos #! y #*) conforme se manipulan las variables +ue pueden provocar cambios en dic,o voltaje. voltaje. -e reali&aro reali&aron n mediciones mediciones de tiempo y frecuencia en el osciloscopio) el cual estaba conectado a la computadora) por lo +ue pudo anali&arse el comportamiento en e n el prorama /ata-tudio. !on los valores medidos) tabulados) pudo reali&arse rá0cos y calcular valores teóricos teóricos de ánulo ánulo de desfase y "oltaje oltaje teóricos teóricos y experimental experimentales es para poder reali&ar reali&ar una comparación y determinar la similitud entre estos datos.
Marco te!rico.
*os circuitos #! y #* tienen particularidades +ue interesa estudiar en este experimento) para poder reali&ar comparaciones en cuanto a variaciones de voltaje. *os circuitos #!) en eneral) poseen una fuente de enera) un capacitor y un resistor mientras +ue el circuito #* posee fuente de enera) resistencia e inductor. *a función del resistor es disipar la enera +ue posee en circuito) y tiene unidades de o,m. -in embaro) el resistor no es el nico elemento +ue posee esta caracterstica) ya +ue el capacitor y el inductor también poseen) aun+ue en menor cantidad) la caracterstica de resistividad) es decir) resistencia al paso de la corriente a través de ellos. En el caso caso de la resis esisti tivi vida dad d +ue +ue pres presen enta ta un capa capaci cito tor) r) esta esta es llam llamad ada a #eactancia !apacitiva 45 c6) la cual posee unidades de resistencia 4o,m6 y en el caso
del inductor) esta caracterstica se denomina #eactancia Cnductiva 45 *6) +ue también posee unidades de resistencia. *a cada de voltaje en un circuito es debida a la oposición al paso de corriente en todos estos elementos del mismo) mediante el análisis fasorial 4suma vectorial de los componentes del circuito6 puede obtenerse un resultado de la variación del voltaje del circuito de manera lobal. -in embaro) al modi0car variables en las oscilaciones del circuito) pueden notarse comportamientos importantes. Espec0camente) la frecuencia de oscilación del circuito es un factor determinante en la cada del voltaje del mismo.
41 42
43
En un circuito #!) el capacitor posee una reactancia capacitiva cuyo valor vara de manera inversamente proporcional con la frecuencia de oscilación) como puede observarse en las ecuaciones 416) 426 y 436. dq ( t ) E 0 = cos ( wt ) dt X c
X c =
X c =
1
, w =2 πf wC
1 2 πfC
7or lo cual puede interpretarse +ue) en un circuito #!) el capacitor funciona como un buen conductor de la corriente cuando la frecuencia de oscilación es alta) y mal conductor cuando es baja. 7or otra parte) la cada del potencial total puede expresarse como se muestra a continuación. 4 V r ( w )=
R E0
√ ( ) 2
R +
4% 4D 4@
1
2
ωC
En contraparte) en el circuito #*) el inductor posee reactancia inductiva) la cual tiende a cambiar de manera proporcional con la frecuencia) como se observa en ecuaciones 4%6) 4D6 y 4@6. dq ( t ) − E 0 = cos ( wt ) dt X L
X L= wL,w =2 πf X L= 2 πfL
7or lo cual) se concluye +ue en un circuito #*) el inductor acta como buen conductor de la corriente cuando las frecuencias de oscilación son bajas y mal conductor) cuando son altas. 7or otra parte) puede expresarse la cada del potencial como se muestra a continuación. V r ( w )=
4;
R E0
√ R + ( wL) 2
2
/ebido a +ue la variación del voltaje se obtiene como la suma vectorial de los voltajes en el capactor) resistencia e inductor) estos pueden tratarse como fasores) donde cada uno de los voltajes posee un desfase en la oscilación. En el caso del voltaje en la resistencia 4" #6) este está en fase oscilando con la corriente) por lo tanto su desfase es iual a cero 4$A6) en el caso del voltaje en el capacitor 4" c6) este tiene un desfase de F 4? 41A
π / 2
) lo cual sini0ca +ue está atrasado con respecto a la corriente) y
el voltaje del inductor) posee un ánulo de desfase de + π / 2 ) lo cual sini0ca +ue está adelantado con respecto a la corriente. 7ara poder medir los ánulos de desfase en circuitos #! y #* con respecto al eje de coordenadas 4fasoriales6) puede usarse las ecuaciones 4?6 y 41A6. RC : ∅ ¿ arctan
RL : ∅ ¿ arctan
( ) X L
Rtot
( ) X c
Rtot
=arctan
=arctan
(
1
)
w Rtot C
( ) wL Rtot
>,ora) es conveniente mencionar lo +ue ocurre cuando se trata de circuitos #*!. /ebido a +ue en este se encuentran presentes el capacitor y el inductor al mismo tiempo) es importante considerar la reactancia inductiva y capacitiva del circuito) la cual puede combinarse vectorialmente para obtener lo +ue se llama impedancia del circuito 4&6. >demás) al calcular el ánulo de desfase de todos los voltajes en cada elemento) a,ora ,ay +ue considerarlos todos en una misma ecuación) por lo +ue se expresa como indica la ecuación 4126. 411
√ ( 2
Z = R + wL−
412
1
)
ωC
2
( ) wL−
RCL : ∅ ¿ arctan
1
wC
R tot
G de iual manera) puede expresarse el voltaje total en función de 5* y 5!) como se muestra a continuación. 413
V r ( w )=
R E0
√ +( R
2
wL−
1
)
2
wC
/ebido a +ue en un circuito #*!) el voltaje en los elementos inductor y capacitor tienen una dirección fasorial opuesta) sus componentes pueden restarse vectorialmente para obtener un vector +ue) dependiendo de la manitud de los voltajes) podra tener la dirección de " ! o de "* . Existe entonces un punto en el +ue la manitud de dic,os componentes es la misma) lo cual ,ace +ue la resta vectorial sea iual a cero) es decir) se cancelan las componentes. En este caso) la frecuencia del circuito es la frecuencia de resonancia 4HA6) y entonces el circuito se comporta resistivo por completo. -e pretende entonces) en este experimento) anali&ar el comportamiento del voltaje con respecto a la frecuencia en circuitos #!) #* y #*!) de manera +ue pueda observarse las tendencias descritas anteriormente) as como reali&ar cálculos de voltajes teóricos y experimentales para reali&ar su comparación. "rabajo Previo:
7arte 1. 1. Iaa las rá0cas cualitativas 4esto es) dibuje la forma de las curvas6 de las funciones J4K6 dadas en 4126 y 4136. Cncluya los casos lmite
ω→0
y
ω→∞
.
41%
+¿
ω → 0 −tan
−1
( )=− 1
ωRC
lim ¿
π
lim
2
−tan−
1
−tan−
1
( )= 1
ωRC
ω →∞
0
¿
+¿
ω → 0 −tan lim ¿
−1
( )
ωL =0 R
41D
lim ω →∞
( )
ωL − π = R 2
¿
2. #epita lo anterior para V R4K6 expresadas en 416 y 41%6.
41;
lim ω →∞
R E0
√ ( ) 2
R +
1
ωC
2
= E
0
R E0
+¿
ω→0
√ R +( ωL ) 2
lim ¿ ¿
2
= E 0
lim ω →∞
R E 0
√ R
2
+ ( ωL )
2
=0
7arte 2.
/iarama de
1. /emuestre las ecuaciones 426 a 4D6 → Ecuación (2)
/el diarama de fasores 40ura 26 tenemos +ue8 V L −V C
tan Ø =
V R
V (¿ ¿ L−V C )
⇒ Ø = tan-1 (
)
V R
¿
y V L = X L I0
|
V R = Rtot ∙ I0
|
V C = X C ∙ I0 1
X L = ω L
|
| X C =
ωC
→ Ecuación (3)8 /e 0ura 2 V
¿ ¿ V R +¿ √ ¿
E0 =
ωL−
⇒
E0 = I0
1
2
¿
ωL −
1
2
¿
ωC 2 R ∙ I 0 −¿
⇒
2
√ ¿
2
ωL −
ωC
| !a i"#!$ancia = % =
2
R −¿ √ ¿
1
ωC
2
R −¿ √ ¿
⇒
E0 = I0
∙
%
¿
2
→ Ecuación (&)8 ωL−
'! #ao ant!io*
% =
1
¿
2
ωC
2
R −¿ √ ¿
→ Ecuación (+)8 E0 = I0 ∙ % V R = R
,!a
V R
E 0
⇒ I0 =
z
⇒
R
∙
I0 R ∙ E0
E 0
=
⇒ V R (ω) =
z
ωL −
1
ωC
z
2
¿
¿ R −¿ √ ¿ 2
⇒ V R (ω) =
R ∙ E0 ¿
→ Ecuación (.) '! (+)
(ωL −
i
1
)
= 0
ωC
⇒ V R = E0
1
⇒ ω0L = y co"o ω0 = 2/
ω0 C ∙
2 0
⇒ ω L C = 1 ⇒ ω0 = 1
⇒ =
2 π
∙
√
1
LC 1
ω0 =
2 π
√
1
LC
2. Iaa una rá0ca cualitativa de "# vs. K y $ vs. K si K M A) K M N) K M KA.
3. ué sini0ca '!cu!ncia $! "!$ia #ot!ncia ( 12 ) P Q!uáles son las expresiones de 12 para los circuitos RC y RLP *a frecuencia de potencia media es la potencia a la cual cual+uier función de red no constante 4I4K66) alcan&ará su valor absoluto más rande en aluna frecuencia nica 4K x6.
En muc,os casos existirán dos frecuencias de potencia media +ue veri0+uen la expresión8
| H V | | H V |= 2max ≈ 0.707| H V |max √ Bna posterior y otra anterior a la frecuencia de pico. > la separación de ambas frecuencias se les denomina anc,o de banda 4R6 y sirve como medida de lo audo del pico. 7ara un circuito RC) se tiene +ue8 f 1 /2 =
1 2 πRC
G para un circuito RL) se tiene +ue8 R f / = 1 2
2 πL
Resultaos. Cuaro I: Sediciones para el cálculo del ánulo de desfase J en el circuito #!) con E A D
") ! A)A33 T< y # 12 UV. " #s$
A)AA?1 AA A)AADA AA A)AA AA A)AA3% AA A)AA2A AA A)AA11 AA A)AAA1 DA
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3.AAAA " exp. " teórico.
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AA.AA
DAA.AA
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Frecuencia #%&$
Fiura 1. =rá0co de variación del voltaje con respecto a la frecuencia para circuito #!. ;A.AAA @A.AAA DA.AAA %A.AAA
Wnulo de fase 4X6 A.AAA 3A.AAA Wn. Experimental 2A.AAA
Wn. Leórico
1A.AAA A.AAA A.AA
2AA.AA
AA.AA
DAA.AA
;AA.AA
1AAA.AA
Fiura 2. =rá0co de relación entre ánulo de desfase y
En el rá0co mostrado anteriormente) se puede apreciar el comportamiento descrito anteriormente) al observar +ue el voltaje crece conforme aumenta la frecuencia) por lo +ue se comprueba lo explicado en las ecuaciones 416) 426 y 436) con respecto al circuito #!) cuya resistencia al paso de corriente es menor a altas frecuencias. >nteriormente) en las ecuaciones 41;6 y 41?6) se predijo +ue la tendencia del valor del voltaje cuando la frecuencia anular tiende a cero) es iual a cero) pero cuando la frecuencia tiende a in0nito) el valor del voltaje se aproxima a E A) el cual en este caso es D") en la 0ura 1 puede observarse cómo se cumple este comportamiento al notar +ue el valor máximo de voltaje se aproxima a D") a la mayor frecuencia. >demás) puede observarse +ue el ánulo de desfase decrece al aumentar la frecuencia) de ,ec,o) tiende a cero cuando la
frecuencia tiende a in0nito) y además) tiende a π / 2 Y ?AX cuando la frecuencia es baja 4tiende a cero6. *o anterior cumple satisfactoriamente con las ecuaciones explicadas en el trabajo previo. !on la
D". "#s$
A)A1AA A A)AA%1 A A)AA3% A A)AA2 % A)AA2A A A)AA1; % A)AA1 A A)AA11 A A)AAA; ; A)AAAD A
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D.AA %.AA .AA
"oltaje 4"6 3.AA ". Experim.
". Leórico
2.AA 1.AA A.AA A.AA
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1AAA.AA
1%AA.AA
2AAA.AA
Fiura 1. =rá0co de variación de voltaje con respecto a la frecuencia para circuito #*.
?A.AAA ;A.AAA @A.AAA DA.AAA %A.AAA
Wnulo de desfase 4X6 A.AAA
Wnulo teórico Wnulo Experim.
3A.AAA 2A.AAA 1A.AAA A.AAA A.AA
1AAA.AA
2AAA.AA
Fiura . =rá0co de variación de ánulo de desfase con respecto a la frecuencia para
circuito #*. !omo puede apreciarse en las 0uras 3 y ) correspondiente a las variaciones de frecuencia) voltaje y ánulo de desfase para el circuito #*) los valores del voltaje total en el circuito tienden a disminuir conforme se aumenta la frecuencia) como era esperado sen la teora descrita por 49auer Z [estfall) 2A116) ya +ue se explica +ue en un circuito
con inductor) la oposición del mismo al paso de la corriente aumenta a frecuencias muy altas y disminuye a frecuencias bajas) por lo +ue a baja frecuencia es buen conductor. 7uede apreciarse también +ue se cumplen las ecuaciones demostradas en el trabajo previo) en las +ue se indica +ue cuando la frecuencia anular 4H6 tiende a ser cero por la R E0
+¿
ω→0
derec,a) el valor de
√ R + ( ωL ) 2
2
= E 0
lim ¿
) y en la rá0ca) al aproximarse la velocidad
¿
anular a cero) el voltaje tiende a acercarse a D") el cual es el voltaje de la fuente predeterminado) as como también se observa +ue al aumentar la frecuencia a valores muy randes 4tendiendo a in0nito6) los valores de voltaje tienden a cero) como se ,aba predic,o en la ecuación4216. !on respecto a los ánulos de desfase) puede observarse +ue la tendencia cumple también con lo predic,o en las ecuaciones 41D6 y 41@6) ya +ue los valores tienden a acercarse a ?AX cuando las frecuencias tienden a in0nito. -in embaro) se nota +ue los valores experimentales en cierto punto di0eren del comportamiento teórico) esto puede deberse a errores en la toma de datos experimentales por parte de los analistas. Cuaro III. Sediciones para circuito #*! con ! A)33 T<) * ;A mI) # 1A%A o,m) E A
D". " #s$
A)AA; A A)A123 A A)AA@3 A A)AA% ; A)AA% A A)AA3@ ? A)AA3% A A)AA2? A A)AA2% A)AA2A A
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3
" teórico
" experim.
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AA.AAA
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1AAA.AAA 12AA.AAA
Fiura %. =rá0co de cambio en voltaje con respecto a la frecuencia para circuito #*!.
]nulo de desfase 4X6
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\nulo teo. Wnulo Exp.
2AA.AAA
AA.AAA
DAA.AAA
Fiura D. =rá0co de variación del ánulo de desfase con respecto a la frecuencia para
#*!. 7uede observarse en el rá0co +ue la tendencia es llear a un máximo de voltaje y lueo) conforme se aumenta la frecuencia) el voltaje disminuye de nuevo) lo cual es lo esperado para un circuito #*! sen la teora. ^ótese +ue a la frecuencia a la +ue el
voltaje es máximo 4 Y 3AA I&6 el ánulo de desfase es mnimo) estos se debe a +ue en esta situación el circuito se encuentra en resonancia) lo cual está establecido por la literatura) por lo +ue se concluye +ue los datos coinciden con la tendencia esperada. Conclusiones.
1. En un circuito #!) el voltaje aumenta conforme aumenta la frecuencia de entrada. 2. En un circuito #*) el voltaje disminuye conforme aumenta la frecuencia de entrada. 3. En un circuito #!) el ánulo de desfase producido disminuye conforme aumenta la frecuencia de entrada. . En un circuito #*) el ánulo de desfase producido aumenta conforme aumenta la frecuencia de entrada. %. El voltaje a través de un resistor aumenta ,asta llear a su frecuencia de resonancia) y lueo disminuye conforme aumenta la misma. D. El ánulo de desfase entre el voltaje de la fuente y la corriente del circuito disminuye conforme aumenta la frecuencia ,asta llear a su frecuencia de resonancia) y lueo aumenta conforme aumenta la frecuencia. @. !uando se comparan las curvas "# vs. y $ vs. para capacitancias distintas se espera +ue se enere una campana +ue se 'cierre( conforme disminuye la capacitancia. ;. El valor experimental de la frecuencia de resonancia corresponde al valor de frecuencia +ue enera el voltaje más alto en la resistencia del circuito.
Cuestionario.
1. /ibuje un diarama del circuito +ue empleara para medir el ánulo de fase entre el voltaje de entrada y el voltaje del capacitor en circuito #!. #_
`!on este diarama se puede medir el ánulo de desfase entre el voltaje de entrada y el del capacitor. 2. Estos circuitos se pueden llamar 'paso alto( y 'paso bajo(. Q> cuál corresponde cada unoP #_ -i se considera el aumento y la disminución del ánulo de desfase producido) a+uel +ue presente una disminución en el ánulo sera el paso bajo) en este caso el #! y el +ue presente un aumento del mismo un paso alto) en este caso el #*. 3. Bna rá0ca cualitativa para "! vs. K y "* vs. K 1
2
ωC
¿
2
ωL¿
¿
2
R2 tot + ¿
"# 4K6
"* 4K6
√ ¿
I! f 1 2
V Rtot
√ ¿
¿
¿
. -ea8
R tot +¿ R E0
R E0
V C
¿
y
4c6 A)@A@ I!
A1)? 4teórico6 y 3@;) ? 4experimental6
I" f 1 2
4*6
V L V Rtot
A)@A@ I*
M A1)? 4teórico6 M 3@;)? 4experimental6
-e observan valores menores a los esperados. %. -i un circuito #! y #* se denominan paso alto y paso bajo) Qcómo llamara al circuito #*!P
#_ Bn circuito #!* podra considerarse como un circuito de doble paso) o en su defecto como un circuito de paso máximo) pues sólo permite un valor máximo de voltaje a circular por cada elemento del circuito. D. QEn +ué se diferencian las curvas $ 4 6 para los dos casos de capacitanciaP #_ En el caso del ánulo de desfase) la diferencia entre ambas curvas consiste en +ue estas parecen cerrarse conforme se disminuye la capacitancia del circuito) y los valores de frecuencia asociados al circuito aumentan conforme disminuye la capacitancia para la frecuencia de resonancia. @. QEn +ué se diferencian las curvas " 4K6P -e puede explicar el principio de operación de un control de frecuencias. #_ *a diferencia de las curvas " 4 K6 respecto a la capacitancia consisten en +ue las 'campanas( esperadas para la rá0ca tienden a cerrarse conforme se disminuye la capacitancia) y de manera similar la frecuencia de resonancia aumenta conforme disminuye la misma. El principio de operación de un control de frecuencias consiste en completar un circuito +ue enera una frecuencia y por ende una señal +ue otro mecanismo interpreta y traduce en un 'canal( diferente) esto se puede lorar para un circuito #*! mediante la variación de la frecuencia de resonancia.
*iblioraf2a
. 42AA36. 4ica6 7earson. Enr+ue&) =ilberto. !urso de transformadores y motores de inducción. Séxico. Editorial *imusa. 2AA%. Enr+ue&) =ilberto.
