Resistencia de Materiales- V.I. Feodosiev- Resistencia de Materiales- Mir

El alargamiento de la capa AB (fig. 174, b) será, 88' ~b. dl!' Il-AB-(r.+~)dq>·

Aquf ~ supone que durante el proceso de la flexión de la barra, la magnitud y no varía. Hablando con rigor, esto no es asl, pues si ~na­ Iitam()S la3 condiciones de equilibrio de ltl franja elemental AH

(

p

f19. 173.

(

,,

/

al (fig. 174, ~) N!$ultaré evidente que en~re lu Fibras contiguas deberá e;¡¡stir una' acción mutue. en forma de [uerUlS dirigídas radle.lmente y, 'como resultad'o, variará la forma de la secci6n tranllv811l1l1 de Ja barra y la magnHud de //' En el caso do soocíones macizall 6Iltu variaciones 601l jnllignificanles. En el caso de baIrIl!I de paredes delgadas los del!plazamlent08 radíales de Iaa fibras sarto. bastante grandes 'J pueden

In IW& variación lignifieanle del eu.dco da dJ.stl'lbucI60 de lu tensioo. en l. eeee160..

eonducir I

lA fr.ed60 ~ ... propon:iond • r. vlrlaeliln de l. c:urVltUl1l de l. hura. De la (JIU" 174 M deduce qua .1 seemento CD-{dtf+ód",)r, .Ieodo r, el radio de cur.,..lura de la upa Deutra de:spuéa de l.

deformación. Por olra puta CD=r,d'f.

Igualando utas m.¡nilud8!l, obtendremos,

~=r.(..!.._..!..). a'l' r r. Asl pues, podemos .firmar lllle

y, entonces,

.--''.+, ,.(!._..!..) r '.

-

,

o_E_+ '. ('- - - ) . '.,

r

(4.32)

'.

En I!lILaS e.xpreslOIlfl8 se "11 d.ramenLe l. particularidad principIO' de l. barn de eUrUIUrI anode. Como en .te e.so las dil1leos.lones de l. ~i6n tUDSverul .00 eomparablllll con el Rdio r,la m'rnitud de" que (¡gura 10 el denomioadOl" adquiere UD ... Ioc impottule J Iu t,asiODN, por lo tanlo, 18 distribuyen de manen. DO IinNl. En el euo de 111 butll de pequeiía curvatura 11 es pequeña en compar.ci60 con r. '1

'.

o_EII(!._.!.). ,

Cuando..!.. -O 8lua 81prtlli6u toioelde ton la expresi6n (4.3) torre&pondieote a l. b.rra rec:le.. Supongamos para mayor simplicidad que la seecl6n de l. barril es aimHrica respecto al plano de la curvatura. Entonce! el oje V de 11 sección será el oje de simelrla (fig. 175) Yel momento de In fller~M elomeotalll:!l n dF rospeelo a ea:te eje ser' igllal a «,ro. EscribalJllJS ahora la expresión do la fuel'Ul normal N y la del momooto neclor

'.

M,..., N_JadF• .'.f ll .. -}IIJ/dF. introducir la "presión de a segÚD (4...32) b... Ual'(Hnot

-(' ')í-" ,.+,' MIIft-Er. (-+. ,' - -r.')í"" '., N_Er. , - - '. -

C..p. IV. Flu16n

Como l. fuena UiA! es Igual a c.ero,

f'+dF =0.

~'o

~

(4.33)

Tran!fonnamos abora la expresión de M 11•• descompoolendo la 8Jl:prealón subintegral en do:! sumandos, es decir,

1..8 primefll de estas integrales IllJlrllllenta el momento e:otático de la 6eeeión respecto s la linea neutra y llS igu.! el producto Fe, siendo e,

,

l. distllncill de lB línea neutra al centro de gravedad, (4.34)

La segunds inwgral es segun (4.33) igual 8 cero. kli pues, M n... "" Er.

(.!._.!.) Fe. , "

i~.3:;)

Eliminando con &:lla expre5ión la. diferencia de 1M curvatura. de la expresión de o (4.32) SIl obtieDll la fórmula 'para la determinación de las tensiones normales. 11_~_'_. (4.36) Fe

'.+f

Como veml». las tensiones varl.n con la ahur. de l. sección de forma no lineal. El. d¡.grama de las tensiones está constituido por une hiptlrbol., una de las aslntotas dala cuel coincide con el eja de curvatura (Iig. l76). Según sea l. configuración da la sección l. ten.lón máxima ocurrirá en el punto superior o en el punto inferior de l. secclón. Para poder emplear l. eJ:pr6!li6n (4.36) es n8Cel:lario det.erminar previamente el valor de r•. Para ello, veamOll la integral (4.33),

IntroducimOll la nueva variable u,

u.=r.+1I (fig. i77). Entonces la expresión (4.33) se escribirá IIsí,

¡r~dF=O " . de donde

00

obtiene

r.=

F

(4.37)

~dP'

,

"

La integral que figura en el denominador constituye una cara!> terístiea geomátrica de la seeci60 como, por ejemplo, el momento

,. .-1-. -t-'-....-F1 8• 116.

,

fla. 177.

d" •

z

•

,-..L._.

\-

Q)

0

b)

Flg. 118.

estático o el momento de IpereJa. En el caso p8rtieular de una sección rect.a.ngular lflg. 178, a),

C.,.. JI'. Flu1411;

116

,

'1 de acuerdo too la fórmula (4.37). ' . - lo

p,+:j ~-

El dupl"alIlientn de la IIn.,. neutra

,

Inved.d es

I. Po +.h

=

e=p,

I'Il$peeto

al centro de (4.38)

'

De lIlanerl anAlog1l, en el c.uo d. un. MICCión tT'Mversa! circular (fil' 178, b). despub de eiertu inleilf:lelones obtendremos, e--r
(4..39)

La d~t.erml.ui(m da ~ COlDO la diferencio .ntra p. r,. ruult.ll. ....,I.ItAta i.. c.6moda • .ob,.. todo e..... odo .. lnta da ban" da Gurvll.ur. rtlativlUD\'ol.e paqueo ñl. I\tlIUlla qua la dilenllGi. lNlm 1" ma¡Ailuo" ,r&nd. p, 'J r, '" mu'J peq_ .... , pen:I d.b.r' ~IGul.... too 1"'0 uac:llllld. puesto qua de ... &4 depende el IWIII\.&do da 108 dllulOl d. la tensión (1 por la fórmula 1~.36}. Por lo lulo .. ~rlo (lbl.ener al v.lor d. '. too UII nOmeto ¡"lid. de dr...., .igniflc.aliv... P.r. estela GU»" ha al.bondo el m'todo de deecomJ)Olici6" n. M,I"" d. lu m.¡"ltudel que • ....,1.1.0. que tiene l. ventaja d. que lue¡o los primel'O!l k'rmi. nos d4 fll serios ¡e eJlmioan. Por ejemplo. en~' e'$/) de 111 _ció" recl.n¡uhlr ID lu.. 1160 0.-5\0 oeUrrll eomo IIIIUI.

d. donda In

le

obli.eOI,

~~'a -~ ['-+('¡')'-~(';')'-iMi)'-]· Po-'á

volvi.ado • l.a np.... i6u (4.38), 0_""110& que lu maloilu" Po.w llimiDul OIuh".eoll J el cLaapluamleo.lo ' " obl~. 110 l"Irdea- u..,tilwl. poi" la.riI oi¡uitll.,

'(')'! 1+\5'(')' 2Po +m «(')' 1ii; + .... I

e-J"Po lP; Cu.aDdo

~ <

i .....

ndeaM

IlIlr la Inclllltd IllfiCi"l:l".

f't_

la

aokJ

~l'fOiH

, (')' 2ii; .

~""TPo

Da ...1lItI aIliJOI' •

tl'U!lfor- l.a

u~60

(4.3lt¡

V P:-R'-PI ['4 (~r-T+(~)"-+f~(~r-..·], I~:[l+.¡.(~)'+}(~r+ ...

J.

'"

_

Todo lo upuesto puedot ... utftldido fkJtm.t. l.lmblj¡¡ al _ de _ 16a ubilrui•. ElUi"lmOl la 0.,"";610 (t..33) lNl .. lonu lIIpiar.tt

-+.. ,

r 'U _f ,_e+e 1r.. +. 1 r.+

u=r',+'~'_o, p.+~,

Aprllve.;h&odo 11 deecoml'H*lclllO en .d,

(l+ttI _1_*+(*)'_ ... y lilOluod_ • 101 do- P"_roa térml.... ele la . .l., obtendremos.

H'-~)"

(

,.- jH:)" . CoIltO NI •

mide d.d••1 .lit UIIlftl,

),,111'_0.

,.

[DIonea,

• ""W'

(HO)

,lIndo ' ... como en.1 CIlIO de l. nnl{,o de l. b.:re ...ell, .1 WllWlnl.O de inwcll el. l. MCtl6n respe<:IO

el

'1' ttnt'll.

EJ_plo t..n. Dotttmllll.r l. IotM160 In eJ uolo A d.1 , ...cho d• .euJÓo Lrlperold.I (fil. 7e) d. dlmlllSlOGeS; .,_' cm ••, - t (.¡¡'l. ,,¡oc3 cm, ..._10 cm 'T p l c....... lueru 1'_2.000 ..,,1. CollMJ:lumoa po!" dlt.erminu .. posiei6.. dd "litro d........ d. l. _160. el IDO_Oto. "'tico 60 Wt.l nosJ*lo • la bloM Illlyar lI!I

I

_ad

'~·+'I-~.I T &'" Si , ... de la _i6ll

.ri,

, _"i116 ~ 17.~ cm'.

n..

IJL

'78 Dividiendo el momelllo eat'tleo por ,1 bu de J. "",,¡Óll ... obtiene l. d. la beee del uepecio 1II teatro d.

1I"\'~ld

1t,+2b, h

~I- b,+l>,

r,.

dl~I.oDei.

2.

3"= , cm.

El radio P9=Yo+ u, =5,8 cID, El IDOlJleo.lo de ln'Kit d. l8 $!OcelOn resl'e<:10 • J. hu> leri, 200,1 cm',

y »..-..udo al ejo central ~. / .. _200,1 _2,8'·17,5 _62,9 em',

Determioando. pOI' l. fórmula apro.lmada (~.40) oblendremo:!l. • _0.620 em, La len5ióo originada por l. fluiOo ~ll el pUniD ... se determina por ¡. fórmula (4.36), que "Il este euo ,lIU escribe ul,

PPt h - '

2000,6,8

2,18

o=-¡¡-.-,-=17,5.0.il'2O· T=

777"

Il'

•

{cm.

A 6111.0 11D&!60 lO la debo! 'lInge, l. lellSI6n originad. por 1. \.n.ulón " ' ' ' ' <= : (1..

""

114 kgr¡em',

-8\11 kgl/cm',

Si "" Ohl;",,' • por la 16.mule m&.. eucta (4.36) hall""IJIOl1. F

Capilul0 V DESPLAZAMIENTOS EN BARRAS ORIGINADOS POR CARGAS ARBITRARIAS

§ 37. Enerllfa potencial de la barra

en el caeo general do lollcitaeldn Antllriormente 8& ootudlflfon los despluamientos en borr.. recUls en los casos de tracción, torsión y flexión. Veamos ahora el elSO general de solicitaci6n de la barra, cuando en las secciooos tr.nsversale& pueden surgir fuenes normaloo y corunte&, momentos torsores y lleoetores sil'nulUneameDta. Para ampliar el circulo de problemas a anallur, consideremos también qua la barra puooesernos6lorecta, sino también de pequoiía curvatura, o ootar constituida por tramos rectos que forman un sistema plano o ootér&o. La soluci6n de oote probtema ea necesario, no $OlamenLe para la determinaci6n de los velOr08 de los dooplaz.amientos y para juz.gar sobre la rigidez. de la estructura. Sobre la base de los desplazamientos obtenidos se crean los métodos generalllll de determinaci6n de los factores de fuerza interiores en 109 sistemas biperestiticos, de lo q',e hablaremos en el capitulo siguiente. La determinación de losdesplatlImientos resulta necesaria llImbién para invootigar el problema de las oseilaciona'l en sistemas elblicos (véll$e el capitulo XV). La manera mb fácil de detorminar los desplazamientos es por lbS relaciones anergétlcas basadas sobre la expresión general de la energle potencial de la barra solicitada. Antes de delenninar la energie potencial se realiza el anólisis de ImI factores da fuerz.a. intarioNl'l qua aparecen en le barra. Este en'lisis!lO lleva e cabo, como se sabe, por el método de la~ secciones y ter. mina con la construcción de 1011 dfagrfl.mas de los momen~os fleelores y torsores y, cuando resulta oecesarlo, con la e0ll5truccl6n de los dlagnmas de las fuerzas normales y cortantes. En todos los casos, los diagramas de loa factores de fuerza inleriores se construyen sobre 01 eje de la barra. La magnitud da la luerza interior se sit6a normalmente bl eje como se indica, por ejemplo, (111 Ja figura 180. En el caso de una barra estérea el eje se dibuja en perspectiva y los r1lagrllmas de los momentos flectores se I't!presentan on los planos de rIlUión correspondientes (Iig. 181). El diagrama de los momentos torsor8/! no ~e relaciona con un plano determinad(l y, a diferencia r101 diagrama de los momenlos lJectortlS, se raya eoo Uneaa helicoidales.

""

flg. lBO.

•

FII_ 181.

·81 PUf. detenninar l. enetri_ potencial, aep.r.moa d. la barra un lr• .UlO elemeatal de longitud d¡ (fig. 182). La bllTa puede.r

rect.

o leaar una eurvIlun inicial pequeñl. En cada una. de lu secciones ttao.JVerMlas, en el euo ¡eneral, de ~1Ie1Uid6D•• JMI~A seb f.actons d. fuetu interiores: ln:a moD'll!lltos y ll'e5 fue"u. Consideramos que _toa f.el.ol"M SOIl exteriores .....pecl.o al tramo elemental separado y d.termln.mos eltrabljo que ellOl!l realiun" dl!form.rse el elemento. &le trab,jo se transforma en eoergla poluclll .cumulada en el tramo elemental de la barr•. La sección i2quierda del ,demento (fir. 182) l. consideraremos cOllvenclonalmenla inmóvil, par. que el trabajo de todas la!J fuenu que se aplican a l. sección extrema izquierda, loa ¡gllll a cero. El pUlllo da apljeaelón de las fuerzas de l. secciÓn derooha recibe, al deformllfS& el elemento, ciertos despluamlentOll pequeños sobJ1l los que se re!llu el trabllljo en cuestión. Es muy Imporlnte el hllCho de que a cad! uno de loe seill rac\.()res de fueru interiores la corresponde su despluamiento, sobre el cual, nin¡uno de los cinco f,lc\.()res de luen.a interiores reslantes realiza ningún tnlbaJo. Así, por eJamplo. el momento M, Oriiina el giro de la secci6n respecto al eje t. En Il!Ite d8llplaz.amienlO alllul., I'8IIliu trabajo &Dlameote esta momenUl M,. El desplazamiento Iinal según el eje I/'urre eomo eoueeueneia de la fuena COttanta O¡; y solamente ela luen.a reallu trlIIbajo en este desplaiamiento. or lo taoto, la aoer¡ía pote.ocial del elemento se puede intefpreur como la sUllIa da loe lrabajol iNkpmdfQItu d. eada uno d. los Mis factores de fuena, es d~lr, eoma la suma da II! erter¡las correspondientes. la toni60, f1n.i6n, trllc<:i6o y di5wnión respectivamente, dU =dU (MI)+dU (M ...)+dU (tU,.) +dU (N) +dU(OJ+dU(O,.}.

+ (5.l)

La! Il.lpresiones de los cuatro primeros lumandos ya [al conocemos, dU (M t) "" ~í,'

M' d. . . dU(M... )=2ir: • N' d. N' d. dU(M,.)-TtT' , dU(N)-ZU'

Queda por determinar la energla de l. distorsión dU (0...1 y dU (0 1Para calcular la ma¡nitud de dU (O,.>, analicemos un prisma, omental de área de b. bua dF y de longitud dz (fi,. 183). La ener¡r. acumulada en _te volUlrIlln t!!II Up d:, siendo V •. la enuata pol.8neial un¡uria de la dbtorsi6n. De acuerno. (2.3) del § 20, oPtendre-

1

m..,

1112

C.p.

r.

Ln'pla""'Ie..", , .. b.".... PO' "'P' ,rlIffta,l..

MI pDes. U,dF d: _¡¡Ud'. InLee,..ndo IIObre el 're. P, h.llaremos,

r,

dU (Q,)-;;; 1::dP. SegiJn la fónnula de ZbunlY!lki (4.t2) dol , 30.

Q,s:-

1:,=t;b

•

l' N

h

O

• '11. I n

.S,

dU(Q, ) "",Q;II' 'N>I' dU(Q )=

,

S;' "' . ó --¡r-

«". w, L. rs1 u 1~1

b'

•

lnlrodudendo la notaci6n.

, rS;'dP

~¡/. ---¡;r-k" obtendremos,

dU(Q,l_k,

(5.2)

Q¿".,

y de manera adlOfI.

dU(Q.)_*. ~~.

*. ,

1m toelidell~ Ir, 11011 magnitud.. adimemioD.hll que dap"0den de l. coofirut'elóD ~trlCl dela aeccl6o. Por ejemplo, en el el80 de un. aeeelón reellllgular de dimtnsiooell b y 11 (fli. 184) el mome.nto l!lIu,tieo hea rey.d. S: !'Mp.do .1 eje z .li,

d.

.-v .

• I .(,. S'-2

.)

'"

Como dF_bdy, F_bA •

...

["-lI' d.pulEs da eierta.ll ulDlformaeiones, por 11 fórQJula (5.2). obten· dreO)ol,

En el uso da una seeelón circular maciu k_~. En 01 de una .e«ilSo circular d~ parede!l delSlda, k_2, ete. La (lxprelJión (S.t) adquirirá ahora el upeew siguIente

+"

dU_M:J.:+M:d~+~d.+N'd·+kQ:d. OJ¡dz Wl1 2U; 2ET¡ 2lff .. ""'iifF ..., F' Plrl obtener 11 tIlergla potencial do tod. l. harra falta !lOb. menUi Integrar l. exprui6n obtenida sobre l. longitud d. l. barTI, ea decir, U""

j "'ii:"

I

+

J2M: + ~, r'lir +f~:" + S·11;' + r·,~t . r

I

1

(S.3)

/

Si la e!llructuu .. eomplie.WI '1 eorult& d. Vlrloe e1.emlntos

lonu da hll'ru, entonces una

,

VM

el!

ruliuda l. ioteeuci6n sobre cid.

FII_ 1M.

IInll de las barrla se deben Rurulr las energi" d. todos lo.ll elementos que constituyen l. estructura. No .¡emprll todos Jos lumandos de la upr.16n {S.3) tlenon J. mpma importancia. En l. m.yorla de loa ilitemu que se encuentr.n en l. pr'ctiCl, donde los elementos que constituyen l. estructura, trahaj'D. Ihu:.ión o torsión, los tr8s últimos sum.Ddos d. (5.3) resul· Lan ser mucho menores que los tres primeros. Es decir, l. eaergll eorrespondieot.e I l. tned6n y di.storsI6n, como n.orm. reD.ral, re.ulLa muy ¡nfmor • la ener¡l. de la flu:iÓtl y ~61l._ Al mismo tiempo pueden Ol:urrlr casos cUlndo todos los ~um.ndos 800 del mismo ordeo. AsI, por ejemplo, en el tUO de une b.rra tnecionada 81dntriClmente (fil. 185), CWlndO el bruo G es pequeño, l. ener-¡I. de l. f1ui611 y l. de l. traed6n son m'(IIhudes del mismo ordea.

• 38. Teorema de Cntigliano Como base para la determinación de lO!!! d,"phuamientM da un. barra puede servir eJ teorema de CastigllaDo cuyo enunciado es: La ikrillGtÍa pan;ial de l
11

,Ua.

Este enunciado requiere UDII aclaración. EOlenderernos por desploumiento en una diraeci6n dada la proyección del desplau.mlento p

"

/--r,

completo sobre dicha dirección, es d\lCir, que el desplazamientG del punto de aplica·

ción de la foena en dirGUi6n a é!ta so debe interpretar como la proyección del despla· Ulmiento completo del punto 50bre la dire<:P, ción de esta fuertll. Veamos un sólido elásUco solicitado por un sistema arhitrario de fuenas y fijado de tal mllOIlr& qua quoden eliminados los desFil. 1M. plaumientos del sólido como un (luerpo rígido (Cig. t86). Sea U la energla poten(lial de la deformación acumulada en el volumen del sólido como reslllLado del ttllbajo realiudo de las fucnas oxterIores. Demos a una de esLaa fuenu, por ejemplo a p~, un incremento dP~. Entonces la energia potencial U recibirá el in(lremenLo correspondiente

:~~ dP~ )'

lJ6nl. igual a

'"

U + /JP~ dP~.

(5.4)

Variemos abora el orden de aplicación de laa fuerzas. aplicando primero la fuerla dP~. En el punlo de aplicación de esta fuerza ocurrir' el dllllplazamiento pequeilo cornspondiellte, cuya proyección sobre la dirección de la fuerza dP~ será dfl•. Entonces, el trabajo de la fuerza dP~ reaulLará igual a~. ApliquewOll ahora todo elllist\lmll de fuerzas exteriores. Si no existiellll la fuerza dP~, la energía potencial del sistema sería de nuevo U. Pero ahora est.a· energia variar' en uña II'UIgnitud igual al trabajo complementario dP~6" que realiu le. fuerza dP~ en el d~plaz.amiento 6~ originado por todo el sistema de fuerzall uteriotell. La magnitud 6~ es de nuevo la proyección del desplnamJenl.o completo lIObre la dirección de la fuerza p •. El coofi'cienta .112 aoLa el produclo dP~6~ en oste caso no figura puesto, que ta fuerza dPió permanece(lonstanle d.uranle el dilsplazamienlo {j~. ComorBlSult.a.do, en el caso de qUIl las fuerzas Sil apliqullo elt ordell invOl'llo, la IllprB!!i6ll de la energía potencial será, U

,

+ dP.6. +-rdP. d6~.

(5.5)

1M

Igualando esta exprealón a (5.4) y prescindiendo del producto dP~J.tI~ qUII es una magnitud pequeña de orden auparlof, obtendremos. (5.6)

Así PU9l'I, derl".ndo la allergl. potencial re9pecto « una da las fuer-. 1as exteriores (permaneciendo las otras constantes) se obtiene el d8llplazamillnlo del punto de aplicación de estA fuer18 en la: dirección da ella. Si aJ1alizamOl otra vez daulladamente la demostración lnterior, veremos fácilmente que en la expl'(lIIión (5.6) la fueru p. le puede inlarprelar como una fuerza gell91llliuda. es decir, eom(l un faclor da fUerza. Entonces 6n Sil deberá interpretar como UD dllSplazamienlo geoerditado, es decir, como cierto parlimelro geométrico en el eual reaJitll trabajo la fuena generalizada !:~. Por ejemplo, ai SlI entienda por p. el momento exterior 'lit (Hg. 1l:it1), entonees 6" serlÍ el desplazamiento angular en el punto dll apllcaci6n del momento y en direcei6n a éste. Si el s6lido 5Il·soHeite por 1., fuerzas de la presión hidroaUlie., entonee! el derivar le eoer¡fa polllneial rll:9pecto a la presión, obtendremos la variaeión del volumen del cuerpo. Al demostnr el teorema de Castigliano. no se impuso ninguna limiteeióll, ni sobre t. forma del cuerpo, ni sobre el sistema de fuenes exteriorcs. Illcltao ni ae plante6 la condición de que el material siga la ley da Hooke. Pero de une lUalleta indirecta estas limitaciones uisten. Si entre las (UCM:U y los desplar.amientos e:tiste relación no lineal, entonces el trabajo reall'l8do por el sistema de fuenu exteriores será distinto según 9611. el orden de aplicaci6n de las fuerzas. es decir, según M aplique el sistema de fuerzas antes o después de la fuena dP•. En ottaS palabras, el sumando U de las eIpresionll.'l (5.4) y (S.S) no serlÍ el mismo. En este caso el teorema de CAstigliall.o no seria aplicable. En la mayorla de los problemall con los que nos encontramos en la práctica, la relación entre las 'uerns y los desplazamientos es lineal y es aplicable completamente el teorema de Cestigliano, al resolver estos problemas. Se deben excluir los sistemas en los cuales 00 sa puede aplicar el principio de invariabilidad de las dlmensiooes Orlll'[nalll:5 y el principio de superposición de las fuerzas. Ejemplo" de est09sislemas ya fueron expuestos anteriormenle (véase el § 6). Al determinar 109 desplau.mienlOll el! estOllsistemu es inadmisible aplicar el teorema de Castill'lillno en la forma que Sil hito aquí. En.1 CQO d.. delltndepcll 110 JlI1é<110alrfl 1.. luen.as y ill5 duplauPllonlll5. "" emplea otrl rfllacl611 enel'gétlcI. más ganetel. que ""ohtiene lIOlire l. hllll del principio de lw. duplulPlient~ pw.ihlllS.lte<:lbll un enunclldo más pautal. au

eate Cu<>, el teonmo do CO!tilllollo qllo 51 lnterpn\.a oqlll COIllO el 1.i!onmo del mlnimo del 0'11 denominodo, lroho¡G ouplemeotarlG.

Veamos los ejempl05 m" simples do determinación de]OII desplazamlantos por 01 teorema de Cutigllano. Ejemplo 5.1. Det.ormiolt, por el teorema de Caatigllaoo, eJ 'ogulo d. ¡iro deJ IIttelllO dtrethG de l. borro (fig. 181) oolicitldl por el momeoto !D1.

~rlP I.----!-~ FI,. 187.

Fil, 188.

La ellOrafl p<>leneloJ intorlOl" de lo horrl eo JI tor!liOD se obtleDe de II eIp","

liOn (5.3)

• Nl dl ~. [ -'o

U_ Como Mt=!IJl y 18 tltldon

Oolrivoodo

~POO;:IO

!le

CCIlIIid1l'1 COlUtlDt.o,

!Dl" V ...W7;' a !IJl, obtendnmoa ~U !D11 'P=-amr <=> GT,'

. .ullf,do q... coiDelde

COII

la upf'll1liOn cOIlor;ldo pi" 01 '0lr"lo de lorsi6n.

U 6

~

o

.

b

EJalIplo ¡¡.2. Deterlllinor l. flecho del volldho (fig. 188) ao.lleitodo por lo rue..a P ftl el elllnllDG. _ La ene'll"ll polell<:ial de l. lo flexión se obtiene di lo ellPl'll$16Il, _

r•

M}dl

~

2El

'

6

del &l'lI'l!mo do Jo vigo, M 6 "",-P•. U-

Pll" 6E1

.

• vigo leri,

El de:lplalllDlooto deJ utre~o de la IV

p¡J

6-¡p=m'

El valor do la necha obtlolda lO calc\l16 yo Inl
'"

08 na emplear.l teorema d. Ca:!tigllaoo, elIk "roblema mi. tllIlen de fllIOlver. $tria necesario dBl.ermlnar 105 e1ll'll'Imilnl0ll de todas 11$ blJTall Y c1e!1pufs.

m6cllloUl G1erlu

Ir'Mform.elo~

geométrlc.u, determlnlr las posleiollBa t1e

lO! lIucl08 de 11 •• md"ra d.rormada. l!:it
,

,

Seeciolluclo 105 lludO!J obt.enemOll 101 eslueI'ZOll eo cad. ha..... y ublr.amO'J JOlI

nlo... de N

ID

1, 'ebl.

4. fdJa 4

",

, ,

,

,

p

y;

-p p

",

"

y;

,

",

-P'I

•

,

Vl

2P'/

íu

-p

-P

,

1"1

'"

"

y;

",

"

1'"

I I

y;

,

'f1!F

2P'J

TU

c.ltulamOll de1pUN lI\ valor de l. enaryil pol'lICia! pan cad. b&rn.

U

Nll¡

1="2EY

, l1en.lDOlI l. "ltime eolumlWl de Ja tabl•. SUmlodo obtendnllIU15,

U-

P"

m

(7+4 f"2).

El despluamleoto del Plllllo A IN" omloneet ~U

PI

6A -¡¡;=g¡(7+4 J"'2).

VI

---",¡;4P'J

8 39. Inlegral de Mobr Úl determinación de lO!! de.<ÍplulImianto!! por el taorema de CastigliaDO, como se pudo observar de los ejemplos anteriores, tieno el inconveniente de que permito calcular solamente 1M dll.'lpluomientO!l de lO!! punt03 deaplJcación dolu fuorzaa oxlerior8ll y, solamente, en la dirección de estas tuenu. En la práctica, surge también la necesidad de determinar los desplaUlmieotO!! de puntos ¡;ualellquiera y on dirección cualquiera. El método para vencer llllta dificultad resulta bastante simple. Si se requiere de~etminer el desplazemiento de un punto donue no está p. aplicada ninguna fuerza exterior, apli· , carnea una fuerza exterior eo este punto 1Il y en la dirección que n09 in. teresa. Planlearnos despuils la expre· aión de la energla potencial del sistema, c003idllralldo también la fuerza 11l. calculamos la derivada de 111 energia respecto a ID y ballam06 as! el despla· zamiento del punto en cuestión en la , dirección de la fuena aplicada lIl. Fal~a aobmen~e tener en cuenta que la Fil, 190. fuerza (}) en realidad no existe y COl13iderarla igual ti cero. As! ae determina el desplata miento. Hallemos el desplazamiento del punto A ao dirección al eje X, en el caso de la barra solicitada por un sistema ubitrerio de fuerzas exteriores (Iig. 100). AplJquemos al punto A en dirección de :r,la tuena lIl. Los factores de fuerta int&riorell en cada sección transversal de le barre, an el caao general, variarAn en dert&a megniludes qua dependen de la fuena lIl. Asi, por ejemplo, el momento torsor en cierta sección tre03versal SIlrá

,.,, l.

donde el, primer aU'!'lando representa 61 momento originado por el sistema de' fuerzaa exteriores dado'Y el segundo. el momento adicional originado por le fuena 11l. Es~á claro que y MI'" son funciones de t, es decir, varian alo largo dllla barra. De menera análoga apal'1lterAn sUDlandoa ~diclonales en el caso de 108 otr09 lectores de fuerta interiores,

M,,,

M~=M~p+M.~,

M7+MJ'P+MI~' ele.

Esta abaolutamente claro, que los factores de [uena adicionales M,4-. M x y,otr08 son proporcionales a la fuena lIJ. Si, por ejemplo, duplicamos la fuerza (JI enlonces se duplicarán respectivamenta 108 facto-

I

n.

..

,

1ft/tr"'¡ iU MM,.

(S.7)

siendo MI" M ... etc., ciertOll coeficientes de proporcionalidad qua dependen de 111 posición d.la sección en cuestión, es decir, que varian .. lo largo de la barr•. Si reUramOll el siJItell'le de fuenas exteriores y 8u~tjlu¡mOll la fuena cD por atril unitaria, Inton~

M,-M",

M.=M••. et.e.

Es decir que Mil' M. l , M~., N•• Q•• y Q~, rept8!llutan 1011 factores de fuef'&l interiores qUI apatee:eJl en la sllCCi6n transversal cuando aetú. la fueru unitaria aplicada en el punto que ae considera y eo la direeci6n dda. Vol't"amOL'l abora a la npnlSi6n de la enerlfla (5,3) yanstituyamos, en lila, los facto1"ll!l d. hiena interiores por tUS nUlVQll valores (S.7). Entonces obtendremos. t1l )" ". +í(N."1;, M..¡lI>J'''' + U~S (M,,,+N,, M/ _El.

,

t

+f(N~p+M,,41J'''' +f{NI'+N,lIl)'d'

+

,

ur

,

'lEI,

J W,

+

t. (Q.p+ Q.l l1l l" d • + Jt~ (Q,I'+Q"lil)' d.

2"

Derivando esta expresión respecto a cD y suponiendo después que cD_O, determinaremos asi el despla:tllmi..nto del punto A.

'" I

~A -1lIl!,¡,,,,o =-

fN,,.Mlld>

,

Gl t

+,f ~+ N ¡Ji, d>

J

+ f,

M.I'M..,d' El..

t.Q.,Q.1 d> CF

+ JN'I'N"d. El, +

f*,0,14"

+,

el'

d>

.

(:J.8)

lAs inte¡rales obtenidaa se denominan inú,rauI de MoAr. O~ qlO8 1.. In~lft de Mohr. p..edl.ll ebl.ener tllllbiflt, sin ... _m. 11 teon. . de euti¡lllDo, de .alOllll'lMllltol r-flricos e¡elllletaN$. porajemplo, 1111& bar... pI .... (111. IIU) '1 ~temtlMllIo. al. "upl...llI'.D' 10 del pIIDID A ID dl","ióll • :rl' Parl simpliflcar.1 probl..... coDli.~q!M nt& detplu.ll1l'llto est.á lIririudo uclusi....mente poi" 11 nni6D.

v,._.

100

Cap. V.

bor,o. po, co"", arl>l',o'la.

~..

O~.pln
En el lr,mo ,Iemenlal de la bur•• de lllngltud d., ocur.I., una v.,i.eloSn de la ~urvatura di la bu., y anlllneca I1 oeccloSn dlreeht gir.rá reopecto. la l~quio.. d. un íllgulo.

,,-(.!..._.!...),.,

, " ,

, p'

,Iendo l. corval"" oue... da le barl'l )' j5;' l. vle/•. Carne eon_uenei. de ~ .~rlcl6n del 'ngulo d. gIro local, la parle de"eb. d. l. barTl Rifara, cllmo \ID lodo rljido, y cnlonee. el puntll A !lO dMpluar' on dirteei61l • :r, en II mlro/tud

d6,1_,(II"=,(;\'

sen

a=OIl.,.,... ade.

Piro comll 0,( IIlIn ,,""08, re!lultera
o ~--

Flg. IS1.

punto 11 'J on dlreccl6n d. :f,. All pU"". d<'!A_M, dlló

d6,1"'( U dOlIda .. ObUe1l1

¡-k)

M,da.

bA=J(t-~)M,d"

ct_

De minora 'llalQgI -'8 pu&deu pllntear IlL'I .xpTelIillnlll de los desptau. mleulOll pano 1011 de toNlón, trace16n 'J diJ
6,1=fll.oMn dO+

t

f (..!.._..!..)

,JI/Po ...o

M ..,dl+f(..!.._.!)

rPP.~'

, y..,Q", dl+ ,ryypQy,

+ ~ I,.N, d.+ ~

,

Le U"presl60 bnentleD.do le

¡~9) 8!

dependen~[a

dI.

M~ldl+ (5.9)

m's geae.... l '108 (5.8) puesto que MI elle Oll lNI .wlloll*.l ent"'l a. (..!..._..!..) , a. ot; .. por ooa parte. , p,

y IGlI faetlll'ell de f"ena. lnterllll'8!, J)(lr Iltnl. Ella ti aplicable. po. ejemplll. también en el Ct.llG de la llui6n Il tll.."i60 DIl .16sl\e05 de la barro. SI el mlte.ial ,lgue 1, ley de HooI
'"

'!ellIPIO 6.4. OetetlD¡~ar el despl8!8T1llento ,horizonbl del' punlD.4 de l. barrl' el, ligur. 192. tui 1, rlIJldn El de IodO! los tramos es cOll$1ante. En ISta bina, el papel p"nClfRl lo juegan. los del¡JIZlll'lieoÚ1ll orlgilllldD$ por l. f1exi6n. Loe que se de!len • • trecd(in y dl.toui n,toOD tn ptqueño'(en

compUld6n c.an loe primuo... como. lo u l. ellllrgíe de l. trae<:ióo y dlsl0l'!16n

en oomparaclón con l. enarela de l. fiui6n. Por lo tanto, de lu "la integrales p

de Mohr {5.8} mantenemos solamente u oe, l. d. l. lIui611.

• 8

e

A (le flexl6n eD al otro piaDo J 10_

D

tonlÓll 00 U!l!tell).

R

El moweoto flecto' origioado flle"l P en el (/'limo AS

a,

por l.

~~ b) Flg. 1M. $/l"

Igual. cero. En el tnIDo Be.

y en el ,nmo CD

Mp=P,

MI'_PR(1

+-.n..,).

El 1lI0lDeDto originado por l. fuena unltarla "" el I,amo AC

mientras qUlO en el t.I'IImo CD IIllri

6!1

IlIdo.

M, .. -t·H 11-eos'f). Elsf8'"o Ql!glitlvo indic. que el momento f1e<:t.ot ullitario estA orientado "11 direccióo Opul!IIIta • M • El froducto l ell el t •• toO e e:I ill""1 • <:ero. Por lo taolo, l. Jllte¡.. clóo. len I ct.bO lIDl .... eote ~obre el Il1Imo ev. SustltuYOllldo
M';M

A

obteod~m~,

de dOllde bllbmos, •

_

11_ f

Pll'

UA---,- erE} .al,goo oeg~tJvo iodica <¡u.e el dup)ltami~nlo bo.izolltal del puoto A esU dlTlfldo ell dlrecciÓII conlr'rI' a I1 fue... UOlt.rl., Il$ decir, bIci. 11 ioqul
Ejemplo ~.li. Delermiolr Jo .pertura de lo holgura del .oillo seeclollldo (fig. 193) !njo I1 leción dllu fue~ P. Lo rllid •• del '1I1llo a El. eo el punID 8 (flg. 193) el momento Ueoetor I lu {uenaa dadu P ea Mp

_

PR (l-COlI "'J,

·1.....0 ,. el aogulo Cólll\.ll, Suponiendo qu&.l utnmo I~u¡"do del luillo ftt' empolndo, epUel.D1OlI.l deTecho u.... fl1llI'U \lIIlt.tl. ~r' deUl'mID.l.' el de3ple· ..miento d. UD utWIDO _podo al otro (fil[. t9-l, ej. Le rNcclón de _POYO ser' Igual. l. unid,d y. por 1.. t8nU,!, oerán equiYllenwloa d~ dlbuj0ll194, 1) y 194.1>O. Mto. IOt.r9 olru cosas. "" deduce qlUl. In gene.... tUlnoo!6 req"l..... determi. nr el de!pl...mleoto "Iull'O d. dos puotOll, l\8 debe .pUear. en (Il\~ puokls, doa

f

.)

AA

.)

1

Flg. 194.

z

P flQ. 195.

IUIl'!a! upiuria! Iguales, pero de ""otido oPUl"!to. que actúen en la red. que u.... a~

rotO!.

E mll""oto de le 1ueM:1 .. olte'" elI. M,=R(l_eos'l')' El deilplallmlolllo ,muluo d. lu secelooeo JI .era

PRo r ó,,_ tf MpM1d. El =Er r (l_o05'l')'d", ~

•

'"'

6 A - 3n "'lT'

Ejemplo 5.6. Dele'mlll.r el dll5pluamienlo mutuo de 115 ilMeloDH AA eo el mismo a.uJ.lJ.o (VNae el ejemplo Interior), pero .tOlleitldo por ruer.u que a.ctÍlan perpendlculannenll al plano del .nillo (lig. t~). veamos tI .ñlllo en SU llano (1Ig. t96~. En la ...ccl6n 1J !lUrge nO IÓlo UD lDClUllnt
f n.

JAU,,.,.,

~.

"3

Molt,

al mo_lll.o de l. JUIlCU P rupet;l.o al 1111(,. 11 -aulldo. al _ _to d.l. IIlbJIUI

'UffU mpKl.o a1.je • (fl,. 'Sl!I). Esú ( aro que N,_pn . . . . M'1_PRll_",",), Apllt:llll:lOl 111 10l pwllOll AA tlltnIU Wlitll,lu .. lugar d. P. EOIOllcu

oblend~mQll.

M,._Rlll'llll'.

Mn-R(I-e"'lI'l.

Volvlelldo. l. npl"8l!611 (5.8) y cOllliderndo IN dOl primeris iOllgnoJes, b.JJ.rUI03.

,.

~

PRO SfI-COIl.J·"+-yr P"S _',,4•• . ,

1I.. -7:T,

6

" .. _"PRO

(G~I+~)'

Cllt!tl6n de"",,, "1,,1 11. J••irilln dll IDilio. l. t_ ,i60 y d. 11 rlgidn • l. n.. ¡60. El d.plu.mlallo "

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,

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O

De los eJemplos InlUlldos Be dadlllCll que al determinar loa d.. plaumieotOll de II buril, cuya oonIl¡uraelÓD coincide con el areo de una circunferencia. resulla neeeJario ealeular 1.. iolegnle! de di"erNa combilleeion«l d.1u funclollelllrigonomét.ricu mé simple!. Como "'tu eomblnaclolllllJ _ huu.nle tipic... too .. ien. tabular (tabla S) Iu Int.egrale! mú frecuentes en los problema! de esta tipo.

t

40. lIélQdll di VertseU¡nln

El defecto principal de la determinaci61l de los deepluamient04 por la fórmul. dI Mohr c01l815tl en la neeeaidad de planLeu las uprelionee enaJlticu de lu funcionee Integrando. Esta Incomodidad M egrava cuando StI determinan los desplatlmlentos en barras de much04 tumos. Sin embugo, cuando la barra consta dI lrllmos reclos dI rigidu COll!ltanta en e.de uno de aliOlI, la opef8Clón de Int.egTac:lón M puedl.lmplific:ar. Esta .implificaci611 le ba.u en el hecho de que loe V_fices de los factores de luern uniLarios en loa tramos rec:tOll de la bam. resultlln ser IInNlee. SupongamOll qUI In tnmo de longitud 1 !le n_lu. calcnl., II Intllf¡l1ll del producto d. dos fuuciOlles J,¡z)·J.{z),

,

1=0 SJ,{z)·f.lZldz.

•

(5.10)

la condk:i611 d. que. por lo mena.. Ull' lk 1.. funcloll«S _ lio..). Supon¡amoe que

cop

J.{z}=b+,b;.

ElltoGuI la expl'll160 (S.10) eeri,

,

,

.

J_b ~J,(zJdz+k~IJ.{I)d:.

,

L, primera de eet.. dos Integrall!ll constltuye el irea limitada por 11 cur.., Jtlz) (flg. f97), es decir, el"~ del diagrama de 1,(1),

,

~/,(¡)dz-gt

•

La seguoda Integral C(loatiluye el momento esUtico de esta h_ n-pecto el eje V,. es decir.

,

~ :J. (z) d¡_ O,I•. r ••

•

modo .If .... II CClo1deDld. del ceDtro d. cravodld del. primer di.. ¡rama. MI pU.M, obtenemos J = a, (b b •. ,J.

+

'"

P,ro

b+ .n" l' = ,: (:,.,J.

por lo unto.

¡_D'/'(':".I')· AsI pues. en el nuhodo de VelllSChaguln, l. Integración 1111 wsUtuy. por el produclo del del primer dilrrama por l. onl:tDada del se¡uodo (lineal) bajo el centro de gravedad del primer diagraml. Cuando lu dOll funeiones /,(1) y 1.(1) son iJnealell; el producto d. loe di.grllmas reslllta ser OODllluhtivo. En este ello, Multado no

're.

e'

Y,-t;rtJ Sl,

'relI

alter.,ai se multiplica el del primer di.gr.ma por l. ordenad. del aegundo o el áree delll¡uodo pOC' Ja oroen.dl del primero. 8n cada un. de lu integrale!l del Mobr (5.8) figura el producl.o d. In fUDCiones M6/"M 6 , . Mil Mil' etc. El mitodl) de VlrellChaguln .. puede aplicar a ud, una de l.alI .!Ieis Integrales y l. multiplicacIón de lO!! gráficO!! se ro.liu de 11 millma forma, indep.llndieotllmente de que estos diagrllmU le hayaD cODstruido pu" los OIoment(lll 'lectores, pllra los momento!! torsares o parll las fueflas Dormsles o trlosverNles. Ls diferencia corusiste solsmeMe en que 01 .producto. de los dlallramlls uo se divide por ls rigidez El como en el coso de la rle.16n, sino por GIl en el (1&80 de la torsi6n, por EF en el de trllccl6n y por GF, en el de a dlatorsl6n. A primera vista puede parecer que el método de Veraschsguln 00 proporciona grand. simplilic.aciones, pueslo que plTS aplicarlo es necesario determinar el área de los diagramas de los momento!! y Is poslci6n del centro da,tavedad, lo que, en el caso de diagramas como piejos, 81:1,., de todu formas, integreci60 como en el método de Mohr. Pero, Ilin embarao, 101 diagramas de los moment(lf; fleetor. que SIl dan en la prictlca, como regla g8lleral, SIl pueden descomponer en filUlas elemental. tomo el rect6ngulo, el triángulo y el triángulo parab6lico (fig. 198), pa.... 101 eu.les, tanto el iNll a. como la JIO.'Iiei611 dal centro de gravedad son bian conocidos. En los casos da torsión,

tr!leeión y dilltonión los di!lgr!lffi!ls resulUon mios slmpl!lll !lÚo. pUN son gonerslments liDetlles y est'n constituidos por rectingulos y tri'ngulos en diversas combinacione9.

Flg. 188. E}empl0 5.7. Por el m'todo de Veracbell"ln, ealcúl_ el deeplelllmlento del punto A pere el cuo de le villa de le ligur. tSS, d. ConstnIlmoe el dle.¡rama de loa momenl.O:!l fieeloree COI'Teapondlenles a lu Juenu dadas P (fll. 1119, b). Ret!r.mOll deapués lllll ruenu elteriore~. apJleamOSen el punto A una luer.... ullitarla y eon5trulmoa el diegnm. eorreepoodleote p

p

FIl. 1&ll.

(lij' t911,. y~. Hall'Dlos ahora el produclo de IIk'I dlagraOlAs. En el tramo el 1'9' del dll,g/'llOl' de·loo. DlomeDWII do las fuenu d.das", .

Be.

'"

O"'"T' La orden.d. del dl'lIraDla unitarlo l hiljo el lentro de l/'lIvodad del diagrama -de 1011 Olomollloa. de IIllI lulltU d8
,

MI...·=T·

'"

N\lhiplic.odo IlIIU lD.pillld.. NU.....- .

PO

0M'~I·=T· ~ntal._llte ~ 'IlI6, .ai~.1llltti

El Ir'lIIo SD "" .. PMd. colWduU" 111 "-. al di. ",m. d. 10lI d. l. 1 _ tcIft$\ltllldo por 'IA Ii_ qu. br.d •• TO_DOIl.ohnlWlIl.O." detir,.1 AB. "Cllll, _1.Qt

~to

". Q=T'

,

'"',,,,,""8'1, >PO

OM""'-"16 , Sum,"do 1001 re.~uh.dOll doll .... muhlplicaelollM OM u .,., ohl'nd,..mOll, ~Pl'

{QM, ...JAC=-¡¡¡- .

ED IGIl 1nmOl sit".dOlI 1& dN'1lCll. del punto A. den coodlelón d. '¡¡nelrl., .. ohtl.lM el ",lsmo ...-ult.do. Duplka_ puu l. Up_'611 pUde Y. \IDa wp dividid' por El, Clbtend",_ .. dapl......lOllto qlM .. b\lllU, »PO 6A - ml · t:j.ecnplo ~.I. En ti a1otlem. o. l. 200•• d~nDl...r l. ",p",i6s de 101 plIl1lW A ori(ÍnH' por l. fueru P.

li,,,...

,

A

, P

H-H P

"

P

b,

Fi,. 200.

"

Coasl.cuilllO!l 101 dl.'tl.mu d. 101 lDoml:tlllOll dllu ru.rtU ot¡.onl., hall.,."",1lIl, r por Jo taala,

a_pp, AI,e.r.-I, PO

"A-U' EJUllpla 5.9. Dett,.¡..r el despla1.lluuio del puaio'" del 90ladlla .1011· e;tallo por CIOraa lIall~_lIto1 dlsulbulda ~ IntolbllOdld , (litl. %0\, a). Const ; 1... dl..rn_ " lot ... _aloe d. las f~ dadas 7 da la Ñe:!lI lIojtari.l aplicada a.I pllo.lO '" {ligo %Ot,' 7 ej. La m"llIp!,Kiei611 ~ loa

--=10

t

.~!t 00' 2 .... h~,=c":f .. Hill5:II·~h ~ !~ ... : t~·... fi'

'j.5"ll::l

l!-ia ;ii~i¡ t-ril='_l.:. .• ~;'¡l'" r:-'i~ "¡ ,¡::= -'¡O'" -;.. ':-"1·'

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, A

1

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'11. ZOl.

!lllooeet obtendremos,

2 PI'

T"ET . L... dl~,..m..... los mOmtlllOt tona"U "" lPultlplh:l.n ...Iu.....'" ea ti tn_ CD. Como loo _COI t l _ .1 ml.1DO .lgltO, balllnlDDIl,

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el ~Iua.llllt1lto ., uetlw

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ó.t-PP(m+cr.)· Ello ti uso de IIN krl'lI de .u16a clml....

•

Gl._ f7l"+'¡j 11 """ 0,77 fU '1 por 10 tanto,

I 41. Delet1Jllnacl6n da los duplUlml,ntol , lu ttlUliones tn muel1n espIral'. Los mlHlU• .,plrahis .ao UDot de 101 .1.m.ntOl ,Jbtleos mil dlfuodidos $Il la COIL!lrucci60 de m'qu.ioq. S. empINo en In mb d¡".nIU estructura como Icumlll.dOl"lllS d. enql. .Iiatiee en los dlapl»ithos d. 'lIloc'i¡\WlciÓG. d•• ntlU '1 ntrocao Y ID OUOl 11111-

chas dispoelthos.

El dkulo y dbeño de mue.llell espiral• .,. t1Sludla en los CU!WIS de pluu de máqulnu e IDlilrumentQ3. Sin embugo, debido I In tradiciones esublec.ldll, Ju fórmulu prlncip.les panl el dleulo se deducen Il'llneralmeflte en el curso de 'fII!dtencia de lDderiales, pU.lO que el dle"lo de los mueU. i1ustr. e1.rementel.. mlltodOllll d. d.le,... mlo.ció» d. 1011 despllumieol.oll, El muelle tlIplral se puede interpretar como una bena alabeada en el I'$peclo, cuya lin", a:dlll. en er euo más simple, es UOI 110M

CilimlfU

,,~~ic.nftt{ P-F""-,:LfIlft1 IU 1k.""'¡(Q

d

,

• 1'1,.

fOl.

helleoldal. La forma geométrica de la linea ulal se determina por el dl'm.tro d. l. espira D, por al número de espiras" y por el 'nrulo de elevación IX (véese el desarrollo de l. figura 2(3). La eleva.cl6n de l. espira se puede c"aeUlrlur también por el pIUlO' del l'Olorte, .... nDtg«.

En todos los muelles que 10 elleuentrln en la práctica, el paso. 011 muy Inlerior a :tD y el ángulo de elevación IX se puede cOl1lllderar como una magnitud pequefia. Generalmente «
(fil. 204, e). En los dos primero!l cu~, loe muelles se CIlra1n por fuerzu, cuy.. resultant. OIIláD orieDlf:du te8'ÚII el eje del mueUe. El muelle de toral6a le soHciu por dos momeDtos s.lluadO!l ell 101 pl8110J perpellcHcubres al eje del muelle.

lA parti~ularidad COfl!lLrucUva de los muellee cita!ios cor.!l.ste en la tennl0ll.ci6n de 101 edremos. Lu espiras extrlKllu de los muelles de 1raeci60 y torsi6n se doblan de tal m.oan. qu. sea factible, ea cad. ClSO, la fija~i6D del muelle COD las plet.ls adyacent8'. Ea al euo de muelles de compresi6n, las espiru extremas '51 comprim611 y SI fll!imerillllo en los extremo!! pan coDJIlgufr ni los plsnos de .poyo.

Al determinar los despiuamientos y lu tensiones eellU particularidad. de los muelles no se Llenen en cOllSldersclón y se pr8!ciode ¡eneraimente de las Blpiru extremas. HallemOl Is deptllldencia entre le ysrllci6n da la alturI dal muelle de tracción - comprBli6n y la fuerta nls1 P. En tod. !8eCi6n tnns"el'lllll arbiuarl. da l. espira del mu.lle de tracd6t1 aparece la fuerll hllerior resultant. P (fir. 205, al y un momento M -=P La fuens completa eo la &eUi6n es p.ralela al eje del muelle y el pl.oo del DJOlOenlo M colneide COD el pllDO del par delu fuenn P. lA seoei60 lrlDlvll/'Slll ItOf'rual de l. espira está ¡inda l'ellpee,to • este plano un Angulo el. Descomponiendo .1 momento y l. flMrUl sobre los ejes relaclOllados con l. Secc:iÓfl (fig. 205. b), hallaremO!.

T'

M¡_P-;¡eo&Ct; D

Q_POO6Ct;

M.... -P TD ..IlCt;

J

(~.tt)

N_PaeDCt.

P.ra ball.r el despl'U1mJento nl.1 A., .pllc.Ulos, los extremos del muelle fueru!l unitarias y calcula mOl lO!! f.ctores de fueua interiores que.o este caso surgen. Estos la~tores" determinan, elAro

·u,

por la upr.i60 (S.U) eonsiduaodo que P_i, D

D

M llo.. - T I9IICt; Q,-coe~; N,=aeo
=Tc.oe~;

P

•

Fil. tOII.

pequeilo serA p4lql1elio tlImbién el dcspluamlento axial relacionado con l. (Jed6n de In fl!Ipiru. Por lo lanlo,

, SMIMlldI GIl

"'.:o ,

'

alendo GIl Ja rlgldel de l. espira a la lol'llitip, suponiendo que coeCl.fI::lt,obtendremoe, PD' A=4G/ 1, t

ideado 1, la l00gitud total da la parte de lrabajo de las l"plras qua es.

(5. t2)

Al determinar la magnitud de n, en el caso del muelle de tracción, 111. pute doblada de las ll.'Iplras en 108 extremOll no se tiena en con!ldeRciÓn. En el caso de 10ll muellll3 de comprllllión, del, número total de espiras se resta 3/4 de. espira en ~dl extremo, puesto que estas espiras están en contacto con las aplras IldYlcentes y Iio pu.edan de· formarse libremente. Así pua, se supone ,que espira y media no trabajan. Si el muelle se forma de un alambre redondo,

""

11=1.=J'i

Y entonCllll, la rórmula (5.12) se escribirá a!l, ),

8PD"".

(5. f3)

~"" .

"".:b

• lm •

.in._ x

a,

"

• H~.

"'.

Como las espiras del muelle de tracción-compresión trabajan principalmente a tot!lión, Tm..

=

MI

PD

W¡=IW;'

Cuando la lleCClóo transversal u circular, ~

T ....

8PD

=W, -lid"

Pasando a los muelles de torsión conviene señalar que al calcularlos, el mhimo Interh! presenta la determinación del desplazamiento angular de un extremo respecto 01 otro. En las secciones transversales de la espira del muelle de torsión surge el momento total M ... I}JI (fig. 2(6). Descomponi~Ddolo llegún los ejes obteudremOll, Mlk,<=I})jCO~
MI =

\DI &ell
Una vel aplleados 8 108 ellt""mOll del muelle los lDomenlOs unil8tíos ballarem09, M Il = COBa; Mil-sen 0;. Como el hgulo a es pequeño, prescindimos del desplazamiento relocionado con la torsión de t8.'l espiras y eoosideramO/l que C08a es Igual a le unidad. Entonces obtendremos,

«.

fM1I«Mn.
'f-

•

El"

t 'P =

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~EJ.<

!IJ}" D~

--rr;-'

Le tensiÓn mblma originada por la nexi6n será.

rol

O'"u-W.<·

Loo probleDl88 que surgen en eJ cálculo de los muelles espirales no se limitaD a lo expulI.'Ito. Cuando el dhimelro del alambre d ll!I comparable con el de la espire D resulta nC(:esario ¡ntrociualr ciertas correcciones debidas 8 que la curvlltura es grande. En algunos casos es necesario determinar los desplazamillnlOll denominados secundarios, por ejemplo, la variación del dilimetro o la varlacl6n del número de espiras del muelle de tracción. En toda une serie de usos presenUl cierto interés la creación de muell811 con dependencia no lineal entre el asiento Ji. y la fuerza P. Esto se consigue con el hecho de que. al deformarse al muelle, parle de las II:'Ipiras deja de trabajar. St! eneuentran tambien problemas relaelonadO'! wn el CIÍlculo de moelltl'J no cilindrieos y otros muehos. Todos ellos, sin embargo. wlen fuera de los lDarcos de eul'W de resistencia de maleriales y, por lo tanlo. aqul no se ana/inn. , 42. Teorema. de raciprocidad de los trabajos r 101 despla18mlenlol

El teorema de reciprocidad de IGS trabajos. así como el teorema de CaatigUano, figutl entre 109 teoremas generalell de la resisteneia de D1aterislEl9. Se deduce directameote del prínc"ipio de superposición de fuenas y se aplica a todos los sistemes que se atienen a OIlte prinelflio. V8lllDOII un cuerpo elásUeo con una fuer~a P, lll/Iieada en el punlo A y otrll Po, en el piloto B (fig. 201). Suponiendo ql,le se puede aplicar el siStema el principio de superposici6n de las fuerzas, determinemos el trabajo que r8ll.li~an las fuerz~ P, y p .. al aplicarlas en orden diroc\o e inverso. Aplicamos primeramellle en el pllnto A la fuerza PI que reali2urá entonces el trabajo} P,6~, siendo 6A ,. el desplazamiento del punto

A en dirección 1 11 fuenl P, originldo por 11 misma fum:u P ,. Apliumos despué9 en el punto B 11 fuerza Pique realizará UD trabajo, cuya uprO$ión serA Inlilolfo o la antllrioi, es doo!r ~ 1>.6"" Simultá· neamente a este trabajo, realiu.rá cierto trabljo tambl~n la fUerza PI puesto que al aplicar la fllena p. se desplaza el punto A, El trabajo de la fuana P, será P ,6,u. alando 6,(, el dllllplazamiento del punto

" ~IQ.

201,

JI en dire<:ción a la fuerza P, originado por la fuena p. aplicada al punto B. Como resultado se obtiene la siguiente SUPla de 108 trabajos ea1T000pondiente al orden directo de aplicación de las fuerzas,

•

l' P,6,(,

+1'• P.6~+ P,6 A•·

Invertimos ahore el orden de epliuclón, .pllundo primero p. Entonces la expre9ión del ~rabalo realitado será,

f de~puél! P,.

.

2

,

P.6~+TP,6A'

+ P,6",

Igualando estos tubajoa obtendremos,

P,6 A .-P.68 ,.

(S.t4)

El resultado obtenido se puede rll:9umlr de la lorml siguiente. El trabajo de la primera juer;a m el de8plazamlt'rl/o del punw de apllt:acl6n 11 debido a la acci6n de la $egunda juerza es Ig/PIl al trabajo rMlizado pvr la legunda fuerza en el dt'Splasami~nw del punto Ih .fU aplicatl6n V arigil1ado por la primua juerUl, En 89to consiste el I«lrcma de rtdprocldad de los trabaJo6'. Este teorema adquiere mayor generalidad si se tiene en conside-raciÓn que, en esta caso, como cuando se deducia el teorema de Ca3tigliano, por P, y p. se,puede entender no simplemente (llenas, sino fuenu generalizadas y por 0,(, y 681 , despluamientos gellera lizados. Algunas veces el l.e
(5.tS)

206

Cdp. V. D..plud"'ltnIO' u bor..... po, fllreu .rt>
El dtfplazaml.mUlIkI pUII/() JI originado por la fuerUl. apll.l:ada y /lal' representados en la ligura, deberán ser iguaJes. • Los leoremn de reciprocidad de los trabajos y los despluillOienl06 Nl5ultlln ser muy útiles, puesto que permiten. en muchos casos, simplificar considerablemente la soJuci6n de muchos problemas de la

•

~/" A A

~P fll. 208.

•

FI¡. 209.

resistencia de maleriales. Esto se comprobará particularmente en el capitulo siguiente, donde se analizarán los problemas generales Nlaclonadoo coD el cjlculo de sistemas hlperestátic09. En algunos casos, el teorema de reciprocidad de los trabajos permite, de manera muy simple. resoLver, en rorma general, problemas, que, por otros m;!too08. se pueden resolver solamente despuéll de vencer Ilerias dificultlldes. Elemplo 5.11. Determinu la v&J1ae!{on del VOIUlUell dd cuerpo elbllco da conlisuración arbilrarla. solic¡'ado por dos fU{lr~u JSUeles y d" dirilCGI6n opuesla l' (lilf. 209). La dlJtencia eolra ICIlI puulos de aplicaei6u II!S H. Las conal.nteo de elutlcldad del material. colUlderan d.du. , EaÚ claro obtenar la solución del probl"llla plan\eado en forma 1"" Ss· UBral r"""lla di íei!. Sin embar¡o. M retlUrimos al \eOrama de reciprocidad da los 'raba'j
¡ue

PÓHp"ptJ.V p ,

(S.to)

tiendo AHp' el desplulImlento mutuo da los puotoll da aplieaci6n da las fuef'" origln"do por la pl1'siólI P '1 tJ.Y ¡o. l. variación que ..... bu...a del 'IOIUDlCII del cuerpo ori¡inada por lu fuel"Ull P.

Al Garfa< el cuerpo con 11M pre~i6n uniformemente diltribuhll, en ud.. ""de ~ aparees Unl tellaión Igual al_ pl'$Si6n p. Pera el 'Volumen'elemental de l. figur1l210, iI compre9l6n uDlt.,i. en cualquier direeelón 1\8. segÚD l. le)' d. Hooke,

FIIJ. 210.

FI;. 212.

fl;. 211.

L
'IiI

acereari.ll bajo 1& leel611

ó.H, .. ~ (I-2¡l)Ji.

lutroduclelldo I!.H, sil l. e,pl'eld6o (5.16)

oblelldl'llm~

'ff

OV'--e (1-2}l). Ejemplo 5.12. El an,lIo de .,g,du ab50lute • la tlllCl'1611 e5t4 so/lClt.lldo Un llllJlo po: UD a¡.tema arbl~r.,io de fuenu (lill. 211). Demostrar qlW! 01 Mu lh..,t.ada por elamllo 00 ...rla dur'lIte J. fio:lióo. Le nriaeiólI del 're. 'IiI coaaldera eolDQ el dNplaumlento generalizado..... fllena generallude que eorreaponde • ut.a despluamiento <1& 1,[01 carta dllen· buida de inlelL'l!d.d f eonstante. Por lo tanto, aoalizam.....imull.'¡II..."",nw a

lll,I

...ta carga. la ilOIlcitacl6n del miamo aoilto por uOa carga ~niform~me"", dilltri· b~lda de intensidad q (fili. 212). Ento_. ea¡ÚD el teoRma de recIprocidad de los trabajos obteodremoe, q~F;=~P¡6lq.

(~t11

.'llIldo AF; la varlacl60 que ae bUlCa del GNa. origInada por la carga arbitraria y IP¡6{q. la .... m. da los t.abajos de 8lItaa lua..aa 011 los despluam,olltoo orlri. nidos por lu lue'laa distribuId.. q. Balo lo acdóo da lu fu8nas '1 nosurglrio aellpla..mLento!lan el BDillCl.I."to que "te M absolutamente rí¡ido a la tra«:i60 y por lo tanlo 61,=0. EIJ eci., el ",,¡undo mIembro de la ecuación (S. 171 re!ulta igual a CerO y ÓF~=O. lo que 10 pretendla demostrar. Es&! cJaro qlle el resultado obtenido l'!I justo iIDlamente en al cuo de dcspla· ,atniook18 pequeños. cuando _ulta aplicable sI sistema el ptiodpio de superposición de las fuen...

Capitulo VI CALCULO POR El METDDO DE LAS FUERZAS DE SISTEMAS HIPfRESTATICOS COlIIPUESTOS POR BARRAS

I 43. Ugaduraa Imlluntn al sistema. Grado de hlperutatieida.d En 1011 capltulos I y Ir fueron tral.lldos ya, parcialmente, los problemas relacionados con el eoneept.o de hiperestatieidad. Pera resolver la mayoría de los problemas que llQ encuentran eo la práctica. los mélodOll expullllt06 resullan, sin embarso, insuficientes. Es Jlecesarlo, por lo hoto, entrar en posesl6n de mátodos mú generales para veneer la hlperestatlcided de alstemll! compuestos por barr&-'o Se eDtiende por d.ttma eomplU'to por barra., en el sentido amplio de la palabra, toda 6!ltructura constituida por elementos en forme de bf,rra. SI los elementos de l. estructura trabajsn esencialmente a

FIg. 111.

tracci6n o compresión, el sistema de berras se denomina armadura (tig. 213). La armadura está compuesta por barraa f'BC~a que forman triángulos. La aplicación de las fuerzas en loa DudOll ll!I caracterlstico de la armadura. 'SI los elementM del sistema de barras trabajan prlncipalmenle a fhu:i6D, o ,torsi6n se le. denomina pórtico (flg. 2f4). UIi grupo ~pllCial de los sistemas de barras, el más simple de investigar, lo conslituyen los aistemas pltvios: En estOll sislemall" pórtico o annadura planas, los ojes de todos 1011 elamenll)ll sa encuentran en un mismo plano que, al mf3mo liempo, el! el plano prlnoipal de Ju secciones. En elite mismo plllno se encuentran las fuel'Uls exterio«'5, ine!uyendo las rll8ccionell de apoyo (lig. 2t4, 11). Simuhánesmente a los sistemas planos se anallnn también 10li osi 1I1g:lados $I$tema. plarlo~spadak', En IlIItos sistemas los ejell

di los elementol que lo coosUtu)'en MI enclolenmin, Intell de la ddormlcilin, cnllln en el case de 1(11 sinernas pllnos. en nn misllln plano_ 1.01 factores de fuerzas ulArlo,. actú.n '11 plUM que IOn perpendlcu1.l'1le' islA. (flg. 2t4, b). LOlIslstemas de birru que 110 tle eDcueotru. eolre 10lI tipOll 'Indicados, se deDomlntlD aiatemaa "PIM:ÚJ!e. o eIIt;l,eOll (flg. 2t4, ej. Los p6niCOll y armadurn se dhiden en 1."t4t~o.)' htprrelt4tftOl. Se entiende por eistem. I5ostitieo, todo slsteJnl en el cual todas las ....«ionell de 1011 apoyos" pueden obt.ner de las lC\I.Iclnnes de 1
'J

La diferllfleia entre el número de ine6guita.s (rNc:c:ionlll d. apoyo facloz'el di luenas i..llt«i0l"M) ,el llÜDllIO de etlUelonlll indeplodlutes d. la est'Uu qul H puede.n plaolear pan. IIslatelJu dado, .. dlllomina ,",do de Id¡wre'14Uddarl. Sertn _ lita difereDCla, loe .utemas .. dlvidell ell .isteroas d. U1I I"'do de blperestatic:idad, de (lIdo dobl., triple, ... , de lJTado .... Se dleo, a "1C8II, qUI el arado de hiper.tltieldad es Igual al oCimero di ligaduras adlcionalee qUI se imponeD al alstema. Velmos mUl cuesl.\6n con mis detllles. La. posición de la blns r1lida In el espacio SI do~ermlDI por lei, coordenadu Indep8Ddienllll, es decir, que la barrl rllidl tiene lei, IrldOll de libertld. A 1I bllra le pueden Nr impuesu5 ¡¡glduras, es decir, Iimitleiones que determinan su poelclÓD en el IMpacto. Lu lIgadutU múai-.aplmson aqoel1u qllelllulln lal o cual dll5pin.aGllento geoual de eiertu .«dODIl! di l. bit". t. imposición d. une y

ligadura liquida UD gT8do de libertad dela barra, interpretada como un todo rlgido. Es decir, al 11 la bllrra rlgida libre se la imponen seÜl ¡¡gaduru, entonces SU posición en el espacio, interpretando elllÓlido como un euerpo rlgido, quedará, salvo elertas eJ:e1UJ1iones, fijado eD el espacio y el alstema de UD mecanismo de seÜl grados de libertad que era, se convertid en un sJstome cinomáticalllento invariable.

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b)

1l;;; ....., --

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C)~f--_ Flg.

Ila.

El número de Ilgaduru que se nec..,ita pafa obtenef la invariabilidad cinemática se denomina lI~ro MUlQrlo d4 ligadura., Toda IigadUI'a ImpuEl!ta al alstema además da las nec_riu se denomina ligadura /1dklolllJl o lIuperfiua. El número de lIgaduru adicionales ea igual al grado de hiperestaticidad del sistema. Las ligaduras en loa p6rtlcos y sistemas de barru se dividen gen&ralmente en ligaduras exl.efiores y llgadu.ras interioree o mutuas.

D)

(1)

FI,. 2.16.

Se entiende por ligaduraa e:rterlotell las limitaciones impulliStas a los

desplazamientos absolu.tos de ciertos puntos del sistema. Si, por ejem. plo, al e:rtremo Izquierdo de la barra (lig. 215, a).H le Impone la Iimitacl6n, que impide el d8ljlpluamiento verUcal, se dice entonc.., que en esta punto 8li.sta una ligadu.ra exterior.. Convencionalmente esta ligadura ae rer.resenta por dos articulaciones o UII rodillo. Si Ie'impide tantll el delJp IZamiellto vmical como: el liorbontal. se dice que se Imponen dOll ligaduras exteriores (lig. 2t5, b). El empotramilllltll en UII ~stenl.a plano nl)ll da tres ligaduras. e,u.erIllteS. El empotramiento esUlreo corresfonde a seis' ligaduras e-~terloi'es (lig. ,215, e). Como se dijo ya, las lIgaduraa exteriores, cop frocueucia. se dlviden'en necesarias y adicionales. Por ejemplo, ~en la figma 2t6, /2 Y b est' representadll UII p6rt1eo PJ,a09- que tiene, en el primer caso, tres ligaduras ex· terlor/lll yen el segUndo, cinco ligaduras exteriores. Para fijar la

,,, poIiel6n dal pórUeo In .1 pJ'DO, como 110 _Iido ,l¡ido, se necesita Imponer tres ligaduras. Por lo tanto, 111 el prl.m6l' euo. el pórtico tiene 1.. ligadura. erlen_ necesarias '1 en el wgundo, adamis, dOll lillduru ullM'loree adieloQ.allll3. Se entiende por IipdunI' inleriorel o llIutual, 1M limitaciones impueIIlI' I 10lIl despln.mieutOll mutuOlJ de los ellralnlOll del pórtico.. Aqul JI r.uede b.bl.r tambiIP de Iiradoru neeesariu y de ligldlLfU .dlelonaM. AsI, por ejemplo••1 p6rtlco pl..no de l. figura 2-17,4'

QQ IJ)

(1)

fll. 211.

FIl. 211.

tiene el numero luficilole de Iigaduru Uiolo uterioNlS f,Omo inttot1o-

.,. entre 108 elementos. Este 'Ulema elI einem'tiumeolfl invariable. Si &e du ... rueru.1I utetlores que actúo. lob... este lulema, .-tire1lI0l1 en eonditlonee de calcular tIInto lu I'McciOCMl d••poyo, como loe factoree de fuenas loterior. en cualquier sección tnlluerul del p6rtleo. En el mÚlmo pórtico, indicado eo 11 figura 2t7, b, .pute de las li,aduru uteriores .. han imputll!llo dos liglduru lnteriol"tll!l adielanl1es mb que impiden loe dlllJpll.umilnlol horbOlltales y vertieales mutuos de loe puntOll A y B. Este sUitam., en el ceo d.do. es d. biperesuticidld doble Ca VKes se dice de biper«luticidld Inlero.). En el pórtico de l. figura 216, a y b 1Imbi'" u.i~leu Jigadurll~ ioternas .dieioolllefl. El eonlorno del pórtico es cerrado. Sec:c:lonándolo en eualqulor lugar (fig. 2t8), sin alterar la invtrlabilid.d cinem4Uc. delai8tema, se bRce posible, dadll~ IlIs fuorIU exteriores, obtener los I.dores de fuene lnlerior8ll en cualquier &&CcJ6n del p6rtico. Por eso, a1aecclonar un p6rtlco cerrado, se eliminan lu ligldurlla adicioni lee, ee decir, 56 permite. lu secciones Á y B girer y desplaune muluamenle en dOi!l di~io"es. Generaliulldo, se puede afirmar que el contorno plano cerrado tiene tres ligaduras IdidoQ.IOlI·mulun, es decir, ee de hipereslalleldld tripll!. AsI puee, el pól"lIco de la fi¡u1'1l 216, a tiene el grado de hipereetatieidld l¡ulh treo El fl".dode hiptr.t.ticid.d del p6rlic:ode la H¡ure 2t6,b • Igual. einco (tl'lll!l inlerlonneole y doe de larma uterlor). Veamos ahon algunos ejemplos de determioacl6n del gr.do de hiperesutietdad de 1011 a~temu compuestos por barras y de los sistemu .portludos. En l. fl¡ura 219 esl.o representadOB varios pOrtiCOll. An.liclmOl!lIOll lueMlv.menll!.

'1.. tlt.

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=--r

........

'"

al El pórtico tiene cuaLro ligaduras exteriores adicionales y tres

Interiores, es dedr, el grado de hiperestaticidad es alete. _ b) Supongamos primero.qua la articulación A 00 existe. E;;nlonces tendremos .d0ll ligaduras elteriores Buplementarill8 y tr8!l Interiores suplementarias, resultando que el grado de hiperel!ltatieldad del aialema sin la artlculll~i6D A seda igual II cinco. '. Le articulación A pertenece mismo tiempo 11 t~ barras y se puede Inlerprlltar como dOll articulacioDllll que coinclde'o (tlg. 220). Como cada articulación anula uos ligadura, 8!1 decir, Permite eJ giro de UDa sección respecto II la otra, 58 puede dirmu que la articulación A elimina d08l1gaduras. El grado dll hlperestatlcidlld resulta ser Igual 8 tres y no a cinco. Generalizaodo lo dicho, 68 pullde llegar a la cone!usión de que la articulación liquida un número de ligaduras Igual lI.I núm&o de barras coneurrentes 110 _ Dudo mllnos una. En nueslro caso en la articulación A se juntso tres barrss y, por lo tanto, ásta elimina dos ligaduras. cl Si no existiese la articulnci6n A el grado de bipere9tetieidad del sistema seria igusl a siete, cuatro gndos de biperestaticidad externa y trflS, de hlperestaUcidad inlerna. La articulación A elimina un nómero de ligaduras igual al número de barras que afluyen a él menos una, es decir, en total tres Iigadurlls. El grado de biperestatleidlld es cuatro. d) El grado de hiperlllltaticldlld lIIl tres. e) Las ligaduras 6xteriores 00 satisfacen las condiclOllCll de iova· riabilidad cinemitica y el sllltema ClI, por,lo tanto, un mecanismo, mejor dicho, ClI un mecanismo insl.antáneo. El sistema tiene la pOlli· bllidad de girar re!lpecto el apoyo superior sin derormarse. EstA claro que el ángulo de giro será pequeilo. La ligadura Inferior se iD· ellne hasl.a que DO se eonslgll e!eru. posición de equnibrio, pero la nueva posición de las ligaduras depender' de la rigidez del sistema. A este pórtico DO se le pueden aplicar los principios fundamentales de la resistencia de materiales: el principio de invariabilidad da las dlmenslooll9 originales y el prlnclp!o de superposici60 de las fuer· zas. 1) El p6rtico es estéreo, Tiene seis ligeduras adicionales elleriores (un .empotramiento superfluo) 'i seis ligaduras mutuas adicionales (el cootorno cerrado). El grado de hip6rlllltaticidad as doce. g) El grado de biparestaticidad es: siete (un grado de bipeN'l.'lLaticidad extorior y seis de hip6rastaticldad interior). h) En el callO da I115le pórtico plano DO se indican las ligaduras exteriores, pero se da UD sistema de fuorzas exterlorll9 qus se encuentra en equilibrio. En este caso se aeuerda eona/derar qU6 00 existen Jigll' duras adiclooales sl"tlltiores, y que la posición del pórt!eo en el espacio est' detormlnada. Se anslizan solamente las ligaduras ioterio-rtll. El grsdo de biperestaticidad es tres,

al

1) En este easo también so considenn solamente las ligaduras interiores puesto que el sistemo de fuerz.as exteriores satisface las condiciones de equilibrio. Se oeceslta determinar el númere necesario de seeelones para que, ~or una parte, no se desintegre el pórtico y, por otra, no quede olngún contorno cerrado. Para ello son necesarias cinco llICClones (Iig. 219, 1). El grado de hlperestaUcldad del sistema M

I

30. 44. Eletti'" del I¡Itema bale.

Mélodo lle 111 lllenas

El método de dleulo de sistemas eompuestOlS pOl' barras y p6rtlcos hlperesttUCOll mAs difundido en la construccl6n de m6quloas es el mllQdc d~ las/,"r;q,r. Consiste en que el sistema hiperestttlto dado se libra de 11.8 ligaduras adicionales exteriores y mutuas y se austltuyeo

8 RRB

Fl~B

d) t.J FII.221. por las wrrespoodlentM fuenas y momentos. La magnitud de estas fuenll9 y. momentos se escoge de tal manera, que los despluamientos torrlllpoodao s las limitaciones que las ligaduras, retiradas impon'en al sistema dado.AsI pues, en 1'l9t& método de cálculo la8 incógnll.aS son fuenas .• Por eso se denomina ·(mlitodo de las fuerzas •. Esta procedimiento no 111 el úlllco poslblo. Eo La Teorla 'de las estructuras se em· plean t.embilio otros métodos, por ejemplo, el de las deformaciones, en el cual se coruiderall inc6gnitu, ya no 10\11 factores de fuene, sino loe desplazamientos eo los elementos del sistema de barras. Es decir, el cAlculo de cu.alquier-'p6rtico hlperestAtico por el método de las fuerUls comlenUl per la liquidación de las ligaduru adi· cIonales. El sistems libre de eat.e.llligsduras se convierte en iSOlltAtico y se denomih, IIftuna k •. Pan cualquier-sistema hiperestlitico se pueden elegir, cemo norma generai, un número Infinito de sl9temas ban. Por ejemplo, en el csso del pórtico indicado en la lipa 221 C)

" , . Elff,c1611
""ot. Mil"'!" ¿. la. (Ul"'''''

215

118 pueden proponer los sistemas bai'lll a), b), .•.• que se obtuvieron liquidando '!Ilete Ugllduru Ildlelooales en diversas co!Oblollciones. Al mismo tiempo El!! neceaatio t.ener en cu_enu .l.ambhln que DI? cualquier 8~t.ema libre de -sie19 Ugaduras puede i'Illr e.dmltldo~ como alstoma bai'lll. En le. flJUfa 222 se indican tr.. &j&mp-los cQl'respopdlao\es al mismo plSrt!co en los cuales tambJén se eliminaron s~ete ligad uru, paro se hilo esto de manera iocorroeta, puesto'gue las ligaduras

r{llItantes DO garantizaD le invnt!abllJdad cinemática dal sislema, por una parle. y la lllOlltalicidad de todos los nudos por olra. Une vez liquidadas lu ligaduras adicionales y convertido al !Iistema en bostático es necllSllfío, como se dijo anteriormente. introducir ~n ~l lugar de In ligaduras los faclore!! de fuena dtt9COllooldos. En las sllCcioOllS en que no e;list&n dosplsumlenl!)S lineales se Introdueen fuerUls y donde no existen desplaumienlos angulares, momeo-

como In al OUll, los f.eto~ de fuena dMleO/)~ .ilndo 1 el n6muo de la loeÓlolt.ll. El v.klr múimo de t eoineide coo el pdo de hiperestatlcidad del Iilt.em•. Observemos que ID el C&lIO de tu li'lduru l.nterlores lo fuenu X, SOD mutuas. Si .. 58CClona el r.6rtieo en ei,no hilu, 112tDDe. H ,pUUD fuen:" y momentos ¡gua M, p.ro de direccl60 opue&.... tallto • la pute bqulll"dl. como. l. pul. del'lleba del .i.tNl:lI. En la figun 223 .tin ",preseotadu (iDCO mallefaJJ poelblel de aplicar de lu rutinas dll8COoocidu, correspondientes a los 5utemu bue IDleriOres (fl,_ 22t). El principio de .pllcaei60 de los 'actores deluena dll3tonocldOl queda &SI claro y no necesite mAs .clar.tlones. No quede mú quo plantear las ecl.llu:iones para la determlnll(:i6n d. 1.. lnc6gnitu. tOllo

TIDto en un

talO

eldOll lO! dfJ:tigonerDOlI por

X,_

I 4&. Eelllclo"" tlll6nlc.. del _"odo de ... fvenu V..mOll UD .Jtmplo concrtto. EllmlolmOll, por ejemplo, el primar elltem.a d. 1000IodiUodos 1ft la figunll 223 y rtpetido en la figun 224. lA leraeralid.d d. 10\1 n~oaamientos 00 queda afectad., al analhar UD Id.tea' concreto de gndo de hipetMte\lc;ldld Igual a .iele.

A

~X',+A_ _-,

R PaROlOll ahora .1 pl.nleamlento de lu eeuacloo88 pll.r. l. dot..... mln.e16n d. los f.etotell de fu.rza deseonocldOll. Anotamos por ~IA .1 ilasplu,mi.nl.o mutuo d. loe puntos del.i.tem•. El prim... lubfndice con.ponda a la direeei6n del d8llplu.mlento y el segundo, , l. fuet:U que lo origioa. Era el pórtico en eUllltl6n, en el punto A, se eUml1l6 UD apo)'o. Por lo .tant.o, el dllllplallmlento boriEootal de .te pu.o.t.o !let' IIU.I a cero, .. decir,

d."

6, [.... 1,• ..•• '1 -O. El aubiDdice S Indita que .. trate del d.pla~.m¡'Dto en dlrecd6n .la fuena X, y.1 aubludlee IX h X..... , PI {ndlca que el d.pl....-

miento está determinado por todas 1M fUlIrus, tanto da4u tomo de5-

conocidas. De meDOre. análoga podramos escribir, 6.[X" x•. .... P) -O; 6. (x" x• .... 1»=0. etc. Como pOr 6,. Il& entiende el desplazamiento mutuo de ¡ti! puntos del sistema, 6, representará el desplazamiento. vertical del punto.8 respecto al punto C. 6, el desplazamiento mutuo horizontal da los mismOS puntos y 6" el' ~ilSplaZlmlen.to angular mutuo de lu Ileeelones B y C. Será desplazamiento engullir eil el aislema 110 eUllIitión la magnitud 6,.rx,. x•..... PJ. _ En Jos punl.oll A y D loo desplalll,mieotoll6¡k 80n absolulos. que se pueden interpretar como despluamlenws mutuos con los apoyos inmóvil" 1Iliminedos. Es decir, que las notllelOlles admitidas son

d,lidas para !.Odas las secdoo(I.'J del sisl.6ma.

Aprovechando el principio dEl superposición desarrollamos lu expreslonllll de los despluamientoo 6¡!X,. x,. ... ,,¡:

o, IX ,. X •• •••• "1- o,x, + 6,x, + o, x. + 6,x, + 6.x, + 6. IX"

+ au

x, ....

, +o'x.

,,¡=6u ,+ou,+0.x.+6u ,+6. x.+

+ o," = O:

+6. x, +6. x .+6." -O.

De DlaDeta an~loga planIOll.Dl09 las chICO 9Cuacionllll restaetes, donde cada uno do 1000aumaedos o,x, quo figuraD ao la ecuación representa 01 despluamleeto en la dirección do la fuena cuyo primor Bublndiee coincido con el prlmoro del sumando originado por la fuana que ligur. eD 01 segundo 9ublndice. Puesto que cad. desplll.2amlento es proporciona! a la fuerze correspondiente, OIX. se puede escribir de la siguleote Dlanera,

6fx .... lll~X~

(6.1)

o,p,

En lo que se refiero a los desplaumientos li...., ete., entenderemOll por el sublndlce P no solamente la fuerza exterior p. sino, en genera!, l
6"X, +6"X.+6,.X.+ 6..X,+6"X, + +6..X.+6"X, +6,p .. O, 6"X, +1l..X. +0..X.+6••X.+li..X.+

+1l••X. + 1l.,X. +6.... =0,

6"X. + 6,.X. + 6"X. +li,.X. +6,.X ,+ -j Il"X.+6"X,+6"._O.

(6.2)

[etu eeuac:iolu,,, son definlLi'l'u y 18 dtIDom.ln.n eau¡c:Io",," au16l1ku

del mlU1tJo M Lu /lUruu. El número de ecuaciODes coincide con el ¡rndo de bipenl!It.tlcldad dll smeml. EJl .1¡ua0ll euo.s, como 'l'ereIDO" en .delute, cuando .:tiñe la posihUidtd de Indleu los 'I'toloree de .1(Unu inc6gnitaJ, el nimero de eeudanes del e18telD. . . reduce. Queda por .•clanr lo que nprwellUlD 1011 eoellcleIltel!l &f. y como le deben determlo.r. P.n ello 'I'ol..... lDos. l. ellprmlóll (6.t). Cu.ndo

X._t resulta,

"i'

Es decir qua al coeficiente es el d8llplullmlento el1 dlreul6n j originado por el factor UllJtarlO que euatituye al lactor k. Por ejemplo, el coeficiente &" dlll ecu.elón (6.2) repreaenta el desplllz.mlento 10utuO horizontal U 1011 puntOll B y que '¡>fl~ cerIt. en el pórtico, 81 • 6ste se .plleue, en lu¡ar di todn 118 fueru" I1 fector de fuena

e

,... zas.

,.,_ UI.

sol.mente l. fueru unltari. en el punkl Á (flg. 225). SI, por ejemplo, ell lugar de In fuerzall X. se aplican 1...·fuerzt18 unitaril8 r.tinndo todas lu fuena, restaotee (flg. 226), entonces &.. seré el ángulo de giro de l. aeeel6n-D ofigio.do por 8lI!.e. fuerUl y 6,,, el desplnamleolo borl.lootal del puoto A, ele. Es muy Importlote 181i.I.r que en 1I eoneJusJ61l anterior 00 lMl 'IJ., -11 prIOrI, como III deearroU.n 1011 dl8plu.mient05 6,•• Au.oque .nallUIDos un pórtico qUI tnblj•• Unión, todo lo IllpuMtO" puedl uteDder tanibiÑl, In general, I cualquier .latema que lnIhaJa • taral6n, traeei61l J nnlón o • todo IllItO .lmuh'neamente. AnaUeemos !al illteanll!!l de W:ob.r (5.8) (v'ue § 39). P.... determinar ti!. lIII_ .IltllSlno 10 lugar de Iaa fuerzu 6.lterlores .pliea.r la fuen.l unlLan. que lu.tltuye.1 fector k. Por 10 tanto, le- momentos y fileno ¡ntenona MIt~ M .,.._ M~!" N Q, y Q., ell la upnei6n (5.8) se sumtuyeD porMl.O' M .., M(,~ .•, ~. ('•• J fl,. que se Interp,. tan eomo los momentos ., ruen" olerlo.... ofigin.dos VOC' el r.ctor

'" (&.3)

siendo Mil' M",• ...• Joe momentos 1 fuenas loterior«! que onglo, el faetor uni....rio t. AsI pua, los eoefiellnla 31• se obtienen muHlplieudo loe faetorell interiOf(ll unituios L y k. LOlI l5ublndiC411 1 y k indiean 108 factores que 88 debeD multiplicar eD las integrales de Mohr. SI el pórtico constituido por lramOll reetoll y se puede

.t'

emplear el mIStado de VerflSChl¡uin, entoocM 61• rlprll5llnta el producto de 101 diagramas unitarios f por los dlagramaa unitarios k. ElIlJ duo que,

6" -6./. Esto, por una. putl, se deduce direclamente d. (6.3) y, por otra, del t.eoI'eml de reclprocid,d de 101 desplaumilNltOll (~éuo § (2) pllesto que los dellplu.amientoll 61t y 6., 50ll COD5eeulnel. d. una mbm.

fuena ilfWll • la unfdad. Las magnitudlll 6/1' que flgurae ID lu eeueloo. eaaÓlli.... eo.

tltll~n 101 desplu.tIIi&ntOl en las direeelollM 1, 2. ... debidos I Iu fUGUU utariOl'8f d.du••pliudu .1 sistema b..,.. Se dewnnioao multiplkudo 10lI dil¡ramu d. las fuerUl d.du por los dilgnrnn llDitariOl c0fTe3poodiente8. RecordarnOl otra VU, que llfI la m.yorl. de /01 ClIOIl, 101 d.pl.zamieDl.OI relacionados con l. flexión y tOl"li6n de 101 elemlllloll del pórtico .on muy superiores e los desplaumientos de la traeel60 y diltol"li6n. Por . 0 , .n l. upr.¡/in (6.8), 151 pr8.'lCiode de 111 lfll!l

61t1mu integrales (VWI el t 37). E)nnplo 6.1. Caleulu el pórtleo hlperesU:tleo de le flrur. 221 yeonal.ul. 1I dlt,¡nm. de I~ .Iemeptol nllClol'tlll. p 1

1

.... m.

CAP' VI. C41<:,,¡o P'" /he,..., tU 'l.t.mu /lIp.,ut4Ik.,

220

ca060lUII (6.2) 011 115I4

talIO ~n

1.. lligulent..

6"X , +6,.X,+6•.x.""-bl ) 6"X,+6..X,+6 ..X.=- 6,.... 6o,X.+6..X.+6 ..X. __ 6 . Los deepl.um~lIlo1 .. d.be.. neDCialmonlo • 11 f1uló.. y, por ~IDdlmtllde l. dlMo"lón y eomprestÓII. CQ...,t...,lmos ttll dillgnm..u

lo tanto. UlIltllrioe di le. mOlDllololllectorea «lmllIpoDdlllltU 1 11 fuena dada P y a loa troa '.010res de fuona uoltariOll <'Ig. 228).

x,

,

1

X, I

i~""""~"""'''''''~

fll. 228.

Detumlna_loe _'Ioleotes d.lu 8OUlt!OOes oolllllderando que la r1lidl» 1 l. n•• i60 do todos los tramOll del p6rtleo .. OO...tIOW! y .. ¡(UI! • El. Le maruilUd 6 &lO obtiene multlpllcaudo .lrrllDllr dl.grallUl. uDllulo por al millmo. Eo Cf.d.11 ramo .. eogo. pu.... el d. dllgrlllll y .'multipliCf. por II ordooAd. de IlItl1lml3lllo dl.,raml que pln por el Cflutro de gravedad del diagrlml.

're.

'("2

bU-ID T·'J'I+U·.I

)". "'W·

Ob"'"emtll que lu OIl¡llltudee 6". cueodo r... k S!lll el~tlIpra posltlvu, puesto lIUD 1M ira.. do, lO! dlqramall y lu omuda 11.1180 el mlllllo alJDo. DetefIDioatllOl d.pu" 1011' ~Ileteotell relIUlute8 de lu 8OUIOIOIl8' Cll06oi"". mulUplic.ndo 101 dlegr"DI.lI oorrespondl'lIIll1. 21' 51" 8l' &11- 6"'-ífl' 6 u -6.. =!l'1' b··... 2P Sl PI' &"-~'-H1' &n """El , O,p;,-m'

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22' IDtrod.w:lmos llIIlllll val". .

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lu K.uadooee,UDÓDleu. OeepuQ de dutu

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"3 'X .+ ZlX .+ TX'-T' 8

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PI

"IlJ'l+21X.+3Z'--r' Il,ellolvltlldo eetu eeuadOllll!l hall.nmos, I 7

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X'--T P, Z'-R P, X,-U PI.

El cüculo de [.. ll>C6pltu nnll1lu IIOG en".

BI dtagram. do loo IDOmeotllill lleeton!l » puede obtener como l. sumo da loe dla¡n.mu d. los momwtoe d, lu ru,nu dedu y loa t .... ·dla¡r.lllU uoil.· riOlt IOwtlplle.dOll por]( • X. r X•. El dla¡ralll.l definitivo el. loe IQ.Omelltoe n_ to_ !le d. en la f1glm Ü9. AIIl511 l'llpr_lIU l.lImbl'o lllhlN .l',tiet del pórtIco.

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8.2. Oelolrmlnar los eafuenoe.o 115 btIrru de l. '.lD&dul1O llipl!lU-

"tilla da I rilll"' 230, •. L. riglde. EF .. conaid..- laual pa'. todulu bar•..,. Lu lon¡itudes d. loa e1&meDtOO IOD I 6 ¡VI: d. aeuerdo «ID el ~lI.m •.

El grado de hlperestlotieidad d. l. armadilla" dos: UD gJ'edo de

blpe""'~t.I·

t¡cld&
61l X, +6..X, __ 6,1'< 6".r,+6HX."",-~.

CalculamOll abora loa ooeli~l-elltes d, eI'ItU eeua~lo.... Ln

"",&3 trabaj'o e traoel6o f CllIll~1l y, por lo unto, loa d.pluamleotOlil 61t dependeriiD d,1u Iuenu 1I0ni:taJ.es qua apareeen en h.. !larrl.ll. Pueato que a Lo &TiCl de cada balTa, la fuerza DOl1llalOO varia, refUIII Innecesaria l. eOlllt""",16o de 1011 di .. gramu Y oClllllmLt.amQS a eClofeoelCloar la t.bla da loa ealuenOll ID h" ba",u, . .

IÚII HS ll.:.m-. GriJllUld.. ,.. ~ 1....,.... P , 1.. lvena u.all.ati.. pri-. J .... oa•. lA Ñkrm ..... eI6. do 1.. fMrulI 1.11........ UN lDIIdiUl14l1al colldleionn 01. llqlIilIbrlo d. te. lIudoa. TmI.Ddo 1.. Al'IlLl qlUl 10:1 eoefleiell~,

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P... de~rmlDar ahora 1011 ""tuom:~ N aD todu,ln banu, '" Il-.rlo N... tu fIlerns N. Y N, mllltipliudu por ,X l Y X, ... pectlnmellte. Loe resulUdoe de esta operaei611 el"'ll dldOll eD)1 última columDll de la Ubla.

""1Dll'.

E)o'mplo U. Cooatnolr al diagrama da 1011 IlIOllIIllUo!l Oe<:torea ell el pórtico de la li(I!n 231. Los puDtos A Y B del 001'\10» lal'lI IIllldOll por unl be"a elúllcl de r1llldez a la Irlul611 Bol'.. ElllJ1Ido de hlpereatlltk:idad del allteml es igull a 1100. Co.l.I.mOl la bu.. AH en su puDio IIUper!or y obtenemos ni el 111!.eDlI bue 'ill"' 232. a). CoostruimOl dupu'" .1 dl.VllllI e 1001lIOa>eotos colTllSplllldleott a I1 fIler"", P dad. y a la tueua uoitarll (fig. 232. b Ye/. " .Itnmo AB dOllde es n_no eDoald.u Illl. "Ilenela de I1 trlccl6D, coll5trulmos tambi'o.1 dilgrlml de lI fuerUl O
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En la lll(llra U3.su re''-lludo el.dlagnlDl d.tOlO .01lll1l\05 fteet_ tu .1 pórtico y l. coll!lruract60 d. 11\1 Un...lbtiu..

I 4-6. Aprlluchlllllenlo de lI. propledadu de .Im.trrl en lo. cálculo, d. ,I,temu hipe,etlátlcos

SupongllDos dado UD pórtiCO IIlGlD6tr1umetlt4lli.m6trlco (n" 234). S\I parte dereeha 1& puede IOlerp,.t" como l. Im.geo sobre UD espejo del. parte bquJena rMpeeto.1 plloo d. slmetrl•. Al e.lcularellLos I¡!temu result. JIO"ible lllm:r.llfiear la lOluci6n del problema, reducleodolln6.m«ode f.cw. • fueru dll'eOoocldos X •• X., ...• X.' VUIl108 1I uso dllloliellllcioo del pórtico por eargu aim'triea J nlb¡m6trlea. S. eotl8JIde por earp simétrica .quln., pllI la cual

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'odas Iu CII'IU OItertores IpllCldu 111 la parte derec.h- del p6rtico, cohK:iden coa I1 hugen d. lu (uru.! IpliCldll. r. parte ¡Iqulmi. (fill'. 234, b). Por eal'¡ll IIItlalm6triu se IObJ"llOotlelld••quelle, p.ft l. cllalla! fuerua aplicado. l. parte dereeba dl!l pÓl1lcoeoll tlmbi'n la imagen de lu fUerus apUeadu a la parte Isquleroa, pero de 118no contrario (fig. 234, c). Da mallara .nál08' &8 clume.o los factol'8l de fuena Interiores. VealDOS pan 'ello una !(lCC160 .rbllnrta del pórtico, en la cual apareten seh factoree de fuenI. En los piaDOS de la dlreeba y del. Ilquilrda d.la seccl61l ('ig. 235) ectúaD fUenu 'Y momeDt.oIlguales. AlleUcem08 cuil_ de el!toe selll (.clone d. Juoru lOO l. Iml¡en l"lllIpecto 1I pllno de la secclóD. ResultlD ser trll: dos momentol {lectores J la 'uene ClOno,!. LO! n'Daremos fleto"" intari_ ri#nllrlQIs. El lIIomlntll torlor J lu dos ftlenu corbnles, seeúJl la terminolo¡le admitida,

serin faelol'e!l de tuerta antlstmitrla,¡f. Cada uno de ellos es de simo opuesto a la imágtn del factor muLuo. Sin dilteultad se demutllttl .bon lo siguiente. En el pórtico sim'lrieo, en el piaDO de aimeula, los factores d. fuerza .ntisimilricOl eon1lIIpondientm I 1. earp u:tMior .!Iim'lriCI lIOfIigu.lflll a cero, IDleIltras que eo el euo de UD' earga lIolj.oJim'trie.

uterior seráo llfUal8ll • cero los (actores de luerza sim'tricos. Vetu:Dos el pórtico 5im'trico de la figura 234, J mojamos el !IistWlI base cortando el pórtico por el pleno de Jimetrl. (fir_ 236). Sean XI

x, X,

ni. m.

FIJ.

m.

'1 X. los factores de fnena InlisiJa'ulcos y X" X., XI Y X. lO!! si· au!tric(IlI. El sistema da ec:uaciODe3 ean6nieu lO este caso lIStará eompuNto por seis eeuuiooee,

.x.

linK, +ll• +ll"X. +6"X. + 61O X. +".. XI _ -ll", 6••X 1 + lI..K. +6...X. + 6..X. +6••X. +I\.X. _ -ti.,. 6.,X, + 6••X. +ll.,x. +6..X. +6..X. + 6..X. = -1l0l'1 6. I X I +6..X. + li..K1+ ll..X. +6•• X. +6•• X. -. - 6.... ti.,X I +ll"X, +ll..X. + 6..X. + 6..X. +6..X - 6,1'> 6. ,X, +6..X.+6 ••X.+6••X, +6"X.+6.,X -lI..... Obsetvemo.s que en estas ecuacioDes muchos de los coefjcien~8S seráo iguales a cero. Serán nulos los coofieiCUlta que tienen un subiDdic. correspondiente al factor .imétrico y otro, al rlcl.or antisimétrlcu. Por ejemplo, &erá igual. cero el toefjclenu 6,., puesl.o que el sub!ndice t C0!T89ponde al fntor antisimétrico (X 1 Y X. llO.D lectorel anU.slmétrleos) y Id subíndice 3, al factor aimétrl(,() (K.. K .. X, Y X. SOIl factores .simétricos). Son Dulos tambiln 101 coeficientes 6 ... 6,•• 6••, 6.., 11.., ete. &l.o ocurre porqua en el p6rtic;o simetrico no eilisten d.,plua!Ulantos mutuos aotialmltrieos cUlndo actúlll cargaasimétricu. De la misma forma, cuando actúan

factQl"~ delueru.

aotiJIimétriCOll tlmpo-

co ap&reeec-in despluamientos simétricos. &to resulta mú daro .úa si tenemos en cuenta que en el 51stema dado el diagrama de los

••

moment.os neclores correepondleul.e • f.ctor. 'Dtisiuukrlcos ser' taUlbiin .utisimétrieo (fig. 237) Y el dl'lIT.m. eorre!lpoudienle • los f.c:lol'tlS simétriCO!, llerí tam bién 'imétrlco, Al multiplicar fllltos di.pm.., obtendremos como resultado, cero. mientras que .1 multiplicar UD di.gram•• nli3iOlétrico por otro .nUJiOlétrico o uno lial. trieo por otro simétrico, también, obtendremos un re!lultado diferente de cero.

Elimin.ndo pues del sutem. de ec:uaelonllB los c:oefic:ie.otell que Ion 19u.lell • cero, obtendf'lllIlos elllistema siauienl.e.

3"X 1 +3n X.--6.... d.,X, +6..X. __ ll., 1l.,x.+6•• X.+5...X. +6••X. __ 6_ 6.. X.+6•• X. +6•• X. +6•• X. _ -6_ l\.X.+6..X. +5..X.+6•• X._ -6.... 6..X.+6 ..X. +ll..X .+6•• X. __ 5.,. Como ,'emOl!, el ,Isteros de ecuaciones" ha descompuesto en dos aialemas independient~. Supong9.mos ahora que J, carga s¡terior es simétrica. De lo anterior se deduce quo 61.. _6.,=0. El primer ableme de llCuacion&ll resulta ser bomogineo y por lo tanto, X,_O;

X._O.

~ decir, c....Jldo la carg. el! simétrica los I.CIOn!:!l de fuertl IOtiaim'lricos ubieados en el plano de ·slmelrla 500 i¡u.al• • cero. En el ea!!) de U!l.l earg. anU!imétriea 6.,.=6.... =05... -6...-0 1 entonces.

X._o. X.=o.

En este CIlIO, en el plano de ,imaula SIl cOllvier1.en en cero los f.ctores de fuena ,imétricos.

Lo dicbo $e eJ:tiuda, claro "'t6, no llÓlo a 101 p6rticOlpiallC'l, sino t.amblén. los p6rt.iCOl ..t'l'OOI independientemente del grado de bi· perest.ticidd. SI la carga que se aplica al pó.rt.leo lIim'trieo no tieoe la propIedad de limelta o d8 antisim8lrra. siempre u.istir6 ¡" poSibilidad de deseompooul. en carg. lIimétriea y alltisimétriea. como viene indiado,

por ejemplo, elI JI, fil'lra 238. El problema M deseompone pUM en dos. Se auliull independientemeote dos GUOS: el de la earga limétrie. '1 el de 111 carga l.lltisimétl'ieJ.. Loa bctoree de futll'U interiores del p61"lieo le obtiOO8.ll despu&. wmando estu dos 5Olueionllll.

A

Si el pórtieo "', como le diee, geomitrleamente utisimélrieo (fi,. 239), t.mbilÍn 511 puede. eompuando JOI diagrAmas eorrespondien. les a las odOll pules, obtener cierta!lllimplWeaeiones en el s.i!llem. de eeu.cionllS eall6llicas. Es fkil, por ejemplo. lllIlableur por lllIla método que en el easo del pórtieo de la (igura 231t y para el sistema Mse dado

6.. -0, 6.. _0. 6", ... 0. 6.,._0. Las 8Cll&CIonllS S&rin puell.

6"X.+6..X, =0; 6.,X,+6n X.-0; 6.,X.+6......0.

•

228

Clip. VI. Cdkulo por fuuzu,de Jizt.mll' IdpuuUfieo,

&1 decir, en la !leCCión A surge solamente un momento Hector, mientras que lae fuer'U9 normal y eortante eon igueles e cero. EJempl<. 8.4. C...lcul.... l. hlpe.... t ... t!eldd Y ton.trui. ~l di ...gr"'lll'" d\I loe WO\WlotOll lleet
""X,+"',p""O.

siendo

pe

"',1'-- 4El· De aqui ".. obUene

3

X,=-:¡P. El diAgrama de loa mOlll
!erí,

PR "'1'-,(l-cDII ",J.

El momento dal laetor de fu
..

611 _

r M~Rd

lIR ~ ~=2.El·

.

PRI(".) '1'= ~,M"M,Rd", tr =-m"1'".

6

Enlonce nbumdremDII.

X. __ ~=PR

.

(-r-ñ", ) .

El mornellto f1octor 8ll una ~16n arbilraria es Igual. l. !ume Ilgeb'alca del mOOlnlO dllu fu81'Ull dadas MI' y del mnmento M, multlpltc...do por Xl" Por fin obtelldremOll.

Mo •• _Mp_X,=PR

C~·_{cO!l"').

;. ~---,I_~..1 I

I

flt.

240.

Fl~.

241.

F.... 242,

Flg. l!41.

:).~29: ""

Fl~.

X,

244.

FIt. 146.

Según.\.a ~I.p"""l"'o le ooustruYI ,1 diRB'f8.ma del momento rLecwr e.. el cu.drlnte eo elleeti6n de la dreuolenmela. y M extieode después, badlldO!e eo J. ,Jmetri. dol .¡sume, I loo. la eirouofel'9Dcll (fl,. 245). El momento rLector mlÍJ:imo

.urge lO 1"" puntlll de .plie.clóo de In laeuu P y ~

!:.!5..

"

Ejf:aIplo 6.6. Calcular el pórtico blperesl.állco d. II figura 246 y COlLstrulr el diograme de loe momentOll.

, Fil, 2fT.

FI¡. 243.

El pórl.lco "" pom6trieaw.llote aotblmétrlco. Lo soteionalllOll por el centro

de o.Ime~r1. 'y .pliumOll,i 11 llllCC'i6D !.res loctorn, do fuerza, por ahora d8!lt0D0e1' dOll (lig. 247). CollltruimOllloa CUltro dlagramu de 1011 momentoe fiedo..... (UDO

tOml&polld. a.luflMl'ue dad.. y ll8!Ie 1000JactofllS de fuena U.. italiOll). AOlllundo 11}lJ dlagr.mu (lig. 148) lUIlI COllVOllCllmOll de que

".1' ... 6...... ",. =6,._0.

'" Es decir, el elstem. de

l.mI ecU'CiOD~, Ull6njeu _ul~,

6..Z,,=,-a,p;

lI..X.+lI.,x.-O;

6..X,+1I.,x.",,0; ... dooude

80

obtiene,

X._X,_o.

Hallando loe productca de loa dilgtamaa obteodrelDM, SI

O,,-l'7' y, por lo kIIto,

~

ó'P-3El

.,.

X'--rr' El dieat.lD. \.otll de 101 momenloe fiectoWl "" di. ll1 l. figura U9.

f1¡. MI.

ti 47. Yillas contlnu...

ECll8chln de los tres momentos

En el diseño de Iu e9t.rue\uras de las coll8tlueelones y los puooWJ nos encontremos con la necesidad de calcular la resistencia de vigas continuas biperellt6'icas. El esquema de dlculo de esta viga BlII' repl'8'lentada en la figura 250. Según!168 el númlllll de apoyos edicionalell, el grado de hiperestaticidad del siswma puede ser )100. d09, tr85, ... , m. Para calculll.f Nt. viga rellulta muy c6modo partir del sistema base que se obtiene, introduciendo articulaciones en los apoyos y aplicando lO!! momentos X lo X .... .. ,X que 8W1Utuyen la ligadura eliminade entre los van~ vecinos ·(lig. ~f). Con,ideramos positivos los momentos representados en la figura 25f. VetlWOS c6mo se traDllforml.la ecuaci6n 11 delsieteme de ecuaciones can6nicas en el ceso de este ll5queme, 6.,X, +6••X.+ . .. +6•• • _,X._.+6••X.+6•.• +>X••,+ .. .+6o.P=O. DetenninemOll 1011 coeficientes de esta ecuación. Pare ello, coll.8truimos los diagramll.8 de los m0D;10ntOll correspondientes e lee fuenas

dadu y a 108 factores unitarios, eo algunos vaDOS vecinos al vano n (lig. 251). En este tuo, los diagramas de los momenloll de les targas dlldu se tonstruyall por separado para cada vano y 88 interpretan éstOl5 como vigas Ubres de dOll apoyos. Igualmenta se construyell los

x

Fil, 'Z51.

dlegramu de 108 rqomentO!l corrll3pon41entes a 108 momentos unlta· nos que actúan en los apoyos. F..!.,natunl que en la ecuación plantllllda más arriba se convierten en cero todos los cooJicientes menos 6u _" 6.... ~h Y6.,p. En electo, el momento unitario n origina momentos Dectoree solamente en 1015 vanos AB y BC. En estos mismos vanos aparecen momegJoIi. DeclOres cuando aCtúan los momentos unitarios ~rigiDadOll 'por los momentos n-t y n+t y por las fuerus' dadas. De 'equi ll8 deduce que todos los productos de los diagramas son igulIl. a cero, meDo'! a:quel~s que determinaD 6... _" 6.... 6",,+> y 6"p.

.' .

Considerando que 'la rigidez El de Uldos les vanes es 'e misma obtendi'emcs,

,

tI""-'''''fÉ7'

",,=m(f,,+l••• >.

" ot-[onf,;" .,.=~

4"-'--Q

~

"u'=6EJ'

6" ..] •• 'r,;;;

,

siendo Q... y Q"., Iss "reaa de los dill,gnmas d'e los momen~ de lIS fuerzA.! dadas en los vanos 11 y 1I+f. Le ecuaelóo deJ método de.llS fuerzaiJ ser'. .

X.. _1 f.. +2X.. (/.. ,./u ,)+X"... ,IH,+6 (~+f=:!) ... , -0,

. ..

aiendo 5"-0,.,, y S" .. ,=r.1•• ,b"" los momentos estéticos de los 4iagremll.s de os momentos de las tuel'7.as dades respecto e los puntos A y C respectivamente. En la ecuación obtenida figuran, como se ve. los par"metr09 geométrJcos y los factores de fuena que se refieren solamenta a dos tramos contiguos AB y /J.C. ElIta ecuación expresa que el ángulo de giro mutuo de las dos seceiones vecinas de los vanos AB y Be en el apoyo n tiene que ser llfllal 11 cero. Con reapecto • este par de vanos. 1.. representa la luz del vano Izquierdo y l...,. le del derecho. DesignémO$los, para mayor claridad, por ti. y 16 . Anotando los momentos de manera semejante. es decir. X._,-M 1.; X,,=M.. O
M¡,II.+2M" ed (11.+la>+Mia+6

[~+~] .",0.

(6.'1)

50 denomina «:U4C1611 rk UJI Inl momIlItOI. El mecanisIDO del planteamiento de este tipo de ecuaciones pa.ra. la viga continua está butanta e1aro. Se analiuo cooseeutivamente todOll los pares de vanos contiguos y para cada par de vanos se plantea 11 ecuaci6n de los tr8!l momentos. El número de pares de "anos as iguel al número de apoyes adicionales Jowmedlos. Ea decir. que el número de ecuaciones de la viga cootlnua es Igual al grado de hipereslaticldad de ésh. Una va! r8lluelto el.slstema de ecuaciones y después de determiner los momentos. ain dlfleultad ae construye el diagrama de los momentos f1ectote!l y se determinan las tell.!liones en Is viga.

ElIta ecuaci6n

EJemplo 607. Caltule.r la "111' tolltlnu. hlpe..,.t6tica d. tUaIN"'''''' de 1.

ligur. 252 y <:onatrulr Ñ dl&gnDl. d. loa mOll1.ntol neclof'M. El rr.do de hlpereata.t1t1dad del aiateDl' ea tm\. lonodueiDl05 .rtJtulaelo..... en todOlllos 'pDyoe ioterlXladJoa y .pilcalDoa 10$ lDOlXl&a'oa deatODotldOll M" N. Y M,_ ConatrollllO!l .hOA loo dl.gramU de los m0lll811Loa fled.Ol'8II de lu fueT'u. d.du en loa doa prlm.1'OOl nona {fllI. :ui2. b). Eatoa dJ....ma.lOll parab611. tOlI. En loa otI'oa dllll "1IDllII10$ lDolOeolos fied._ da lu fuenu dadU!IOn llJU'·

Jea a tero.

d,

~~~~"=. jflfll-M_% FI;. 2&2.

El _ l o esUllo:o de . . . ' - .....10 • de "ea .... .J lIlismo,

oP

I~

uu.m....~ _ ole! ,.,

,

".. -S.-¡r"y. E. decir, ele JI lICuul611 (tU} .obtle.....

•

tN.'+Mol+1l (~+~)=O . O" W1+NT- - T

"

p~

Uon ll1 JIU tlgulftlw d. 111-= Be y CD. AquI, , . MI._M~. N _ _ M,. M._N, Y )' por lo U111IO;.

s.-o.

POr úlliDlO,

fiI

Reeolvleado

I~

el wn:er par d. VIlJ1~ ObteDdnlDl~, , M.+4M._O. OOIllelOll8S halJuemo..,

t

.. ",... ""U " ., ""'--m9 , "'t=-ffiV , "'I-m; Aal. vence l. blpel'8lllaticidad de.llÍstell)l. Quede por wlIl!truir el dlagraina de

loa DlOmentoe Otcto\'ll$. Em 98 ohtleoe,aulDlIndo loa dlagramu de 10$ momea\oil

O""tW'M de lu tueuu ddaa ""0 loe dla¡r1llllU cotre!lpondlentelll,IOlllDomeilt05 dIl apoyo (Ilg. ~2, e). Pe,. ello, In el \rImo donde se aulDa l. puÜlOl.. ~n UD trlpeeio, se !uperpone el diagrlmalnvertido de 101 mementos'da 'PoYo IOhre la ....r.bol•. LolI :legmentos reyados. &111 ob~idOll. 1IG .lt\l.'ll. deapu6il aobre UIUI flICta horhollW. En II figura ~2, ti ost.6 reprwentado el dill(nlllla de IOIS IDOIDWI10$ fiectores ohUlnldo de elIl.I mUla,. y la Wll'e!Ipoodleole llDeI ""'tica da la

........Si .urgiese l. necesidad d. deten:DioU' lu _10_ de apoyo, ademis de

loa momunloll Oeclorea, lo mH Ucll !'(Ir!. _unir I lu ecuaciones de equilibrio•

.JJ.. ,.Jl

lJ~r

~1i-'

.9

Pe"

' Lt¡il.

1 ..JI

l1Z't"

;,gjm!mi~"1~:-. -,----'~'f. Fi,.

ni.

ClIleulemOll. por ejemplo, 14 ",aecl6n eo el apoyo C. Pa..,. ello analiumoe. por ..pando, d08 'l'aol>!l COo~i¡uOll y eplicamOl, aparte de la carga propia, tambl6n loe momooWll de apoyo halladOll (fig. 2!>3). P¡anl.&llm08 la SIlma de 1... momentoo l'llfIpecto al punto B pua al kamo 1... quleÑo l' hanaIDOll la reaeci6n eo el apoyo ,ql'4 t3.,,,"7 P,I=""'f+mqlt-mql, P·-m,l.

e

De la misma manera JllanteamOll la suma d. loe momentO! ....pee~o al p\l.llto D pora el vano de le derecha '1 de nwvo baUIDlO$ la ru.eci611 e:II el apoyo C.

.

l.."

~

P,l=m,lt+mQl.

Po-mq!.

&slll _ tu fWlnu con qUll 10!l VlOOl derecho e i&qulerdo p_IIman el apoyo C. La .... eci6n total Igual a la ~uD1l de e:llail !'Meclo_, • • 52 P,-Po+Po=m QI .

!le.'

IOb~

Ejempl\> 6.8. caJeulor el sistema hiperestátleo de la viga da la ligura 154, l . El grado de hlpetul.atieidad el dos. La.. plrtic\>la,idades de 811.la. viga «tnaiaten ..., le nistenela de un votadllQ eo la dereeba y 1111 ampotrlmlenlo en la Izquierda. TnaladamO! la fuera P al puol.o eituadn ",b ... el apooyo de_ha Y. en lugar del voladizo elholoado. LotroduelmOll. el momento PI (Iig. 154, lo). LlI fuena P aplicada al apoyo D iDlluye 101amente cuando .. determina .. lo reaecio_ d. apoyo. !lÍo <.re" momeot08 fleetores. SUl~hulmOll el .mpoltamieolo por dos .p0100 .ituadOl a unl dlstaocla lo!lnll.f.ll1llnte pequei'l.a. es decir, Introduelmot en 11 parte ilqulmla UD VlllO de IUI 1,""0 (fJ¡. 254, 6).

.,

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Fil. 2M.

ODa llpdun aolidoDIl qllt Impide .tIllO 4.1, 8ICd61l ;lllu1ma da l. borra. Por lo t.all.O, U. dOll apoyo. '¡\Il"o. IIlflAltameot.a c.eru al no del olto tinea lu J'f'Opltdadet d. UD .llI.poll'ua....to. '

Ij;---' 11:'-, 1-tI I

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PI,. el par d. Vino. AS y Be (Iig. 2M,

~), l. KUld611 (6.4) ter'. 2M l (O+')+!tI ,1.0.

PUlIllOS abara a1I1¡\1Ddo par d. VlI1rn- EllllOlIllolo da l. fuet... d.ad. _PI • P.IIKI Interp_rel.u o como momelll.o d•• poJO, ~ .. l • MI o como ",pa ",Tia

d.~ ul.erior. En ellll[lUldo UlIO., deblo GO!IItnIlr al dlQTlml de 101 mOllllOIQl QlrI"e$polUiien1.e .. -PI '1 WGlllar S,. coIUJd.n.D40 qI» 11,=0. h.wDJ'OWdo.l _ t o -P¡w.oo IDOllUloto" apoJo, obt.aod..._ pa.. la tcUaclall (11.41. JI,I+4Mol-PP"",O.

,

Uu .,. _IUI .'" .cucl6JI _Jaa....IlI-.l.tt coa .. lID.W'lor ba1JanlllOl.

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237

• 48. 51.lemu planos con cargu. perpendiculares al plano y slstemu estéreos Veamos las particularidades fundamentales de los sistemas gtlométr.icamente planOlJ solicitadOlJ por earg~s que. actúan perpel!dieularmente al plano del pórtico. Algunos ejemplos de este tipo de sistemas 511 dan en la figura 256.

La particularidad de estOll sistemas consiste en que los f8ctores d8 luerz8 interloros, en todas !1Ij seeeiones tun8vel'Sllles del pértlco, quellll eneuentrllD en el plano del pórtico son igualBll a cero. Se nemue.'ltrll esto de mllnore lIDálog8 11 como ee hito lInteriormente al an,IIzer In propiedades de simotria y antisimetria.

Supongamos cierto pórtico de este tipo (lig. 251). [.0 secoionamClS en un lugar arbitrarlo convirtiéndolo en isostlÍtico. LhuDaremos X,. X" X. a los {acLarO/! de fuerza cuyo piaDo de aOOÓD BlI perpendicular al plano dol pórtico. &tos factof'8!l 50U: el momento l/aetor, el momento torsor y la fuerza cortanw vertical. Los trBll factores de fuerUl r88tantes de le sección X" X. y X. (Hg. 257) surgen en el plano del pórtico y están represeutados, para mllYor claridad, aparte.

El lIislem. de ecu.eioo. canónicas seri.

+1l,.X. +6..X, +ll..X. +6..X. +ll,.X. = -ll,.... + 6•• X, +6n X. +6..X. + lluX. +6..X. = - 6 . 6.,X, + ll..K. + 6••X, + tI,.X. + ll..X. +6..X. -= - 6 . 6"X, + lInX, + 6••X. +6•• X. +6••X 1+ 1l••X. '= - 6,.... lInX, + 6..X.+6 .. X.+ 6.. X. +6..X. +6"X. ""- 6l,O' llnX, ll.,X,

6n X, +6"X , +6..X. +6"X. +ó.. X.+6•• X. = -6'1"

Este sistema ae descompone en dOll sistemas ludependientes. puesto que. al multiplicar los di'iram", corlUlpoDdleDt8!l • los tres primeros flctares Interiores por 1011 dia¡rlmas cOlTtlSpondiente:!l I los tres últimos. obtendremOll .siempre cero.

6" _6.. _6,._6........ Ea decir,

-o.

6n K, +6..X.+6"X. = _ll.....

ll.,X, +6•• X.+6,.X. 0=_6.... 6",X, +6.. X.+6•• X. =- 6....

6..X.+6..X.+ll••X. ""-6 ... 6..X.+6..X.+ll•• X. =- 6 .... 6"X. +1l..X.+6..X. __ 6 ... Si liS l\lem, 6.lterlor9!l Ictúln en el pllno del pórtico. es decIr. si el plirtlco 811 plano en el "ntido común di la palabra. en~onC6! 1MI anulerAn 6.•. 6" y 6... y resultar' que 1000lactoras de fuern Interiorflll X" XI y X. aerin 19ualflll I cero. Esto quJere deelr. que eo pórtico plano .parecen solamente los r.c~ interiores que se eocuentnlln en el piaDo del p6rtlco. Si la caera exteriOl' es pupendicullr.l plano del pÓfUCO enton<:el seran iguales. cero 6..... 6... y 6., Y. por lo tanto, tambít!n Ierin nulos X., X. Y X•. En el pórtico dado. como vemos, se mantienen los factore:ll de fulllU lnteriotft cuyos planos de acci6n son parpendiculare.s al plano del pórtico. . Cutndo l. carga que actúa sobre el pórtico es combineda (fll. 258), siempre exis~e 11 posibilidad de deecomponerla por pinos y lnallur por separado el sisterol plano y el sistema plano con cargas perpendiculares a .él. LOlI factores di fucl"Za interiora se obtienen an adelante como la Soml de las solucloDBll binadas. Pasemos ahora"a los ¡istarou estéreos hiptresUlicos. El ostudio de. estos slat.emaJ en prineipio no presenta dificultades. Eat' claro que el eilculo de esto.s sistemas hiperest'UCOII resulta, como regla general, mú I.borioso qllfl.1 de lossisu.n.. pllnos. Sin embaqo, lu tcuaeiaDl'lS tlD6nlcas da¡ mt!todo de In fueru, son 1., mismu J l. dderminacl60 de ros coeficientes se llevl • tlbo por los mismOl procedimianlos.

Requiv. espeei.1 '~llCi61l, al calcular 1011 p6rUCOlI esUreoI·hip.. renátiCOl, la comprohaci6o da la Inyariabilidad clnemitk.a del .isLem. baM. Oclln'6 a Vee«I qu.e el .istema fIlJtéreo • un mecani.!D1o, lo que le coll8igue demOlllnlr solamente dllllpulia de un adl,isla mlouclcleo. A8I, por ejemplo, 1M B¡stem'~ estlireOll' con IU'tlculllclona!l

IIIStéreu, tambilin, de !lo Jigura 259 .on cloemitlcamente vari,bles. En cada VilO de estOll casos, lu Iigaduru impuettu 110 impiden el ¡lro delliatem••lrededor de los ejlllS repl1lLHntadOllelll. figure 259 por 1i1lea5 puntadu.

, I

, ,,, , Fle. ZIt.

1.11 comprobtci611 da l. hlv.r1.bllldad cinemitlca del aillttma es"reo se reaJiUl genllf'81mente por tanteos, 81 decir, por inleowe: consecutivO' de dellplnat ment.lmente el pórtico o .lgunos de 1U5 elementos respecto. ejes Inm6vlltl. En nIeción con lo dlcbo, /le debe Indicar que la edg&nela dll la Invariabilidad cillom'tiCli que Iie subray6 anterlormtllte, no siempre, en eJ caso general, él' obliga\Oria. Ea al'lIOO1 easoe se pueda admitir l. var¡ebllldad einom'Uea del mtem. bue, pero .Iempre de .cuwdo con lu p.tUcwar¡dades del airtem. de fuerzu .pUeado. A:JI, 811 el ajemplo 6.5 qlHl ae uaJiró .nteriormente, ll.I p&tlco uwar aeseeci0tl6

en dOllugna (v&se l. ligur. 244). L., parta del pórtico adqu.irieroa 151 .. posibilidad d. dfl5plaurse Ilb,.OlenLe UD' I'tl'lpec:to . . . otr•. Sin embqo. la nriabilidad eioem'tlc:. . . i obtenida rtlSUlt6 ,in h:nport.and. pu.to que al IlilIt8mll d.do d. fo.rzu uterlOrtlll y eillillleml de fuer!u uit.nas e5t•. b'D equlllbndOl iodopeDdJ'D~

mente .1 uno del otro. ~plo &.9. CalQ1lu el aisWml hlpen:st.itieo del pónlco d.l. f~tI Z60, •• Lo rilide1 de 10II1111l'10",- que 10 _PO"'" I b nul6n. El rila wui60, GIl' I pbrtieo es 1'1. .0 '4l11 PMP"odlcuJ. . .1 plaoo del II6rilco. Por lo

Col'"

1...1.O,'ll Nalquier 1eOe16n tr.nt'f...,.,1 del pórtico lo.l."tOl'8!l

á. fuulI qua.

encU8lItrlll en 61 1'1'110 del pórtico. Mráll i¡ual... c.ro. Pue31.O que .1 pórtIco .. lilll'"ico. en 1, -.:i611 tr.ntv...¡ del pl.DO cla ,llllltrr. arán ;'1,111• • rArO lo. laelo,.." 'lItí,im.lt.!eos, ... decir, e! mO....llto tono. 'Y l. fUlru COl1.aIlW vlrtl"al. S4dn c;lifereotu da cero 10111DOllte el momento !Iector.n el 1'11110 vertical. Co."mOlle.! p6rtlco pOO'61 pIlilO d' ,lm,tri. y .plle.mOl'¡ DIO_Oto X \ (fll. 260. "l. Coll.t\11I16lOll el dl~lml di lo. mo..... ll~ «In'Mpcll..l.lonl.at I Ju Tntnu d.d.. J .1 010_10 Ulllt1rlo y ealeul.mllS 101 ro.flelllll'- d. l. ot\llclÓo .... 001111:.,

6"Z.+6,p_O.

,_..-.

no.

262.

242

CAp. 1'1. C4ku/<> por , ... rul de filIe",,,, ¡IIprr..16IiclJl

SI el pót\leo W, COOSl.iIU¡do por barru de _cllm

El

Glj=I+¡.I"tIl,3,

El dlagrlm.

def¡ni~lvo de

~r~ns~ene.l clreulu,

eotollCM

X,=O,35.'i9!'·

los cnomentos lItetono. ". di eo l. llgure 261.

E}c!lIplo 8.10. Andlumos por flo el DÓrlieo e>llMeo di l. Ilgurl 262,

A.

Lt.lI

t1~d_ e 11 nui60 /tI y e le 10"li60 GIl 1100 i&ud"" pere todOll los elemeotos

doi1 pórtico.

8¡ pórtico es .lmétrleo l'1lspec.t.o e lO!! plenos vertie.les A8 y CD. Se«loolmos el D6rtico por el primer pllno de limitola, obtenilndo en 1... """"'io..... 501emente (actores de luM"te..lm6trlcot (flg. Z62, 6). De le e
"

plano l1orhontal.

ConotrulmOl los diagnlDu de 101 momeotos eorrtllr;odieOltll a 1... fller ..... dadas y al momeoUl unlterlo ""lelOflnle en la m;l.Id de pórtico. Multlpliundo loa diagr~m .., ob1.eodl'llmOll, 61 21 PI'

""=E1+GT,' "'P"'-W'

" ,

.r'="4 -er. 2+GT, Eo el

U&O

de

un. seeel6n circula. ~"'" 1,3, X, ","0,016 PI.

El diegrama de-

liollho 00 101 DlDDJ8lltOll se da UD le liguD 263.

, 49. B8tetminacl6n de lo. desplazamiento. en listemu 'l"rnCUlcoe Como ya 8lIbemos, el desplazamiento en cualquier sistema se determinl multiplicando los diagram.s d. los momentos d. Isa fuerzas ellwiore8 por el diagrama de los momentllll de la fueru unit.arla.. ~plleadl al. punto cuyo desplazamiento se busca. En los sutemas hipereatJ.tleoé, claro 0016, psra comtrnir eJ dla· grama de ~os'momeDtos dli las fu.~r:z.!ls uterlONlS es neeellario vencer le hipereataUcided y construir· el db.grawe definitivo, como eato se hho muchas V!lCIl$ en los. ejemplos qUl! se aÍlelizaroo enteriormente, Cuando.se eplica al eiatem.e. hiplll'9llt.atico le :fueru tl-nitarle, de nuevo 08 neceaRrio vencer le hiporest8ticidad dei"sistema. AsI pUM, resulta que para d"~"nniner el desplazamiento en los sistemas hiperastáticGS ea necesario eaI.c'ular dos veces el mialno slatema hiperestático. Las dificultades que surgen, sin embargo, se veneen fácilmente. Supongamos dado clerlO aistema; .hiperesfático y determinemGS el desplaumieoto del punto A. por ejemplo, (fig. 2M, a). VeamOll cierto sistema base y apliquemO!l a ésle las fuenu dedas 'J los factores de

hiena deKOllocidos. X lo XI J X, (fig. 264, bo). Un. vez ".neld. 1, biperesf.Lieidad del sáleml y onteoldu I.u lne6gnltu, el p6rtico de l. figura 264, b In nada se diflll'8OClni del dado. Serb igual. 1011 despluamlw\O!l de todos IQliI punto!! de los dOl9 pórticos. Por lo tanto, las fuenu X •• X. y X,.o pueden eonsiderar eomo fllertaa d.du.

n-lírr a)

Ó)

9

Al. :54, El diagrama d. 1(lI!I momootOll de 1&1 fucru.s P, X" X. '1 X, "el diagrama dejos momantoll en el p6rtico blperestitlco '1, por lo t.nto. Inte todo .. debe veout l. hiper8llLatleldad y eOMuuit el diagrama definitivo de tos momentos. Claro . t i que el as.-clo da.-te di_gnma l)() depende del sistema baH admitido. St libra d8JPuá el sistema de

las (llenas exterioce!l Inlre la. tu.les lilJlUllo tlmhiéD X .. X. '1 y lIll .plie. l. (ueru UDit.tn. .1 pórtico fso"tático (flg. 2M, e).

.'f.

El di.pma uniuno obtenido lIll mullipliea por al diagram. deUnitivo corrapondiente I la!! fUllnas eJIt.eriortllll d.du. Pr'eUl:,llmente, resulta mú cómodo multiplicar pOr separado el dlagranl.' unlta· rio por 108 dlagramu de la, fuerzas dad", y por 108 de 108 factores de fuene X" X. y X. y sUlnu despuM JOlI re9uludOll a1gebralcamcllte. Aaf se determlD' el dll8plazamiento que" bU3Cl. No ui&te, PUM. la necesidad de 'l'lI!ncer por MgU.IId. vu l. bipel'fl5uUcfd.d dellutem•. EjaaptoS,ll. Calcula. el d.ptua"'ielllo IlorbOl1ul del pullo A dal p6r\ieo l. El diqTlma de 1.. m_lltos ~ . . .te' p6rtlco J' r....

de la ligur. 2M.

'.4.

eo-tnIl"" ..tc"kJnlMn~, eje.plo Por lo &ellto, COIlSiH~_ q... la pri... parte dM "obl. _eU.•, te«lo..._ el p6r\ieo 1I11 tOllq,itI. pun1Cl 7 .plieutO$, .1 bQe obtenido. u el ¡tUllto". UM onltui. ([la. ~, WultipUumlo 1... diqAmu obtelldrtmOl, 11 PI'

...u

.1otOla

'j.

rO'nI

"A"m-rr'

.€templD 6.12. Du.ermloar 1.. dumlnuel6n del dUllll~ro AB d..1 pórtico 1.. fonu d•• niUo (filI. 266,.,). allOlicltnlo por lu Mnu P. EÑ S;st.llDlll.lpefet-

A

'eJ' ,

-

e

Q)

Q

un"" 11M ukl,d.do ,.. IllteriarllNlltl (ejemplo

6.~).

El IDGlIII!llW l1Ktor M el

CUAci"M.te 4.1 p6rtlco dilpe_ del 'n¡v1o .. _1!pIo.

It_PR(~_~'-,,), Sted _ _ el lI6r1.k:o l' 11 .. IlIpI .rbil.Prio 7 .plluUlOl•• 10. "'/1101 JI Y B. 1aa fll8tu!1l1oiuilu dlrl(ldu 111 lIotldo opumo ,flr. 26tI1 bj. Eo l. _¡6.. que t i UtKUrlU por 11 '01\110 ... M ._R 11.. "'. Elllo_ olltellO!,.m...,

.,

PH'(' ') •"1- , ir MM,Hd'f el -ET A-Y'

Capl\ulo VII FUNDAMOTOS DE LA TEONA DE lOS ESTADOS

TEIISIONAL y Df.FORMActOUl

I SO. Eludo tOllllon.l en un plinto ra ea los ejemplos do tnc.cióo y dl!lor!llóo hemoe tenido le polIiblUdad de coovoneernOll de quo temlión eo uo plano que pasa por uo,puoto detel'llllnado del cuerpo en teosión deponde de la orian\ación dol piano. Al girar 01 plano. las telLSlonea "arlao en determlnodu proporeloo6!l. El conJun\o de telLSionM que .urgen en i():'l dl"or!los planOll que pasan por el punto que lIO aoall1.l ... denomina 8!ludo tODJionaJ eo el punto. El Mudo tenJloual 58 puede .tudiar 00 8610 eo. los cuoe particulares de traccl6n y distorsi6n. sino umbitln on el caso "caenl de .sollclt.ci6a del s6Udo. Eat. cu.tl6n lIO analil.r' oa esto capitulo. El estudio de las leye!l de ".d.cI6n de las tenaion. en un punto 00 • WI problem. puramente .bllncto. Este estudio 11I oee_rio pe", la .soluci60 posterior de problemas lIIis complejoe y, .nt. todo, pal1I el dleulo de l. raiateoci. eo loe CIlIOS geneflles d. MUc1Laci6n. Sopong.moe, dado cierto "Udo (que puede no ser e1fJltlc&), soll, citado por UD sistellla atbltl1lrio de fuellU (fi,. 267). Al pasar de uo

la

:r: /

FI,.

m.

punto a otro, 01 estado tenalon.1 veril de m.ne,. suficieDtemlotllen_

u y slemp", exuu la posibilidad de eseo¡a.r ea la veclnd.d de un pun-

te cualqui .... A (fig. 267) UD. IOUII sufieianteme.o.te piqUiña donda SI puada con.aideJ"lr qua .1 estado ten.aional es homOl'n80. Est' e1aro qua ato es realiubl. mleotru.lO parta d. la hip6l.e31! de eootlnuldad del m.terlaJ, .dmitida .nterlormente, que permite el paso • volú4 menes muy plql1eiios,

Para caracteriur 1:,l11ll!l'edo wn,iODIlI del punto A, supongem08 que por 119te punto se hall tratado tres secciones 'i que se han determinado laa m'agnitud811 de la, tensionll:ll que en eaw aeeCiODl:l9 surgen. SeparalOO$ d8l!lpuéa, alrededor del punto en ~uestIOn, medlanw 8819 seuioDes un volumen 8lemenul formado por uo paralelaplpedo reetli:ogular (fil{. 268). Disminuyendo las dimension811 del paraleleplpedo, se 1'6' duelrA éste al punto dado. En el caeo IfmJle todu 188 CtIras del

z

'l.

,. t~

'Y

•

z

'"O; '"

f1t- tell.

paralelepipedo pasar.fn por el punlo A y se podrA considerar. que 118 tensiones en los planos trazadoa correapondeo al punto en cuestlOn. La tensiOn completa que surge en el piaDO 118 puede d8lJeomponer en tres componental!l: una, lIegón la normal al plano, y dos, en el propio plano d& la seceióll. La tellBlOn Ilormal sa aoot.,á, como hasl.8 ahora, por O' con el aubindiee correspondiente a loa ejes %, 11 Y • (fi¡. 268). La tel1lli6n tallJllneial se 'anotarA pOI' T con d08 aubindieea, el primero corresponde al oje que 88 perpendicular al piUlO y el seruodo, al eje orientado,seg~D el vector T. La direcci6n de los ejes llEl considera arbitrarla. La; teMlonos llormales de traeelólI a se cotlllideran poaitlvu y las de compresl6n¡ negativas. Dejaremos sin concretizar el signo de T puesto que on los problemas que mAs abajo se analbaráll, el signo de T carece de Importancia. Las tell8iOnOS que 'aparecen en lu tres caras del elemenlo (en tres planos ortogonales entre sl,que pasan por al' punto) esttn dadas en la' fIgura 268~' En las caras qüe DO se ven en el dibujo, aparecen respectiva.mente 111lJ mlsl!illll tensiOD8S, pero de dirección 'contraria. • • El "sistema de fuerzu-aplicado al elemento deberA .satWacer la,. coúdieiones de equilibrio. Como en las caras opuestas a})tricen fuerus de signo opuesto, lu primeras tres condielon8ll de equilibrio se

f SO. E.fl/da t.llllGll"f .11 1<11 punto

lI8tisfaeen td~ntlCa.me.nle, resulten-do IgualOll, 'a cero la$ sumaa de lal proyeccIones de todas his fuenlis-sobre-Io,s ejeS i; Il Y %.lndépen. dientemente'de Ja'magnltud:de 1" teoaione3 que aparecen. Falta por comprobar ,al ilonAgua.les a ,cero laa ~sumaa de 1Q8 !»o0mentós de todas llU! fuerds' respecto a 109 .ejes, z, JI 'y l. Al plantel! las ecuaciones ds equilibrio se establece fácilmente que el womento de cada fuena se equilibra con el momento de la fuena opuesta que actúa sobre la cara l.nvlaiblo trasera eorrespondiente. excluyendo ISa telllliones tan. gentides. Por ejemplo, pata el ej~'f' la erindicI6J:l~~e igualdad a cero de 10lJ momllntos se aatIsface, sl·el momento de -le: fuerza ''f.J.dz dz. es Igual al momllnto de la luena T.,dz dg, es decir, f~. dz d:· dI( = dz dy·dl.. De manera análoga ae puede plantear dos ecuaclon68 más de equilibrio, obteniendo. 'f,.='f." 1u = f•• , 1",,=T,... (7.1) Asi PU68, tn dDJ pkmol "rlogor¡ale3 entre ¡Í ~I CompofltllUi de la, ler¡sloTlts tan,etu:talll, ptrptrulicu14re. a 14 arl,Úl comiÜi $011 iguale, 1/. " 14, dD. mn dlrl,!d4. hacia ht Mi,ia, o /tu do. parlen de la arl,t4. En estl) cooals1e la ley de paridad (reclp«lCidadj de las tensiones tangenciales en su enunciado general (véase tañUiién el § f,2). Esta ley ell v'lIda pl!a todoe los puntos del alSlido solicitado, independientemente d.el tipo de carga quo se aplica y de Jag propiedades del matorlaI. De U. condici6n de reciprocidad de IIU! teIllliones tangeneiales se deduce que en las carae del elemento separado (lig. 266) existen no nueve, sinl) 1IOIamente seis componeotell independientes de las tension8ll, puesto que Iaa lensione" tanll'encialell son igualas dOll a dos. El análisis del estado tensional en u.o. punto comieru:a siempre por la det.e.rminaci6n de las tensionOlll en In caras del olemento ascngido alrededor del punto. Por el pu.o.to se unan tres ,planos ortogonales eaue si cuya orientación puede ser arbitrarla, pero que 38 escnga de manera que las tensiones que aparecen en lO/! piaDOS, sean lo más U.ci! poeible de determinar. Veamos u.o. ejemplo_

T.,

E}emplo 7.\. Obteoot ~ ut.do tenalol\.ll 911 I~ pulitos A y 8 d. l. ba". trae<:ioold8 'J toflllooada .imwtlloeamOllle (fq¡,. 269... j. Bo l. veeilldid de 101 punloo dedooJ . . petlllmoe un voluIDIlI slemelllal eDil IlIS planos conup<)lIdlentea, La <;>riontacloa de 101 pJIIlI>lI'" escoge da mell8f1l que fu tellSlolll1!l • pueolao determ!l¡llI" de la maDllra mú fkl1 poslbt.. Eo ou~ro euo, es lálrlco Ol'"len\at loa plloClll a lo llr¡o del eje de 11 barrl '1 perpoai:lleuJar.....lIta 1 EIl la ligur. 269, " los pl.nOll la 1& .. eelodad de 101 pIllltol A Y B 111 tlIIp~ll\M por Ilneu pua'-du. La!! elemeatos
,r.

¡

rece 11 tensl60 1I0rrnal

1;1"';' Loa vectores de las \ellillOI1lll

eonespondlllnteB

8\1

al'lIaa .obn las CUQ ole 1.- _ _tao. B.jo "" _ ~ e1
ea al pIlllto A, 'tao.-~ ., la _ pumo B. ~O. Sltumm 101 Yld.onl o. ' .....IoN lu ...... Gel ......... ato. Defh.U¡yameate ~NIA_ ell al ,..nto,4

a, FIl. tu.

P ',.._0. "~O.208'" '" a._a,_O, a._¡¡¡. '..,._0., •••1pwIl.o B, 0"_",_0. P ".__. ' ••""""=-'..,.-0.

"

• 51. Delermlnlci611 de 1.. ten.illnn en IIn plll'lO de ... 1....tacI6l\ arbitraria

r..... tensiones flI un pluo cUlllquieno que P'ose por el punto dldo te pueden obtenflr cuando se dln Iu Mis componQQt8!l del 8!ltlldo tenalonll 0", 0,. 0... T,•• TK ., ' ..." en tres plaDOlI ortogonales .otre .d, Seplremoe otl' VeI del cuerpo tensloDado (flg. 261). en la vecln· dad del punto A. 110 volumen elemanUlI en fOJ'm. de tetraedro y no d. paraleleplpedo, como 11 hizo anterlOl'lllente (rlg, 270), Tr8:!l CUal de este elemento coincIden con 1011 plan!» del sleteroa de coordenadal Z, 11 y :r, La tuarUi OIIU formad. por un plsno de orientación ubio tnri.,. Su direcelón eo el especlo la determlneremoe por los cosenoe dlreetora! dE.'·II non;o.1 'Y, es decir, por " In Y 11. El tetraedro el~meotll t1eoe IU.mismo pl'Opiededes que el para1eleplpedo que M Inllitó anteriormente. Al disminuir 8U! dimeosio!I_ III reduce al punto.A y, en el I~te. too.. IUS ~fU puar6n por el punto A. POf' lo tanto, las ttD,!iones en Iu caru del elemento MI consider8n teQllione5 en el puuto en cueetlóll;. pero apliCfldu • pl.nos de diversu orientlcionM. EII la figura 210. por lineo punteado, 1(1 ~prll!lllltan lu componeotes de lu te!LlriOUOl sob~ las CUII ocultu. Prop--CUimos el vector de la teDsi6u complete 1111 el pllOo de .orieotlcl6o arbitrarle BCD *lb,.. loe ejes z, 11 y l. ADoumoe Mtlll Pl'OyeuiODOI por X, Y J Z

... rtIlpllCtlvamente. 81 .. conocen ftrt811 tl'ell mapltOO8ll, &1 :podr!n obten8l", .. tn:..és de all.., tu compon&lllM: Dormal y tangencial. toñeepondiutes al pllno d. orient&C16n arbitraria,. Designamos el irN. deJ tritngulo BCD por F,.I Ú'IIl del tri~lo AeD, por F~, el del trii.o¡uloABD. par F, 1. por último, 'el del'ui6n¡ulo ASc:. por p•.' Est' eluo que, F~_"':

P,=-'"":

F,_F..

(1.2)

.I.odo 1, m, y IS Jos (0."'011 direelor8ll d, 11 normal v.

PtoYllCtllodo eonaecuth.ment8 todu lu fuerua que aetbn lobre el elemento, sobre 101 0.\95 %, g Y : obteodrelDOlI,

XF -oxF + ",,,F, +T",F., y F -"f",F ayF,+T.,F.,

+

ZF_"f,,/.. +T,J~+O;' .. o, de acuerdo con (7.2), X -o~+"I", ..m+1".,.n, y -t.,.J+o.,m +1"0,", Z-T..,J+T,.m + Oofl·

(7.3)

AsI

realidad, lllI cualqllier pl.no determin.do m '1 n. lu proyeecioo. X, Y y Z MI IXpl'fl8atl por In Mis campeo'lIla iniciales o". o" o•• "1",•• "". Y En otru paJecllI, ti tItado Unsiol141 In d pWlW le 'kunntnQ. por "'.JI compG~nk$.

por

plHl5, reeulu que, en 1(8 eoseIIOlI direet_ 1,

}

f.,.

Mediante lu f6rmulu (7.3) • {'eH determin8r el veclor d, l. tensl6n completa eA cualquier plano que·pu. por el pUQ.~o en cvestl611 (fi(. 271). EI.Ledo t.usioual81l el pu.nto. lIII. eoaeepto mú COQlpli. eado que .quellOll qlNl ueogtnmos W1.a equl. Ve «looeefDo. el-.:oueepto de llúmero y el «lncepto de vlCt.or, magllltud que" dltermiGl por tr1II!I nÚmetOll. El mUido lelUi0ll81 M 41~ermioa, ya, DO por 0-., 1100 por Mia númerOll y cOflllUtUYI UD Uruor. El terIJor, a difel'$tlcia da! z vector, llO admite UDtl loterprotacl6n geométriea almple. Geu"almentl el tensor el da pc:rr una m.~rb

.,

• 1,

•

"

I fll. VI.

(tabla) que

M

fll. f1l.-

tIlICribe, pOC' ejemplo. en la forma siguienta,

(:

_~

tOO

43

t:),

720

donde cada número repreleata el valor de 0A' T,,,,, ... de acuerdo con 11 peticl6n de \011 eoeflelentea en la9 trl& ecu.cione!! (7.3). ilI decir,

0",_500. T'A-200, etc. St pllMmOll del,ietema original de ejeJ Z, 11 y.a otro nue... o, enton-

r.es .... riar'll lu componentea del teDllor." decir. lIerin dlstlnl.olllos valol'95 de

0"" 0" ' • ,

Sin embargo, el Ulosor del' MUido tIllslonal

¡MIl-

maneur' el mümo. Elto se ilualra fiel1mlnte ID el ejemplo del vector de la figurl 272. El vector puede lI8I' dado por una matri& euyos términos son «lordeA.du del utremo del vllClor, (400

300

tu

0).

Al pasar al alltema de ejes z,' 11.. s, (ti¡. 272), obteodrllllOl para el miamo

"'e:.etol,

(500

O

0).

f U.

El"

prllt
1411.lplte.

prlllclp~l..

'51

Las compooeole9 del veclor, como vemoa, variaD, pero el propio voo.tor oo. '. Ve!!-m08 coo más detalle algunaa.propiedadltS del estado tenslonal, relacionadas con la transfofmaclón del sistema de coordenadas. A 52. Ejel prlnclpale. y lenllones prlnclpalel

Expresemos la tenslóo oormal o.. en un plano inclinado 'POr X, y YZ. EstA tlaro que o.=XI Ym.+Zn; o, de acuerdo con (7.3),' o. = o~l' +o~' +o,n' 21',..m1l +2-J.~1 2"t..,1m. Veam09 eltonjunto de planOll de orientati6n arbltrarie que pa8lln por el punlo en cuestión. UbicamOll sobre la normal a cada plano el

+ +

+

I

segmento I _ f (o,l {fig. 273). Lu coordenadas del extremo de veclor serán., z=rl;

lI=rm;

elll.e

;=rn.

Eliminando en la upnlllión de o. 108 coeenO!l directores 1, m y 11 obtandremoa el lugar geométrico de 108 edremos del vector,

+

+

o.r' =o"z' 11,J1' o,z' +2"",,111 + ~uu: + 2t.,xIl· VeamOll ahora oomo ubiear el valor absoluto del segmento r en fundón de o•. Generalmente, oote problema se resuehll de manllfa que la imagen geométrica resulte clara. En Duutro cno. p.e" que l. expruión obtenida sea simple, admitimos" formalme.nte que

•

• ""'To.T'

r

aiendo k una constante arbttrarie que refleJa la esea.la del dibujo. En\.oncu obtelldremOll, k= o"z' +0,11' (I,Z' yz + 2fu u+ 21:..,%11· Est. expresión nN dice muy poco sobro lla leyllS de variaciÓn de las tall3ioncs en el punto, pero noa dala ecuación de una 8uperficie Cflntral de segundo orden, De la geometría aoaUtica se sabe que, gi-

+

+2-t,..

rando el si:!l.ema dI c:oonlen.d1Ia, esta etuacl60 se puede tnDlformlr de muen que deupl.J1I!e.n loa produe\08 d. 1.. coordendu, es decir, que se eolIvilUtlln eu CeTo loa eoeficiulal de los produc1.m. 8n este euo esto indica que m C4dcl pu1Ito r¡ut « ÚWQtilD. tkl ~I.ldo Itnmncdo elite IUI n,tmu¡ tk _rdnuztllu r, r y , en el cUld tu krutone. tJ21lgtllC14lt, ',._ 'f.... 1 T"" 1011 1611414, o cero. EstO!! ej. te denominan ,¡u priltdpalt" Los plalKll!l ortogonales efIt,.. 81 torretpondielltes se denominan P"'fUI' prtnclplJle, y In ~D.lIiooes normal. liD 8!ltOll pIION. krulotwl pl'Wlpaü,. EsU! teMíanes M anot.n por D., O. y 17" siendo 0."'0,:=;;;;0,. Si en la vecindad del punto en cuestión e/ volumen el.meot.! upuldo S8 obtiene por tos planOll principal., entonces el sistero. de fuerza. qUIl epeflMlen sobre las carll! del elemento, se simpllliea

z

r

z

I

y

n.. 114.

Flt- !'JI.

(fii' 274). Se lIimplUie.n también eODsiderablemenUl las &euacion8!ll (7.3) que en !!ele euo serán,

Como, l'tlIultll

X_o,l.

Y-o.m.

Z_o.n.

f'+m'+n·_t, x' yo Z' .+.+._t. 11,

".

c!,

A estll ralacl6n lMl la puede dlr \lna interpretación ~Impla e ilutt.utiv.~ Las m.gnltudes X, Y Y Z M puedell Interpret..r como 1.. coordenad.. d.1 utl'lmO del vector de l. tusl6n completll p que .p.reea en al plano d~ orlentllci6n arbitrari•• EllugGr geomilrktJ " ltJ, ezlr~, dA utCtor dt la /m6t6n compullJ forma IUI eliplOl.dt, cuvo, _trfu IOn ID, 1M~'prl~ipcluo.. o. yo. (fI,. ;75). El ellp.'lOid. obtenido l!e denomina rllplOldt tÜ Uu tmstoMI. De est. repl"MentllclólÍ geomftrica Sol deduca como corolario que la mayor da 1.. tteI!I tlllll'¡OOU princlpaIlIJ lIJ•• 1 mismo tillIllPO, al valor lOmillO posible de l. tenllión eomplttll 0110 el conjunto da pllDOl!l qua plllln por 111 punto que lIa llnaliu. lA mellOl' de lu tell5iOD81 prln·

-.,.....

c1p.IOIlMId, por otn paÑ, el ".Ier rnlnlmo polIibl. d. lu teosioo. Cuando dos teIllllones prlaelplllllS loa 'rull. el elipsoide MI con· Wl cuerpo d. ret'oluc:i6n. En elite caso, ct.d. 'pu:oo "que paa por el .je de roaei60 !'tIul"rj principal. Cuando SOIl igualM DO dOl, lino Iu tres teWllo~ principales. el eJlplIotde le ~D ..l.te en UIWl esfere, resultando que todos 101 plaDOl que pesaD pOI' al punto In tU.tlM lIOO pllOO3 principales. PU8lPOII .hora • determinar lu m.gaUudes de liS tensiones principales, d8dos 1011 v.loret de In lila componentm del estado ten· eional, en un sbtemll ubltrar'lo de cooñl.enadu %, V, s. Volviendo a l. fl¡ur. 271 y. In f6rmulu (7.3), supOllgamos quo el pllno inclinado es un plloo principal. ú\.onces la tensIón completa en dicho plano (que 8!1 principal) 811"'" orleotads según l. normsl 'Y. AnotamOll 8111. tt:nsl6n por S, X_SI. Y "",Sm. Z_S". "Ier~ en

L.. eculelonell (7.3) Itrio .hora, Sl_o,.l+t,..m+t.~,

•

S"" -'l"i +0"'" +'l,,'" Sil - 'l.J +'l,-," + o,JI,

(O.-S)I+'l,..m+ t .... _ O• ) 'l.,J + (O,-S) "" + "f.;' _ O, '1:.,.1 +'I:,JIl

+(o.-S) -o.

n.•)

11

Este sistema lI8 puede eoll!lderllr como uo sistema de ecuadones re. peeto a las ioe6gllltu 1, m )' n que determinen la dil"flCtlóD del pleno prineipll en elllillteml de ejes Inieiales dadoe %, , Y J. EI,islema obtenido es bomogineo. Al mbmo tiempo deber' determinar valores no nuloe de l, m y n, pueslo que loe eoseDos diractOr&!l no pueden ser todos elmultáneamente l¡ruIles a tero, yl que

/'+m"+n"_t.

(7.S)

PUl que el sbtemll de eeullelones homogilDeu (7.4) tenga IOIuei60 que &el diferente de tero es neeesario que el determlnlnte de eate llbtéml _ igual I tiro,

o.-s T..,

l

'1:...

',.

'u '1:.,.

'1:,.

0.-5

O,-S

I

-O.

(i 6)

Ello 51 coDlifTIe 8!lCogiendo debidamente 10Il 'llores de S. Si se eumple b eondleión (7.6). entortees une de In tt. eeuaeiones (7.4) l. eombiDlei60 Iin..1 de 11.1 otras dOll que. eoojuntlmente con l. eondle.iÓll (7.5), forman 00 mleml nuevo sufieiente p.fIl'8 deter1Dill8r

tu'

fu ol.goitud. de 1, ll.J Y 11, que •• U V8% determinan la poeitióo de lo. pl'DOI principal•. Estl parte del problema la dej.mOll 110 .",U. Ul' y pasalllOS directamaole' la dotennlolci60 de la! teo.!lion8l!l ¡mn· el~JGl

S de l. ooWlci6n (7.6). Desuroll.ndo el det.en:nin.ntl y coloundo SUJI términos por el ordeo de las potenciu de S se obtiene l. l!lCulei6n cúbica siguieute, S'-StI,+SI.-I,_O. (7.7) liendo

1,_0.. +0,,+0,.

I'=#'D';'~I~:O':::-:~-Ir.~-1:"

} (78)

T.. T". D. Se pued.demOlltr.r que las tNlS r.lees de l. ecu.ti6n (1.7) son re.18lII. Estas ralees D.

DOS

d.n

1011

tNlS v'/Orelll dI In tell5iolles prillCipales o"

yo•.

Est' claro que las teosiooes princip./es, es decir, In 1'8 lees de 1/1 ecuaei6n (1.7), se delerminln por el cu'ctor del estado telllllooal y no dependen del sistema de coordenadu admitido. Por lo tento, lid girar el sieteme origina! de ejea:l:, 11 Y I 101 coeficientes 1 l' l. e l. de la ecuación (7.7) deberán permeoeeer illvarJablll9. FAtos coellelon· tea al dellominan fnoor14ntu cüt tflaOO tenGlOllld. En Ilguuoe CilIOS, los lnvullntes pueden llar Iguales a cero. Por ejemplo, .1 1,=0, entonces una de u. raIces de le ecuación (7.7) t.«mbMIl ser' Igual a cero. En tille caao se dice que el Illludo tensionJ1 es blu:I.1 o plano. Concrehmente, el Mudo tell!looal que ya eon~ clmoe, eon'E'IlpoDdlente a 111 d..IstOl'$i6o PUI'1l • un l!lI~ado tellS!on.1 puoo en el eual 01=-0"• ., D.-O. SI IOn 19u.11lll • cero ,imlllt'DNmentl los invarill.Dte:!I SIlifU.IIdo y ~ereefO, 0_, 1.-1.-01 entoncel l. ecucl60 (7.7) tendd doe nlctll Igual. I caro, re!Últando que IlOllm.nte una di las tewliooll principlles tII diferente di cuc. Eate esUldo tensiollll SI denomina molNHlZÍ41 o lIMIIl. Al estudiar los problemas rel.ciOllldOll con 111 tracci6n, compresi6n'y r.tuióc PUI'1l ya nos Incoo.tl'1lJD.OS caD este estado ta.nsiooal. Veamos algunos ejemploe de aetlrmlnaci6n.de w·tensioDM prin· cipt.lee. 1..

~kl

7.%. Deler:ooi

~pMaJI'" dd Ml.ldo 1 Dt ~ • Ju, fl'plft$o

al"

&enIl_ prlm:ipa1es euo 1_ ipl.. (lit. 275. a). (1.5) "1 ('U) ob~dnomOf"

11 -&1,

elWldo lod..

J._I,_O.

VI_lIG, 0"._0"._0. Sa d.dr, qlUl lit IIlIt.Ido ttnsiOllal d.do eOI.-1.11.,. u... tr.tc:i611 mODo..I.1. A ..~ .-Judo 11110 puld. 4., UII. uplit.d6n .hllil1e. 51 tenemoI U euenu ,,,.. el .1'lllMlto lIil 'pulid• •pU"U d. l. ba.rn k.«lon.a. da (ullqllier muera.

k

,-----f------. ._----~

(Il~ur.

:,,

278, al

,,, , ,,, ,

(

•

t-·-T~-~"

. . n. o.

_!'do «ID 111 upl'llllh (7.S) obtHdrelllOlJ.

',.0, '. __ )tI, RaNltudo qve

'._h&.

S'_:h·S_2..a_o.

,

.,

POO- tauteo. obta_ lloa. ü In ralea. Esta .. S __ 't. Di .. IIl.~1I .1 prllJltl' .l.eahro de 11 fICllKI6. por S+t s1ll1.plllteaaoa 11 KlIld6n, m!g,elhd.oI. a lUlI tcUKi6D cllIdr.ad. , dew,..lna.... c!llspojll.. doI,..~ retant., 0"._2'1, t.

O".=O". __

r.. decir,

.1 MI.do

~0lI.1

.-1t6 lIIH ttiulal (Il,. 278,.).

I 53. Dlagrt:llla clN:ul.,. lIel

IIt~

tu.Ilan&!

Como veremos mis adelanlt!, 1& determinación de lu tllnsionlll priocipllles eoMtituJe una elt!pa oec..n.. Intermellia lID los c'lculOll de l. rll'li5tencia dal eetado lel15inul tompleJo. POI" eso, muy a mlnudo resultl Deeesaria l. detarmiueión dI las tellSionlS principales. Elto, sin embargo. no quien deeir que .iampre _ neetSlLI'io 1"1sohllr l. eeulei60 c6bic. (7.7). En la huneolll mayoría di ClSOS que,. encueo\rllo ID la pr'clICl, la poIIidón de uoo de los plloos principales en el punto que .. elltudia lIfI puede determinar previamente. Entoncos los dos pleaos principalea reJt.ntu ,. determinarin del conjunto de planoe perpendiculares al primero. '10 que ahnpli!iCl considerablemente el problema.

'1.. 11't.

Velmos la condicl6n de equilibrio dI un pri.ema triangular repl"lMotado lO la ligun 279. Este prisma se lorma, HtCionalldo al p.ra· lelaplpedo elemental por UD plano inclinado que, independientemente del inll'ulo da inclinación a, permanece paralelo e uno de loe eJea principales, que, en DUll!ltro caso, ea el eje ~. Proyectamos todu las fuerzas que ect61n aobre el prisma. lIeecig... nado,-$Obre los ejes que coinciden con 1011 vectores o y ,. (lig. 279, b), obtenieodo. odu e::a - 0 , 4 d;cOl a +o,d" tU li ti lIllll. a,

....

..

,.dg «iiQ"",o,dg da sen «-a,d¡¡ dt

a ... a, COI" ti +0'. MlI:I'a,

'« ti COI ti•

,. _ (o, -a.) seu etco! Q,..

Eltu ezpresioMll " puede escribir tomo ·sirue.

a-o'to,+o'io,cosZa, ,._o'2"°·senZa.

(7.9)

2" Ad.se d.eterminan las ~nsi_ones en el eonjunto de planos psr;alelos a uno da los el,es principaleS.• A las exprc;¡ioD!lI (7.9) se lea pu(tde dar una Interpretaci6n. gllOmétrica simple. Pasamos la S
(lJ - 0'1°

1

) ' +'1"0_

", íJí

«'rt l

,)' .

En el sistema de coordenadas o, '[ ~stn es ia ecuación de una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre el eje o a la dislancia a'1°' del origen de eoordonadas. El radio de la eireu.cferaneia es

-

,

'" J--d
,

t~;,1:~§7,""~t. Flg. 2lIO.

igual a la semldiferencia de las tensiones principales. Es decir que la circunferencia se eOnlltruye .sobre el ~mento 0 , - o. que sirve de diámetro (lig. 280). Este clrculo se dellomina cir~ulo di Mohr o dfagraml:l cf~ular dlllltado tenslonal. En lo que se refiere a las ecuaeionll8 (7.9), éstes se pueden interpretar como la ecuación de uoa circunferencia en forma paremétrica. El parámatro aqul 89 a, que determina la relaclóo entre el punto del circolo y el plano cortante, A cada piaDO le corr8llponde cierto punto en el elrculo de Mobr. En el caso particular cuaodo a=O, el plano cortante coincide con el plano principal correspondiente a la tensión máxima o, (punto B de la flgura 280). SI a=90 el pIaDO cortante coincidirá con el otro plano principal del mismo conjunto (punto de lo circunferencia). La circunferencia de la figura 280 corr89ponde al conjunto de planos paralelos al voc.lor 0',. Dé manere análoga. 86 puede construir los clreulos de Mobr para el conjunto de planos paralelos a los vectores o, yo•. En estos casos los clrcull>S se construyen sobre los diámetros a, - a, y a, - O. rllllpecU Vilmente. A3í pues, se pueden construir tres cIrculos de Mohr. Como /lO se concretiza el signo de t generalment.e se limitan a construir solamente la mitad superior del circulo (fig. 281). A cada punto de cualquier circunferencia le corresponde cierto olano cortante del conelJpondiente conjunto, Está claro que (03 Q

,

e

Copo ¡tll.

F"Rdo_,,'"

tk

II.,fo di l •• .."..u,

puntOll situadOll en 1011 tl'ell elreulOll no agotan Wdo el conjunto de planos cortantEl!l. Los piaDos qUb DO son, paulol:OII a ninguno da 1011 ejEl!l principales DO puedeo ser locluldos eo el E6quema analindo.

Se puede demostrar que a los piaoOl!l de inclioaci60 arbitraria les corrllllpondell.ell el sistema de coordeoedu (o, t) los puntos que &El encuentuD ell el tri'ngulo curvUlnoo ray.do BCD formado por los tN!ll cireul08deMohr (fJr. 282). Existen lambi'n métodos que permiten detenoinar las ttnlllone!l 1m los planos corl'ellpondiente/l.

Fil. 282.

Como ninguno de los puntos no 'sale·luera de los JimltesdeJ triángulo curvillneo ray.do, estA claro que la teru¡i6n tangencial mhim. aerA Igual e:l 'nidio itel clreulo mayor, "

.

n.to)

Esla tensl6n. aparece en el plano de Igual inclinacl6n a 1011 planOll de las teusiooes priDcipaJes-ii1áliDUl y miWma.,

'"

81 di.trama eireo.ler puede 8er eonslnlldo no .ólo,cUIlodo .1 dlll Id \enSiOON principales. Es suflclllDte collocn lu ten3iones ea dos planos cal.lesquiera ~el conjunto euminldo de pt.Dos.ea cl,Ieetióo p'rJllel~ .1 eje prioelpal. Supoog.mos, por ejamplo, dldo el audo tllll3ioDl1 de la fiJUtI 283, a. El eje N ., UD eje principal. En el eonjuDlo de pl.DOl! parelelos I este eje 5(1 eneuentl1lD dos!'.... en 108 cuales se eononn 1., tensJooes. Estos 100 los pinos y /l.

z

d,

n

<

I

FlI_ tu.

Por lo tanto, en al di.gr.m. tÍfwl.r. se puedell deunnlolr 101 dos punlo!l eorre3polldillDLM qua debería QDcoatnne ea los utremOl OpUNloI deimillmo dUmllll'o, puest.o que el Ánplo entre JOB pl'DOS .lrual • 90- J esu '.opIo ... dupliCl eD el dia¡raml circular. Sio _baIJo. pUeI5to qua el Ilpo dI las terl!JlonM T DO ll8 c.oBCtltiu, altu&mos las ordeudas di 101 d(18 punto. uda arriba, 10 qUIDo altee.. • lf, forma del di.gr.tu cil:culn (lig. 283, b). Del di_gnm. circular "cllmente se determiDID tu tensiooes prlDclp.IN,

,iendo R. el radio del círculo,

nAal pues,

V(''---'''~2''';;'')''-+-'-''

a'E>~-V(~)'+t"l a·"",1I~111·+

JI (~r +t"

Una \TU deLenDi••du lu lllll!liOll8S fI' Y cr para .UibleeeT tuilM de .Jlu son f1 lo a. 1 de disminllción.

a,

.. comparan "Las COD

fI,. PUMUlS !n el orden

EJemplo , .... o.'tnll!..... I.q leftll_ priladpal. pan "'- .wdo ni d. l. ligun 284. La tllllIioDeJ. d.. ea u..o.ldad.. ~nadoDlJes.

•

(1.11)

l.lW~

C~p.

VI J. F..ndamtnlo, d.

1.~r1a

d.

1~1

"ladol

En.,1.I> ejemplo ... t.í d.do UDO d.los pl.o" prlIIGipol<'!l Y Ur'LI de lIS te...'o,

0(>5 prlnclp.les )/, por lo tanto, .10 ~Utrlr. l. ~lucl6n do la eeu.cl6n ("blc. (7.7) M! pnedeo determinar. hu ot•• ~ dos 1.I>/Iliione! prlnclpal8!l del clreulo de !>lohr p.r. el conju'oto d.· plenos per.leiO.l al eje.t (ftg. 284). Ubicamos en el di.,gr.Dl. los PUOUls corl'Ollpondlcntco a los plano. I y 1 J r oons~rulmos el di.gr.m. cirenler, '

o' =200- yiO@+3OO'_

100,

0"_200+ "200"+ .1001 500.

E. ded •. ",-500. 0,=500. 0.=_160. Las t.cll!lionO!l prillcipale!llll puedoo obtener también por 1.~ IÓ'm\lllS (7.1 t ¡. En e.te CISO ~ necuerlo pmtar e.peclal atencl6n. para no) equivocarse en 10$ !ublodiceo de 1... l.enIIiooco según los eja. Veamos liD ejemplo.

Fil. 284. EJ~f'O 7.5. Determin.rl., lensiones pdntipale.s eo el caso del eltadoleo_ .ional de a ligur.. 285. La, tensiones '" dan en uoidad.. conYOn<:lonll... El e!tado tensiooal e' plano, ,iendo el pllno A un plano printiV-1. Los ot,OI dos 50 obtIenen del cODjunto de pl.. nos perpendiculares al primero. Pere pclde, recurrIr a las lórmulas (7.tI) d"oetell).ente, diriglmO!l el ele 11 seglin la pcrpNldlcnla. al pllno principal (Iig. 2&"i). Entonces obtendrwnOll, 0,--300; "._5(X); 1"_300.

De

la~

f6tmula:l

D¡~tríhuimO!l

(7.11)

hallerem"".

0' _ _ 400; ""_+600. ll:
tOT\llio~

en el orden

,Iguíenlt!,

5 54.: Resumen

d. 101 cliverao5 I¡poa

de utados len.lonales Al estudiar los problemas de la resistencia, en el caso de un estado lell5idn'al complejo. adquiere- gran importanel'a el tipo del estado teDsh;mal. La mayori. da los ma~eriales Se destruye dli manera' dfstinta según sean las tensiones, de trtlcción o de compresión. 'Los ensayos demuestran q~e ,todos los materiales sIn exeepelón son eapaces rle resistir gra:odes. te!lslonllS euando se trata de compresión lrillIJal,

"mientras que en el Ca.!O de tracción monoa:tial. la 'destrucci6n OCUlTe para tenlllonilll relativamente~pequeñu. Existen ·astados tellllionatos en los que la d'estrucci6n. ocurre 'de manera Ir4gil, sIn la 'omaci6n dedeformacionllll plá.llt!cas, y edaten otros en lois que el mismo material re!Julta capn de d"eforl:!larse plbUcamente. ' Resulta asl noceserlo deteo,erseJcoD. l;llb .d.etalJeel1las caracterlstlcaa de los ostad06 tensionales típicos y obsltrvar en quecond,iciones surge tal o cual estado. Este ~um~n DOS permltirti en 'adolante,.coD mayor laciHdad, odent.ilrno~ en loa problemas de res.lstencia y ju:r.gar ,

d,

,

• FII' 2M.

sobre el grado del peligro que para el material presenta el estado tenslonal. Anterlormlnta los 68tados tenslonalas fueron clasificados en triuiales, biaxiales y mODouiales. Al estudiar 108 problemas de la resistencia esta clasificación resulta insuficient.e y H acuerna dividir los estad08 tenalonales en tres. cines según sea el signo de la, touslones principales. El primer callO lo eonstituyen lal! trtlUtorus tr~jall!" es decir, los estadoo lensionales en 109 eual911 ninguna de !as ten~lon09 prineipales es de eompr(lll16n. Los diagramas eirculáres de 6IIte tipo de 9IIU1d09 teoslonales se sitúan ~n la parte derecha del plano (1, ,. (flg.286). En un caso particular las tres tensiones principales de trn~16n pueden lltlr IgUllles. Este estado ten~ional ae denomina trtu:d6n trw141 pura. Apareee, por ejemplo. en la parte, eentral de una esfera maciza que se ealienta rápidamenta el! su parte exterior (flg. 287, a). La dilaueión de las capas uterlOre!l calentadas cond tlea a que la parte Interior sin calentar de la esfera s~ llOmate a una .pres'i6n de tracclónt tria:tlal. Los diagramas cireulares en el caso de traceión triuial pura se degeneran en un punto (Iig. 287, a). Le uacci6n triulal correspondiente al easo euando dos tensiones principales son iguales, pero diferentes de la tercera se observa en los puntos situados en el eje de una probeta traccionada eon renura anular (lig. 287, b). FrecuentemooUl se da el estado tenaiODal euando (J._O, Este estado tenslonal el! plano y se refiera también al tipo que analizamos. La tracci60 biuiaJ, euando (J.+(/, apullC8, por eJ~mplo, en lo., disc08 linos de ElI!Ipeaor onatanta que giran e gran velocidad (flg. 287, ej, La tracciÓn biarlal

Ai·

m.

,

",

~.

di teuioDes 19u1.. (o.""'O'J .ur¡e,éD. los pUDtos aUuados eD: l••uptrfieil utlrior del nleiplentl _úieD I9lititado pOr l1U p*ión iDleriof (ti" 287, d). A lite Upo de eatados teD3iDlUliaI J'Ntallee.

n. . . . tambi'n la traeel6l!. mOROaJ:I.1 simple q-u. .urge 111 WI' barra bOll1opnea tRuioo,d. o Il!. la f1oJ:l6n pura (fl,. 287, t). El segundo tipo de Mtldos tension.les, lIluy difundido, es .qual fO el cual ninguna de lu teWliol1M priDti9ales es da lraec:i60, So

denomina Mte Mt.do comprtrf6fl tr/4zúll. Los di.gramas circul.res correspoDCiieDtes ~ elIW tipo se sitúan en l. parte Itquierda del plano 0'. 1: (fil. 288). La compresi6n trinlal pura aparece eo todo tuerpo, irtdepenrlien· t.elJleote de IU fonoa. lOIIIetido a 110' preli60 hidfO!llática en todu

FIlo

no.

a)

.) " Flg. 291.

1., dlr-.:ciooe5 ((¡g. 289. o). La compresión \liuia} no unilonoe as car.cterbtica pUl los pUDtOS situada. en l. proJ:imld.d d. los CUCf'-" pos eo tooLado, COVlO, por ejemplo. los rodillos y el aro de UD cojioete, el cuquillo y el 'rbol, etc. (ti,. 289, b). J}DejemplodetOOlpre51611 biui.1 estoi representado eu l. 'i¡ura 289, c. La «lmpre&iÓo binial de leo,loaes Igu.les (0._0.) .pa~ tu_odo se praiooa un 4rOOl 4~·e~tremo. IIbm (ni:. 289, d).

La compr"i(ln monoazial tamblllñ .figura en' Il3te tipo' dil eStad05 tensionales y aparece, particularmente, en la flexión 'Pura y eñ la compresl6n de una' hana homogénea (fig. 289, t''): Al tener tipo'se refieren 105, sal· 1.1amados1 Mtados \el!llionalel!l m,ixws ~n los cuales, la te~i~n. m.bjn¡.!l, Y. mlnlma tI.enon dbllnto .!Igno. La tiilnsi6n o. puedo ser tanto positiva como negativa. Los diagramas eirculate:!l de loo estados tansionales do Mte tipo ,se sitúan en)a parle central del p'lano 0', l' (fig.. 290). EI-esudo tensional triuial milto aparece, así en un cilindro de parel!/Ill' ¡rueses' &o1icitado por una presión in'terJor (rig. 29t,.a). Ea eatactedstlca p$ra 'la harra flell;ada y, al mismo tiempo, torslonada ,la aparicl6n de un .estado ten510nlll plano milto (fig. 291, b). La distorsi6n pura tamhlén constituye un estado bJuisl mixto (fig. 291, e). , l..OI'l ejemplos analizados de los tipos IndicadOll de estados tell8lonaJes no son los únicos, lo qua se demostrará en el proceso de estudio de 18 resistencle do mate.rlnles.

ti

55. ü;lado de d8formacidll

La variación de la forma det s611do está relacionada con los dMplazamientos de sus puntos. La distancia entre las posiciones del plmlo A. allles y d811pué!! de vnriar la forma del sólido (fig, 292), se

z

F1¡. 2ll2.

denomina desplazamiento total de est.o punto. Laa componentes del vector del desplazamiento total scg6n los ejas z, JI Y', se anotan por u, 11 y w respectivamente. Veamos el lI8gmento AB cuya dirlltci6n coincide con el eje z (fig. 293, a). La dJstoncia entre los puntos A y B puede ser Infinitamenl.e pequeña. Dasigmlmosla por~. Las componentes del vector del desplazamiento en el punto B se diferencian de las componentes en el punto A eJ, magnitudes que dependen de la varlacl6n de la coordenada z. Asl, por ejemplo, si el punto A se desplaza a lo Isrgodel ajo

'"

.

1 la magoitud w, entollces el punto B .. d.pluar' la maruhud

+ ¡;

u>+

tIz. etc.

El Inere.meoto de l. loogltud del lIep:llolO AS el'I ~ tIz. Por lo tllltO, el Rlu¡.mlento unitario en el punto A, eeg6.n el eje zser'•

••

'''-ji'' De manen. aJÚilorl •

t._ .....

obl.ie~

"

.,._¡;;

El 'aculo di rira del segmeoto AS t.D el plano Zl .. Igual. a ",100 entre la diferencia de los daplllamlentol de Jos puntos A y B • lo

.

o Q'

• 1'1'8'0 del eje

,

•

•

'1.. DI. 1

.

y l. longitud del segmento dz, es decir, 1'-h'

..

El 'ngulo de giro del eegD1Mto AC

.".

t.D

el plano .za (fl¡. 293.b)

l,-,,'

b. suma de ·Ios '113'uI05 11 y l ... Igual. l. urteclón del ángulo rec\.o SACo es' deelr. es- igual .1 hrulo de distorsión la el pIlilo :n,

D,e IUuera aD'loga le puedeo eeeribit I~ .. presi~ de 101 'ogulos de dinol'lli6n.ep 101 otros dot "la nos d.1 1I11tlml de coordlnadn. Como resultado, S4I obUeJle la ttl,cióo slgui.ate enl1$ los desplal.-

mient03 1 1.. deformaciones 8.!1 WI ,pllDlO, 1..

a. --¡;:

...

,j,.

e.-_,¡;,:

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.....

..

Iu

......

~=~+W;'~-h+~; ~-~+&

l

(7.tZ)

El eODjllIlto de-w defortlllclgDelI_'que apareceD eD l. dirección d. Jos diltintOL'l ej. y ao loe planos dharsos que palian JM'" ,1 punto a.do, se dell'omilUl "tado iU/OmuicloMl 611 ti pWlW. Deepués de clertu traaafonnaeloDl!Il ae puede demostrar que laJ lei" com{l(lnentes de la deformaci6n obtenldu son suficienteS pUl determinar 18.11 delorm.elonll8 llo6llles y anglllulllI en 01 punto dado '/ ID direcciones arbitrario. MI pues, el estado de deformación en el punto 10 dotermlna por ,el. componentes y, cómo en el taso del estado telUllonal, constituye un lODaor. El ao'Jisill del 8lltado delormacional'demuNtf'l que tiene propi&did.. idi'!-Ueu a 188 del IlIIItado tensiona!. Entre el conjunto de ejM qUIlO puedeo traur por .1 punto que .. lovestigl. IIII.!Jleo 1.... ejes orlogonllee ID cuyo listero. no IllUt6D deformaciones Ingulu-es. Estos ejes &El deoomlnan tJt. prlnclpak. del lI'uulo deJon1t4lion4l y In dtlonnlciones Iineel. en estesiste.ma, deJormactoM' prwip,d4'. Laa deformaciones principales se oblieD6l:l d. U. ecuación cúbica, ,1-1," l,,-II_O. cuyo. ewficientM son las inl:lllriantes del a\ado deformaelo~I.

+

I,_e.+,,+,.; l. =

,

,

1

t,.', + t.'. + e..,,. - 7 Y",..-, Y:' - , ,.:,; 1,_

'.,

,

T V.., yl'u

,

T''''

,1"«,Y,.o

, , T1

2'Y...

(7.13)

q

t.

Compallndo esta, 8CuaclonllS con las npNIIlonea (7.7) y (7.8) 'le qua elenilO8o de la tenel6n normal. aqulla deformlci6!1l1oel.l y el I.nl108O de la tel\!16n tangencial, II mitad del 'nlulo de dlstorsi60 en el plano corr95poo.dJu.le. Continulodo ..ti In.logl., .!le puadeo c:oDllltuir 103 cmuloe di Mobr para liS deformaciones. como se hbo 113 t.eMiooes. El .oüisia dll "'tedo deforllllcional lI8 base en ."lldon.. puno mente geométricl.!ll, por lo tanlu, todo lo dlcil.o pennllUlce en vigor para cUllqwer sólido bOOlO86nllO, independientemente de las propi. &El

"re.

uds mldoieu del Q1lterill.

Simultáneamente. lal deformaciones lineal y Ingu1ar. In l. ~ I¡,teneil de mlterle/eI resulta necesario IlI.Ilizer. I '1eeM. II fk..

'"

jorrruJ,cf6n dd volumen, llilI decir, la variación unitaria del volumen en

un punto. Las dimensiones lineales del paraleleplpooo element81 d:e,dlJ ydz, comormultado dela deformación, varlln, hllciéDd~ ¡gua· 18lI a dz (1+1..),dll (t+~) y dz (1+1,). El incremento absoluto del volumen se d'termina, claro está. por la diferencia, 4V_dz~.(I+a.. )(t+I,)(t'~I.)_*~

•.

Abriendo lotl pll.rénlesis y prescindIendo de lo!. productos de las defoMl'lllcionea linllllles, que 601;1 magnitudes p&quenos en comparación con lu primeras potencias, obt.endrllm05, 4V = &dll d% (1,,+ 8, +2,).

La variación unitaria dal volumen 9EI designa ·por e y es igual 11 la sums de In deformaciones Iiou.lea correspoDdlen\oes a los tres ejes, (7.t4)

Al girar el sistema de ejes, e, en el punto dado, no varia. ElIte es uno de 1011 invariantes del estado deformaciolllll [vl!ase la f6rmula (7.13)1.

I aB. Ley de Hooke Qeneraliulda. Energía plltencial da la delornlaci6n en el c88ll di un eelado lell1llo11l1 arbitrario Hasta ahora, analilábamOll los estados tensional y deformadonal independientemente el uno del otro, sin relacionarlos con 183 propiedades del materiaL Sin embargo, entre laa eomponente3 del estado tensional, por una parte, y las del estado deformadOD.I, por ot..~, existe cierta dependoneis. Cuando se trata de deformaciones pequeíin ests dependencia llS lineal y !le denomina lell ck Hooke grnerallzo.da. La forma más simple da la ley do Hooke llenoraJizadaseobserva an el cuerpo !s6tropo. En esto coso, 1011 coellclentes de proporcionalidad entre laa ,componentes del estado ta~lonal y las del estado deforma< donal no dependen de la orieiÍtacióñ de loo ejes en' el punto. Para plantear la expresión aoalltlca de lá ley de Hookii generalizada, recurramos al principio do superposición do las fuerzas y VllllmOJ, por'sepllrado, 'Iaa fuenas que apal'E'Ceñ en lns caras del paralelepfpedo elemental (flg. 294). En cualquiera de los planos de coordenadas, por ejemplo, en el plano 111, la deforma¡;\ón angular se determina llolamenle por Ills teo.aioOB9 tangenciales correspondientes.

'

..

Y.'="'G·

Los otros dOll parell de tensiones tangenciales, as! como tambiénlas tcnsionell normales, no influyen sobre. la magnItud de y • lo que se deduce de h¡,s propiedadell del material is6tropo. ", A esto se le puede dar la expliMc'i6n siguiente. Supongamo;, queen las Cllras del elemento surgen so18mente las tensiones tangonclaleil ¿

y fll. '1.94. I

I

160

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6¡

"..

Tz,="f,., (flg. 295, aJ. Surge la pregllota sigulenle: ¿ aparecerá delor. macl6n angular V,. en el plano perpendicular &1 plano de accl6n de la!! tensiones tangenciales T.,? Si esta de.lormaci6n surgiClle, sería impOllible eslablecer su signo. el! el casa de un maLarial isótropo, puesto que para "1>., ninguns de (as dos direceiones prevalece sobre la otra y para IIllI propillilades del meterial las dos direcciones son Iguale!!. Supongamos, por ejemplo, que la distorsi6n ocurre en la direcelón Indicada en 111 figura 295, Q. En\.Qnces, ¡inndo el elemento 180° re!!pecto al eje z obtendremos el mi~o sistema de fueno T z)' Y una distl":si6n Yz)' de signo contrario (fig. 295, b). Está claro, que e!!ta contradicción se liquida solamente

27. tundo 1,.=0. pO!' lo l.ul.o•• pliuDdo el principio de RPfrpoeieJ6Jl di lu fuenas, podemos dirlJlU 'foZ1 la defonJl.el6D lo¡ular ',. 00 f~. D. m.D... 'Ditor. se dtll'J1ullIU'a que eU. tlmpoeo depende de las COIJlpolllllt. resl.aOW dal .udo I.fID.lIional, ueeplo Ea el CllO di DJl mataial IIli36\ropo M\olI n~OD.m.ilotos 0.0 ". In. Como l"(IlIulUido, obtenernos plt. lu tres deformlcioDe5 .~. lafes,

depeode de

"1'

".,.

TU

"I',.-"'l:'" , luC>"lf'

'l.,

Y"'-c'

(1.15)

Oe estas expnlilliones " deduce que el1 el Cito de UD cuupo isótropo, 1Q8 ~/t. prlnclpaU. dd ut4do k",'oltll! colncldM rcn loa ckt uta/Ú;l tUformacional. puesto que las tenslolles tangenciales y les dofoflllllcion8!l

ln¡ulare8 desaparecen .1 mismo tiempo. De l. misma m.o'''e que las deformaciones angulares 110 dependen de las 1.ensio1l9l·norrolles, lu derorm.elonu ¡joule!! tampoco dependen"de In tenslooes tangellclal~ Esto H puede demostt'a.r Ucilmeot.e como 58 hho anterlonnllDle y se deduce, !..Imbl'n, del teorema de rKiprocidad dalOll trabajos (daaa el § 42). SI laa tensiones IlOtwales no originan distorsi6n sobre la cual las luena. taogenciales podrÚln mllur cierto tnbajo. la. tensiones taDlf$lleial1!$ tampoco originarAn despluamieotOl lineales IObre los cuales puedan realiur trabajo 1.. fuerzu normales. El alargamiento unitario en la direeei6n de~. debido a la tensi6n 0" aerA~. A lu tensiones o, y 0... 185 conespondeD 1011 alargamiaotOll. en la direcci6n da z. de algoo opuesto a i,uales a -11 ~ J -11 Por lo t.nto.

¡.

0'"

O'~

0,

1I:"-E"-Il-,-ilX' y

¡

Ellpl'(lslonn Idéntica. 118 obtlclleD de manera enUoga. para Como re.Bultado halllremOl,

11:.,

e...

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¡o,,-Il (
'. - T i
, '" -7" {
e~

(1.16)

7 ))·

SI1.IJI..ndo los dos miembros de estas eeu.cion8ll obtendremO:!l la e:r.:pf'IllIión-da la derormaci60 d• • olumen (1.t4) • 1-2Jl ( ~ 0,,+07+0.). , •. 17)

e----r-

tu reJ.eion. ohtenldu (7.15) - (7.11) constituyen 1.11 "presión anallUc:a de la lay genenliuda da Hooka para al calO de UD .6l1do b6trvpo.

Ea el caso do lln lIÓUdo' aDill6ttopo, ell. el cuo ¡elle...., la 'ley lIIlUibe "1, '

'",_ 'no.. +...o,+a"o,+.ú:r,.+ 1"u+

de Hoob lllI

1".<]I• • }

',- ...0..+4000",+8,.,.+iI..1•• + "•• + '""'1/. ' . . . . .

Y"Y_ ...10'..

. . . . ", . . . . . . . . . . . . . . .

+....a.+.po.+ ...f •• +"..
(7.18) '

_

"elido 011' las constante. elútleú que depend8n de lu propiedades del materiel.

_

'

,

Ea el, I;UO Ilmerfl' de' ani$Ottopli; comó ~ m'fdelanle. lal! ~efOl' maeloDÍti!l .ugul..., _parecen, ·00 1610 cuando actClall teD510DeS IIIlJ1lDeI.lell, "no tl.mbl6ii ev.ando Ie1.Úll to... IOllU o'modas. Al ml$lllA) Itempo¡ II~ defor·, mac:,ionea 1i~1l!I depe»doll, 00 11610 de 1.. tensiones llQnilales, eino tambi'n d. IQ tanpadelu. SI 800 z V '1 I los ejoee prlllClpales del eatado tensiooal, 611tOlltell '(,.~T.r'" =tq=O, pe~. lin umbargo.lu delofll1eeioDe!!l '1II4JUb.l'8lI Y,,,. Y.", ,/", no IOD Iguales e ""ro. Es decir, en el lUt&rlal enlll6tropo ID el eUo geDllral loa ajeo principales del est.ado tWliool1 no eoloeldeo COn lllll ojeo prillolpallll del est.do delorma· clooal. De 38 constaotM t~ siempre soo l¡ualee dos a dOl!. puesto qua, eo virtud del teoteme de lWiprocidad de los trabalas (nue t üj

.....

"

AI·m.

11-110"""1/. Por lo tAoLo, lu propledld"" el.Utleu del cuerpo, eo el ceitCl p¡l9tel de eulaotrople, 88 cnacteriuD por 21 couata!lt6!l 11Idepeodlell!eJ. Eo loe tUO!! mh slmplllll de 10i&Otropla este oúmero ee 1'lld\lCl. Cllando 118 trate de UD lOS· terlll \.s6tropo, comO YI Il00DlOS, II lIúmero de Mtu COll'UOtell es ISUII Idas. LoI probleDlu nl...lonedOll coo la delormacl6u di 101 crlaUIM 118 ruuelVlll por la ley de HOGb el!Cl"lta ell 11 Iorina (1.IB). E.!!talI ecuaciOllflll. emplllll tlP!&1'" pare.ldmlnle eo el a.dllsll dilO! ~\tedOll del m'todo de Rot,,\gIo de d&t.8rmllllcl60 de lIS te".lollel en el melal tn). E.!! muy importante el empleo de la. eylll du elutlcldad del tipo (1.18) clllodo 88 tratl dele uillamada enbotropla coo.trudl ... Si la eclnstruu\lI" elbUca Uena partleullTldadoa geom'lricel y de IlIe..a que lIlI repitl" eiJt.8m6tlelmeote Intoneos, en loda u"a IMIrle de ca..os n>!Ulte posible illterpretllr la co.... \.ruce{ó" CODlO 11" ambleote C(lOtiOllO 11 cud • le atrlbu,..o 1.. prople<1ld811 de aolootropla. Por e....mplo. en el cuo de la COlllllro". eló" complI... ta por goma 1 tejido coro de la figurl 298 doade ..too e1emeotolJ. dilpon,e" eD lorma de VlrlU eepas de tejido '1 otru j.a.olU cape.,. lotermed.iu. da Roma, 11 c:ousl.ruco::i6o • pulide I.JltMpretllt romo Una placa. anllOtr6plca. La

I§

con.etrucclh WIllpllelt. por paules (lIg. 297) lamblh 119 pulid.. illt.erprelllr COlDlI .. u

p"'c. I"i",tróplca. E. oltur.l ¡ue lllI\.t IDte1p.!1i1acI6n e" posible !'(llameo" cuando 1... di· melllllool!S rene,. ea de l. pi... ten bLltaot8 mayo.(1lS que 111 dimeosloDe!l de 1011 hilos o d. UOI- de las celdu del panal al.lado. Aqu! lIIl partll del prlnclplo gener.l. Hg6.D el CUI] el etljuema del ambiento loptlnuo "" .pllcabla &elamlnte tUllido In dlmelllllonllS del ob}eto lIOIl sulielentemepte mayorm qúe ... dimenliollell caraeter15licu de 10ll elemeD\.oa edructur&1es.

La élpreslón del. deformación d. volumen (7.17) permite det~r­ minar el valor limite del coeficiente de POil!!lOD para cualquier cuerpo i.s6tropo. La relaci6n (7.17) es 'dlldo para cualquier estado I.cosiorl.l 'J. por lo tanto, tambi~n (lP el ciuo particular euendo (1,,-O,-o.-p, En esle ca80, 1- 211

e_3~p,

Cuand.o p es positivo, la magnitud t deberá ser positl'Ya tambiéll y cuando p tia oogati.vo, será oegatiu tlImbiéD la 'Yariación del volumen. E.o.to resulta posible solamente cuando 110;;;; As! puos, el valor del coeficiente de Polsson, en el case! de un materlallsiStl'opo, no puede .ser mayor que 0,5. El resultado obtenIdo, a pesar de que.se deduce da! eoálisill de un C~IlIO ¡articular de! estado tensl(lDa!, l:lIl gellorlll, YIl que 11 os unll caracterlstica cid mqltrial Y!lo el dominio de las deformaciones elásticas no dependa d.el estado tenalODal. PasemOllahora Il determinar la energla potencial de la deformaci6n en el caso de UD mtado tenslonal general. &t' e1aro qUlI la energie po~ncial acumulada eD un volumen elemental se determina por la suml de los trebajos de lu fuarlas dlstrlbuidlls sobre 18 superficie d8 mta voluman. La fU8rza normal a,¡1v d: (rig. 294) realbe ei8rto trabajo en el desplaumiento 8~dr. Este trabajo es,

f.

TI r¡.¡Ji! Ih· e~tlx, a¡eodo t~. el alargamiento unitario según el eje x, originado por todas . lae fueri:lis que a c t í i a n . · EJ;presi~_llllá!ogaa del~ t~bajO!i.corraspoDden-al-r~t.o de las componeut63 normales, La fuerza ta.nganciaJ!'f1,¡1y dz reallta en el dmplauniiento 'i1,dl el trabajo ~i~lente, .

~ "f1,dV ./h·Y1'& (v6ue talllbién 11-§'20). Lu eJ.presionas del rmto de 108 aumandoa de la anergIa interior'so obtienen ll.1iernando los suhíndlcóS. Como resultado obtend·rern09, .

I

dU ~'f dz dy d: (o~a~

+0,'1 + o,e, + 11.1'"

+"f•• i'u +"f.'Y.1)·

Si _referimos, como generalmente se hace, La energia a la -unidad ,de volumen y si, al mismo tiempo, expresamos las deformaciones por las fórmulas (7.t5) y (7.16) a tra'vis de las teneiones, obtendremos defi· nit! vamente,

0 0 "" ~ [~+ u;+u:-2¡¡. (u,o. + 11,.o~ +0,,07) J + ~ (T'....

+ Tl~'" 1":uJ. <

(7.19)

Est.a energla se puede expresar lambiéo por lila l.enaionl.'S principales, U. <= [111 + u: + 11: -2¡¡. (o.a. +a.o, +a,a,)J. (7.20)

U

Para determinar. la enetgla potencial en lodo el volumen del cuerpo deformado, multiplicamos la erpresión de Vo por el volumen elemental e integramos después esta expre9ión sobre todo el volumen del sólido,

,

U-\U,dV. Hallemos, por Fin, les expresiooes de las, esf llamadas, Imugía de la var/.acl6" rk la forma fI tTlugla lit la var¡~16" rkl volumerl. Estas e:rpf$iones serán nece/Jllrias mú adelante al estudiar IlIs cuesthmes relacionadas con laS. deformaciones plásticas y los estados tensionales limites. La división da la energla potenclallnterior en las dos componentes indicadas es convencional y se realiza según el principio siguiente. Cada una de Las tensiones prlnelpeJes se !nterp_reta eomo la suma de dos magnitudes a,,,,"p+a~,

a.... p+(J;, a.=p+I1;,

(7.21)

lo que conduce a que el estado tensiona! se divide en do". El primero de ellos representa una tracción triulal y el segundo, cierto suplemento que complementa al primero convirtiéndolo en el esta40 teMionel dado (lig, 298). La magnitud p se establece de manera que la Vllrla.ción del volumen correspondiente al estado lensionlll euplemenw,10 sea igual a cero, e3 decir,

cr;+(J;+u;=O. Sumaudo In expresionas (7.2t) obtendremos,

,

P"''j"(cr,+O.+I1.).

(7.22)

Según esta condición, el sistema de fuenas del primEr astado tensional (P) no realiza ningún trabajo en los desplaUlmlantos orlginlldos por las luenas del segundo estado. De la misma manera, las fuerzll8 de! segundo astado tensional no realbarén tmbajo en los despl81amientos dEl primer estado. Los trabajos recíprocos desapare-

ClU y lt. lUer¡t. l.otenuo" dirid••a doe pertee eOrnBpoudielltet. loe doe .ttldOl LellSional.

U._U..... +U.... • Ieado U...... la GJlergfa da l. "ariael6a d.1 "oluman y U..., b 1IW"Ilo fU lo Olu1«tM de lo fo,."... Su.atituyeudo ea la P~ÓD (7.20) .... teQioa. priaclp.alllll por la ma.pitud p (7.22) obtelldreau,ll par. el primlll' III\.ado, U..... =o~(a,+o.+o")·

(7.23)

. ={p,+~' ~ , ~

#l'

JI,.

r,

t-.

L. 'oerala de l. "ululóu de la lorma "obtiene, teltaodo U. toI de U•. De8puéa de elertu tranaJormaeion811 elemental.. hall. rlmOl, U• .. 6

-!iir (a: + a: +o: -

a,a. -o,a, -a,a.),

u... ""'!ti- ((al _0,)" +(al-o.)'+ (O,-OJ").

(7.2.4)

SI llIlta upreal6D. 8lI IlllCribleae eoa reepeclo a uo aiatema d. eiBI ublttarioe, e.olol1CM 88C'111 (7.19) obtendrLl.mos. U...

-W {(a..-o,I'+(a,-o,)"+(o.-o.)"] +i-CT'.. + T~ +,:.>.

(7.25) En el cuo partk:ulilr de oompra16u o ttaedóo triaxW Q.O.lforma, 85 decir, clI.a.udo 0",""0.=0'._0', relult., U........

}!...:¡!fo.,

U.... _O.

Eo el UIO di la diatora16a puta, cua.udo 0',_0, 0'1_0, 0, __ 0'.

Iu oomponeotel de b In"lit

pote~J

.r'll,

U."",_O, U.... _~o•.

Capitulo VIII nORIA DE LOS ESTAOOS~

TEHSIONALES U.IUS

,'67. Contllnldo de la leorla

d~

ID:J utadoa

tensronales l(miles

Según soon In condiclonell de solicitación, el material pueda encontrarse eo distintos estados mecánicos. Cuando laa cargas axteriorllS son pequeiias, el Dlaterial trabaja elásUcamente o, corno se dice, se encuentra en al tsw,@ tl4atfco. Eo el caso de fuerzas mayores, &e observan defonnaelolles resldualee aprooiables y el materiel se encueotra en el estado p14atieo. Despuás aparooen grietas Ioca.les y llega el es/lUlo de rotura, El estadn mooánlco del material en el punto dep&Jlde, ante lodo, del I:llItadl,l tensiooal en el mlllmo punto aunqua no se determina por él plenamenLe. Asf, por ejemplo, ea el csso de variación de le temperatura, sobra el estado mooánico del material influye senslblement.e el factor tiempo. Cuendo se trata de una solicitación de poca duración ellllltado del meterlal se puede considerar eu.stlto, en eleaso de solicltacione!l de duración prolongada, plástico. El estado del matllJ"ial en puntos vooioos tembién influye sobre el estado mecánico del punto dado. Y, por ültimo,lo Olés Importanta es qua el coocepto de estado mecánico IIn el punto no esté libre de contradicciones con la suposición sobre la continuidad del material. Esto se observa, aote todo, al analizar los problemas relacionados con· la rotura, puesto que el proceso da formaci6n de grietas en los metales está eslrechamente relacionado con la estructura molecula.r y cristalina de éstOll. Se podrlan indicar muchos (actores olés de los que depende el Hudo mednleo del material, Sin embArgo, todae las cuestlones lndicadaa y otras aemajantllS no están bien estudIadas tOOsvls y, en g.rao medida, son dlseuUbles. En la resistencia de materiale'l estea cuostlonH no se estudian. Los .estados mooánicos de los materiales se estudian partie'ndo de la supoSición de que dependen principalmente del estado tenslonal del punto. Entenderemos por tensIón Umite o, en fonna genorel, por e4tado tenstonal l/mltt, al caso en que ocurre una variación cualitativa da las propiedades del material, 99 decir, el paso de un estado mecánico a otro. En al C&110 da un material plbticose considera genoralmente limite el estado tensional correspondiente a la aperleión de deformaciones residuales considerable.'! y, en el caso de un materis/ frágil,

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CliP, V/H.

r,"r," d. 1<>• ..1liiio,

ulUloul.. U",lltl

el estado tenaional que corrllSponde al cow.lenzo de la rotura del ma· terial. E,tOfl dOfl ellSo:!I deben 85tar bien Iirnitado:!l,.pullSto quejos procesos fbic03 que tienen lugar en ello, 100 completamente diferente9 y podrin ser diferente9, por lo taD~O, las condletones eo que transcurre el paso a 8IIIlOll estados. El estado tensional limito puede considerarse como \loa carllel.&rl9lica de lu propiedades del material. Cuando se calcola la resisten· cia de uoa estructure, partiendo de las tellSiones máxima" el estado tensional eo el punto mb peligrooo del s6lido Dn cuesti6n se compera con el estado WDlllonal lfmite del material dedo. Snbnl la bue de Mta comparación se bacen las conclWlloD8111 pertinentes respecto 11 la seguridad de la es~ruciura. El primel' problema que aurge cuando &ti lllIlpl611 aste método de cileulo· CODlllJte en la determinacl6n del lIStado tensional límite. Cuando se trata de un astado tenaional monOllxial 8llte problema 118 resuelve fácilmente. Para ello, se realiza el ensayo del material a tracci6n y en el diagrama de traccl6n loe eecogeeJ punto cuacterb· tico correspondiente a la tensi6n limita del maltlrial dado. General· mente ee considera que la tensión limite es igualo al limita de fluen· cla 011 o al limite de rotura 0rl' De la misma ~anera se pueda ohrer ell el caso de'la disto~i6n pura. Ensaye,ndo a torsl6n un ~ubo de paredes delgadas es "ti! determinar las magnitudes de (a's tensiones en los puntos característi· cos del diagrama de la distorsión. Utla de tilla, ttmslQ.IItII puede conaidenrse limite. Comparando esta tens.i6n coo las telllliones que eJlll' recen en la pieza solicitada 80 puede juzgar sobre su realstencia. Siguiendo este camino, seria necesario di!:ponar para cada flItado tellsional. (o " o. yo,) y pata cada. material de 1011 diagramas de en!a· YOllcor-f8Spondientea con las clI.ractarl!:ticas numéricas de los puntos llmites. E!tá cLaro que este enfoque de la cuestión 8111 Inadmisible dabido, ante todo, a la in!lnided de 1011 tipOll po!ibles de estados teu.sionalea y a las dificultades puramente técnicD.ll que surgirlan durante los en!BYos de los materiales. La técnica de loallnS8)'os dispone actualmente de métodos da allllllYo IOla~eDte para algunos tipos de. estados tensionsles (véa!a el § ti2). E;stos eosayos exigDo, ,en t.9da una ,serie de caaos, el empleo de apara~os complicados y aon realizables s.olamante en un Pllqueño número de laboratorios de Investigación y no eh 109 laboratorios de 1/1 producción. De eato 80 deduce Ucilmeote la oooll3idad de la creaci6n do un método general de apreciación de le medlda- dejleligro de cualquier estado lensional ,cuando ea aispolJ,e de UII número Ii.n;litado de elllayOS: mecáofcos d~l milterial. Esto constitqYII,el conlenido de la teoria d.,los utado. Ie/UIOllClu límt~, o de la, 'as1 denominada, teoría rk rtl,b· tll'lCia.

Es oeeeurio .dverUr que el t4rmlno tleorl. de I"8!bteoclü DO refleja 'Plenlmente el contenido del problem., pueeto que 'Sé tl'l'" no estrictamente d. 11 resbttnci., siDo de 1. nri.ci6ll cll.J1u.ti.,. de lu propjedades. del material. . . lA dificultad fel.dDnd. toa l. tnlIel6n. de J. teotl. de los est.dos Ilmit88 consist., lUIturalmenle. In l. ill.Nficlenei. de llUMUos coooeimlentos sobre -IÓII procesos lat•.mos que .tienea IUI" en el me:t,ri'l. De ~CUl!rdo.a alo, .1 probl8llla se f95Uolv, fundl.D1entalmeGte, InlUI.ndo y generaliu.ndo 103 datos ••peril:uootaI8ll. Ahon existen dos tend811ciu en l. toorl. d. Jos estadOl limites. La prlm..... ¡a mÚ. vlej., wnaiate en l. creación de hipótesis, lo mis euct.u ~Iblos, que no ,(:lo demoaLrablel, paro que puedeL aer jU8tUiCllda. por IDNYot r.0ateriores. LIII hlp6tosu fundamen!.lll8ll

se anaUllr'o 10 el parisra o algulent•. La segunde tlndlnel., que es posterior y promete mucho mil que la allllltior, H bua eobra l. manera feuonumolÓllca de abordar el problema, es decir, 16 bua sobre la dMeripelón. a ser posible limpl. y compleLl, del conjunto de los datos experlmeoLlI.., recurriendo a un nlÍnlero, lo mú' paquelio posible de aupoeldonll5 simplifieativa.s. Este enloque JfI anallur' en el § 59. Antes de pasar a la upceidón de 11.3 toorlQ da rasílIte.nela uiJtentea introduehn05 elertot coneeptos que IllCfl5lL1NllDoe en adelantl. GMera.liumos el concepto de eoeIielanla de aeguridad. Para IUO auponemOl'Jl dedo cierto 8!lLldo tensiooal. Aumenundo proporcioU1mlllltl todas tu compoMlltea de este Mudo tensiooll, es decir, nrUlldolo de manen qUI plrmanelca _ltulU, llegaremos tarde o temprano .1 eetado tensionel limite. Eotendel'«DOI1 por tM!It:UflU df «gurldlld en el e.t4do un,tiJMl d4do ti nlÚrUro qru úldk4 eu.4ntu v«#' • deben aUl7Unt4r lIntult~entt toda. "" componmk. del rrta(/Q lUI.loMi p4rtJ qUt ti 1I/4do ~ ronllÍ,rl4 ni "t4dc l/mit,. De esta definición ae deduce, como un CIlJO particular, la definici6n ya conocide del coeficiente de seguridad correspondiente a la traccl6n elmple. Si en dOll e'ltadOl1 tensional811 son igualas 1011 coeficientes de Jeguridad, estos Mtadoe tensiooalM 18 consideran Igualnunk Mligro6Q" Esto permite comparar 101 dlvenOll 8!ILadOll ttnllloneles aegún MIl el gndo de peligro, es decir, p.rtiendo del .coeficlente de aeguri· dad_ Para el material dado, la comp.tlcl6n de loe eeudoe teoslonalfll '" p*e nevar a cabo lin r1lCurTir al eoeIlcieote de JefUridad, !ino simplemente pol" la cancterbtiea numúica d. cierto esLldo tel13ional que .. lICOIe corno plt.J1in. Lo mú c6wodo es admitir tomo LlI pi· tr6n 11 ttlCCJ6D simple de teoslóo principal 0.. (fig. 299). La tm#.M ~IDIIlIllrnt. o""' ~, la /.mfl6n qu.. debe apllcllr m la barra tr4t:dOMda PO" qUt ti ,~t4do kn'Wnal d.t la barra _ ifWIimnlt, ptli,lYJaI al tllluitl tt;uioMl dado.

278

e.,. '1111. r ,'

"

AdI. ll.-J,..,

,

n....

Une vu obtenido o , es decir, d.pUM de expresarlo por o" o. y o" 48 puede cOllalrorar tesu<o el probl&ma de la medid. de peligro de! IlSttdo lelUlonel dado. En efecto, el coefieleoUl de ..¡udd.ed, en el caso de u.tel6n (esttdo.B de l. figura 299), se obtlella, como de costum~re, como aline.

E.n el u,o del .Ledo tenslonel complejo A el coelielellUl dele(Urld.d adquiere ~ mismo v.lor. Aal puee, el eJlcuJo por tu tenalOIl. mbJmas en el caso del es\tdo .tll..ll;!ional comple1o MI redU&8 .1 dlc1l10 ,.. eoDocido por nOllotroe, d" uso d.e moci6n .impIto. Le cUllStl6n' «m-ei,lte lolemente en c6mo Upr1lSU 0"", por o .. o. Y 0"," P.~ ello auUcelDoe.al¡unu blp6t.... d. loe esu.dOll Hmi.....prObados pOt la pdc.. Uu.

27. § 58. HipMesis fundamentales de los estados Ifmites

A la creaci6n de las teorlas de los. estodos limites (teorlas de ceSlstendel antecede la hipótesis sobre c;ual de las l8D5iou(ll;I o cual de las

combinaelones de ellas en el ootado tenlllonal complejo determina el paso al estado limite. Se elahora, como Sil dice, al úttulo dtl.ertdOO límlte, La hipótesis pOSletiormente se comprueba lJl&dianta 1(18 en-' U)'OS' a«esibles da la8' prohelas en est.d05 tenslonales eomple.jos.. ' . ' En las condiciones de un mismo estado lensional, los dlvel'lll» materialell se comportan de manera diferente. Por eso OOUfl'8 que la

hip6te9is qua es válida para un material conduce a resultados lnsa· tisfactoriOll en el caso de otro material. Una misma hipótesis puede ser comprolMlda 6xperimenta.lmente en un caso y refutada 60 otro. Por ello, loo criterios de 108 llIltad08 Iimilllll no tienen carácter uniV8l'llal.

Estas circunstancias, en 108 cálculos numáricGS, conducen a ciertas divergencia!. Por ello, no debe extrafiarnos que el resultado del cálculo por UDS leuria manifieste cierta diferencia con loa resultadOll obtenid08 por ot.ra. Esto se explica por el hecho de que lu toorl81l de los estadoa HmJtes no son perfectas. Se debe tener en cuenta tambi~ que en ninguna leoria se puede conseguir una exactitud mayor que la de In sup,08leiones originales. En nu&Slro easo, esta suposi· ci6n original consiste en que el estado tensiona!. en el punto es el foctor único que determino el estado meeénJco del mot8rial dado. Desde que surgi6 la necesidad de realiur 108 cálculos de la resistencla en el caso de eslados tensionales complejos, se ba prOpU9l!to toda una serie de hip6tllllis. Así, por el.emplo, a su tiempo se escogió como crHerio de rll9isteJlda la magnitud de la tentl611 normal mázJma 0" sin considerar las d08 tensiones principales restantes. La práctica no confirmó esta hip6tesis. La rotura del material por UD plano se puede interpretar como el resultado de las alteraciones de les fuenas i'ntermoleculares da cohesión, al aumentar la dista licia entre las moléeulu. Es por eso que IlUrgi6 la idea de emplear, en GBlidad de criterio del estado limite, la deJormad6n lineal má:l:íma. Esta hipÓtesis recibió una gran dlfusi6n, pero un estudio de comprobaci6n detallado demostró que edoleee de deficiencias considerables. El desarrollo de las deformaciones plásliC!lS residuales en los metales ocurre, como se sabe, en forme de deslizemieQto de unas partíeulas respecto a olras. Es natUral suponer Que al criterio del paso del estado elástico al plástico radica en la tensl6n tangenciallrnÚtma m ti punte. Esto quiera decir que Iss deformacionas plhticas comienzan a desarrollarse euando las tensiones tangenciales máximu a!esuuo cierto velor limite.

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Cap. VII!. Tearfa d. la. utada, !t1lltona/u Il1f111u

La tensión taogencial máxime aperece en 1M planOll elementale"l do iguallnclJnaci6n a los plaD06 de las tensiones mhima y minima y es igual a la ll6llIidiferencla de esllls leosioDes (véase la fórmula 7.10). _ 0,-0,

T.... -

2

.

Partlendo de este criterio, admitimos que dos estados tensionales son Igualmente peligrosos cuando son iguales las tensiones tangencialea máximas. En el ceso de los estados tensioneles A y B (lig. 299) obtendremos. 0,-0,

0o;¡

-'-=-2' de dOllde ba1lamos, (8:1)

La comprobación experimenhl de la expresión obtenida para los diversos estados tenaionalea ba demostrado que; en el caso de materia· l\!ll phisticos, esta expl'l1lli6n da generalmente resultados satisfactorio:!. El paso del estado elástico al pléstic9 se detormina efectivamente por la diferencie en!J;e [as tensiones principales máxima yminima. La fórmula (8.1) demuestra particularmente qU\l en al CI!O de compre· aión hidrostática o en al caso do tracción triaxial, en el material no surgen deformaciones plásticas. Si 0,=-0" entonces a.~-O, lo que quiere docir que el estado tensional es igualmente peligroso que el estado de la probeta sin carga. Como demostró la comprohación, la hipótesis do las tensiones tangenciales mblnlas manifiesta sensibles errores en 01 caso de materiales de diferentes caracteristicas mecánil'Mlll la tracción ya la compresión. Simultil.neameote a las hlpótesla expuestas se propusieron muchlls mlis entre 185 cuales merecen ser mencionadas las bipótesill energéticas. Durante ci.erto tiempo ~ intent6 admitir en calidad de criterio del est,ado limite, la energfa potencia! interior del punto del' s611do tell5ionado. Eate intento, sin embargo, no tuvo éxito. I!:n el easo de ItI. -eompresi6n hidrostática, como lo demuestran los e-nsáyos, la eñer:g!a potéñciel' d.o la defOnu·aci6n, correspondiente s la variaCión" del volumen, se acumula prácticamente sin ¡¡niilO alguno, sin COll-' seguirse el e8tlido)lmite, es decl~, que estll hiP.6t,l!Sis c9ntradice a, los el!S8y08.· Se- propuso, de acuerdo COl;!' esto, Iilltcluir dlll cálculo la energ!ll' de la' variación del volumen' y adm¡tit, como criterio del paso del estado eHstlco al plástico, solamente la eDe!"iía de la verlació'a de fe forme (7.14), VOl"

=!:ff /(01-0,)' +(a, -a,J' + (O",-O,)IJ.

f S,. , .....,. Ik 1.,

~"M'"

¡¡..U".

,....,••

ZBl

MM'

En el cuo de trKCión limpie esta expresión d••

U

__

1+" .._.

~UJ.

De l. wndiei6n d. que estos esUidu.cIn i¡ualmeDte·pel.ig~ 88 obtiene l1",,' lI''' lo cual i¡utlam05 lu doa expresiODIS últimu,

~ [(a, -aJo + (0,-0,)' + (0,-0,)')

-!.ti 20·.....

ob'enando

a... =~V(l1I- 0.)'+(0,

"

. \Gusional

a,)" •

(8.2)

Cuando el estado está dado en un sistema arbarnlo y no en el llillt&ma de los planos prinol¡HIles, de _euerdo a 1_ expresi6n (7.25). h.lhramoa, lJ", -

n-

V (o._a,)' + (a,

a,)' + (a,

a.)' +6(T;' + Tl, +'J:,). (8.3)

L. lónnul& obtenid. d. resultados numl!ncOl mUJ eereenOlll • Jo, que .. obtilnu por la blpótesis de lo tlnll.Oll. tugene.i.lee mÚLmIll, • decir, por lt fórmula (8. t). Por Jo tanto•.Iu f6rmlllu (8.2) y (8.S). DI como tambi6n la fórmula (8.t) 10ft Iplleables pan jUlgn aob~ los estadOl limites d. 101 m.terill8l!l plbticoa, d.ndo resultados menOl 5IoUsf.e1ori0l ea el e.so de m.atanales que .. l'1llIIisten de m.n.... diferente. la tracción y I la wmpnsiÓn. lA. hipótesis In.li¡adu de Iu 11n&i~ langenei.11lI mhllflu y da la enalifa. d. l. v.nación de la fonna soo Iu hip6tests búicu de los estados IÚDU" y mloliaDen su importenci. basta hoy. ED 1011 dleulos prAetlCOl!llla dOl dan l'llSultadOll !i.lti.laetorios. La primera de aJlu Itrae por lo limpie e ilustrativa que 85, Ja stgUDdl, a pesar dI que las auposlc;lonee intelales an que se bUI son artificiales-. nos da 1., ralaclones que sirven de base para la toorfa moderna de la pluUoidlld (capitulo XII). ED nuestr~ tiempos se reeonoee unil'er· u¡menta la hipótesis de reslstenci_ da Mobr a cuyo elIludio pasemos aholl . • 51. 'eorra de IDI nlldos I(mltes. 'e...ra di Mohr )' .. 'plicaci6f1 Supongamos que diaponemOl de una rn'qnln. de eDlllYOI!I que per_ mita .pliear. la probata cualquitr esttodo lenllonel y v.liar f'lroporeiOl1l1ment6 todu sus compooenleil. E4eogemos cierto esudo lt'QJional y .ument.mos s1multineamlnte In eomponeflles de esle estado. Tilde o temprano. este l5l.ado tenJional se convertir" en estado limite. La probeta o f.llad o apa~eeerin

lD alla dlllormatlOMl plúticalll. Rep~ntalD~ en el pleno o, '1: el mayor de I~ ~ clrcui(lll de Mohr pua ti ..tado límite (cmulo J d. le fi¡rura 3(0). Coasidutomes que el _tado lImite no depende d. o,. Realiz.amOll olro e.llPYo -ob,.. la probeta delrol.mo II:lIt~d, pero pira otro estado temional. AUme.lltalldo otra VD lu COlllponaateJ 118vam~ esta estado tensiond al estado limite J dibujamos en el dia'rlIma (lig. 3(0) el clnado correspoDdiente (circulo 1). Proeediendo anilogamente, obteDdrunOl el conjunto de clrculOl de Mobr pira 1000ISUdlll tlnlionales Ifmltee. TJ'lI.lmOl la 8nvolYlnte (evolvente) común y coulderamOll que 6lJta no depende de la. telUlo-

nes Intermediu principales o" sieodo pues II tuDw.mU ~k41. Esto conuHuJe . . .upoakión fundamQJltal In esta leone. L" forma dele e.olveilta de 111I clrculOl Ilmltet de Mohr def*lde de las propiedad. del material y es una U1r1cterutiea mec'niea d. fste como lo es, por ejemplo, .1 diagrama de trecelón. Si la evohente deJos clrculos limites de Mohr del meterial esti dada, rtslllta posible determinar el coeficiente d8 seguridad para cualquier estado tensiona} dado. Pera ello, lIlI necesario construir el mayor de 1011 t.roII clrcullll da Mobr correspondientes e 185 tensiones dadet y después, aunque Ha gráficamente, determlner cuántas veces .. deberán aumentar 0, y o, para que el circulo uf aumentado 6ee tangente e la evolvenle limite. ElIte planteamleDlo de los problemu de los estados limites no 'fin llene, como ,vemos. hlpótals sobro 10!ll criteriOll del esLado limite J ni ~u!(1O que la l.ti;Irla de Mohr se basa, ante todo, sobl1l la slat.. lllltiueión lógica de 10ll resulLados de 101. ensayos neeesariOl. ·Es neeesario abora resolvet' el problema da cómo COl1l5lnJlr la '0'01. vente de los clrculOillllmitlll cuaodose dJ!lpon. de un numero limiu.do tle ensayOll. Los ensayos mú simples son 10ilI de tnIeciÓD y com~i6n, es decir, qlle dos de los circules Hmltlll ee obtienen Ucilmente (fj,. JOI). Se puede ..btener- otro circulo limite mis, rulizando el rnSlyo. lonión de un tubo de P.'nde!l delgadas. En este ClIO el ma" terial se· eQUlo\.nr' en el estado de distorsión pura y el centro de

clreuJo cOlTlllSpondinte .. dispoodri. eq el origen de tu .eoordenadu (fir. 3Ot). Sin emhar'¡o _te cfrcuJo contribuye muy poco a la d..tullI.iOldÓD dela fonoa de la e"olve¡¡te puesto qua se aacueolra muy eef'ea d. 1m dos primeroe cfreulO5. . Pan d.t.enninn la evolvente llS muy Importante conocer Ja posicilin del punto C (fig. 300 J.30I). Le teiW6n nonnalu este pu.nto 81 iguala la tenai6D de rotun .n el u.!IÓ de trecei6n ttin1,al. Hll3ta .bore. no exlllte niDgÚn método que permlta realher tal ensayo. En gener.1 11.0 se con:ligue ret.lh.r el ~yo del estad,o teulonll cuando lu tret tensionell princl~l. son de traccl6n (.,fue con mú detalle el

filo lO!.

I fi2). POI" 10 I.Ionto. por .bo.... no hay po!lbilldad de construir ptra el matarlel,1 circulo Hmlt.e situado a la der1leba del circulo Ilmita de lt lraeci/in. Debido a esto. lo mú elmple y natoral es aproximar la e"ohente limita cou l. tangeote • 1011 C1reu.l0ll de ltaecl/io J compnai6n (flr. OOt). ~U. claro que .to DO excluye le poeibiJldld de. CUlDdo. eoeue.ulnln lI.ue"05 m'tod05 de eQll8.y05. conenti~r la lorml de e"ol· .,-ente y reflejtr pi de meDen mú completa lu pertieularldades del comportlmleoto del mlteriaJ tul condicionM pr6x1mu I l. trae· ci6n ululal. Determinemos ahora o..' suponiendo que la ovolvente es UDa reela. En la figurl 302 83ta ovolvente se trua como le tangente I los elrculos limites de la traeel/in y eompr8!li6n (puntos D y F). Coll!truyamos ahora el circulo de Mohr para cierto Il3tado tensional dado por 1Ia tension8lt principales miximl y m(nlml o I y o, (fir. 3(2). 51 todas lea componentes de este OfIt1do ten.iOnJl se aumentan 11 .eees (&iendo 11 el eoefielente di segllrid.d) lot(loCllS el elre,Jio aert y. limita. Las tensiones 01 y 0". adquirlrárl105 "alol'Q!l o; y 0";: o; = M l' o; = IIG,. (8.4) Este circulo limite (aumentado) de Mohr es tlllI1lnt.e a la I'olveote llmitl en el punto C'. Al mialDO Llempo. secÚD l. c:oDdic:i6n dal eimle.nto proporcional di lea compotHllltes. sut tngente tambiin ale continuaci6n de le lluOl OA. en el punto B. Del punto C' traraIDos la. recta horiroottl C' EG ,. plan tumos le proporci60.

u.

DE

Fe

ff-C7(f'

Como l~ ~Dloa DE J FG constituyen 1.. difereocJ.. d. 1011 nldi0.5 de los c.irtwoe In euesti6n. obtend ...m08,

...; -o; Fe !!l: o~-,,; DB - !!I. 2----r-· -T-"'--' As! tomo kmhi611 ~B (I;+o:_!1! ro.e .... - . . , - - 2· ... -

,,;+oi+'"

2"'

2

Tran&foTmAndo 1.. proporción hallaremos

Oft-O;-!.!!oj.

'"

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z o, teniendo eo

CUlnte

las

ollpnlllionM /1_

(8.4),

DO

o,--cr. "

'"

Para l. l.rlecl6n eqululente obtenemos, n_~.

'"

Oü le condición de equlva18Dcia 88 deduce que los eoellcieotM n de 6$10. elt,adOll tenelooales IOn I¡uales 'J por lo tanto. o... -=O',-ko.> (8.5) liendo k la IUÓn del limite de Ruencle en l. tracción J el limite do QueDela IIn la compNtli60, de

aegurid~d

.-!I!. '"

(8.6)

En el euo de ruten.les fr'gUes l. ru61l 2U se SWlUtufl por!!! . o,,, Ea el euo partlculu CUlndo el m.leri.1 llene 19u1les I[mlUlll 4. nnencla • ~tt:i6n '11. eompresi6n k-t. Entoneeo la fórmll.le (8.S) coloeidir.6 con l. 16tmula (8.t) obleoide aoteriormaate.

O"

En la actualidad, los cálculos prácticos buados en In tensiones admisibles, en el CallO del estado tenaional complejo, se realit:an, co¡no regla general, por la fórmula (8.5). Al mismo tiempo, si el material tieoe igualoo caraeter.lsticaá mectlllicaa a IracciólI y a comprooión, los cálculos se pod'rán reali:r.ar por las fórmulas ,de la hipótesis de ~ energía de la variaci6n de la forma. Los resultadOll Duml!.ricOll resulton satisfactorios. La limitación fundamelltBl que se impone al empleo de la teorla de Mobr está relacionada cOIl el hecho de que la exactitud con que lJ8 construye la evolvente en la tona de la traeeióo triaxial·e!! losul!ciepte. Esl.a limitBción, aio embargo, IIO'es tan importante, puesto que loa estados teU.'lionales de esta tipo son poco freeueotes en los probl&mn prácticos. No se conoce COII la suficiente exactitud tempoco el aspecto de la evolvente limite en la ¡ona de la compresión triuial profunda. Oehido a la simplificación admitide, IIqui también son pasibles errores. Los mejores usultadM de la fórmula obtenida corresponden al caso de esl.ados tensiollllles mixtos, es decir, CUllndo 01>0 y 0,<0. En este callO el círculll limite de Mohr se aitúa eo el intervalo comprendido entre 106 clroulos limites correspondientes 8 la traccióo y a la compresión. La virtud prillClp.1 deJa teorl. de Mohr comiste en el pro¡!o prillCipto too que 8& trat. "..t. cueotiÓn. A uto nO ,iempro se le """'~ l. soffc ente atención 1. COn Ú'eCuilnc:l •• le teorla de Mohr se a.;tÍl. elltralu bl])6tesis conocidas. El hecho de que. en C8$O$ perticul.... la (Mmul, de Mohr colncid. co·n 1, fórmul. de 1, hlplit8si. de lu tensiooell l.8Jll[enc{a1"" da la impresión de que est~ plante.mlen· tos &00 .qulnleotM. Sin embargo el pl.ntumien'o fenomonol6gico do Mohr. es decir, el pl.ntellllllenlo basado en Is de5Crlpdóo 16gica del fenómenu q el mil o.turel y el mM ju,to. Cu.ndo 1'8 m8ll1fl8lta ,lglÍn error o .1,lÍn dllNcuerl)l. "" mhimlll o l. de 11 eoergi, 'dale varleclón de 11 forma, Ilguuo IIÓlidamente en l. práctlca de Jos ciloulO!l y nm¡lteo muy tómC!dLll••1 resolver problemes COnC...tM. L. hlp6tfll. de 1, ene..,le de \, varl.clÓn dI l. forme .dqul. rió ~peel.1 lmpOrlDncll en rellción COn 1, creaci6n y desarrollo de l. teorl, dw l. plastlcid.d li &3).

VeamOll algunOll eJemplOll plln Ilustrar el empleo de le t.eQr¡, dll los IlItadOll llmlt.es. l';jeaplo 8.1. Determiaar edl de la. tl"llS lIStada. tell8l
~fi}e In

11)

C)

fl,. __•

CalevJ.amoa l. teDsl6a fIIulnlea\4l.por 11 16",l\lIa (8.~J 0~=01-0.

'1°ell_800.-I00-1001F:rfleml. b Ooqc:>600-c-tOOJ_1llcikrl/oml. e Ooq_7l1O_0_1SOkrlfee'. EI.udo mú pelllf'D'lO a e). LGlI eetedOll 1) f 11) llDa l¡u.lmeDte peli¡rrollOll. EJemPlo' 8.1.. Pira IDveltlaar 1... proluodidadlll dt 10lI mlU'llll .. empl.. un dllpO!lltlvo qu... lIUmerp lnI e1qul e It. profuadldld H (flf' 3(4). El pellO del dlelXJSltlvo tJ) ti. qul _ p. 11 P8'O Mpeelbco del l.1li1., Y e pellO Mplelflco del ll1aleril.l del cabla YO:; Determinar las lellSloOlll oqiolVllaotos eo las 111«10_ IIUpedof e 10ferlOt'da¡ oeble, el ..... t. Eo l • ..eeIÓl;l h¡ferl~ el Mudo te.... lonal ... tridlm.all8loall. La tell3i6a d. traoel60 .. dtbt .1 pelO d.1 dleposltJvo, l. do e0ll1prll!ll6n. e le pral60 del liquido a l. profundlded e.

p

0,_.,; 0._

Le ..ee160

1U~lor_

-.,a;

p

a.~=,..+ya.

treba31 nclu.lvID:l8nl:e e IrBod60 ulal dabld, 65\& p8IIO dtl c.able a-o el 'lfIlI p.-CYo-Y) F6. Aal

al peao dal dllpOll'UTO P f.1 pIles. eo 11 18IlC16n IlIperlor.

p+p p CJ*'I-~-7+('Y~-"le. SI,el )ÍleO lIlIpee:ifico del cable llUplIrB eD mAiI de dos TBcelI el dell\iUe. entoDo _16f1 mil D81111'O" aetA I1 _Ión IlÍperior del tibie, EaullllCC160 d. "'1' oomprollaof. tambi'" en el USO euand~ ,jJ dbpo"iti...o lI5Ú oolrado del <:libia eo e,l a~re, ,ante! de ~ IUlIMl'Ildo. ~ 11

be.,

~ 8.S: A lr...", de" un eiltell1. de ruedu dentadu ... tl'lllllmil.fl el mOOkllllo!lJ1, (fj,¡. SOS). Dentro da los limltos lijados por el dibuJn del Dado, 8ete

momellto • $OJ'IlIIbn por ,lit momallto ~ en ",ed~_ deotade lolerlO!'. 'a1endo I le, relación de wlll!li1I.alóo 6.Iltre' el prime. "'boj y el· IlII2UDdo. Cal~ular el d¡Amej.ro del prlmel ,itol el !IJl:=o2S 000. tgI·om. R_8 em.. <1=80 em y b= ¡ij (lID

a

8 p

fl.. 305.

El mM.,ia] tl'llba¡a • tracei(m Igual que. eomJlreal6n,
KlI n_.ln luaoUu.. Un W&flclaul6 dA lleiu.,dd igual. dlll! (.. _2).

O.la coodiclón da Igualdad • uro le l. 'UlII/I de 103 momeol.o);s respecto al eje d.1 "bol Obtl!D8mOll l. fuena uog¡.ote que letÚll IIGbro l. rueda denuda (Iig. 301, b) P

!lll

:7f'

Ilotl"ll 1.. ruodas depu.dl.ll .parece DO lOÓlo l. fue.... tangencial. sino t'll:ub¡'o una fuer.....dial PR- Su magnitud dePllod. d.l tip(l d.l engrlol¡'. GfI~TlI­

mente

ll&

admile que

PrO,~

P. Determlo.... O!I las

,,,,lmOl! 10ll dllll'.lrnu a. 10ll mODl\loIOll

n~to«lll

El momlnto f1ector mhlmo r..ult.aote 11II.

M¡r:.'=V(p

"~b

",.""IODe-!

d& apoyo y coIl&-

y tonoreil (fig. 305, el.

)'+(o,;\p o~d';

... =1, '" P 41+1> ." . MUte

El mAs pell¡roso !Ill" el pu.nto periMrleo B d. l. 1IIlee16n que 5!1 locuent•• In el pboo d.l momlnt.o (fi8'. 805, d). EseogemOll en 10ll .1rededote3 del puoto el elemenlo dlll. figura 30,;, c. La tensJ6n 11 le detel'lllinl por el mO_1I10 lIector y T, por el momeoto loreot,

M¡"':'"

!DI

o "" li,'1'di": T "" o.z;¡r •

HaUámOll lu lell.'llolle! r.rlnc;paIM para el alnado telllliooal obtenido. Como 811 aOllooo UOO de 10ll P .001 principales. collllln1imos el cin:ulo de "ob. (fig. 30(1) Y obtmlamOll,

'+'~+' o ~~+, a,=y JI TT'-' 0,='2JI T"'"'-' 0.= O.

CaleulamO!l abora le lellllióo equivalente pllt la fórmula obtendnm03,

•

(8.~).

(8.1)

Cuando k_l

,,1444. ".. fu•. T..,¡. '" M.,.,

Z88

latrodl,ldfn60 .qul 101 ..lores da la. mOllUlDto$ flet.tor , IOnlOf

ob~

f U. r ..,11I '" i
, ... acuardo

«lO

O"=O,~. YlRl{~;~)]I+l, 1""

.,.tor-

llllDkiCOl datlot b.lla_ .1 dllmou'O 4,

I " . . , / ( 1.08T-1Q """)' +1. T·aooo""'O,toP"

4 ... ~mm.

El litado tensiood .o.liQdo en este último lIj6mplo siemprtl fI· iun eo el cálculo d. J- barn. po~ torli6n y flexión (o \nlui6n) ,Imul· lineeS. Por lo tanto.es conveniente obt6ner. pu. el euo del eslado tension.1 pino (a, T) de la rigur. 306, l. 'J:pr'Mi6D de a~ • través de IIIS dOll componenteli iodiudu plll'll evitar JI dltermlnlci6n intettlledi. de las tenaiooes prioclpalllL'l. La fórmul. (8.S), dl!llpués de introdocir eo olla o" a. y a. de la eJ:pr.i6n (8.7), urj,

ooq=Ta+~VO'I+4TI.

(8.8)

0'~=VO't+4TI.

(8.9)

PI,. k_t. La hip6t.ula de h energh de la variación de la forma. (v"se la fórmula (8.2)J nos de en estG talO.

0'0'l-Vot+3'".

(8.tO)

En 108 dlculos prictlcos estu rI¡rmull8 se emplean coo frecuenc1. y se debe \eDer en cuenla COD.3tllntemente que son viUdu IOlamtnt. en el calO del estado tensioo.1 indicado.

2lIO

C~p.

V/l/o

1'tDrl~'tU ID'

"'DM' It'Uloull.lhnlt..

Gon"rulmas 1011 dia• .,..mu da los mnmeota! nec10res y tol'SOi'n. El punto mb peligl'OSO es ti punto A IUuldo en la tl>CClón de émpatremiento, 6PI PI 0 = 7 ' a=O,2Ull
"'"

.-3300- 0 ,455. IntrodlteiNldo los valolM numbieos eB Ja r6rmula (8.8) Oblendl"llmoe, 0•• _ P·lO,M 1, uniendo en ol¡ent. el coofioleBle lrlp~ de ecllurldld dado, , 500 P = 3,\0,94 '" 45 kg1. E~plo 8.5. Compa•• r 11$ tenslollBl equivalente! pal1l el prlem. reol.anr¡[lI I.r, eo 1M 0III0a de 8Olioltaoi6n aiglolentes: 11" prl...... comprime Ilb",mentt '1 b) el prl.ma lO eomprime dentro de un. c.j. r!gld. que no le permite eo..nc:h ....... en la dlrec"¡Oo tl1lf\Sv.l'SIl (111. 3081. EII el caen.l 0,=0: 0.=-<:1 y por lo ,",oto, 0<'l-ltv. Eo el ....80 t» ea ll8C8Ildo pl'8"'anllnte dellll"O:Iloar lu "'""iOllBl de eomp.... 11014 tr.ll!IYel'lllBl o' (fllI. 308, ej. Como. eegO-n l. condioiOll, la dafon...e16n tr.llIvel'M.1 .. l¡uel • cero, de .cuerdo OlIO l. te, de Hooke obtendl"llmot., • b ....

,.

.

.

=F [0-"(0+0)1=....

FIg. BOll.

En el BlIlado teD.lollel obt4Dldo,

o,'''''_-....f...·o , l_p

0.",,_0. 0"'1_('__'_).' 1_",

La magnitud o,.' debIdo a l.. llmilaoiollftlDlpu~t. . a la. detormacla..... tl1ln,.. verselea, eoma vemOl!, dlemlnuye. E. lmpartaota Indl....r que 'eo .1· ca!ll do 1(lO ....tados tamlooal.. de comp... Bi6n t"iulel, la l.oorla. do Mohr. I v....e!. da nlOre! nCllaUvOll do o.q. EItO neUr" plrtlcu·lar.Deote eO eJ ejemplo, que enelllllUos ooendo

I«¿;'.

La i.terPft'aci6. for••l el. loal ruul!.lod. a l. e1g11NO", Si 0.,=0." eledo lnDOIUII p....ot••1 mlsDlo ,.IIJ'O que el atado tnslol\.l.l oulo. e....do 0<,<0 el ....do ",piona! . d _1loOII peligroso ~lIfI el .tado ti_ te~1I IllZllM. A ~ tlr 01. 11.'" IMt. IUllltaclo ... _ petad6joco, ....'Y por ... recbuarlo. S. le puede coll!lderw talllbifo UlUlO o:oollaec\Ic",¡, d. 19I .~ ,1Imllldos al tnu.

l••• oI"llII" lÍlllite en l. _ c&. CoOlIlprni61l trilita!. Sil 101 úleul... prktkoln _t16n 1M _ 1 ... lhaltbd_ a):nior 11110 o.... al lo".r sob~ l. res~IICi¡' d. cUIlquier "'nlctor., J' '111 ,dIllUlbl,.1 ta!O CUlndO l. pllu ul'plle )' J. pllu II~N H Clrp lOa lilll . .Itte ,.Ul~ Por lo Inlo,.l ~ ú1culo ~ abUIlll 0.,<0, IlIl.o_. «l.,{d... ",,-O. ~

ailmr.:-

C.pltulo IX

tuBOS DE PAREDES GRUESAS l DISCOS QUE GIRAN A GRAN VELOCIDAD

• 60. Euulo"" IMnclam.ntllu ,.,.. .1 UIO d. IIn Olltrpo .imtt.riu '"111010 I Mn .je En .te o.pltulo se 1111Hz." el probleml dele relIist811011 del tubo de pered. grullSU y del dbeo de .pelo' eolllt-.nte que gi~ • ¡reo ••Iocldld.- LI Dltu~lezl de In (uenn interior. quo sur¡eo eo el tubo d. po:redes gruO!U ~jo l. acc:16n d. una pl1ll'!ióo y lIS qUII 11 orl· ¡inan lO 01 dileo que gin I grlo volocidad es distinta. Sin embor¡o 01 cálculo d•. ~tu dos pi81U c.ooduce I uo esquomo de cálcul.o oomún" 01 esquemo del cuerpo de revolucl6n. El anílleis post.eJ'"ior demueslra tambi'n que eon idénUcae tu ecuaclon8S diferenciales que determinan los dll8plnamien1.Oll y In teDslollOll on los doa caaos. Es collVHoienlo, por lo tanto, ana litar estos dos problemu simultáneamente; Veamos, ante todo, las partloularidadllll del a'lquema de diculo y deduze.mos las ecuacloDa'I de las defonn.clooes y las ecuationOl de equilibrio para el s6lido eillodrleo alm'tr¡~ I'Ollpetlo • W1 oje en el caso mh limpie cUAodo lea car¡u y lu toosiooeo pOl"luoecen Invlrlabl. I lo largo del eje del clllodro. Una vez obtenidas ",us eeuaoiooes. bu!odollOll ellu, Inl1banmOll los dOll problemas indicadOll -.ntarlonu8llte. Velmos uo cuerpo homneéo.o d. forma clllndrit:t (fil· 3(9) '011· eludo, de Wl.l u otra manera, pero con CfIrgl uter:ior ,imélrltl ,.. ~lo II .je y coostlote I lo Ilrgo di m. Pllsmo eje. Lu dimenslonllS del olllndro pueden ser lea mú divenu a10 llmlur 111 ...lael6o .olre los dlímetrOl interiOl" y uterior dll e.IUndro. Lllongitud del cilindro se' consid.ro por aborl arbltraril. En Idellnt., I este respeclo, se ioLroducirí.a c1erW restriuilW'" C.da punto del cilindro al deformlrse éstl, lMI dllSplua. De lu coodlciOlHll d. slm.trfa se deduee que IOtolI desplu8llllentos ocurren en 101 piaDOS "di.I•. El punlo puede deeplulr&e en 11 direceión del nidio J I lo Iorgo d. 11 generatriz colT'lll!lJlOodIen le. Dllllign.mOl por lo! el d.plou.mJento redial de Utl punto arbitrarlo. LI r..goitUd. ti será funcl6n del "dio ••rilble , J 00 vlriar' I lo lar¡o del cilindro. ConaiderlmOl pOliU., 11 direed60 de , qne se mide desde el eje del cilindro (fir. 3(9). En lo que 51 refi.... I loa dllpln.•.mientos a lo Jarro del ej., coDllderaremOll qUI éslos '00

.0

originados solament"e ~por el alarjamiento o acortamionto generol del cilindro. Si ex'i,ten 1M de!!pluamientos IlziRie', se dlat~ihuyen de m.nera tal ¡¡Uf! la, seeeiOq98 transveI1llllea del clli,ndro pemlaneceo plana9. ' DesignemOB por 1:, y l1 IOB Riargami'entoa unitarios en el. ciUndro en la dirección radlll.) y eircunJerencial 'respectivamente y ezprll5émoslo, a través del deaplazamiento Il.. _. Pira ello aoalizamos el S(lgmento elemental A B_dr que'6 obtiene en la direc.ei6n radial (fig. 310) ante!! y d'espués de cargar el cilindro.

Ftf. 309.

Flg. 310.

El punto A recibe el deaplazamiento u y el punto B. el desplanmlento u+dIJ. Es flicH demostrar que la nueva longitud del elemento lIllrli dr+du y su alargamiento unItario,

,.

a, = 'dr .

(9.1)

VeamQ8 ahorll. 111. longitud de la cirouoferencia tratada dentro del cilindro antes y de!lpués de la solicltacl6n (rig. 3f1). La longitud de la circunferencia antes de le soUcitaci6n del cilindro es 2ltr. Después de apliclr le carga el radio aumlmta en lo magnitud u, resultando la longitud de la circunferencia 2n (r+u). El alargamiento llDitario circunferencial será, t,"='

2n(,+u} Z;;;

Zn,

o sea,

• . t,"=',

(9.2)

Separemoo ahora del cllindro un elemento curviHneo de seis caras (lig. 312). Sus dimensiones SOIl dr, dz y r dq¡. EIIlll.S secciones aliales del cilindro (plano ABCD del elemento), deLido a les eondlcionea de simetría axial, son nulas las tensiones

'"

tangtnd.hl5. J 'pIINCIll1 IIOlampte l.eulonlll normales Cl l denomilUlda, tell3iODllS t:ln:un/"vw:f4lu. En lo 88CClones lra~,,_JM del

ciliDdro (plano CDEF del elemlolo) también se SUP0ll8 que las leo-

.100. tangtlnci.I.!IOo igual.. I eero. Esto se deduce d. la condlci6n

d. indepllDdencil de Jos despl.lumíeDlos 1& d. l. eoordenad. z. En tu seec:looell traIlSver.Y.lespuedlD 1p&nJe6l' t.ef\.lIiooes normales (ui.les) o~ que .Il1rga" wmo eomec\H!oci. da l. aoliell.llci6o del cilindro por urgu orientad.. .sagún el eje. Se aupona que estas teosiones no ..aria o tinto MI la direccl6n ni.!, coo.o radial del cilindro.

,..

•

Al, 311.

E

,

fI," 312..

Como los plaDos ABCD y CDEF IOn planos principal&!, será principal umbiáo el piUlO ADEQ. Desi8'nam08 l. tensióo 80 este pino por 0,_ Eata tfInaióo se denomina tensión radial. Al puar del rldlo r al r.dio r+dr la telnl6n o, redhirá el IOtremlilnto d a,_ De acuerdo con este pl'DLUmillDlO, l. determinación de lu te... aiones y 101 dllllplua.lllJenlos en el cuerpo de revoluci6n se Ilev•• cabo por (uncioll. de on solo argumlnlo. el radio r. Proyect,tndo las fnenas que ectú.n lObA el elemento, sobre la dlrecci6n del radio. obtendremOlJ 11 condici6n de equilibrio si¡?ieOUl, (o, +dcJ.) (r+dr) dlptb-o,r 4 tb - 01 dr d: dqI = 0, de donde lMl ohtiene,

o,+-~r-ol_O.

,

li(o,r)-o,.O.

(9.3)

El r8llto de 11.5 ecu.clon.. de equilibrio del elemento.se &aUsf.ca automA t.feameo.te. De acuerdo con la le, de Hooke i8DeraUuda, Iu \lnslones oro 0, Y o, eatin L'8laciooadll COD los alargam.ie.oto!1l unitarios 1,

,

,

y e, como sigue, e, -= E [o, -

ji

(o,

+o.Jl. el ""!'" (o, --

j.I

(o, +0,)].

Consideraremos conocida la teDsióq o. qUll deixlQde de las condiciones de solicitación, ,dol cUlndro por (uen!l8 lIJJal~ lplleadae a los extremos. Expresam9fl ,ahora las tensiones 'u, y (J, por e" el Y 0._ De In dos -o.ltilDll,8 ecuaciones ob~drelJl03,_ ' .-

C'=¡!IlI {e,+j.l8¡)+I.!P

a,. a;=¡!Il,ISr+1l8,)+¡.!:,.. O.~-.

Introduciendo aqui lI, y e, de las llxpresloneil (9 t) y (9.2) halla-

remos,

O'-I~lli(~+j.lj)+~P

o"

0,= I_pi (r +j.I J;.) +r=¡¡-o,.

1

(9.4)

Realicemos, por l1ltlmo, la ultima operación, eliminando ID&dlante las ecuaciones (9.4) (1, y de la ecuación de equilIbrio (9.3). Asl obtendremOll una eeuación con una ine6gnlh u,

a,

...."+.!. ~_ "_0 ;r,:t r dr ;:T - • que puede sor

8~erita

asi,

:r ['*+-;- J-=0, ó

i[-};'(urIJ=O.

(9.5)

Si despejamos de eslll ecuación u, por las expresiones (9.4) so podrán obtener tllmhiéll las tensiones•

• 61. Determinaci6n de los desplazamientos y las ten.lones en el oltlndro de plredoa gruesas Veamos un cilindro de radio interior Q y do radio erterlol' b (fig. 313). Para mayor generalidad suponernos que el cilindro Iil!Itá solicitedo simultáneamente por una presión lnlerlor P. y por una presión exterior p~. En adelante, suponiendo PD-O Ó P.=O podremos aJlalitar el taso de una presión interior solamente o el de una presión exterior. Se debe tener en cuenta que si e) cilindt(l t¡"no feudo (fig. 314. al. entonces apllJ'9Cerfi en BsU! una fuerza axial do tracción de magnitud.

La \.enslóu axial

0.

(9.6)

Es importaote destacar que la longitud del cilindro se supone suficleotemeote grande pan que 8& pueda considerar que la tensión a. l!!!tli distribuide uniformwneote eo.la seccióo traIl.'lversal y que la in. Iluellcla restrictiva del fondo llCbre 108 d6Spllllamientos radiales del ciliDdro re IllUY pequeiia. VearoO!! apafte del caso aoalJzado, el caso cuando a, __ O, como ocurre, por ejemplo, en el cillDdro de la figun 314, b. El problema de la determinación de las tensiones y los desplazamlenlos en el cilindro de pared8ll gruesllll se denomina probkma Ik lAmi, eientlfico del siglo pasado que rll:!OIvi6 este problema.

b, Flg, 814.

flg .•••.

Volviendo a la ecuación (9.5) obteDdremos el desplazamiento radial, (9.7) u_ ,r+ r '

e

"

siendo C, y Cl I.as constantes de integraci6n. Introducimos tlSta expresl6n e1l (~.4) obteniendo,

+00"¡

O'=l~ .. llC, (1 +¡.t)-C.(I-¡.t) :.] . [ ] a/_¡':.... C, (1+1I)+C,(1-fll :. +~a,.

(9.8)

La8 constantes C, y C. se determinan de las siguientes. COndiciones de borde: cuando r = a 0, _ - P. y cuando r .... b o, "" - P••

i~",i

[c, (1 +II)-C. (1-11) -lr] +~ a, = - P.,

i':""

[C, {i +¡.o.)-C. (1-11)

b~ J+ l~'" a, =-P.,

do donde Sil. obtiene,

e'--'-'1+,,' 1_,,· 1 P.~--Pbb-· " a f¡i al íi ., 1 ~,,' I el ""----r. 1_ "

a'b'

. P'='4I(P.-P.)·

Las expresiones de 0, y 01 se dan aqui en ulla misma f6rmula. Al suMndjce superior corresponde el sigoo nogstlvoy al inferior, el signo positivo. Ls e.tistoncia de la tensi6n axial <1. influye solamente sobre la magnitud del despluamiento radial u. Cuando el cilindro se prelliona en la direcci6n axial, de las expresiool!ll (9.6) y (9.9) obtendremos,

u=~pa;:

::l>' r+~/J:b"Pb1:=t.

(9.1t)

Cuando no exista la fuerza 81:i81, 1_"P.~·_P~" 1>1 /Ji

u"'" ---r-

r

+t+"~'b'P!-P:

---ro -,- b'-a

•

(9.12)

Veamos abora algunos cu.os partlculare5. Cilindro .,,~tido a pre,I6n Interior. En es\¡) caso Pa _ P y p~"'O. De la expresi6n (9.10) se obtiene,

,

po' ( t=F-:T ") . a'~iJ=' -~

,

(9.13)

En la Ilgurtll 315 esLtin reprll!lentad08 los diagramas de la variaci6n de las tensiones radial y circunferencial dl¡!ntro délll8pesor del cilindro solicitado por una prlll!i6n interior. La tenSi6n circunferencial, como era de esperar, resultó de tracci6n y la tadlal, de compresi6n. En la lIuperflcie interior o, adquiere su mhimo v8lor,

1>"+.-

oIV • .;)=Pbl_~I·

Ls tensi6n radial ea aqu! igual a -p. Según la teor!, de las tensiones UlDgenciales au\ltltll85 (cuando no existe la fuen!! axial, lIS decIr. cuando 0, =0),

b'+."

a.q=o,-o.=p~-(-P)

.. (9. t4)

Es muy importllnte . .\lir l. variación d.• Iu I.ell!liolleS 0, y o, • medida que di!I.IDlnuJ' el espesor del cilindro. Admil.llmO' qlHl b=oIZ+6 81eJldo 6, el e3PMOr del cilindro. Entonl:e'.

o,,,•• ,.p '.+"J'+'" 61t1í+SI

'

2,0:' Olt,.t,,,p~·

JI," 311.

Cuando ti

el

pequeño. O, lt • •, ::::l

.o, .. _11 "'" P T'

La 111l5ión radi.l 0, eo 1I superficie ioterior 811 -p Y en l. exterior, cero, independientemente del e:!I¡>e:!IOr del cilindro. A&i pues, v,mM qua en el taJo de UD cilindro de pared de .pesor pequ(!lio las tenalonea clreunfenmeiaJes se distribuyen casi uniformemente y In radlelC!l,

Ion PlKluefiu eo complfaclón con las cIrcunferenciales en la misma medid", eD l. que' el esp8S0f ti es pegue60 en comparación con .1 r.dio. Si el espe:!lor ilel cilindro aumlmta, eol,onCe5 las tensiones .nbimBa que en '1 se dll!l8rroll.n, lDantani.lndo cODJItíntel. presión, dlsmlnuYln, pero DO de manera Ulmjl.ada. V8llmoe el uso (mando b_oo, .. decir, CWlndoeJ c:l1lndro es de espesO\" inlJnlto. En este ea!o 18 Upt&alón (9.13) ser', 0,= =FP • .

,

. .'

Es\o Indic.i qu. c:ulndo el elIpesol' del cillndro • Infinitamente moda tensión radLaI UI l¡ualquier punto ser' igual" la c:ircuofereoelal (fi¡. 3(6) J en el c:uo cuando no ubten lell1ÍOnel nl.les todOl los

11

puntOll se eneontrarú en el esl.ado de dl!l.Ors.lÓn pura. Como vemos,

lu tl.l~ione5 son inversamente proporeiooal8llal euadrado dél radio r. Si, por ejemplo, r_M, enloltCft en lO! pontos situados a .la distaneia del eje, lu lflllSionM cOI1!Utúid.n solameate tlt6 pene de lu tensiOfle5 mb.imll.S. Por lo tanto, eua.cdo es sufleleIlte realiür los cáleulos ton une enctltud del orden del 5-6% (mayor ezactitud f18,

FIg. 31/1.

pr.oictieamente, imp05ible lunque sea por el hecho de que los meteria· les no son perfectameote elisticOll), el cilindro pue el cual .!. • " puede cons.iderar de f18pe:!Or Infinitamenle gf8nde. Es muy impor· tante el hecho de que al miJlmo tiempo 00 dependemos de la forma del contorno exterior. Si todos los puntos dll contorno exterior est'n IlejldOl'll del eje del orificio inlerior a unl dlsllnela mlyor que 40, entonees II configuraci6n del contorno axlerior podrá ser llI'bitrlria.

>'

D)

'J

El cálculo de los cuerpos elbticos como los lndleados, por ejemplo, en 11 figura 317, se reduce al esquema del cilindro de pared Inflnltamlnte gruesa. La tensi6n equi\'alente es de acuerdo a la 81presión (9.14), cuaodo 6_00,

o., =2p. Por lo teo\<), si, por ejemplo, el Ilmitl di Ilutlcidad del mlterial es 6 000 kgUcm', en el uso del cilindro de e5pe!lOf infinitamente ,rano de les deformaciones 5erh elútices para presinnes inferiores a 3000 kgflc:m'. Mb IId,lanle bIobla..mOll de tu poIIibilidedes que.ur-

.. gen Pi" ¡u.ntiur la rMialAllleia 8ll el euo d. preaiollf$
ain. Cilindro .olfcllado por pndón nlerillr. Ea ale

1.. uprMlÓCl (9. fO)

CallO

~ tlD«lncas.

P.-O. PI-P'

a'i--/~~·.I(t =F;;'). En la figun 3t8 elJt.i.ll rtlprtlleOt.tdOll lO!.! dlagramu de las lell8iones en el a'lpol'Ior del cilindro para este callo de solicltaci6n. La telll!iótl

p

lb' P¡r:¡r FI,. SIl.

equivalente mbimll ocurre en Ja superficie lol.erlor del cilindro. Cuando no ul!l.e l. fueru uial,

•

o..=cr.-o._O_(0 ... -

...

P¡;¡~..)

•

P ¡r=;1"'

Esu exP"¡ÓlI coincide con 1.. del uso de aolicltaclón por presión interior. Si no 8J:bte &.1 orificio Interior, es decir, si a=U, eatancee tu teo· alaDoS 11.11 i1 clllndro lI8 dlstrlbuir60 de manllnl uniforme,

0',_0,"" ...... p.

,

.

Ejemplo t.t. c.lcul&r .1 c1t'.I\1O e:rl.erlor 2b d•• cilindro .amolldo • uu

presiÓn interior dlÍ I'-SOO 11m. III e\ coefie.!(Iole d~ IJ!lJUrldad ... IIJl.l.l • do.. El

11111110 d. O"'lICla del materia.! • CI"-or.-~ 000 t¡fIcm', El dl'llIelto laterlOt • eonsldet'l 01"" 2.0=10 c..... l.oI mh ptl~ _ los pun~ IitnadOl In ..... perflde I.Itwlnr dfl U. Ibdro. Por lli MnlllIW 1$.13) ., (0.01 obteadre-. ,"+a l

a'

0,""'-1'; (I,""¡r=;t; (I'-'¡a_.I'

,..

(I.q_O, -(l~=p sr=;¡I'

(otn>
II:D

esta ezpl'8lión 1Q.'l nlof'l\l oumérlcOll b.n.rempe,

211 ... 2

I 62. ltetermlnaclcln d.

en

'01 lu", compu&sto.

!II

JI'1.. =12,9

em.

tlru:lonu

HllmO!l 'visto 811\lltlormeDto que el aUIDento dlll 8S¡>ellor del tubo no puede, en todos los e&.SO!I, garautlzB.l la resistencia neeesarla. Cuando 01 espesor tiende al infinito crOq -2p.

Cuando en el tubo de puedoo gruesas. es necesario mantener uoa .Ita presión, por ejemplo, de 15000 atm, cesulta nooesario que el

limlle de fiUllOcill dol material soo, por lo menos, dos v&Cas superior,

flg. 319.

es decir, 30 (Xl() kgf/cm", En la actuaUdad no edeten mattlcial6!l de

tan alta resistencia. Es decir, pare les recipIentes de alta presión es necesario bWlCar otras soluciones constructivas nuevas. Una de ellas la constituye la creación de cilindros compuestos 'Y unidos 11 pellSi6n. Este mátodo se U99 tanto en la técnica d6 altas presiones

como en la artJlletla para consolidar los Cllfion611 d6 las piezas pesadas. Supongamos dos cllindrOll (lig. 3t9). Designamos por a el radio Interior del primer cilindro, y por e, el radio exterior. El radiO in· terior del segundo cilindro es ulla magnitud ~ menor que el radio eltflrlor del prlmet cilindro. es decir. ~ - ~. El radio exterior del segundo cilindro 8'1 b. Si calentamos el segundo clllndrG, aumentará Ilaí su radio interiorrllllultando que el primer clllndro se podrá introducir llbremente en el segundo. Durante el enfriamiento entre los cilindros surgirá la presión de contacto' P•. Calculemos esta pr8lliÓo. Durante el encaje el tIldio exterior del clllndro Interior diSIDinuye y los punto» del cilindro altuados sobre le lIuperflcie de contacto f&' clbirán un despluamiento neglltivo u,_ El radio interior del tubo

002

Clip. IX. Tubo. d. pllre/k.

""'d' ~ dllCOl

•

ulllrlor auwentará y aparecer' uqui un desplllumlento positivo

+/1,"

La suma u.+(-uJ deberá ser Igual 11,-1.1,

II

la .pretura A,

~6..

(9.15)

El desplazamienl.o 1>, 96 obtiene por la f6rmula (9.t2) suponiendo en ella P. = O, = P. y slIstituyendo b y r por c. Asi se obtiene, '-:-fl ¡:> "t+fI /j'. u, ... ----g- .. _lIiP.----y-~P•.

"b

PGt III mi"ma fórmula (9.12) bUllIDO' u." PI" ello suponemos

P.~O,

P.coPIt Y a=r=c: ~..

U.

~

1,0.

= -g-' u=?' PIt + -----r 5I=? PIt·

Suponemos que el módulo de elasticidlld E y el Poissoll '" son iguales paca los dos cilindros. De acuerdo e la expftllli6(l (9.15) obtenemos, EA (o'

P." 2<'

a') lb'

6" "t

coencien~

de

c")

(9. Hi)

Asl pues, como resultado del.juste, el cilindro interior quada someti. do a 1W8 presión exterior P. y el cilindro utarior, a una preeión

~(A)

~"Í"

FIl, 320.

interior Igual a Ia,primera. El cuadro ,de la distribue.i/in de las tensiones en los cilindro" unidos se -da en la-figura·319. S!' Se somete ahora el cilindro compuesto a 'una, presi/in inwiof, entonces las do.
bar¡o, que comoco.uec:IlGllci.I de.Ja .pretura. In la 1001 de coaWlclo, In el cilindro e.terior. aUlDeJltlin tu ten.!looes. Por lo luto la 'p~ tun .ó. se debe e:sc,oeer pan Lo presi6n de trabajo dac!lp. d. manera tal que 1M! prantlce l. resiJteocia taDlo del cilindro interior como del esletfor. El f!c.il pi.lD~r l. condición de i¡rualdld de .resistencia de 1011 dos cilll1dl'OlJ (lIg. 320), O ...A-O...".

De Kuerdo I 1. uprorl6o (9.10) ooleodrelD05: ·par. el punto A, ".+",' 1<' O~=(J,-O.'" P¡¡r=¡¡- P. ~-(- p)

, (9.17)

y pan .1 punto B, O'.q

_a,_eJ. =

i:'",. (t+¿;') + P. :~::-li:,'G' (t-;)-(- p.l·

Igualando estas dos IlIpreslone8, obtendremos

". oe"-." (~ ") . P7ít'-",.,..P. ¡¡r::'
(9.18)

Si Introdudmoa lquf P•• de l. IIlpre8i.6n (9.16) obteodremoa l• • pretu,. 6 que ganotlll l. iguldad de reaiJlenci. en el euo de l. pral60 de tlaNto dada p, '" do" (... .") 10. 9 01 - y ¡:& (e' .')+<'(ít' ..,' \".1 ) SI IlIminamoe. por 6.llimo, de la uprui60 (9.17) l. presi6n de contlckl P. (9.f8) ball.remos, o ...

El ••lor lDlnimo de

_PP~.1 ella

[1- 6'-''+tr=ii' .. J' 1 ...

mllgnHud corresponde. e _ ",1..

o.~

•

.,. P íi=li .

Viib: {9.20)

Lu releclone.s obtellidu se dllnomlan condil:lonc, ck Gadclfll, c¡en~i­ fleo ruso que las obtuvo por primera Vil. Comparando fu upl'lllliones (9.20) y (9.t4) observamos que J. apre~un de los tubOl conduce. una reducción substancial de la t&ll,ib equivalente. AnalicemOll, a manera de comparación, la rel.clón entre las upl'85iones de 0... obl.8Oidu por esl.s f6rmulu,

""" ,.

..:.!!....=.+•. ,~

SI eJ radiointeriOl' a del cilindro es peque6o. entonces la ap,.tura

de 101 tubos, serÚDIu relaciones de eadolln, cOnducirá. una reducci6n de eaai la mitad de l. tansión equivalent•. En el caso de tubol d. paredel delgadlJ, o:=:::b, la aprelura. de 101 tu1>Ol no es efeeti'l'l.

Ea le tknie- de lu cr_ndlllJ pn!lllíoOIllJ .. emplea, eput. de 1_ epretura. el luto!unchedo que consiste In que el cilindro lI& somete pre'f¡emente I une pNll!li6n iotariOt' meyor que .. p~¡ÓIl de trabeJo dla tll mUlan. que en I.u GlpI' interior. del cilindro epel"UellO d~ fonnadoDM plbtieu. Dl!8pu" de retinof le Clr¡a en I.u cepu uterl_ del cilindro se manLleoen lu tensiones elbtieas dla trlocJ60 1 en Iu ClpeS interiores apenlCeo teaslon. de COClprai6n (fir.321). Al eargar despds el eiUndro con eiene preei6n, las tensiones ~¡duII. 51 sumln con lIS d. trebejo de tal manera que en Iu eapas interior. OCUlTe une deeeer¡1 perdel. El meterlal del cilindro no recibit' deformacion. plástieullerllpte que .. pl'fll!i6n de trebejo no supete 4 p...i6n de COlDplesJÓD inidal.

!

r FI,. UI.

Elel:lOp¡o 9.2- C.1~ular 1.. diÚletl"Oll 2c y :lb 1 la IIlqnilud de la '~"ur' 6 pua al uñón íle dte capu. de dUmelro Inl&rior 1.-too mm. Loo pru.lin 1lÚolima NI el mClm'oto del diaplro " , ... _2 000 q.u~m-. El ...almal es ~_2· 10' 11I/l/cm-. ofl="te=6 000 kaUemo. el U1t(ielIOI.t de R¡Urldad llO e1.lIt

.c:wo.

_ _ 4,-.

Por la 161'111w. (9.ZO) baila... 6,

~=20D0-'-: ¿ t-a 6_300coesI;lap la mMla pomftriel ellol", • 1 60, - ~- v;¡: •• Y1. lIlLmUiCO!l de- IDl dibMuoe _: Ja_IOO Dl.gI; 2b_aoo _ :

El mio IIlw.Mlo LoJ

n~

~

2<_173 _ . La upresi/ill (ll.Ii), ...

ftlO

Iilttoll""ldo .. ella ~_ ....... _'.

6-;' f;i

enj. dirteel6n ulaL par. seicada de l. planc"-,. S. cODlllduan dadOll: b .pretUra

6_0,03 mm, el dhíll\lltro de la bllrra D=60 PUlI, al 8llpe&Or d.lI planell. ,,_ _ lOO mm y el coelielonwdo tollmlellt.o entre l. pllnC.ha y l. bina [-0,25. Pre.cindlendo de 1... pulieulOlrldld... rol.donadas coll,lti dlattlbuel6D no ...nHorml! de 1_ .",pro!o/' im
aiOndo P"

l. pl'e5f6n de conla<::to. que • obtiene P
COllJlderamOll Q\'&

D

1=0, b=«> y ~=T' P.=J!

La

fUllI'U

~

_2"0'°:;=1000

kgf¡tm",

que .. bU-loU .....,•• P_O,25·10Xbl·6dO_47100 kg{•

• 63. Discos de "pe.or conlllnte que glrln I gran velocidad

El problema de la ~eterminaci6n de la! tensiones en un disco que gira a gran velocJdad, como Sil dijo ya, se reduce al eBquema di cálculo del cuerpo de revolución eumlnado anteriormente. Es bien conocido que cuando el número de revolucIones es grande, lu pieull como los discO! de lu turbinas de gu y de vapor, las muela!! de rectificar y otras. pueden recibir deformaciones residualeu.preciablll9 o destruirse. Esto conduce, como regla. general, a averías graVIIIS. Es por esto, que se phmtean rigurMlls exigencias a la resistencia de 109 di8CO!l que giran a gran velocidad. Veamos un disco que gira con velocidad aogular cOllllt~nte lI.I (fig. 323). Para llimplificar el problema cOllllideram09 que el ll9pesor del disco e9 constante e igual a h. La manera mb simple de determi· Dar lu tensiones en el disco consiste en aplicar el principio de D' Alemherl, considerando como fuerza!! exteriol'9ll las fuerzas de ¡oereia di. 'Iribuidas s.obre el volumell del disco. La fuena de inercia que actúa sobre el elemento del volumen M dq¡ dr (fig. 323) es igual al product.o de la maSll hr dq¡ dr por la aceleración normal

f

dP =

.

fIl·'.

~ Cll',·d. '" '

siendo y, el peso especUico del material del disco. La fuena dP, según el principio de D'AJembert, &El dirige eD aentido conturio a la aceleraciÓn, ll9 dooir, desde el eje del disco. Volviendo a las ecuaciones obtenidas en el comienzo del capítulo. deaigoam03, como basta abora, por u. el dllBplazamiellto radial, por o, y ato las teDsiooes radial y eireunferenclal que surgen eo el disco.

..

C.p. IX. TuIHI. lit p.m., 1''''-' tll«ll'

La l.ellSi6o (JI

etl .... caao puede DO coDal.d.,..... pueslo que DO .:I~tfn ful'tu5 ula lllt. Lu llCutociones (9.1) r (9.2), obteaidu anteriormente, licuen equl en vigOl", Clllolru que b. "::laeióo d. equilibrio (9.3) debe_

precisad,. Entre Iu fuenu que actÚAn 1Obr-e.1 elemento debe ¡oeluirse la fueru dP (fil. 324). Hallamos la luma de Iu proyeceionlS d. todas 11.1 fuenu sobre 111 llIdlo T y .. 'rulemos. cero, (o, + da,) Ir + dr)/t. dl9-G,rIa dtf-o,h drd'9+ fJw)lr" dql dr _ 0,

.

obtenllodo,

A

.,: (o,r)-<1j'" _1. w'''',

(9.21)

LI' operaelou9$ que siguen eu Deda 1& dller8l1eiao de

las que

se realluron pUl el cilindro. As/ llegamos, como en el caso anterior.

n._ m.

,r.

• l. ee.ulci6o (9.5). pero ton otro qundo miembro.

, ["

1 '"e""

¡; ,;¡;(llr) __

..

DelIpués de L1na doble I.ntogracibn, en lugar de la ,expresión (9.1), obtendremoll, ll__

1-,,']"»'" e - - , +C,r+=:!. '

(9.22)

Do l. upreaHin (9.4)••upolliendo a, _ O. determlnamgs 1M ten510nes radial 'J circunfel'flnel.l. E

[

, ]

•

°''''',_,,1 C¡{I+IlI- C,(t-lll tt" -~(3+Il)rl. e l ' 0'1- 1-,.1 [el (1 + fl)+C. (1. -11)';1"] -~ {i. +3fll

r".

l

(9.23)

PUElIIlO3 ahora I lu condiciones d. borde. En el bonIe u18t1or

del dl!co l. teli!16a r.dl.1 0,

elI

Igult I uro, o

O',.".~=O.

!lO',

En el borde interior "del dieco 189 cOlldiclonml e5tán mooos determlQedu. Generalmente el di!ICo, de une u otre menere, se une el 'rbol. Si el disco y el árbol conatituy'en, un 'todo (fig. '325, a) entonces el disco podd ser prolongedo ha,sta el eje y, prosdodlondo do le a~ei6n soportadol'll del !rbol,'y ser'eonsiderado maei:to como "rimera aproximación (fig. 325, b). En este caso 01 punto r-=O tembién pertenece al disco. Para que e'l despls:umieo_to 'll y I~s tensioDmI. a, y a, seao eo el

. -,.¡

~'" rwfirurm Q)

Flg. 326.

FI,.

centro IImitad3'l es necesario que C,_O, Aal pues, quedll por determin., aolamenl.9 la constante C I que se halla de la condición de igualdad a cero de la tensión a, en el borde el[terior, ' B ~ 1_p.I C,({+Il)-a, (3+IA)R"=O. Da aquí se obtiene,

e =- ',ti ~bI3+f:l a, 1+1" 1

~

La upresi6n (9,23) sera entonces,

o, =~ (3+IA) (b"-r'), 01 "" ~ (3 + lA)

(b' - ~+~ r') .

En la figura 326 estall reprOO0ntados loa diagramas de las tensiones para esta caso. Si el disco tif'ne un orificio de radro a en el cen~ro y astil. unido dábilmollte al /irbol (fig. 327), entonees se podrá considerar que en borde ioterior la tensi/in o, es tambión igual a cero. Las constantes I y C, se determinarán en este caso de las condiciones siguiellte.9, cuando r=b,

e

o, -1~P.1 [C , (1 +Il)-C. (1 -p.) cuando r_o;

;Ir] -*(3 +... )b' = O,

H [ C,(l+I')-C.(l-y.) ¡¡¡ ' ] -'i,-(3+f.1)a·=O. ••' o'=i_p.

FIg.

m.

Las expMlllllones (9.23) seráD liD este caso,

Or_~(3+)1)(bl+41_
_rl).

01_ ~ (3+)1) (bI + 4'+~- ~t; r l) . En la figura 327 !le dan loa dlagralDas de tu leDslone.s 00rrespondientes a b_5.1. Las tensiones mbimlls en el di-'Oo ocurren siempre en le parle centr8.l. ElI por esto que lO!! discO!! de las turbinas que giran 8. gran vlltocidlld 88 hIlee» como regla leoeral de espesor variable, de mayor ~pesor. en-el cenuo y de menos 89pB80r en le periferia,

C.phulo X

PLACAS Y 8OVEDA$

I 64. PutlCIlarldad..

f~ntJ.l.. b6wedu La mayotb de los elementos de Ju .trueturu de ingeniorb que se SOI'llal.en al cálculo 88 puede noduclr al ..quema da eilculo de la bf.rn o la bóveda. Como se dijo ya, 1I8 entiende por barra todo cuerpo que tiane uoa dimanai60 (longitud) mucho lDayor que 111 otru dos. Hut.ll aquí MI analizaron 101 eiemen!.Ol da las eetructuru cuyo esquema el la buta. PuemOl ahora al estudio de 1.. b6vedas. Se entienda por bóveda todo cuerpo que tiene una dlmlDJIi6n lDucho lDenor que las otru dos. Ellupr geométrico de los puntos equidistan· tes de lu dDJI .uparlicies de la bóveda se denomina ruperltcll media. SI la su~rilcle modla de la Mvedl'l lIlI UD pleno, est.ll bóveda se denominI placa. Lu plaeas se clasifican eo fuoclóo de la configuración del borde exterior. Las plaCla puedan ser circulares, rectangular., trap8loidllel!l, etc. Si 18 superficie medía cOlUltituye perta de una eslera, de un cono G de un cilindro, la bóveda se denomina entonc8ll.,. firiea, c6nica o cillndrlca respectivamente. L8 goometrla de la b6veda te determloa 00 s610 por la lotma de la superficie macHI. Es oecesario conocer también la ley de variacl6n del 8'lpesorda la bóvoda. Sin embir¡o, todal las b6vedae que se eBCuentran 10 la práctica ti. aen, como regla poeral. espesor eoost.llnte. Se l/om.n b6vedas dIf rn;olud4n o aimplemente b6vedas ,lmItrk(l' .quellas cuya superficie media es un. superficie de I'8volucl60. SuponemOl ea adel.nte que la Clrg. que .ctÚl sobre ate bóveda tlmbiio es simétrica respecto.l eje. El dlcolo da este Upode bóvedas se simplifica consider.blemente. Esto ocurra porqUI todlllu loenu interiores en esta bóveda DO varian a lo l.r¡o daJ arcade l. c.ireunl. renci. y dependen aalameot. del radio nriable o de l. loogitud d. arcn qUII se mide a lo I.rgo de la ,eneratriJ del cuerpo dI ravoluci611. La distribución de las t~iones en lu b6vedas que no sao simétricas !te obtl.na d. malHlfl mucho mis complicad•. Al Mquems de l. bóVida de rtIvohtel60 se reduca el cálculo de muehu estructural, c.lder.s y recipientes, piens de méquinal y dispositi VOl, comelllll,ndo 1I0r plezü tan pequeñas como le caja elilllJ.·

de lu pltc:u

r

'"el de un v.ri6melro· c.,..

X. PI.«., "'""",",

' (fig. 328) de di6metro 40 mm y 0,2 mm de . . pe!lor y terminando por eslrutlUtu como l. bóveda de UD pl.neurio

~presenl.d. en

l. figura 329. El esquema de l. plae. se eocuenlu en

Fil. 321.

los cálculO!! del fondo pl.no de un recipiente, de lu puedes de di\ler_ recipienttll, d. 101 diafragmas pllDOI en les estructuru de los .viooes y de olros muchos elementos.

fI,_ 32t. EstJ. e1aro, que el dleulo de l. pared de UD depÓ3ito o 18 clje ,lút1C11 del nri6alelro DO MI puede t6Il.lbar por 101 m'todOl que se aplicaron .1 esquema de .. bllr1'll en 101 c.pltulOl InteriOrM. El c'lculo de las bóvedas de nrvolue.16n se ,..Iba con l. mádm~ .implicided c:u.odo N puede cOllSiderlt que las tensiones que IU~l lO l. b6yedl son cOfUIunlN en el l/!!lpe50t y, por lo tanto, no hay Jle· Jión del. b6yed•. La 1101'1. de las b6v8d1J que bu_ en.la _uposlclóu .. denomina tlorie IIWfIIbr~md de lal b6wd4,., el DilpoaltlyO ,...... mMki61l de .. ulodded de elu.ei60 del ul611_

Si hl bóveda no prooenta cambios bruscos y no tiene elllpo~ramien. tos rig'ldos y el, al lJlisro,o ,tiempo, ,oo._tiene cargas ni momentos concentrados, entonces ~ la puede ealcular con éxito por-le- toad!! membrana!. Cuando exi~ten '18s parlieillaridades indicadas, en 'los lugares donde se fiJI! la -bóveda y en loa lugares donde varía bruscamente la configurac;i6n de la bóveda, aparéCl:lD grandes tensiotle:!l debidas al ef~to de la flexión. La solución de esto!! problemas por métodos m's exactos, teniendo en." consideración los mollÍentoo fJectoM, demuestra que la !ona)l.a IJls }8lll1iones elevadas, orlginarlllJl por.1a flexión, es Sil la mayó~la de loA casos, muy limitadas. por lo tanto, en los lugal'e5 su(¡clentem!.!l\e lejanos de llIltu zon"tl8 ospOelales se pueden deteiminar lliJl tllDslool¡S por la toorla membrana!. La determinación de las tensiOJlell IIn las zonas Indicadas requienl una in'Ye!lligación especial. Se debe, por_último, indicar que cuanto menor es el espesor de la bóveda, tanto más eueta lIerá le ley que supone que las tllnsiones son constantes en el eospe.sor de le bóv&da y tanto más Iluctos serán 10ll resultados de la taode membranel. Lo IlXpuesto se demuestra en el cálculo del t&Cipiente cHlndrico que se realizó en el § 61. AH i se demostró que, en el caso de un cilindro de pareda delgadas, le tensión circunferencial se puede considerar constante dentro del apellor. La tensión radiel, en el caso de pequeilO espesor, resultó Sllr despreeiablemente pequeña en comparación ean hl tensión circunferencial, debido a que esta última resultó ser muy grande. Las CUll!lUones de la t80rfa general de las bóvedas salen fuera de los mercos del curso de resistancia de materiales y consUtuyon, en la actualidad, una parte independiente y bien desarrollada de la meeániCIl. Comancemos por 106 problemlla más simpl8ll de la teoda membranal. Después se analitarán problemas relacionedOll con las tell8ion8ll originadall por la flexión en los CIlSOS más simples de lIolicilaei6n de placas y de cilindros de paredes delgadas. § 65_ Datermlnacl6n de lu tensiones en las

bdy~s

'¡!!Mlricas por la leorra membranal Veamos una bÓ'Yeda lIimlitriea da espesor k (lig. 33O)"Designemos por P.. el radio de cur'Yatura del arco del meridiano de le superficie media (fig. 330, a) )' por p" elll'egundo radio,principal, es decir, el rodio da curvatura de la seeci6n normal perpendicular al arco del meridiano. Este radio es Igual el segmento de la normal entre la 811petlicle media y el eje de slmetr'ie (lIg. 330, a). P. y PI son, en eleallO general, luncionas del ángulo e entre la normal y el eje de simlltrla. Con dos parllll de seeciollell meridionales y nonndes cónicas (lig. 330, b) sepal1lmos un elemento de la bÓ'Yeda de dimensiones ds, y ris•. como el indicado en la figura 331. Consideramos que lIObre 1118

'"

C..p. X. PIIJCIJ' V 6
caras del elemento actúan IIllI tllnsion& 0".. y 0'," La primera de ellas denominará ten.eióo rrurldional. El vector de esta ten!ión se orient.a

Sil

según el areo del meridiano. La segunda tensión al

Sil

dellomina ten-

si60 tlrtunfert!ru:ÚJl. Multiplicando las tellsiones"0'. y 0, por las áreas

'-----1P,.:.-'"'

" I.

6111 /lds~f'd{d,. flt",)

•

i

FlI_ NI.

eorrllllpond!l:mte8 de las caras del elemento se obtienen las fuerzas o. h th. y .. o,h ds" representadas onla figura 331. A ene elemenlo se le aplica tambi~n la lulltUl dela presión normal p tb, d&,.. Proyectando toda, las,fuen~ sobre··la lIonnalll9 obtien"e, p ds, fU.-cr,,/J cUt dfJ-crp ds, dq¡"", O. Como de _ d q:¡--,

d.,

'"

-P••

"

obtendfflOlOll definiUvamellta ~+(I,

POI

p

¡¡¡-T'

Esta felación se conoce" ~omo la ecuael6n tU: L4plau.

(to.!)

En el callO del elemento de la .figura 31 t ea 'puede plantear ~mbién

otra ecuación, proyectando todas las fuenas

~o.bre

la dirección del

eje de la ~6veda, Rero.e6 máll eonve¡¡lente plantearle, no .pate el elemento"llino pllra la parte de la b 6 v e d a . _ ~parada por la secci6o- cónica nonn!ll

(ftg. 332). De!lignando por P la fuerza resultante axial di las fuenas e:a:l.eriore" hallare-

!

m~.

o..2¡trh sen O = P. (10.2) I""::l;q:::;:::~, De esta ecuación se ohtiEme 111 tensión medfJf cfoll' ridioDal (1.._ Aal PUlllI, eegún la tanria i membranal, las tensiooes 0.. y 01 en la FllI. :m.. b6vlKla .!l6 determinan de las ecuaciones de equilibrio. La tercera tensión principal tQlIStituida por la pre1llón entre les (;8pas da la bóveda 81111UpOne muy pequeña y se colUidera que el estado teusiooal de la bóveda (llI bluial. En afecto, al valor máximo ILbsolut() de la tensión radial es igual a la presi6n normal p, mientras que o. y 01' según la ecuaci6n de LaplaC6, 80n del ordl:ln de p ~ 6 p!f! . Antes de pasar al análJsls de ejemplO!! concreto!! de cálculo por la hada membranal, dem06tremos lO!! dos teoremas siguientes. TeoreDlIl 1. Si &Obre cll:lrta superficie act(ja una presi6n uniforml!lllente distribuida. entonces, indepl:lndientemente de 11I. forma de la superficie, la proyección de la reaullanle de Ills fuerzas da pre=¡ión sobre al eje dado será igual al producto de la presión p por el área de la proyacción de la superficie sobre el plano perpendicular al eje dado. Supongamos dada la superficie F (lig. 333), sobre le eual actúa una presión uniformemente distribuida p. DetennJnar la proyección, sobre el eje r, de la resultante de láa fUerzllll de presión. Esta proyección Px será,

Px=~PCOS'PdF, siendo q>, el ángulo ent.re la normal Il la superficie y el eje ;t. El area de la proyección del elemento dF solJre el plano X perpendiculllr al eje r será, dF' = dFcos'P y, por lo tanto,

Px=p~dF'=pF'.

,

Asl pues, parll determinar la proyección de la resultante de las fuerUls de presión sobre el eje r e;¡ necesario proyectar previamente la

Cap. X. PI.u.. ~ I>Ilwd4'

314

auperficie sobre el plano X y multiplicar después la proolón por el área de este proyección. Esto eS lo que se pratendl. demostrar. Teorema 2. Si sobre cierta auperficie actúa la pCBSi6n de un liquido

(fig. 334), entoneos la «Imponente vertical de laa Juenas de pCl'lllóu será Igual al peso delllquido en el volumen situado sobre la superficie. F

•

, ,,

V' ,

'

Flg. 3».

- - - - - - -Ni 'iT7Jrl,"F'd,__- _ dF _ 11.2_

• dF flg. 834.

La componente vertiCllI de las fuertes do preslÓIl pal'll el área dI' ll:I, de acuerdo al primer leorema, igulll al producto de la presión

que actúa Sobre este área por la proyocelón del área sobre la super· ficie del, tlquidQ, as decir, es p dF'. Como p=vz, siendo '\', el peso cs~ifIco del liquido, In fuern vertical \Iue aclúll sollre el áree dE lieré. -yzdF'.

Pero zdF' ea el volumen del pruoia oJerqental situado sobre ~I área dF. Por lo tanto, la '"ena que se bu~a IIOrá igual al peso del liquido en el volumen si\üado sobre la superficie F. Aclarando este resllltado, se debe Indicar queja fuerza obtenida no dependo de le forme del recipIente quo contiene: lil.Jiquído. AsI, por ejemplo, en todos los úes casos repMSentados en la figura 335 le (uena que actúa sobre el ·fondo deJo recipiente ser~ le misma e igual al peso del lIquido en elllolumen. del cilindro ABCD sillJ-adosobro el fondó.

FI,. 3se. Veamos algunos ejemplos de determinaci6n de laa tensiones en los recipienteB de parlldas delgadas.

.....

EjeIDpla 10.1. La bóveda eeférica de radio R l' de espeaor""" aomate a.una preal60 interior p (Ug. 336...). Determ!llar la! temlooes qua 1Ur¡'ll0 00 l. b6-

1Í. ó;

Q)

En lo bó",ode e!llérfee p.=PI_R. Do la condlcl6n de deduce.

Por la Kuaeión de l.aplacu (10.1}

1Ie

obtieno.

o._a,=~.

~imatrfa

eompleh.,:l

'lO El lIStado tcllaiooal resulta bluJ.¡ (1111:_ 336, b).

pR

1I1_01=~

leBl!16n mlnll1ll o. se eonaidere Igual a cotO. De aGuerdo tOO l. leo,ía da Mob., lodepeodlelltemaow del v.lot da 1<, !'Mulla,

LJ,

,R a••-a,-4a.=rr·

(10.3')

Ejemplo 10.%. El I'llClplellte clliodrioo (fllI:. 33'1. O) lJIl $COlel, .la pl'$Slón Intulor p. El .adlo del eiliodro U R. SU 1S1'8S'" l.. DelermioD' 1... t.ln.ion-.

•

~Eili L-l:'~

,'

,

~.

. p .

.)

.)

.,

I - . - - J -• .A'"""f"'0 '" ~

')

FIi. »7. Separamos por ulIa aec<:ióo trillSVOl'$ll una parle del cilindro (fig. 337,b) Y plaoleamos palll eUa la H;uaeión de aquillb'lo (10.2), a.2:tR.t_P.

La <;lIm:ronnotll ni,,1 da la.. fuena. de 1'_160., IndeJl'Blldlolltemmw de la forma d loodo, NIlón el primer teonoma ea P _aR'p. MI puet, 0 ..

= e!!.. 2h .

Ea el _ del' ellllldro Laplace 110.1) $1 obtieD8

pR

01=11'

811 deelr, 'll>ll l. "."\.1160 IIlreulllerenelaJ .....ulte """ dOll VeeM mayor que le meridional, El elamen'o ASCO, ""p.... do de l. blinda dllnd.le.o lJIl DlIcueot..... el Nlldo LS!tsiOllII hinl.] (Illl' 337, el, "1=0'" 0._0•• 0 0 ... 0. LIo 1.eII!IÓll "'I\1lv.l~ote ....,

,R

OOq-O'-"""-T'

(10.41

Como vemos, eo ti eaeo del cJliodro, la teMlón eq\1iv&leow r9SlJlt.a 88r d06 mayO!' que aD el euo di 1. bó"ed. esférlea del mi!mo "dio y del ml!lDO.

%Ce!

esptall••

EJemplo fO.3. El reclpleDw I!8mlll9f.'rlco de radio R, dee"pe$O. h (li~. 338, ~l wDtien. UD liquido de pI&O ll!Ipeeifieo '/. OetermiDU 1... t&nslom"'eD el """~ pleow y tollJtnllr loe diagremu de a , 01 , 0 0 '1.:, Coo UM aeeel6D c6nk. OOrtll.l1 'ngulo ~ In el vérti~. lIIparemll!l la p&rte l.•lurlor de la b6uda ealériee (fil. 338, b) Y ple.llteam~ le eeueei6.l1 de

t.

• •

v .. ~Z:tR·_

•

. (ot·."

'l.

., flI' 138. p

=1"2 'IR'y P -

-

«>l'

--=-- -

,

'

f'.

"

.,J.

i'R'1-~5"

o.. ="'jA

•

.11' .

RecurrImos .hora • l. _ación d. tApl_ ilO.1)

,_.,R a..,.

p._p,_R.

"~_"'_IIo._o.

, .111 doode o. , 0, _

"" alpo

61~te,

0,"11 •• llt-O. 0,-01,.0... _11 .. _"',. El di..,.... . . . . 110 U:Ild6.l1 eqlli""lJI 11lc. m) •• _ '"taO$, 1M .1 P9010 dned. G.... ri. di. OIÍpo. t.. IeClIlb .. w...lu.... el

...

,

a::.··=-~ll+.).

(10.$)

31. Ellle~ho

de que ".It le parte supe,l(lT del

~¡pieute

la telllll6n "r il.'l de com-

p"",i6n, ea, en eete euo, IIltural. La tel1!li6u lIUl-ridional o.. en l. !.O"a de apoyo es, cbro está, de t •• OO6...

Como la prMIón p 85 aq ... ¡ peIluea•• e! equilibrio del eJemento eepuado (lig. 340)

_llar' posible .,íiemente cuando l. kll15i60 clrcuole",ncia\ 0'1 es de cnmpr. .wn. Si ell'OlCiplellw esl.u ..l_ apoyedo In lu parte inferior, entoo<:e:!l DO ocurrlríe este fellÓmenO l7IIelIto qll'l en 8\ borde superior " ...... d. igual. coro. Ido aparidO.. di la! tenslolln de eom""",i6n 01 eUI.. do _etlÍ. 1. pre8IÓD IfIterior <18 propia no llÓlo del reeipi.... te ""ririeo. Por ejemplo, en'" tanque cilio.

drico lleno de liquido (lig. MI), en la roOoa donde se ulle le parl6 cllllldrlce con

,

d.

"

--- -- -'1=- -'- --

--

,.::::::

-:-i

,;;-~ '-,

-

"'---1-3'

.1 "'oodo. tlll1hiin pnooen surgir, (ID detei'mlnaducolldiclolle'!l, teosloD(lll de

COllIp1'll!l160' Par. qU8 l. bóveda oo· plorda l. eIIlabilldad "" necesario ",Iot•••l. 111' u\.8 IlIiar. Ejemplo 10.'. Determllllt, W \.8nalonu ell el Deumállco e" forma de toro sometido I II,prosJ611 111\.8.100' p. Lu dimeMlooel del b.1611 estb dada eo la fi¡unl 3t2, •. Seplramoa por aouloDllll lIormales I la lur,rlida uDa pe.r\.8 d. la bóvod. tllNidal (Iig. 3'2, b) )' plallt.e&lI!-oa, p..... eU.... l/Culci60 dI equllibrill. llb""

olondo

0.2M (a+R ~ '!'¡.e:J ,!,coPA I(a+ n leO ",)1_ ..1), pR 2.. R lIefI 'f

+

0"=2r" .+R -e."p .

o.

l. oou8"i60 de Lapl ..,e

!lo.i) para p._R. Pl-

... obtiene. Introducieodo

~ ~.Iol'lll

.+R ...ocp seD'"

de P... P, yo.,

Lo lenai60 mhlm. o. surg. en 1", puntOll Interio'4\! do: l. tKived. lorol-

d..l, cuaodo

Ip-

"

-7:

"'.. pR2a_R a", =2Jj 7i=1f . Como In

10~ioo~

a;:;"X y a,

Ileneo el mblllo 11\100,

"'..

...

".~_a

l'fi 2o_R

"''ir;;=¡¡"

flO.i}

Eo el CUD p'r1lcul.r, cuando ._0 flltol'O ae convierte en unl ",rere y, por Jo llInto.l la uPf'e'Jón (10.7) coincidirá con la Bx~roli6n (tO.:!) obtenida p.t •• l• 11=<0 .,] torn_ ... convierte en UO CIlindro y .n\.Onnee 1I elp/'t$lón (10.7) tollltidl.A coo l. upl'tlIión (1O.4). Cueooo .. _R el pedIDelto del .odlo IOlerlor ae hace l¡u.l. caro y, por lo lanto, o.q=""

...rera. l,;uaodo

... I 66. Fluid_ de ,lita eircalaru ItlMllidat I "'lU li,",lrkfll

AnteriorDlanl.e Ill.'liUlJIOI l. tneeiÓfl d. una bóveda sin relaelonarl. con la n.xi6ct. Velmos ahan .1 C&IO da fJUIÓll ,ia &OIl-'id.rar la lnwoo. Lo m" e6modo es .n.aliur 8!lte problema ID ,1 UlIo de l.

f1uI611 de una placa. La teoria de l. nlZiÓfl de las pluu e:lI una plrte bhm desarrollad. de la teorÍII .pllctd. de l. elutieidad. NOlllirnlllremos I los probleron mb simples. Bajo la atel6n de las luenas lIxteriOflll!l, qUe actúan perpendicularmeote al piaDo medio, la placa varl. su curn~ura. E!J1.a variación

I <'__

r_---4

d. J. Cur'T.tur. ocurre. como regla seoenl, In dos plan(l!l almult'· neameote 1. I:(Imo multado, u obtienl l. ui denomiDlld. lrU~r/k~ tlMt~ de Cll",lton pequeña. euy. forma ,. CU'IIcteriu por la ley d. variación de las flechas IP da la plata. ·En 101 ú,leulos d. lu placu se coIUlldelll que la flecha lI> 81 coosidenblelDll1te menor que el 8Ipeeor 11 de la plaea. Sol.mente .dDÚUendO esta SIlp«llcl60 se puede elltudier la fini6n dele placa lndeptodiutemente de la t.raccióo. Les placas que cumplen elite condicl60 ge denominan, 1 veces, plMu lilas. Al calcular las vigll, d. hecho,.se adlllltfa también una lupOllJcl6n •In610(1. Por ejemplo, ID el caso de la viga empotrllda liD sus extremos, que trabaJ•• flezión (fig. 343) la IIne. elástica de la viga resulta ¡lIayor que el eje dela viga sin deformar. LOIIalugamientos que, como cons8Cuentla di eslo, resultan se ¡gno",n en comparacilSn con 108 alargamienwa debidos I la curvatura de la vl¡a. Solamente cuando lu lleehu de l. viga Ion pequañas en compartcllSn con la altun dI la sección se puedl preK:indlr del alarglmento del ejs. Las 'pacas, cuyu fllthu son comparllbll!ll ton el IIIpesor, ". e.81culan, tenie.ndo eo cuenta el aargaralento dI b superficie medü. La teorÚl de .... n.. I6n de las plaeu)' b6veduee basa sobreclertu nposieioDes .implifiuth'.... w priman di ella, conslAte 8D que H cOlllidlU'l InvcrUJbk la normal. Esta suposición 81 eonoce como 1Ilp6uIU ~ Klrd!JlQfI Y consiste e.n que los pllDtoll situados .ntea di le daform.lci6n sobre cierta recta normal I la sUp'vficie media, .Iguen fonoando, despu. d. 1& deforntlti6n. llDa recta normal a la' aoperfl· ele deformad•. Esta suposici6n, como tambifq l. bip6tesb de Ia.s

$KCiooes plana! de l. baru, IlIdien que al puede prex.indlr da 1.. deformeeiones '1lfUlarlll5 de las bónd.., liD comparaci6n «lo los despl,ulOientos angulares. Esto es aeept.bte In la medid_ en que el esplSOi' del. placa es pequeilo eo eomparacióo COn las otru dimeui~

....

Consideraremos en adelaote, quilas teMlones normelM ID 111 seco. clones panle1as al pleno medjo son daptllCl.hlemeut.e pequeñu en eompuacJ6u con lu tellJioo,! orl¡jnldu po,," l. f1ui60.. es decir. qlle no exi5te presl6n .!¡una en~re lu eapu d. l. pl,IUI. SuposleiÓll anilOCI se admiti6 loterionnenle, al deducir las rór'mulu de le n.. li60 transversal dllla blrta y al eIILudiar el utado tensino.! de las bt.vedas por la leorl. membrenel.

,¡, '

PuemOll .hor. I determiBIr lu tensiones ID las plaea.scircularM. VelillOS une pleca de espesor COI1!tlnll.!l. solicitld. por fuenu situadta .!IimélriUlmeote eon respecto .1 eje ¡ de l. placa (fig. 344). Lu deformacloDes, 105 desplaumlenl.oe y In tensiones que lparecen 'D la plllU seri.1Io lambi~n .i1n~tric05 respllCto 1I eje J. W. flecha d" la placa" designa por ID y 91 '11.'11.10 de l(iro de la Dorm.l, porO (fig. 345). La, m.goitudesw yO son funciones del r.dio r !018m(lnte y esl¡Ín 'el.elonadas entre si por I1 IIXpresión obvia.

,-

&- -¡;.

(10.8)

El !Igno negativo se escoge de acuerdo al IlIIquema de 18 f1eeh. d.do en la (¡gun 345. Cu.ndo disminuye 1, f1ech. Ul, el '11.1'1,110 " aumenta. El 'igno no llene ~peeill importancl. por dependu sola· menle di la dirección en qUIl se miden lu flechu w. En l. ngUTI 3'6 ula represent.da una uc.e16n Ilial de la plac•. Los punlO! situados sobre la normal A ,B .. después de la lIuión de l. plan, fonnan la normal A;S; gir.d. un 'ngu10 O. La norro.1 A.S girari. el angulo O+dO. ~I segmento CD situdo • 1. dist.ncll ;1\1'1 rlano medio, y Mieno tado radialmente recibe el al.rgamiento !¡("lIienle. l (O +dO)- II't "" :dI).

'"El alar¡lml.nto unitario

Ief¡

(tO.9) El .1.r¡alDleoto uDituio en el punto e In 11 dlreeei6n perpI.lldl. eular ,1 piaDo del dibujo al pueda obtener, comparando l.u lon¡ltudas de las cireunfM'ODclu CGiTe8pondleotM, .oLee '1 dMpu69 de la defol'!IlaeiÓn. Aolee de la deformación de J. placa, J. longitud de la circuoIlltlloci. que pase por el puoto e era 2n.r, mi&ouu que despu6s

•

• •

•

•

.'

,

+-

•

de l. defonDlcl611, ser. !.ario c.ircunrereoeial

2.:'llr+~).

ser'.

Por lo lento, elelarg.mleoto uol-

•

~-z.7·

(fO.IO)

&,paramos. mediante dOl secciones u:leles que forman UD 'nrulo dqI y dos superfieieS elllodrlcu de radica r y r+dr(fjg. 344) el prisma elamental de la plica iqdieado en l. figura 347. Como en lu seroionell pualelu al piaDO medio ·no lIl1;!at.eo tensiones nonllllllS, 1015 alargamientos '1 las teWlioDM estar'n uoldOll por 1.1 ley de 800b IU la fOl'lD' liluieute, I

e, -"'l (o, - p.o/),

'1 - '1I (o, -!lo,).

Expresando las

tllOaiOllCll

pOr lu deformaeiones. obtendremos

fI,ca¡7'

(t,+ ¡¡-t,l. )

(fO.U)

0,_ 1_",' (t.+ ~&t,).

o, de acuerdo a

h~ tl(llTl'liOlles

(t0.!!) y (10. tO).

IJ,_¡':~, l E, (~~ O +i1--t-l' d& Q,-.-=-¡iY

Sobre In

eara~

'+..

h del prisma (rig. 347) pueden acluar no

(10.12) ~ol.menle

tensiollcs normales, sino ttlmbién tenllionB1 lJIlllft'nciale.!l. De la con· dlclón de simelrl. 88 deduce f'cilmollte que In ten~jone9 t.angenclllléal

FIJ. 341.

pueden .parecer ~Iamenle en los plflnos p.rpendiculuilS al radio, y que se orienla ycrtlcalmenle. VellrnGII IIhore las eondiclones de equilibrio del prismA separado. Parn ello, hallamos llrhnoro 189 resul\.llntes de lBS fllcr~a.!I que actúan aobre In carll.'l del elemento. Las tenlliones tangonciales en la CIlW A ,8 ,A ,B 1 (fig. 347) ori¡inan una fuerz, resultante cortante dirigida 'l,Ifún el eje J. La inlenllld,d de esta fueru, es decir, l. magnitud dI) l. fueru que se refiere 1I III llnidllrl de longitud del 'reo rdcp se designll P
•

unld.d de longitlld de la sección

58 del!l¡&~n

por M, '1 MI Ir.¡f eWClD

rapeetivamente. La. m.gnitudes M, y M" pera m.yOl' comodidad, MI denol'OinariD en .del.ota simplemente llIomeal.oll y Q. fuuu cor· t..llle.

Conoeieodo I.u tllDllIOlle r:J, y a t detenDillalDOS los momentos r. luhanles sobra lIS ea,.. como üglie. +1111

.""

M,rd
-t,

-1"

De .cuerdo

I

l.

Ixp~i6n

(iO.t2j obtendremos.

i . ,

M,_¡.!,., (~+II~n .~'J"

.~,

E ('. .) M'-l_1'1 ~+j.I-;:,

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4"

ch.

Teniendo en cuenta qua .~,

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M,_D -;-+"T," .

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¡t0. t3}

afendo

(10.141 Esu magnitud ~e deoomina rtgilhl de la placa (o de la bóveda). la flexIón. Entnllls fuerus apllcadn .1 e11meoto (fig. 348) se iocluye tambilln l. fllaue exterior pr dlp d,., ,¡elido p l. presión eo kgf/cm' que puede ... riar eo funcIón del radio r. ProyeclJ.lldo toda. In fuenas quo actúan sobre el elemento (fir. 348) lobre el eje de simelrla obtendr~ m'os,

de donde

!le

(Q +dQ) (r+drl dtp_Qrdcp_ pr dlpdr=O, halla, pr -= dr (Qr).

,

(tO 15)

Planteamos ahora la luma de las mOUleotoe de toda.lu fuerua tangente .1 arco del efreulo de radio r lUl el plaoo medio.

relIpeelo al eje r.

"

(M, + aM." (r + dr) dlp-ltI, rd,,_ pr drd" "2-M, dr a'l'+(Q +dQ) (r+dr) dlpdr _ 0,

o, pl'MCindiendo de 11\8 magnitudee de orden supedor y pa911ndo al límite, (10.16) M,-f.(M,r)=Qr

Lu ecuacioDee, de equilibrio restantes se satisfacen autolJ1'tieamente debido a las condiciones de simetrla. Jntroduciell~o M, y de.l~s ell:pr8S~OD'es (10.13) eil la expresión' ltO.t6) 'i supomendo que a rlgJd6% D llI! constante resulta, -

MI

d'"

dO"

Q'

r¡¡;¡+d.'-"';'--O· de donde se obtione, (tO.17)

Esta ultima tranaformación se comprueba Ucilmente ded vand!) la ultima expresión. Después de une doble integración de la e"presióll (10.17) hallamos. (10.18) ~=C,r+~Qdr) dr.

;,5 (r S

siendo C I y C" ¡al! constantes arbitrarias de integración que sedebeo determinar de las condiciones de borde, 00 cada caso concreto. La fuerza cortante Q se puede obtener de la lICuación de equilibrio (10.15), pero esto resulta mucho más CÓtUodo, analhando las condiciones de equilibrio de la parte central de la placa que se obtiene por la sección cillndriea de radio r. Este método de determinación de la fuena cortante se Uuetrará en los ejemplos que más abajo siguen. Una vez obt.enlda la función & (10.18), hallamos, dela expresión (10.t3), los momentos flectorO.'l M, y M, Y de 18 expresión (10.8), la flecha w. Conociendo IDII momentos f1ectores es fácU obtener las tensiones. Comparando 00.12) con (10.13) !le demuestro que

1::.

o'=I_~i

.

Al,

o:

Ez M, o, = I-p' '15

e introduciendo equí la expresión do D (10.14) obtenemos. 12M,

12M,

o, .... -¡¡rz: o,=--¡rz.

•

Las m'ximas tenslonee "urgen cuando Z= ± 2" y, por lo tanto. 6M, a,"'.' -±¡¡r:

amO' I

....

± 6M, ¡¡r-'

lI0.19)

JO, , 67. Cilclllo de ... len.llnes )' 101 deapluamlentMl

en ,.. placa. circul.,,, AD.licemOll 6ll .lgun(lll ejemplos el orden de aplicaci6n de IlIs fórmulas obtenida•. Ej~ tO.$, De1.errnlnar 18.11 nechu 1 lu tensiones en la l?1,cI ;,ollcltad. por una I:&rp uniformemente dlstrlb\lld. p, en 10lI dOill _ si'\1l1111tes d. ar.'o

de l. pl'GIl: 11 pltu empotrada eD eu contorno y bl placa apoyad. librem.n len ,.. eoa\oroo (fi8. Mil). El radio d.l. pllea ... R '1 su Mpuor 11. ComelluomOllla aooluci6n del prolileoll por Li de\ermloac16n dele f\llna COto

Iaute Q. Eo l. parte centr.l d.l. pla.... d...dio. (lig. 8411), indepeDdienWll>fIn_

ti! dal tipo de _poyo en el COD\.orOO ..te.i~. l. Kuael60 d. "'Iuilib.io 008 di, o Q.2nr .. pnr1

o Ita.

Q=t¡:. De l. up1'llS1611 (10.18) delIpu6I d. llIlll doblil illlefracl6n .. obtiene.,

e

,..

....C'·+7-TiD· TUlll en 11 tüO al tomo ea el GUO b) el 61l¡ulo de ¡Iro " In el lliIolro da 111 pi... (tUllido .-0) .. 1¡ue.1 • oero. &1\0 pn.de ocnlTlr 801llnODt4I eDIOd.,

C,_O. .uf

pUlla,

O-Clr-~.

110.20)

VMI11l1l1 ab.,.. ¡KIr eepard., lo!I do. tipos d. apoyo. El! mando r_R, el bSU10 6_0. de dliD.de ... obtiene, c, ... ~,

~

prlll1llr CUll.

O~h(R'r-"-¡.

De KlIlltdO a !a up,.lokl (tO.t3) _ul,-".

M, .. f¡¡RI(t+Joll-,t(3+IIll,

.e.

MI _ U IR' (l + Jol) _r" (t +311)1.

} (10.21)

o.

l.t. up....i6o (10.8) obtaDlmos,

,[e, -2R""+4 , "] '

"-i1lj

'onde

_

c...ere.... obtl_ de AlI,

¡",•••

l.t. _dlei6a aq"'.¡"'"'pl.UJlli... tO .. el! al COlll.Ol'DO

(10.22)

C«Do nmos. la pl.ea ... lIuluol seP0 UD' luperflcle de euarto ordoll. En 01 M'gUIUIo caso de apoyo d8 l. plar.a too Dula.. lu "ll.Oio_ ..dialQ o, (1) el momelllo M¡l al _lomo. Por lo t.aD.to, da KUerdO • la primen d.. tu II .13) o¡'a..,dJ-.. . . pa,. ,_R,

ea

Ul'"'""_

~+f!_o.

"

,

De lO'" KUlcl611 ... ollti_ la ""'¡llItt e"

utee_.

l.a

~

(I0.2111 IlOl d.......

'RO)

3,R' ( C'-liD _o, C'-"Tiilf+1' de donde bailamos,

,.....

• ['mR',-r' ±Jo ].

C'-iGIl~' O""i6D Do

~ ...

laI ..ptMi_ 110,13) ... det«m.1 ... n 1..

M,-fs IJ +I')(R.-,II.

mo.....u., n.el-. )

M,_~ 13+..)(JI'_ 13"t~,.,.). L. uprul60 da 11.. daol .... ral.oto!l

el

(11),23)

l.t. Ilsu1...11,

-,--[ 3+,.-' "] .""'t!D C'-m-'-+T .

La COftIllllte C I ... ~_lllll. de

_'f'O,

d. 1.1 IUJ:lI!" qOI _

11110" dapl..

.._L[.!..4 5+ R' _..!...21+" 3+ " R"'+.!.. rO] 1-+" 4'

(10.24)

. . .iento ......1 COtlto,llO,

d. donde .... obtiene,

l6D

l'

t"''"

De .t
2pR1 6 o,.o'-Til"

B °1_0,_ 21'ft' p' 0,_0.

La tellllÓll eqlllnlente . " .

3 pRo

0'0<1=0'\-"'.=. -¡ro cuudo el eootlll'110 le apoy. libremenle, las tenslooos ¡phI",.. aputeen &lI el celllro, en l. luperflcie Inferior .... la plua. Aquf,

",-al ... 3tt~, 0._0, S

1I. q -o,-Irv'-'8(3+1')

~

V·

FI¡. SIlO.

De KUerdO .. lu up_io..... (10.22) y (10.241. Iq lleehu mi1hnu para los cuoa PC;IPUO y 88guodo serio,

""-

~) ....... -l)4D;

~pR·

bl ...... - I +I'6Ul'·

Bkaplo 10.6- Determinar lu "'0.;011" y lu flechas lO el muelle de dl.seo

de la ligur. 351, •.

Bl problema, claro

BIt'.

58 r9duee al esqUIrol de eíle....o d. la pl.u solid·

&lid. 811 el borde por luarlas dl.trlbuid., P (fl8" 3,51, ~). Eluienlo delwuelle ... determiol por l. flecha de uDa !1Gb placa, Illultiplh:ándola por /l • • leodo ".

el l16Jnero d. pl_u" en el muelle.

H.IlJemos ¡rimero l. fuer... corlllll.& Q. o. l. coodl<;ióo de lM¡uilibrio de la pute ColInlra d. la placa (flli'. 351, el le obllene, Q·'b!,_P:

,

Q=2nr"

De la C'Cuacl6a (10.18] hllIullOS, O_C,r +:;'_4jill' e ' ( 11)'-1"') .

(10.25)

e, e!i(:ril)im03 lIItI , e P r O=C,r+7-¡;¡z¡rln ';i"'"

(1026)

V.rlaodo al vliol' cl& J.

.Igulen...,

t..u collSllnles

co~l.aDle

e; ~ e, .. determinan de

upresl(ill eo l. fo'ma

1.. condlejoDN de q..e el momento

f 61. C41amllnfal .n plACa> cIrcula""

329

lIedor ."di"l,

d. .) M,_D ( T,+14, .ea 'lIual "cero Gua.lldo

'_a C,' (1

e;

{I

y'o:l>. Silo nO
C. P +")-7 (1- ¡¡)." GD'

+ JI)--t;- (1 -

14)

-ti» [(1 +14) 10';'+ I ] p

.)

r ,p-

•q

~ .

r

r

C)

FIg. nI.

de I1 que

1Ie

obliene,

e; (I +14)- ~ [¡;. ~.i (I +14) In';'+ f ]. P .Ib" b C. (1-14)"'ZiD~(1 +14) 10-;-.

InlroducilUO
C;

y

C.

e'l lu er.p"",lolMlS de lo., momeoto! (IO.IJ).

M,"'-Ei[I>'~ai/l+J1) (I-~)ln~-(I +11) In~

J,

M'-=/;,[51~ ..I{l +14) (I+~ )10';'-(1+14) 10';"+1-,.]. Lus dllgf'lm ... de lO! mOlDlIlIlO! esl6n ftlpnl.OIllllldO! ell ,. flgurl a52. LI 1In"ión m6r.iml .urge eo el bord~ 1"lIrlo•• donde

6M;"u

, Jnf"llra"do

O,q-Ot----¡r-,

Ca,. X. I'*-,. , W.......

'"

p

R

F1,. J5J.

FlI. IU.

Ett-p'- 10.1. Of,l.e.lII.inar la fkeba , 1.. ~,.¡_ ...imu ID la pi"", lIOlieil.ldl por _na '-'tI OOllCf!o!.t'lcll ID el ....Iro (li,. 3503).

q-J;. PO( lo tnto, l. Upresi611 (10.21)

Co_ . . . . .}emplo '1I14rI"" " p " ",¡p. EKrlbhaosl. lit Dllno,

O_C;r+~_~rJn -fr"

._,

' -0, Eo ~l centro (cundo ••OI ••¡tniU1o &_0. Per lo 1.&010, COrnil lim r lnR e; .. determIna d. mlPUI tal queta 1~~j61l

l. eonstante C,aO. 1.. ma¡nllucI 0_ Iflla!. f¡llro, 'cundo

,_R. D••qyl ... dlHlue. P R

qUI

C;-O

Y. por lo !.anto

O=¡;<»' lo ....

Lo¡ mollll.lllas f ...._

N,

-Eil

..n, de Klltn:lo • 1.. tI"ral_ flO.t3),

(1+,,) la

f-Il. N.·¡¡I (l H1lln ~ -1').

'E. !ir" SS! 101 di.,'lm&lI -.,.liIoI 6e KIlft'lliO •ni., 16nD1I\u. Como . ' - ' l' elceatrel di p...... Iot _ .... n..:1Mw _ Inlillilos.loque ea fllobhlOI qu. aqUll.llDbUil" _ll1fhUl.lla¡1IftU c.otUlt# It.

MÚ .. "~nt&do"

"'''te

la

Q.

t'1l el ....otro. como ,. d~. ,DI; 1Ii1ll"1..14H no .U.¡Mbl.. S. lu c_ 4¡eJ_ l'eIIits DO ui,1etl 'nn. . . pl~dM en IUI ""ol.O, esl.o M e!II mb .111 11/1 flq_a. Lo fueru • • pllu IObN lU ... rfkla 1*l1Mi\. (fi¡. 3504) oH Cll1' ....nit.. d ciIll"'Bde ~U. l.! teMlIlDeS "'1","" o _110. .

I,.a fltclla

H..I centro de la pllu. l:Ulodo _de.. 1.lu,nl

eD~Dtrm. U.M

lO" mqaltud flatU._a1a que l. -.quamati_l6. de t.. cODdieiontll rtll1.. d• • pUceci6n d.l.. fUlrlU CODdOICa ~ul·. oolluldlcc:iooes.

P,'( la .,+y R ') .

.=C~_~

eo-

cuando •• R le n.cb _=0, obtllldl'l'_.

c.-

PR' 16ili ,

En el cenll"ll, PR'

..... -"ililll' l!:Jeatplo ID.&.. Cotl5ttulr id di....ma ... lo. 1DCl_lItO!' Ilec:tores ~. l. poi' la fu.ru P di"rlbiub • h.

place medu _potrada In el borde 711011c.iUlb ¡uro ... la (!reunl_aeta de n.dio • (n" 35$).

lA ,.. . . puede COllIidefu e_ltllda par dll!l (1-0 1 d. ac:umIo I l. npteaióa (IDA).

!.t._.

Ea d prllllW)

e ~1-C,r+7'

podelllOS GOllShlor'r qllC C,_O,

•• =C,r. E.II el "lIldo trlmo,

P

Q-z;¡;. Aqul • ,uede IOQlU

dl~t.=olo

.

Ja U'pl'lli6D (IO.2&l d•• del ejemplo IO.tI,

O.=C~r+S_.t,.,dD~. , ~

110.28)

'"

Lo eoNlf.ntM d. lQ~.e¡6n

e,. e;

J e, .. d.t\I.lI'Ilnan .hor. de lIS con-

diciones d. contado d. l. dos tnl._. ClIlIldo ...... obtenemos 6,-&, y Al,,=_JI n. es decir, 1011 'ngulOll delflro y los momentos flec:tol'ell en l. linea d. «lit" lado d. los tlalllOl deberb _ iRU&l.... La eondiel6o de Jgu.Ud.o! d.los momentos .. _.11". di,

t .. =(~~·+,,6. ),...

(~+"&I y Domo &,=6••• obtlellll,

...

(~) -(~)

...

lA tel'Cfll1l condlcl6n aeti, duo ..t6. l••igul.n16: pUl ¡iro &,_0. MI P.... l11J Obll.""D trM ecuacIones.

f,d' • ,,+

C,a_ C

de las q. " 011'1......

C

• C. P ,,,,C'-¡¡"-;¡;;o,

,_6' 1I

'nanlo di

c',b+T-",.. e, PI>D IIl ¡;-, b ,

C,_';:"'(111 !..+..!..~-.,-') '''u .. :lr • C;_~(IIl~++p),

P.'

C'=-W' En el primllr lllUDo. tramo «Dlrll, de l. pl.c. 1011 mlllDenlOOl flectlll"M !lOO, d••ouel'do .. lIS up'-"!ODel (1I),t3) y (10.27). lo.. "lu"O'"

M,=M 1_

P(itl'l(11l-;+z¡1-T b I e' 1) "",<.011I1.

EIl ..1 -&'lIldo tnmo, teol.odo .0 ClIlIllt.fl l. upleti60 (10.28) de &, "" oh'iloe,

M,_

':'l(1 +)ll (ID ~+~~)+;;(I_I')_I]

MI_{¡¡- [U +1')

(la

,

~++~) -;;<1-1'1-1'1.

En l. liruta 35!l $e d... la. dl.,ramu da 1
• 68. fltli6ri de pllell reetlngularet , El, c41e1l10). de jlllCII rtCt'D¡ularea r'MIllta butallte mM GOlIl.pllo.dO) qu. el eUeulo da' pbcu'clreule_ lilll.ttricae. E!I.O ClGurre, Illte todo, porqUl Ju f1eebu f Ju l.IMloou al;l placae lID aillMtricae $IlD funeiones, DO de un .o.la ar¡w»ento, lioo de dllil .r¡u,lIleol.Oll lQdllp,mdieD1.e$. 2 .. el 01$ dllllll.l. plica fICo

........ r

ttlncv1u (r... 3S8), .11 calidad d•• l'JU .... n~ _ IUpll paen.llD8llta 1.. Ill..,niconupoad¡llIW ,1 sm.ml el. ~.ud" uttaiauu. LIl «uac:iok dlltftflCl. d. la pl~ DO (.11'0.0.1.. u u •• ~..:i6••• chrivdu ptlrclaln 1 • _1'1'1, ll'U'M'1. . .tI, -.d"Ilt.~. Sift d.tellot~ ID eAt probl'Ill.', tiM11M_lita UpondAlJlOt ..ul .1"._ resuhadfll: 11..IlnlU... eh la I.oOrla er. .... pbUI rec.ta"",la. I

-

Cundo', p1_ "" 'POY' lltar-Ilte 3Gb.. J. cu....... ,..... J "" IIDlll,ta I UIl. carp llflifon:ae_. te dbtribulu P. l. necha Gl'sllll' 5IIr¡t1'Il.1 pu. l.o d. COOI"HMdas " ..,_0 (fli. .3.561.

....._o.¡;.

sllndo a, .1 lado m.o le

• •

d.l. pite. ;ret,.l COfIflcl.n·

<¡u. dePtndll d. l

l.elón

~

•

¡

Lo- lIlomelllOl "teto,," M" M J lDül_, ref.rldOll • l. unid,e1 d. long'\u d. J. Me.lón OCUfftD '11 ..... mlslDO ,",lito J 8011.

!tI':"'.'",-,

FI,_ 3&8.

M~"_Y",".

'''.1

lKJJ 0,0016 O,lmO O.'" .10l7~.1l0ll • O. 0,0479 O 0._ .0!l480,1017 ..... 0,0753

•,

0,0479 0.0501 0,0506 O.CU9-1

.0.179¡0.0460I

"~O:;

,14' .1422 0,1246 .12!1O

·1l~1~·1 ,0404 0.0384 .on

0.0:315

En ,1 c••o d.l. plica amplitud. '1l1~ cuatro Id.., 11 llIChi m.i1iml DClltrlr6, tomo lO el '1$0 Intlrior, In It "otro de lA pl"l. " .... - 0 ,

(;1 m_nlO rlec:tor .himo

ti,. "lindo z= ± 2'•

•

L"" coofldellla

11"

Ql,

dOl ... l. ",bl. 8.

J

~,.. 111

~.

a"

1011 oentrol di "'" lid... mlyo_.... de-

w-O,

pan cJertol ...1...." de

~

•

Y piro ,,_0.3 1'ielll'll d.

Cc,. X. PlMet, 106........

.. I

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"I

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O,Il617

I

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I

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I . O..... O.""

Mil clel.aUa 10M el d1eulo de plac.u ..:tallllll..... 7 de OUOII tipos te ",.... 0 etl el libro ele O.liorll.lo B. O.·

oMOtltrer

, 69. flexión ele 111. bó,tda cillnllrlca eoUcnlele Ilmilricamenle

Anteriormente ae anllillron 101 cu~ d. lncclón da 118 bóvnd.. sin consida""r ¡aflulón (t8Ofll membl'tlnal) y dll Ullx!ón de 118 placlt• •in teo!r en cuenta La tracciÓn. VeamOll .hor. el ellO ligo mureneral cuando 11.11 lu seccionM de II bóveda aparecen momentos f1ecloNlll y fuenas DorlII.les. AnalieemOl!ll el dlculo de 1.., tensiones en un cilindro de paredes delpd.s solicitado slmitricament.e. Elte problema ae relIuel... &ObNl p

•

w

O

z

•z

R

• FI,. Ul.

lIa. 318.

l. bue da w ml.mu lupO!iclones que,*, admitieron, al calcullr la flexión de lu plaus." decir;que se admif..ll l. hipótesi, aoh" I1 lo. v.riab.i1idad de la normal y 18 supooe qua lu cap... de la bóVedl 110 presiona o U~I aobNl las otru. El·cllindro cireular de p.redes delpdu de I'tIdio R y de "'peIOr " COl1allnte se somete a cierta cargl ahllitr:lca NlIIpecto al eje (fir. 357). Lu deformaciollllll J 11.1 tenslonlllS que sur-gen en La bóveda lImblén soo, e1aro est'. 1Ilm4itrkas ...pectll al mismo eJI ., por lo tanLo el . cilindro deformado constituye un cuerpo di Nlyoluci60. La formo de IlIte cuerpo ae determina pO'" la póeratri, nevona.da del cilindro.

Oeelgollmos por W el1l8llpluamienlo' tadlal y por tt el incllnaci6n de la tangente 11 la genere trI! de \8 superficie cilindro (fjg. 358). Está claro que,

..•• -•

~ngulo

rmedh~

do del

(tO.29)

.

El despJatllmienlO W'9 mide' hacia

afuen del eje del cilindro.,

,

,

R

"

Flg. 319.

I

d,

~ Filo S60.

El alargamlen~o unitario a.. del segmento AS (rig. 359) situarlo a le distancia s de la superllcie media se obtiene como la suma da dos componelltes: del alargamIento a. da la superficie mllllla y del alargamienlo originado por la curvatura de l. generatri¡ del cilindro. Esto último es ~~. El alargamiento completo de la capa AB !I(lró,

.,

(10.301

e.. ""Il.+s;¡;_ El alargamiento

tlO

la ¡JlrllCCión elreunferenclal es.

•

(10.31)

""'=R'

A eetoll alargamiento! les corresponden las tonslones u.. y o, rela-

cionadas con aquéllos por la ley de Hooke, 11.

o

d~

= ¡ ~"ate.. + ¡.te.), o. '=

1':". (e., + ¡u.),

acuerdo a les eJ(pre9ioncs (lO 301 .y (10.31),

O~-I":"I(e·+Il~+~~l, ) '[

•

"]

o'=I_"IIole..+-¡¡+Iol%;¡;

(1032)

En la8 ueciones del cilindro (tanto axiales como transversales) surgell momenl(),ll nactores y fueruis normal8/! que se determinan por las Lensioo8$ 0. y a. ne rnllllerll en'loga a como se determinaron

en el C8S0 de la plec" circular.

C.p.

'"

x.

P"" , btlM..,

Veamoe un elemento da la b6vma elliodliea di dimensionllll lU, dJ¡ (fig. 360). w fumu normales (10 los pllooe1ldfl y 1tdz, referidos • l. unidad di lonrttud del arco d. la Mtel6o, .. ""

T~ -

.J• •

'1

S 0 ....... ;;-.

¿

T,=

_Al! Cdculem~

le!'".

-,1

.11(1

O,lUC;;-

-

1

loe momeol.oa flectol'lll!l en lu mismas liN:'lCCiones,

M .. -

-1' -

d klf ·cm

0',,1:

M

CIIl'

-+':<" ,=)

I

_J

O,~l:

kg' -cm cm

•

_.,1

, •• Jll.

TeDleado lO cueau las e.lpraiO.IUI!l (10.29)1 (10.30) determinamos 1.. luenu r~ , T, J h. motoeDtOB M. y M, lIn funci60 deJ despla.umieolo

IIJ.

"'(

0)

...

T.- i _ lli e.+",'Jr • M.-D;ra¡.

,iendo tomo huta Iqui,

...

"(0R+"'" )• T,=f=ii'

(tO.33)

M,=Il D ¡ur.

(10.M)

". fIot¡'

D- ud

VeamOB .bol.1u eGulclOlles de equilibrio. Vol... emos de OUIVO al alemllllto d. la bóuda (:il[tLdriu. d. dimensiones A, dz, dr ., aplicamos . . .lIS taru tu fUm'lU , momen1.oll r.uluQt.eI que '00 lau-lell • T•• T>,' M 61 M .. IDnltiplieadoe por dg , dz rtlIpecUumente (fi,_ 361). Aparta d. los CUliro '.etores d. fuana eitadOl IplieamOl tambi&a

o

b. fuena conant.e d,¡. lA.luen.a.s uU/'lorN MI "'~teriu. PO" l. p,.160 p"",p (~l. Al pUlir de 1.1 car. d. c:oordeo.du ~. 1.1 d. c:oord.uda %+dz, ID fuenu reciben los locremellolos eorrespondieo~. En J.u sec:c:iones .d.IIII, d.bido • b ,Iml\rl•• perm.neceo c:ouLlotlll los factOffll d. fu.tu. Proyectaodo In luertu sobre el eje del clll.Mo. obt.endremOl. dT" _ O. r" =·collll. talo demuestra que I1 fuen. 'J:I~I se del.efml.o. pCK" 1M condlc:iooes de IOlicll.ei6n del eilindro en 101 utremOll. Consideraremos eJI edelanle que elIl.u eondleiooelll eIlIt'o dadas y que l. fuen. T" es c:.llooclda. Proyectaodo 1M fuerzas ,obre (a dirección del radio. obtendumOl la lo¡uoda ecuac:ión de equlllbrlo.

•

- T, dr1!-dQdv+ pdr dV -O• T,

tlQ

(10.35)

-¡;-P-1f'

ObtenemOl, por último, l. ~era 8euaei60 d. equilibrio, iCu.l· Iaodo e eero la aunu de loo momlllll.oo de todu las fuen.., "P'Cl.o 11 eje ll.D(ente .1 .reo de la 8lU160 ODnllal (ea eJ dibujo eIlI el eje ¡¡), O d¡¡dz e. dM"dll. de donde ballu105, (10.5&) Q '''.

-.,..

El reato de 1... 8eUlelolle6 de equilibrio. debido. l. almelrJa, H Illti.faee .ntom'tieameote para v.lorea eu.IMlfulera de 1001II1utrlOS .etlvos. TrelUformemos ebura tu ecu.tinoelll obt.eoldu. De Ju ecuaciones (10.33) eJcluimos l . y de In ecuaciootlll (10.35) , (10.3&), 11 fueru eorLlnle Q. AlI obtondrelllOll.

"

T'-R'II'+Il T", ("N.

(10.371

T.

'"2iI"" - p--¡¡.

E.elullDOl de IllLlI ecuaclooes T, Y resul la. ("M.

~

Do

--;¡;r - P - Rt"'-/í T•• Hec:Ufriando. por OJlimo•• l. primen de 1.. tlJ.pteSion81 (tO.34) , ucln'\WIdo el momento nKtor M •• • obUene lIDa Ku.atióD toO 110. 1nc.6g1l11l. que .. el d.pluallÚeDlo ID; ~

P

..

r.

h1+ 4Jtt,.. ... 1i-7f1j.

(tO.SS)

sieRdo f,~

4k< oc

HIZS -

12{1-fl'l fllJíF'

(10.391

Como vemos el problema 011 cUllStión se reduce a la ecuación dilerencial (tO.38) que coincido COIl la ecuación (.,"21) que lue obtenIda en 111 caso dll le flexión de le viga sobre ba8ll elástica (§ 33). La 8lI11leJan:r.a de estes problemas RO da lugar 8 dudas. La bóvede clllndriea puede interpretarse como UD conjunto de franjas que se nulonan conjunl.8menle y que están unidas IIntre sí por fuerzas elásticas (ng. 362\. Cuando la sollcil.8c16n e!J slmétric~. todas laa franjas se

Flg, 362

rJexiooen de Igual manere y la componente l'tIdlal de las rllerns .,., en ceda 9IleCi6n re!Julta, como en el taliO de la viga lIotante. proporcional 8 la flecha local w. Una vez resuelta la ecuación (10.::\8) y después de obtener w. por la lICuación (10.34) !lO determinall los momentM M~ y M" de Ja ecuación {tO.37)ae determina T; y de la ecuación (IO.36) se puede ob· ten!.'r ta fuena corUlnte,

(10.40) Q= O""'" .,' Lu tensíunas mhhlla& se determioao por las 6:lpresiones (10.32)

•

•

para z='+'2 ó 1""-T1

O"=I~¡¡1 [( 80+ fI ~) ± y~'I, O'-I~II' [(flt. + ~) ±

"/;.,]

±'fI T"TzI . ~,

Eliminando aqul, media.nte laa expresiooes (10.33) y (tO.34), lae .' .', magnltudllll Bo fI 7/ . fI/l. 1f • Tzli Y .. ¡jiI' obtendremos.

'( + ") ( '") + T~ 6M" O.=T±~;

,.. "" T.

1jM~

O.=T±-¡r·

-

(10.41)

Asl pUe.'!, las luenu intniores, y d09puéll lu tensionell, se exprepor ,el desplazamiento w. ' La soluci6n de \a ecuac¡~n (10.38), como sabemos ya, se ~uede -escribir asl, w= t:- h (C, sen kz+C, coa k.t)+ +t:~h (C, sen kz+C. cos /a) +~, (t0.42) ~all

siendo w·, la solucl6n particular. que Se obti:ne- en [u,n<:160' de la ley de lIariacl6n de p a lo largo de la gonerattiz. Pllra obtener laa-cuatto~eonstaDtes, es necesario fijar cuatro condiciolle.'! de borde y_r0901\'8r despu6s el aisteme de cuatro ecuaciones. En la mayorla de los casos este sistema l'e9ulta, como !la diee, Dlal 'vinculado y se descompone en dos sistemas de dos ecuaciones cada uno. Con suficiante eItcUtud 189 cooatantes C, y C. se determln8n ind~endientem8nte de las constanlllll C. y C,. Esto S8 explica por el hecho de que los llumalldoll que figuran en la Funci6n w (10.42) lienen carácter dlstinlo. El primer suml:lndo, t- h

le, sen k:r+ C. coa k:t)

es una funci6n que disminuye rapidam8nte. El segundo, t~1U

(C, sen Ir.r + C, cos Jr.t:)

es una funcl6n que llumanta rápidemanw, Si 11:1 longitud del cilindro I es lluficlentemente ¡l'unde y la función (C, seo k:t C. cos k.1:).

,_h

+

cuando z se oeerca a /adquiere lIaloNlS despreciablomenle poqUtlll08, entonces so puede coo9idorar qua la daform_eci6n del eilindro on las pro:dmidl:ldes del segundo oxtremo no depondo de las condicionas en las inmediaciones del primeM. A91 pues, en al ceso de un cilindro 9uficienlemonte largo, eltiste le p08ibilidad de enalizar el estado tensional para lIelores p&quefiOll de :r, pr8llOindlando de la luncl6n creciente lI~h (C. lIl:In Ja+C, cos Ja), as decir, auponlendo que C,-C, -O. Da le !n18ma !naDera, suponiendo que C ,-C,=O y manteniendo solamente el sumando creciente, 116 puede aneliUlr el astado ltlllSiODl:ll del cilindro en e\ caso de valoras de .t pr6dmOll 1:1, l. V6/lmoa l•• plluel6n 'du 1.. 16rmul•• obtenidas en al ejemplo ai¡uleote. E)elDplo 10.9. El wbo l'iHodrleo lal'\l:o. ron un reborde 'laldo lO 61 utre mo... 9Omet& • 11 pml6n Interior p (1111'. Sfl3). De&etmlna, lu tensloDel n.III';oad., por l. n.xi6u en las pro.lmld.dell del reborde. Omaider.mOa que l. fuena .. i.l d. l...d61l T es 1111.1 .....0. Como l. p....;6u p nO depeod. de ". l• .alUI'IÓIl ",,"II'III.r .Jo l. ecu81'i6o (10.38) ",,6,

.=wo.,

IV

Cap, X, PlMa, , UoNa, llltroclvele!ldo ...

aIl

lit. up....160 (tO.42>,

ob'-nd",lIl~

__.-10< (C, .O .... +C. cOll ....I+ ...... (Co.1I b+C. c.oshl+~. eu• .doJ , " ...fl"'\eCMO'- ¡rIW, al dap'luOlI.lILO _ d.llIld _. c1&tl1 ...., • .... lI1IIDild COIlJtaIll&. 8do • IDClMlltta 111 c.olttsdleci6.....id.nla COll II u ~ llaI .m.ando ...b{C,_lIb+C.eo:ob)

" ... ~ 1lI0l11.ldamellta c............ mtlll.l ,. &o fki' "'po<ÚUdll qM C.-=C,=-O. ElIl_ bll_. . .

ftllCeJ'

1St. dill~ltM,

__ '-'''(C._b+C'C6lbl+~.

FII, 113,

l uI'"

w eoMltlll'" C. '/ C eteoren do ""Dlanera, qUI IIl.1 origen doll COl1nl. udl !l. a deel., ,0.1 daud••1 ",boNo rlrldo 111 flj. al cillndro.1 dapl.. ulIllonlll .. '/ el 'n¡ulo • Ciro t1..fb. ..u i~a" • cero. Obt.ndrtlll'" .1IIo¡¡.

'

..

c,,,Co--ilD '/ "_~[I_'-"'[.ob+COllbll,

Comll ü'_ El/RoO, -mIl,

.. =-~[ t-.-A.o(lallb+cCII'uJl.

(IO.43)

EoJ la lJcvta 3M «SU "P_lladO", di........ d. lila (lIocI6•. c..:nodo!l" afj~o'"1'1'• • '. IlIoc16o_ Idq1li... al ".101' s1piolllla.

--tfr

(fO.44)

E. l'en daOl...... qu .... Illq1lltvd a lfual I1 lI.cl'I"""'.1o .w: radio d.l d· U04roClUlo
"i_

o••

t;

• la _{ COO'~ el alal'llmllllto

'"

..",,¡¡. P.... delMmlar el IIlCft_to dll rldlo del CIl1Mro. es lIICnArio IDIIII," pilcll' *l por R ,/, COIllO -:lIado. _ oblwllOIl. upresl60 1I0.·"\'

... 8 ....._ .. l. t.prwl611 (10.43) .-1.. (kU - ' b ' - a..u. dood... 10 Iaqo" la r-oentlh,. ntkou la1ll.fi1Ylllcla de1empotn.m.luw IMI'" ",borda.

Si _ 1l1Di~ • l.....aUn de 1111 5". ~ aflzmv 'Ill" la lDDa d. ill!l_la .. utiud. aprosl. .d'.'DW l'Ww da. para.1 wall. mac-

Jauta.

olt"

lJIM

.. " ' p f t _

0.06.

~-··( . . b+oo.b)

.- ... C_ .... +COIb)

< O,G6.

......... "lIb+_u DO ,*,armayor q. ,-loO

de dOlld. . . obti_.

< O,CM,

n

J. poc 10 tUlO,

b::> 3,34

o de aellllrdo • 1fI erplWl6a 110.39),

3. 34 t"7Ji "" 2. 1 l"'1fI, V3(1 .. t) MI pu.. J. 101UI d. laflueode d.1 ,¡ecto dal amp(lUamlento ~ .1 borde .. ullloduob... el. l.n.Jll.o d.l cilindro 4. JOIlf;~ud 2.7" nT I"Ulltll de MUO woa .. .:>

M-

•

-------~~-----___r_

FI" M4. puede CODllldllf1l' quelu LeIlllIOIl", tooluctltud IUnCl'Il~~l1O los li_ p"<:tlcOll," U.knniDllll por l. lotOrla _mb.all.l¡'. La malfnltud Jf¡ eslellll.a1mlnLe PMIutlla '" eomPf..aeI6n COI! l. IOlllltu6 da! cilindro lo Cilla demued•• q\Ml 1.. 1e...!OIM' od¡lnadu PO' l. 0..1611 U.....n cariete. purllJDeow looal. Elle P''''' Ilclltartdad da lt. dlwlbuchh d. 1.. "nelo....... n 1.. pl'Ollmldedes del borda. • dallOlJlh•.I 'l«to Jo 1H1'tÚ. Cakv.1oIu.- lI.laora e] momenlO IItctor M ~ por lu 16r1ll1l1.... {tO.M] J f1lJ.43J.

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In .1 tl!lO d. 111".1 espn
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Q.~-I,'XJet! V{. E.... uIllIi60 f l y. de un orden mlyor q ... ll q ... '11II obtiene por le teorl, mlmbrlnll. ..... di!mlllu;r.1 .h,elo ck borde, la ~o... del .cundo lRl UUn tr.",Ic:loD8IIUUU «
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D.lOo1o lo upulW.O.

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abl. n l. b6,.... lal....1efeeto de bonk. AII\eI SI' ;ndic6 que 81 n 1_ b6wtd.. DO UlMtoll eamblOll hnI_ 11 _pClUlm"nlfto rl,tdOll _ 1_ bord...... ~ la deterlDlnu.ióo de lu t.eUollM por l. teOfl. -maooü e!I ""fIcleDWo_ole ..acu ~ 100101101 pull\Ol del. 116 Cu.uclo ul5UD _ ~...[•• \ele locales. ... teOflf, lllem1lñoW NIlllt. l pU bll aoI.mloW .. loi 1..,.,. IIluloI.. ID Iu lOG&lI oId ofecto U bonIo. oIllido tftUILldOl IItlsflClllrlQl .... Il'f\ll d- 101 plIolol.. , l'40 sl'lDprllu IInsi_ «lfi.ldu por 11 nfJ~' y ob.... idls por 101 .... \OdCll IllIllwlao a.aterlOf'lllllltl .. poe4eIi COllI!ikn, 11' lllÚ peli~.. YI q.. I~' cark..., purl1DIIlte local. Se libe qul, .. 11 _ di _ _1.. pUdlco., .1 '.lllI
Caoitulo XI

FlEXIOII y TORStol DE PERFlW DE PAREDES D'EL8AOAS

I 70. 'artlcutll'\dadet a"nclaln d. las barru de par.d.. del98d81

En la prictlca de 11 construcción moderna de m.6qulnn se emplUn con mucha frecuencia las construcciones da paredllll del· gadu. que garanlizan alta rigidez 'J ree~tencla 'J tlenM. al mismo tiempo. un peso relaU.,arnllnle pequei'io. Las particularidad.. espe· cmeas del cálculo de la l'85istencia de ~5lu estructuras conttltuyen \a causa da la apariei6n de un esquema de c4lculo e.sPKial el esquema de la barra da paredes delgada.!. lA particularidad lundameutal de La barra da patades delga· d.. f!lI la relación caracterlstlea de sus ditnen!JOMt; gllOmhricas. Una da las dil1l1msiontl de la &eC' Ción transversal (al etpe!lOt 6) es mocho menor que la otra (la longitud s del conturno). Esta

FI,. 367.

longitud es., a 5\1 "111, mucho menor que Ja longitud dal eje de la berra 1 (fig. 361). AsI PUIllI. la barra da ~red. delgadas puede interprelal'M, al milimo tiempo, come harn y como b6veda. En los cJlculos da la resistencia son mucbos los elemenlo! da laa m'quin... ellyo!! esquemas de dlculo se redlKIII al da la bar... da pared. del¡adas. Eatos SOll., allta todo, los elem.ntos de refuerzo (fir. 36B) da las bóvedas de 101 aviones, 101 cohetes. Al esquema da tu barras de paredes dalaada. 1MI reducen los alementos del bastidor da los aulom6viles, del .latema de rodaju da los "agon. y otraa mucbas C(lD3uueeiones que sirven pat.ll resistir cargl3.

Cap. XI, Fluld/l ,

ta"'6~

tU pulU"

Loa fuodamcntOll bhieOll de la teoria de las barras de paredllS del· ¡lidia fueroo elaborados por S. P, Timoshenko. El desarrollo gelleral y completo de esta toorfa pertoo6ee a V. S. VIÁsov y se denomina l. teor!. de VlhoY, El IlSquoma de l. berta de paredes delgadu mantiene las propieda· des prioeipalllS de la berra eomún y, por lo tanto, ¡as !órmulu que fueron obl&nidaa anteriorment& para los casos de traooi60, fJui6n y tOl'llión da barras siguen aiendo, en lo fundamental, \'álidu tambián

f

p

f

, ,,

,, ,, ,

,,

Flg. 370.

en el caso de barraa de paredel! delgadaa. Asi, por ejemplo, en el capitulo 11 se estudió la, torsi6n de la barra de sección en fOfma de pe..... fiI de paredllS delgadas, abierto y currado, Lu fórmulas obtenidas se refieren dlreetamflOte a las barras de paredM delgadaa y Do;!! propu..... eioDaD los valorea de las tensiones fundamentales en la \otsiÓn. Ea ¡palmente aplicable a las barras do paredes delgadas también la f6rmula que 88 obtuvo para IIUI tensiunell normales eo la flexión. M, a-T;' Sin embargo, a pesar de tlll semejanza con la barra, la de paredes delgadas, como consecuencia de· las proporciones geoau1t.f'icas, tiene propiedades qua se diferencian cO,naiderablemente de 1119 tle la baTTa de ~eI':dón moci~II'. Así. por ejemplo, 'R las ,uarros de paredes delgadas no· aiempte 111$ puede llplicar el prillciplo de Saint·\lenant que se 81111Jl~ó en el § 8. En calidad d, ejemplo, eo la figul'"d 369 estlin representadas dOll barras una de'paredes delgatlas y otra .de sección maciza, tracclonadas las dos por la fuerta P que se transmité a través de una grapa riglda. Con el raYlldo.se indicll la zona donLfe las tell8iones se distribuyen de forma no uniforme en la sección traus\'ersal de Ja barra tracciouada.

En el eno de l. bUTa de secc:i6n mldla .1..1 Ion•• barca Uh parte pequeftll d. IIU lon¡ltud. mieotba que en el tUO d. b. balTl de panel. del,ldu .la IODa es ioeompanbl.meot.e lfUlyor. Pude oellrrir que pr.lielle.mente, lu tanslODM se diJItribuyan d. menlnl no uniforme n ~ 1.. MCClones de t. ham. ElII d.edr. Je profundidad de penltnel6n del .fecto de borde. lo 11111'0 del eje, lIn la barra de pllredflll delpdu, es tt)nritkrab~te _1/0r que en la bur. macist.. Esto ti••• UIa explicación (hlCl ,1m pie. Cad_ ala d. la lI8CeJÓII

doble le está sometida. "- aceión de l. fueru PI2• • pliuda eJe'ntri· amente (fi,. 370). SI no existiese la pared del perfil. las alal se delormlflu Ind.ptuldientemllDl4l l. un de l. otr'l '1 .. aeei6n de cad. lDomento aobre .1 .b. se pl'OplIll'arla sobre lod. su IOIlllt"od. El problema radica en l. rigidez del llraa que ulle Iu 11&1. Bn .1 euo de 1lIlII secciÓn m_cita esta unión es Dluy r[ridl y, por 10 tanto, l. d... 1lD¡(ormidad de l. distribución de 1u tetllllones en l. aecei6n treuversal qued.. limitad.. por una Ion.. estrech... En el caso de UD. ll8eeJ6n delgad•• 1. ri¡rldn de l. uni6n 0lI pequaii. Y. por lo t.. to,l. dernnifor· midld illdlea~1 penetra mucho mú leJOII. CUlnto menor 1M el a:!p&lIOr del .Iml tanto mú lcentuado ser. el efecto Indleado. En la figurl 370 se ve U1mbilln qu. eo el caso del sistema de fuerUI dldo. t. secci6n no permallece pl'lll. Ocurre lo que se denomino Glabro de la soc:c16n. Al mlemo tiempo. l. aeui6n gir...Irededor del eje de l. barrl. Ad PUIl5, en el caso d. tracción pueden surglrdespl.I.lImienlOfl propios 'Cio l. torsi6n. El ll¡abe
...

.

"'",

i

I

,.. fll_

nI.

los e.tramOll (fir. 371), entonces In lu secciones tnosvemles aurgir'o c.oraider.bl. tensiooCl:!l normtlCl:!l, qUI orilio.n un mome.Dto rU(,tho, eumenllndo ul contidenblementa l. ri¡¡dez dI l. b.rra I II toni6n. En el uso de barral de secclOlMlll IIIlclut este fenómeno 50 revel. en proporción mueho menor y, por lo tanto, no lMl tiene e.D considen.ci6n. En la f1er[6n trlnsversal, en las seccionfll da l. barrl de pared .. delgada! oeurren tension~ tangeneilli. da \IIlor eonsiderable, que M deben de con.idUlr, al calcular la re:sistencia de 1I barra. En geu&-

... ral,

eJ V.IM cocoparalivo de tu l.eQ$ioo. lI._ales y l4Iog&oelal. "

y T III lu seccionM ltll1S't'C!lSlles de la blrra, .1 paser de l. secc:i6. mKiu. l. d. paredes del¡.du yui. COIllIldlll'.bl.meote y llIIla tu.li6n

requil~

lID estudio especial.

Les partieularidad. iodieadu da lu barn.!l d. paredes d.lpdu lIerh .n.IiUldu en _te eapltulo. pero pUl poder Ofienlane In estas C\le:tUon85 e!I

n~rio••nta

todo, introducir toda on• ..erie d. DIHI"OS

eoneep'- rel.elonados con l. geoznluf. d. la "sección. I 71. Atel IIctorll'

Como complemento d. las eaucterlsticu geométricas qua y. loe,) Introducimos' otras IlueVIIII. Eatas c.araeterlsUeu llQD prop18l1 Mllamente de l•• birlas de paredes delgadll! 'Y se deWrmin.n IObre la base del concep· Lo de <17m 6«/orl4I. 8 P Ve.&mOl l. IIllea media del cool.o11l0 de la 8e(;Ci6n u.ol.lnal (fie. 372). Escogemos en ale eontorRo al origen O dMdl! .1 cual lIe mide la longitud del .reo , y trnamos de5de tll!Ile polo P dO!! lineas bacla los utremos del seg. mento elemental tU. Design.amOl poi" da .1 doble del .li .... del lri'ogulo PASo &t.li claro que conocemC15 (Y, S... S" 1",

1,.

dw_rds.

fll' 312.

alendo r la dilltanci. d~de el polo hasta l. tangente al contorno de l. 5l:ICCión en d puno \.o A. La integral

•

w_ ~ rdHm'

(tU)

8e denomina 4rt(}. I«lorjlll. Aa! pues, el .lirea secloriMI es [gual al doble del irell barrida por el radio vector PA al moverse el punto A por el contorno, desde el orig6Jl O hesla cierto valor s del oreo. SI el radio voctor gira. según 1.. mllnecilbs dal reloj, al Incremento dw del pOllitivo, en c:uo cMtrarlo, negatlvo. El sectorial .. función del areo s y depande de la pos.lción del origen da I y de la posición del polo P. Cuando el polo, el origen estM dadO!l, en cada caso concreto se puede COll3truir el dlagnm. del área. "ctopal. lA construcción del dia¡rlma generalmente se f'9/I:liu sobre elereo del contorno de la S«;<:100. situalldn el valor de ID) normalmente al eonterno. Supo.ngamOll que es necesario cnnst.ruir lli dlagram. de w para el enJltnron de la lilura 373, a. La posiclÓfl del polo P y el origen O se

Iler'

'TU

'1'81

i 11.

'"

A'~4 1«10,141

&oD.,lderan dados. Dibujam09 el oontorno de la sec&i6n (fig. 373, b) sobre 01 &ua1 sérá eoolÍtruldo el diagrama. En nUl\.'Itro caso éste eoñsta do !nmos' rectos. En cada tramo el v,dor de r es con~lanta. Como s& puede VOl de III expresi6n (B.t) en este CIl50 00 deponde linealmente de l. +la f

3

a Za

Z -D

a

p

O D

-a' p

a

al D

Fi" 313.

En el lramo 0, 1, el Ve<:tOf PA gire según Iss maoe<:ilIas dol reloj y, por lo tanto. el diagrama de Id es IIquf positivo. Id=+a,. En el tramo 1, 2' el vector gira en el sentido opuesto 11. las maneeillas del reloj, (l9 decir, que 00 disminuys, adquiriendo en el punlo 2 el valor siguiente. w=0'_20 __ 0', ' En el tramo 2, 8 el Area sectorial treee dI! nuevo puesto que el vector vuelve a girar ll6gún las manecillas del reloj. En el punto 3.

oo=-a"+30'_+20'. De manora ansloga ll6 conswu¡¡e el diagrama de Id en los trarn09 situados al otro lado del origen O. Veamos otros ejemplos de coostrucci6n da los diagramll5 de Id. Elemplo !t,I, Cotl3tnalr el diallrllDl. del área lI(H;lOrial del cootorno cuando

al polo P .M eocuentra eo el propio cookJl"IIO (fjg. 3U). S\ el utremo del radio veclorlle desliza por 111. recta sobre 111.

CUlI.I .. eoCllen·

ln el polo, entonces el Anla """lerlal petmaoocer' eolLltaota. En nUBlllo cuo e
Igual

1.

eero. Eo el

tebl.O

de los tramos del o»oloroo Ul v..... Iilg(ln lu 1/1)'. dadas

anteriormente (1Ig. 374).

Ejemplo H.t. Cona~r ..li el d;apam. del bu. _torta¡ p.... el cooton>G GIJ'1:ular. La po~;ei6o del polo.,.1 .m¡el! 011'0 dadO' 80 J. fjlUf. 37.5.

Determlou1loo r en ¡u""lón del iDgulo

unlrel ~. obtiene,

-la '

Entonces lol""

o..

l. liMa quebrlde PBDC ..

r=2RCOll~-R.

• •

•

~ .da_R" ~ (2ees,!,-I)~.

•

Y. por 10) lento.

"-,,l.

",_R" (2 ... {'.on$tnIlmOl en el eont.ol11oelrtulu (f¡g. »5,60).1 diagrama polar del '1"8& nctorlal. ubicaodo '" IlObl'lll. normal 1I cOntorno.

En el teso de que 111 contorno tenga blfureaclonflll (fig. 376) la COl\8trucción del dillgrame del área ~torlal se lleva 8. cabo. plloetrao.do en

l~

Fl,. 114.

~dl rama y volviendo el punto de bi!ureaelón.

HaUemG:!l ahore. la felaci6n que existe entre el área sectorial y lu coordenadu % e /1 8n la sección. SupongamOll que el origen de las cooroelllldu coinelde con el polo (lig. 377). Estil. claro que, p~in­ dieNto de las infinitéslmas de urdeo superior, el elemento del área sectorial d<,) seré i¡uaJ a la diferencia de tu éreas dup1iu.das de 108

p

•

.)

., Flo_ sn.

triángulos PAC y PBC, es decir, dI¡J_lIdr_:r.dll. (iU) Basándose en esta rela~16n es fácil obtener la dependancia entre el

'rea aectoria.l y 111 positlóD del polo. Supongamos dlldo el área !leetoria.l en "el segmenlo del arco O, respecto al polo P, (lig. 378) Y que se tratB de determinar el área see-

111. Al,...• ..,torlo' .P'

•

P

•

•

P

P

A P

P

-'

••

•

Fil,

• •

m. Y,

'1

"

, •

V P,

" " •

p


Filo In.

respecto al polo P, rle coordenadas a, b en el sistema de aj811 TenemOl9, • «l. (6) = S(l/. dz. -1, dUJo o Pero. 1',=1",_a. U.=y,-b, d1'.=d1"•• d'l._dll•.

Por lo tanto,

• 00, (6) _ ~ f(u, -

bl dz, -11", -a) d/l,].

+

(1). (6) - (1), (6)-b (1'( -;t..) a (/1,-11.. ), aiendo 1" 1 e VI IlIs cooroenadlls del plinto' y 1"n e 11.. , ras coordenarlll3 del punto O en el sistema original da coordenadas ;t" /1,. Si las coordanada15 de 1011 punt~ O y 1 ~ obtienen en un sistema arbitrarlo de coordenadas 1", /1 (Iig. 378) enLOnCCl'l, IIJ. (,) = 00, (,) -b (;t-,;¡;,) <2 (1/- V.), (1 t.3)

+

el úeI MCtorial eornJl!IpoQdienWl al polo p •• .1 'd.I'M1011llICtorial cOlfepondient41d polo p. '1 z. r '1 z•• V. 1., coordludu putos J , O en .1 .ilIteona de (Gordenad., r.

sfflldo

".(1)

60. ( ..),

JI:,

Ali plll., da 1& elpr.16n (tL3) se deduce que al d.plaur el polo. el 5eCtorie' varil en un. ID.gll.itud qUI depydelio.. r.rolotl d. lu eoordeoadu s, V. La nriaci611 del oriren • partir del c:ul .. mide elareo .. {pUllto Olallen. .1 b .. sectorial, en todos los punte» del contoJ"no, en una mlsenl Illagnitud COD,tante, ya que ".ria.1 Iíml~ Inlerior de lnLegracióo (lI.t).

'tN1

5 72. CltacttreSuc.... clorialn J IU determinacl6n En adell'nt.e l.endremos que operar con 1.. algutontes eu.cteriaU· e.U geomátrieu (ntegr.les da tu 58CCioo8ll d. paredes delgadas.

J_dFcm" jZWdfClll', j~rJFcm., jW'd.Fem o Cuando •

c.o~l.ant6

.1

.~r

del contorno 6 est., inter,al. lIOR.

,¡ ..... ,¡_.... ,¡"'.... ,¡ ...... ,

•

I

•

Le prim.... de .11.... deoomJu momozw e.t411t:t1 -etcrllll, la "ll,lll.da ., la t.ereera, $«wrl4u. ltna.lu fkl ama, y, por

_lo' y

p

FII_

•

n.,

61\imo, l. eu.n. del-. Int~les oscrltu, mMWIJto s«tJJrtal tk wt"(14 qlole M desi¡n. por /•. UD. "'el eonslnddo.t di.grana del irN ItCtori.I, el eileulo de lu e.raetedrtleu indicad... DO pneeo~ dlfieultad. d. principio. Por 'j.mplo, 01 caso del' eoo\omo circular d. la 379, el 'ree Me'ori.1 W H obtu1'o ontmol'1Jl.lln\e en función dol 'DfUlo lp como

.0

.siguI,

"¡un

Eowoces bailaremos,

••

} QUU' ... R'6

J.

(2 MIl '-11') ~ -

ízwdF_ R-6 J••. ,. íi"" J...Il,. (21!e1l

O•

COSql(%·II8DIjI-fldl¡l-O

,

dF:I R-6

1.. _

51>," dF:I R"O ••J(2 •.

Mn

Ip-fl d, - O,

Ip-Ip)"dql_ 2n

(;_2) BIO.

-11

El hoobo de que ell este ejemplo ntIIultarOIl 19ualOll a cero la eegunda C'.&raet.eriS\ie. y la tercera aer' upllcado en el , 74. Si 8e parte de otro polo y de otro origen de medicl6.D del arco 'J Ciliada 10lJ ejes ~, V .. orlenun de otre. J11aneta. lu eare.cterfaticu aectoriallll &&t'o. ell el caso genere.l, dUmntes. Cuando el contorno comta de t.nmOlJ rectOlJ resuha posible alm· pU'iear el cálcnlo de In eal'lcterfstieas sectorial_, empl.ndo el Dl6todo d. Vllr'e9Chagulo. ~ U..3. Pan 1a.w6f1 '1 la (j1flU'1l 180 .. "'da. -' ¡KIlo , ., el oricen O. lIa c.omtJ1lido al dllCra. . d.l IoI'N ;..;u;\al. CaI~ila_ Iu CIIalro

tarKIMt.\ku Netorbl. . . . .lIüd.. ut.erionDenw•

•

•

Yo

1"

p

•

O"

1.

w

primera cIa ell. . . ilull. d.ro .l.i, a cero"...-to q_ la. 'lacra_lIl.

.......,

101 ... II paÑO "I"rior ., ID ,. paÑOll1flrlor "la ","16..

¡p.Je pn'1I elllicDO

'"

PI" detlltullllM ,.. ur••teristleu MfIIcda y tI_r•• eo...tl'llllllOll los

diarramN de z, w. U decir, loo dl"lI"mN de 1.,.I,y. de v&r1ac!611 de In dll.. Ull<:iu d.IOll PUIllll8 del (lln~no. los ajee, y:r, (Iill'. 380, ~ y ej. MulUpllellP08 .pub losdla¡ram.. d. '" po~ 1"" dlqrlmu d':r. Wpor el métOdo d. Vero!lCb.· I"in, Comll,l dllll'.ama 4e oree po-ltlJ. deo 8i¡no••1 puar 01 ej. :Ir. obtllDdremos •

~ ~ n.4...,,0.

,

Mulllplluodn loe dlaBramas de '" I V baU.ll1Oe

multiplica d""pllb por 11 y ...1 so obtiene,

SW'" do.

Erte _uIU,do ,.

•

~ V"'dF o";' ,'11. Deteraa;nllllJ» d"p"M .1 monanto _torl.1 d. l... ~l. 1",. P'" lo tUlI IDul_ tlplicamos el d.i~m. deo (1) PO' d IIllsmo y lDolllplieam<>ll deepllM ,1 _ul_

t'do obteoldo por 6.

l .. _""~.

§ 73. TeMlalln I.",.nclalll en la n...ldn tran.u.ul lf9 blrru de pa¡:tdIt "1Illl1ldu En la fiui6n trllll$versal de una barre. de paredea: delgadn, en sus setl;ione8, .iguen prevaleciendo 18.1 tenaion~ nortllale!l " que fun_ damantalmente daunnlnan la rllldatBnela da lB balTa. Sin embargo,

fll. 311.

en el CBSO de llIlta barra, a diferencia del ceso de la barra de sección matiza, adquieren un valor importante la magnilud y las leyes de distrlhuei6n de 111.9 te~lones tangenciales, Las temiones tangencieles en seeciones tranavenalea de le barra de parados delgadas Be obtieoen según el mi!!:Do principio que el de he.,.a maciza. La diferencie entre les"luenM normales coJTellpondientes al ll'8mo elamental IIil,uedo a un lado da la secel6n longitudinal (fil'. 38t) se equilibl'8 por las teosion88 tangenelalBIJ '1:. A diferencie da la ba.,.a de sección maciza, en este euo, la secciÓn longitudinal de 111 barta de paredes delgadas!e realln por el plano AA M7?1Ial a l4 linea mtd14 tk/ CM/o'rno ((ig. 38t) Y no por un plano pan lelo a laeapa

neutra. &sta aecd6n tleDO'U mÚllmo espesor Igual. 6. Lu ten.siones Llopnc.lales que ea ella lurgan y que' equ.llibuu la dif8nUltia da tu fuerJ.U normales, soo mayo.", que I.u que .urgeo ea otra! 58tGIODllII longitudinal••

Volviendo I la deducci6a de t. fórmula de ZbunvUi del I JO, M UtU observar que 8II1f1 deduoe.i6n DO varia, salvo que lO lugar de b debe f1gutlf 6. Como resultado se obtiene,

OS;

t-J;r'

(tU)

Como antee, eo llIIt.a fÓ{Dlul•• Q lIS la fu8I'U cortante en la SfC(:iÓ1i ¡Hlrpondic.ular el eje z, el momento est6Ueo·de 111 putll rayad. de [. lección reepecto el eje z: (lig. 381) e 1". el m~e.oto de 1,!lrcla de todo l. secc;lón respecto aloje prin-

S:.

cipal z. La. teosiones tallg8Dclalll8

't

se

suponen uniformemente dÚltrlbuiti.. 10 el espesor 6 de l. AeCC16o. En

.. aecei6n tl'llDJl'ol'&ll1 da 1. barn.

.urgen tensiones reclproeat a T. que 18 oriaot.a.IJ según la t.aDg6Dtl' la

Ij

Hnea del contorno (fil. 382). Cuan· do .. direcel6n de la fuena eortlUl\e Q 00 coillCide ton eJ ejl principal

r.,

de la s8Ui60, SI obtleoe,

O,s: O"s' '--¡;o+T,t.

fl•. l8Z.

(tI.»

sieodo Q. y Q7 las compODeotea: d. prinelpales z e /l.

rs

r..

lueru cortante según los eja

Elesnplo 11.4. Oel.erlllhllt 11 ley di dL,trihuei6u di In teualooes \.e.oguuda. l. eo el perfil U tlllodo .. lO111el.e • uoa IJul60 traDlvel'$f.l ID 01 pLaIlO verl!· eal. (l\(. 383). Segúo lu dlllleualon.. lodludu en la IIgura, .~

''''-12 (A+6bJ. EI\ .l tnmo del .la d. loo¡ltud • (11,. 383) .. ofitiua,

5;=';'0.. Mi puw. doI KOI<'Iio a la I«mllla (tI.4), _ obliPoa fO&n al ala,

~- ,\Q.

.\a (l+éW

...... wado ,_ la leDaI&¡

ti .la blfanar.

~¡II

(11.6)

'" propcK'eóocW e •• Lo lIl.Wg.6 oc:wN

lIlo

Cap. Xl. F~z1611 r la"r611 d, fH.fll..

SI liIll corl. l. eecehln tm el .lm.., el momento ",,¡Atleo d., l. p.rle de t. teel:i60 eUIl.d. ""h", el nlV1!I

V"",

S;={(bA+~-v')

,

, Fil, lIB3.

,

Rg. 884. J enlollllll!l,

~

.

6Q1J1I+ T_

) T -v"

,.

"'¡h+6li)

lA l.euJÓn t.l.Og.UIllal f" .ql1l' liD' fundón cl1lldrátlca dll ji. En l. ngurll ,383 at.!. rtlpraenl.do el dlll(f1".m. d. l. distribuciÓn d. lu tens1ooG! tengenel.llllI • lo l'rg
1'1

Ejemplo 1.1.5. alil" le d. dbtribud6n d. le tensioues llIngencl.l.. el perllJ 'cll'OOlllIllhlllTlo en o GUO d. l. flulóD 'D el pl'D
tll

fU. Curro d. lk;rl6n

35$

El mo01'loto d& IMrCla de la IfIoOCIOlll'tl5peCto al eje" ser', f",_nR'O.

El momento M!.Iotlco de l.!I parte rerada de 1_ secc.!OIl 8ll obtl&lUl ll'ral algulante,

pI'lI'

1, lnl'"

" •

S; ...... ~ R' sen '4'd",- Rió (1 + CO!I'J'J •

T= ..

Q

HA ft

+coa.'i')

ea la expresión que permite coIl.'trnir &1 di_grama de T (fiB"

38:i).

y

§ 74. Centro de lIexitin

El sistema de fuenas que se encuentre eu el pleno de la sección, de acuerdo con las leyes de la mecánica, se puede desplazar a cualquier punto del plano, obteniendo una M!lultante y un momento. La magnitud de la rtl!!ullante no depende del punto de aplicación y siempre 00 igual 8 la fuena cortante Q. Esto 80 puede demostrar, por ejemplo, en el cuo del perfil circular abierto que se enalizó (flg, 385). En este caso, la resultante de las fue nas tangenciales según 01 eje 11 se obtiene de la integral slguienta,

~ rC05fPdF= ~

Ir

••

(1+COSfP)COlIfPdql,

que, como es fliell demostrar, es igual a Q. Lo mismo oelUTe en el caso de le sección U que se enaliz6 anteriormente y, en general. en el caso de cualquier perfil, En 10 que se Nlliere al momento resultante en la sección, éste dapende de la posici6n da] punto de ~ueci6n de las fuerzas. AsI, por ejemplo, en el ceso de la misma sección circular abierta, el momento

'56 d.1u foen:u tupuclllat "",,*w.1 c:entl'O del drelllo flig. 386) seral,

jl._¡1Rd1'_~R

•• I{l+eoI.

Jdc¡l-ZQR

Al pUlIr I otro punto el rnome..n\o ".rl. t , e1ltO .U, eD. l. m.,nltud

Qa, siendo 4, la dillUDCi. entre el primar punto 'J 1I1!legundo. Alf, si !le

386. e), entonceII. M,,_M._QR_QR.

d9l!lplaun 1115 fulll'$lls .1 puoto A (fig.

•

Edste UD punto, fllSpecto al cII,I, el momeoto de 'nenu tal1f:l!!I' el.les In l. seuló/I, 8Il la fle.r.i60 transversal, (1$ irual II cero. Esle

punto.H denomina ctntro dtI f~zI6n. En el ejemplo uIliudo, el centro dI! f1eIi6n " elllluentn I l. dlstanci. 2R del elntrl) del r.lreulo tfig. 386, d). Ea el calO de la secel6D U (flf. 387) " obtlllDII para el punlo A. •

M.. _Z-}

i•

'f3dJ

De acuerdo. l. uprai60 (1f.O). un...ea rNiludala Lategnd6o. obtiene.

le

,..

M,,_Q;rp;¡. de donde se dedutl que el centro de fillli6n l' eOO1l80t,.. • l. dIstancia ,,~a dl¡! la linee IIHl(:Ii. del .llIia (fig. 387, e), Eo el cno de seeclonll9 de dos eJfI!I de slmetrla, el centro d. f10116n coincide; claro MU, con el centro de graveded. En e1zl¡oos de los casos mú shnples rll9ult" pOJible dalerminar 18 posición del cenlro de fleli6n 110 DetQIIldad.de recWTIr a ejlculos da, ninguoa e1aae. POI' ejemplo. 110 111 uso de los perfilM te )' ,ogular .l.lig. 388) eJ C'AJl\.t9 de C1eriÓll se eoculDttl ID el punl.o de IntlltSlUi6D de In IfnNa..medlu del all y del alme. El momento de 1.., fuenu tangenciales rapecto a este puto 811 uempre i,ual , cero.

'"

AsI pues, si el momento de lu fuerzas lan¡eneil¡" en la secel6n respecto.1 e.tIotro de flexión es igual. «Iro ser' Igu.La cero tambi'o el momeoto de 113 (uen.u e.llulor. respecto. este'centro, pues de lo contruio, oparecedo en la NrTt delorm.ciooee propilll UD sólo de l.

•

k

J

A

Í

1

., •

,......

, A..

A

• .) • "" .1.

"',

•

"

flexión 1,J1111SVmal, sino también de l. tOrlli60. Ser! convenieote etl

.delentl;l, al dewrrninar los factores do fuel'Ul interiores, d8llpluIr tu luerU8 tllogenci.l8111 que actúan 00 la sección. no al centro do grevedad, ,ino al contra de flexión y entender por momento tonor el momento Interior respecto al centro de flexión. Asl, .n.liundo, por

,

,

,

~~"""",~",~=-afluirfn

"" 111.

eJomplo, la barra representada en la figura 389, .e podrá afirmar que,

que la linee de acción do l. fuen, paw por el eje (eje do ¡08UNto contro!! de flexión), 01 momento torsor eo 1/1 secci6n ser' igual a ¡'

eElro,/ la barl"ll no sufrirá torsión. PMO, pOI" ejemplo, en el C3!1O de ¡a misma barra empolnda en un axtremo y sometida. la acción del pelO propio (lig. 390), ésa ,1 sufrid lorsi6n. El momtolo torsor en el empotramiento -era, = Q·2R _ql·2R.

,t.

C"p. XI. Pln1611 V /urJl611
•

" Flg. 390.

Fil.

ni.

Flg. lIll7.

Las tensiones tange.o.clales adicionales., originadas por la torst6n, GEl distribuyen en, la secc.!6n por la", ley&lj del perfil ablert.o, resu,ltando 3Ml

3q1

1:m.. --p;=~

Iv6ase la f6rmula (2.28) dal § 241. Un cuadro semejante se observa eo. al oa60 de la f1exl6n de un perfil erbitrnrio de paroollll delgadas,

cuando la r9llultanto de las'Juana! exteriores no pasa, en' la seecl6n, por el centro de f1exi6n (fig. 391),

3" DeterminemOl! llbo~a la p09ici6n del centro de fiui6n. en e! coso Il'l'Deral de un perfil de pllrWe5 delgadlUl IIslmétrico (ng. 392). El momento de las fUllrzas tangenciales respeeto a cierto punto P será, M p _ ) 'fór d•. El producto rd# representa el diferencial del irea- sectorial por 10 tanto, Mp 't¿¡dlJ),

~

Y.

=.)

Eliminamos

"'1"

mediante la oouacl6n (ft.5).

M

Q, [S'" dF Q. [S' ,. P=J;~'O +7;"; ~dF

Integrando por partes les obtenldlUl hallaremos,

811

dF.

(I t.7)

el ca&O de la primora de Las integra-

. l" 1[ s~." dF dF -S,r.>

f"; 7F wdF,

0, - ;

donde loa aubindice!I de s y s, Indican que la magnl~ud S;w se refier6 El los puntos J y (rlg. 392). Rlll'lordamos que S; constituye el momento estático de una parte de la seeción respecto 9.1 ejo a:,

'2

S;~

,.l,dF.

El área del tl"flmo rayado eorrespoodlent.e al punto 1 es Igual a cero y, por lo tanto, 8; ... 0. En el punto 2, cuand¿ se trllla de tllda la sección, e!ltll magnitud lllI tambilin nula, pU&:!lto que el eje ;& es central. Por lo tanto ~;Ill~: =- O. Está claro que

,,'di -11

)' para la Integral en cuestión

SIl

obthm(l,

~S;~dF=-~lIllldF. De manera análoga 69 transforma la segunda Integral que IIgLlra en la expres¡ÓLl (tt.7). Como resultado obtendremOll, M p =-

i; ¡

yü>dF-

J; Jxü>dF.

CUIlDdo el punto P coineide con el een tró de flexión el momento M p es igual a cero, independientemente de las magnitudes

Cap. Xl. F1nld,. r

""

da Q" y Q:1' Esto

IQrd6~

.u p.rfllu

po.!;ible 1I01amente cuaudo

1'8

~!lWdF=O

y

)zwdF_O.

(!t.S)

Asl pues, Jos momentOll jin6llles sectoriales respecto 8 los ejes centra· les principales y al polo que COiDl:idll con el «lntro de flex16n soo iguales a cero. El origen de W DO juega aqul ningún papel. Al cambiar el origen, el Mea sectorial varía en ulla magnitud constante lo que no alten las ecuaeion85 (11.8).

FI•• 893.

La pO/llel6n del Clllltro de l1exf6n se obtiene pril.ctieamente por el procadimiento siguiente. Se eOIllltruye el diagrama de 185 Areas sectoriales w· pUB un polo arbitl'flrio P' (1Ig. 393). SupoDaffio.'J después que 1M difereDCJas de 1l1li coordenadll!l del carrtro de fin ión y del polo P' &(lO z~ e '1<, De acuerdo a la fórmula (11.3),

e

+

w = w' -/l. (.1:-:1:.) z. (y- /1,). La primera de laJI llxprlll!ionell (ti.8) nos da entonoos

J

~ gr.>' dF-Y.} ztldF+ I/.z. ~ y dF+z. y'dF-x.y. ) y dF_ O. Como 108 ejes x e 11 son ejes principales, oblolldrem08

)lIdF-O; )lItdF _ 1",

)xydF=O, rel!Iultando que.

¡

IIU!' dF +x.l,,_O.

De manen aDliloga Des

!le tmnsforma la segund/l de las 9.lpresJo(tt.8) )' hallamos, definitivamente

-}VW'dF

X,,=

f"

+JZ(I,l'dF Y."'"

Iv

(t'I.9)

lijeaaplo 11.6. OeknlllllU l. paoicili.. "'.. ee-tro da flui6n'nel ~ dll plIrfll ral'-JIiUlai" pl'red. eI'Ja'das ilM:d0flall.0 .... _6ftI... IIlfIlrior la¡uler'llo (Iif. IIN, .¡. teMo ejM Cll%Itnlm prllld,al.... este euo _ ,.,.1.101 • 1.. IMoI d'" noUQ;IIIlo. Coa f.eilidall t,'obU'DI.

I.- T " ,.."

f'_"j\''6. 1

e

Y","

y

p'

-y

y

p'

o

ID-

E!>

,

A>

,

f

-1 lo a)

C)

FlI_ 1M.

-

d)

Pu, ailllplific&l \o mhllDCl poo.ible .. diqrlm. . . . .'. siW.IIlOl el. polo ,.. en el. drtk.e IlJpeMor dereebo de l. _16... ConItrul.OI dell~ \011 di.,...... HU'• ., . , ¡fig. 3tO••, e, 01). Ou"","" de lIlul~ipl;car 1.. dr.,....... "'1I.remOl,

¡ -61+ z.,.,z".';' _{-.h•.•. ,¡.] ....¡ ni'

dP

.~.

~)'III' dF_ll [+ ·2
,

,

"'-+'ió G , "-+T" Orlent.alD05loa-emontOl •• ' r. oe¡Í111 1.. _ju prhlClpalea. partir del polo

P' (fig. 394, a).

I 75. AI.bu d. lu .eeel.... ir.nlur..'" lit 1, lIatta •

,aredtl llrl¡adu IOm,licla • tat'litln

El problema de l. torsión de barras de paredes delg.da3 de secciÓf\ eflrrld. y abierta H IIlIUIÓ en el capllulo 11. En .quelJ. oc.&lIi6n lIll c.lcul.b.n sol.ment. lu t.n!iones tIInge:nci.les en 1115 secciones uanaversales de 1.. harr•. Analicemos .hon 11¡U1111 pnt.icll.1aridlldes ..diclon.le. relacionad.. coo l. apnici6n de ten.iones norm.l. tu l.u geCCionl8 transvel"Sllos de: l. barr. \.ol'3iotllld••

.. Este análisis Sll basa sobre la hipótesis del contorno rigido, eII dI!eil, 88 supone que el contorno de la sección transversal de la barra conIIllrva su forma durante la tOl'Si6D. Si, por ejemplo, la 8eeei6n era circular, pertllllDOOerá dC8pU~ circular también, si lira rectangular, permanecerá siendo rectangular. Al mismo tiempo, los puot04l de la BlJC(lón reciben diIerenl.eil despluamientOfl.' lo largó del eje de l. barra. Ocurre lo que llfi deoomina alabeo de la sllCcióo. Vea¡n0911l tOl'3iólI de ulIe berra de perfil abieno (Ug. 395). Supongamos que durante la tUl'5i6n de la barra, 188 lIElCCiones trauaversalll8

giran lllSp4l(:to a cierto punto Inmóvil O que denominaremOll unlm

tk

ú)rt/,6f1.

El 'ngulo de di.'ltol'!lión y en el área Illelllllotal ABeD se obtiene wmo la sume de los ángulos (Jo y p, es decir, l'''''a+li. De\.erminamos llIll08 sumandos por separado. De la Ugura se deduce que U

a. ---¡r.- .

Pero como AA'_r drp, siendo r la distancia del centro de tOl'!li6ua la &angonte l'la 11098 del contorno en el punto A y drp. el ángulo de giro mutuo de las seooiones contiguas. obteodromos.

'"

cr.-T- r6 ,

. ,.

DeJigoamos por'" el desplazamiento de 1011 puntos de la ,se«i6n en la dlrecci6n del eje z, obtAiniendo,

t'-16 .

,.

POr lo tanto,

1'=rlJ+/iI' _De acuerdo a le ley de Hooke podremoo escribir,

dw~ (;

-rll) d•.

(lUO)

§ 15..... ,lIko di _elOMI trGlIlW"'''''' di '" b4rr~

368

En la línea media del contorno abierto durante la tOl'llión "1'=0 y, por lo tanto, dw=- 6rds=- 600, ó W.:!.-6S.:(líl_-6líl. (tUi) AsI pues, el alabeo de la secci6n de la' barra d~ paredes delgadas 81gue, a 1(1 largo del conto1'lio, la ley de variaci6n del Area sectorial. LO!! desplazamientO!! W obtepldps (tI.11)'no están completamente determlnll:dOll puesto que el Area e~~orial depende del. o~j'gen d~o el cual se ollde el arto $ y de la poslCl6n·del polo'. ,Al varIar el origen, la magnitud de líl (y por lo tanto w también) varia CID una magnitud constante. Al verlar la p0.9Jcl6n del polo, w varia en magnitud611 que

.

A

-

-

•

w"'w

W

ff------

I-J-

(

•

r

d. Flg. 896.

dependen linealmente de las coordenadas :¡; e V. Estas variacloll611 correspondell al desplazamiento paralelo del plano de la secci6n, como UD cuerpo rlgldo, a lo largo del eje y al giro respecto a los ej611 :¡; e V. En lo que se refiere al alabeo de la secci6n trensvel'9al la fórmula (tI.11) lo determina plenamente. Analizando la expresl6n (11.11) vemos también que el alebeo es propordonal al ángulo unitarIo de lorsiÓn. Si e varía a lo largo del eje :, variará también w. Si limitamos el alabeo, introduciendo ligaduras, se IImltsrá también al ángulo de totlliÓn. Cuando el alabeo varia saglÍD el eje t, en la8 secciones traDsversales de la barra aparecerán tellsioll611 nonnallll'l. En efecto, para cIerto segmento AH de longitud dt (fig. 396) sa obtiene, d", de e=-;r.= - W'di'

y de acuerdo

II

esto,

dO

CJ=-Ewih

(tI.t2)

La aparición de las ~en5ionlll'l normales que ~'arlan a lo largo del eje: conduce obliga~orillmente a la apsrición de tansioDOS tangencia-

l. &eCuodarilU 1: eo la secel6n uansveraal de la b&rra. La llulón t, 88 detémllRl de manera aoiJop a como se realizó eo la f1l1i60 tru....enal de la ha"a (v_u § 30 y 13). De la coodiel60 de equilibrio de la partflllpa.rada de la barra de pared. delgadu (lig. 397) ae obtiene, r 111=- X~dF.

o. teniendo lO eueotf, 1I

IIpre~i6n

T.ll=E~

(t l. 12),

J.

wdF.

(U.t3)

Lu tension. hngenelalOll &Otundar!u T, so distribuyen unifor· memente en el espesor del perfil y no soo igual. I cero en 11 linea

~ a)

......

media de la sección como

I!!lI.O

ocurre con lu lensioo8!l prima·

Este resultado se Incueotl'l eo cierta eon~!ldleeión con la ~llpo­ eición loterinr, MliÚIl l. eUII eo l. IInM del contorno 1., ten~ion. tanillncielee .son 19u1l. e cero I(vÓlnse las lórmul., (11.10) y (tI.tI)l. Es decir, que cuando el ioguJo de tOI'3I.Ón e. v.riable, II loy reel de vari.clÓo de w en la ~oocióD 1,' diferencie de la loy dol sectorial. E.9to, ~in embargo, 00 Influye aens¡blemenle sobre las dependeociu fundamentales 'J lu expr.ion. obtenIdas determinan con auficiente uactitud 'In magnitudes da lu tensiones nonnall!!l 'J de las tensino. tangllnciales seeunduiu~ cuando e es ... ni.ble. En lo dicho 51 puede advertir "dh:nente cierta lulogla con l. lIuióo pura 'J la fIlIi60 traosvenllll. EII la fIlIi60 trallSverul lu tellliones oorm.lea JI determinaron, lUpooiendo que lu seeeiooM transversales, c:orno en la llul60 pllnll, permenecian plauso sio ala· bearse. DesPllés, a trl\'és de la.!! tensionell DonDales, se detenninaball las tension. tangenciales, CDJ' e.;¡:i$tellCia contndecla e la suposldÓD Inicial sobra tu seec:Jonee. tnnsverules planu. Esta contradleel6rl. como e.o: el.caso que ahora $e anaJba, no CODdllU, sin emhar¡o•• l¡!nDra cunlitativO! considerables.

'rea

• 76. TortiOn rutringldl .. ...,.,... lit pare. . delpdla lit Mcc16n ahle""

Apliquemos tu relaolones obtelJidas aJ c.uo d. l. tonió.ll nllItrio. rlda. S. entieade por tomóa nllftrioglda 8.1 caso cuudo !MI limita el .l.beo de 11.3 seeeioo8l. Por eiemplo, en la barrl do puedes delg.das empotrada ea UD eJ:ttGmo (flg. 396) loa desp1aumieotos 10 de todos los

puotos d. la secci60 de elUpotn.miflDLO son 19u.les. cero. A medida que DOS dej.me. de .ta seeeión, el .l.beo ., el 'ogulo unitatio d. tottióo .umentaD. LA. uuion(lll normal. en la lMlCcl6D lorm'R UD mtellll de fUMu, .uloequllibn.do. Los momeotos Rectores respecto. 1011 ejes z e ~ y la fuena oonn.l 11011 i¡v.IM a cero.

~C1/1dF_O. ~oZdF""O. ~odF_O. o de acuerdo I la

el pnlSI60

(1 l. 12).

1

(fU4)

l·dP~O

(t t.t5)

~ II)lI dF -

O•

mzdT=-O.

Aqulel 'tltll !octorlal 01" reflere.1 centto de tOl'l!i6n. Por lo l.alltO. d.11ll dOllexpresioolll prlmet'lnededuce que, ea el CMO de l. l.Onl6n ....t.tingid•• el centro de totsi6o .oincide .on el eent«l de f1e.1ión. Al CODJItruir el dla¡tIO~' de 11). el origen. desde el que se mide el .teO 6, se dl:lbe El!I&OfW d. m.nel1l Lal qua " .umpla la condición (11.15). En el cuo de un pe.rfil !imétrieo. est' claro, que el punto ion:i&1 se deber' situat lIobnl el eje de simeltí•. En el ea.so general se debe eoll!ttuir primOtame.nt. el dlagr.ma de 11), pua un origllD ubio trano. Entonces, CIl=\II~+C.

De acuerdo a la condición (U.t5)

-J

00 dF=

Joo. dF+ CF= O,

,

de donde se obtiene la constante C,

1"'"

e--L..,-.

(H.t6)

Esta magnitud se d~be sumar a los valores de 00, en todos los puntOll del contoroo y, de esta manera, el diagrama oJ;Jtenido satisfará la condición (t t. 15).

2

Pt Q) fll. 399.

El diagrama de 00 correapondiente al polo que coincide con el centro de flexión y que satiaIace la cGndicióo (U.t5) se denomina diagrama del drea s«/orlal prlllCipol. Las tensiones tangenciales forman eo lo seeción un momento tonar resultaoto que so puede interpretar como la suma de dos momentos,

M,=,M,+.M I .

(11.17)

El primer sumando constituye el momento resultante de las tensiOllll9 tange!lelales bá~ieas l" (fig. 399, a). L8 .magn}.tud de estas teosiooa'l y la ley ,de.su distrlbueión,en la sección las conocomO$ ya del capitulo JI. De a~uerdo a la fórmula .(2.26) • M, = GI,O, (11.18) aiendoJ" la característica geométri~a de la sección que ya conocemos (véase el '124). ELaegundo sumaodo es .el momento de las tensiones bn$'enclalea secundarias l"1 (lig. 399, b)

M.:.

.J

-rlJTds = ~ t.6dw,

,

o·de acuerdo a la expre8lón (U.U)

M,_E{?-l(i wdF)dw

m

Inttlgra·ndo por partes hallaremos,

",,')dW':'W

5""'I:-¡ o'd'

Como para 108 puntos" 1 Y 2 del cootorno (Ug: 399) obtendremos,

~ I1)dF_O,

M._....:....EI..{;;-.

(11.19)

(11.17) se reduce abora a la 8iguiilntll, ,~

GI\O-el"i1jT" ",M t•

Designamos, GIl

7:r;;; -= IX

•

(11.20)

,

obtenieodo definitivamllote la, ecuacl60 difereocIal de 111 torsión restringida, -;r.T-a. " " ' . . =o-a. ' 7JTi' M,

(11.21)

siendo M, uns runción conocida de z. Resolviendo la ecuucióll 5a baila (11.22) a... C,sb IXt +C. eb IX: +0', alendo O', la solucl60 parllcular de la ocuaelón (11.21). E,;emplo 11.1. Volvamo! al caso de l. barra empolradl eo uu (lig.

~).

lUl~lIIU

Aqul,

y eotoncea, ' " - a"ll",,- ""irT,""" ."JJl • -¡r.t"

L. sol""'lóro particular do osta c'C'II,clóo ..

t'.

e· ... GI, !lll

'"

e_c, ah al +C. "b al+GJ; . Las cOIUI'ot... C• ., C• .. deterroiu.o do 1.. oigui.ates coodlclonM d. borde. CURndo s-o el doapluamloolo 111.111>=0. Po. 10 lUlo, pan 1_0 el 'OluJO 0""0, lo qut: se deduce de l. lórmula (11.11). AsI PIl8ll,

'"

C'+1i7';"-O,

.. CDaoolo 1_1 .. lellli61l 0-=0 O. lk KllarOo" le npl'fei6<>

7 "1-'

(tt.I~),

;;!_O

C,edl <:d+C.... 1Ib ca.l_O.

Defhlithamelllol • obtl-.

!DI e, =--<:T,'

!DI

C,C3 G1 , U1cd.

!DI &_if1j 11 .... lbahtl(u -dlcuJ.

,

f I

•

, p

€J

•

"

.)

A. . . . .

21 detplaulDln'o Inc-l., . h í _ - '

•

•

_~&4S ~rt-~u.Cdl.

ml.altu que fa 01 ea» di .. &om61l pOI'" !Dll

(QO

(11.2.3)

_l.l"llclo),

,,- eJ,'

Lu leMÍo_ fIOfm.ie:I .hlm...

~llfIo

dft! empolAmlento

"1

o--S"'di ._o--~_lhlU. B!IIl

(11.24)

LCllI molDllDlos compollllll\ea M, J M. 01\ 1111. 1BU16n .rbitrarla ..rio Jo.

Ililll~lltea,

P_odo. 'o-

1I1_GJ,ll_'lJl (1 +Ib (1,/ lb lU-c.b cul, 111. __ El. A jliI __ !Dl(lb cal lb eu _eb (tJI~ d.leul~

1IU....lc..... oll.IIcemOill 1.1 IIlIUI6to dobla· •• (fil. 400. ...

ClQ'U dillUlllSi_ ..o,

._2100 _ .... 100 IIlD, &_10 _ . 1_1 •• Il"lerial u...-o ,,'.0"1.6_%.10" ~JJc..'. CoumIllIlu .1 diqr81118 I m. 8ICWri.1 pI'IKlpal {fi¡. 0600, bt 1. lIlol.

,

t1plicndo t.. 41..-., ......111.1._ '.

I.=n;"'~'

o.

aeUHdo

I

,

l. 16nanla (2..801

11-'36' (2b'+"). Calt;u1a_0II l. 1Dqnltvd de G (tt.!O), I

a;

• 6·1».....)_, .. 'O_. ' -1 +1/0 --w--.' mm'

J. por lo linio,

--

o._I,1:i.l0-1~. elIol.7:'.

•

Po, 1.. q!llu doo 1... IUMlo_ blpll.bóllc... IlIlJ.mot.

¿.¡ th cU_ °i~~I_O,M7 [)(l 1, up_IÓn (11.23) ..

obtlellll,

''''

"-r;r.M63. En ~ GUO "MUudo, debido. la limiUld611 d.l .Iabeo••1 d6plullnf... \t> IllfIll.r lO .. ntnomo d. la bu", dumiDOre III IlIÚ tlal doble. Por la fórmulIJt 1.24.) u1eule_ la tnal6D llOI'1Illllllhi. . q.., ID ""'" !.ro _ . OCU~ n bcwd. d'" lila, empo\nlmllolo.

ni"

""lo'

10...1 """r:r, 4" CI t1I.d - 111. 10-'''' t,tlRl". "11 'lJl .. debe ,.¡rodal, l. '¡f,clII. Lv Il. . . 1

por Iu fÓfWlllu (2,3t) '/' (IUJ),

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'"'0

Cop. Xl. FwJ4" 11

IOTfJ~"

M pcr/lk,

"".ed..

Cuando l. b.o.r~ 110 m.d.. delgada., el 6ngulo buteado a.glro resutla Igual. eero, punto C¡UI 00 el tratOo OA el momento tof'IoOr uQ eJi.te. Ea Dueetl'O c.uo 0l:Un'!I -¡1rO dllerente. UhicamO!l el oripn de • '"' el Impottlllnl"nto y a"all-

umo' do. tumos de la barra. EIl el primero, d• ..,\l6fdo el. fórmula (11.22)

e, ""e, ob cu+C, eh
01 ""uodo lr.mo,

!lll

e._e.lb en + C. eh aO+GT" .

,

En &1 .mpot....mi.. nto ... _0. POI lo tao\.o, cu.ndo ._0, 8,_0, de dond• "" que C,=O. 1

~;

'"

;t

1

.FII' 401.

.M

ohU.

'"

~

EIllalillOOl160 A. al J)taU dal prlmer "'amo al aeg>.lndo 1, funcllin l/I11D debe.' aulrir dl!lCOotlould.d alauDa Y. PO' lo t81ll.o, 8 1""ll,. 0,,\,;" _ GOlllh,UI lam' 1:>1'01. 'uoBlón a. POt ID Unt.o, "O 1.'eeoo160 A d8¡/do=iJ8Jdl. Por ultimo. eo el ulfemo IIb", da l. berra. cUlndo ._21. 0...0 6 8.¡.h_lJ. Lu condltioll9ll lndllladu permitan plantear Un ,¡atellla da llCuleilln~. " ... la dl1.e=11l&~16o de CI' e, y C,' C,.b lll-C.tb '" -C, eh aJ _~'

.,

C, ~h C&I_C. eh aJ-C, .1llll ... O, C,dI 2aJ

+c, oh 2uI_0,

de doode ... Obt1ellll,

!IJl lIb c:U

!IJl lIb aJ

c, - GI, ili"E' e, -'lJT, eh 2<:tl. h cu, El 'ngulo de lIi'o lO eüe"1l6o, lO la atlCCI60 A, """ Jll .llt~lenWl,

,

q:o -

!IJl- 0.1:111/ tre,dl-imI eii"2Cil (elllll-l),

dOllcleo 80 dewmloa por la f6rmula (11.20).

El deephumleot.o ugula, \In Mt& cuo 1SIIr¡
te(aeei60 di tu fuen:u 10m los tnolllOiil~ r&laclo!l&dl coo l. Iiwitlc!6n del alal1li analizar' COn mú oetalll lO m Pldgnto ei¡'uiUltll•

beo."Ea1.f, eU8ll116o

• 71. Ca,o geMraI di sOtlcltllCi6n de una barra de ~et delgldu. Bhll'lIIento

Ep el eMO general de ~licl~ci6D los despluamientOll ulales ID se pueden ~presar ll~O sigue, ID·"'W. +1Il".:r+ 1fI.U-8IO. IIJendo W" 1Il, y lI'. las magnitudes que CatllCtGrlUD el del!lplaUlDlJento

y el giro 'de-la secci6n como un todo rlgldo. [¡¡¡ fu.ocl6n ID se escoge de ácuerdo con el diagrama principal del área seetorJal. . Las tensiones normales en la IlllCci6n serán, dw

a=E-¡J=E

(dilJdl·~thz+TY-;r.())· d1;>J' dm_ de)

(tt 25)

,,'

Multiplicamos esta expresi6n por .dF, z dF. YdF.y /il dF; Sllce:!llvamente e iolegramO/l sobre el área de la sección trallllversaL Se tiene eo cuenta que 109 ejes Z 6 y son ejes pMOcipaIas y que el diagrama de ID.e6 el diagrama del área sectorial principal,

Pj

N=SadF=EF~,

,

M,=SazdF=EJ, F

M~

<=

W::,

(11.26)

.¡ra!ldF=E/~!!!h..

I

d,

O:O~(I'(o)dF=-El..

=.

Se entiende aquf por B una earactaristica de fuerza nueva que se determioa por la expresión (11.26) y ,e denomina blmonunlo. Se mide el himomento en kgf.cm·.

Fil. 402:. El bimomento se diferencia de los otros fac.tor8'l de fuerza interiores conocidos por ser el primero UD factor 8utooquillbrado que DO lIe puede obteDer de la coodicióo de equilibrio de la parte separada de [a bana. Por ejemplo. si 90 solicita la barra de sección doble te por cuatro ruenas iguales P (fig. 402), al bimoffieoto en la soeción edrema Berá. 90gún 11 expresiÓn (H.26),

B=- ~

p¡IIJ¡.

.

siendo 1iJ¡, el vllor del area sectorial del punto de aplicaciÓn de 18. fueru PI> ea dedr, B_4P "4-PbA. En 11IlI s.ooeiones de la barril no surge ni luena normal N, ni momentos llectorell M" Y My'" EUUlinando en la expreslon (ft.25) las maguitudes w., lI', y 'JI", obtendremos, N Mr M;I;'i alA (11.27) a=T+-+-+~· 1,

1"

' ..

Los ~rll$ prImeros sumandos 1100 bien eonocidOi!l y n... '1LlloC85ltau expli· caci6n. Ea lo qoo se roIiere al cuarto, éaUl coracteriu las modifico· clonltl que introduce el alabeo de la l\OCCión ao lo leyes lineales da distribución de lIS tensiones. La medids dI! (\lena de lllIto alaboo 88 el bimomento. Las tensiones t..lllfollClales 00 la sección transvel'3Sl de la barra, en al caso geoerll de solicitaci6n, se eompooOD de las teWlioDas cotnlSpondieoles a la tOl'!lión simple M,

, ... w\ ' de las teosiones taogeneialQll correspondientes a la nClióo transversal I(véallels fórmula (tt.5)/ y, pllr idUmo, de Iss teoslooés tanlleneialet SllCuor\llriail 11 (11.13) de la torsión re3lringid•. Los qesplu.smieolos de le barra están roladoudos coo los TOOmeaLlr.! f1oolOJ"llll M ~ y M. por las conocidas fórmulas

... M -p--ft, do,.

•

M,

-¡¡r:""'"Ff;' siendo, u y v los desplaumlentos de la lIoea de 109 oonLr08 d. nel160 de las secciones eo la dirooei.~o de los ejes JI: e ". El Angulo de torsiÓll unitario 6 se QbUene de la 16rmula (11.22) y d&ponde no sólo de 1& IDapitud del momento tol8Ot, aloo también del bímomento. EJemplo tI.9. VNIlIOII DI ceo de ooll~;tacl6<> da La bafTII por 1111 blmom.e01.o (1Ii· ~). . El orillO di .1o"'UI_ aD al ennlllKll1bnl fh, JI '*trI. La ewael60 Ilt.22j ..d en efta cuo,

Ih.C, lIll ru+C,l:h CUI. Como .... al UltemO de I.a b.rra ..ti. dado Wl bimolllflloto B _PlIla, da eeGU'llo

a la up,*,l6>¡ (tt.26)

oblalldnlm~

dll

p"'¡ ,_0, Pbil

-¡;--W; J, por lo tallto,

Cll8Ildo ,_!el dupluamlellto 111_0 J, poi Jo leoto, el 'llilllo 8_0. Hallarem~ eato_, C\lIllw+CI l:h.a1_o. Dawmlll8llllo C I y CI .. Ob"lliIN

PO" IIIt III oh \U-sil (tIl, e-;;n:

Lo m'a llUSll'!livo ~o .Ie IjlI01plo • IIGI.IO GUIOdO la IOllj'lIud di Ja barra I llIl o1llY gr8ude. En ..te 0190 tb lX.I ~t '1

e_:.e.'1. .--'.,

El decir, que en el, o~ il.e u~ 'bl!rP. Ilrgl el '.~Io uol~rl!, di \.01"SI/io orilfi08do por_el biwOD1lluto deueee, le. le'l elpooeDole.l. ~ "eloc:ldld con que dII01lou)'il6ste depende de,a,.He.nlmos'-e1-vllor de, p.rl el ou.1 el 'lllJUlo uultarlo e. eolllltituye u'o8 m.gnitud. diir ordlll1 del 5% del vllor, l%Ihim(!. Ee ,daeir, determioemOf l. peoelrlelóll prát~lu de II eooi/ill del blmoll\ll1~ 1 lo 18f1O del eje di la barrl, . • - •• "'" 0,05. De aqnl .. obtiene,

..,w.

t,.~ ... 3

En Il I:UO parllul.r

~

V*.

UDa lIICCl/i1l dob'" 11,

~ 3 .. / U+fl:lb·...'

:""23

r

2b+/t

.

CWllltD 1De1l0l1lll 1I upesor" "oto OLÚ 1.1... ",,-,"'<>pegl I1 8ocl/in del blmolDOotD. BD llI1.o eoDlliaw 1101 de 1.. diferenelu de la barrl di paredfll!l delgldu dll I1 d.

aeeel/in DI.ela. lo qUIl , . . . todlc6 In.1 i 10. DII I¡.mplo 1D.Ilu.do .... "que .n el U30 de IraocJ6o o eompl1l:!llóo. uUlltrlcu de 1.. barr.., de pat9d8!l delladu .. d.be eon!liderar llO 001a0181111 l. tuene DOrmal y loe momentol D8CI.OfM MI l., _loo,", t'IDllVllrsal., !loo umbl'n II O1e.gnltl1d del blmolDellto. Por e¡'.. p1o, lo el ""'" de la bina de aeeclólI,doble te ..olioit8d8 por 11 fuene P Iplic:.oda uOOnlrl«lmellta (fIg. 403, Il UllldromO$,

. .

N""P, M,,-P T •

M,=P

T ,

8-P

..

T .

La k_Ión de Ja bena Va ac4lnJle~ada equf por l. nul611 y. al mismo tl.mpo. lu ,lIICClOO" reciben d""plau.mlen~ IlllJUlares propiO! de la torsión.

En el euo do JI bur. IOlicitlde. por 110 par de 1l1erlu (fill'. 400,61. en la llIoCCl611 e:d",WI tlmhlén 11I.... UII blmomllol.o cuye magnitud B_ Pe1l depende da la dlÑoole c• ....,1 PUN al 00 el euo de 11111 banl d.. S8CC1611 maelu 1.. pllIIi. ellill del pllno d.. 1I:I:16D del momenl.o uterior DO ¡ligaba 1l1ll(6.0 ~epel, eo el euo de b....u de plrWllI delll'adl.l l. poIlici611 de I'<'It.. pIaDO 1II O!I tmporteote.

Capitulo XII PRINCIPIOS DEl CALCULO BE LOS ELEMENTOS BE LAS ESTRUCTURAS QUE TRABAJAN POR ENCIMA DEL LIMITE DE ELASTICIDAD

I 7B. Partrcularldadel carecler(aUcas del c4lc~ro '1 eaquernatlzacrdn del dreJjl'ama da traccidn

Todas la. cUelltionu qU6 basta aqul so analizaron se reforlan al dlculo de los elementos de las ~trocturas dentro del dominio de laa deformaciones elbtleas. Sin embargo, la dlverllidad de los problemas que eurgen en la práctica sale fuera de los mareos que fija la ley de Hooke y, muy-a menudo, nos vemos ante la noctl'lldad de analizar problemas I'tllaeionados con lss: deformacion81 plásticas de los cuerpos. A esto!! Cl.9(III se relieren principalmente las inv69tigecionell de 8tguDla opera· ciontl'l tecnol6giCllScomo, por ejemplo, e el enrollamienl.o de los muelles o el 8/ estampado de diferentell piezas. 69 calcul.n, teniendo en cuonLa las deforma· ciones plbUcas, los elementos, fuer\emll1lte tensados, de las conslrucclones del tipo de las b6veda9 de los cohetes y otros muchos. AJ resolver este tipo de prob~e· Q A JJ mas, la ley de Hooka pierde su validez y la proporcionalidad directa entre las teIl!liones y las defQJ'Il1aeiones' 58 sustituye por otra dependencia, mú compl'oja, quese determina por la forma, dél diagrama de tracci6n. Si bien en los problemM cog¡UUell llls deformaciones no i1uperan la magnitud de OA (flg._ :i04), en 106 cálculoa donae se admiten 1M deformacion~ pllisticas lI3ta Ii· mitación DO e:liste ya y la magnitud 11 resulta ser mucho mayor. a pe&lr 9& que sigue plltlDaneCiendo ilespreciablemente paqueña en compalllción con la unidad. _En este caso, 8& dice que, el cli.lc\llo se realiza 480t1'0 de 109 Hm'itll3 de las deformllciooell plásticas pequeñas. E3tá elllrj) que-tambllln se puede plantear el problema de 108 cilculos p'ara defonoaclonas plásticas grandes,' sin limitar el valor de las úllimas: Estoa probLemas surgen, por ejemplo, al analizar 1AS opera· ciones tecnol6gicas de forja y del estirado. Estos problemas no sa analizarAn aquf. '

•

Debido a que 18s deformaciones plbticas !lOO pequeñas, a Jos problemas que al analizan aD 8lIla capitulo es pleJ18monte aplicabie

el principio ,de invariabHided de las dimell9loo'es Julcialos, '88 decir, qua, al plantear 188 ecuaciones de equilibrio; se puede eoll8iderar que el sistema deformado.plbLi~meDte se diferencia poco ,duhistllmll' ain· deformar. El lI&gulldo principio fundamental, principio de superposición de las fuerzlls, en ~to e&so DO se cumple. Esto so iluslta de menera clara en el ejemplo do-la figura 405. Supongam05 que ÍlelirEda barra actúan 18s fuerzas P, y_.p 'i. Yque la primera de elm'-e.:uufi~entemente grande pan originar en le barra deformaciones pl'lItieas., Los alar-

¡amientoll de la barra correspondientes 8 la aplica..i6n directa de 1M fueNas y 8 la aplleación iovertida aon, como vemos, difereDtllll. Tampoco coinciden Las relacionBIJ entre las tensiones y llUl dcformacione.':l an [08 casos de carge y de d~.r¡a. Es por Bi9to que se hace

FI,. 4Oa.

diferencie entre la deformación activa y pasiva de la probeta. EIl el caso de la deformación activa lu tensionB:!l crecen, mientras que en el caso de la deformación pasiva, disminuyen. AsI pues. el tramo OBC del diagrama (lIg. 404) COfrBi9ponde a la deformación activa y el tremo CF, a la pasiva. La deformación que se mide por el s.egmento OD (lig. 4(4) se puede Interpretar como la auma do una dcformaeión puramente plástica, deformación irrllve~ible OF, y de otra deforma· ción elástiea FD. que desaparece despuéa de retirar la carge. Asi pues, la deformación de la probeta no Bi9 ni puramente plástica ni puramente elástica. En el caso de cargas grandes, 'Igunea veces, se puede pr~lndir de lu deformecione:!i elásticas en comparación con las plbtlcas. SI las deformaciones plásticas y las elbticall lIOn del mismo ordell se suelell denominar deformaciones elástico-plbticalJ.Esta ml/llDo Uirmino se refiere, también, a las: deformaciones de los: dlver&Oll cuerpos en 1011 que eldsten 100llS de deformaciones: elbticas y 10Das de deformee{olll!ll plá9ticas.

Cap. XII. P,lnclplo, dll c4k,,1o d,

.",ru:t"""

En Vi8tll de la ll.plrieión de deformll.cionllll plá~tiC8~ en la~ 83tructuras, adquiere gran Importaneia la euestión de 1(0.'1 prineiplos genera· les de realhar los cálculos. En el cuo de deformll.cionee Illástlus, como reglll. geoeral, no se puede lI.pUClIIr el método de eáleu.lo por teosiones admisibles. En este caso se juzga sobre la utilidad de la lllltruc_ tura o por la magnitud de los desplazamianlos que se deaarrollan o por la mll.goitud da la carga de roturll., ell."rga limite. Para introducir La 'dependencia 0=/ (ti) en l!t~ fórmulas da dlculo, el diagrama de tracción se esquemll.tizll.. En el caso de las deformaciones elásticas, en el tramo OA (!ig. <104) el diagrama de tracción se !teerea

•

•

's

, R'.4e'I.

fl.. 408.

a l. linea recta y, con gran enctltud, se puede admlUr que o es proporcional a ti. AsI se elltablooe la ley de Hooke. La posterior esquemll.tbeción de los tramoil del diagramll. se realiza de distintas maneras, según S6II el Upo del diagrama yel método que se ha dechHdo emplear para le solución del problema concreto que se analiza. SI el diagrama del material tiane escalón de fluenela como, por ajemplo, en el caso de los aeerOll pobre5 en carbono, !le puede aimpllliCllr el diagrama por' dos rect.Rs (fig. 406). Hasta el 1imite de flueneia tiene lugar le.depand.encia I!lleal común y dellpué9. cuando la tensión (1 ile iguaJa,al Iimlte.de, {Iuencia a lt , la primen no depende ya de la de:formael6n. es declr,

o -O'fI' ,Esta elaro que en el caso de deformaciones suficientementa grandeS (1Ig,< 406) ,esta ley deja de ser Y,IUida, Clomo aot.. ocurrió con la ley de f(ooke. El diagrama de la figura 406 se denomina diagrama de la plast~c:ida4 Ideal. . Es. posible l.maglnam la dependencia entre o y ,eoostituiQIl por d09 retín la.mbi'o·en al caso de c;iertos dlallr'amll9 que do. tienen el eeealón de f1ueneia (fig. ~07). Cuando MO;.e. obtenemOll,

o=Ee,

tUlndo e,t, C1""-°ll=D(e- t ,),

.ieodo E y Dios eoelieicotell angularell de las rectu. D ee-generalroente bUllnto menor que E. Estos diagturlu 1100 -proplOl de 11 mayor parte de lófI aeeros aleados. En el euo de .I¡unos materiales. como. por ejemplo, en el cuo del cobre recocido. el diagrama r.arec:e del tremo elútlto bien definido

-';':..-1

•

•

•

•

''1- tOI. Fil. - . (ri,. 408) y puede ler I1lpresenlldo por 1I runti6n sipleDLo, e_Ao~,

sleodo A y n, conauntes que lle 8!lCogen de mlnerll t.al que la defIlIodencia admitid. en el tr.mo de tu_bajo de varl.cl6n de t. se .cerque lo mas posible a la curva ezperlmeotal. Es iroportaote desLlcar que la Mquemltlucl60 de UD milfOo trlmo del di.pma depende tamhi'o. di los IlmltelJ di vlriac:16o d. 1... deformlclOGes ell el problem. lO cuestión. Aai, por 'Jemplo. a.i lu deformaciones que SI esperlO .100 O
• ..JA!.-_--'

'H

•

rlg1do-p14,lkD.

Sea como sea. en todM 105 callOS, 11 funeioo que repr_oLl el dlarnlma detracci6n se escoge, lOte todo, eo fuoción de 11 forma da

C.p. XII. Prl""lpIQ'

a~l

dkul
la CUrl'll. Si en adelante resulta que.la fundón escogida para la solución del problema dado eonduell a operaelones laborlOlllla, S8 escoge enl.oncea otra de tal manilla que no ae afecte la uact¡tud con que se refleja la curva y que la laboriosidad de los cálculos no lI&8. llIeesivs. En muchos casos en lugu dll la expresión analítica escogida o=f(e) se empl1l8 dJrec\amenttl el gráfico o IElrlleUllEl a 1000m'too05 SflmigráficOll o nurntlrlcOll. Con algunos dll los rntltod08 mas limplllo! nos familiariza romos mM adelante.

§ 79. Tenslonu y desplazamientos en loa .lslemlll mi•

banas, ell8ndo existen

• Impl.. con.liluido. por deformaciones p"llle••

Veamoa al~oO!l .templos par. Inallzn les partlcululdadea fumll.m.nulte del comportemlento de loa airtllm.. · tuando eliataD deformltlo""" plá3tlca&. l:a1.oa problemu". rau.lvall d111. miliar' mb aimpl.. en.:J c.o&O d ••¡.\.Im.. cOn,.. I¡tuidos por bf.rru. EJelllple 12.1. O.termlnlr el alugamieoto .h5clulO que JlUrge In &1 alambre de longilud I t(llgado llbl'llmeot., bajo la acelóo del ~ propio, .1 el alambre ea d. t(lbl'll recocido y el di"llTalDa de traceióll colT1l8poodien\.l '"' 11 di

d

Ir

• Fil. 411.

la ligura UI. LI rellclónlot.. 1l111u,lmll1ot.O e Y la teoalóo o .. PlllIda replUlmta.. por la fundólI, n

,

a=Ao .

La. con,'ant8ll A y "

A la

dlatllDd~

I

!IIII t(ln!ld~rllll d~du.

da! IlIltemo del allmb" o-y"

tiendo '1', .1 peaa eepeellico del cobl'll. La deformlKión, t= Ay"I~.

El ala'lluoleoto absoluto \Ud del .•lambre,

!lO

Obtlllllll, integ.ando 1IlIta. IlIprea!óo aobl'll l. IDog!-

,

í

tu = ~

n+. '..4.,..- a. "" Ay" 1;;:¡:-¡.

EJemplo 12.%. Determl1llU loo esfllenOll eo lu b.rrla y el dMpluamlento del. nudo A (Il,. 4!2. e) ID l\!-llti6u de la lueru P. Detetii:llnn t.UllbJ6n lu d.. 1000lMdclIU t'1!lIidules que apareceD erre! !i.teml.despuoSt,de apllea.. la tUIl"Z1 P y después d. retirarl•. El dlllil'lma d. tncelóo del malerlal. tlent UII kamo de pJQtlcldad ldul (fi&,. 412, b).

1

•

p FI,. lIt.

Cuudo la fuena P es elútlcu. LoA muenGa ID

peqll~,

l.,

In 'todu lu ban" .peNeell defcl'Qllelones

blllrllll Be delermioln por LOlI m6todos comunes do úlculo de a¡etflmu hlpere!lÚticos. Como elite problem. se ,-n.Uro ya (yéue l. pág. 4:)) 001 limitamos I eacrlblr loa velorea de loe esinlnos ID \., barras,

N'-l~~o:.:.~ll' ) P N'-1+2cOIl'tl'

(12.1)

r

.IIndo N" la fUlrza DonnRl en la bun e>;tmme N" en l. bar", centrel. El dfr$]llaumlenlo del PUDtO' JI es [guel al a1ergalDlento de la bf.rr. efllltl'lll, N,I PI 1

fJ"=Tj=U '+2¿oai(l" Esta depeodencle ligue allodo vilid. huta que en 1, barre. I:
FlII. 418.

barras l.te•• IM se detarmluaD en esto caM de le condicl6n de equlllbtlo del nudo (lig. 413), El .isteDl' hipereathlco &e ooDvler1l ul 8D 3bt8Ul1l bllIItitl«l, P-ollF' N.=~. (12.3)

mil.

El dQpJ...... ¡...lO del pwI10 ..

&,,- Er

tl3) arl.

N,I CQI' ti. -

c::~

6,

IP-GltFll UF ;;O;;¡ .

[lO .dl1aD1.oI, 1.. 1.oIll.ti_ 111 lu banu IIIt 1.oIlDb~D .. ipa'" .1 llmit.< o. O...Mi•• o. .. nop,,;'- (12.3) .. dId.lIoI qDe ""lo ocvrn tlUondo

+

P",onF I I 2 0;0,¡CI). &11 _toe cuo .1 mUm• .. tOIln.r1.e Ul 1111 . . .nl_ .....10 qM .•1

lr '11_ do l. car¡. p • ...... GIIlIlpJ. y. l. coodld611 d. e
_ ol

f

r

lre- !\le.tu iltri iU.1. "11 F U+2t\(111C1¡ perlD.neur' eondA"". "'~I pUM.•1 .r....UI. no se l. pu~e .plten UD' fu.ru qUil. lodlud•. E.... luoru deber~ con.ld"'rM como fuorll U",u. plr' t .¡atam. dado. Hn .11J"lIlll1 c.SO! .1. donomlu t.lImblb 1......... d. rotur•. li:l" eI.ro qua al COI>C.pl.o dI nrv' d. rolu", DO renol' ealMlmeol.e el COll1.ol1lldo dell'Dómeno. SI 01 dl.ll'.... m' de tracel60 re.1 tiene PI,.. ..¡Otu ¡r.ndu d•••1 tramo d. coDMlidac:160, eoloo,*, puede or:urrlr qu. l•• lue,... \nterl_ .,qulllbno d... pu" • IIIUI lu_ l' .I,or que J. 111D1\4I. Eaooc:urn. aJD elDbal'lO, Pire d.-pluIJIl.lI.l.oIlD"71TIod. r plT' Cllllbl.. d. I1 I'IOm'l.rlu dIl .11ta.1 tan toDIiderlbl.., '1\11 tI\I 6lli_ pUe6a COMId.,.,. ID ~do d. rol.on. En l. fip•• '" III.'D TlpreMltldu lo ...rflCitl_ de ... N, , N, 7 d.l IIl1plaselDMlllo 6,,'0 'u.nci6o d.11 luaru P.

m'ror

'orIll.

..,

J _¡te

r- qH eIlDlt.eri,1 "'PI ••• 1 la

11' doo Hoob 10 IaDto;d1U'U'" la poi' 1.. npwl.. urp \01 _~. d"\enDlllUÚ por lu u:~. IZ.%) 1 (n.3). AJlI ..... 1.. .nwms lWidulleI " tu --'JI,

tUÁlcu

'r:NCerio 1.. .ru.u. det.l!r1DI

dI&Irp,... tu banu

_

\12.1). 80" CUll.

_

'-"ti' -1+2,_toa __ ......

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N••.• -o,.,-{+fQ;l ....

por.,.

Ea . . . IJlP"'l!-_ '• •olh04. la u.raa but. la CIIal • proIOGlIÓ.1 '"'" _ d. eup. Su 1UP;lu • 10CHDt.. lot(ollat \hDI'- doI......iud08 por el

Fl.. 41l.

_IIIISO do l•• parlcl.611 d. lo pr11DIl''' d.form-=Io.... plúllcu J el ".1« d. l.

~

Ihal"'.

0",(1 +2~CIi'" P<;0n'(l +lalUI).

Lu ¡Uld.- _",,1M -"'0 u!.Mqllillhndu,. -=lf, ~ el. Dodo dlI ... Mnu 't'l • Mlelleotn . . -.pllilolio, l~'- eIIUdo .o erlÑl! f.!MI nteri_ tN. _ _ O.

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IlItrodIKieD40 •••llosni_" Nft-' N "_4equ.l.Lt.,l>C""" ~ d. w hMnu o1lteDld.. CQlIIIptU dlddo coDdld6... N

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C~p.

XII. PrhlClplo. dd

edJcul~ d,

,uruetura,

mere. Si 1lI ~illUe ",!V"udo el lialelDa, en 1.. barrila aplroooréo deformaclonefl pUstiou que .. e,lon .,úo Isa leyee lIlItablllClldas anteriormente pan la primeTl lI011citlciólI, Ejemplo 12.3-. ADalhu el trabajo di la borra c~ulon.o.da (fig. '17, IIl, el eolicit.,la por l. fuenl P. El dlegtaUUl de t.aeclólI est' ""presentado esquem'tleamoo1
o-c;fJ"

pe..

Se ron.oidoCll que el diagrama d. eomprui6o- roio-dde

e

" ,

A

i

COIl

el de 1,aodÓn.

•

F

.

P ZF

'"

(12.')

o>
pe..

~

,

F11. 411.

•

En le prlmere etapa de la 101Idt.lclón, cUlOdo el mlterlel le ellene I II It)' di 800h, los eafu.~ ID lO!! t,lmO!! superior e lo-Ierior 11& determinen PO' 1011 uWtod05 oomUDllII d. úlculo d. aiMelll&! blpe1'8SCátloos. Como, N Al1 +N AC _P

(12.5)

'J los eilrgemleQlOS ... los tramoJ A8 'J Ae ..,0 ¡Iual., ~

N AB /

-EP="J1!F'

(12.~)

,

NAC-?P,

El dlllplaumleolO de la .ollio A lllri, ~

O.1- IIF

2Pt

-ID'

Eat.. I'lIlaclolllJ IOn dl!d&s mleotr.. 11 tlnallin en el tl'lmo loferlor 00 alI'IllZe el "alo. de ato pare

,

P=TfJt"

El' tramo' IoItrlOl" III detOl"UUl deellllés de IDInlre plátioa y el superior, de mallero elbtiu. Le eeuacl6n (12.5)' permanece IOVlrlsble, mlenl... que l. ecUIcl6D (t2.6) III trsllllforml d~ eeuerdo e l. uprulón (iZA), 0--0.

,=--¡¡-+er. EnlOooee en ln¡1T de l. eIpfflllól1 (12.61 obtendremos,

['(N.. V-O!)+a, ] ,

~~ . El =»1 1i

(12.7)

q... ODa ...

~ta _jII0ltoroell!e con (12.5) . .

N~<:>

e-2a I'(t-{)

b'

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'P{+2gI'~t-{)

•

112.8)

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1+1 7 El delp"umi.alo doI " -:c1Ó!l Al ari N

21

21P-20I'(I-~)

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':"D

1+4 y

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41L

prime... uprtSt6. (12.8) doItenlllne._ l. fUina q... «IIIDa, ea. e\tl'lllltO

lII))trlor, UIlI tell5i6n 19u.l .1 limite d
~).

EIl l. ttl'&ll.. el.p. de IIOlielt.el61l n.ll'IDO!I,

21&AC-laA8 O da ac ... rdo I l. OlJp....16n (12.7),

2[ ~ (4'-01) +" ] =-.;,. (~-O/) +'1' R.-oI.ieodo esta teUldóo -.JuDI'_le COll '" te_1M (12.S) obteDIIIIIN.

NAC-TP+iofF

(1_ ~).}

• , ( D) N"'--rP--S-"" 1-7 .

&1 duplU1l11lelllo .-. P\lllt\l Al HI ti tereera

IC.I,.. 1M ~11r::11.I(.16a Itri.

6,.-2l&M:-lA [; -30, (1--l)].

(tU)

...

c.p.

XfI.

PrlMlpl~.

del

c~1o


VNIDOS el euo de l. f1ezión pun d. una bu", recte elllndo sur¡ren deform.clooBll plúlicu. Pan limplUlur el problema coD.llld.. ramos que la 1!fICC16n t....n'...8n5l\1 de 111 bura tiene dos lljBll de sime~rI. (fi,. 4tO) y que 10ll diagnmu de ~ncel6n y comprlllli6o del mil' teri.l'on Iguales. EstA clafo que eu B!lte caso 1. lln88 neutra colncidi·

•

/1

.

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d

•

"i

I

D~-------',

"" ....

fA con el eje d•• Iml~ta z (fil_ 419). W relación 'D,tilie. enlnJ la tensión (J y b deformación e 00" 8!lpec:ifica y collSidoremOfl que Mla relación e!lU d.d. de m.nera gdlica (fll'. 420). Suponemos que en el caso de l. hltrl " dlida, COmo de coetumbreo la hipótesis de las secclonel plaUlI. Entonces obt.llndremOll (v'ase l. pAgina 1361. (t2.10)

alondo ~, l. curvuura de l. 110N de..tlc.a de la ba.m nlldOlllda 1 ,It II -db\lloeia • la Unea neu1n.. El IIlOID8f:lW Ileetoor en l. . . . ei60 a~ l. ~"'

.ri.

112.11) Ahora es posible obtenK por .. m'lodo _lgrUico ia relael6n elllR W cvvalUB de la barn tlp y elmoDlelllo M y, p.nI VIS dedo el momellto, de\lll'Jl'inar la m.gnitud de las t.enaioal!lS que aurpll eo la bun. El mtSlodo más seDciUo pira raaJJur .\11 eikculo .. el ajo

guiante. Se {Ijl:l cierto valor de la curvatura tlp y por la' f6rmula (12.10) ae obtiene el alargamiento máximo

,,

~""·-2p·

Se dlbujl:l al lado de la, sooei6n transversal el diagrama de tracci6n (fig. 421) Y !16 marca en ·él el punto JI corrMpondlente ll.I valor de 6 .... obt.onldo. Este alargamiento ocurro 011 las: capas más alejadas de la linea neutra. Por MO, frente al punto superior de 1,,: ~160 se

, A

FI,. 421.

escoge el !Iegmento O'A' Y d6!lpuéll el punto 0'. Como 1011 alergamlentos se distribuyolI en la altunl según la ley lineal, uoimOll 105 puntOll O" y JI' por una recta que c008tl1uyO el diagrama de las doformaclo116!1 en la l:l6Cción. Después construimos el diagrama de las 1ensioollfl. Para cierto valor de y, dado el alargamiento 6 (punto B'), obtenem08la tensión rJ (punto B). SHuando an el diagrama el segmento Be se obtiene, a la derecha, el diagrama de la distribución de las tensioDes sobre la altura. Se cOD.lltruye después en la ahUrll el diagrame del producto oyb. El área de la curva obtenida determina, según la expresi6n (12.1t), la magnitud del momento flectar. Así pues, mediante las oparecioIles realizad.M se obtiene UIlO de 1011 puntoa del gráfico de 1Jp en función del momento M. Fijando lJl) nlleVO valor de la curvatura, se puede, repitiendo todas las operaciones anteriores. hallar un ouevo yalor de momento y determinar la p03ición de otro punto dll la misma curva. Una vez construida esta curva (fig. 422) Y dado cierlo valor del momento, se determiun la curvatura lIe le balTll. Se construyo de:t~.,

Cap. XII. Prltv:lplll. dtl

cdkul~

dr r"r"'I"'U

(luéll el diagt8IDa de las tensiones eorrespondlentfll a la eurvatura 1/p que a su vet eorre¡ponde 81 momento dado M. Sobre esta base es f'eH adem's determinar las tensiones rasiduales que se mantienen en la barra dfll!pués de [a desearga. EIIto 9(l reaIiUl por el método descrito anterior· M mente, sumando las teMionfll! imagioarias de la descarga con las Ullllliones que surgen duranto el proceso de carga. En el caao en cuestión [as tensiones da la dose.arga varian en la secei6n segun la ley lineal,

N,

o-T;'

o

L f

L

Sumando este gráfico lineal al de las !.ensiones de trebejo (lig. 423)s& ob. tiene el diagrama de las tensiones n" 422. r6':1iduaJas. Es importante indicar que 1808 'ansiones obtenidas Eli'lt'n autoequilibradas. En la SllOeión nC! surgen ni fuena nomial ni momento flector, . El proceso indicado anteriormente de determmaclón de lu tensioJl8ll en la berra f1eJF:ionarla r6':1lllta mb fácil cuando el ancho de la

f

FIQ. 423-

secel6n b Eli'l conatilllte, es decir, euandol. harrtl es delleceión rectangular, y :te',&impllfica mú aún cuando el diagrama de tracción tiene el tramo de pla!ltlcidad ideal. Vea!n(l!l i1até caso particular. Considoramos una seCeión rectan· guiar ,do lados b y h Y 01 diagrama de tracción I'EIpre&lDudo en la figura 424,' Es fácil demootrar que la sección transversal de la harra se divide en. d~ zonas, 'elásti'es una y plástica la otra. La: magnitud 111 que determina la linea divisoria de est.e..s dos zonas, se obtiene de 18"6Ipresión (12.10) JlI-etP. (i2.t2)

'"

A medid. que .umenla el momento '/. por lo unto, tamblé.n. l. cur....'ura Vr disminuye, es decir, que l. zona elAstiu se reduu. El momento fleetor en l. sección, eomo .ntes, se determina da ... upre3ióo (12.H) que en nuestro caso IS,

M_b DivldllN1do

Ntf,

-o, S oVdll· -o,

lntepal eo dos, '~

.

M = 2b 10V d"

~n

1.. tolWl. obtendllllZlOS,

+ 2ba,

in

S 11 dJl.

"

d

Fil. 414.

Como en l. tona elistie.a,

,

a_E'!!",

dupuCs de realizar l. inleg"'ci6n h.J1aremo".

M=~b: lIt+oo,(f-vi). Tenteltdo 811 eurnlll que

,1,.

de acuerdo. l. npresi6n (12.12), es

."

lIt-~-T'

de l. UpruiÓfl anterior obl.endremM M'

1

p.

iV=To'-3"Oolp. de donde b.Jbmos,

,-,

,..'

l"7l

(12..13)

(12.14)

... '" .umell.W el. momento M • • umenUi II eurv.tun. de l. 1Mm que .. hace inlinlta, tUlado M =.M'or (t2.tS)

,

En eete euo p-O ti "1 (12.12) n!llIulta l'IlAJ. c:wo. Es decir, que l. defonnaei6R plhtka abarcl tOO. la seul60 J el dl.pou del..., 18ntiones ID la secclÓll tt.~"enl&l de la barra M reptelleDt& por dos rec:.. t'nguloe (Ii¡. US). L. eapaeldad teI!llaten\e d. la ham, In esw CIlIO • .te .gotBlIio que pueda I'1l5Í!1lir ~ta C&fiM maY0rM.

Est'

claro

fl.,m. que, d. hecho, l. Clll'Yatur. d. t. bllln DO puede ser iofinit. y el euo .na.Uu.do .. dabe eoulderar como tIllO limite. lA valides d. l. etuaei6n (i2.t") '" limita por .1 momento Al tinto por IIlribe, tomo por .b.jo. Cu.oo.o .1 v.lor del mom.nlo es pequeño y 00 exillte l. 1011' de JIU deformaciones plúticu, l. CU"ItUlI M detennio. pOI' las f6rmulas obtenidu, luponiendo que l. feIach~o entre a y e 08 1108111, I M 12M p"'iT"'~'

(t2.t6)

Esta relacl6n I50ri válida buta que M .., O="'jj7-W"Oh

es·decir. I

M:s;;,:sbll'
el

.jIKl. cUlDdo ,¡rM'of'¡¡;; , TM"Gt M '"

•

Ea 11 ligur' 426 .Li "preseotld. la tur•• lur. momento M.

p• en

funei6n del

... D. 1u e:r;pf'9!liones (t2. t4) Y (i2. t6) se puede obteolJ' dlreelll· mente la curvatura residual que m.otiene la barta después de retin.. l. earra.

,

1 ~~

p;:--

1

aet

11N

4M~I-M

.w¡.

(12.17)

siendo M la magnitud del lllOllllnt.o cormpondlen14 • la carga. Le curvatura t!ll!lldual se puede obtener tamb!6» del diagrama, como 8& indica eo la figura 426.

• -----F-"lr---ó'.,;. ----+&---t~•.

"'

~

QIr/!ff

Priet!:JrJ R"~

rllr#;wq

~dWl"

Fil. 4!1•

.,rt=

•

El diagrama de In leasioD. residual. es" coMthuido pOI' un. IInM quebrada (fig. 427). ElIte !ltl obUeDe, ""lando el diagt1lm. li· neal de la desu.rgl del dllgn.ma de l. tarp. tu tensiones reidual(ll mh:lmu 600,

ID

Qemp&o U.. 4.. BI ...11. d. la l¡pr.. na .. Oblilll', .nrolluolo .... f,io .J.mbl'IJobre l. moutw•. CaIc,I., el diámetro de II fIIOOt.u.ra D_ d. tal

'"

malle"' q.. dll!pu61 d. ta.rollo.d.o, el IDMII. knp el dlime1.To mtdlo oh l. 1$pinl da40 D_-25 111m. LIl IeCd60 del .l.mbñ .. tetl. .«ul." d. a1lu,. 4_

-2.,.5

IDlD.

O'l-~

k¡f/m..• '1 E_2.10" k¡i{lll .....

Supoai.-do qIM "" tar.IO de mntl6a d. l. "pi•• es peq~. ceDSid QlQI qllfll...,1.. ti.. IDlMI • es pI.'DIO. Seiú" l. collchd...... tun.'.... _id de l. . .pira ..,

, , -231!1l1ll-'· ,

• l

P;;-v.~. V"IDOS l. upl't:lli611 (12.t7).

s..

duo:ooou .1 ID(HIMPIO M qUfl eo ell. !I·

rur•. hr. datetllll...tlo, .,lbllDO!! la 1IIC...ci6n (12.17) WlllO sf¡ue,

(p:•. +12 :'vJ~)" ({- -~)-+ (l¡)',

•

(~+~l 12,10-')" (+-~)-~ 10-',

1.. 1D'1l.ltud

Wo; ...llW801"

elh por l.o\.eOl oblend.-c.. ,

.nln los

""1
t·

R"""¡ .. ieD(!oI.KU._

M

T-liii'Gj-O,~. 10·',

poi'

Ito

l~lIIuJ.

(t2.t4), el •.cIlo de w.Ulo,.. de! .IUlbrt !IOlId-

P-

Ji +-"~, I

p'

3~

•

d. donde l!lI obtiene ,_12.,05 IDIII. L. dlm'n,1611 de l. moolll'.... obU_. rulando de ..... m.¡nllud l. milld del .. p.... d.1 .hoxub••, ' ..... _12,05-1,25 ... 10.8 mm, D..... _21.6 mm. f.jelDplo 12.&. El muelle d.l reJol!'l febrice ••Ol'Ulleodo lIoe dota de .ccro en 110 ll\lcle
, ,

'-Z+fil'" ti.ndo r J ", 1.., coonlenadu polars (Iill. 4Zf. a), d, el di.6.mttro cid nÍll:'-o '1' el _pe,or de lo- 16111illl. Como el e5peeor d. la c/lIU1 • • peqllÓO '1 tl paso de l• .,pjral .., pw lo 1",\0, pequallo• • pUIlk conaId_ q.. el radio polar _Igual· al ndlo lk ni" uh..a,

p"".

dB l. lICl*i6D 112.13), .. ohlillllt lt 1Il1lg011Ud del _oto llector dvUII el 1Uf011am¡""lO. f ~(d "-Tt M'o,-'3" E;t T+S" . Eo~,

, )'

¡altodlKi... d...'1 la J. ecllad61J (12.11) obWODd...m....

P: =+-~+14 -3ii+ 4(ilf(f+s.,r T S~ E.a '.JIlWióD es l. __ <:16.11. qlM. blueI de l• •pltll.

1'1,.•29. _

l

'"'4""•.,

CoI'I .1 IUIMOto kl dlsllIlnll" la euro.t.... I'UIdllll 7 ~ lo.i¡¡lIal • cero para "",,,o valor de ,. E". qllic.. d.a. que en ata -.c:106n ln " 'n"DO euerior ......aWl '" l. CIIII.I., _ ""In 4.lorlll..,IO(Iu plbtj.eg IIr."to. .1 uroll.mie1Jw y pI!rtD.neee _ta.

.1.1.

t 81. hl'lllin ~ una blrrl ele ¡ecci6" trlnn...... clrClllar en el caso de e1efOlm_clone. plástlcu Pan investigar J. barra en el caso de 1, to.slónelálllico-pJ.hliclI es oecesl!lrio disponer del diagrama da le dlatot3ión del material, U decir, de la relaci6n entre el ángulo de dlstOrlli6n y y la tensión T (fill'_ 1,30). Con.iderllrem08 que disponemOll dI! tal diagrama. &sta puede le. obtenida medilllle lO!! ensayos. I lortli6n de tubO$ d. pII' redel! delgadas. En adelanUl dem03traremOll que este diagrama se pllede obteller tambléo, lransformando el dia¡r.m. común do lracción o-1ft). AdmiUtodo, como en el caso d.la lorsióll ,elÚlicn, l. hipólesis de las seceiolHlll pI. nas, obl.eod~m05, 1- pe, (12.18) ¡véase l. fórmul. (2.S) del. upilulo fll. 81 momooLO torsor IW l. ReCión seni,

CAp. XII. PrlltClplo. d,¡ dk ..l. tU 1I1r""'''''''' lD\rodllcim~ en esta expresión la variable y (t2.tS) en lugar del radio p. Entonces,

(12.t9) siendo

Y.,n = Re. (t2.20) La integral que figura en la expresión (12.19) constituye el mom"ento de inercia del trllongulo curvlHlleo OAB (lig. 431,0) respecto.l eje 't. En el caso del diagrama dado se f' A puede determinar proviamente en. función de y.... {fjg. 431,b).

Ir

o~L::ft¡}f''----r

Flg. UD.

FII, 431.

Ahore es y. fácil construir por puntos la relación entre el ángulo de t.orsión unitario 9 y el momanto MI' Fijando el valor de 9 determJnemoa. de acuerdo a le expresión (12.20). y.... Y hallamos del diagrama el valor de le ¡nUgral,

' .....

í""dy

• fórmula

para calcuJ¡ir de5pué,s, por la (12.19). el valor da M" Aal se obtiene un plinto de le relación entre e y M" flepitlendo esta opareci6i(variu veeesqbwnemos tooa lo curva 9=f (M f ). Cuando el mll~e.ilto es pequwi:o y la curva

'J Ti'" dy= I (y",..) DII lIIiI puede construir eou exaditud suficiente, recuuimosl a la dependencia lineal comun dco\ro de los Iímite/l de la ley de Hooke,

,-~.

,

1112.21)

Todall la.'! operaciones posterlorell para el establecimiento de 111 ley de distribu~ió~-de las tensiones en)a sección transvé",al dil,la barra pan, la detarmlnaci6n de les te!!.siones ~¡duales y de 108 'ngulOill residuales aOD análogall a lea que lI& anallzftlon en el parágrafo anterior para el taao de la floxi6n oe la balTa. Sin repetir aqul esta. operaciones, las ilustraremos 8ola-mallte eD el ejemplo siguiente. EI_plo n.6. El muelle cilíndrico olU"q!lado do la figura 432~ ,a llII compflma hut.l qua 1" espiru na entren en eOllta<:lo. Determinar el pPD del muelle despuis di lJ desc:lrgl, s1antM de elle ora ,-tO mili. Las d!me05loll«l del muelle

dfm

r: 1q¡f/lnm' 10 C)

O}

A

" 12

,• 11 8

.,m

O

a

Fil. 432.

IOn lu alguien"'; D=20 mm, d-~ mm. al módulo de la dblQl'ai6n G_ _ 7 700 k¡llmm·. El dl .. g.. ma de l. distol'5i6o del maleri.1 est.l dado por la curva da le llgura 432, e, eu.ndo al uiaolo del mu~Jle es igual a gna ~ap'ra AJ miamo ti&mp".

"'.=,-d. D

1, =T el, .iendo

1, la

longitud de la ...pira que ... igual a nD. "al

PUI'l!!l,

"

,-d= 2" Dl{l. De aqul "" ohlle.... el "',ulo de torsión uDHarlo e, qu. lIU'S" cuudo $e Junt.u lu 1lIlI¡ltru,

e=~=o.ooos> mm-l•

.,.20'

lksp.wa

SIl

Ohllooo,

,

1'..... ~7 e_O,UI91,

C12.221 llO.

11 aiamD...

C.p. XII. Prlnclplo. do! <41cui
Ublumosla magnItud de '1'"... sobre el dlai,ame da la dialorelólI lIii. 432, el y, dl"ldlondo el área en parte:!!, .eleuleaun el momento de inercia dol triángulo QAlJ reapecto.l eje 't. Una vel rMllndOll loe ciOl...l()S obtendnlmos,

'",

.

S

,y'dy- 0,455, 10-' L:¡(¡mm".

•

Halllroo., oor la fórmula (t2.1Q), el momenlo to"",r, u 2:1. U,455·1O-· "'1= 0,0ó9W 328lrgl.mm y por le f6rmula (12.21), el ,"gulo de 10",160 unitario eo.ruooadleale a lu delormaci(lIlOl8 elá~lleu, e... ",",0.00110 mm-'. 7-100

'"y,l

Hallamos abora l......upoor.cI6n. elbliea del muelle d...puú de l. d"""",.8'" O.. la e.o.... i6n (12.22) obtendromO/l,

.,.. -d="2 " 2O··O,OOt70_I,U7 mm. El p."" del ""-"Orle si"á

'f.. _I,01+,,,,,~.07

mm.

Para mlYO<' plenitud .deulemon la ley de distrlbud6n de las \.elL~jon"" m.lduel... en la sección trln."orsal del Par. 0110 <:O"'en:ul "'os por eo""truir

...,.,..rte.

el dlagrnlll. de I~e ~nsloDfle eorreepondlente .la earg•• De a<:uerdo ale u¡Jr".IÓn fU.t8l .•1hgulo de dlatorslón a la dletaneia p del <:enlro del circulo !ler~. v_ O,OO95Sp. ~'ijaodo dartOli v.'oree de p calculamos la tall$f6n 't y, puoto por punto, ro",l.u;· mOll el dl.gnlll' dllla llgur.~. 6. Do¡ este dlr.¡rama M ....teolllll tellelones que "" obUenen por la f(¡rmula de la dll8Carga elbtia.

'-¡:-~ Mi _I,3Op kgf,lmm", , "'-1'" La dllerenela entre lila tllDeiolles de Ja car¡e y la dllllCeral 0011 dará la magnitud de lu t.lneioDelI ....idu&1es (Ila. 433, ~l.

'"

8 82.

Fundamentol del dlcalo según el mélllclo de las cargas Hmite& En los eálcuJG! de la rll3istencia de las estructuras el mis difundido es el método de cálculo que parte de las tensiones. De acuerdo a aste método fueron eXpullStOlS todos los capltulils anteriores del CUI1'!O. Sin embargo, como ya se ha dicho, éste no es el únlco,método. En una sorie de caso!! es preferible intrQducir el o'lculo por caro gas de rotura o por cargas límites de las CUIIJes las cargas de trabajo constituyen una parte determinada. La ra~6n entre la carga lImite y la de.lrabajo illl denomina coeficiente de seguridad por cargas limites. Su magnÜud se lija, como generalmente se hacll, en función de las particularidades de la estructura que 18 diseña. En Jos problemas que 1I.1I11lhemoo en este capitulo ya tuvimos la oportunidad de famillarl~arnos con al concarlo de carga limite. As!, por ejomplo, en 01 sistema constituido por tres barras (ljg. 412) esta ruena resultó .'!Ier,

P II .. =o,F(l +2cosa.) y en el ca.'!lo de la barra de sección rectangular el momento l1ector.

MIIID=t °f bh '. GeneraliUlldo Jos resultados obtenidos se puede decir que se entiende por carga limite, en el caso g¡¡neral, la carga que agota la capacidad del sistema de admitir earge creciente, o ID carga qua origina variaciones lan considarabll!l1 de las dimensiones geométricas del sistema que ésto deja da cumplir las funcion89 para las que ruo diseñado. La manera más lácil de asimilar los métodos de determinaci611 de las cargas limites es analizar problemas concretos. Veamos algunos ejemplos. EJemplo n.7. Determinar la cerga de rotura en el cuo del "¡st.ema de tt'ft _ _ Jlll. 434.) considerando que el dlagr.m. do tr.eel6n de lu barras tiene UD tr.mo e comalid.clón y qua la rotura OCurre cuaJKIo l. 1eIlS'ón 8 O" (11g. 434). L. ecuad60 del tr.mo eU.sllco del dlagralll. es. o=E. y la del lremo d9 comalid.ción,

o-ot=D(e-e,l. COWllderllem"" carga de rolura aql>l!lla que coadllte al r,lIo de la berr. eentral. Esto ocune cuendo el alargamIento e, es Jguel a ec' Calculemos el .l"'s'miento e, que en ....Ie .a'lO aparecer' en uda una de la!! huas laleralas,

tJ,_61.coaa.

...

_.

,,~-'­

e,,=I,<:oI"Cl. Ea decir, que m .. m_anta .- l. nll.ara "- b. UlT1l ceal",I, .1

oS. 1M lJ,t.alM ..n..

.r.,...

iealO

ti.. Qt.

6,

tu !.IAlionl:S .fin l&a IICallal.: .. J. bf.lT1l cen'",l a, ""1 + D JI, ceo' CII-IU•

•

0,. '1 8D In r.to.. 1e.I o,

.,<:01'<:1>1.1

• "

0,_&,0:0:0""',

.,cc."ll:<'" Pu._ o ,F+20,'_
loltvdllCieo6o o, baJlIl'IlD-,

po. _0'p+2o""_,,+ UD (a, _'''-IUCOllIl

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1,_'0>11> 6

po.n

"'_'0 < aro

P_ _ DrI'+ZlU·.. _ · "

E)ec¡l'" IU. o.t«lIllau La carp IIml&. p.at. e1.w.mr. da 11 ripl"l US, l . S. laPO" (U l. "ila. rflida '1 ~ Iu MITU 11IDtll lJU11 -.ión \n_..... lIOD del llllSllllO •• tulaJ. "'ro d"agraml u Lr..xI6..... n~w1o la i¡rur8 4M, ••

l

""

Si lumentamOJl p.aulatlpllD6nll l. luern 1', 'IUilIlPtadn también los e3'ruenll!l OD In ba.ru. CUlodo.18 .taTia ad'l.ul... cierto valorla11uI16n ID l. barra I (o In,ll. bar,... 8 y 4) 98rálgu.1 a 0,_ 'Eau Dose.á sin aml»rgo l. etrta limita. S••á lhnit.el. Clrg& origlna,detorm.eiones pUaticu-apreciabln ID l. barra Z también. EutoneN" .["tem!, se convertirá 111 UD meeloufamn y l. rlg•. ""mn, un cuerpo rlgldo, giru' ~peet.o.1 ¡>unto A o B (mb .delant.e VtremD! con 'Upe<:t.o. eoal de ellol 1'1 ..., l. bar••l. Suponga\llOll primero ¡ua el 11m.Jte d. fluenell lJlI .ltaola en ¡a. b..iÍ'u J y t. En\OOee.l, plaoteando a'.um. de los momant03 da todl.lu fue ..... rellpeclo. al punlo B (fill. 436, al detllrmloamOll. carga llmi(.e._En ~e caso, .

lile

,

u¡F2tI+o,Fo_ P "

t6,,r

tcJF F

•

f ",p

•

,

"'"3
A

•

'! Fil. 4ae.

d

, "'" '1?i1I-

l,d '. 'h b

Flg. 431.

AnallumOll ahora l. eagunda varlanl.e. Suponemos qlUl ~Ilfmite de nuenela Y planteamO! la slIma da lO! momonlO! ""'l"'Cto al punto A (fil[' 456. bl 4 , 0IP4a coa ~ +01 Fa - Pllm:¡ a, Pll"~4 olf (1 +4 Cln a).

te aletnn en lu baTraJ 2. $

y"

Oe l... dO:!! valo"'" da pu...obwnidO:!! _ogamO:!!el menor. Independionl.emenl.e del valor deo:. el Mguodo valor da P'lm !ler' el IDIIIOT. EJelllplo' \2.9. Dol.erm;nar la "al1fa llmil.e para la viga do la nguTa 431. La """,ión trannorsal M reclanSllhu y 01 diagrama o. GOI'ro!pondionla a la plulieidad ideal. Pare ...."I"or Mio probl<-ma y otros ... moJantes 1 '1. cOnviena introducir el eOIlCllpto do arlieulación plhtica. AoallcemO:!! el proee~o de propagacióo de ti zona de lu derormaeionn p'." ticu.o la viga, al aumaDl.er la "al1'a. Lu delormaelone.s plbtltu 5II'len prime. r&lDIntllllD loo puotos situadO! sobl'l 115 auperlieies superior e lnfenor, eo la. lIl
C..p. Xli. Prl1tdplo. dtl c4kulo dr Ulruct"'u ~hno,

lu

~oou

plbUeAS "., uoen, como lISIO", "'p"'!leMa en le figura 438 por

11 UlUlI de pilO loa. Bntoncea las deformadoo"", plbtl~ae abarcar'" \.oda la Metilio y el momeoto !!ectoren ella aJeAnu.á .,i al valor I[mila. Como se damoatró lO

IllllO, ID al

~18O

de uDa sac:e160 rectangular.

M\lm~+O~" El momeoto flector no puede aer mayor que el momaoto Hmlt.e. r.. 8I\CCi6" donde SlIrge el momento Hmite &e puede tnt.erpT'llta. tllmo 11'" a'U~ulaeióD eon un momeoto oonel&nte Ori¡IMdo por la frieelón. Eet.a utieulaelóo l1li deoomioa

p

a.tleulael6n plbUca. Está.claro que si lI.lI la viga o en el p6rUoo aul'lfOo va.ias articu.laeiones piáltl~u, esto! aW.emu !le pueden convertir eo meca ..lsmGil. Volvieodo a la viga eo cumi6... vemO
M,..

M,,,.

t.

Flg. 439.

equlHbrio de la mitad rla la .lga obteodl'1lmOll, p

,

4M n.. IIm=-,-

(12.23)

""

Pllm=OIT'

PUl eomp~t.ar el ajemplo enalindo, e.n l. Ug~ 440 eal'.. ddu••Igunos .131ernu blpe....,UUCOII y 105 OUlOllIllsm08 .rtleu.ladGil_c:
En el OASO b)

111.=

3M'I'" ¡ .

'" Ea .. cuo d)

2Mn-I+a

flr.- '" r=;' l.e ....nitotd dio • ,. eI\lIbl'_ el.. 1.1. wlldldón del mhimo 01.1 m_lo fl.etOl' ea 1., utlclllaeloo• .4. Svpolliepclo que. la 'alltalKie • d. los apoyos ... p

l MU.

MU..

44".

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eor~nte ll!I

Q_O, able..d... m.... 1J_/(y%_l), qll..... 2~~I!"(Yf+l)•.

Al va..l•• l. con/'if\ln.tl6n ... 1. _16a l.n¡gyena1 ... esto erpNal_ u.la .oI.....DW l. m.,..itlld da Mna.. .

"..-plo

U.IO. Del.erml..... Mn. P"" W _ 1 _ tn,,"__ l .. (;1"'111,.

)' UiloevJar.

E. los das...- la tollol de fi.-.ela abare& lO4-.!tI _io. (lig. 4411 r. por ID LIDIO. el 1lIO_1o U.lla .. íp.Il al IDOll>4lDIO up".,do poi' la te....s. _ ....nte Dr Bo.1 ...",. del clrw.lo.

"'"

/IIU.- 20 'T c•

.00 Mil.. "" ~ 6 .

En el e.tI:ll>'~c!,;n del.le dh';&orio. &Il decir, la magnItud de "" taLa !Ill de.l.ermllla del. cond,CIón de igueJdad • cero de la fuerta DomnJJ (lO l• .....e<:i6o o de le lll'ualdad da

de 1, 10M ~perlOl' trae
J~

!tns

FII, 441. El mnmento límite 811 Igual .. rrMpondlenta .. las dOll 10080,

t.

lIlupa de los mtlmetltOll de 11$ luerzu coo

MlloI=+o~'(I-

r;).

I 83. Fundamento. de la teorra de la plasticidad Huta aqul heIJlO$ analizado los 8!ltados (ensiuDlllas más simpl~. AOlllidbamos solamente la trece Ión o comprEl/lión axial y la distorsión pura. En Er.!tos casos se COllllid.raban conocidas las característi· cas del material en el estado t.. nsional corNlSpondiente y, por lo tanto, la solución de lO!! prohleID"! no presentaba dificultades de principio. Al pasar I problemas más complej(lll surge, ante todo, 111 preguntll de cómo relacionar allaUtleamente las ,'enslones y las deformado. nes en otr08 estados tenslonales y, lo que es muy important.&, cómo, conocleodo lOi!l resultados de los ensayos de la probeta a tracción, aplicarJoo a 1019 cases de esllldOll tensionales complejos. En el dl)Dlinlo de las deformaciones elásticas" est.o problema se resuelve relativamente fil.eil. En la tl'llcción es válida la ley de Hooke, en su forma más simple, IJ=Er.. En _el caso 4.01 estado tensiooal complejo las relaciooes Iinealllll de la ley ~neralizada de Hooke son, 8s

=T, [as-.-{a,+a.»), 1''''=0' I

"61 'u

8"_8 [a,.-!-!- (a.+ a.JI. 1'0$= G' 1 ''"' 8'=7(a.-.-(0.+a,IJ,I'.,=-(["

(12.24)

Lu coMicioRes de palla del es~do elás~ico d plástico Se pueden obtener por las f6rmu.1u, de una de 18s hip6~ll9il1 del estado_ limite. Como sabemos ya, en 1'a actualidad eXUlten, varios criterios que de-terminlln el plISO del estedo· elbtico el plhtico. Los más acoptablll9 son; la teoría de Molu de la cual. se deduce, como un callO-particulaJ:. la hipótesis de las tensiones t.angenclales mbimas.)i la hipótesis de la energra de la variación da I~ forma. La más c~mOda para la elaborac'lón do IU' relacion83 de plallticidad es la última. Según esta hipótesis!,l paso del eatado elás~ico al plhtico ocurre cuando la ¡pagnitud.

ClI_q.. Veo,

0",)'+(0",

0"..

)1+(0"~ a,)1+6(T'''"+~'t:''+~:6)'

(12,25) denomlnllda In~n$fdad dL bu tendones, alcanZll. el limite de IInencla (véase el § 58). La magnitud 0"1 en el este do elástico se puede e;l;presar a trav~ de las de/ormaciones, mediante las relaciones (t2.24). D6!lpuéll de ciertas tUflIlformacionM !8 obtiene,

0,=E 2(1 ~ "j

Ce, - e,)' + (e. - e..)' + (e.. - 0,) + i(y;. + y:, + y;").

Designamos ¡ff

al =!'(T+jij x

){

r--,,--:-:--,,--:-:--.,---,--,rc----:---,.(a. - e,)'+(a. - a..)' + (e.. - e,)' + -r('l';'+Y:'+i'M (i2.26)

y denominal'(lmOll esta magnitud inlmsldad de (as dLjorrruuirme1l. En eJ estado elástico es vlilida la relación, 0"1- Ee¡ (f2.27) que se puede interpretar como una de las formas de ls ley de H ooke. generslisads. &1 necesario establecer ahora la filiación entre [as componentes de las tensiones y de las deformaciones 8n el estado plbtlco. La determinación de estas relaciones y la solución, sobre ls base de las mismas, de toda una serie de probhlwas de la mllCáoica de loa cuerpoll continuos constituye el contenido de la- teorla de la plssticidad. tu relaciones entre las componenteB de lae tensiones y Ile componentes de las deformacionos en l. lona plástica deberán ser talos que, en el caso de deformaciones elásticas, listas se convlertsn en relaciones (t2.24), Pern esto no es suficiente. Es necesario tamblán que de estas relaciOIl08 de plasticidad ae puede deducir la bipótesis de 1011 estados tensloD8les lfmiles admitida Elnterio~eDte, es de-

clr, en este caso, la hipótesis de la e1l9rgia de la varlacl6n de la forma. Entonees laa relaciones que 90 buscan constituirán una amplificación 16gica de las leyes establecidas con anterioridad. Para In leyes de plasLlcided convieno escoger [a misma forma de escritura que para las leyoo de elasticidad. Entonces en logar da escribir IJ=/{e).

siendo ICe) una [unci6n dada gráficamente por el dillgrama de tracción, podemos e&eribir, d o"", E'e, (12.28) donde E' se coosidera función de la deformación e. Del diagramll de la figura 442 se despreode que E'_..!:.

•

f111. 442.

Cuando las derormaciones son elbtic&ll (fig. 442)
Al puar al estado tensional complejo seria muy cómodo gen&nlízar de la misma forma las relaciones (12.27). admitiendo o/

=

E'el'

(12.29)

aiendo E', también una magnitud variable. As! 116 obtiene una relación única (12.29) para todos loa upos de estados tensionllles, En el caso de las deformacionoo elástiCa! la expresión (12.29) se convIerte en (t2.27), mientras que el paso del eslado elbtico al plásticCl se caracteriza por la igualdad 0/=0,.

Segjío J¡1'upreai6il (12.2.)) se obtiene as! la hlp6tesi! de la energía de li variaci6n de'.JÍI.'rorma~ Gran cantidad de'eIperimentOll, realizadCl!l para comprobar esta supO$ici6n , demOlllraron que es válida para una clase m'uy amplia de CQSCl!I concretos. ' Asl PUe8, queda ;ootablecido que la' funcl60 tipo (12.29)

de-pendellSebclalmente de 189 propiedades del material y ealli no d&pende del Upo del estado tensional. Esta afirmaci6n sirve de punto de partida en la teorÚl. de la plasticidad.

'"

La segunda 511P9Sieión de la teoria de la plastl,cidad la constituye la condición de que la variación del volumen,

lf-e.. +s,+t. permanece completamente elástica. Esto está. en huen8 concordancia COl! 10ll «l9ultado:s de 10-' Ilnsayos. Incluso con las pJ:elliones qUlI nos

se

proporeiona la técnica moderna no cODslgue, en el caso do compresión triadal, la llpllricién de deformacioDIl!I plásticas en el material. CU8udo 80 deforma el material, las deformaciones plástl!llL!l,

COlpO

regla genera!, son mucho mayores queJas elásticas. Como e es una magnitud del mismo orden que las deformaciones de los /llargamllmlos elásticos. generlllmenle lIe adroite que, du.rllnte las deformaciones piá'lticas, el volumen varía de mallara irulÍgoificanle. Entonces, al elaborar las f6rmuJa9 que relacionan las eompooent8!l da In tensio· nes y las componentes de las defonnacione9 eo la zona plástica, Sil admite

,

¡.l.-"2'

Planteemos ahora las relacion8a que MI buscan. Indiquemos, ante todo, que en el caso de tracción monllaxia.l, cuando, o~=a. ay-~z=-t,.=t.~"'Tz,=O,

tz ... e, ...y - .... <2-¡.l. .... Yyz=Yu-Yz,-O, la Intensidad de las t!lUJJiones (t2.25) y la intOn8idad da laa delormacion6S el (12.26) se convierten fespec"tivameut.e eQ (1 y .... E:s decir qua la expfll3ión (12.29) coincide COI] la expresión (12.28), siendo esta úhima la expresión analítica da la curva del diagrama común de tracción. Pero, de ecuordoa la primera suposleión deis teorla de la plasticidad {t2.29) ll3 única para todos los estados tensiondoo, Por lo tanto, en nada se diferencia de la relación común deda por el diagramil de trllcción. Es necesario solamente colocar aobre los ejes de coordenadas no a y e, sino y ..., ('ig. 443). Entonces obtendrem.os,

"1

"1

E'=!!f.

"

.

89 decir la magnitud del módulo variable. Escribimos libare de manora lI'flól.ogll a las exproaion8!l (t2.24), laa relaciones de plallticidad,

(12.30)

... doDde E

G- 2(t+I'¡ le

Uloaform.ll, teniendo ID

CUlllt.lo

,

que ji""'!.

elI

dlleir,

G'-.fE"-~. L", relacioOllll d. plasticidad BJ:PUestu no .\Ion absQlut.lllentll .:netas, pero .e eonaidllran jusw. por lo menos, para 1l1li tipos de eolieilllci6n cuando llllfuenu uleMar., durante el proceso deearga, cret.en proporcloollmenl.l a cierto perimotra, por IIjemplo, .1 tlempo.

Se puede d8IDOlItrar que.en este easo los e" principalrJI del IIlIl.Ido t8l1J1iOOII, ,1 yui., lu fuenall oteriaree, manlilllllO IU dl~6n. Esle tipo de defOflll.el6o se deoomiu dt{OnlUll:l4n rimpk J el tipo

da urga, carga Ampk. Ve.amos Il,uOIIII oJemplos de deñO!! problemu, pUl l. aoluci6n de los cuales es oec...rio el .pardo de l. teoríe d. la pluticided. E)etIlpl" 11.11. Al f'IlfOlnr .1 probJlllll de l. IOrl;6" elbtiW"lu.ltle. di 11M barre d. oec.clóo trllltversaI emuler, ellocamos con 1. oeusld.d • diapQU\:f del ,U'Inma de l. dlltonli60 del mete,l.l 111 el dominio d. 1.. dlfo.macloo.. pl';"lica•. Ea". dlagraulI le puada obt.l!ner o dlrectaqlenUl del 10111'10 a tonlón ... ~'allS1'orlllaodo el dla¡rama de t.aec:lóo Illadlantll.. rellciones de plutltldad. El probllma .. plao"'a da la lllaDefa alguien"': dado el diliTalDa d. tr_ d60 '1_( (e), c:onatrulr.l dlll'lma d.la dlnonlóo (.,l. R_rrimoa a lu r6'rmlll.. (12.15) , (U.2e), En. euo d. l.raeelÓo 'l/_O

T-{

, .,,,,,•. En la IIIla\onl6n,

IUpol)1llldOJ1,,"~' •

obU'1llI or-"I"3,

a"'-k.

e.

_la retalCi6. cr¡-I (Ii), .. talea p&ra todOl 1....tOldo. "'"aiollll. ~I ... que Iu relec:lo_ "-1 (al' .. t'3-1 _ld'.IlUcu. Le ,,,.M!"Ot1lllC!Ú d.l dlll'..... COIISbte p".

(-h) 10 le limple ..,,,",,&ló_"

'1 por

'IJIJ ,lile

a ~.

Para oIiUlIlel" e111111l'.... del.distolnlón ee-..sarlo IDeada pOllto del dlq",_ d. lrICcl6n dl.ldlr U. ord..a.6a por Y3 y ••Iltlpllcar" l. IlI:Io.i.. !.amblh por Vi' tlll. 44t.).

·..

Elempl" 12.12. D
nia' y cireunfal'llnela¡ en 1..

_*'

plJ'l!dOl:!

"del etllodro 1011,

0.. ="._*.0)'&&01 Seg,;o la I",.mula (tz.30) •

•

,,

;.flt) A

jo l

1,

(,,{Ir)

A'

,1/ 1j

'.y

'IJ fl;. 444.

Fil. 445.

, ~omiJ1 1

, o

V 1

,

"

Flg. «6.

El lum.."lO del dUmetro ser'. !lD = De,

=.!!L pD' • II 01

/1

(12.31)

C..p. XII. Prl'l'll:fplo, d,l ,dlc~l<> d. . . Irurl~r...

o..

la 16rmula (12.U» llII

"bl¡~n.,

DI_VD:,

•""'-,-T. va pO

u.",+<>,

El <>rden d~ wI\lltrucci6n da Ill. rfllaci(m t"lre AD y la pr'8ióll p es elsigu!eote: H¡ondo .. n valor de.p llII obtiene 01 '1 d..... p.. &!. del di.gr.",. del 8n...yo. e¡. Do l. uplUión (12.31) haUamo! óD '1, pWllO por punto. se construye el di"lfr8o"'8o de l. rel.dÓn eu CUestlÓll (rig. ~~6). LI solución obUlnid. es v';'Ud., e1.ro 1.'S1.á, cuando .... trata do Vllor~ pequeIi"" de ÓD 'fue.oon despreclobles en compor.eión con el diámetro D. De lo contrar;o, ~r¡. neceaarlo en 1" uprninnes de o.. y 0 1 c()~id,.ar la variación del dhimclro. Ejemplo 12.t3. P.... oblener l8 101.'" de Ir onda d. choque 'fue surge duraDie un.. npl05ión se emplean eao Irec1l81le1. mombraou finu de plomo (fig. "7). 6 ... jo la ...ceió·o do la pre81ón, lo membr.na "",Ibe c;or~ flecha l"O'Siduol '1 por 1I magnitud de ~ta ge jutga sob", lo llleno do·u. onda. Deteermiolr l. relación entre loneeha de ",la. membra"a '11. pl'G!llóo.

I Flg. m.

Flg. 'l4J.

El problema.lll ~elve de manero apro"lmld', supooiendo qllo In tensiod"trlbuyeo '.lllilormemeola.n el C9peaor de la membrana y q\lll la lorma de la membrana rlnionada 38 .prodma a 1I0a auP'l.';cl~ e,r~.jca. Este !U~¡­ ción, !;n afectar cooaiderablemento o lO!! re""had08 euantitaliv09. simphflea en pao medid. la ""ludón •• D",I.iD.mog· por p el rdio dlI CllJ'VIlIlra d. la. superficie calérlca y por ", la mltod del !oguJo.. ceotral del segmento (fig. 448). ESI! claro qu. p=lI¡sen a Ó. lenlendo en euenta 'fUG a ea \lnl magnilud vaqllena,

Da

!e

p

•

""Ci'

silollo
La oolu<:ióOl. nICte del problema perlenoce a A. A. lIi.... hin y .... npon.. lO su libro .Pk..,!<:ldlzd•• GOSI.ji¡dat, 11148, oo' ruga.

183. lo. ItD.loll8'l

'"

FUn¡W"""I.' d. /.d I ••rla dr /. plaJllddlld

m~rJdJonllell

y

clreulÚ~reJlcilll".. ~o

l. memhno. nito.

~ ".' o.="j=2iI=7Jl1'

(12.32)

Per último, IQt alal'tamio.llt~ eo Jo membrana. plUlliilD oht.oDet por 11 d" ... reueJIl eotro 11 lonlfltud d~J ateo AC y la euer.dll AB, ~ psena a" :l /" t= . p""oa ~1"-3 (12.33)

aro

Vta.mo! IIhOrl JIU relacionea de plllltleldad (12.30). Admillmo! que 0,_0.

Enlol\C
"~_". y

",-<1,.

t.-~(""-}"r). 0'=:: ("'-~,a~),

do dond. . . ohlle"",.

".. _~;;(o.+~t,),

o,-t~:

(ot++t.).

Inl.r<>llucJendo o. y "1 ~u l. tarelllll de tu UPNl$;Ooes (12.30) hoJlam~, ".""- (t.. +tl)·

IDlroduclmos ". on la upreslón d. II ;olenaldld do la duformleión (12.211). J;nlor>U!l,

Puo t .. =tr-t y, por lo lanlo. 01_2.0 o, de ocuerdo a lo upl'ellión (12.33), 4 ¡,

';-Tao'

Por últlrn", !eniend.. en cuenl. 'IUf 0._0 yo... ",. la de o; (12.25) .. reduce a 11 algu;.»Io, ".'

O¡=".-W· !
1l2.:M¡

lI~pnlOl6n

;12.!i5)

El orden a 8elfulr ¡ara la conatrucoJ6nde la Nlllei6n que Be bullCl. ea el.iguion· Se lija ID f1e-¡ha Y. P'" la f6rmula (12.3'1, sauleulD t{. S. delenllina dc~

pu69. por.1 diagrama de trlcolón (J¡= 1 (ti)' 11 magnItud d. (JI y. por II 16rm"J. (t2.351. la pn.. !6n p eorre.pondieo1e .1111 ""he Ildmitldll. ""¡, puolo por PUUlO, I;\l eooatruye eJ diagr¡ma en cuesti6n.

Capflulo XIII RtSISTENCIA EH EL CASO DE TEMSIONES QUE VARIAN CICLICoUlENTE

§ 84. Notrones sobre la resIstencia I le I.Uga Muchos de las pie~ils do: las máquinas, duuDte su traboJo, se someteD a tenaioull!! que varlan en función del tiempo clclicamente. A~l, por ejemplo, las pleus del mecanismo de bialo y manivela del motor de combustión interna (fig. 449) se encuentran bajo la acción de fue... us que varían periódicamente. La ley de variación de estas fuenas

,, ,, ,-,, p'

,

P.

5El datermina por el diagrama Indicador y lu particularidades cinllrn'tlcas del CllOOll.niamo. El .eje del ve.gón que giu junto con las ruedas (fig. 450) t,1mbién 10 somete. 8 teD!liolies qua varlan cfclJesmente suoque las fuerzas exteriores maniienell su magnitud. Esto ocurre como resultado de que las partlcula. dal eje en rotación se eDcuentran, alte!'nativsmente, en la IODa de tl'$cclón y en la de compresión. En la figura 450 1lo4Itl! representado el diagrama da loa momentos f1OC~otllS eD el eje del vagón. En el punto A de le sección trarulversal

.. In,.

451,11),

a --r;:-MfJM' La di,tanela 11 del punto A • L. lfUN Mutra nria en fune16n del Uempo como ai¡UI,

• '-ZlMUlllll'.

sieado tanto.

0),

l. ve10eldad angular de rotación d. l. rueda. Por lo

Po.

o(t)=~••n"'t.

•

All PUClI, la tenllón normal en las aoeclonll!l del eje var!a gún la ainu80lde de amplitud. PoD

118-

0.-21; .

(fil_ 45t,b). Loe eMIIYOl demuestran q\lO, cuando se trata de teMioo• •!ternadaa, después de cieno número de cielos, puede ocurrir la rotura de l. plell, mienuu que cuando actúa l. mbma tensión y permanece invariable ll1 tiempo tal d..trucci6D DO OCUlTe.

El número de cielos huta .1 momento de la rolura depende de .. ml¡oitud de a. y vlrl, entN IlIIpli05 límites. En al cno de gnndfl!l tenelones, pan'" destrueei60 Ion necesarios S-lO ciclos. Esto .. puede observar hien en el ejemplo del treno de allmbre que l' dobla

~ .~

"'_ 451.

repetid.., veees (fig. 4(2). Cuando 11l1l t3J1.siones son menore!, l. pieu resine millones y miles de millones de cielos y eo el caso de tensiones meDO"'" .ú.n, puede trlb.jar un tiempo infinitamente llIrgo. Despuk del faUo, In l. superficie d. n:JLura de l. piau se disLin· ¡uen ¡enenlmentedos tOOU bieo definidu (fip. 453 y 4(4). En U1\I de .Un, 105 crisLll1!I!I SIl puedlJ1 ver a simple vlst. COD gran difieulttd. L. mil'.lOl5uperfieie de rotu,.. es lise_ En la otra. tona, se obllen"O claramente lall huellu de una. rupLura fl'gll. Los crist.les tleoen ClntOll pUDlilgud(lll y una .uperficie limpia y brilllDte.

...

c.,.

XIII.

R"hU,,,,,¡,,.~ .... M

I....IU..

)1

FI._ UZ.

r.. primen ImprMi6n _ que _te tipo d. f.1l0 15Uo nl.donado con la ".rilción d. l. _troctu,.. c.rilLlliol del metilo AJI se explicaba, • IU tiempo, l. d.lruceioo en el euo de tensioDN c:klieu. Elte fenómeno l'Kibi6 entonees el nombre de fltip y l. direcc:l6.0 de las iov.lipelon. rel.elopadu con la resuteoeil, nd,tmclcl

'H

11 UI !atllO. Despu& v'fi6 el punto de "iBla lIIobrt Id CAU!I&' de l.

deslruceión 11 l. fatip. pero se mantiene 1611 el t'rmioo. En l. actualidad le h.I demO!ltn.do que durante las eargas del!eu no nría l. l'!Ilruclura del metal. El comienzo de l. rolun tieDe un nfkter puramente 1
'"

C4p. X Ill. n"¡,le",,UJ ,,,

cu" dI un,I",...,

gar ~obre la dirección del desarrollo de la grleLe. Generalmente se ven e/aramente In lineas del frenado (.d69Ca~) de la gritlta que estAn relacionad u con la variación del "ghnen de trabajo de la pieza y con la de laa particularidades de la estructura de.! material en la

l>OCcUm. El anll.llsls teórico dll le resiatencia a la fatiga presenta grandes dificultades. La naturaleza de la destrucción por fatiga se determina por ¡al! particularidades da la estructura molecular y crislalina de 1/1 materia. Por lo tanto, el esquema de la materia continua que se aplicó con éxito en IQ.'I problemas que hasta aqul se analisaron, en IlIIh caso concreto DO pueda servir de base satisfactoria para 118 iJw8'ltigacio-

"eII.

Para cmr Ul)-II: leorla suficientemente orgánica de la r\!llilltencill a la fatiga l!lI.nece.'Jjlrio penctror en las particularidad8ll de la estructura de los cristales y de" lu Iigaduru entre los cristales y recurrir despu49 al aparato de la estaiUstica y de la taoria de probebilidedes. En la actuelidad, /lin /lmbargo, loe fundamentos te/iricos dll lit leorle del cuerpo s6lido no l!ll encuentran en la etape de desarrollo que permita crear J03 métoo03 de dlcll10 de la resistencia a la fatiga. & por esto que resulta necesario, manteniendo todaa laa aupoeiciooes de la mednica de.! cuerpo continuo, ir por el camino de la acumuJael/io de datos éxperimentalea que, en /lU conjunto, permitan elaborar laa reglaa pertioentea para orientar los cálculos. La agrupación y silltemlltiueión de 10Il det03 experimentales const¡~uye en la ectualidad el contenido de le teoría de la resistencia a le fatiga. La falta de sUpol'liciooe9. fijas en arta toorla impide que S88 éste une teude rigul'08l. Las depeodenciaa obtenidu experimentalmente no Ino pues unlversalea y loa cálculos dan una e.xactitud relativamente pequeña.

i

es, C.raclerrsticas lundamenlalu elel Ciclo

y Irmile ele ruistencla a la laliga ComllDcemos por el caso del estado tonsiooal monoaxial. La::ley de veriaci6n de la teIl5i6n principal o en función del tiempo 8IlU réprllSllotada" en le figura <\55. Las tensloDes máxima y minima del cic.lo son a.... y lJ"'ld. La rnón de estas lllll.9iODll9 811 d'enomina e~/tc4nte M Q,/lrn!/ría del ele/(¡ (t3.t)

Cundo 1J ... x" -a.. 1d , r::. -t y el ciclo se denomIna ciclo ,/mi/rico. .EIle cjclo ,ocurre partIcularmente tlD el, ejemplo analizado anteriormente del eje de rotación del vagón. Si lJ"ld""O ó lJ .. =0 se dice que el ciclll es de pubaci6n (lig. 456). En este cua r-=O. En calidlld !le ejemplo de.eata cIclo le puede señalar la solicilaci6n de 1011 dientea d!l" le rueda dentada al transmitir un momento.

d

d

--8\7\1\. JW J[][]][][i1iL """

I

t

51'

Los ciclos eoo igu.lee uponeoteli de r

H

danoroiNlll delOll ...

~jfUlU6.

CUllquler ciclo puede su intN'Jlr8\.ado como al resuh.do de la auperpllllición dela tenai611 WMtante 0. y la tensl6a que \'arlaaegúo el ciclo simétriCD de amplitud (1. (fig, 455). EsU e1lro que (t3.2)

El prOC6llo de formación de la grieta en el CIlSO de t~ionell aiternadu ll!!t' rtlaclonado COII la acumullción de deformadones pll\.sticas. Es de OIIperar, por lo tinto, que la resistencia a la fatígll se determina solamente por 111 tensiones máxlml y m'nima del cielo y no depende de la ley de \'uildón de las tensionl'll dentro del interyalo 0. . . -(1. . . . Por lo tl4tO. 1011 ciclos reprtll!illnt.dos, por ejeJoplo, eo l. figW'll 457 8O/l equl.,..lentM. Como lo damuestran los tn5loY95, la influNlcil da la frecuencia de la \'arl.ciÓn de Ju tensionl'll tampoco líeoe importancil. Asi PUI!I. ptrll jUlgar IObre la resistencll I la rl. tig. en el CalO del cielo dldo " IlUficiente conocer solamente los y.lol'ell de 0 . . . y 0.1. o 0. yo•. PuemOll ahora a lea c.ar.cteristícu de la fatigl del material. En el Clao de tensiones elcllClls .quéllu se detenninan mediante snuyos lllIpeeiales. Los mis difundidos son JOII ensayos para el cielo simétrico. Aqui 811 recurre generalmenta al principio de la tlulón pura de la probeta ao rotaci6n (fig. 458). En la figura 459 se ye la fotografia de la miquina p.ra los ell!layOSl de In prohetu en la f1ul6n pureo La prohet& J tie rija S(lbl1llos mandriles uleMihl1l:! en rotaci60 2 y 3. Elesfueno ~e origina por el peso colgado de 105 grilletll:! 4 y 5. El número de reyolll(';ionee de la probeta se fija e.o el contador 6. Cuando se rompe la probeta, el motor 7 se desconecta automílieamenta por el bot6n 8. Para loe eDNYos eo al ClIO de ciclos uimelricoe se recurre o a O'líquiau especialll:! o se lntroduun disposltiYOS adieioDIIM. Asi, por ejemplo, M puede establecer en la probeta que ~a euaya un reIOr1l que orlgioe una traccl6n coMtante con una tensi6n Igual a 0. (fig. '60). Durante el e058Yo 1I:!\.a tell!lipo 811 aU01a a la originada por 11 flexi6n qUI varia según el cielo simétrico. Medilnt.8 rtpetidos OOUYM (Ii se diapooe del oúmero suficiente de probetas) ee puede determinar el númern do clclOli que resi.te la probeta h.sla dll:!trulrse en funcl6n de la ma,nltud de o••• del ciclo. Esta dependencia tiene el upecto de la CW"YI de l. ligur. 461. Como, genenlmente, el oúmero de ciclOlaumenta r'pldameote. al dlsminuir o•••• es preferible geDer.tmeote ubiur sobre el eje de las abx.il8S no el nlimero N, sino su loprilmo lo qne permite CDnstruir el diagrlma d. m'lIera mú compact¡¡ (fi,_ '62). El ellSlYo demueslra que. en la mayorJa da los llletalel1 fenOJOS. A pueda ¡lIdic" l. UlOSli60 muhoa m.lJ
~in dll!!lruirse, independientemenle del número de ciclos. E~ta ten· sil/n se denomina limIte de rulltllnc!a a la fatiga y se dllSigna por 0" siendo r, 01 sublndice correspondiente al coeficiente del ciclo. As i,

F\g. 460.

<, N FIl. 461.

en el caso del ciclo simétrico, el Jílllilll dll rosi!tencia 11 111 flltiga se desigoll por 0'_" eo el caso del ciclo de pulsacil/n por n •• etc. En el caso de meules no forr090s y de acorO/J templados dll gron dureZll no se consigue estoblL'Cer un n(imero de ciclO/J le! que la pro-

'"beta resislH sin desLruine después. Por 9/10, en estos casos se introC,.". Xl//. Rullun.:/a u ."" de ¡o....tolU"

duce el concepto de limite convencional de resigtencia a la. fatiga. Se 8nti9nde por

límlt~ coll~ru:lomJl

de

ruút~ncl4

a ÜJ fatiga l. tensiÓn

que la probeta es CllpU de resistir tO" ciclos. Los 8115l1YOS a la fatiga resullan t.ener gran dispersión de los puntos 8xperimenl.flles. Por eso, para hallar con Cilrtidumbre el IImlle de resistencia 11 la fatiga se requiere emIllyar un grao n6mero de probet&:'l (40-60) Y elaborar después, por el método estadlsUco, 103 ruul-

.

1--

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3 -fS671IM F'~.

3IJ 4058

467.

Lados de los ensayos. Esta operación relJulta ser muy laboriOlla. Por eso hubo una serie da ioleol.os de relaelonar, por fórmulas empíricas, el Hmlle de r9Sistencla 11 la fatiga con las catacterlsticas m9Cáoicas conocidas del material. Se considera gunetahnente qua en el C8.80 de lO!! aceros, el limite de resistencia a la fatiga en la flaxión cOD1!tituye, /J groso modo, la mitad del limite de rotura, 0_, ~ (0,4 -;- 0,5)0". En el caso de aceros de alta I'IISistencia se puede admitir que,

0_, ~ 4 000+

i on(::.) .

Cuando se trata de metales no ferrll3Oll, el limite de resi!lteocia a la fatiga varia entre Hmite9 más amplios 0_, ~ (0.25 -;- 0,5) 0n' También 96 pueden realizar enuyos a torsión en &1 caso da tensiOlle9. que varían ciclicemente. como se hi~o en el ceso de la flexión puta.. En este caso, para 10lI aeeros comunes.

"_1 ~ 0,560_" Eu el CMO de materiales frágiles (scero de alta aleación, hierro fundido), ·L,~O,&_,.

Estas relacionas y ótr1\9 semejantes a ellas debeo edmitil'ge con grao cuidado, puesto que ea obtilm8n solameota para materiales de-

wmblldOl y lID condielon811 delermioidu de 1.. eDSIYOI
miento d. 101 ensayos. lA. tensión electi.,. para la probeu DO determlol plenamente e' proceso de J. dll5U1lccl60 por 'eliga. Al formlrse l. griettl, 111 magnitud de la. tensiOllos y 185 leyes de IU d~mhucj6D dentro de l. probeta '. ..rlln ID función de lu condiciones del desa· rrollo pOliLerior de l. grieta. Estu eondic:loDll$ depandeo. a 8U VD, di In dimensione!! eb.solutas de le probota y del ~r'cter de la aplluel6n de lal fUinas llltoriorM. Todo esto, obligatoriamente, Influyo sobre el número Umil. de 010108 y sobre l. ma¡nHud del limite do rlllliltooeia I l. fatiga. Como r<'l5Ultado de t.odo esto, por ejemplo, e111miUl de resistencia

• l. fltig. qUII SIl obtlenll ID l. tncci6D y compf'lll'li6n eiclicu rMulu ser UJ) tO-20% Inferior .1 limite de resisUlnci•• la r.tig. corrMpono diente. 111 fiexi6n. El limite de reeis\enci. I l. r.tige en el U50 de torsi6n de probetas m.cizo es dlfeNlnUl .1 limite obtenido pu. lo probe1.U huects, etc. ED la t.blll 9 ligur.o los d.toe cornlllpoodlen* .1 limite d. , . ml.oei. d. '/I'lDOI m.lerl.leIJ.

.. .- .. ...

O". "!faD"

M.to.101

Acero pobl'l '" carbono Aearo 30 !Iio telllpll, Aca", 45 al.ll. lemplAr Ae.a", JOXT'CA templado Itleno hmdido gria Alc.eióo d. .1umio!0 AM~ {""" tn.llmlelllo thm (o) Vidrio orgblco

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_'MI<&.

Veamos .hora como .. maoJfilS"" el fen6meno de .. f-tip en al caso d. ciclos &$imlitricos.

Supoqamos que dlsponemOl de ona m'quina que permite rl'llli· lAr 101 _yos por •• tlga en el uso de eo.lqulet eielo uJm{itrico. P11'odo UD valor consLllnte de a•• d~pués de 105 enseyos conseeull~.,

<" VmI de 1&8 probetllll, 86 obtiene' el valor máximo de la amplitud a. que el materiales capaz de resistir un número infinito de ciclos. Si resulta que pare el material dado DO edste tal tensi6n limite, tntonces la magnitud de 0'. se obtiene a partir de un Oúml)J'D CODveoelcmal bABleo N. Como resultado de la serie de 8llllllYOll se establece el valor limite da o. que corresponde a cierta tensiÓn (1._ El resullado obtenido se puede interpretar gdJieamente por UD punto en el sistema de coordenadas a•• a (fig. 463). Continuando 98t08 ensayO! se obtiene el conjunto de puntas por 108 cuales se traza la curva Ilmile qua caraetetba las propiedades de

A

'.

rO!lshncie del mate.r:iel en las condiciones de 1011 cIclos eslmétricoe. Esta curva MI dllllomina dlagratM de rt&ilU~jlJ a la faUga (Iig. 4B4). El punto A del diagrama eOITllIlponde .1 limite de rotura en la tracción simple. El punto B refleja los relIultadoa de loa ellllayoa en el cellO del ciclo sim'trico. El diagrama obtenido permita juzgar ao. bre la tosistencie de la elItructura que trabaja con tensionllS que veri.an dclicamente. Supongamos que para cierta pieza el ciclo Sil caraetllrlza por los valores de las tensiones a. ya•. Estas magnitudes se pueden lnterpr&< tar como las coordenadas del punto de trabajo en 01 plano 0., a•. Si 01 punto de trabajo se obica por debtljo de la curva ILmJte. la pieza rasulta capaz de trabajar un tiempo indefinido euanj!o la8 tOOlliones varlan cicHeamente. Si el punto do trabajo se sitúa poi encime de la curva limite, la pieza 56 destruye después de cierto número do ciclos. Sobre la baso dll numllJ'OSos ellllayos Sil ha demostl'8.do que la curva obtenida /tB se puede sustlluir por la recta AB como se indica por la Ilnea de puntos ,en la figura 464. La parte dll trabalo 511 reduce eotonces en "cierta medida, lo que cooducfl 8 un flrror que contribuyo al aumODto do la ruerva de resistencia. De 6!lta manera se alcluya le zona dudosa donde los datos experimentales sufren dispersión. Pars cnllsttulr el diagrama simplificado es suficiente disponer del limite de r8.'listencia a la fatiga cOlT'83pondiante al ciclo simétrico 0_, f del límite da rotura 0"1' El punto de trabajo (p. 1.) del cielo

·" que le IO'l'lI!Itiga pan .. pieu que 58 e.leul. deber' lit\l8.1't18 deatro del trib.gu.lo iodieedo. S\lf'P don el problema de e6mo determinar Ju WOl'deD.ldu dll punto de ,",hijo y cómo dltenDio.r el eoefleieDUI d. aeruridd d. l. pleu tundo 5& traLa d. aoliclt.aelones eklk.u:. La aoluei6,!J de I!IlIW dos cuesllODllS tio. eJ8lUJ partlewl1idadN 8lIP'Clfieu que paq,mOl ••n.Jiu! ahora. I 86. lnffMncil d... ~llbaNn de .....0•• Mbrt ,. ,..lsf.ncil I 11 lIt1p Uno de los fl\ctolUl lundamental. que se deben considerer en los e"eul08 prácticos de l. '.(slencl, • la fatlg. es l. eoocentr.t16n de las toll.!looos. Un grao numero d. InvllI!ItigacioD8lII te6rie.. y IxperimeJIl.lllll bID det'l101tl'llldo que, en Jos Jupres donde l. forma del cuerpo .Iblito varta bMllCl.m.nte (bgulOll Intrallta!l, orificios. IUf'CM) y 6D l. 10UI de eooLaeto d. las p¡~. . . pUflUll tena!Otllll ¡lIodel.

~

~

li

r A

i¡ Por ejemplo, .1 .omel.(!r • tracción un' J'mln. ton Wla pequeJ'l. perforación (flg. 465. 111) se altera l. ley d. dÍlltribuci6n uniforme dll 1.. ten!ioo6!l 110 l.. proxlmidadllll del orificio. El e:!Il.ado ten!ional le OOIIvierLe en binill )' en los borollll dal orificio el grifico de 1... LeMiooes adquiere un pico. De maura 11061081, durante la flexión de una barra ~lonadl (fi,.•6.5, 11), en JI :10111 del vErtice entrlnte IUra- unl Leu.si60 Ilevlda cu),. lDl.gnitud depende aoLe todo del rldio del redondeo r. DuranLe el eocejel pNllli6n de un casquillo en el árbol (fi,_ 4IXi, e), M Jos ellremos del cuquillo J delúbol t.ambién IpareceD tensloll. ¡oules. Puedlft ser citldOl muchos ejemplOfl de esta lodole Ellta particulnld.d de la distribución de lu ten,io-

C.p. XIII. Rutdrlldll . . . . . Ñ "/UN....

I'tICibló el oOgibre d. toIlGeIIlnc;lóo de Llll1IiOD.«l. Lo. ~on. de pmp.g.c:iÓll de 1... \eDllones l1I.evulI eeti limlt.da por un....ron .uec:ba .ituad. en 1... lD.medi.c.ionelJ del fDeO d. coDCentllcl6n o. COlllO lIfI diu • yec;ee, del concentredor de lu tensioo_. Debido el carácter 10<:11 de la dÜltribud6n _tu tenllOOClI SI deoOlDIDlo tIOlÍoo. loeeles. La m.gnitlld de Iu tellSiooell loealee, &I:l fuodón de la forme ~ mlltric:e de le pina... d.termine glloeralm..t. de maallra te6rle. por los gilltodos de 11 teorle mltem'tic:e de la .luticidad. Frec;ulO1emeote, al detena¡a" lu tenajooes localee, 11 reeulTIl tambl4n e loe ell38.Yos de modelD!l. Eo e!te GUO M emplea geoeralmente el m'todo de polerlzacl611 (vllaM el § tUi). El exponente lundamontll de lAs teoliooes locales 09 el coejlclulu IMrú:o de COIICtnlr4Cl6t1 de UU tnulo1W'. J)e8

-.•

k,=~,

(t3.3)

Ilendo 0..... Je tenllóo 10<:11 márima y 0_, l. tmri6n TIIlmllUll. Ella es la tensi60 que JfI obtiene PO' 111 fllnaulll5 de 11 reeÜlt.oei.

...

...

~ "'-de los materl.I... 110 contar con el efecto de concentraci6n. Geoeralmente el c'kulo de 0 _ le UeVl a clbo Pltll le lección milI debllitadl de la plen. como, por ej8lIlplo, la "cel6n AA (fig. 465). Po. ejemplo, 00 el el30 de la lámin. perforada (fig. 465, ti) O'~ ... ""

P

FA::i'

eo al ceso de l. floxlón de I1n. blr'" eeealOnld. (fig, 4.&l, b)

'"

0'_=iV,ü' BiD embargo, al en esUle cálculos nJ'I9 .Iauna dificultad 51 '0Ultlde entonces por taDli6n Domio.J II tel1!li6n eo Je secci60 00 d.bl_ litad•. PUl' .jemplo, en el caso d.la tol"5l6n de UlI '.bol perfDlado pero peodicularmente e tU .je (Iig. 466) 18 obll.n.,

f_"'~' , lindo W, el módulo polar de la secci60 DO debllitadL

... Sea COlQO_ ... \6PsI6.ll llollliJnl. ohOlla8, ante todo, de mea•• que el dleulo _ simple. l.I magnitud dal eoefleleote teól'leo d. eoocenllaeióo Il8t' determlolda par. l. mayorla de loe ale.mentOl cou-

uuelivOil Upleos que se eneuentnln 80 l. 'prtl.ctiCl. Los datos

tef~

reotes a la maguitud. de A; figuran en. las tablu y ¡rl.ticoo de 108 manuales de COll!uuoolón de mtl.quinas. AlII, por ejemplo, en la figura 467 esd fClprosentada la dependencia eJlt.re el coefieiente te6rlco de conceoltael60 y 11 relaci60 de tu dimensiollll5 geométricas d. la fruj. perfonda y del 'rbol entall.do. La woteolnleióu de In tensionllll lnfluye dI mallilre difer6Qt.e &Obre l. tIllIilt.eneia de la pift. SillIÚn seLll las propiedades del material y el earieter de la .olitiueI6n. Tlalando -.to eo euentll, se illlr~ duce, • diferencia del coeficiente \4I6rieo, el cot{ld'ltü e/«tluo. Ctlnuntrad6n le.. y !le dif,nlDeiao loe euOl de teoaiones constantes y de tensiOD8lJ que urJan clelíeameote. En el cuo de !.ell.!iones cooetantes (cuando r-t) H entlend. por coeficiente efoeUvo de conceolJ'ación la razón,

k+,"" ~

" pua

(tU)

siendo a n , el I1mll.a d. rotora la probeta .10 toDCé1luaclóo y o~, ellfmJte convencional d. rotura pan: la probelAl coo com~en­ meloo de t8J1Jionos. Al ensayar, pOt ejemplo, tlmI barra priem't1ca peñonda ('ii'. 468, o), el C
•

"H++H-+-J

•

,'}-,-l,¡-,uin"..,l..-h-,b-t,'''f

"

1,

'" ee.ollaei6D que eond~ , ~onee local. Sfll!llblllmeal.8 m'Jofs que tu que se determinan por los faeto,. tonslradívOl (surcos, perforacioDeI!I, ete).

Cuando se tn.ta de tensionllS'qull varIaD c1clleamente (pan ,..-t) el eoefitieote efectivo de concentración H obtiene de l. razón k_ 1

.Iendo

0'_11

el )[mile de

=r.-,

~teJ1ei••

(f3.5)

la fatiga de un. probeta UN

ya:',. el m.i.eIDD limittl que M ObUflO', partiendo de 1M tenaÍ1jlMl5 DO-

¡:pi.Ju.les ID la probeu toD eODCeDlraei6n de teuiones. La magnitud de It_ I como b de .1:., depende no .5610 d. l. forol' g1!ol1l'triea -ti. la pi.. 1.11, siDO tambi'o de Ju propiedldes IDIlc.ioieas del material. El v.lor numérico del coeficiente .fectiyo de toDtentneioo la puede determinar llol.m.ote sobre l. base del llrIYyO de lo probel.a3 • l. fatig•. ActUlllmllole H ha acumulado matef41 axperiment.al _diciente en fll!Ile sentido. La comparacl6n de loa resultlldos obtenl· dOll permUe, 0.0 eiertll medida, dlltllrDllolr 1. relación entre 1011 coeOclentes teórico y efectivo de coneentrac:lóo como .igue, k_,=t+q(A;-t).

(t3.6)

siendo q, el coe/klctu rSt IItn6lbUidluJ d.l material. la. te.ulonell lcales. La lllI¡nilud de 9 depende IlMntlIlm4lntfl d. lu propled.des del materi.1. AlI, pnr ejemplo, se pueda considerar que eo el tlSO da .cel'Oll alead08 de lita teSL!lteneia, la m'¡n..itod d. 9 se .proxima a la lIoid.d. En al tI!M) d. Jos .eefOl!l de c:.oDJttueeión el valor medio. 9_0.6-:-0,8, cOfl'flSpoodllndo las Vilo... mayol'fl8 do 9' las aeerOll de mayor ta'llatllncll. En el cuo del hietto fundido q !8 Iproxlm• • tero, 1111 que la m.goltlld de coeficiente efoetlvo de coneentraclón lIII diferenei. muy poto de la unidad. El coeficiente de seulbilidad dlpende tlmblin In c:Ierta medida de las plrticalllidad. pométrieas dala propia piela y del foeo de conc:enlt.e1óll. Se obeerve derta dismlnuciÓD de 9 en el GUO de toefieieotél.L. lJf.odes y elerto crecimllnlo eD el ti" delawolllllo d. lu dimelUliones abeolutu de la pleu. En 1011 c!1eulos prieLleOl MI reeune al eoelieiertle de lI8neibllldad q, generalMllIItl, cuando no se dL!lpone da los resulledOll de 108 ensayos directos para 111 detennin.el6n del eoeficlente efeetivo de COllceotre· ción, pero MI dispooe de datos refereot.ell al coefieilDt8 teórleo. Lo más prelerible DI el empleo directo de Los valorllll de k_, obtenid03 de 1011 resuJtedos de 10lJ onaayos por fatiga. En &1 cuo de 101 con· C8ot.radol"lll tlpieo:s y de los m.terialllll qU8U usaD eon mayor freeullnei., estOl datos lIguraD en los m.oual. en foren. da tablas y"..i. Ueos. En la fi(Ura 469 est'n dldos, en e.lIdld d. 'JtllIplo, lDll dlapma! tipiCOl para 11 d.terminaeiÓll d.1 eoefieienta Ifeetho d. c:.onceo.

lnei60. El primer dl'mua D08 da el .a10l' de k_. pau la bama escaloold. de .cero la el euo de \nleel611 '1 comp~ÓD. Lu eurn, 1, I Y , COtnlllpGDde.D • 10lI

.euos

C0101 IÚllltel de ro\un 100 1104.-

_'000 .k¡f/cm". 8 000 kaf/Ull' J t2 000 k¡fJcm t • El segundo di_mm.

1101 da .1 valor de k_o para al c:uo da toqi6o de un úbol t.OD raaura aDular de luro al c.arbooo y d. 0,.-5 000 k¡f/em". Datos mú abllad.olal de loe: eoefideutel lfecUvos d. eoOC4lO,lr'Icl60

1M!

e.ocueaLno 10 ot.r08 total-.

'

......

En los eálclIlOll d. la l'Misteooil • l. J.tip la uilltellcil da tensiones locales se eousid..... introdueHlDdo In cOmICCiones c.orreflpondientes e.n 1011 valorel Ilum'rieos de 1.. c:oordenadu del punto de tn.bajo (p. t.llo el dl.gullll de la rel51.tenci•• la ratip (fig.464). AsI, por ejemplo, si ,1 t.ileulo d. l. piel' aegúo las tensiooes oom!· n.IM OOlJ da lu c:ar.ewbUeu del ciclo a. yo•• entonces, al con· slderar las tenslllO. localell se debe parOr de In coorden.du del puoto de trah.jo a.M... y ole-u donde k ... 1M! considera ¡eDif.lmanta Igual. l. unidad. De lo expuesto le deduee que la exiatlnela de concentración de ten3JOUll6 rebaja la rosbteDcia a la laUla de la phll'. Por lo \anl.o, 11 dil;ebr 111 m'quln15, se debe procurar que la Influencia de lu tenalonea JOUIM le redutC/l al mlnimo. &1.0 18 consigue, Inte todo, con medidu coultructlval. En el tallO de pleus daeWvu que trab.J8Il eo~ l.eDaion. clcllcl8. el contomo uterior debed Il8r lo mú neve pOlible, loe: ,.diOlll en las inguho eo'notes deberÚ1 581' grandes, las .'lIjeroe iDdbpensablll5 debedo aitn'lH an la lona dod. 1.. tellli.... n. soo pequefi.., etc. En le figure 470, a ealf representedo UD bieel pr'Ofundo que di,.. mllleye tu tal1lIion. 100001lllII. PI,. 'nmlnter .1 r.dio del biHl SI

42' pueden emplear tamblb anilloe de junta como se indica IIn la figura 470, b. Para Mucir Ilti tensioD~ locales a vetes se praclicli le In~ troducci6n de ranuras especiales de desearlla (lig. 471', o) que lnflilyen

FI,. 410.

Fil. 471.

FIJ. 4lt. favorablemente sobre la I'llIIiBtencia 11 la faUga del árbol. Ee:~ mÍ5mo tipo de ranuras de d83Urg8 ae pueden emplear oD los Jugaras de encajll (fig. ~7t. b). En calidad de ejemplo, en la Jigura 472 esti NlpJ'$. sentado el elemento del clgüefial de cooskucción racional. Laa configuraciones suaves del 'rdol y la eliminAción del material de laS' cavldadu interlonl'l de los muíioDtllI llumentan considerablemente la reslstenela a la fatiga y reducen el peso deJa pieza.

x/u.

C.p.

Rul.U""'" n t4lll d. U....lo""

• 87. \nllllenela del eatado • la tupeTllcie J de lu cHmen,ionel de la pina tobre la resistelllia a la latlga Como en el taso dl tenaio.nes cicUtas, el comienzo de l. destrucción esU. relacionado con 19. apafici/in de grietM locales, result.a oh.ia la im¡MIrtllneia qua tiene el estado de la superficie de la pieza 80bre la resistencia a la fatiga. Está absolutamente claro que en el e&SO de una superficie limpla y bien trabajada. aumen~a el limite de res.istencla a la fatiga. En el ca!lO de un acabado rugoao. la existencia de pequeñOll defectos en la suparficie conduce a la roducdón de los

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Fl¡. 473.

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~"

8lponentes de la resÍAtencis a la fatiga. En el caso de materiales de gran sensibilidad a las tensiones locales, la influencia del estado de la luptrficie es mayor. En 108 dleul03 de la resistencia a le fatiga, las particularidades relacionadas con el tratamiento de la superficie de la pieza ae conalderan.mediante el i:¡¡eJicf~nk rJe"caltdad de la lilI.¡Hrficie, (13.7)

aiendo 0'_., el, lImite de ~istenela 8 18 faUga que ae obtiaoe sobre 188 probeta~!;le tratamiento "lIIItandartlr.ado" de la lIuperfieie. En cali· dad de tratamiento westllndlrtl.udo" se admite el esmerilado. o-u llI!I elll!D-ite de l'$'IiatllIlcia a la .faUga· de las probeta~ cuya ~uperfieie ~p(:mde al estado 'de la pieza que lIe, analiza. En 103 diagtam8.lI de la figura -173 figuran 101l valores aproxima· dOll del: ctHlficiente de calidad de la lIuperficie. de dlver803 aCllr03 IIn fllOCi6n del valor del limite de rotura.

El eodieieate de ulid.d pan. I.u probetas escaeriadas se eoDSi· dera Igual. la unidad (recta 1). Le recla Z .. reliere a 1uI probetu de superficie pulida. La recta '8.se refiere. tu probet.u de auperfici. trabajada con cuchJUa. lA riela I 0.011 da 1011 Yllofel del coeficieD1e de caUd.d de la superficie picada y la recla 5 se refiere .. b. superflcl•. que UD han sido tnbajada después del la11linado. Los Vllol'8ll de p.r. las superficies oxidad.. eo agua dulce y aaJad• • tin d.dOl por 1.. rectas 6 y 7. El coeficiente de calidad d. la superficie ae C(lll!idera. al determinar l. ordenada del pWlto de tn.baJo (p.t) en el d¡egram.a da la fNLsteJ)ci•• la r_up (fig. 464). Asf, por ejemplo, ai la amplitud dol dc:lo que se obtiene puUaodo del caso nominal es 0., entonces, después de llllr corregida .1 cOllsiderar la calidad de la luperficla, la amplitud He' ~. La ahselu del pUJlto de trabeJo u. permanece ¡ova-

e.

•

fiable, pUE!!Ito que, cuando 1.. tensiones son cOIUl14oles, la nJldad de 11 superficie no Influye sobre la resilltencia do la plen. De lo elpuesto se deduce que para aumeolar I1 resistencia. la fltil" es necesario obtener una alla UlIlplell da 11 superficie. sobre todo en 183 proIimidedes do loe fDC05 de concentraci60 de tensiones. Lu plelu de imporlaDciI que ltabajea en condiciones duns de 1.. lentioo. cicLicas, generllme.nte. se esmerilan o ine)U$O se pu' len. Los m~todoe especlll. de trltamiento de 11 aüperfieie presentan ¡n.ndes polIihllidades par. 01 awneoto do la resillt.ancl. a la fatiga. A Htoll se refiere l. n1lrttn1eión superficial que d. NlJUltadoe hien p.lp.hl. cuando existe cODCefltrleióo de tensiones. El límiLl d. resistencia. lo fatiga", puede el"ar ta.nlbl~n, rodando la superficie coo rodillos. Un ¡n.n .fecto Je produCl cu.ndo hay fot.O!l de conClntraclón, bomb.rdeendo l. superficie de 11 pleu, con perdigon. de hierro fundido o de .eero. Como resullado di este bombardeo se forma uno capll superfieill con tensiones faidualll de comprl:!lóo que en adelante impide la eparlelóo de grielas locales. SlmulUoearnente al factor que caraeteriu el estado de la auperficle••1 c.lcular la resilltenci•• la latig. de I1 plela, se debe coMiderar también el as! denominado !IUIQr Los enaayos realizados peno l. determinAción del límite de f8lIistancla a la latiga par. 1.. probetu de dlver&Oll tamafios demuestran que, .1 aumenlar estO' últimos, disminuye el limite de resistencl•• la (atlp. Eslo se u:pliea potel becho de que·ln teDllíonea mh:hnu en la pieu 00 eanoeterilln pleDl..DlNlte todo el prOU5O de la deslrtJcclÓR por fa¡j,.. El comlenlO de l. aparici6n de I1 ¡riela depende d. la magnitud d. la teQ.li6n mhima. Su d••trollo posterior .se determina por sus leyes .loc.l. . y. en gran medid., depende dela forma y dlmensioDMde la piel'. Gnon importancia tiene el becho di que, .¡.umentar 113 dlmen· siones ebsolutu de las pi.us, anmenLl La poeibilidad de qlll es:Latan

,_la.

'"

defeet08ll-'lJ'ucturalflll Bn la !;ona de las tOlUliones elevades y, como re-

sultado, aumenta la posibilidad de aparición de grietas. Le. ratón entre el limite do resistencia a la f,tlge de 111. pieu 0_1~

Y el limite de resistelleia

11.

la fatiga de I,a probeta de dhnon-

siooes ceetandartlzadsp (d=8+12 mm) se denomina coeficiente del factor escala o simplemente tacUlr esea1.D., (13.8)

,,ro ': ......

•,,

"- ;---.. ~

lz.

--

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IQMNI(IfJ

/1{J ti.

""

FIlo 414.

Al determinar el factor escala se supone que el estado de la superficie de la pioUl y da la probeta que se an.sayaD, es igual. En la figura 474 estA dada la relación eproximada entre el factor escala y el dlimetro del hbol pB.ra JOll (\liSOS de f181i6n y tOl'lli6n. La cU,rva 1 fuo obtenida para el acero al carbono, en el caso da 8Ull4lneíll de tensiones locales. La CllI"'I8 2 corresponda al acero aleado (a,t~ 1'::'10000+12000 kgf/cm') cuaodo no existe concentración de tensiones y si scero si carbono cusodo la eoncentraclón 8lI moderads. Le curva 9 corresponde si 8l;ero slllado en el (:liSO de cOIll;entrael6n r~bl~

Umlle "- _I_do 01. rou,. a_ ..

d. mm

15 30..

"

'00

1I". ~f{em" O'n. kllf/l;m"

..

"lO .500

,

'500 "00 , 2.10 2700 ' '3100 , 18' '500 , 2.10 'lOO '500 1'00 "00 .500 , 500 '500 SIOO '

'."

AeftDO 01._

..00

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q-f/tm'

.. ... ,.. ,.. ,.. ,.. ... ,..

" ' _ 01 eo
26"


,

'100

3100

'500 3100

8100

7300

......,.. ,..

..

" 10"

de tetlSiOUOlJ y la carn " • los .cero! en el caso d. ¡r.o coDteou.e1ón de tensiones. De I!l5tu cu.uu .. desprende que el fec\o:r ex.la 58 ,.. ni•. bnDelmellte cuaodo Iaa teDlllonee locales son anudes. Eo la 'tebla 10 flruno los limites de resistencl•• la f.Uga de probetu lisu de divlrSOI tipos de eo fuOelÓll del dlÚDetro. Eo los ciletLIOll de II NlbteDell, el coeficleote ,. como teDlbUo 1lI" 18 coDlliderl solamente••1 obt6Der b ocd.nada del punto de tnb.jo, en lugar del .alor nomJlUIl de le .mplltud del ciclo 'o. te

.cero

conaidua ~.

I 88. hserva d, rulslanela a la fallga J Sil clellrmlnaci6n Construyamos el dl'Fama de la resilltencla a la fatiga y ubiqut-

moa en 61 el punto deuabajo del cielo. Como se Indicó Anteriormente, el dia¡nma se construya, lomando como bue Ia.a earaeterbticas lile-

dnlea.s dadas del material o" y a_u mieolru que el punl.o da trabajo se determina por loe nlores nominalee de lu tensiones del ciclo o. 'f a., Te.nfeodo en eUllAtI lu eorreceione!l eonespoodientes a la ~traei60 de tu Utlaiones y a loe t.c:tores escala y de la superficie, lu c:oordel1ldu del punto de tnb.jo serio, o.k" l y ~ (fig. OS).

....

>.

Fil. "15.

Eotenderemos por cOlflcient.8 de seguridad I la faUga la ru6n entre el segmento OB y el segmento OA (fii. ol.75). OB

n,-n'

(13.9)

Este rn6n c:araeterha el ¡rado de Ipnu:im.ei6n de las condiciones de tnbajo • tu c:ondlclone!l limites para el materi.1 dado. En el c:..,o pntic:ular C:Ullldo la tamón es c:outaote ao tielllpo (0._0), esta defiDlciÓD del eoeflclellle de seguridad coineide con la definición comÚll. Al determinar el coellclenle de seguridad l'4ISulta c:ómodo recurrir • la coDlllruecióa Itálica del dla¡nma de la NlIiatencia I la. rltiga

<3. y medir d68pUé.s 103 segmentos corrC8ponrlientell. LIJ relación entre los segmentas se puede determinar también a simple vista. La !lUttitud de tal valoncioSn del coeficiente de seguridad 88 encuentra dentro de los Hmitos fijados por la exactitud de las magnltud911 originalea y dI! las correcciones posteriores. En la IDllyorlll de 1011 C6aO$ para determinar /1, se prefieren las fórmulas que se ohUenen de las ",laeioDoo geométricas entre los segment08 jndielld08 en la figw'll 475. Trazllndo la recte. AH paralela a se obtieoll l. proporción siguiente,

eo

08

OD


IIemejaDUl

de los trihgul08 OCD y AKL se obtiene, KL=(I-,n...... , . 0"

As! PUe8,

OK ... 0.11"_.

toe.

+o_,,,.. Ir.,

o,,'

)' como OD_ ,,_.' 8\lponlendo k+, = 1

Il,_

bllllarem~

"-1

(13.10)

Ir_la _~"

0',,"

80... •

Todas las euesUnues de l. re1!islencla ala fatiga enalhadas hasta aquí 811 r&ferian al caso del estado Ulusiolllll monOllJ:ial. Demao8lll

r.

r., -r-~-.,... '

............... +n:

_

" ......

.............:

.

o fl;. 416.

análoga, se pueden obtener las relaciones correspondientes a la re· elstencla e la fatiga para el caso de la distorsión pura (torsIón). En MW eesQ, n, = 1_. (t3.11) k_. 't.. t,to

+.. -..... 'r

Los ensayos demuestran que el diagrama. de la resistencia a la fatiga para la disloqlióD sa aleja.sensiblemente de la Iíoea rect.a, propie del easo- de la traCl.:t6n-eompres16n y tiene ela.apecto indicado

en la figura 476. Por lo luto, loe v.lores tel.1. del coeIlcleote de IIfIUridd ~Iteo l6t .Igo m.yone que 10ll que • obUene. del dleulo por la fónnul. (13.ft). Se eonocen intentOll de crear hipó"'i. de la Ali!lbtenei•• l. f.tigll P'"" el eno del estado terl!ional complejo. Todos ellO<'! SI r&dueen prlneipelmenh a 1. 'generaU¡aeI6n de las conocidas hip6tesis de 105 99tados llmltes para el euo de teosiOIl811 eieUeu. En, el caso del es· tado l.eD5ional biu..ial 0', 1:' que en l. pr'elica del dleulo se eneuentr. eon más freeuenci., 10 admite en la .elu.lfd.d l. '6nnul. emplrica d. H.igh Y PoUan:I, (13.12) "lIndo "" el eoefielent41 de aegurldad a la f.llga que M b~; ,.., el coefielente de seguridad. la fatip que 118 obtiene, euponiendo que las tensiones t.angenel.ltllI 1:' no 6Jtuten y II~, el eoetleienl.e eorNllpondiente a tu l.ension.. tangeneialtlll que !J8 determina, .wponlendo

a-O. Esta f6rmula es aplicable no 11610 el caso de Unil veriaei60 cor,ele. de 11 y T, sioo t.aOlhléa I e1c1011 ,. 10lIl qUI los mhim05 de o y T no se .Jeaotlo aimult'neam6llte. V..me:. .leUDOS ajemple:. de dleule:. en el euo de l.elUiOOM eielicu. ~ 1$.1. Sil l. rll'U'l 4n le "'p~IlUl UD "11' e1-arolDa¡1MUGCI. El muelle pi..... u SI po.;el60 oriIllII1 elern ti COIIt.u1.O flIperlllt '/ .. apn.U1._

f ....

"n.

por el muan. helieoidd a1tu.do.o el bfltll i~ulenio d. l. pll.ar:a. Al

~

_.au

amll1.mieo\O l. ~.nea rl¡id. BS .k.id. J'W' el .K1K1 dd .Ieetroimin. le delItollec:t••1 _tacto su.plrlor J 111 roneetl el Inferior. El lll11ell. pino 111 n ... Ilopa enton«ol '11 i. dil'8l:Cl611 GCIntrerl •. EI\I pr<)C«\O .. r.piUl v.d.. voea 1.1 I8gundo. Oetlrmlne!tll el eoeflelellUl de lIIJUrld.d del mutll. pl'IlO. Lu dlm.nelollU.tOn 1.. tlguJell\.ta: __ ISm..; 1... 20 IDm; ~_Smm; tt_20mm; 4~=1,2mm: 4c_0,8mlU.

El mueH. pllllO • de _<:6611 reetan¡ul.er d. l.dO!l bo_ 10 11m r 11=0,3 mm. El mal.lri.1 _ 1.1611 plIt. ti epI E_lO' kd!ell'. !lr1-4 500 ~eflll! 0_ .... _1800 kfU_ . La f _ de ,re~6. 4.1 muoUe .... koW.el .. P,'" ,1 kaf·

'

V&l.nloalu doa ~IGi0Dll5e1t""mud&l. plIlallU y d~ lDuoll. plallO (ll¡. 478) Y detwmill8UlOll el CIclo de la nrlulón de In te""iOlln. w tuerza de eom~¡61l Pe del mueUe plano al COlltacto aupllr/or llS,

Pe-P,

ei8lldo Pp,

r.

, .+1'

lWlrU de pl'lllensl6n origioal del muelle helicoldel,

•

P._O,1 !S=O,0143 kit.

t::Jl:=--'---1-~~,< ~¿"==~I' n

Bajo l. "CCi6n de ... ta luerza ... muelle plano recibe un. flecha P l' O,OI4.}.2O'.12 f, 3.10'.1(1.0,3' =0,169 mm.

-ii7:;-

L. UlMl60 que .parece eo el empolllmielllo seri, ~ 0,0143,20·6

"""w","'"

10.0,31 =1,9 ki f/ mm

•

.

Rel.eioDIllI geomhrlcu aimpl8ll demu""lnln que (Iig. 478),

.+'

f.+~+fl-ó'-r'

de donde

,lItI

obliene,

"

'.=1,2'20-0,8-0,169=1,131 mm.

Pero,

PI'

PI

"-JE7;,a- w.: ElimiDlodo de equf P obteodremOll, 3EI" 0"'" (lI

3EI>

WJI"=2JTIt;

dedr, IHO",03

a_~'t.t31=12,7klllfmm".

,""

pues, • obtiene, 0.... _1270 k¡ltem', CI.,I.=-t90 lqlfem"

0.=""u10.. IO-$4,0 kgf{clll', 0.=0'10""2°..19=130 kgt¡elD'.

¡~.l

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A lIT.

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.,.,~

FI" 4U.

,......,to.

l.II 1'. ..611 nu-. 1.. medid.. d.t dl.,nma OS J OA ,"1,9. E] plo 13.2. El "'bol COD liD bbe1 (Iig. 480) vab'j& • torlIi6a _¡ÚR Ull ciclo aaillllltrlCO. El valor mhlmo del IDDllltlll.o. 'D'l=¡ 000 kgf'<:lll f el 101Dllao !IJl__ 2000 kgf·em. Las uraetvl$\lc:u mllÚllleu del. D1aWr,1l "",:

=130 "'* d

kefl~Ul·.

FI" ~.... 4

000 kRf/GlIl.',

coeficiente

dt

,._~_I -aurld~.

410.

QOO k¡fIcm' '1 0,,_8000 qflell1', Determlnese el

Caleu.'-_ rl4 uraderi5Uc:u Ilomloa.l. del t.ltlo,

,._-~T-:.~i-e2$ k¡f/~·. ".~=- ~ =-:.~¡_-tM q(~lll'. de doudt •

ODl......

'1.=23$ a,f/Cm'. '1._390 qf¡c:a ' . El -'lclHle dldl'l'O d. o:ollUDvac.161l • obU.... UI lllUU.I. .co.tl'\lCdlill d. lOiquiaut. LoI dato. conapo.dieDlU .uD dadOll ea l. tiru-r. 481. Caleula_ primeramea\ot.l _fleletlle e1KtivO d. COllOIlltne.Wi1l ¡':I pi", d 'rbOl _ l . nüdh u 1.. di'llleVal D: d_I,4. 1.1. t\ln'U 1, Z '1 1 (filo 481) • relleno. 1.. _ d.li.IDile d. rol"" 0'1 mlplIdl.... mellta U 000, 6 OlIO Y 4000 ql'/CIII". o. r. e>ln'1 Z pan Rld_O,06., obti_ .L 1_t,36. 1.& cv.... CJ paalle lrutformu al_ltado obl.eal
est'

ellCm

l<)Il dBlos wr_polldiIlBt.e8 .ll"l:tOl {Iig. 474llO11 viUdos tallto para la n8l16n I;(IIlIO pUlla wrai6n. De 18 curva Z para d=40 mm 111 obtiene el I'Ilor 1,=0,18.

K.'

~,I~ fl r-

8

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FIO. 481.

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'" FlI_ 433.

FI,. 482.

.

El eoelltleDle de !l8iuridad a la {dire

~,=

-1

~,..+"-I,.. 8,a..

t,

5tI

t 27

obtiene por l. f6f1llula (13. ttl.

"'"

1900

'III:J

2,5.

_·_390+.,....,.",.235 0,78 'l1,JLU

Esta magnitud puede ae! obt.enida kmb¡'n gráficamente como alto se hilo en el ejemplo Interior. Ejemplo 13.3. OeiUmlDlU',1 coeflciente de ~idad a la fetiga del 'rbol J (lig. 482). In momento!lll tlone maloltud «IDlU,llttl tO 000 kgl·em. El dl'_tro del es 50 mm•• _20 cm y b_8. C[!l. El radIo de la rueda dentad. es R_8 cm. El material es acero al earbono, "(=2500 \(gU&m" Y (1_,:::::13 000 k¡Ucm",

',bol

El cooliclelll
P.~O,4P,

Y. plll' lo tanto.

p=V P:+P: .... I,OOJ\. De Ju C(llldicio_ de e'lulllbri(l del árbol f se ohUelle,

'"

p , -";

'"

P-I, 08 'R"

En l. lOna del eneaje de l. ro""_ den tilda, In lu HGelon"" tralllllversales del árbol, !lUrge.. teIl3iones lIol'mdes que, como coMOOuoncl. d. le rotaci6n del ',bol. Viril" oegúo el ciclo .imétrico. E. dcelr. que el utado IIDatonal d8.1 árbol es plano f. por lo teo!.O, para ob· Iener el coollcl{lnto de eegurldad reaulte lMlC854r;o rooUrTlr ala !6nnula eOlpfriu de Haill'lI y Pollerd (13.12). OeterOllnamO!l priOleraOl{lnkl, por iIIlpaJ1ldo, 10ll codicilnt... da seguridad conveoclonelee cornspoodlent.. a G y 1,

bl'H

!ID 06 1 , kg fIcm', ".... _a,,_ ,d ,.1'OSÑ
(J... _

O.

De la curva 2 (véa... la Iig. 474) obt&oemOl .1 coeficient.e del facttor _ala para d=50 mm, obteniendo ~=O,75, HalleOlOll ehota, por la f6rOlula (13.101. el coeficiente de iIIlguridad "., ... ~.(J_l 28 " . - (J.,t_, =o , '

Como

'"

1",.,O,l"=o;uo",,4OOkj!fJcQl·,

PO' fa f6rmula (13.12)

~.lI.mos,

" '.

.... = - _6,2.

Capitulo XIV

ESTABILIDAD DEL EOUILlBRIO DE lOS SISTE1fAS DEFORMABlE¡

I 89. Concepto de utabllldad

Se entiende por estabilidad la propiedad del sistema de manteDllJ' su 8lItado durante laa accionas ederionll. Si el sistema nQ tiene esta propiedad se dite que es inQ!ltable. En la misma medida se puede afirmar que su litado es Inestable. En lIlI condiciones reales aiompre edsteD causas que pueden conducir s ls perturbaci6n del estado original de equilibrin. Es deeir, que siempre se realhe la posibilidad del paao del alstema inestable 11 un nuevo estado. En este caso se dice que tiene lugar la pdrdlda lit tstabjlfdad.

PI ( I

,,I

,

FII_ 414.

fll. 48S.

Al perder la 83tabilidad, el sistema se puede compartir de diverformas. Genoralmente, tiens lugar el paso a un nuevo estado de equilibrio, lo que, en la mayorla de los casos,. va acompañado de grandes deformaeion83, de deformacionQ!l plástiClls o de una rotura completa.• En alguDos clISOS, despub de perder la estabilidad. 111 estructura siIP.J.e trabajando y cumple, como aotes, sus funciODll!! principales. AJi ocurre l1D el caao del recubrimiento de paredes delgsdas da las estructul'8lI do los avIones. Puedan ocurrIr, por fin, casos cuando el sistema que perdi6la estabilidad, al no tener UDa posici6nlllltable de equilibrio. pasa al n'igimen de las oscilaciones no Imorilguadas.

81S

'"

El fenómeno de la pérdida de estabilidad en el cal5G de cuerpllS elásticos 58 puedo,obs&J'var en toda una llerie de ejemplos. El caso más simple eon'6s¡lQude a la párdlda. de estabilidad de una barra comprimida uliüment& (lig. 4&1). Cuando la luerza es suficientement.e gra~de la barra DO puede mantoner la fOfllll1 reet.a y obligatoriamente 88 flexiona. Tiene lugar la párdida de estabilidad. El tubo de paredes d~gadal (fJg. 485) 'solicitado por una presión exterior 69
IIbrio se bace Inestable. E,ln fue"," se denominan fuenu erlUu.1 '1 le interpretan en lu estrucluru como eargu Ilmitell.

La eargll de uebf,jo, eD 1O\t dlculos de le Dlltabilidld, se designe igual e la 11 parte de la eIIrgl crltiu.. Se entiende por ti el cotfkwII" tk _lUr/dad G la ,..li!bllldad. I 10. Prl)lllelllll de Eiller ComelWlmos e:l estudio de la estabilided de sistemas elásticos. por el problema má, simple .obre el equilibrio de la berra cornprimld~ nialmente por 118 fuer~., P (Hg. 488). Este problema fue plulefldo y resuelto por primera VII por el gran maternil.tlco L. Euler en la mlt~d del siglo XVIII. E, por uto, que frecuentemente, cuando se habla de la eslabilidad de la b~rra comprimida, se emplBll la e.pre· lIión: ,probleme de Euler! o c8Ilubilidll.d de la butlil según Eulen. Supongamos que, por cierta ea~e. la barra, comprimida recIbió ciar1.a rJedón (fig. 488). Analicemos las condiciones que beteo posi· ble el equilibrio de le bUTa con el eje flexionado.

Fil. 488.

Las coordenadas de los puntos de la linea ehulica de la barra se designa por ~ e /l. Cuando se trata de flechas pequeñas, (14.1)

Le lIexlón de la barra ocurre en ei plano dela ri¡ldez mínima Y. por lo lanto, se entiende por' el momento da inercia minimo da la sec· clón. El momento f1ector M es, en su valor abllOluto, Igual a P/I. En este tipo de problemas, el sipo del moml!oto lIector requiere un estu· dio "pedal. CoosideraremOlll poIIiti"o el momento que .umenta l. cW'utUI'll. Aaalillndo la lIaea elÚlita de l. figul'll 488. ob5e.rvamOlll que la fuer-1.1 de comp~16n P disminuye. en e1l'elltido .Igebraico de la pala· bra, le curvatura. En efecto, cuando V e!'l posilivo la convexidad de la Hnea e"stica se orienta hacia arriba. es decir. que I1 eurv.tura de la linea .Iúuca es nq.ti"a. El momento de l. ruena P se orienla de tal manera que••1 eneor"ar mas la linea elástica, la curvatura se

ha~

uob

~thv

(11

decir, dhmJnuye. AlI puee,

BI,.=-_P,. (1.fo.2) f .... 00 equivocarse ea .1 '¡(Do, en eetoe CUO!l, eonviene ltenene • t. "'8la sil]l,ple .I(\liente, lin IJlUelp.u 11 form. de l. Unea .lístle.a .. la debe representar fo.-mlIJDenw lID el dibujo d. DlInen tal que I.J fuDei6n" y su. doe primCItU dllrivldu _n poIitivu (duell 110611 p\lll.te4da e.a la ligura 688). Entoneee del dibujo 11 puede, Iln error, pllntar loe IJIOUl811toe de la.s luerqJ eoo signo positivo o oeg.tivo . .60 .umente o dlsmlouya la eurvatur. de" la linea elbtiu hijo l. aee!ón di lu fuoulJ eJ"teriores. Deelgnlndo P ,. .,,--

(t4.3)

obtoodremol para la ecuIC16n (t4.2), de dO.ll.de hallalZlOl,

N'+k",-O,

(t.fo.4)

,,,,Ctllenb+C.c:osb,

(t4.5)

Lu eonstlJl\e! C '1 C... eseo¡rerio de 1ZII00rl tal que .. cumplln las conüionu di torde: CUlndO :=0,=0 y eu.ndo :_1 ,=0. Da l. prilne... eoodkJ6n 111 deduce que C.-O y di l. Jegundl, C.lIaDkl~O.

(t.fo.6)

&ta eeulel6n tiene dos aolueion. posibles o C.... 06l1e11kl_O. En el primar ellO resulta que Ii C.-C.-O 101 despllumientOl , (14..5) 8& convim'tea idént.icl.ment.e en uro y, por lo tanto, 11 barra adquiere la forma rectiHUH. Este euo no 001 inUt1lS.l. En el lItgundo euo, kl=M. Ilendo n un o-Qmero entero ubilrario. Tenl8l1do en cuenta (1".3) ob\eodremos,

Esto Indica que para que lI bam DlIntouga l. forma curvilín81 o...n.o que l. fueaa P reciba ValOffll determinadO!!. La fnena IlÚIlÚIla P, no l¡ual • cero, lIII obtlane l:uDdo n_t•

el!

..·/u

(t4.7)

p ...n=-¡r-'

Efta fuen'l • deQOmlna prlmtf4 ur'IJ crUkIJ o Cuando" -= I 8& obUene,

l~rUl

cM Eu1tr.

... (t4.~)

J l. ecuación de l. linea elistiea

mulla,

V- C,IJ8D'7"

La bam lB fiexiona . n flecha maxlml 85 el"

un.

Pira cualquier valor eoLero de

11 151:1

IIIminada siousoidal euya

obtleM,

I/-C , seo7,

N decir, que la Irnea ,lisUta de la barta se representa por una curva. compu611la por n semlondllll (lig. 489).

En l. soluci6n obtenida aparecen algun.. cosas que DO esljo el,,," y qu debeD ser anllfudu. Anw todo, permanece indeterminada l. magullud de l. flecha mb.ima C. y 181 readones obtenidu DO indiull. como depende dala fnena P. No ..ti claro que es lo qUI ocurn cUlndo la fUllen P 85 .11t' mlyor que l. primlra earga critica. En efecto, en este caso Id "..

y d. l. ecuación (14.6) se deduce que e l=-C,-O. ya que Slln kl+O. Elto indlCl;l que la funci6n 11 (14.5) 85 ldllntlcameota igual 11 cero y la barra permanece roo\.ll. BIsulta que cUludo P=P"H la barra ad· qlllllce la forma curvillnoa y cuando P alIgo maYOI que P«h vuelvo I ser roote, resull.edo que no concuerda CoD el 8Ontldo Usico del mecanismo de la flexióo de la bina. Estas contradicciones so resuelven fáciJmente, al tenemos cu euen· t.. que la ecuación diferencial (14.2) es aprodmada y viUda acla· mente cuando se trata de flechas pequeii.u. Si se planw la ecu.ción enctamente, obtendremos,

Ell

El"

P-II+,"/*II=-

P

l/.

Cuando la fuena P 08 mayor que ta crítica, los desplallmientos ClllCen con tanta npidOl que resulta imposible prest.iDdir de ~ .., que llgura eD el denominador.

Cepo XIV. E,tIObJlldlIportamienlo eo el cempo de 10$ d..,p1uamieot.cls Il'"andea. ",poDleodD que el material .. atiene plenamente e la ley de Hooke. Lu bar.u que tieoen Mta perticulltldad el denomlnln bao

...., esbeltu.

Veamos el colDporl.emi...to de une barra esbehe (filJ· 488) coOlprlOlida PO' la fue... p. es decir, ,.,.,.1"'8om.. el mis",o probleml ant.e.ior, pero sin suponer qllO 10$ dMpl..amlentos ....n nqueñ... " intentemos. en ""te n..."a :oolucióo, Ilalln uplicecióo a lu CoOotradiooiones que Be ed"irtieron eoterllll1Deote. En lugn de le uprui60 (14.4) _.lbimos le ec:ueción dilellociel de le lí· oel elbtlca como sigue.

'!'+k·V-O.

(14.8)

P

ElCOgeIlIos eO <;DUdad de veriehle iodependiente, en luge. de " la longi. tud del .reo' (0..4 de l. figure 490) qllll.se mIde desd;l el epoyo il'lui..roo.

•

p

EnloDcell la corvatu.. !lid

, '"

p.... di' t. el ,nlulo de IllClioaclón d. la !.Iln¡ente a la Uoea. e16l11iCa. Derlnndo a KllICióo (I4.8) re3peclo a , olll.&Ddremos,

siendo

~=_t' ~ __ k'seo~•

•

d

(~) _ _ U'seo t~

t

dt.

Multiplicamos 1", d", mlemb,., de 11111 ecuacl60 por

,¡ ¡; . EntoDceiI, de!lp","

de la integ'.aet'6n. obllodremO$,

(~)'_U'

(m'-Mo'i-),

(1409)

m'.

siendo una. (',CoSlaOle arbllrlria. 6U3llluytodo,

se"t=-moeo"t

(14.10)

obtendremOll par. l.

'"

ec:1l~elou (14.9)

"di -

(14.11)

2k... tOS .....

Derivando (14.10) respeeto a • • obtiene. dt __ coa.... Zm

VI

do

y eliminando

~

"'....n.'l'

d.

";r.' (14.12)

,

de donde resulta.,

,,--S-J,~~ •• V '·"'·""n·... ·

•leodo '1'. el nlo. de le Inoción ,. cuando _O. Como eo el origen de tao wnrdeI1.Id.. (pare ._0) el momento fleclo..... igual I cero. l. curvatura Por In tanto, d. le

up~i6n

""ra ~

.0.

(14.11) lI1I ob~ien8,

coo",.=o,

""-7"

y elllonen (14.13)

L.. Inl.l!llral.... obw"idas ,'" se resuelven tlllunciollQ elementale. y se deolllOln.n IntegralllS clípUClU del primer género. Exll!wlI ubl.. de "las integ •• I.... dond. figuran 108 nlo"", d. liS integ.al" en funcl6n del Iímillsuperior" y del mó' dula de l. integrel m .l,

En el pUDio medio d. l. barra \culodo r_ +1 d. l. wndlelóu de simetrl. re,ult.D. que el ,;ngulo t-O. Por lo tanto, d....cuerdo a lB expresi6n (14.10). la función >f' SIl convierte aquí en cero. La e.tpresi6n (14.13) ser.. P'lra ute punto, NO

"S• '. 2

.r r 1

m'sonl'l"

(14.14)

Da a""o.do a esta eIpr~ión, el parámotro It na poeda ""r mallor que cierta mlg_ nltud determinada, ya que la lnwgral lI'ltritl obtleoe el valor ullnlmo cUlndo ",...0. Entonces,

"2""'2'"

De Icuerdo I le upl1lS16n (H.3) de aqul

.!le

obllene nI valor de la primera

.) L&.'! tabl... de lll!l integrol"" elfplfeo rigl1ran en lO/! IDlnuales de las runcluncs cspeciaJ~. Véase. pur ejemplo. 1. RTunsllluln. K. SemMldlaev d'allud d. malemdlf<4P para In¡eniCf"," y ClItudlantca, EdilOrl.1 MIR, MOIKÍI, 1971.

calJra ultlca,

El dec:lt,

.\1 flIdollldo

""fa_q"lllll oIlUda ubtir b lonDa de -.qlllllbrio de l. NmI COD I! IIjlUl 11. 111_ P . . . . yor q"H l. pn.... c.u¡a fllel

úea. Al mialDlI U.ID¡lO.1.Io ormIllO ai.lIlpr8 111. Il.aICl.

Eo el. pI.á(nfo ••tlrior 11_ "isl.o '1" l. 1M.u pu.ed. nnioolt'fl, DO 1Ol.lIlIlltl !IrltÚll UN IIlIllo.da ailtO..,u.
.11

. t I taSO

llri,

le

.D'_ ,

<:on....rtlrb Ill~, GUlDdo N.

!!._J , y '. • t

,

Ifllaoni",'

'_4' L. eGuac:I6I1(14.HI

dI_(1_2811I'+) "'_2 (t-ten·t) "_/l., dr""21llIlt~td'. Reeurdlllldo ahon. e la ezpresloll.lliS (140.10) y (tU2) beneremos,

".""-trI

mllllD.I,~*-dl, dll:02z'lllfl~/lV'

di donde 11I ob~i_ ql>ll 1M tOOf'denedu del punto barn. tiezlollede .r'o,

._-{1

YI

Como

(\(¡

",Isenly/l'(l_', II=-r

l. lill$l IlúUn di

1""'0.

l~

d'4'.

• obtendremos, 'h-T' ",llIlln l '4'd(l-

•SVI •

"_"d']_" }

(14.t5)

La. eooroellede , 11I tol1lllden aqul positiva puea1.
~ ocurre

c"l.odo

-={' eleodo ",-O.

Asl P""". (14.16)

Ellta eeul.d60. eonJuollmente con 11. eculd60 (14.141' permito detarmio.er 11.... eo !unción ~e le luene P. En efeeto,lljl.odo ..l VAlor e m. hl.lllmll'l PO' 11$ 'eblu el vllor de ll.integrll ellptie. parl 105 Ilmllll!!l ellt", O d$Opué$, "egom este valor <1el. ecuAci60 (14.14)," obtiene el vIlor del ]lIr'motro

y% y

DelJpub d. eslo. de 11. ecueel6J1. (14.16}, baUam03 el VAlor de la fJeeba , ....' Form.......... I.t libia "¡g"ieote:

•

•

,T" P•• I' -

0.011 0.113

I ,Sil

."

\

j .S7~

-,-

.• . ""

\." "'"

, ,00< \

- (")" -, = ~_m

.2~llo.H2 O.U3 O

.... ,,O>

O.H~

,~DQ

O,OIJ 1.101

1.64 \.686 l,1JI 1.787

. ,"

1,152 1.2t!>

\

....

..'" . '"

,O>, O,tt 0,162 0.211 0,257 0,297 0,331 0,>10 0,:181

O

En el prhnor f'lIo¡lón de...ta tabla ligo.." el¡uooe v.lo.... del par{lIIIltro /JI, l!!lC
w·

T'

.f:::. que 9ll obtion&

estl Inlegrll ~s Eo el tercer ren¡16n ligur. l••eZÓo atglÍo 115 Dot.ado,*, (14.31 y (14.7). Por 61tlmo, 01 euerto

,

~~8'16n d. ta labio

/

U

V

1,'

... , ll(Iotione l. n9Ch

ee d. l.

GIl"'

v.... que ae

obtiono PO' l-. 16'IIIU11 (14.16). En l. Il¡ure 491

,

P;;¡¡ -/(~) 1

l:tlnltru.id. !'llbN l. bue d. aloa cüculos. EÍlllll 1. f\leru q\lll actúa '1 lu flechu .. establece pues uu ",1..d6n bien det.ermlnad•• A cad. vdor d. l. fuIna P 1, e01T8lIpoode ~u flecha r", ... Obser"mue, al IIliamo tiempo, qll9 CUlodo la luaru as .....70.. que l. ""ltl"". el dos-

§ 9t. Dep'"rUncIQ ."lre

l~er'Q

11 cOlldlcloll" d. QPOIlO

'~7

pluamlellto r .... ereee COn ¡nn rapidez•. Est.o uplica loa ho<:oo~elliOJltes qUI aUliieron, al re501ver el problema, suponiendo que los dC!plaumlenl.Oll ereo ~que¡;os.

Comperendo tos multados obtenidos Ilot wnvaneemos de que el camporl. ll'I, puOOe IItudil\l' lO.lawen1to medienLe lu ecua,loua que d~lbell lu psl't¡~ul.o.rided" de loa desplaumleotos grandes. Eu lo que se refiere a l. determlna~16n de ID propi... !ue,..q

miento,dol aistemll. eu Je zoua superot:ltlu

pate 8llLe flo 1I00 euUelellte8 las eeuecloDls II,Jl.e.eles comUJl.tlI que se plaoleen para el cuo den...bas peque"-u. Por 810. en edelanLe podemO:!l'CllD ce.., teu delenollllll' las IUltt.., crltlta! pór las f6l"1Dulu slmplllludu .10 recurrir al aplrato compllcedo de Iu llCnecionlll no ¡¡.....Ies.

~r¡tic.",

I 92. Oependencla enfra la ruena ",itica y tu colldlclon« de apoyo do la barra Cuando $(l trata de dellploz/lmientos pequeñoo de la barra arUClIlada en sue extremos, 111 lJe:ti60 de és,ta durante el pandeo ocurr& según una semionda de sinusoide, reeultando pan 111 fuena critica, n"EI

P,,"=¡r. Aprovechando lae particularidades de la l,iDea elástica, resuJllI con relativa facilidad, extender In aoluci6n obtenida & otroo caso!! de 8POYO de la barra. A.'Ii, por ejemplo, si la barra so empotra en un eJ.tromo y estA libre en el otro (fig. 492), entonces la linea elástica de la barra podrá ser transIormada en la línea elástica de una barra artic.ulada, aHuando un espejo en el empotramiento. Es obvio que la fuerza crilica correspondiente a la barra delongltud 1ampotrada en un extremo será igual a la carga criUca corre'lpondiente a una barril articulada de longitud 2l. Es decir, que en este caso, po~ible,

fllEI

P"lt=(ül'"' La barra articulada que tiene un apoyo en el medio del vano (fig. 4!l3), al perder la estabilidad, Sll flexiona según dos aemiondas. Es decir, cada una de sus semi ondas pierde la estabilidad dela misma forma que una barra articulada de longitud lI2. Por lo tanto, P ••II =

n"EI

TT"':'\i"

\.,'I Generalizando las 16rmuias obtenid8.ll SIl puede bailar la expresi6n geDeral de la ruerZ8 crítica parll la b.arra comprimida tOIUO sigue, fllEI

P"M-¡¡i1jt'

(14.11)

siendo ¡.l. el coeficiente que SIl denomina C(HIflcl~ntll de reducd6n de la Longltu.d. Este número IndIca cuantas veces se debe aumentar la

longitlKl de la bura articulada ptra que Sil eerga erílica _ l¡ual • la correspondiente I l. b.n. de longitud l ton 1l1.li toodlcionlS d• • poyo Mtableeidu. Eo el caso de 11 bUnl empotnd. eo un el'tl't!mo y libre Inel olto flo,,",2. En el UIIO d. la b"r. deJa figura 493, flo-}.

~ ._~-----L. FIl. UZo

,

ttiSd 1

1

f'l. 413.

I

.

r<

l' nI. 4M.

En la firura 494 están nprtlHntadoe al¡unos Upos de empot...• miento de l. barr., .,í eo.rno tambl'o los vllores cotnlSpoodleote:!l del coeficleo" 4e redueel60 de la loogitud flo. En todos los U!OI, excluyendo el ülti.rno, eJ valor de Il!' determlll.l eoo l. simple comparlel6n d. la IIn611 e¡hUta de la Hua f1uiooad. eDO 11 longitud de 11 semi· onda de l. sinusoide eOlTespondienl1 al caso de los apoyos utlc.. lados. El último dejos tuoe ropresentdosen la figura 494 81 debe IDI¡har Iparte. En elle caso, la Unos el6stlca tiene dos pun\oll donde la

tW'YaLtlfI es nula: ,1 punto A y el puil.to B (fi¡ 4.95). A difeceneii d, le» otl'os euos, estoe-PlIlltol! no se elltllenJ.rID sobre .n.na rec:ta paral.la .la IiOM. de'.uióo'd,l. fuena P. Por lo tanto, .qulap"rec:e la (uena eortaote R (Hg. 4.~) que, 8.ll. los casos da apoyo lDalizadO!> aolegormute, no figuraba_ P R

[

,,>l

A

I I I I

, ,, , ,,,

>l

I

"

9

FIt- • .

A. . . . .

Planteamos la ecuacl6n dlflnln&ial de la Ii.llea MUlle,¡¡ da la barra f1nJ()AIda. En! daro que, El v· --PV+R (1-:). 11- +k'V -

de donde

le

GJ (1-1),

obtill.ll.e,

R 11- e, Sllll.u .+e.COSQ +Ni\(I-z). Las oonstanLM e" el 'J R se deben 88COpr da manera tal que cumplao I.u siguientes condicionas de borde: tuando :_0, ti - O e 11' - O. y cuando 1"'" I JI <:> O. ElIGrlbiQ)OJ las tres llCuacloo8ll eorl'a'poodientes a estaa condiciones,

le

RI e.+g¡p_o,

e.

1M!

kl

R e,k-l'Jll-O,

+ e. ros kl <:>Q.

E:ziJten abora dCl!l po!Ilbilldldes. 1) Elliat.ma tiene la .0luci6n C .=C.-O. R_O. Entonees JI-o y la barra permaoot6tá recta. Eaw euo 00 nos ioter•••

2) Las eOD5t&otes el' el y R no son todas 19ualell a coro Y. como l1l$ultado, ·Ia barra recibe desplazamientos trall8versa18!1. El elaterna .de ecuaeionés 'holl!ogáneas iJeDe solución que no es nula :>olamente en el caso cuando au determinan" es igual a ce.ro. Ea decir, .. colldlcJ6n noce9aria para que Ja barra 8fI fluillOS aer', I

O

"'" I

O -NJiO sen kl tOS kl O k

-O,

de donde se obtiene. (t4.tB)

tgk/=kl.

Eata ecuac1ón transcendental deber' ser resuelta con r6!lpecto a kl. Le m'n"era mb fácil de resolverlll. es la forma gráfica, precisando deepdllla solución por tllntOO9 con ¡as tablu de laa fuocioD911 trigonométrl'caa. Representamos el gráfi,Cll de la función tg kl=/ (kl) y la recta hE_kl (lig. 496). ooBllbsciaaB de los punloB de Intel'$ecel6n nos proporcioDall las raleas de la ecuación en cuestión. La fatz mlnima di· ferente da cero seri. kl_ -.,11;1=4,49. EntoDC(lIj,

4.49'EI

n'EI

P crlt - ¡ r - R: (0,7/)' . Asl pues, f.I~O,7. ~¡6n

Par. terllllnu, VeflDes alguoOl!l ejlmples m{, compllcadOl!l de determlo. du 1., fuurua crlticu.

E1nnplo 140.1. Detarminar !a fU8n.a critic. para la balTU di des troomOll de I'Ifldu difereote (Ii,. 497). La rl,ldet di UIl tramo ea cuall"O 'I"tI<:"" mayo. que la dul otro. Par.loe ttaDlOS \10.0 y dOl!l obtanelll09 reepe.ctJnmlllUl lu tGuaciollu,

Rf,;+P"

de· donde. hanamOll,

lI,- Cl.seo 2••

4E1,;+-Pv._O.

",O,

+c.. coa Vu,

" _el aeo h+C, wa.b.

Oe la·colldiclón de que, cU'ndo 1=0 l. fle<:ba ,,=(111I obtleDll Ct-(l. Di.ponelllOl ,du lr1ls tOndlclonN,

m~s:

cuando 1=

í

LOII dellplllUmlellt09

't='. u ';-'~_1_cu"'do .=-1, l. Ducha ,.-0, Plalltlll.moii La•.tri! ,lll'liiocioll8ll

C, lIIIo'kl=>C1 11II0

..1:1

•

kl

2'+C,cosT'

, kl .1:1 2C, <:n.o Id_C1 eD, T-c, 11II0 1"

~

C,seo kl+C. eos.kl=Q.

p

(lJ

Er

,"p!

•

,

,

1 1

•

P

P

'"

(1)

(1)

(1)

Fl;. 491.

19ualaodo 11 CllI'I) al determlDllote de llIIte IIlsteÍIIII

....okl

-8110"'f

kl -cosT

kl

.1:1 -eos T

leII

2 CDII

O '" obLienllD lu d""

kl

1"

9801d

2

-O,

eDskl

slguillOles, kl

IICOlclODllll

..,°""2-0

y

.1:1

Ig"7-2.

LI ni¡ Ql.lolQl.1 diferente dll C81'O 118 oblllne de l. condlclóo, Id ,no H

tllT-'

Asl

poes,

2, T=O,~.

14,ElEI P"lt ----¡r-

.

EJo'mpl9 14.2. Oetermlonr la fnena critica ¡11m el cuo d. l. barre Irtlcllllldl, S(lllelllda por 001 !nena' a:rial In 111 SlIe;o;16o .;aaoll. (fla. 4.98). Eo e.!Ite CI.!!O 8ll obtleoo pa... los tram"" primero" y !tll8llndo,

•

J

B/~,--P"T"

o Sf'a,

,.

•

,

B/p,--PT.+P(/-~),

da dolida blJlamos

1<'f s'

V¡""-T'6+ C.'+ C1 '

v, .. C.~nh+C. eooh +1 (l--j-) Cu~ndo

,

.

1_0 la fleeha v,-O 1. ¡HIr lo tanlo. C,=O, Cuando

, los

'-'2

des-

pluamleotos v,-f, v,-/av;-v~y CIlI.odo .=1 JI flecha V,-O. Asi pl,les. l1"SamDa a las ClUllfO eculciOlltll aI8.lIiNltea, j¡lf 1"

1

-T4§+C'T- t, Id

1

/tI

C,SCIIT+C'COST+T 1-1. j¡'/I

/tI

il

f

- T+C,,,, C.JrCO!T- C, /tecn 2-" C. oen 1<1+C, CO! 1<1=0. Igualamos a cero el clolormloante de e!Jte al.tellla, collaldenlldo C" Ca, C. y 1 como lllcóglllla.1. Entollces,

,

.,-

o

O

ICIlT

"..

- ItC03 T 'leO il O de dOllde .. ohlleM.

1

,\;'1'

o

-l--¡s

~.,-

" " codl

, -.,-

k'lell1'

Jr'I T-lf

~O.

1

O

Id 32" " 18'2=("1)' .,- -9 '

Le rab lIlill!lIla de ISla ocuac16n _'o

"

T - 2,16 y enlonces,

18,1.81

p.. u Al ---¡¡--. Ejemplo 1.... 8. Determillllt 1a"luena crítle. pera Ja barra empotrada, en

cuyo nlremo Ubre SOl ttansmlle ij fll8ria .p a tra"'" de 1,111I blele rigida

de longilud 11 (fl¡. ~9a). RetlraDfQ$ .la blehi' dglda y.•plleamOll a.la Nl1'a' elá!tica la luena 100-

Illlu~lDa'1 P' "'" P-y

,

la fuena c.orlante

p.{¡.. '~ntooceil;

EIv" ...·P (f-v)+ p

L(I..::.....l• •

JI,. t9ll.

11IWllllldo • COItO el delermlol,ote dt NI. r!lllem. llllirlllos • 1. EIl.tl6a ttenlCllndeatl.l ei801enle:

IIl~l-kl(I+T)'

T"

da le ql1e .. dlltermlne le (wme crltk", liD fl1ncl611 de l. ralón EI1 el caso partlculu, cUl1do a_O. obtcnemoe, l. ec....tlÓll (1~,t8, y coelldo 11_ 00, l. r.... n. critica m\llt.

"tEI

-¡¡ro

i 93. blabilldad d. la barra

en el caso

de deloNlllcionu pltsllcu

Todos los problemas analiu.dos anteriormente IUIWOQ rE!luell.ol1, s\lponlelldo que el mltenal de 1I bura. dUll.Dt. la compresi6n, no edquiere deformaeiol)flll pláslJeas. E!llo en. viUdo en el cuo de harTeS MUv.m'lIte Ilrgu ., fin.u en las que Jet ten!iiODes de eomprMi6n en el C4110 da cugu crlüeu, no superabaD el limite da propotclotlaIidad. En el euo de barru mÍ! eortu y rlgidll, la fuena edtiC41 re...It. IUp4Irior, uistiendo la posibllJdad del surgimieoto de dolo....

rn.clones pláaUcu eo la etapa de wmpnsioo eimple, es decir, antes de la pérdida de l. elltabilidad. Se obtiene uf un probleml ioterm~ dio. Por una parle, este '00 . . .1 cálculo común por compr&'li.6n, puesto que l. barra es llowicieDtementtl larga y mantiene IIn IU eOlJ!por· tuoJento las particularidades relacionadas con el fonÓlJ!enD de Ja

C~p.

&M

XIV. E.lotbllldllll". lo••IIUIII.II. dffor",Qblu

~rdld8

de la estabilidad. Por otra, esto no es ya el cálculo de la es· tabilidad según Euler, puesto que en el material de la barra surgan deformaciones plásticas Volvamos a la eXpresión' de la fueru cri~lca (14.17), lf.'EI

P"Il""W' La telUli6n erílica aod _~="'EI'

6,,11-

(14.19)

(1'1)1 '

F

menda' el radio de giro de lB sección, j•

La magnitud

,

".~

.

(14.20)

't:¡. A8 dll9igna por k.

E=J.. ,

.

(14.21)

y ll6 denomina e:Jbeltn de la barra. La expresi6n (14. t9) dll la 1onsióo crítica aera entonces,

.'E

O"«u-V'

(14.22)

Como vemos, la tensIón 0"••1 crece a medida que disminuye la esbeltet de la barra. La fórmula ~e Euler deja de ser váUda cuando la teJlsióll ~~lt alcanza ei lImite de proporcionalidad De le expr&816n (14.") 88 determina la 8!lbeltet IlInUe

a,..

.'E

J.. 11" , = -

",

Cuando la &'lbeltez de la barra e:I menor que ).n.., la !órmuln de Euler no es aplicable, y, p.or lo tanto, ·el problema de la estabilidad de la barra requiere un planteamiento especial. Supongamos que la fuerza axial de. compresi6n origina en la b.arra le lenslón a. (punto A de la figura 500). Si flexionamos ahora la barra, "ariará la tensión en la BeCci60 transversal'. SupongamÓi! que llBtIl variaciÓn es ~ll. Esta magnitud'urá' di!!t.in!.a"en los,-dlstintos püntOll de la .seccI6If. En' ls parls c6ncI.va las_te~sion8S dl! compresión 'crecen y la relaci"ón entra' laviiriación ¡je}a teiísióu y..la 'variaeión del ala... gamil1llto_~!.ará dada PQf la eurva correspondienta al proceso' de urga, ~:doeir. ponl- tramo de t._curva desde el'punto A 'hscJ~ arriba (lig. 500). Cuando la variación dé,!a teJJsi6n'es pequeña esta'curva se puede sustituir pqr la recta A.'D. :EntOneN, lJ.(J";'

E:'o.e.

aiendo .68, la variación del alargamil1llto y E'., el m6dul-o local que depende deJa tensión 0", y del.tlpo de ~Iag",ma' de com'presi6ri~ En los puntos.&ituad09 en la pÍlrte'convexa 'de la barre f1eJ:ioDada tiene

lugar una descarga:(tecta AC de la' ligura 500) y -aqul, ~a=E~t,

&Ienao E' el módulo de elasticidad. De ,acuerdo con la hipówis de'laa secciolle! ·phnaa se' pued.e -escribir. ~ A ---:; _~_6 ~t =1... p

dooéle y se mido desde la linea' 'neutra. ESta últii:na., daro-:esU"debido a ,qM' los m6duloS correspondienh,s a la oarga adlcion~1 y 11 la des· carga son dlatlntO/J, no es en reallo dad celltral (lig. 501). Para laa !OllllS de C,Ilrga adi· donal y descarga se obtiene rt!!'pectivaDlente, ~(I=E'f' ~a-Et,

e

, FIg.. 600.

(14.23)

En el caso de uq!l CllJ'vatura pequeña de la barra la fuena normal en la aeecl60 Lt8l1sversal permanece constante Y. por lo tanto. óudF=O,

J

la expresión (t4.23) E'S,_ES., (t4.2A) siendo S 1 Y S~ los momento estáticos de las zonas de carga IIdic[onal y de dOSCllrga (lig. 5(1) respl!'l:to 11 la linoa neutrll. Cuando está dada Ó.

de acuerdo

l\

. / Zona

ti, tksw.ri:tJ¡

L{neu MUtra.

+"P.

Zf}f/a tk

"'VI'

IlIilcionat Fil. 501.

la tensi6n a •• y por lo tanto, también E', de esta ecuación, por tanteos sucesivos, sa determina la posición de la linea nautra. Determinamos ahora al momento de las tensiones sUplemalltarilUl.

~M _ } ~(lydF.,~ (I,E' + I.E) Aqul so entiende por I , e JI los OIOlnentos de inereia de h.a ¡onu de carga adidooal y de descarga reJJpecto a la linea neutra.

Escribamos la 8xpresi6n ohtenlda como sigue, &M""E..dl. P

(14.25)

~lendo 1, el momento de inercia de toda la secei6n respecLo a la linea nllutra y E /,E'+I.e (14..26) "6" I Esta magnitud se denomina m6dulo de elasticidad reducido o m6dulo de Kamlli/l. Cuando el malerial de la hana se deforma elbticamente, le LInea Doutra coincide con la central, [.+1,-1 y E'-E. En 68te C8.lIO E,t
fórmula común para la f1exl6n elAst.ica de la viga. ZOf/tl

th tkJcar¡¡rt

Lfn~tI

ncu!N

_1 t=--tc.c=¡;;:c~~. ZOIItI tk

=1*'

carra I!di&iomzl

FIl. 1102.

En el caso de uoa secci6n asimétrica, como la que se analiza, no es lo mismo a qué ledo de la línea neutra ,Be s.itúa la zona de carga adl~ cioDal y la zona de desco.tga. Esto quiere decir que las flexlon6!l de la totuma. en una u otra dirección no SOD igualment.e probable!!. Pira hallar en qué dirección ocu.rre la flulón es necesario, después da determinar E'04' cambiar da lugar las. zonu da tlrga adicional y de descarga y l1!petir de nuevo los cálculos. Se debe ese.oger el menor de los dos valores da. E'<4 oblenll;los. La! ElIpre!lionflll (14,24) y (14.26) adquieren l. forma mb simpl. en el caso de una tiarra dEl seccilin rectangular (fig, 5(2). Designando por t la-di3taneia d~e"la linea neutra ha.sta. ,e! een~ro de gravedad, ohtendrem08Ja .eeueci6n (14.24) en la, forma siguiente,

=E í - t J' . ('2"+' J'.(' 1,- b(i-tOY, ,/.= b(?;O)' , E'

Como

/=~,

ls upres¡Ón (14.26), después de eliminar la magoitud de e, sara, 4EE" EffiI = + )IE')' . (1-4.27) La utruetura de la f6rmula (14.25) que une la eu.rvatura de la

en

barra con el momento floo(or sjgue aiendo, como vemos, la. misma ql16

en el caso de la bura que'tnhaja en el dominio de 11$ deIOrmaeion811 elástlus. La diferencia tOD.ll~te-,ólallieQt.en que el módulo de el¡sUeidad E se lusUtuye p
las upreslonee plta·lu'fuertas crltleu que fUeron obt.enidu anterior· mente, luponieDdo que la! deformaciones eran ,(úHuI, ll,-maoCiene" Uimbil!in ,ñ el caso de lu defor· maciones plútleu bajo l. eon· dici6n de que E .!JUStito}'. por

,

l'

.,

8ff,'-

AlI ,PIJ,U,

.

/

•

.

En lugar. de h "presi6n (t4.22) le obtiene b ecuación

"

E'

E

,,·E...1 P.tlt-~

1,

;,

..

(f

q

,

.

'1.. 1lo04. tnn!C8odent.al

(t4.2S)

s:

Le magnitud de E a IU v.~. deper¡de

depende aqul delm6dulo E' tangencial y Qte. Aaí pues, l. magnitud de la uMi6n trltie. varl. en función d& tipo de dif.gnlllna ., da la fOllDa d. l. aecciÓD tnU"'eraal. VeamOl l. solución gráJit.l de es'" ecuación. En la figura 503, a I!Ilti repre!!lenlldo el dla¡nma de eomptwión del malerial qua tiene escal6n de nu.enela. Para mayor comodidad de lu eonstrtluiooes posteriores, esla diagrama estii invertido, • decir, IIbbre el eje de lu abeiM.s se ubica la tensi6n a y sobre él de las ordenadu, el.lltgamienlo r.. De ecuerdo I este dJagram', en la fjgura 503, b ae eonstruye el diagrama da J. variaeión del m6dulo t&llgtln0'..11_

da)

E·=~-/(al.

Hasta el limite d. propordONUdad. 8!1 deelr,

Culnda O-Ot._ g' te hice

I~l

~Ilf,.Ddo

0<0" B'_B.

• cero.

El mismo urkW llene 111 diagnma de ~ ...riación dal m6dulo ndoc.ldo 8_-1 (o) (fjl. 5Ot). El uP,Kto de la eunl en .1 tnlllO O',
,.

;¡f 11 - 1(0).

La abscisa del r,uoto de Intersecci6n de esta recta con la curva E _ _ /(0) POS da, e aro esU, el valor de la tensión critica o..u- Le iDelfo.e16n de la recta varl. en funcl6n del. esbeltn A. Cuando Ae!:I8uJicientemeote pequefia. es decir, en el CUD d. columnas muy corln, el

....

fI,. fo05.

punto A (11,. 5(4) ee despl.u hacia abajo y O,rll=Oj,' En este caso el dlculo por ealabllldad ae SU8t1tUY'~ por el dl,c\!lo com~1l p'o~~om· presi6n, partiondo d.IIImite de nu~ncla. Cuandq la esbel11Z ~ es !lufieieDtemen~ grande, el punl,o de Interseeei6n '.,4 Iie situar' aobre el tumo horizontal do la curva E - ""'/(0). Esto indica lI.ue la,~aru t.r.baja en el dominio de I~s d~rmaelonll8 e"'sUea.s y que ,.qul el OlIUido eritieq H determina ~n ~uler..Lu.espresionl;'. (1.'.22) "1 (14.28) a.~an ahon toda la i.oo.l. de 'los_ v~l~es de l. esb.elrel }, que rea~eote se puedeo du, partiendo de. eeco. -r. • • El diarrama de II leael6n entre Oun y ~ est' .~presenta_do en ~ figura 505. La parte derecha da la curva se determina por la tJ:prll8iÓJI. (1'.22) 1 se d~om¡Da ¡enera.ltoeIlJ.e hipérbola ,d.,.Eull;lr. lA p.~ bquJerda de la cun., ell.ll1do -

'< .RE YO;

se colistruye sobl'll cendental (14,28), Oesignamoo

lj¡.

-b898 de la' solucIón de 'la-ecuaciÓn tran.s-

Bntonees

".m ='l¡lO',c'

La tensIón admisible será,

--[ql
,

C7, 2,

CT. 3, Ot.

~.

CT.

~

illrrro fundldn

O

<.00

I~OO

LOO

"

O,"

O," 0,95 0,92 0,89

O,'" 0,91 0,81 0,89 (1.57

20 30

.,"'" .,.,ro "lO

'0.96

O," 0,92 0,89 0,86 0,81 0.75

O," O,"

O," 0,82 0,76 O, ro 0,620,51

O,U

0,34

'-" 0,20 0,16 .

.

Modero

,,O. O," 0.97 0;93 0.87 O," 0,71 O," O," 0,86 0,31

•

'" '" '" ,.,. '" ",O

,., ,.,

,170

200

er.

2.

C't. 3,

CT. 5

0,52 0,45 0,40 0,36

0,43, 0,36 O," 0,20 0,26 _0,24 0,21 6,19 0,17 0,,16

CT. 4,

O," O," 0,26 0,23 (1,21 0,19

Ill 'Un_ Idoduo ,,~

-

-

0,25 ' 0,22 0,18 0,16 0,14 0:12 O,I!

0.10

O," O,"

.

Veemos algunos eJomplos del dlculo do columnas comprimidas, basAndonos en el coeficient6 -de reducción lp.

ro"

Ejemplo 14.4. Det.erminar lo carga do compreal61l odóii.ible la horra arttculoda. La.long¡~ud de la harTa 1_2 m. La aeccl6n tra"'vU'SlI. "un (v~,.. la tabla ~el ap'ndlce), Iml.-2,9S cm, F_.49,9 cm l . El materla! ~ CT. 2. La teD!l6o-.admi!llble a. compre.i6n ~"1<:-2 000 kgl/cm o. Colculomos la ubeltn

doble te N' 30a

1=2,95=67,8. '" 200

perm

400

C.p. X/V. Ellabll¡
Por L. ttlbla 12 ObteDemOll ... =0.82. C8lcul_ d93puflo 1& urga admilibk p

7-1"1.....,

1'",,82000

k,r.

EjeIIlplo U.li. Calcular lu dlm&ll!loDIlS de la oeceló" treDllvenal de la 00lumue empotnda eD UD "t~mo y libre en el otro llOlleitade en \lll1& 6111mo utremo por 1. fuena p .. l! ti. D.do qoe 1& lon,itu de l. colu","" te 1_1 m, el_terlal.., mlldera, le talUión admisible (al.-l!OO k¡f/cm t • La seecllin trat1bvonal es CU.dT.d& de bdo •. El problema ee resuelve por tlnteQe coneecllUvoe pueeto que lIlI MI CII0Del la ...balte. de l. barrs.. Si l. b.irr. fll_ muy COI'te, 61 tem.ño" le determloarla di la relación comúo, p , .. ¡jI-{D'Ic, ,,1=2liir' ,,=3,16 cm. Fljamoa .ahora al(llDOa nlores de

Q

mayorea que 3,16 cm y caiculamOl l.

11-

beftlll .l,

1"",11-/ =_"_= 2lYt! I

fl

,,'

DlIlpIIá, como eo el elemplo aDteriOT. hall.mOl la carp .dml!libl. l' pu. 101 dllore.otea nloroada.•. El valor da" al que ~poode una ur¡ra19u1lI b carr' dlda (2 U1 ev' el que ee hueca. En el problema en cuesl160 reallll,a ._6,3 cm.

ti 94. Eltabilldad de la forma plana en 111. flexión Huta aqul analldbam09 solalDente 1011 problemas relacionados con la estabilidad da lu buras comprimidae, Paeemos ahora al an'lie18 de 10tI problemas másslmples de la estabilidad de la forma plana da la 'f1e1i6n. Ea bien conocido qne, en' algun03 casoo, la forma pIaDa de la nax16n de la bana fié haee inestable. Al pertler la estabilidad ocurre la l1e:li6n en el aeguudo plano y simultáneamente ocurre temblón la torsión. Este fenómeno Be observa con la mayor elaridad en las vigas que tienen gran rigidez en el plano de acción de lall fuerzllS exterlottlS y rigidez pequeña' en ·el otro plal!o prin.eipal. Voom041!l. viga, (fig. 506) solieltada en sus extremOo'lpOr mom6otos que ae1.Úan, en el pIaDO vertical. ConsidenlPO! que 118 eondiclones de apoyo en 104 utreIDOIl de la viga pennlten el libre giro de' la'seccl6n tanto Wl UD plano ~o OD el otro, p&ro, al mismo tiempo, Impiden el ¡Ü:o 'eoiJ'eejklndiente -1 'la torsi,ón. ta rigld~ en el plano· de 'loe mOtDOntoe d.aOll extenoree 'ae cOljSidera' sufieientemente grande. Es~o pexmlte eon.siderar que, aotes de peJ1ler la ·e6t1!ibilldad, la barta' man·tielie·.8léD-cialJ:!lElute la forma reetilinoo .. Supongalp-os que la barril slmu!téneamoote lIe, flexiona on eLpiaoo perpendicular a~ plan~ de 1011 mh~ej1tOll,!Dl yae torsiooa. En la figura. 506 la fonoa- de, 4 harra flexionada eSté, reprre,otada de mahera' tal que el desplazamiento 11. su prime,rll ,y segunda ·derivadas soD pOsiti. vas. Esto evita el error en loa lIig008, al plantear las ecuaclonca.

En una sección arbitra'ria situada a la distancia z del izquierdo. el moment9 'reSpOOto eje: 2' i (Hg.: 506fscrá; . , M'I" ... -1l1lfl.

,r

e~t~mo

JlI

FI,. &08.

siendo lp, el iIlguio de giro de la. lIOOCión que se analiza respecto al ojo z. Ellllgno nogativo indica que el momonto M1JK se orienta do, manora qne disminuye la curvatura. El momento 'tot8or en la misma secei6n aerá.

M,_ + IDly' + IDlo• aiendo9J!y', la componente del momento !DI rtllpecto al eje z, (lig. 5(6) Y !IJlo, el momento respecto al eje z en 10ll apoyOll. Recurriendo a las relaciones conocidu EllI' "'" MIL.'" GljO _ Gl,w' = M" 80 obtienen las ecuaciones diferenciales siguientes: Ely' _ - IDbp, GI¡cp' _!IllII' +llll.. (14.29) Aqui pOr" El &8 ('.DUende la rigldu do le barra a la fla):ión en la dlt'llCGlon perpendicular al plano de seefón de 108 momentos extedor&8 1Jn. GI, ee la rigidez a la torsión. Elimlnamoll de estas ecuaciones lp'. Entonces

11'· +k"y' --k'W}r. siendo

",.

k' = lJ7;E1'

(14.30)

E\esolviendo la ecuación obwnida bailaremos,

11 =C. tC.senkz +C. C08kz-;'z.

(14.31)

De la primare. ecuación (t4.29) detexminam08 el ángulo q>, Ell<'

lp _!j)'f""" (C,

sen b

La! eonstantes C" e" CI y menera tal que las funciones y borde siguientes, cuando z ... O cuando z_l Así pues. obtend«lmos, C.+C,=O, C,_O,

+C

I

cos k:).

(14.32)

!DI. debenln escogerse abora de y q> cumplan las condiciones de y=O

y

q>_O,

y=O y q>=O.

C,senkl-~l=O, C,senkl"",O.

De aquí se deduce que en todos los casos C,_CI"",O, Illl.-=:O, La magnitud Ct se puede diferencior de cero solamente cuando 86nk/=O,

El primer velor del momenlo crítico se ohtiene de la condición, ki_n. Da acuerdo a la expresIón (14.30) hallamos,

WI""=T VEl. GIl' Lu ecuaciull8ll (14.3t) Y (14.32) será.n N y=C,seoT'

~lC"' q>=cr. ,sanT'

Así pues, los desplazamientos transversales y los ángulos de giro varian a lo largo del eje do la barra según una ~inusoicle (lig. 507, aJ. I ')

--------------

6) HI'~'

Empleando e1_mét04o de la reduCción de la longl.tud, como sa hizo' en el cas.o dalas barras coro'primiclas, se puede demostrar que,en el· caso de. los e;l[tremos empotra$los ,(frg., 507, b) elcmomento critico será.,

,'S.

--

E,IG/¡llldad,u _"'"

r

.11<1>0.- '011011""",

El problema ,de..la ,esla:bi.!id,a.d de la forma plana de'la .flexi6n en el Cfl~ de 5OlicItaei6n de la ,viga'.por fuentlJl cortantes tranevo..salell resulta hastante más compliqado-que el Il.Daliz!ldo anteriormll.nte, puesto que el momento {lector en el plan!? de soliei~"i6n varia' a ,lo largo-del'eje de la barra. S 95. EdablUdlId de-aros y tubos solicitados par

el

ptj,~

nlernl

Veamos, problema de la estabiUdad del anillo comprimido por UDa carga radial uniformente~distr!bui~!l de inteDllidad q (fig. 508). Paril. eierto valor de estll carga la forma circule.r del ,!Inlllo resulta Inaatahle y el anillo BII lIeziona 'adquiriendo aproximadamente -le forma de una elipse (fia. 5(8). NlNtt/H

-

,/..''l<''u·..,u t¡~dQ

FI,. &08.

Flf. &08.

SeparemOll del anillo flexionado un tramo elemental de longitud lb (fig. 5(9). El radio local de ctiJ'vatllla 1!1l dealgna por p. Conaid&rar&lllOll que esta magnitud en poco 8e diferencia del radio Inicial de curvatura R. En be 9ecciones traD9vel'941m del anillo f1edooado surgen fuenas normales y momentos flectorea. La fuer~ norJ1lal se considera compUCllta de dos pirtes: del sumando N., 89 decir, de la fuerza que aparece en 1&9 secciones transversales del anillo antes de perder la estabilidad y del sumando N que con8~ituye una pequeña varlaci6n de la fuerta normal orlginadi~por la .flexión del anllID. A!:! 'p'u~, la fúena' 'rior.mal será N~+-N. De'}1I condlci6n de equilibrio, antes de' perder J¡¡ ~tabilldad. 90 deduce que N~=qR. (14.33) Planteamos ahora la. ¡:ondici6n de,.equilibrio para el elemento J;'royectando todas, las luerzlJJ sobre la diflexionado (Hg. reccl60 de la norroa obtendremos, ~ qdt+dQ-(N.+N)p"'O o, teniendo OD cuenta la expresión (14.33),

0091'

"

q

(¡}-t) + k-~- fK=O.

, ,

OllSignamos la variación de le curnture por ". (14.34)

-p-¡;-"""' Como p "=' R obtendremos, I dQ

N

-qx+Jf-¡¡--¡¡r-O. Planteamos dos ecuacfones"mb de equilibrio, Q

dN

O

1f +-¡¡;- = • dM

-;r.+O-O.

DO lS9 tl'(l9 ecuaciones de equilibrio excluimos 0'1 N. Entoneos. <1"

I <1"M

I <1M

q'da +ñ d;i'"+ fii -;r.-O

o después de Integrar. I 4"M I qx+ifdil""+¡¡¡M=C,.

(14.35)

Pero el momento M está unido a le variación de la curvatura (14.3J¡) por la conocida relación,

M = IU

(f-]¡-) _e/x.

Eliminando eD 114.35) el momento M Incógnita x.

te

obtiene una ecuae\óo

con UDa

(14.36)

, "

(14.31)

C, iTEl +CI sen!t, + e, roa/rs.

(14.38)

/(J""Jii+V' flesolvam09 la ecuación (14.36)• ll_

•

En el ea~~ d.e1 .• nillo ceITad~ la earga¡crl~lca -'II ..o~~\!ne.,~on. la mbima faclhdad de la condiCión d8~ periodIcidad de le soluclóo t4.38). \ En efec::to, al la variable-! féc~~, ,~.nJífé¡'emeDío-igus].& l~ ongitud total delareo delaDillo. és ~declr. znn'. la función x deborli permanecer ipvarlable. Pero,para'ello es necesario que k, varfe en 'une m/IÍgnft"ud ri¡Oltlple de 2 n.·Así-pues.. Ir (:+2nR):""'1r::' 2ttlt, siendo n un nómero entero af¡)l~rerio.--·E~t~nces, kR""n. De acuerdo a (14.31) !le obtiene', (,,1_1) El 39) 9<111 = - lí' . (14.

I

El "alor mínimo de 11•• \1 dlf6r'ente dti' cero MI obtiene para n _ Z. !lE1 q..1I "=""F'

,(14.40)

,i

En est.e caso ,:18' eurya~ul'!l_x, dar una yue1t4",al ,Inil.lo, ,recibe uDa. veflacl61\"de dos.per{ooOll completos. como se ve de la figura 508. El.lIotl1g 36 fluiooa' c,oo 'cuatro semiondas, adquiriendo la forma semejlote"¡ 1!na.ellps9. , Si se rtlfuena ·el anillo.eoo' un 'oúmll1o par 2n ('1>2), de apoyos equidilllanl.oo (fIg. StO), entónces la fhlll:i6n octlJ'Tlré con '2n somlondu yel valor crftlco·de q se determina-

11 ~;~~/~/~/~f::...

rti por la expresi6n (t'i.39) COlT'85-

pondlentes.al valor dado de

f",

11.

t

,'/- -

FI.. litO.

I

',/

-

FII_ 111.

W l'8Ilultadoi'lobténidos pare el anillo se extienden sin dlffcul· \lid, al caso de tubos largos soll~lt.Pdoo por UDa p«llli6n utei'ior p (lig. 51 En el caso dado l/_pi y la rtgide% de la b6vooa a la ned6n

... fr.

ser'

12(t-..'í' A..!¡I pUM,

P.", -

(11"_ t) EIt'

12 (1

111)

H"'

El problelOa de l. determln.clÓn d8 la p"",IÓn crlUc., 8n el caso da uns. bóveda corta, cuando se f18J:lona la generatrb del cilindro, resullfi más dificil, como tambi~n la determinación de la carga critica para l~ Inillos abiertos, es !toolr, para los arcos.

§ 96. Método energ6tico de delermlnacrdn. de 181 c&rgu crítlcu Anteriormente, 185 eargas criticas se determinaron,. resolviendo lee ecuaciones diferenciales de la lfntla e¡bUca de la viga. Este m'todo DO .iempre as cómodo y, en algunO!! CllllO!!, conduce a dificultades insuperables (ID 103 cálculos. Por 000, el resolver muchos problemas, se pre1ieran los ml!todos aproximados de determinación de 1811 cargu

criUcas qWl'!OU menos e.lac\os, pero mb-slmples. Entro estos métodos el mú difundido el! el método energético. Supongamos qWlla halla (fig. 512) se comprime por la fuena P menor que la critica. EtI oot& caso la barra se encuentra en pOIlición l'lStl:ble de equi11brio. Se la pue'de flexionar, eplidndola una carga transversal (fuerza P ,). Al pasarla barra de la forma recta de equIlibrio a la curvJllnea,
FIl. 1512.

P'J. no figura el eoeficienla t/2, e. dlferencia de, los uSO!! analizados anteriormente, puesto que, duranla el desplazamiento 1, la fuena P permanece constant6. Igual energía de l. flexi6n UII•• se puede obtener para distinlu combinaciones de P y P,. De la lICuación (14.4i)' se ve que cuando Vil.. es constante, a un valor mayllJ' de p,co~ponde UD· yalor melIor de la fuerza tnJ!Sverse.~ P ,. Es POllible, claro está, el c¡,BO CEando el ,paso de la fOrma. f.e!;tiUnea- d, 8qyUlbrlo ... la curvl1~nea, ocurre ein aplicar fuenu traosvmales IUplemell,Iarias. Como sabemos esto tiene lugar pare. el valor critico de la tuerta axlil. La eeuaci6n (14.41) en este caso aed, U II.. _ P"I\1. (14.42) En los 8i.rtQmu C(lmunes, po~. ejempl.o, _en la: fiexl6n de-la viga, In eargu 1hnáv8lSlles realizan cierto trabajq ·sobre las!fl~has·que aoo.desplaumien~ peqyeñO!!'de prim.er orden, La jlxpresióo ,(14.32) tie.nela particularida,d d!l que. cClllSldera ~l' t~ªJp d·o las {uena.:'ll'I:terior8ll llObr& lo!!. desplaZ:llmient08 pequeñO\! de sguodo orden '-. Esta ,parUcnll1'ldad llll' ca~ct(lriltj'ca para 'lllt! problemas, relacionados· con el fen6mllDO de la pérdida 'de eetabiUdad. E1presem.08 UJ1.. y '- po~ los desplualDientoll ti'anavemles da 111.. balTll,.,,·(flg. á13). La !Q.erglá dl,.'I. Oexi6n 118 81pl'llU. pOr el mo~nwnkwtcomo eigue,

_U11.. = ,

.

rM1I",
J. Z!T"" "

Teoieodo lO cuente qlHl

Ma~.

_ EI1/" obtendremos

,

=+'1

U nu

R1V" ü.

(14.49)

•

El. dMpluem.Ie.lllo A .se puede determinu como la diferencie entre le longitud 1 y le pro:recei{m de 11 Unee elhtica ne'J"loned• • obre·la recta qUI W>& 10$~epo:r0ll Está clero (11.1.'513) que .. dA.... ds-ds cos·& ~ di.

.

-r

Fl .. 113.

En el

CIJO

de f1ecbes pequeñu &=V' y, por lo tanto,

,

A_{- SIt"d:.

(14044)

• ,

AaJ pUe.$, de le expresión (t4.ol2) obtendnllllOS

~ EI"'4. P <,11 -

"",--

(14,45)

~~"d'

•

SI se conoce la fUQclón 11. entonces sin dlfleultad 86 determina P'ril' Por ejemplo, eo el (l,IISO de la barra artic
••

II- Cseo T'

Una vez introducido 11 valor y. conocido,

ID

le expresión (14.45) oble.lldrem06 el ,,'El

p ..Il - ¡ r . Eo realided, l. !unc(Ólll1 permellSCI dll5COtloclde huta qne 110 see relullta le lCuci6ll diferenciel de la lío.. elástica. ftMultl que pera det_ioar le fuene uíLiCl" necesario yolvN' el m'todo de.soluci6n ultl1'lOf'.

SIIl elIIbargo, la luelón 11 puede aet' d.d. de m.J..DIV' epcoz..huda. Ea f1SUl c.uo, 101 errOr$l que lIIl eomeUlll al fiJIU" 11. eoll1iguncl6.a d. l. 11llee elbUeI, InlluyeD poco sobre la magnitud de ... fuera criUca. Por lo Unto, .. puede obuDer una aol1ld6n lufieientement.l uacta, lijl.lldo la fuoei60 1/ aob", 11. base de eoll&!deracloo. flsicu aiJDples, ee decir, uc.ert.l.l1dot aprorlmadameDu la forma de la I1Dea elúlca. . Supollpnu." que 00 se sebe que la buno articulada ea 10LlI e:ltrem08, al perder 11 lII\abtUdad. 58 fluiooe M(60 una semioDde de lt alDUIOide. Fijamoe otra cur.,. cpuooid... ,quella. Supollpmoa que, p~ ejemplo, la hana ..a nedona I&gÚD el ,reo de le parábola 11 =Cs (1_1). (14.46) Al 0IlC0geJ' la funcl.ón debemos, claro OIl.4, gtrantinr que se cum· plan las eondicloD6lI de borde. ED lIUMtr
.·el

Patt-¡r- en Jurer de --¡ro Como vemos. hllCluao esta aproximación toeea conduce e un error eple DO .. taD gnDde. La euctitud de la aoluei6n puede aumanUr coWliderableme.nu, al 18 tieDe en consid8l1lci60 el carácter di la variael6n del momento f1ector a lo largo de la hanll. Se puede, por ejemplo, admitir que lo que varia sesún la parillola cUldr'tica no es la flecha, sino I1 curVItura. EntonC89, Unl ve;

Inte~adl

II·-Cz(l-z). 11 n:pr&li6n, "" l' \ 11 • _C (T--r+lIj'

E5c0gemos 11 eol1,WDte G da manera \al que /1' en el Qleillo de la barr•. EotolW!s., /1'

-hc (61;1_4s'_I').

lolroduciml:e t' e 1/. en la U:j1ruiÓD (14.451 rar, obleD.drvmOl.

381l

19ue.l a cero

rmultado que se dif6l'tlucla del valor .neto de l. íUllrq erltia aollmenta eJ) le \8tc:en. cifrt. Si "oh'emes al ejemplo buLlot. volumiuoso t4.2, iuel~ 80 _te euo M puede, ton relaUn f.tititad, obtenu e) ".lor de la fuena erI· de. por ellluitodo energtltieo. Como l. fUina est' apliud. en 11 modio d. la barra (fi¡. -{98l, la integn.t1Óo de J. magnitud A (t4.44) debu' realizarse entNl Jos Itmite5 fy J, obteniendo, 80 lupr d. la upteai60 (t4.45), la tltulenta,

,

S E/YO' 111 P•• u- JO,,",- - -

S ~'·,b

".

Supongamos que

11- C

·, "O,.

Eotontel, después de lote¡rar hallaremos 2It"EI

P_=-,r . l.II .Iución exacta Ira, P crlI ,...

18,781

----rr- .

L08 ajemplos IOIUsad08 DOS demuestran que, por .i método .pf1)d· mido, se puede, liD gr.odea dlfleultadee, obtlMr.1 valor .wie1euteI:. .otl exacto del.. fuen.. criticas. lA pt'ctitl del et.Iculo demuestra que al método en~t¡co • muy efectivo y en toda UOI serie de cuos lDlustltulbl•• Veamos por fin UD ejemplo mÚ. Ejemplo 14.l!. Determinar l. c.&r¡1. eritle& par. l. ban•• mpoLl.d. lO uo nt...mo y IOlie!u.d. t'?r IU propio ptIlO q k¡ffcm (flll' 5t4). Flj.mos l. ee.... C1ó.. d. l. 110•••lbtiCtl de L.t, b.rr.·lle:dolleda Wl.l10 lIgue,

,_e (l-ea.U).

Ea Uell demcwlJ'u Datarmio.mOl laa

.Iiar¡i. d. la OuIÓ11..• to iq'lle

Un.. -

atta 'lp~ll

r

81'•• d....

llaraoe la. cOIIdieionea d. bol"dl.

EtCO 1

(ir)"·

P... WaUu .,¡ tn.bajo d. lu foanall 'l. tJ ,.... 6a la lorma _tll1oM a la '.nlU...... hIIU..m"" lfIÚO la upl"lld60 (14.441. 101 ""'Iltrld .. l. ((11· ~I"'),

lo-}

f,.."._{-et (fir( '-;'-T)'

•

El lrlilap de lu fuer...., 9 8ll",

, Sql·,,·-tqCl (fr r(t-~ ).

l'Ull.u¡cfo estl

z

ir.bajo. la eDllr¡l. de 41 ilnlón

obtlodremos. EI:l° 8,2lIEI j '<.11-211,,,"_' ... ...,... ,

llllotolr... qUI 11 IOlucl6.D Ulell nos di. 1,83Ef

9«1'--,.- . I

,

•

hI!'!'wr-.r

Es caracterbtlco del método energético el que el error que se comete el determinar las fuerzas criticas ti\UlB siempre el mismo signo. El v¡¡lor aproximado de la tuerta critica es siempre superior al e.xacto. Esto se elfplicl pOf el hecho de que, al !ijaf la fOfma aprodmada de la Iinae eUslica, parece que impo· U8.DlOl'l Iigadu.r.~s adieion.alel'l al sistema, obligándo· la a de!ornlarsa de una manere que no es propia del silstema, 2umentlIDdo asi su rigjd~ medio.

ti 97. Mélodo de los parámetros de

origen

pdetie~, dominiO I~ métodO'! b....dos eo la t4cnlc.ll d" 1", máqulOIl& ClIc:uladoru'e1eclr6nle13.

Eo II letulUdad, al Mallur 101 úleulOl

eompu.~l!vOl

81 nWDerO de operaciones lritmá~ICls qUI ....¡;... la máqolnl 'c;o~p:utldotl PO!

"O

unidad de tiempo lIlI tl,ll,¡tInde que el.trallt.lo di [ovlIlItigaei611 conduce. un euallhUvo. ~llaodo q"e l. miquint, de ún.a!:lIm6me1.ro de .eel.ón 'rá. plda, M hl converlldo en un medio del,ll!lisls. Cambia el eoneeptode probleml' simplft.'l y prohlemlll wmpllCldOll, de métodO! electivO!l y no electivos de 101uemn. Vum"-" uno de JO! málodCl!l mecánicO! de determineciOn de Iu Cl'llU criticas, mú dil\!q~ld.o;>!I .- almétO!lo de los p.r'met.rOl de origen. A este mátodo volvemmCl!l olfa Vez en el l·tOS, al delenninllf IIJ!I ireeuellei.. propJu de lu, OIIClladol>e! de'lOl1,listemu elúUeos. ' VeamO! el aJemplo, ·tiluiplé. 'd~¡' "I'pllnto de vbk del m'todo mecánico. pel'(l Mllieilntemente complleado dtid. al p,)nlo de v;,ta del pllOt8emlant-o eomún. ,Suponpmoa una harra (Ii¡r. 5t5, a) d•• rigld e¡ qlJO'vld. de loalletlleiCalonldl, IUllque puude vllfi...., en el Cl!lO If"ner.i, le8"ú~.una ler .....bitrlrl••' Uilo de loe utMm,,-" de le barta t$t! ampotrtdo y el otfO'1Ie apoya hbmmente $Ohm una Irtlculaelón. A i¡¡UIII!!! ai'kllCll' de loa utremOl se' ubican dos apoyne eJ'stlcOll d. r¡¡ldez CI Y e,. lo que indica que l.IlI Teecclónes "e apoyos fl8 orienkn en dlrece! n wntrlrl•• 10/1 desplu.emlelllOil J, y Y. lOO proporcionales e &st05, P. __ CI~" p.--c,r., alendo' ~, e '~I 10/1 d&!pleumieD\Cl!I de lO! apoyO!. O
191. MI... ...

w per4_J,.., th erl,."

'"

cl61l de le rigldu 1M loa apllJoe lolannediOll y, por lo Ullto, al lI!&r la fud61l que Npft!HLt J. 11.... IU~lea., l'MIliu DKesuio Illlfcch'~lr no ya 1Ul solo pañ. IlMlrO d. . .le, comO oeunl6 UI loe .jampl.. qu. .. alll.llllll'Oll 'llteri~", lino .... ri.. parflDl\r'oe ev.ya "IKI6. nln Ii dat..r' d.tumi..". dI b: eolld.lel6D. clel mlailllO dll l. '-al. ultlca.. VUl:1MIII el .I¡orltmo lMÚtaleo. UlIblll.. el ori¡al de 1.. c:oordf.....d.. eD al .poyo l~ulenlo J 4e$!¡.... la ru«i6n dl'poyo por R (11,. ~l$, el.

V...nas

ti .0"'lIto nector

111

al

ptllDti" .. aDO,

• dad., 1I. __ P,+Rz, -

eDllnclo~, ...-6,

all el ....11.0 ....110 (pUl ,.; z <; 21),

1.1._ -P,.+RI+P.(._II, J, po. 1l.Itlmc, 1111 d tnuro (euaDdo 21<.<;31),

1.1. _ _

P,.+R.+P, (._I)+p. (.-2I),

doud. lu luenu PJ y P, '" apll~aD, pllr ahora, bul, arriha. L' teDICi6n dll"",neJal d. la Une. _1'!lIc.a en ID forma gonenl E/~_M,

elI,

(14047)

.Itodo El y M 1.... corrtlSpOlI.diente:! lDllCioJ:lft d••• COII .. le...., al emplur 1.. m'qnlllu, elK'ribl. las Ku.clonlll 'D 1M_ .dl. menslon.l. Ea 11l&l'. 01.. la ....rl.blt IDdepeadt.nU desplazad. I .. IlItrocluCl la ~oon:I.. Illda adlmeuioll.l t que ....1.... \.le ceru J ln5,

t-i- . ahora .. fladae .dl.eo.sloul " , al. _ _ to .dilllemloa.ll •

MI

'1=7; "-eJ'

~=-.... P¡ulullI...

}a

(14048)

Ul'. .16oI elel trI01IIUlll adlm&D$foul.

I+

PI" RP t I ~"" -7] 'l+-n

I +:.¡f I

P,P y { t - t ) 11

P P

(t-2) lIJ'

A'J1If .. reea .... I Ja Hl.K16D 9'" ,. _¡Ie6 ut«i_te, al pIntear 111 M:1I.e.16D u.ni.. _ l do. 1,11_ .btlu d.I... fa (viult1 t 32). Para lIb~.... " _t.l> ID 1......_ \1.110. do. y tn:s .. dfbea tetilla. loa I4naÍDOII q-ot fl,....1> • l. ltq\llllrdl dI 1.. 11_ ..mluJe d. lodle. l. 11 J 111 rupeetinmallte. IDtrod.,,~lllWS

lu DOUelollOill, PI'

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lT,.-Po; l7;-R.: Tnlllldo 8lI CU/lllta qul p. __

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y P, __ t" •• ObÚlD.m.llI01,

11 -
(IM9)

8¡

iJ

Bl pu,....tro urlll .10 Iuco 13,I'J_ d. aevmlo I 1.1., d.de da ...laclón lit la riAidlL Lq lUlllIil~ 'h , q" ...111... UKbu .dlll1l~I~.ellos , . . tal Had' .. _ o t.... 1", ,po" .lbticos, .. c\eeir.

1Jl-IIt·';

"'-'k•.' _te_

La lUpa ... Inua4a iItI. pnlfl'UNl oieberi HI bloq1l8S l6rlc- En el. pri_. d..a. ... JNI11Itd t ... detca.i... el P e - d.l. 'nmo , .. ulclta

~. Sil, ri¡¡id.. uria -r6n IIJI,I. le,. _UI\UIl • ..w blo,.lIO \6¡ieo .. aulJtll)"ll por ol.l'o arlttlÚll«l. 1111 _te caso

11.... d.

El .. "~I .. como ag.. fu.1lt\H. COllthll,l1 Ü

t.

d«l"""

En el ~o bloqu.l6rleo, dÑ. la ....-plll,ld d. {" .. bll1la el numero d.l ".DIl, y, III fuDdón d. 1'" R .. "1.111. Clo. '\J, .. ol>tieDe l. upresl6D q.... l~ .. ~1Itr8 lu llua (U..49). Aal pues, .n l• •lld. d. 1001 bloqufl .. obo U~1I1

¡¡-f(Q.

..

Volvaml» .bof•• l• ..:u.d60 (14.48), ndutlflldola a dOOl eeuWOIlM d. primer OT1Iell ton 111 oola~lonea.

;, e il:t- ; d¡;-¡¡'

o ... i1J1Ol'11JM:lu

flnlta.~,

ó,,_e·~: óe .. ,,·A{.. El Inter...lo d. la nrlad60 d. {., d. uro. tm, 111 i1lridimOl, pgr .)amplll. •0 t. . .n ltImOl, coualil_ndo A{,_O.OOt. La 1.~i60 .. JI..... taha -cio el teqoem. obrio. La aupitud" qlallld. fO ti puo .o~ot, . . . .Ilipliu par ó{, J uf .. ~llll d8. E5L1 61t'--' .. Mml al "aJor 1lIla"1« '" El J 1. lllma, ul • teJ,ld., .. multiplica por li{, J de esta manen .. llalla .1 ...1... d. AlI <(1)1 ........ d.,~", ti .... lor utarior da 'l. Depu"'{,NtIM"I~toA{". t&l..Ial/o. Si procao da ID~60 t:01l.t1ll1l. haa1.a qlll DO .. t¡otI todo el IlI~.1o .. ...riIdÓII da {" 11 iec:lr, oleada eero buLl tnL En la ~tlma 'L1pt. .. toma DOtI de los . .Iore d. l. nedul 11 J iIII 'flCIIlo da riJ'o El. SecaD lu ~ieID_ d. aporo d.la ..1(" UI.OlIo {,=-3, est.u ma.pJ.

'" ludllll deberán lIllr 19ualu • cero. Paca AtI81'~er estas condiciones dlspIlnemll5 d. dm p.d.metl'Ql de origen 9~9t •• R o (de .qul el DOltIbre dd m~tod(l d. 1011 pU'm6ItQ5 de origen). La lIech. adllunaiona.\ TI en el origen d,l,. «lOrd.. nad. . . . .lempr$ jgu.¡ • cero. FIjando on el primet PlISO dlvemos valotllll d. e. y R llbtullllmOll valOt'llll d¡ve~OI de ~.I 8n ,,1 utnlmo dell.!'.smo de Integreel Q. ComO"esW mil&'oltudes 800 fUDelOnu inuJu'l!. e. y R. podomO!l eaalbjr,

r

I

y'lt_1

e~

..""lll1aO+

Ttt.. I""·..9.+

Ro, Ro<

(14..50)

aJendo 'u. "u. "11 )' 0n,cierto. coellclenw dasconoeidos. Como-6t... '1 '1: •• deberiD. le! gulll~ • cero, /IIl obtleoe UII a!.toma hOW0g4l180 d. elluaclOOIll!l,

",,9.+0..8.=0, 1l0l9.+o"R._O, solucl6n que DO_ lrllal • cno .. llOilt\e#fln qll8

Dcl 0., ."1_ ell

a..

(14.M)

0.

E!lo permite dlll.ell'Oloat el valor critico de la tuerza IP~(lIl. El proceso de delenllloaclóo de (Pol.,! eiI el siguIente.

Se comienu por reallzer une e.,aluael n t.oec:a del ordln de le mega[tud e<'lp"reda de (Pol
10terpreum03 ."te .,..10. romo el.,..lor origioel que,se Inlrodu<:e en el programa. Introducimos des¡u'" en el program.los pe.&met.os dedos <:tI ye<, que dependen de l. rigidez de os muelles. Suponiendo 0.=1 y R,_O .... Humosl. primera lotogrecl60 eohre todu 01 lutcrvllo, ohtenlendo eo el utremo del !nte1"v.lo las magoitudee 61", y ....... De oeuerdo e las e:rpresiones (14.:;01' CU.lndO y R._O llt,,"=o,~, y 'lo: __=«11. IntroducimO$ eatos v.lores eu • memoria ele m'qulne y, mpoolen· do"lI o=O y R.=I, rel"'timO:!l 108 cálculos. Entooclll 6t..... «.. y 'lr...J - ..... AsI ,. ohtlenen los elemOUll.Ol di' d.etel1lllnant.e D (U.51) que SI ulcula delpuu lácllmentc. Es nUutal que el determin..nle obtenido nO SI' Igual e caro. Introducimos $U valor en la roemorte y damO$ e le magnitud de p. el Incremento IlP., por ejemplo, AP._O,I y ulcolamos d. nuno el deterrolnenle. El nuevo valor del delerminent& BIl comp«ra COn el anterior. Si nO verle el algno del deterwinante. a.umamoa a p •• da. nuen un ..aJor nu...vo de óp. y ...,15UtelIl"'m... nl~. SI el det.etlnlnaoto ...rla de al¡no, lnt... rpolllndo, heUllmoa (Polj,lt. Pare un. pree1aión pO:!lterlor mayor la puBde reducir AP. y I1lpetlr los eA culO
O¡_t

El Impleo del ldtodo de lo.

¡u'm~

d. orIIlI" el pattitullrroenl.e ......

...jOlO CUlllldo las 1,,..., de ...rl.cl D d. l. rlQidu _ colllple¡U 1 culndo lo. d. eo
eond_.

¡-r.-.

FI" 11••

,-O. ,..,-0.

SltulmOllll orIgen d. 115 cooroeoedu In ellmpotramlloto r InaU ..mOOlel 1II0mlolo M A Y lu fuerz.. P,4. PI/. Pe Y Pp (Ilg. SiG, h). Eo el punto A ,'_el_O. Queden por cumpl!r CUI\r(I eond,clo_: U-O, IC-O, ID-O. Cadl UIlI de ellu elID!1U1uyo el cotrflpolldlente renglón del detllrtllln.ol. D qu. es d. CUlrto «d80. Lot CUIl.rO ""rimetros lndetermlll.doa tlllI, el momRnto AlA Y lu 1u.m~ l' Pe. Le fueMiI PD.ti. nllcionede elID lu úlUlllat por l. elIndlclólI de 1R'llld. I q,o dR .... !Rlmt dR 101 momeDtOI!I do 1.. IUlnas _pecIo II pUDto E. Pen obte",", los t«ml.oe del delertllllllnle, lB ,..lblD cw.tl'(J Inl..,...cio._ lA prllllt.e yu. conaldRle difet'tllte """ (.el'(J el momellto N~, I1 MR'lAdI, II fueru P,4,11 ltl'l:erl,llllIen. ClltrU, I.luerrl Pe, ElrelIto do 101 puÚlletl"Ol es udl YA i¡ual I CIllII. 01 uloree de 1... l"OI q\UI DO 19D ""Ilee a cero, $e puedan ~ cade VII erbitnori'lDellll, puesto que es\O DO hlnu)'l tIIbn al .1'110 del detenolnll1l.1 O. Eo lo e1em" al problemt en PId. 'It dll....l. del Inalhaelo UlerionllOt•• EltlllPlo It..a. Coap6J1it31 el alaorlllllO (MCllellel.o. da( úlculo) pe" la et. lenlilladOo da! coeficlente d. -earldtd ..relido a .... -...bilidtd da la tortI H lIlevial6l1 (11" sn, -l. 1.- '-re- de YariKl6n """ la eu¡aliDUl " .... d.l. uriad60 d. la r>¡ldu 61 ..,llll d.d. (fiI. SI7, e). IlItI'OdllCi_ ti CAlIllicóRllte CODIltaall" J aDallu_ MI 1...11' de l. urp , l. CtlJa crlllu lJo:>.lte "". lA Ill.&Inilud . . . al cotflcleote de tefUrldad ~eñdo • l. atlbllidad. Pluttt._ lu CC1MidoDel de equilibrio" 101 el_ntGI de 100000tuel .h (fi,. SI1, <1). P'Tu,"et.lldo las fueRas:dln l. normal ., la tanreate alareo del alemetlto, obteodrt-.

A, P.¡

P.lII

pu,.....

SumamO$ 1 Iltt.III eondlel6n obYl., N.'. Q. CalDO sllmpn EI,.... N. Si lit l*, en CUlUle" empteo pc»ltriord.la Illiqulna, llIl.ollell5 DO COIl1'kDt lol.foduelr y deles IQ,lteloDe!llullK6cnilU.

.u.I..ur

AnollJXl,OO

,'-e y es<:ribilOOO lu ecuacIones 111 dlferenclu-linilu, <'>(

~7)

6Q qn860; } 4N_ -nq60; "':=Q40:

(14.52)

4oV= e40.; 46=V 40. En al progullll se prevaen dos bloql!l!I da entrad. para date.mlnar 9-{(" y

Hl=f(:).

"' Flg. S17.

En DUe!tro C&5O convlenl dividir la torre en dos o t.re:!I tramOl! y aPTOJ:lmar gr'lieamente lu ley. dadu d. urb.dón da q y El por jlO1!u,)Inios npooollciaIIa. cuyos CO&fldeD~ se 'Obtienen ~Úll lIu p.rogram.a fllltandartiudo•• Se taleula despun el valor original da f( que es, nalUl'almeot.ll, IllDal al

,

f

p9SO da la parte da la torre lIua ... I!Beu.otra por Ineim.a N.=-o q do. Cuando

•r

0=0,..,....0 y e_e.=o, mlentrn ,({UI 111 mall'niludell Q=Q.

M_M. se lot.rl'....t.n COlO" p.rimatl'O!l ~a origen ID~etermlDados. C"all~o 0= el momento M y la ruana cortante Q debario !lit 19ualu • cero. Eataa condlelonea coDltl· tuyan d"" renll'loDeO del der.erlOinanlll D da MfUodo ordan. Prlweraroeot8 eupoUmOl M .~O y Qo=O. En l.lI8gUoda inllgracl60 M oC> ... 1) y Q.9"'I). Toda! lu operaeionea restall~ __ Il.Ylll a cabo COlDO~ el eJemplo an.lIudo anterlorment., salvo qUI el ineromlnto lo rGCibe no la fUI'" po. sIno el coericienlll n. Elte proceso le cOlltioúa huta que el datermJIl1lDla D '00 sea

Igual a cero.

oo• • 98. Sobre algunos U'OI de pfrdlda d. II ..labilidad que lit abarca el uquem. tlbicl El plantualu.to ItlAUudo ntrriol'mctl, al lllapr lIObre la ...bUl.... ele 101 s1s\em&l1 aIQl.k.al, .. baM.:tOlM'. t.ocIo, IIlIlll& -.ft,
_. al., duriado .. IIDa llI.I(llitud ..blVar lltePMI...... 1 dejldo delpuQ ID lLbeNd, 'fUe!V1I • su poslcWlIl hlielal. Si d ,... da eUwllar lu c..... 5l~ orfIilUll'OJl es'" desn.cilSa pequen. el ~lQ', lO ....1" ..... ¡lOll:Iei6o iok.l ."w_l. posición de -rombrio se de_In. illMU.bl•• Ilnt II at....la. . .: UI lod.OIIOlI c.- lelUpolM qlltl lu denl,cJollU dala pooición d. equilibrio IOn

o.

llO IOlamenl. pequebu••100 ¡nliollameole PflIIICo\u. Debido • ~to, • VIK:U le dice que .1 al.tema es .ublo JeOoir. 11.'1"1(100. ]ltq\l'~""". B.to qul''''

"". 11'.

ded....... ea .. can de t;ualqui« c1UY1..,161l IllfioilaJllUltl Er;"1 d. l. flO'licl6n doI tqllUlbrio, .1 tiltA_ libre ........ " .. poaicl6n "nat. Al 1Il_ tiempo ,iD t'IISplle!la la J'ftlUllla da al "he,' 1!IlI posú:. al tlllema. ti

qw.

!lla de!..iI_ pDW mit." decir... /lila .plkl \1111 perturbación 10 lafillllalIleDI. jlO'q...aa,!J1MI !lllllplaDIDID peqll~l. p;tro Iloila. LI ....lu&<:i60 ... la ae..billdad, 111 ela CQll. t i ellnominl ....lu.c.60 da l. eetebilid.d conlrl d.,.. laC;OIlll ¡raode:!. El .I.t.elll•• qlJll es eubll'G(llllre desvlllGiolllS f!Ueln, 10 es lalllbi'n GOnt•• dllll.. I.Gloo.. peqUlña•• m.I... t.u que l. afirmee.6n conl.ula. d.,,, "'11., DO • jUlta. El ti.\IJD. q'Ofl ff ~.bla GOllll. dasvlaGlollel P-lIU'~1I pu.do no ser eool.bl. Gonlra de.vl.cil>llllll "..od.... ElIaml'li.lIl.ol.e eonoc:lda It llullrldón d. 1.. )'OiIlelollU ..tabl.... ln..I.bln d. equlllhrio In .l.jllllplo do la holita qUI d~allll sobre uoa ,uperflda ron",'" (1 GOnvua !lil' 518). Esta esquema puada.., complemlntado GOO un tercer dibujo. SI I1 ha Itl ...nGlllnUI en al foodo da Illll hendidura peqllaAt. lu poslcl6o ...., ...tabll _111 desvileiollU pequeftu. pero il*tabll GOntre d.... i.Gio~ grlDdIll. En el_tldo b.tbltual di la ","'bra t i dlea ql'l el UpJl q~" "PO'I ea el utremo opue!1.o l . puola t i aDGUlIlUI 111 \llII potic.i60 llll5tt.ble de aquJUbrlo. &ata iDeStalliUded 111 IlMÁIbllJdld wnU'lo d...llci_ ¡rud•. Para qua ti Itph pi. 1 oc:uparo*ra poekl6ll de equUibrlo .. la debe deIYilU da 11 II0el ...... tlet.\ de tal IllIIlIlI. q. el ceatto di gn.'f'edtd ~ da lot lilll.itfll del Ú'II. di aporo. as 6Ielr, el _ _ rio aplitar uno. desviaei61l peaueñt, pero lllllta. La IlOIici6o del. lipil ..bn el ... ~ opul$lO a lt. JlWIta. oJe!Idt al J"ll!1o ..... bt.l allt. atthlUd.td: GOl:ltra 6en1Utolle! 5*llWi~Q 111 sllml'"' IItoable. lllllllZlD e.• .do .. trala eS. lllll ... perfleit da lpoyO pequ.eiit.. Algo _plala_ola oplllSlo ocurra" ti "pil" p_ 10""- la pILIlla. &sta poIid6.Cl d.1 equilibrio" l!*tahla contrD dasvlael_ ptqIltiiu (fia. SlQ).

Loe sistemas .lúUcos mh simplM para los wll1&5 es posIble mantener l. estabilidad oootte. dOllvlaelonea poqueftu. lleudo elmultu.e.moo\.e IDeslabl. eontn devi.elones grllDdll!l. SOll., por ejemplo, loe si¡uleot.es.

Le. barra d. ntl'9ltlO/1 I'luOll

Ile

Cl;l[Dprime entre dos 10llU (1Ii. 520,

l. bllTa f1n\ODad• .tCll p
W1&

.)~

EIl

1.. que lB

'tI"EI

-¡r-

y la segunda, la representada eo la [igura 520, o. El puo • 18 primer. do tUU oeurro In el Q.!oO da dOllvlaelollos pequeñaa y • la segunda, ell el c.e.IlO da pertu!'baciDll" gre.nde!l. Para que la

t ..

bar,.

l!i~

'¡:;

fI

§"t

P

P

'l.. ::; ll!'"

\
l';.li

~

dI !

fl8lloue acgÚJIuna _

que es peque"., pero eII finlt.... Solamente &0 e!\e caao.se podr' vencer l. 1tl:16n redlficulora de tos mom8otOll quo apaNlCell Ul

~

p

ll6

mlonda, es lI8C8Hr;o eomuo!.

carla \loa desvleei6n qua. aun·

41

It)

p

los extremOll.

p

F'O.

ni.

Un fellÓmellO aoilogo 0t:U1'TII en elSi,telDI da l. llgula 521. Aqui, el momento denildor originado por la luel'UlP, wando H trata de Decbe pequed.." 'lld menor qull el m01DllDto l'IlCtlllcador debido al pe50 propio 'l. Para que la barra adquiera l. forma delJolfulllbrio con el eje nuionado hay que comuulcarla eierta desvlaeióu origiuel pequll!\a pero Ilnlta. El estudio de la eat.bilid.d contra deavlaelonea graodu de loa alltemu el'&o tiene ll5 mucho mú complicado que en el· euo de d&r1vaeloDllll pequellu, puesto que ell el primor caso, la IOhlel6n del pI ,btema se redUGll e181tudlo de eeuaclo_ no IInealos. SIn embargo, l. aolueilln d, loa problemu de le. establlldad b"""da IObre este planteamient.o, permite responder a pre¡untas que de5d& el punto de vista de lu desv!aciones ~queñllll no pueden H. resueltas. ESpI!Clal lmportaoela lleneo los problemas dll eIIl.lbilldad contra d\lSvlaclO)o Del grand61 en el estudio de lu .b6vild... En partieular, el problema de la elltabllidad de una .b6vBda \lSfllriea ..ametld... la a""illo da la l?rtl'llllo t:lterlo.r y el de la bóveda clllndrlca comprimida en la dl....:eióo nial, NlC.ben una int...pretaei6o satIsfactoria, aolamenw parUeodo de La estabilidad conUa desviacIones greodee. VllIlmos Olr. supooslci60 más que sl\'Ve de bllSll pe.,a el método clásico de ,enteemieoto de l. estabilidad de eistemu elútleos. Se trata de que lu fuerU8 a lnen:la que acompeñan al movimIento del sistema, 16 WllIlderao eio Impor· taDCIa. Como resalUdo de est.a .euposici60, el .0'UsIs de l. estabilid.d de formas de equilibrio Illl a1t';'. pleDsmente, dentro de loa limites fijados por la "",'tia se deoomha, COD fre.:ueDl:la, m6lodo el!t'Uto. A d,ferencla del método $lItátleo es puede hahl.. también del método dld· mico. ED IIlte CUoO. al anal1ur la estabilidad, se analiuo 00 1.. fOTlIlas de equilibrio que se diferencien poco de le forme dede. SiDO que SI ""tudleo lea leyes del movimiento del sistema después de apllGllrle e\erta d8lvlael6n de su est.do

l

w

r.

'"

Inicial. SI eL movimiento (lI:UmI de mBlllll"B tal que le p
~tB'

Pan la Inmell$l. m.yoda de 'lO!! probleml. que M enCU811trall In l. prktic.. los m6t.odoa dlnAmieo uúUca SOn equivaleD'" y eondeceo a i¡ruaies VIlores d. In urglla ultleu. In embargo, UI!Ull IUlbhlll e¡et.emu pera loa cua-

¡

In .l m6todo ....Utleo DO proporelool lliagu... eoJuci6n, pIIesto que 110 nlatflll formu dI equllibtlo que lIll dIferencien de 1, Illleial. Bite e!sl.eme. el pIllder l. uubl1lded., PUlI, cOmO rellla ¡ener.l, • Un Ñ,llIllIo de iDovjmiellLo OllCiletorlo

de 8mp,lltud cree;"ote. En, l. II¡Uta $22 se mUfl!trlo dO$ oj6mplos d. este ~lpo d& ei5lem•. lA bUfl empoll'lld. en un ,.tremo (fll' 522, A) lleva 8ll el olro ...tremo une ""TU de dirección enll3tllnte, nor,...l. edremo. Ee !'eli c1emostru ¡¡ue P'" elItlI bllT' no ni.WlD lonnu de &quillbrlo coo el eje fieliolledo. Si aneh.lI.mOll lu leyell del movimiento de La hlnl /16 pued'e oh!lelvar que cuando lit rna,sa., .. dislribuy
"'''

P"lt"" j"i""""

la fOl'IDA rootill_ de equilibrio l1li hace illUtablll y, en el ce50 de 110 alimento pooterlor do la f\lorza, en la barra 81,lrgOn """ilacion... neltlooaote:!J. El mi,mo resultado se obtiene para la barre do le figura 522, 1>. LI f\ll!n.a P /16 orienta eq\ll elemplO verticelm80te hecie abajo y, duraote l. IlUJ6D de la balTe. &El de.liu. aobre el dlseo impondenbl. ubieado eo el ut",mo dele llena. Le magnitud di la ¡uena «IUca eo .,......" ",meJan""" a "'1M d.pendo no 11610 018 le loogitud y rillid.,; de la bar..., ,ino también de la ley de dbtrlbuci60 de le, lQl5IlI IQ el .1Jte,m•. L.a perticuleridad Ul'acter15tlt. J....to:!I ei.
"1'

llel objeto tul Y• .Ii el QQ'UllUl dbtcb DO refleja l.OdlJ J.. propkd.d~ _ 1 ... le-. dll objeto re,l, 00 liellll por qUI coi~if l. tuena "'tic. roa 11 cu¡a Ulllll.•• NI por ljoIlllplo, ear¡ando ... barre lo l. lll,",W" d•• determ'llIIll>OSl, cara- llmlt. por .\l» o aqueUOII ,ldoDlU _ ti c.omportamieD.lo do 11 km..

...,.,ro-.

¡MIro el. Df.q'lUlll

lIlaMn

1, fuero alUca.

Lo! ruoMllI..ieotOl UJ1UMtoI. mieren laIlIbWn .101 ~ que .. d.efor..... eJ~l.a, pero l. dile"u.ci,cil!D d.." Ik filtll' _ptqo Idqul_ esllld.l hllllOrlaDCiA .... el elreuJo 0:1.. problem.. que estb relKiollldOl eDil l. ulJl.f1K1a d. deformaeionu D1úticl'. Celler,Ul.IIDlio el cookolao d. este p-dgraIo, .. debe decir qu...l prob!etIIl del. utabllld,d d.l~ sIs~ d.lortllf;bles no .. IlIUUl, 01 mueho 1DllII.00, io.Iuao 1...1 propio pll.wmloato. E&l.I. cllutl6n " aetuIlment. objeto d. estlldio t.aOUl por cllnUllcw a1&l1d0ll, tomo por !.Oda uo. M.le d. ueuel ... ellollll. cal. Pllr lo tl01.o, todu 1.. CUWJoneJ tr"ld"" ,qul. deben loterprolU 00 como I'1lzon.mltllL08 dlllolll"OI ••Ino eOmo UOI bllOve enumeración del"" plantelmleo10jI cuyo deurrollo .. eucuen1rl tud.. ,_ en II IlIp. di lormlcl6D.

,

,

r ~ .,

' .. W.

'>

flt. sn.

I 99. Campresl6n ndntrlcl de IIna b.,.... etbelta

Loa problemas de la lrllcción y compresión exoéntricas qua 80 analizaron en el capilulo IV 8a referían a barru cortes y rigidlls. Es dLsllnlo el aspecto da8!ltll problema cuando 811 tuta da barras e.'Ibeltes. En 8llte CUIl, el eje de I1 barra baJIl la acci60 de la carga excéntrica puede f1edonal'8e cotllliderable:ncntll y, al determinar Ill!l momentos f1eetorll3, r6!lulUr4 necesario tener en cuente las nechaa de la barra. Veamos la b-.rra comprimida exc'otrieamente '1 empotrada eo un extremo (fig. 523). naJo la aalón de la fuena P la barra M n.. :liona y a la dulaocia , del empotramiento se origina la flecha /l. El momenl.o nector en esta seeclÓD .!lIIr', M_P(I+/_/l).

Por otra parte, eD el euo de flechas pequeñas, M - ElIJO.

l¡ll.IllDdo los momentos, se obüene la ecuaci6n dileAlllcial d. la

linea elhtica de la barra,

E/U' +Py= P(t+{), 6

r/ +k"y=k' (<<+1>, de donde se obtieue, y .. C, I19n lu + CI coskJ: +t

+/.

En I.ll e~presi6n obtenide (igurlln U(l(j mllgni~udes dEllM:onocidlls: d03 COllsUintllli de integraci6n y CI y la flecha en el eltremr.o de la barra /. Estas magnhud86 se deUlrminan de las slguient(l(j condlcion86 de borde: cuaodo ~""O V... O e y' -O, cuendo ~_t V=/ Asl PUllIi, se obtiene,

e,

C,_O,

e._ -(t+{),

I_~kl

f ... t~,

y enlOClCell, I-coako

y_t~.

Determi.llam03 el momento (lector,

M .... Ely·_Eltkl

:

~~.

El momento flector máximO suege cuando z_O- introduclBndo el valor dB k hallamo~, p,

M",u'"

,1J'ii'

tM.r~

(14.53)

Si le berra es rlgidB, ea decir, SI :~ es pequeño, obtenemos ~ trata de UOII barra de pequeña rigidu,

M",,,""Pt. Cuando C03

~

puede ser bastante menor que la uoidad y el momllllto

mádmo crece as! considerablemeote, Un caso especIllI tiene lag&! cuando la fuer'la P M igual a la carga critica. Entonces,

-cos

~=O,

6 ,,'81 P .,11 ""'ll" .

En este ClSO, incluso cue:ndo se trata de une excentricidad t muy peque :a. &i momento flector eo la barra, ai 8(1 juzlll por la f6rmula (14.53), SIl hace infinito. EsU claro que ate teSu tado no ea justo puesto qlill el bruo dela fuerz.a P pera flechas eualesquJw:a no 8UVeJ'8

1& longiWd de 1& barn 'y el momento reepeGd ...ameaLe 00 puede aer maJor que PL Est. eooUedlccl61l elI cOll58eueocia de que. al deducir la ecu.aclón de la UD.. elútiee. necbu se eolUlider1lrDll pequeñu. See como _ . cuando la fUeruo P 18 eCflrc8 a la crlUee, II! nechu de 1& barre aumlHll.ln bnucameoLe lo que en las elItructlllU real. 8lI Iqdmbfble.

w

• .100. Fluldn

"'"IllII11" , tnnne,..1

almultútu

VeamOlJ 1& solicltacl6n de uoa bel11l recte por un. fuaru nl.1 )' por un sistlllna da fuono tralllvorsales g. 524). EsLe tipo de sollcitacl6n se denomina flGlión longitudina y tr'lI5veml simultAneas.

\fi

,

Al plent.r l. lCuaci6D dlflN"eDcial do 1& IInM elúllta de la viga. el IflOlD9Illo "ector .. pvede coasl.derar COl!lO la sume del ln0Cll9lllG de tu fuenu l.nInlv.rael. MI, y del lDomenlG do la fuerr.a nlal PI/. Como tal IIechu 58 cOMido""n pequeñ.... el mom&llto MI< depende

uplfciLlmenlo '4lilo d.

s,

no depende de", ni del. IUGue ... ial P,

Bly·""" -Pg+M t .. (14.M) La ecuIIC16f1 dilonlDcl.1 de la linea elbtlet de l• •Iga es, IÍ de donde

le

+k"y -

~,

(14.55)

obtiene.

Veo e, Jln h

+C,cosk=+y",

siendo ,,", le !lOIucl6n partlcular de la ecuación (14,55) que depende de la función M,•• • decir, del tipo do la carga uansvenlll. Por ej&rll.plo, on el (,liSO de uoe viga de dos apoY0510Iicitad. por una carga uolfonnerneote dilllribuldll (llg. 525) se obtien•• . "¡ o ,1 ,>' D.. • <> " -1:1'-2-' l '

E,_

Vo +k'v-m (II-C'),

,.

""fÉw (f¡+Ic-S') .

Y. por lo tanto,

)' _C,_n h

+C,cosb+2e~¡' (~+f:-:') .

Lo eooalllnl.e:!l e, y e, lMl escogen de maDora tal qU& la l1eeba cuando .=0 'J 1=1, &ea igual a ooro. Aa! PUIlll, • [ -(t-roski);ñIl+1.-cos.u+T{la-: .okl ,1:' lI-lflP

El momento flector &erá, M

C>.

E/V- -/1 [(1. -cos

El momenl.O llector mh:imo

kl):: ~i +

.

OCUmI

t

cuando

,

tOS

/c:-t]

Z"'"

1- .

y,

ti] .

-OOI~

M ......... p --.-,-.

(14.56)

ro• .,.

En el CllJIO de pequeiiOll valorü de la fuer'u de comproslóQ P (cuando k es pequeño) esta olpresl6D, después de vanear la io. determioaei6n, &11 oo111'lor\o, como era de Illlperaf 811

M_.=2f . es decir, el momento m!:l1mo coincide con el que origioa la carga \ramv9JSlIIl 9. Al aumentar la luarla P el momento (lector mhlmo uece eonsldera.blemoD\o.

.....

"

En el euo de eargas trauvorsales mb eompleJ8lI, por ejemplo, cuendo actúan varias fuenas \reasversalM, la determinación de loo momentos f1eetores por el miítodo expuetito anWrion:u.on\o teSul"" algo dificil, pUllIIto qua el momento flector 8D: 108 dls\lotOll tralllOll de la viga se representa por funciones dlstlnW. Bu esto, U.lJO;!J resulta cómodo el empleo de m6todOll 8p1'OIimados qWl 11.0 SOD 1.&0 BzaCto!l, peto Blson más simples. Uno de estos, muy difWldldo, Jo analir.atemOll

abora.

. Veam(Jl!l 4 UprelliÓIl (t4.S4),

El1/' - MIo-Pr.

CUllndo no ed8te fuerza adal ",\8. ecuación sará, EIII;. = M,.,

doode el lIubíndica ttn corresponde a la solicitación de la viga ellcJusiv.rnento por fuenn transvel'8ales. Eliminando M u obtenom~.

EIII" = Ely;._Py.

(it.57)

Admitimos .bor. que la forma de la Uoea elástica de la viga, taoto en el caso de existencia de fuenl8 longitudinalll.'. como en el caso contrario, 8& aprollima a la alnuaolde, ni

ni

11 00 l.en T' JI" = flo.en T •

Introduciendo 11 e !lb en la expresión (14.57) obtendremos,

,,'

,,"

EII 1'- E1tt'1'+PI. da donde hallalOl»,

I - ---.-fu.p'

,-_

(IU8)

Pul!

En el caao de otros tipos de apoyo de la viga, con frecuoncia so emplea eeta millJll.a f6nnule (f4.58), pero se Introduea en 81111 otro valor de la fuerze critica. Suponiendo que los momentos f1eetoree son pro)Xlrolonal8ll a lu flecbes, podremos escribir,

M-4-.

(14.59)

l_p"11

Ejemplo 14.9. Comprohu 11 f6rmula obtenida en el ejemplo eoalludo en",.Iormenla de la viga con un. carga uDlformemente distribuida q.

p""f

Supongawoa que la f....ru. longitudinal mula aproximada, obtendre.moo,

P"ll' &OtOnce3, p<.lr la 16ro

M_2M".

.,.

Como l. carg' InosvIl\llll origina 01 mOlllCllllo 1Iec:10I M 1,-8'

obl.lndremos lO este cUCP.

•

MrJi,"_O,2~1'.

vllamos ,hora lo qUI DOlI da le f6.mula e::racla JI4.56I. L. m.gnltud d• .t, 110. figUl'll en esla 16nQula. ted pll'Il el ,..lor d. o de i> 1, ,llIul1nl.l:

...

Cap. x/v. E,l4btlld4ll do lo. ot.!....... tk/ermtlbln

&10_ de IClHroO • la "p~1611 (l4.M),

2I,t-ros

M .... <:>~

m• n

"..O,252qI'.

-",., CompulIlde 1011 VlIOt'flll d. M .... ob....nld ... v.mOl! que JIl"ctlc.m'lIt1 col...

alden.

fl .. &ZI.

lA fórmula (14.59) 01. Jl6O"'Il'UllltadOll

&4

el el'" de lolleltaelooes nidio-

teme:>.ta ae1m'tri<:u del. vJ,¡a, tomo, pur ejemplo, enel de l. r....... 52.6.

C.phlll0 XV

DE lOS SISTEMAS EUSTICOS

~UClONES

• 101. Otlinicloft" lllndamtnte'" dt la 1.orf. do lit ClcllacloDn

La teorla de la~ oeeUatlonell cOllStUuye 110. r.ma muy .mplla do la f1~ica modO-l'na, que Ib.rea un gran número de pr(lblemll de la mecénlc., electrotecnl., radloteeni., 6pUca, etc. La tllOrla de 111 osdlaeione$ llene particular Importancl. pira los problemas aplicados que 58 encuentran en l. pr'cllca del ¡npolero y, en partJcular, en loe problemu de l. NlIIlateDti. de Iu m'quiDu y ellb1lctunl. Se ",noceo cuos cuando una estrudura, calculada con un gran coeficiente da segurid.d p.... 1.. u,rgu est.ititu, ae d_truy6 b.jo l•• cc.16n de (uena! de magnitud relativlmente pequt.fi.u que actuab.n l*'i6diu,meoU!. En Dlucboa tuoe, l. estructura rlgid. y muy NlIIiltenle reauha inulil, !oi n.ulen cargas variables, miutra.. que la estructllnl m" Iiger. y, a primlnl v1l&., menos resi!t8otl, "POrta estoe afuerlO' sin perjuicio alguno. Por lo unto, las cu.liocel do las oecilacionel y. en gener.l, del cOI'Oportlmieoto do loo ailltemu elútk:oo b.Jo la .cei6n de cari" v.riabl" exigeu del CODSU'Ottot Ulll atenci6n es~ ti,!. Al estudiar lu oacilafijones de los abtero.. eUatitos, eatos últimos generalmente .!la c1ulflcan, ante todo, aagún el nÚIIUro tU gradol tú l~rtod. Se entiende por númCll'o de grodes de Uberl.ad la cantidad do coordanadu independlent6ll que determinaD l. poelfii6n del.!llstllma. Asf, por ejemplo, la masa rlgida fijada a UD resorto (fig. 527, a) tilDe un grado de libetLad PUeBto que SD posici6n se determina por una sol. coordenada t que se mide desde cierto punto. Est' filero que lISto es dUdo &o1.mento en la medid. en l. qua e:llste la poe.lbilid.d de pr05cindir de la m'lII del muelle en comparclón fiOD la mua del peso que (!$CiI•• En el caso contrario, para (jju la posicl6n del sistema en un momento r..ualquiera, el necesario introducir IIn n.dmero illJ'inito de cOOl'den.das: que determinan la poe.ici6n de úHk, loa puntos del moella elutlco y el ailltama tendria ui un lIÚIDero infinito de gndOl de 11· bertad. Si ae prescinde de la mua. del árbol .!I1 pod.ri allrmlf que el siJteID' de la (igura 527. b tiene dOl grados de Iibettad; aon necesariu dos coonhmadu .~I'rM plI", fijar el giro de 1111 dlKos r1gidoo.

... La tuares. maciza que gira Y!i4l desplaza por al tornillo (fig. 527. e) tiene un grado de libertad pu6'l1o qUIl eu posielón en el espacio se determina 8610 por UD. parámetro, por ejemplo, por el ángulo de giro.

El despluamlento a hl largo del eje depende de est.e ángulo. En elslsteDUI da le tilflU'l 527, d la pos.icióo de la mua O8Cilaol, en el plano del dibujo se determina por trllll nriables independientes, por ejemplo. por dOll coordenadas del centro da gravedad y por el ángulo de giro de le masa. Por lo tanto, el sistema tiene tres grados da libertad. Aquf se debe advertir que, si el momento de Inercia de la

f1"

W.

mUll es pequeño lfI la puede interpretar como concentradA y 86rá posible considerar que el sistema tiene solamente dos ¡rados da U· bertad. Como "emOll, el oúmero de gradOll de libertad se determina, de hecho, por ,el O8lIuema de cálculo escogido, es decir, por el grado de aproJ:imael6o con el que WMideram03 posible o noo_rio investigar el objeto rlllll. Por lo tanto, a menudo lié puede eneontrar la expr&a16n: ese eonaidera la viga eomo UD siat4ms de dos grados de Iibert.a.d. o cel problema. lié ha resúelto, suponiendo qua. el sistema Uene un grado de libertad•• Es\o quiere declr que, al resolver el problema prMUeo, 88 bao admlUdo 1M elmplifleaeloDes correspondientes. Disponiendo de un esquems eoooreto no 89 difícil peru.t.erse de qué 8lmpUf1caeiODell &8 trata. Al eatudlar tu OIICilacioIlEl$ elbUcas 88 dUerenelan dos tipos de O5Cilaelones: las oscllac:iooe8 proplu ., las O9cllaeion99 fonadas, Se antJende por oscilaciones propias el movlmlanto que realiza e1lbtema llbre de toda accl6n de fuena extarlor ectlva. LI9 vibraclOllee del diapasón son UJl ejemplo de las oseilacloDIllI propias, En

_Le c..o el movi.DLíenLO ocurre como colllJt(.llenda del ImpuL'\O in~­ dal que lle comUlllea alaistem.a durallte el impacto. Lu oscilaciones propil5 continúan hu... que la ell8rgla que se comunica al «IlXll.no dDl. proceso oseil.torio no .. agote como conseeu.ncia del tRb'Jo rulllldo palll veneer las fuenaa de resisLeneJa del a.ire Y iaafuenu de la fricc.i60 interior .0. el metal. Se entiende por OlICilacioDes forzad. . .1 mOflmlenw delllilt8m. elúUco que ocurre !HIjo Is .eci6u de fuen., exterior. vari.blllS que .. denominan (uen.. pelturbadoru. El movimiento de l. !HIse eUstlee, cuando sobre eH. se apoya UD motor' m.1 equilibrado es UD. ejemplo de las oecHaclonel!l forudu. En este euo el motor llII ls Cuente de loerglll que II transmite al .¡ateros peri6dlcamenu y que 1IO gute en el prDCe90 de l•• Ollellaeiollllll fOlladas para vellcer Ills fueru. de frlcci61l. La fuona que actúa sobre la bue eUstica por p.rle del molor ll;lJ la fuena perturbadora. El lapso de tiempo eolre dos desvi.clone. mhimu eucllIlvas de l. posición de equilibrio del sisuma elúlico .. denomln. /H"¡odo del.. oecil.cionos propi.. o fon.du, según de qué ostll.tlones .. trlte. El periodo de Lu oscilaciones lIIl denota por T. La magnJtud invlll'N a &t.e lIIl denomina /,.tc~f1diJ de lu OIOilaciones,

,

"=7 y es Iguel .1 n6.mero de o.dleciooes por unidad de tiempo. La frecuencl. . . mide 60 herttios, uúmero de osell.cIOll81 por segundo. En la técnica, eD IttgIl de la frecueneis v, to 11 meyorIa de 101 cua., '8 IlIllplaa le lIi denominad. /NIC~/1I;1tJ 41IfUlar lit> que constituye el n(¡mero de oecil.clonlll en 2K I8gUlldos.

.

M_2nv_,...

(t5.1)

I 102. Otc:i1ulonu propl.. del t1atema de un lirado de libertad ,In amortlgu8ml8nlo Veamos el sistema mb simple compuesto por un. mue y 01 muelle (fig. 528). Al pl.ntear Id etuclooes del movimiento eo o:lte caso y en los ca'OI ligulenlell partiremos del principio da DOAlembert, leg1Í.O al cUlI al sistema que lIIl Muen leeleradameow " le pueden .pllcar las eeUlclonee de 1. 8lILhica bajo la condición d. que entre las fuerIXterioree se illtluya le fuen. da loerda ¡¡ual .1 produelo de i. m.... por la aeelenclón '1 dlri¡jd. en diF"8CtióD OpU8llt.l a l. aeel.. ración. üu método, UD poco formal, qUI" deduce del.. ec:uaeioD.e8 elemeoLtles de Ja dln'mica, proporcioll' l1'aodes vente.)u, al pisotlar las l!'CuaciOO8ll del movimiento del IÜItema eon .,arios !"Idos de Jiberted.

t"

...

C~p.

XV. OlClkclCM'1M k>.

1(". . . . . •

lbfleC'

lA coordenada ~ (fig. 528) se mide dlllldll la posición corr8l9poo· diente al muelle DO tensionado hacia la derecha. Se aupo08 ademú qua la velocidad tiene la misma dirección positiva

t-~ y U.r:nhMn la luleflt.i611.,

t-~.

La fuerza de Inereia es igual al producto la izquierda (lig. 528).

m!

y S8 orienta hacia

fll. US.

Para plantear la ecuaciÓn del movimiento recurrimos a la IlXPI'9alón dI los desplaumlen!.oa en lit! forma canónica (véll.'lEl el capi-

tulo VI), ~-1l1lXI+6nX.+

~ -lInK¡ +6 p

X.+

+6",Xft' } +ll...X"

(15.2)

t,=6",X, +6.,X.+ ... +6....X•. En 651.&

X, =

-m!,

1I8 tienll UD solo dWlpluamlellto E y la Illarza es decir, eIl80

~"",6u (-m.!).

El signo negativo lIotll la luena ll8 explica PO(' el heebo de que ésta ll& orienta en dirección cootnrla al detlplazamiento ,. Como resultado se llega a la ecuación dUenmdaJ siguiente,

~+~,=O. 6

115.3)

,iando,

,,-

. ' _ =1 .

(i5.4)

Aquf &9 entiende por ~11 el desplazamiento dEl le mll58 bajo la aeei6n de la fueru u.n.itari& aplIcada estáticamente. Asf pues, 3 11 se detanniDa por la rigidez del muelle. De acuerdo a (5.t3), corres·

pondieate al aseatamiento del muelle bellcoídal,

).-p~

,

,,,=""'GJi" 'D'. .

La 9(:ueel6n (15.3) constituye la ecuacl6n diferencial de las oscile.clones almpIes arm6alCall, cuya solucl6n es, ~=C,

sen wt+C.cos 0>1,

siendo e t y C. JalI constantes arbitrarias que dependen de 1., coadlciODell ¡niciaIell del movimiento, el! decir, de la posici6n de la mua y su veJocidad on el momento. -O. La 8J:proo160 de ~ se pu&de escribir ni, ~-Asen(wt+lt>J,

donde las CODstanteo arbitrarias son la amplitud A y la fase IJ' que tambh\n 8lI determinan de las coodicion88 iniciallli!. El diagrama de

I

la variaci6n de ~ en funcl6n del tlempo 88t' representado ea le fi¡urll 529. El periodo da las oscilaciones T 3e determina f'cilrnante, partleudo de que cuando el tiempo t aum,aota en la magnitud T, le argumento que figura dentro da Be.Do varia en 2l"l, {CII(I+T)+lJl]-(wt+lJlJ_2n; T_~ .

La megnltud

(1,)

.

constituye la frecuencia angular,

•

CII-T"",2nv. E~lIJplo t~,t. COlIJO varín 1.. oecllaclonllll del sbl.eml anliludo InteriorlIJente. II d movJmloDLo di la lOUI tie.... luglr eo el pllno vertical, «ImO ~ indiol en la rigura 530. En este oaso se dlbe «IlI$fderar JI hle..a del pliSO mi_ Eoto_ la eeuaci6n del movimilnto ..d.,

•

l+ ..\-rc·

...si .. obtle"" ~ ...i61l ••

\lb,

_i6a ea la ~l .1 "'lindO miembro

/lO <15 111110.

Su

• . '''''.oh.. (oot ....'+;¡l.

Tuleado 111 ~\IIllt.l la -..l.aci6a (15." ele le frtulncl. clrcular, olI&e.llOnolllos.

l-A11ft (.. +.)+b"....

La .....ltad 6" .., .. e4 .1~'lli'llto clol lIlu.tl.e orC;udo P'O':!~ Pf'O oH 1:mua. lb deci" q.. lu oe:l1Ki_ t l _ lupr l"ISpec;to. le p""taClll del "'111,librío ",,'tic:o del s1Ñ.rn&. U ampJitud y" r_ c11 1.. OM:illci_ • decermin.l.ll. coma anl«ior_lile. 011 1.. _dlel__ lo>d.l-. La ~ I•

.. perm...erAl In.n.lIM.

·r FII_ 180.

'l•. Ul.

El "",ulbclo obtlnidll tiene ",'ele, , ..>traJ. La flllru cIe grnltaci61l DO a1WI ,1 e.ril:c.r 011 lIS o.teU,cl_. 0cvTe $OI1m.IlW .... d~pla......i ... to .. la potIcllill d. equilibrio dul siSe... Ea 101.1...", IloO . . coesiderar' , . . el p.o

anallaB. t:1_pl, U.l. D.l«mlDat la frKuud. di 1.. .-11~_ prop'" d. la m.,. _IlUMl,liluld. ID '¡"6rl.ie.6e1 p6rt1co pllDO fria:. san. La ri¡¡1du de loto tlelDU\oI MI p6rtic:o 5 81. Prwclad. . del. m. . del p6.t{eo .n_pe..... elb CGII l. Ul ,.o. LlI _ pu*I. d.plaul'lII ..,JUlHIe •• 1.. dlncci611 lIori¡QSlW '/. COlDO .. roa.Ider& _atrda... puad. ld.tU, q... el sbWlU u... \lI1gtedo 01. 11ID 101 IlaeIDU qM.

......

t\eW,.I_ ti dupluamlento unItario 6". Pln ello Ipliu_ I la IIlI3ll In dlnodlla borl_uJ una r..en. \1111111'1. (Iir. 53t) 7 tOIlIIl.nIl_ d dlqnJllll 611_ _nLao fI«tora.. MIIIUplr~.lDdo 1St. di........ por ~I .1,_. obtHdf'lUllllll,

bu -

10111_ do

K~

• la

m "-

uPftli'6n

(t5.4),

•

3BI

.. -1j"I;"

JI.

•

&

• .¡,

.,

.)

FI,. Qt.

.J

• •

')

'" FI., UI.

mua,.'

elttemll In al .Udo el_l,do .pllulldo. l. III prlaelpio de D'AI....· llen••1 1Il0_t.a J " "endo t. el mo_oto d. fllert;1.I d.J. lila. TMpeclO al oJ. dI 1_ .rtlclllleI60. D. 1u « ....dona ull6l1leq .. _alludu (15.2) ob"'!»"

-.

,-6"(-1.,,,

,+..-., . .

,

0

.'-='. .

"'h ~ 4qulo de ti"' IIfUoll reo;:ib. l." IIlUfl ro_odo IIlIi,••lo.

aiando

.1.

apllu 00 momen",

Ell e8UI ceo, .1 el.unal..., 6" el pro)l-.. .. complica por ,1 hecho de 11.'.u;tkalMlllt IlldltInDlllado. Por lo tanto, .. ~rfo, '-"le \Odo. ..._ la bl,. Ueld.d coutnilr 111. di.,..... di l • n.to.... l...i" cuaDdo plica . . . . . . 110 _IOto!1Jl (tiI. 5303, 1). Uo" rult.. JIG'I" el m6l.oclo COIll(¡1l upllu40 lO III u.pll.ulo VI. Ee l. I¡..... 533 ,... 1Itll\lo.1 clllllt'"'" tat.a.I .... fioll.ln ... 1D01IlI1IlA:. fl.~. Para balbr l . Dltad d. 6,/ .. puld. mtdlJpl.lcu.u diap.1U por.1 ml...o, .poalUolio !IJl.. l. Los ca (,IIic» resultau Iiaás Ilmpl-. • d di'lflllla deliiÚtI.. o '- IIII.11iplka. 110 por.l mllllllo. lIino por el di'/f..ma del mome.. t. u"lurio .pllG.ldo al 01

ue.ma ...

¡

.-*

a..

.1-.._

... ~ (fll. 533, t). E~ &lmplill«lelón 5t deduce de lto I'llgl. de determlna<::1611 d~ 1011 dup\t.umlentollll.ll 1011 IlaLemu blpelUUtieOll (..615'1 el § '9). Eati. claro el valor d. 6" obteDl40 por UDO de 1011 400 m'lbdos N.A el Illlsmo,

q~

6,,_

I

b'

llll7 ... +6It+{bl

Aa! pues, l. '_ocl. qUll se buac& tt>_

v'

UBI

.ti,

(,,1+ .w+-} b')

¡;olí,.

f 103. OIcllaclon81 pl"llplu d. lo. sillemu con &llIOrtltUlml.nto IIn8al En lO!! ejemplos Inalizadoo Interionnonte se suponía que J!UI asellacionell propiu del slstoou tlonon lugar sin d15peni6n d. le enorgia, es decir, sin las fuerzas de .ll/li.steneill. Partiendo d. es18 supoalelón las oseilatlollllll propias se proloogall un tiempo indefinido. En realidad, slo embargo, .lomp.e existen fueuu exw.iores dirigidu en eoot.a del movimiento de las masas y que conducen a l.

Filo a34,

disminución paulatina d. la amplltud de Jas aseilll.ciones propino D8I!IpuélJ de derto tiempo l.u.s oscilaciones proplu Cell&D completamente. La Deturll.loz.a de lila ruerz.aa de rll1list.&neia es dlvel'll8. Estas fuerzaa puedeo ser laa de resistencia del II.mbienle (aire, agua), la de la capa de aceite en loe cojinotes, 111. fricción Interior (lO las partículllll del metal, etc. Le fuerza de fricclóh depende delIlanera compleja y, a menudo, de manera indetermJnllda, de loa parámetros del movlml8nto del aistema elbtico. El ear'cter dl,l Illlta dep8ndl,lncia se puede Illltableur solamente de menera aproximada. Para mayor simplicidad, gl,lneralmente, se admite que la fuena dl,l resistencia es propurcional a la primera potl,loela de la velooided del movimiento. Por ejemplo, en el sistema analiudo anteriormente ImaBa muellea (Iig. 5M), al plantear lu ecuacion6ll del movimiento, se incluY8 IlJltre laa fuOUM exteriores la de resistencia ~, siendo a, el factor de proporcionalidad entre la fuerza y la velocidad.

Vohiendo

8

la ecuación (t5.2)

,

obl.ondrem~t

~ - 611 (-/lit- at). ~+21lt+(o)I~=O.

siendo

2n

• --, ...

•

1

(1)_~.

"011

(1S.5)

(15.6)

La solución de la ecuación (15.5) &e puede 89llrlbir como s1gue. ~ = A,-·' sen (o,, 'tl), (t5.7)

+

aiando,

ro,"" V fIl'_n", (tS.8) De la n:prll!lión obtenida (t5.7) se deduce que en el caso del amortlguamlento lio8ll1 las o.sellacloDos tienen Jugar con amplitud (

Q

.7'=---,

--

deoreelente (fig. 535) y con la Irecuaocia (,),. Esta última en poco se dlf61enc!. de m, es deeir, dll la rrecUODcla de las oscilaciones propiu 8\11 amortiguamiento, puesto que ni 8!1 pr'cticamente Insignificante en comparación con (O', Cada lapso de Uempo T""~ la amplitud de 1115 oseHaeJonllS disminuye según la /1Iz60, ~=e"r . ,-_u+n

Como vemO/l en e!lte CUD la fazón entre dos amplitudes consecutivas pennanOOG constaote y DO depende del tiempo. Esto lIS Justo en la m9dida en que la fueru de ll!L'list.encia es proporcional a la velocidad del movimiento de la mua. Sin embargo, en la [nro.oDSB mayorla de 103 sistemas oscilatorios que Sil encuentren ell la pr.ictlca no se observa esta proporcionalidad. Lo (uen:u de resis1.enc[a resultan,

... tomo regla gelIeral, depender de Je velocidad y de los doopluamieotoo dEl las IIla&a9 de manera m's eomplllja. Esto conduce a Btlriu COIQpli~c¡on8S en el adUsls matemUieo de 108 procesos oscilatori03. PIU1l POder I'IlCnnlt en l. 1I01ución de Iel! problemu ~riOll .1 aparato IIImple de fu ~ueelonee U_les, lllllllUc.hOl ca_. elllDVnflrnmiento, como le dice, 181J_1IU., llII decir, que. pesar da Clue lufuenu de l'lllIisteneie en elerta P>edld. D(I 11011 proporcionales I l. veloeldd, le emplee. n el • .dll".l. ecueci6n lIS.S/. Lll ma¡nltud del eoeficien\e ,. .. determlu del eo.yo, buindOM en la .... oración de l. dllpersl61l d. l. luerel. tu las c*:UlCloD88. En el 1110.......\0 4.1. mbillll d. .isei6n de l. m~ de l. p
llbrlo el IÚlllteme da Un grldo de liberttd

tiene l. eDel'llla potencial sIguiente,

I

Um •• '=-r(t,x,>a...,

,

118000 A). J•• mplltud de las oec:UactOJ)8ll. Loo eOUlff. c¡dtica en el momento de l. mi"IPlI d.vlacl6n le 1,...... cero. Deilp. del I.pso de Uempo T

A'

U_... ,_,...!-. ~"

.... dl(tn.. da eotnl ..tu magoitudes cotllllltuye 11 .~e que .. llinde en un cielo de las ose.lI.eiOllIlll. La dltpel1lJ61l ...Ialln da l. eller¡!. seri, ~

A~-A;

U .... ...

SI A.

Be

dit_beY poeo de A" A.... A,eA

----::tr-.

l1li

y

deeir, A._A,_A,

(A)IDO en el cuo CIl.odo el amortiguamiento IIn..11III peq:uaIIo l. ratón en!... doa .mpUlud., ClOIlllOlClUtlVlI ea ..,r, por lo l.aoto, 11 pire Clerlo .i....m. ae determinó experimenl.llmente l. dlre"'llel. enl... dllS ampUludllll CO"""",li"'" AA, baMindollOl aol.liUaldld dallll ellel'gludlalpadu.o UII elclo, podrelllOllI.lLrmer qUll,

~=t_c_"'T D. aqul .. delerm!na l. magoltud de\ coelleielltt "pt.rll elll;llortigulllliento lineal co"""pondiente lue ea &l¡ul.. lIlelltt, dNdI el puDto dI ..i5l.a de le di5pel" aiOo de la elllllJia, el Ido. Ee"- claro, que tt.l lloellllnel6D del alDort\¡ualDlen.to ea "'lide eo uo In· lI.nlodelll'tllinadode las 'lDpliludee y eualldo l. deevle.clOD que 811 o!»erve en· tre 1.. rell<:lolllil miel y 1" e.prollmldu UM.I. no • lOUY ~1Id,. E.o lo m'¡Orle ,le 1"" CU05 que 811 cocueol.ra.o onla p.lielIee MU vtloraetOIl eproxlme· da el a~¡gIIamlcnlo lit puede empl.... coo ",1Ic1eDte hito.

, 104. Oscilaciones forudll lIel slslema de lIe libertad. Ruonancla

U" grado

VellmOlj el C830 cuando &Obre el 3istlllDe de un ll'ndo de libertad (lig. 536) actúa una fUerza que varia según la ley armónica. P(l)_P.aenCt,

3iendo p., el valor mhimo de la fueru y O, la (rocuancia circular de su variación. Al plantear ... ~Ullc!ón del movimiento de la masa se debe considerar no sólo la fuena de ineroia y la fuena de resistencia • lno L8mbl~n la fuena exterior P(t), es doclr, la luena perturbadora,

o:t•

mt

t

..

H;ffff/QL~;2-~ Fl.. Ni&.

Según la primera de las ecuaciones (15.2)

t=~" rp(t)-m~-(ltJ,

•

(15.9)

Las notacieD&lI para n y fI) permanecen laa mismas. Asi pues, se ha obtenido una 8Cll8ci6n diferencial con el segunde miembro. Le IIOlución completa da &lita 8Cuac¡6n se compone de la soluci6n de la ecuacl6n homog¡§nea sin el segundo miembro y la so· lución particular de la ecuación con el SllI'lndo miembro. La ecuación homogénea se analizó ya en el pariarafo anterior. Su solución DOS proporciona la ley del movimiento de las oscilaciones propias COn amortiguamiento. Queda por determinar la soluci6n particular de la ecuación (15.9). Admitimos,

<15.10) siendo C. y C. conlltant8.!l indetermi"adas. Introduciendo 8llta función en la ecuaciÓn (15.9) d8termlnamos las constantes y de manera tal que se satisfsg. idéntiCflmenla

e, e,

... .._ti·

la eeuaeiÓG. RehltlI entonCM qlMl, p.

e..... ("'_CI)'+4..1Q1'

e.---;-,.. p. Un' ' " lattoducldo!l l. luei6n ~. •

-)1("

!:> •

e,

[

J COI

he

0')1+4.101' 18

obtienl pi" l. exprM16n de

(~_Q").I:IQI

O"¡'+h:t¡;¡f VI" di¡1+GlQl Introducimos l. Dotación sigui_ole,

t

.

y lit' ""g'¡I+"'ó1 -coslll· Como J. IUllUl de los eUldradOll de los eoefideotel!l de sen Ot J COIOt 01 I¡ual I la unidad podremOl edmlllr que

Y (11I1

y eotoneN

~D (Dl-ljl).

/lIliI

v'(t-~r+*

'0 euenl.8 t·-

_HO.

~

rTeniendo

bg QI)I+'..1111

que ;;kt-llu obt.endremos delinftlVlmentfl

P.&"

./( "'J' y t - ...

'.'lí' +-;0

Mn(Qt_lp)

liS. ti)

Ea decir que l. eoluci60 colllpleta d. l. eeulelóo (t5.9) se.....

t - Ae--' lMln (w.,r + .)+ t,0 CoJ.Do "enlOS. en el e..o que llUUu.mos, el sistema I.ome Jl'rta a1multhNmeoU! en dos movimientos oscilatorios. El primero tG~ tilu)" el movimiento OM:llatorio propio euyu amplitud y ru. se delenlllll'o de lu eondieioDGll Jolclal•. Estu oKilaeioulI aoll lmorticuadu J. de!lpué!! d. elerto tiempo, prktieameflte d_Pl~ ClIl. El NfUooo movimilnl.o IllIcilatolio U'llQeo.Fn COD II frllCullncil dll b fuena pllrturbadon, pero Coll UD dllllfasaje i,ual I 't. Este I:!l0vlmiento 110 llCI amortigua, aino que 11 mlMiene mientru actúe liI luelU perturb.dot•. Esw oacll.cloll." denolDil'lln OI!cillcion. 'on.du. L- .mplitud de estas oeellacion«l «1, !egún II elP'"

al6n (15.11). A o. - -7T~P~"~"i==¡;;¡¡;¡-

•JI/ ( 1-(7 D'

(15.12)

J' +-¡¡;r l•."

p.""

El producto consLituye el d~plaumiento que recibirla le masa m, si se aplica.- estAtlcsmenl.e la fuena p.•. Por lo tonto. el coeficiente, (15.13)

, - -7F-';;''W'=r.¡;"

./JI (I - 7.' J' +--;;¡r l •."

iodlca cuinus vooes la amplitud de las OS(:lIacJonas forzadas es maYOF que el d~pluamieoto estático originado por el mbimo valor da la fuerza perturbadora. Las terullooes qU6 aurgen 60 el elemento elhtico (muelle, viga. ele.) Sllr'n también el mismo número

de VllCes mayorllS que las est'litas. El coaficiente

~

depende de dos

magnitudes: de la FtlZ6n entre 18S frooutlDcias ;. y del par'metro del amortiguamiento n. En la figure 537 están dadas las curvas de la dependencia entre p y.B para algunos valores de n.

"

Cuando n_O, es doolr. cuando no hey amortlguemlento, la magnitud de ~, cuando coinciden las frecuencias de laa oseHacilmes

propias y las oscilaciones fonadas (!!._1), se hace infinita. Esto • indita que en estu condicione!! la amplitud de la8 oscilaciones pro-

"" pias cree&

ilimiUld801en~8. Cuando existe amortiguamiento (11:+0) p queda limitad., pero en la zona donde coinciden Ju freeuendu adquiere lIU máximo valor. El fenómeno que consiste en el aumento da le amplitud, al coincidir las frecuencis.s de las OIIllilaeione:;¡ propias y de la fuerza perturbadoI'8 se denomina ruonancia y la propia coincidencia de las frecuencias, tondicf6n fh la n.'Sllll
En la práctica de los cálculos de ingeniarla de la resistencia dinámica. el problema de lB resonancia, por su importancia, ocupa uno de los primeros lugares. En la mayoria de los casos las leYl!8 de variaci60 de las fuerzas perturbadorllS lienen cuácter periódico. Asi, por ejemplo, las partea móviles no balanceadas del motor en trabajo crean fuerzas que varlan periódicamente. El tren, al mo\'(~~e con velocidad constante, recibe golpes periódicos en les juntas de los ralles. Lu piezas de los aparatos establecidO!i sobre cimientGS que vibran (en el avión, automÓvil! reciben ell el proceso de su trabajo golpes con une frecuencia igua a la de la bese vibrante. Ejemplos de 85ta indole se pueden citar muchos. Bn todos estos casos surge hi, pregunta leo qué medida son peligrosas las fuenas perturbadoras pua el trabajo del sistema ellÍJltlco y si son o no capaces de conduelr a vibracioDe3 excesivas y a 18 rotura prematura? E.o!te problema !le rt1'luelve, ante todo, comparando las frecuencias de las oscilaciones propias y de la fuel"Ul. perturbadora. Cuaodo estas frecuenelas ae diferencia o considerablemente la una de la otra se puede estar aeguro de que el fenómeno de la resonancia no surge y de que lea condiciones de trabajo de 1011 elementos ellisticos son favorables. Al mismo tiempo resula posible calcular, sin dificultad, le amplitud de las oscilaciones forzadas, sin conocer previamente la magnitud del coeficiente de amortiguamiento n. Como se ve de la figura 537 I.u curvas ~ se diferenciaD sensiblemenUl entre 81 !lolamente eD la looa de la resonancia. Ya cuando la frecuencia O es vez y media o dos veces mayor o menor que la frecuencia CIl, se puede considerar que 16S curvas prácticamente coinciden y que el coefi. ciente de amortiguamiento n no tiene importancie. Se le puede considerar igual a cero, lo que contribuye al aumento de la reserva de la resistencia, Enlonce.!l la ezpre6i6n (15.12) será,

~_± ~. l_¡;¡¡

(15.t4)

Una vez determinado el coeficiente ~, llera Ilicll Calcular entonces las lensione.!l en los l;Ilementos ellisticos del sistema oscilatorio, (I""'O'&l~' (Ud5) siendo a,.\, la teoslón que surge en el sistema, cuando· se aplica estalicamenLe el valor mlixlmo de la fuerza perturbadora. Partiendo

de la tensión a, si 118 considera nee85ll.rio, ,se puede realizar el cálculo de la reslstenci. 11 la fatiga de 103 elementos más sobrocargedos. Cuando la comparación de lu frllCuencias

a y (,) indica que exhte

el peligro de la resonancia, generalmente eDil variaciolltl8 COlllltructivas, se consigue, segúo las ciIXullStanciaa lo indlquen,.la variación de una ti otra frocuelIcia. Lo más racional es variar las frecueneles de manera qua la raZÓn ~ aumento pues entonces (a Juzgar por la lIgura 537) la disminución del coeficiente ji rosulta más sensible. La maDera más simple de conseguh'io consiste tm slUlvizllf la ,suspelllli6n, es decir, en disminuir la rigidez de los elementos olásticos del sistema oscilatorio. Si el com.trllctor, debido a les clrcuo.!tantias, no tiene la posibilidad de variar 119 froouencias, entonces, al surgir el ~ligl'l) de la resonancia se practIca el amortiguamiento del sistema, 00 decir, el establecimiento de dispositivos especiales que eumentan la dispersi6n de la energla dUr1lnte las oscilaciones. El coeficiente de a.mortiguamiento n crece y disminuye as[ la amplitud en le zona da la rllllonaneia, sin variar la rela.ci6n entra las frecuencias (fig. 537). Al apl!car las fuen:88 perturbadoras, la. amplitud de las oscilaciones forzadas que S(l determina por la f6rmula (15.12) no a1call18 su máximo valor de una manen instant'DllfI. Seneell9it.a cierto tiempo mas o menos largo para ello. Por lo tanto, la resonancia que dura poco tiempo, como rOliJa general, no presenta,peligro alguno para las estructuras puesto que la amplitud en ese corto lapso de tiempo no llega a alcanzar grandoo va.loroo. Ejemplo 15.4. Un mntor que"" inMalallObm dO!! vigas (111l. 538) tiene u,n ma.o;e giratorl. duhalaDCeada m. (m",=40 kgl). La ueentrieldad da la ma"" ." ,=0.\ cm. El número da I'fIvoll1c¡on"" dela mua .._3 000 r. p. m. El peso d~l moto. '" ISO Y la longitud da 18.'1 viglll=I,S m. Lu vllas e!t'n lormadas por canelos N° 2 (vbll8 la ""bl. en el .pliodiee) d. momento de lnarel! d. la :MlCoei6n , ...... 304 om. par. cada IIna. Se neces(ta eom probar la 'Ol$On.n~la. La ¡"""uend. clrcular de la lu..n. perturbadora Q igual a l. velocIdad ID· gul.r de rQtu¡6n de la ma!oll mo. EntonGW,

kl'

Q_~2.n_3\~rl DetermInamos la fmeuenola de 1., ollCiladone! proplu del Il!tllml or..... clndlendo de la masa. de lu vigu,

,

",-~.

Comonu.mO'l pur calcular 6". mu\l¡plicandoel diagrama unllario (fig. tJ3!l) por !\ mismo, <1"

Q,lcul.mO'l d""p oó/! lO,

"

=m:27';.

Como vemQ!l, 1.. frecuencia! pr'cllealU8nte ooincld....., ... deeir, q\l' en el tl!wm.. d..M.' .Iullr el MLlldo d. J"M(lDIDcla. La manita mú "elL d. nitu e;sto COllllete ID lU!1.itull elolilll\lto d,l perfil por olro del surtido, 6$ dee!r, ~mbiu l. riltldu de 115 ,.llu El. &$ mú C/lllvenlente aUglllv l. IUItenU.elólI neogiendo ..11 DumefO mlllor!el perfil. AdmlUmOll, porojemplo, el Cf,~1 N"8 (1.._89,4 cm'l.

Ento_la Irecuel1CJ, drelll., delilll o"cH.clones propl.. Mrí., Ql-:>Hll"'-',

E!ltl lreclllloeie 11I dile19llcle ya mucbo d. l. 're&\lIIm:l. d. l. luen. penurbdoJ'l ¡;j, Por lo lallto, uí,u. l. posibilidad de, preso:;lndlendo del .morti~.­

,

Flg. UlI.

,

miento, calcular el eoeflelloU ~ por la fórmula 115.14)

~-±~.

I-IW

Exogiendo el elgDo ccrrupondienlll flUI que 11 _

po.!Hivo, obtendremos,

11""0,388. Delermlolmos abon. el valor mhlmo de l. fnona. perlurbadon.,

P._IlI"IJ'r_402 kgf. \en,16n que SIU'ge In lu vlg.! bajo II eet;lóll de llIltll fueru, cUlndn l¡llie. esUillumijDU, es, M P I ~-l50 a"I""2W;=8W;-~-3J6 kgt/cm', La

lit

.lenda 22,4 el módulo de la ","16n del perfil N°S. La tensi6n orlgioad. por 1.. DllClIaeloDIlII !ol'1lldu 119",

.

o_0'.. tll~131 kgt/cm'. E!w lell!l<>De! Ilternad..... lumlD I 1.. leOS[OIlOlll CODSlanlu o.igload.. por el pI!D propio del motor "" .. 180 kgl, "'1/ 200.150 a..l =!W;=rn;r= 15/1 kgl/cm'.

As! pues, 11 calcular 11 reslstonc!1 a. la fltifl de 1I v[gl lllI dlobe coTlllideJ'lr que el ciclo de 1.. tell.lonllll tieoe 1.. slgulenla caract.rÚlIlCM Domina.l.., 0'.=160 qf/cm l i 0,_t31 kgf/cm'.

~lo

Elemplo IS.5. Para mocil. lu vlbraeloDell que lurgell lO el .parale volado. plfoto lle emplN. UD captador compuesto por l. on" eatablocJda &ob... ona

base v¡bruta • tr.vis del muelle {!lg. 539). La masa se ulle a un contacto qlll Be d8ilplau por Ull poWnd6matlo. L&lI $I/1ale'! del potencl6metro!ill traoa'onnao eD ~a1"", de radio y 8e captan p(lr una e.lación tll1em6trlca 1ll3talada lO la Ile,.a.

¡

'(. -l.

Flg:

m.

~Gger 1"" par!met,,,,, del captador pa.. gua Iu 05se lrallllmitlu con tu mlnim ... delormaciones Jl'05ibJea de lu

DetermlueN l. mloor. d.

Dilaclonea

m$did~

Illlplitudes.

Consideramos que l. besa osell.

&Oll'~n

l. ley armónica de amplitud A. y

rrecuencla O, t.=A.-'lInOf.

P,olleindlendo d. l. n>sialenela eseribimo» como di común, aiendo lle.

t-i.=6 u (-mU. t. el d\'!pl...mlenlo de la masa y t-t.l. vnlae;6n

d. la altura del mue-

Aal pues, dlapuh da Introduelr i. HI'g'wos • l. e<:uaei6o dil,re!ICial ,l. gulallt<¡, t+",~"" Ao""..,n 01. La aolució" puUeulu da osla eeuaeióQ, eOlTQpondlenle a 1.... """Jlacio""" touaclas de la masa, aer'.

t" ""

A

g, ren "l1 = AoII!len 01.

1 -.;;r

Como

~J

tnm!mitirá es tkclr,

potenci6wetro Mta ",1'Clon.do con la bUll vibrante, el eapudor la diferencia de 1M malf'''ludcs ~. Y ~",

óI'~.19! prop(>I'1:lon.l~ a

to-t"- A, (1 _~) ~n "l1.

Vemos ahora que par. que la ley d" vniaci60 de tt-~ " ¡ue SIl transwit<¡ co'ncl· da Jo mM ~enament
t'-'"'

DeacolllponolllOO la lullCl6a periódica de lo tuerzo perturbadora ell Hti .. trlgtlnllll'll\~Tlell,

Lu cOlllllaole5 llo, ~J' ••• , de Icutrdo con IBl r.¡la. dt de,. milo en ".... ti. de fouri."., 50n los .Igulentl'l,

'r

2¡ ""

1lo='T ¡ NI; 0,-7'" ~ Peoerdf:

fl~.

HG.

COlllO rt!SIIlta
:w

2

2

p-p. [ Z+;-cos1'-3ñ

2 10nJ ] cos .,.-.... &nI 1'+5ií ....

/lb"... es IlIletl1larlIl luillar l. liOlucMn pa.llcnlar di lo

l+lo>"t= p. (-} + ~ COll ~t _ q~

~u.cI6o.

... ]

ser' l. Ilgultnte,

!~""

~~~

.. _(~). +.p .

"-P, [ ,1;.+ .~-('ir

]

BIJ"l. Icción d.1 II fulno. eno.!o. porl6dicoo perturbadono ourge un Nl.do

de _il.clo1>Gl complejo compu...to por ulUl _le do oseiloelolll3 um6nicu 'u· perpueslU. Lllmplltud d. coda COmpllDellte do la arm6nico dependo del perí... de d. l. luen. perturblde," r. Los c.oDdldo\llll de resollandl ourgoll po ... la oerle d. yl,\oros COJl3(lCull'fOll d. r,

T_~¡

•

I lOS. Oscilaelonn de de lib!rtad

T=~;

•

.lIlemu con

T_.!E::.;

~ario.

•

grado.

Hasla squl anaildbamOll los si.9teOlIS con UD solo grado de Ii· bertad y en los divllf80ll ejomplos nos cnnvencimos de que 1I car.eterÍ!ltle. fund.meulal del sistema oscilatorio &lI Ja fT8euenela de las oscl1aeion&ll propillB. En funci6n de Ja frecuonela do las oseilaeion&ll proplall se determina el grado de peligro de la ap.riclón de la resonancia y la megoitud de las tensiones en caso de las oscilaciones

f lOS.

Q.... LKt.....

u n"....u ......... rlu

,r-.l4. ~. llwrtol4

:i03

'orudas. Veamos abora Jos mhodos d! determinación de Ju frec:uen· clll de las O!ICllaclooee prople. en caso de verios gredosde ljbertld.

En calidad de ejemplo elemOlltal "'MmOS el .btema de la li· gura 5oU. Si prll5tiDdimOl de la masa de la viga y cOMideramos qUI 10lJ pe5OI!I fI!It.in coneenlndos, obtendromO!l el.ro esU, UD .t1stema COD dos erados de libertad. I Designemos por " el deaplazemiento de le primera masa y pOI' t" el do la se· gunda. De las ecueciones (tS.2) oblendremoe, t, ... .5" (-m,tl)+.5lt(-m,~~), l

t, _.5"

(- '"IE1)+ 6" (-

'".t.). f

(t5. t6) En lugar de una ecuación diferencial

lenemos equl un siltema de dos fltUI· ll) ciones r811pecto • lIS vnl.bl. t, y t,. Como al apliear l. fuou• • la pri¡nl!r1l mlSl. l. seguDda recibe cler\O dMplu..· miento, las fltuaelones resultaD reladofl.. MI. Dad.. entre sI (.5.."J'oO). f:xogl!mos la soJutlóo de las ecuaclOlles (15.16) como sigue,

'.!<""'II!Il!WJ

;1-.4, ..o(ul+lJ),

;.-=.(...0 (6Il+lJ).

(tS.t7)

Una vn lntrodueidu estas funciones en 1.. ecuaciones (tS.t6) obtendremos un sbtema de ecuaclolWl8 bomogéneas respecto. Al y A••

A,(6"m,,,1-1)+A•.5,""'.I)'''0, o4,6.. m,lII' + A. (6 ..m.,w'-1)- O.

1

(t5.18)

Este si.swma tiene solución no nule IOI.IIIellte euando su determinante es Iguel 11 eero.

',m,.'

.Alo)'-1

I

-0,

"

(15.19)

En el ejemplo qua aDsliJllmos 611' 15", Y 6.. ee det\!rmioao, multiplicando los diagrsmas unitarios (flg.54t), 41'

71'

6u -ll.. -m¡, llu=ll,,=l8I'1' Consideremos para mayor simplicidad que mI

_m, _ m.

Enton-

«IS, obtendremos.

,6EI (,)1

= 5ñiTi .

,OOEI

m. = r,;¡¡r .

Si el determinallte del sistema es Igual a cero esl.o Indicara que por lo menos una de las ecuadones as una combinación lineal de las otras. En nuestro Ctl90, cuando la frecuencia (O adquiere uno de los valores indicados, el determInante se convierte en cero y una de las ecuaciones (15.t8) se podrá considerar como derivada de la otra.

~" 11/,

m,

.,

"

"

F1Q. &4l.

Tenamos pues de hecho 00 dos ecuaciones, SiDO una de la que se puede oblener la relación de lu magnitudes A 1 Y A •. Introduciendo, por ejemplo, eD la primera ecuación en lugar de Il)' l. magnitud CIlt, para nl.1=m.""m, hallaremos, y si Introducimos Ull.

A.=+A." A.=-A"

As! puas, las fUllciolles (t5.17) adquieren las 8:lpre:!lioo811 s1gulentes: cuando m=(¡)"

e. "'"

+

+

A seo (UI,! '9), ~,= A sen (mI' '9), y cuando UI=m" A sen (UI,! +'9), t. .. - A fI/In (UI.t q¡). Por lo tanto para el sistema de dos grados de libertad existen dos formas de .'ibraeiones. Cuando las oscilaciones transcurren COD la frecuencia menor, 1011 desplazamientos de las masas mI Y m. se hallaD eo la m,isma fase (lig. 542, a) puesto que las amplitudes tienen el mismo signo. En el caso de la segunda forma de las oscilaciones (con la lrecuencia wJ las emplitudes serán de signOll opuestos, es decir, que las oscilaciones se encuentran en fases opuest.as. La. forma de In oscilaciones está representada en la figura 542, b.

e, ""

+

110$. O.. U"do .... de O'Iu,,,,,,. '011 "",1...

,rad
de Ilb.,lIul

505

De Les dos funciou8ll obtenidas se puede componer abora la soluclliu complete del sistema (t5.f6), ~ G. = A sen (m,t + lI',) +B &en (m.t + lI'.), ~ _ A 580. (m,t +lI'.) -B sen (m.' + !P.), donde A, B, lpl Y !P, se determinan de Les condIciones inlcialBll, es decir, se obtlelllln dadas las velocidades y 115 posiciones de las dos maSéIs en un momento determinado. kll PUell, el sistema con dos grados de libertad tiene dos frecU¡¡lDelas propias. SI el sistema tiene tres grados de libertad, t.endr' también lres frecuellciu propias y para oblenerlas ser' necesario resolver no unl ooulci60 cue.dr'tica, alno Ulla ecuación cúbica. Al aumentar el grldo de libertad se complica pues el problema. Ejemplo t5.7.

mase. cOOOIIl\rada

De~rmlDolr In

lu frecuencias da les 05GilleioWl! propias da l. lijada al pÓrtico de forml r (lIg. 543). La rlll:id~l de lqa

~lam.ol09 di\! pórtico. l. nu..l611 ea El y I la \oniÓIl, GI,.

f

¡/T'-

,

El grado de libert.ad del .bleml ea i¡uol • treo. Lu eeuBeio",," del mLe.. to ....iD, ~,,,,,- ,mt, t:.,

O, t.=- ~.=

movi_

-o"mt·.-O,....

~"ml,-~..'"t.-~.,m!.,

.. •.

"11~l-~ • .,..E,-~ "'~ Malliplicando 1M di.gramlS llolt.ariqa (rig. 54.'1) hall.rem»>, j'

Oll-ffi'

j'

OU-m' 0" .. 0.

o,,_~, ".. =0,

".. _I·(~+G~J.

Como 01l_0.. =0, la IBretlI". eeuac¡óo ... ull• .,.. I..dependlente de II! dOl

primeras,

,,=-

- ...O,J..

'"O,'~, ,. - - ... Oll~\ -"'~'(" ¡.=- In~..t..

LalI frec:uenei.., ~jeD6o

"l. y Ws se delermlDeo IHlr la f6rmula (t5.19), Introdu6".6",6.. Y m,_m._m, I BE/(, - 3'~ lJJi='7'iiP , ~¡,

...:-:Nr(5+3Y2).

Ejemplo 15.& Determinar la fr9cueneia da Iu O!Ieil.e!onfl!l propJas tor.Ii..,.

...11lS del 'Ibol con tres volantee, ud. uoo. d.e \(llI cueles tilllll el momento de Inllrc;1 "

(Ila_ 5<14).

fl,. M4.

El gn,do d. lJberud ·del .¡~teml es tres. pero sclamenl.e dOll gradOll de H. ber1.Iod 800 o.oeiletoriDll, ya CIlla une d. liS coorde... du dewrmlnl l. JIOI'iciOn del slstem. lotnpret.lldo tomo un lodo rlgldo. s..o 101 'ogul.... de giro de lw VOJl.Dtu9¡, 't'I)' "'o' Los 1ll01ll8Ulos IDllrolllell te5~tl"
rt,--l(p¡-I'.. Plaotellm.... Ibora tu eeolclolMlll.

'I',-'JI,--6,,/;P,-6,.Ii9.. 'll,-lp,o- <'1,,/,,_6..1';,.

(15.20)

l

(1!l.21 )

dondl1 101 CGIlllcJentu 6", 6" Y <\... determinan, lII.ultlpllcaudo 101 dI •• grlmll (Ilg. 5U),

TeMmo» pa,.

I~

aollll:iones do lo,

~Istemu (I5.~

>;l, o:> JI, ,en (iJ:Il >;l." A. lI8l1 (1')1

'J <'~.21),

+ tp),

+ 'P), lt'.= ...tIllen (loll +lt'). DeIIpu6s de Introducir MIllil fuocioo"" eo 181 lIIGuacloou (15.20) 'J (11).21) bllLuelDOll,

.11,+.110+.11.=0, A, ("u1m"-ll+AtÓ..1lol"+A,_0, .11,"..(0.>'+ A, llol·-t)+ .11 1 =0.

<"..

• IlIualando • c.o el determinante

d~1

l "ul(ll'~1

aist.tm.., hallamos

:1-"

""l~' b...l",t_1

6..,1""

1

ae donde, uoa vulntrodueldos 8({ul " ... " .. y"... hallsrflMos • •

GI,

t

3(;(,

"'i=/f' "'i--¡¡. Laa ley.. da vflrlael60 de los despl ...amleotos aogula .... comll!pondleotes 8 181 dos lormu de 1101. oscilacion\l!l del 'rbol "" reJl"l'lllotao 1.0 la ligura MS. EJemplo 1.5.g. De\.trmlna, l.u lreeunelu de 1&11 osc:ilaeloIlllll propiu da la earrD«lrls del autom6.. il (fla:. 546). t.eniendo en ooll.'lidenci6o eolemeote los

, a)

a

,

tt-

t

h,

C1! C1!

l'

L'

f..l.

ff ,¡"

tt I

.l. F1g. li4lI.

Flg.64&.

desplllamlentoa vertieales y angula. . de la m... eo el plaoo del dibujo. La m... de la eanocerta eS m y IU momeoto da ioarcla l'e!Ip«to al ale ceotral transo venal. r. W eIr&Cl.erlaUcas de lu balleatas lOO llMales,

1,_!.., A._!., '1

'1

.. alendo el Y', lCIII coelicienlet d.. n.\d... d.l.. b.UIIIIIIllI qu.... coDeld....o c1adOll.

1.1 ~eI611 dtl tellt.lo d~'vecl..r .. lndiuo In el dibujo. El sis\em, lieoe do. ...01011 uUberUod. El da .......,1"1.0 nnica' d•• tentro de rrnedad .. d.I,.. '"" 1 '1 el ",,,,lo d. Jiro l. urtWll,la, por 'P. La Ku..:lolHlS del mo'tlm¡ftllO. wh,

1'" -6u.l-6111~, ,,- -6",-t-6..14>.

Pan oHW,.illU IDI uficiellta! 6,\, '" ,6" u1cullll1os 10If n(u..-u. qlltl aLl'J'G ID Iu bail... u bajo J. ItCc.i6n d. 01 Kt_ da'lIKU witaric. (11&. 5461. Delen1II.... ,... 101 deI,IIUllliolnl.Oll ., "'cu.lOl!l oS. ¡riro d. l. carroc.rf. bIojo l. ~i61l 6t Mtao IKlGns da fueru. obt.eJlluclo, ••

"

1I1l-~+'JI;,;'

...

"., ... 1I,._p;;;_~'

t

I

1I.. _~+~.

LIllI fl'e(:"'lIClu .. d'termiMD por l. 16••111. (lS.ti) ID 1, cual _, .. 1I.1at'lu,.

,.,.. '" :t _,_ por / •

• 106. OIeiluionet longlhtdinalH "

l/ni

blrrl homogM!1

Anteriormente !lB demostro que el estudio de las oscil.elones del ,¡,leme que IjeDB n grados de IiberUlcl se reduce .. l. soluci6n de n ecuaciones difereneiall!l:! eonJunl.u. Cu.ndo n=oo. es decir, en el calO de un sistema de maS&.! distribuid" llene lugllr un paso

~á._;-,------1I-::nf" --,-1_-,." --!A'iL fll. 541.

cualitativo 1'0 la ley indicada y BUr¡e la necesidad de resolnr uoa sola ecuación, pero en derivadu pa~iaI8l!. En calidad de listema limpie da maau destribuidas veamos l. barra prismática homogénea en la qua le generan oseilllciones longitudinales (lIg. 547). Sea P 11 densidad del mat.erial da l. balTa. Ento0G6S la mUIl dal elemeoto da b barra de longitud d: llerA, dm_pFch. Si designamos por IP el desplnamlento uial en una sección uriable, eotoDCll3. ao_linndo 1" condicione" de equilibrio del elemento dJ, obtendremOll rácilmente. .•

IN

ph=". POI' otra parte el alargamiento del elemento seri,

a-r.:-Y.

(t5.Z2)

....... ,...-Uil'

Eliminando N de lu dOli &euaeíon81 obtenidas

balh",m~

(tUS)

A!l1 pum, belll05 obtenido la eeuaci60 en la que la m.pUud que • huaca IP 81 un. fu.oci60. d. doe ..ariabl. 11IdeJ*1dieote5 a y L Su IOIuci6o • la !ignieote, UI_ZIe.l1111t,

llIIeodo Z. una runclón de 110 11010 11lJUlDeJlto 1odependleote. J. Un. vea Introducida", en l. ecuaelóo (t5.23) b,llartmO$.

~+~Z""O. d. donde .. obtieoe,

Z_A nn

~1.+Bcos ~I..

(15.24) Les constantes A y B l!e determinaD AIl· M&. de lu condiciones de borde de la bar,.. Por ejemplo, si la harTe cstA libro en un lU:tremo, Balonces IIn é3111 N_O y, de acuerdo 11 la expresión (t5.22l.,;¡" 8i -O. Si el extremo de r. barra esti empotrado entonces IO=Z_O. Supong.mOll que 11 bllll'8 8IlJ empotrada en el extremo Itqulerdo y libre en el derllCbo (fig. 548). ElIl.onca cuando 1.=0 la runción Z=O y tu.odo 1«=/ su derIvada ~ -O. NlI pues, nbtenemos,

..

8_0,

ACi»

"

~I_O.

De la O!tima upresl6n M deduce que 6 A -O

Ó

rosx

x ~ 1_ O. En el primer CUCI se obtiene pere 111 un& sol uci60 o\lle que no presenta ¡oLerás. En el aeguodo caso,

'" ¡!f-yl2n-'). sieodo n, UD n6mero eotero .rbl..... rio. o. equl le obtiene un• .eñe d. "lores wflMiCutivM de 1., htllCUtlDCiu proplu de 1" o"cilacloDu longiludinaJes de la bun.

w=Ñ(ba-t)

~.

(t5.25)

·" "'1 PU85, la bina llene una infulidld de frecuencias de Iu oaeil,· tiones propi... De .cuerdo I .Ias freeulrtein pueden aUl'flr 1011 c:orrespoadleotell estado.t di l'mOlanel•. Le f...eueoeia mú baja o, eomo ! I dice, t. frec:uencla del tono fllDdamllGtal sed.,

g-%~. lottodueiendo tlI (t5.25) en l. eIprmi611 (t5.24) 1I8 pulid. determinar 18.8 formu d. 1.. o:te.Il.eion8ll eotrellpondientell I IO!I divt!. lO' Ylllorell de A, A (2)l-t) ... 21 Z _ ... sen

W_AlI8D

(21)-I)n_ 21

$ClllCllI.

Lu fomll' de In oKilaeioolS .se repreeeotlln en l. H¡ur. 548. Le '¡Hlrici6n do un. u olla forJlI di In oscilaciones dependa de 1..

eondiciones Inicial. de pne-r ¡clón de 1... oscllac:.iones propl". • \07. oseil.citll•• IJUptrsalh d. I1 vita

Veamlll lu OItCiiaelona lltnSVelVles de un. vip d. WiCCi6n

constante F (fig. 5'9). lA masa del ulmo de la viga de IOllritud Ih

ter'.

dm. = pI' ds. I¡ludo p, la deosldad del m.teti.1. CoMideraftdo qUI /1 • el desplaumiento tnuuversal, obtend~ m05 l. fuen.. de IlIarel. eorrespondianle • l. ullid.d de longitud de l. viga,

q_ -pFY. El 8igno neg8tlvo indica que la cua' q está orientada en la di· roec!ón opuesu a la fieeh,. Como del capitulo IV aabemo, que, ~,

El ¡;o = q,

obtelldremOlll para tu 04CUaeiones transversales de 11 viga,

"'+~jl" ,.. Elij'f' -O .

(t5.26)

Al igual que en .1 euo de 1.., ox.ilacloou IOllgitudinu. ad· III.ltim05 la IlOIuei6o. aJa\l.Jente,

.t,

r=Z lilA qut una vez: louoducldl en I1 etuacl6n QOS d., ZIIVJ _II'Z =0,

(t5.27)

'"

alendo

g.=e;r.

(tU8)

La solución de la ecuación (t5.27) ea, Z _ A !liD (1% + B cos tlt e ah (lt

+

+ D ch ato

(15.29)

e

¡.". constantes A, B. y D ae obtiau8D de las condicioues de borde. SupougamOll que la viga está articulada 8U aus ettramos, como se Indica eo la figura 549. Eulouee5 8U cad3 apoyo la flecba V y el IOomeoto f1ector E~~ Beráo igualoo a cero y, por lo tanto, tendremos las aigui8lltea condiciouoo de bo....

,

d••

cuando

,,

cuaudo

De las dos primeras condiciones se deduce que B= 0""" O. De la9 otras dos. A sen al +Csh al =0, _Á seDtll +C sh ti/_O. Igualamos a cero el determinante del aill\ema, 9l:Inal ahall_o [ - sen al ah al 6 sen al· ah 01_ O.

FIl. 549.

Como el seno hiperbólico se C(lnvierte en cero solamon\e cuando O. obtendrem08, senal_O, 1U=1tIl,

(,J _

o dI acuerdo con la notación (15.28).

1Il"".,. JI PP' nl"I

~

l7fl

Como vemos tamblliu en el ca~o de 18.9 oscilaciones fJexionanles se forma une secuancla lnfinll.8 de frecuencias que, 8 diferencia de hts oscilaciones longitudinales, son propordooales no a la primera polencia de 10l!l Dúmeros de la lJ&rie natural, sino a la segunda. La forma de \a linee elbtita de la viga dunnte In oscilaciones transversales 811 dlltermine de la elpreelOo (15.29). Como 8=C=D ...0

... y

~

--7'

obtendremos,

••, Z _ANIl,.

EIl las OICllacioll.lIlI eornepondlentell .1 lODO fundamental!. viga f1ulorul qgiD 1101 semloDd. de .iousoidl. Cuando 11_2 aparecen dos Mmlondas, cundo 11_3, tres, etc.. (r~. 549). De acuerdo. estu freeuenel.., cUlI.do l!.I:istlO fuerlU extarion& que .arf.n periódi. c.meote, pueden .parecer (IlI\ldOl de resonancia. Las ampUt.l1da de las div.rsu formas da las osen.cillo. proplu dep'Dd~ de las eondieion. loicial_, es decir, del tipo de pertul'b&el.60. SI la perlurb.ct6o. M debe. UD golpe sobre la vigll lololte8ll 88 oldo vlbradODllS IC6sUcu de díaUolo lono aegiin el lugar de l. vip. doooe ,. dio d golpe.. Si este último tiene lugar ID el centro d. 1, viga, Inlonces la múllll' amplitud cOrt8'lpOOdllt' I " [oml fuod'lnlotll d. oscilaciones Y' 1.. qua t!llDElO un lIÚmltO Impar de eemloodu. SI el golpe se da llll la, prollmld.dee de uno delosllpoyos, Jllilnln un papel ImportlnUl In formu con UI1 número pn dI semlondu y el lono Icilstico de las vibraclone.. !ler' oleo. Iill

EJemplo 15.10. Determina. la r~\I.oel. fu.ndamental d. lu O
y

z

P.,. la fullGl6a Z (tS.2i)

----- -I

"di~polM d.

ewoe.do

z

las sJrulffltelJ COCldrei_ d. bonIe.

_-O z.o

J

RIl.1 u t _ cM ...I¡. (w.ec.do _.1) eorI.IOIol .. ne. l¡ualllll • ClllO. Pot' lo leto.

'";r.-O. " _'UD f1Ietor J la fllln&

"" liT-O J "'Z U·o. & _Ir. d;.,po- .. Clall'O fl:llKIOD-,

8+0 0, A+C O, _A _ al_8 ~ .I+C eh et+ D di .1_0, -A ~ al+Beenal+C eh et+O ab etoO.

,,,

lA reh mIDI. . di ..ta 1K1IM16D trw._ndllntal AÑ,

al_l.an. Telllllldo MI e_la 1, oot11l16& (1!>.28) haUI.IDOI l. fNellelKll, del tono [und... mlnLoI.

3." .

"-T yro pp.

PUl det
polldl'lI~

el'

0_.10 d.termln•• lu llOrTM-

I 108. M'IIMIo. lIpn1xlma4Cl. d. d.terminacl6n

1Ie 1.. lreculndu de lu nellaclon" propia. de lo. ,¡,tlmal elútlcot

L. pr'ctiell d. t,. dlouh)!l de las osen.cion. d. 10ll &Ut.emu elút(cOll demuostn que ID t. Inmensa mayorlll de IOI!I cuas Iu almpllfle.eionl!l!!l que se .dmltl••on en 1011 prohlemu que mili .rrlbe se .n.Huroo SOl! locorrectas. Aal, por ejemplo. genertlmeOle .. ro...

rl .. 661.

propia do 1418 Jlgeduru e1úticas (vigas, drbollllll son compBrllbles con lu muas .plicad8l. A eu VOt lIStas úlllmall .an vet se pueden Interpretar como muu collcentndas. Genenlmente en J. pdctica de loe dleuloe 1101 IIllConU8m05 eoD vigu° 6rholllS d. rl¡idol • .,1," hle y de mua distribuida da manlra un unifnrme. En eetos e.sos la de1.ermlnaci6n de 1... frecuencias de las ~i1acioDee propias pOI loa m6todoe expueetos I1llerionneDte reauh.a c.ompliClldo '1 ee P"'" lerl.bl. la aolución apfo.lmada. Id'" abajG ...effllnOll e/ mAs difundido d. los mhodos Iprollm.doe, el uultodo de Rayleigh. Supollgtlmos dado cierto sl.!lteml OllClJltoriu compufl'to, plM' ejemplo, por la lipdun el.btlea (le "'¡gI) 1 cierto número dI mil.. n¡'du • eU. (fig. 551). Enlt. estas masn puede fl¡unr tambl6n, por putee, la mua de 1I propie viga.

su V.mas la fotlXl.a de"', OlI&ilaeioo. del toDO luudllmeaul J admi· q1ltl lu oed"elOUlll d. todu Iu m.... me eot'is.icu. Lo. ley d.1 lDorim.ieato d. la muI 1 . . . b ~ul"t •• ttm~

II,-A¡l!I8n(""+lf'I·

La veloeidad de l. mua 1 .IOd, ,(_A,-cos(mJ +~).

En el momento culAdo todu lu muu puaD por 11 pastelón d. equlllbrio /JI • convierte lO cero y l• •eloeldad /1/ alc:aDU el ••Ior lúlimo. BI '1101 rnhimo lo i1elouni ~mbl'o l. eoer¡ll e1.Q6Uca del salama.

._.

W IDIJ'gI••lútlc:a potencial e1.tal.tema sed. eD

1l!It8

calO, Ilual

Cuando'" d....¡.eI60 da las .lllUU de .. poslcl6n d. equilibrio lIS la mbima, la '1et¡'Ú einética sed I,..el I cero, mlenttu qua la

llOOl'JL. poteoci.1 da 11 ...lpo n.xlolll.d.a _ , la mh.llll.l. Anotudo V, obteDdreo.os d.... eoodicl6n de ... eoDSGtueiÓ!l d. la laer¡rta, .tlI 61tima por

~ ,., ftn¡AI-U

•

.'--.--'" . J.f

(t5.31)

·,AI

P.r. poder ea1elllaf por llSUo f6rmul. 1a frecuencia. olltllSllrio CODl;ICer La forma d. ti 1l0lla elástica de l. vlp.. Peroála puede ler determinada solamonto aobre la base de la 801ucl6n de la ecueci6n diferencial, llI!I doolr, sobro b bUI de 10:5 m'wd0:5 IJ:llttO/l quecondu-

cen • tilcuJOI muy complicados. Parece que el método aner¡itlto d. datermioacl6n d. Iu frecuanelu propias no tlDl11 ventajas .IruDaS. SU! embu¡o, COJIlO en el &uo de determlnacl60 d. las fuenas alticu (capitulo XIV) .qul Diste l. poaibllid.d da deLermin.r le fr«:ulMltia W, 110 pen 11 eonfiguratl6n 'Uttl de l. IIDee. elú&ica d. 11 rip:, sino ptn otlto, .proz.im.d•. En eet. &UO la fr«uentit que • obtll.Oe pOI 11 f6rmul. (t5.31) H dllereod. poco d&l ulOl .ueto. ~ 1$.11. Deterui_ por 11 m6todo a. R.,hl¡ll t. rt-.lloNÑ:l• •¡.. aI_ la odJaeioflII proplu loocitulil•• t.. dll .lsttma c.ompoesLo ~ l. buft ,11 __ ••pileld•• Wa (6'!., M2l. Le UIMII l.I buT• • _lO tu loa¡ilud, I , .. ri¡ia. . . 1. ~i6. E •

a.

a..

'lO Co~ld.oremoll

que .) d.ospl.u.mlOllt.o '" pu, lu d.l.."""", _III,*, d. It: bamI 8lI: Unl función lloeal dli , ({le. 652)•

..... .4

•

T

Y eaLeult:mllS, en ~ _ . la frllCluencla .. por la f6l111ula (15.31). En el cuo di la balTll trteelolllda 1& llnllZ'gll potenci.l

.16. w=

J

I~~-TEF ~

rl---,.,

.'d., I

01 .liirgamlonl.O unll..rto, ..

Á

a=¡¡-T' Pnr lo tIonlo,

m

Delo.min.mot doopu'"

.

•

'5''''1.41.

,:1

Esta IOIlml doOOri cak.ulenll lallto para la.

bina, como p.... l. mua .pilc.da.,

LI mllJnltud

~

•

FIlio IU•

,

L""A'- f~ (JI il.' r

r

.10+",.4'.

• qua H¡ur. bajo 01 ""roo di la Intallral, conotlluyel. lllfBl

•

del .le_nlo do l. borra d. longllud tI¡ y liT' el deopl.:tO.wltnto deo CIIltl Ilomentoo Por la 16rmul. (U.JI) 81 obtleQO,

.- ( •

1

EF

, )

(15.32)

"'+]""'"

Si la masa di la barrl M peque¡¡l, 8010n_. U o;,¡.... ¡;;¡ .

Genonl_ntl

'1\"'.

que fl¡ura en la OKpteal6u (15.S2)

lIiI

Intlrpreta como la

........ ndudrkl., /. como 11 cH/ktenu d4 ~1611 quo lodlCl que por!a de l.

m.u del slnema eibtlc.o ... dobe unir. la ms"" oeellute principal p.t. colllid.. nr la c.pac.ldad de luen:l. del elemento t1btlco, eo el caso dado de la bar.a dada. La magnitlld del coeficiente do reduce:¡6u dapeoda de ,., pu"tlaulartdade:s dol .l.stem. Y. ell un. p!lqueñ. medld' J da la loy de dllltrlbuel6n admitida do lo. deeploumleoto
51' tllO

(lig.

~,&I.

latro<1l1Glendo la

cons~"tf

iodetel"lllloda .4 obteodnmoa,

v_A (.'_3"").

CalelllalDGiI ahotll,

~

• """ "'lA 1-"'V-..I+

'o,

¡'••T JI·{.'-3h"J'd.,

•

.E "'1"'_4.411' (m +t& "'o) . 'o, E. declr. que el coeflciente de rllduc.:i60 lB 331t40.

., ~ 6,

¡

______ m.

.Ift

m

---.',.}

I "~.ll :u

p-,----}

•y ';-!A-

FIg.6n. EJMlplo

1~.13.

2.

m

E/, z

FIg. 564.

Determina' por ti mlllodo de a.ylelgh le I'''''ulocie In-

ferior d. 1.. oee!lleloollll propi.! d.a lo vila d. rl¡¡ld.....,iahle (Ilg. SM) C<>n t_ ma""," aplicadas. Se pueda p,_ludir de pew propIo da l...1111. AdlllltilDOiI que la lln8ll eli.tle. de l. vil' durante 1.. oecllaeloD$lI puede eer IlIp.-ntada por la fundón.

"

v-Aoeni/' l.A eoo'lJII polonebl de 1. barre (Inlolllcla

J

J

1 / ,

u=~ EJ~d..<>Ef

JlI

l/III.

r

'1

(ir ae"'Ü d.+2El ~

A

,(')" ,n., 41l1enlJ'"

tina ve. reali.ada lo lolegrael60 bdlaremO$, U_E/A"

Mú adellnte hall.mM,

•

(lT)' (-}+-]¡-). ,r; ,

E. "'¡Al_2m ( ~ -,-)

'o, y

por l. 16nDul. (15.31),

+2",04 ' _3","',

En toda una seria de cal508 pers Is linea. elhlics S8 admite 111 que re:!lUlta, al aplicar al sistema cIertas fuerzas estáticas P¡=mrf. Entonces la energia potencial U podrá ser representada como la suma de loa LrllbaJos de estas fuertlls en los desplazamientos correspondientu A, ea d8cir.

La fórmula (15.31) !lerá en ll9l& CIlSO,

•

~PrAI ¡,¡I=¡¡_"_ _ ,

~

(15.33)

p¡Al

siendo Al, la flecha aD el punto l. origioads por el sis~ema de fuer¡aa Pj' Sobre Is hase de la expresión (15.33) se puede proponer un método de aproximaciones sucll8ivall para delermloar las freeuancias da las OIIcllaciones propias. Veamos el ejemplo siguiente. eJ~llIplo 15.14. Determinar la frecuencia de lu o,cilacio..... propia. dal ',bol c~ulonado coo diseo! mul ...os da 1 300 Y 2000 kgf l'llllpecti .... wenlo (llg. 555).

", Flg. &$8. Par. recurrir. l. up",slón (i5.aS) &! nec:esatio del.eZ'wlnar la Inrma de lo Hne. elbtlco del 'rbol. Como primera .prolimocl61'1 (lSCogUllOS lo Iinoo el'!\ieo dal 'rbol 8oliCil.o.do e.tátlcamenle por 1... d"" fuanu dad... y por el peoo propio. Como la rlgldel del '.bol ud. conatlln1.llmenta e lo largo del eje. la determlnoción de 11 Hnea eUstiu PO' &J w6todo allalltieo del capitulo IV preenta grandes dif(cull.dllll. En IllItO$ cuna lIIl 'rtoeUml al m6todo gd!leo O 01 m6tooll d. l. In"l'ación oumócica. E.te ultimo ••tualment. so .mpl.. mú. V..mOll lISte Ul6to o. Ante todo e3WgemO$ el pe~ d. ra lotegr.cl611 • lo largo del eja del ttbol AI_tO cm, dividiendo ellÍ.rlMll en 30 Iremos. lnte.pntamos al puo propio d..1 .rbol como fueu., conceolrldu .pllcada! .11 "tu MCclooea, IlIclufeDdo eD

". cada fuelU el peso del \.nmo del "bol de

longi~ud

5 cm I la dereo;ha y otro de

El_E;

Igual longitud I b. Izquierda d. 11 aeeclón. El peso 8lIpooífleo del m.ten.] ee

7,8·\0-1 kgflem'. Calculame» .l1lmib PI". cada MUlóo el valor d.

(B-2·tO' kafJem"). Lo!IresultadOll del", cAlculOlll 1011 ubleamOll In 11 labia lS. c...lcul..lIIOlI d""pulis el momeo\.O neet.or MI lO cada oeecióu COmO l. ouma da los momenl<» d& t.odu lu fugnn que se encuen!"," • UD !Ido de l. MoCejón. Para .Uo, duo.tá ..d ollC8H.flo determinar lu .....eeion&:o d. En OU8lItto eeu l. l1Iae<:l ón lO ,1 _poyo llqullrdO '" Z226,9 kgf y ,n. dnecho, 2076,1 kg(. Del!pulis d.. e6lculos limpIa lIe llluD lu eolllmllL'l , y.5 d. l. tao

'r:'ytIlI,

bla 13.

El 'ngula de iDelia.clón da l. 110M elbtlea (1 iotegnlcióo, ... dec:lr. lIUDlIOdo las lDllioltlldEllo

...

d"tlrll1l ... d. l. primara

'M

Y&-_'f.if¡fll. '_1

M¡"":tll' I

lA magnitud 6' llII dUeNl1GlI d,l 'ogulo !ul ti III qUI, .1 talcol.,l_ DO .. biD cOlllliderado 'üo lu eondleioo= de apoyo de la barra. Oespu6s da obtener lOil valorea de ~. determinamos 10$ d.,plaramienl.os ~ ., aio coaslde.a. 1.. C(lndlclon\lll de borde

,

v'- '9.

Loe ~Itados

6ilu. (:', do J... úlculoo "" ublcao ea lu co.lumou corre!polKilentell de la

table 13. Oupuée de uoa dobla IntegraelOo lIlI ohteudtb doe ronsu,nlea

C, y C"

V_..-+C,o+C" dobatiD escoger do mallera tel que cuando 0 ... 0 y .""'/ el deoplaum1.oto IJ _ Igual e CIII'O. La prime,. oondicl6o lIIII cumple clllado C.-O y la aeguada, cuaodo

QU8 lIIII

0_22II,99+C, aoo,

de dondo!MI obli.ne C....-O,75664. AsI, Jll!i&, V"'V o-O,l5ell4 J. 00 Mil tlCua· dOo III det.o.mloao loe valoteO de V y III 'nlroduCllo eo la ll:ltlma column de la tabla 13. Sumamos dillpuM los p,oduatoll VI7 obtaollmlo,

pi

" 'Y ,-:1

P}'I""22t,1 tgl,clll.

pi,;,

" ~

1':'1

"M_u,s7

klll.om'.

EntonCllS d. acuerdo a Ja upreslón (15.531, ",1_18322a-', "'0135,4.-'. Bate valor bu_do de la ~uenc!a JI ob~lelll como prlmo.a aprodm.clOn. Para pf9Ciaar el teOu1l.ado ae debe tan.r eo cuenta qU'e durante las OlICilaclonl!:!! el ',bol. IIOIic\ta no PO' lu fu~ del peso "'l', ah.o PO' In de Inarei. -"'N. eoIDO pan el pUDio " '=/llaeo (1lIt+'I'I, '8:'Iul14, i=- 'lD'aen (<¡JI +'1'). AsI pues, al valor mbhpode la fuer:ll deloero:la en el pUDlo I aet' "'/110)1. T. IIlendo aa cuen14 los v&1o.... de '1 y ",' conespoodleotell a l. primer. aproxlml'

,

clóo y vatlaodo los valores dalaa fue••a. P¡lota ral.ol6o

..,,: • obtendremoa qua

•••

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• •,

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• p pl'..¡""22I,4 1I,'·cm, :E ¡,t.. 12,OO 1I,'.cm', 1.1

1lll"_1809ll,-I,

"'_134,:;"-1.

UD. '1U calculado .1 1I1,l8"0 ••Ior d. . . . pueda p~ • r. .prollmeel6n IIIpl'lltt. Pa.. ello. ulc\llan d. llUevo los .,.lol'ell d. lu (uerzu lIUpoallodo, pUl

t

doode ../ J

1D"

pll " ....

-

f

r'

torTe!Ipondln Y' • loa mu¡udOll del. eepod, .pl'OIlmlei6o y Il(l

de l. prlDMl'lI.

Eo .1 eJemplo que ....Uum.....la Imb..rao. 00 h:r. IlOCeIIclJd. d. f1lCllnlr .lu IproslmKlOllu aIpltllltel, , . .to qUIlo. ...1 _ • al obteni"tIIS _ dlJ. 1'111>1'110 J'OC'l,1 WIO 0111.1 otro. 1.1 oIl1a"n.ela Illtl'lllOf ..1_ mulla .D5ibt.mute _ DO 1610 q.¡.,. •....- proploe'" l. hll.egntl6n "lD6riCOl..si_q.- tembl_ _ que lo. co........ al ~ ti .m.-. lU dleulo. Por ejul,lo, J. M1~i0611 ..... 1, ella) loa .~ .'"••bIoluUIllU1f r~4. 111 l.ilI coDcllclo_ reales .,1 ~JIODII da pClI" .1 '1 .mil' .... JOf' qua" pn>p1o del

-!ut.

_todo da úlcuJo d••.

ED l. aetl1lllid.d el J;I1'todo de R,,.leigb d. c'lculo d. Las [reeuudu H sustituye por los m'\odOl meel.n.ieOll. El dilundido • el de loe pulmeuos d. otigeG que se IJpllcó COD d.ul1e en el 197, Veamos fll aplieaci60 ao el mismo ejemplo del 'rbo) eecalooado 555). En _te caso en la ecuacl6n de las osellaclollel!l.

al"

(n,.

(EJ"O)o+pFV", O•

Lea magnitude3 El y pF verlan de tramo en tcamo, Jl(lrmanedendo conetant.e8 en cada uno de ellos. Suponiendo que y=Z 80n (a)t, obtendremos. EacribimOll esta ecuaci6n en forma adimenslonal, euponiendo Z-hl: t_lt; 1#"""

::.'@W:

(t5.M)

tiendo 1, Ja longitud dll hIJo), l. 1 F.. el IDOOlIOto de illln:ia 7 el irea de le lleCCión del primar tramo. EntoDcea 11 ecu.ci6D seri, ~

~ 1,

...

~.-,,7Q1I"=

••

O ,

·b

•,•

,

~ $ ~ ~

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Introducimos tres nuevaa variables,

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"'1-"":

'" ~-'1.

1 pasamo!! al sistema de cuatro ecuaciones de primer ordon que eseribimG!l en difef6nclaa fJnitas, 4'1"" '1,4C; 4'1,'" ""áC: áTJ. "" '1.áC:

)

FI

L\'1I=p,1'W:'1L\C.

(t5.35)

En al apoyo izquierdo el desplazamiento 11 y el momento flector son igualee a cero, por lo tanto TJ¡•• ""O y 'Ia:... -O. 1..119 magnitudee 'l,¡.t-A y 'l.\~.-B permanecell indeterminadas y deberán ser escogidas de manera tal que en el segundo extremo del árbol (cullndo t=f) Sé convierun en cero el deeplaumiento y el momen~o, es decir'!l<: ,-O y TJ"~I-O. Estas magnitudes dependen llnealmente de A y 8. 'llar 10 unto IJ¡a' =<: a" ti '1>: .., -=tt."A

siendo

a,,,

a lt ,

a"

Y

n..

+ a,,8 O; t +a..8-=0. { <=

ciertos coeficientes por ahora

(15.36) d~noeidos.

Las lr&Cuencies que se buscan se determinan da la condición

1"" ""1

D_ a., a -O. n El orden a seguir en los ClIlcul03 I!ll el siguiente. Primeramente, pera cada uno de lO!! siate tram03 se calculan 103 valorell del coeficiente, F!.l

F,"

I

d~

= di" '

siendo d" el dl'metro en el primer tremo y d. el dl'rnetro del tramo en CUll!:llión. se escoge el paso de la Integración L\C, por ejemplo, át""O,Ot, obteniendo I'8.'lpectivamente 100 tramos de integración en toda la longitud l. En este caso. en el programa .IIe puede p~indir del bloque lógico para calcular el coeficiente ]- ~-I(t> y simplemente introducir en le máquina ,la table de cien ndmer~, si eslo lo permite le memorie de la miquina. Eo los tramD!l donde figuraD. Jos discos maslV03 al valor del caefi· cientei: !¡.. debesUlItituirse por la magnitud : ~ ,siendo M. le maI . , _ sa de la parte del disco correspondiente a le unidad de longitud del "bol y M" la masa deJ árbol por unidad de longitud del primer tramo.

52' Hallawo.s el orden del valor de la f!'tlCIIBneia adimenslonal 11),. Para ello simplificamos al máximo el e.!!quew8 de cálCUlO. Supongamos que la rigidez del árbol es constante e igual a El I Y l{l.'1 disco" masivos lIon d69plnadOll al centro de la luz. EntonciIS la freeueocla

JI'

(véase el ejemplo ISA) será OJ= ~J', siendo M, la suma de In masas de 105 dos discos. De acuerdo a las notaciones (14.34) obtenemos, üI.=

y ~II =3,26.

Suponemos abora que (1)"-=3,3. El PUl) de la variación de la frllCuenda 6,(11. se puede considerar, por ejemplo. Igual a 0,1. Integramos el sistema (l5.3ti)deC-Oa '=1. Los valores originales de 1] y fl. son iguales a cero. Eo.lo que se refiere 8 109 valorel! origioaltlll de 1], y lb suponemos primeramente que Th""A=t y '1...=8"'0 Y después que 11.=A=O y '1,=8 ... 1. De la expresión (15.36) se deduce que en el primer uso (cuando A=1 y 0=00) 11(,",""'4", '1.(",-40,. De la segunda Integracióo oOteoem.os a" ya ... Hallamos después el determin/lnte D que DO resulta. ser igual e cero. Sumemos a (11. el incremento ~ft). y celculamos de lluevo el determinante D. El nuevo valor se compara coo el anterior. Si el determinante D cambia de signo, interpolando, hallamos la frecuencia adimensionlll
*

109. Número critico de revolueione. del árbol

Las piezas que giran a gran veloGidad DO pueden ser balanceadas de forma ideal y en los CllSOS prácticos siempre existen fuerzas de inercia originadas por el desbalanr.amienlo que desvlan la pieza en rotación (árbol, rotor) del eje de rotación. Como lo demuestra la práctica, cuando las velocidadllll aogulares de giro reciben valores detenninados, denominedos crlticos lae f1ecbas del sistema lIon máximlls y lo es tambiéo el cabeceo crecitlnte. Al aumentar despu~ el numero de revoluciones este cabeceo disminuye. Este fenómeno tiene una expllce.ción bMtante lIimple, si anallUlm08 el sistems

e1útleo como 0.11 ailLema oecU.Wrio y In fueno del desbt.l.ouamiento como ruenu perturbadora,. SUponpmM dado un !rbol tobre el tul lIe eocuenk. un diaco de exceo\ricid.d , (tig. 556). Sea velocidad Ingular d. girtl dallrbot Q, W proyee.cioue5 da la fuena mQI, IIObre 1M e}el z e ¡t ,edo, P._mn",cosUt y P7_mOluenQt.

AsI pues, en lO!! pl&.OOS .... ertlcal y borilontll sobre el irbol act\Ílo fuen.s perturbadora, d. frecuencia Q ~al a 1I . . elocidad angula, del bboI. En elite euo, cundo fa frecuencia de la fuerza perturbl. dore U es igual a la frecuoncia de la! OICilacion8ll tnnsvetN.IOlI propias del árbolsllrge el estado de l'1llIonancia. E, decIr, que le velocidd angular crltlea 8lI Por lo tanto, cuando se calcula el número criUco de revoluciones de un , ..bolo rotor, se determinl 1a freeuencll Ingular delu Oi!CUIciooes traU5versales que es preebameol.e igual I la velocidad anJUlar critic.. AsI, por ejemplo, DIl el último ejemplo numérico 1_lilado 8Il el parigraIo nterlor pan el !rbol se obtJeoe, Q,..tt _

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fll. 151.

tilO. Resonancl. pll1.mUriea , aulooscillciO"ts Al .-.1.... ",.101 probl...... *01_, eoo '*wDCI. _ _\nmoa .... lQ. al daoociDlda. Clltll... ~ panml:trka y eoo .. 1_ _00 d. la '-Dlada

.....-.nca. V_ _ k» 6OI

l*1IatGrioo IImples de l. f1pra M1. La . . . . . . IJlO)'a ... bn el lIl1IIUa d. riJlda¡ < )'..u uuld •• uu bu", _ • IplicI .11I r-u uWrior pm'tlltbadon qw ...nI !Itf6n l. l.)' 1lIri6d;ea. P ... P,Ie1IQ,. h.1 prime< CUD IIlu_ P. nnica1'1ll ~ ~udo, bori1011W. lube>4\lCieedo Iu funu da illll'd. -1 plutaalllDl 1.. _ 1 _ del _1_luto borhODtall.m~."'k.A la

para 1001 dO:!! c__ 4) f b) (fig. 551l. a) l-l/u (P-m~),

b) t::06,,

(Pt-ni~).

alendo 6,,, la m8gJ1itlld love"", a c.

6" _.!...

,

~uacione5

Tnu:l8lormaudo 11$ dOl!

oblendremOOl,

al t+"'"f.=!!""nOI. bl

~+""(t-~:!Il!naj)l=O.

)

(15.31)

alendo «II110 de común,

lA primera ecuacl6n (15.31) u la lICuación eomún de 1M oseUaclonee lorza. d..,. ElaietemI represent.a.do en l. ligura 557, 4 110 llene JIlIrtlcularidadell"pecialet que le diforoBeien de IOI!I sletemas anUogos anaJiudOl!l enteriormente. L. segunda ecueción (t5.31) "" diferencia co""ldereblemente de la prlmora. Ante todo, en ella DO Miste el primer miembro y, en este S61ltido. "" le puede CQll5iduar como la ecU'CiÓll de In OIICllaclOOel proplae, pero COn coeliclllDte de rigidn yarlabla. Bes'ndollOOl en el tipo de la ecuación se 'puede alirmar que la aeeloSll de la luena aobre el eíatema no es directa, lino indirecte. La accloSn ex· terior se redUClI 8etUodllrJoe qUil. como"" VIl de la ligura 551. b. SOn de Ordlln Inlerlor. ea Importanl& que la fuerza uterlor. a di. lenacia de.! cuo dlll.. O:!ICiladonos lonadu comUDe8. nO ea capa!, por al IIOla, de originar deavlaeloDell del .L.lemI COn raspecto a la posielón do "'Iuillbrio. Hace falla cierta .«ióu erlerlor qua eomunique al el.steDu aunque lOa una desviacióo pequol\a d""pués d. la cual podri ya apredaroe el p.pef d. loa loowr9lI perl6dlcClll 01torlon:lS (on ouestrO uso la fuen.o. PI. En el coo de 1., osclladones param6trJuI. COmO en el de ll! ,*,UaelOllM comUDe8. p...ade ocurrir ...n .... mooto bruaco do la amplitud que euaodo no uiste amortiguamlonto. Crece indeflnld.mente. El pOlIlbl. la. eal denominada. fII()nencla paramétrica. Sobre la bll88 de razonamientO!! fialcO/J limpl"" U fécll establ en quA calO esta ruoo.ao.cia .. m" PfObable. S pou¡ramO/J qua debido. derta causa. por ejemplo, a un golf: call\lal orlerior. el oI.stem. de l. figuroo 551, b tomleo" a os:il.r. Para que. fuena hort· lonta! P realiee eluabal-o mb.imo pOIible aa requiere. daTO IMIl, que la lue..a P aumente, al desYiat!oll a maSll eu una d11'llCe16n, )' yuelye a aumentar otra Y01. al d...vl..... la ma.. en la otra dirección, u doclr. 10 n!qulero que l. tuerla P en el perIodo comploto del movh:nlento de la m... tenga tiempo de reellAr doe periodO:!! de 1.. OIJc:iladollM. Aal pilO!. rttlIlta que la In!euencla de l. v.rlaci6u de la fue ..a P en la ruonancb param'tri... deberA $l!r dos yece, mayor qu. la !roeuoncla de tu oscUa· clouee propl... llfI

Allllilmo UUlpo.a ubecM cid maema. -'bla umbi6ll ctiA-do '- hienI ul.erior .1c.aUllIJll ul... súhllo .... al comJ"-M ca4- olertIKióo.".o cad. de.., ~. cu.lto, e&c., 'le.poL Pot lo bato ID lo _n.e~ JllIT1IlIIftritll5 ubu IICI ILD. .tllIO dto ~Kl •• tolDO lodllllM ~. da mad~. UD es\.ltdlo mÑ d.. tAllado de es\& cw.tl6a oHlIllle.ln 'llll el '-"'0 cM _Iatla . ~ 11011610 COI'Ddo MI a1mplu UKtQMllt4' 1.. cornlad_ladiudu ..tre w freeueocl... BdMO UlI1U eate... da .....dOlt d. ,.",oQlnda. t.. .Ddl"ra de tlW lOalS de,..... de de l. IlDpm... da l. aoci6o ....amft.rlea (en .1 .¡emplo q_ .....11"_ _ l. mapitud d. P~. La nIONlllCI. IIIQ imporu.nl.ll ~pond¡e.t. I l. riI .. ci611 Inlft la r..cueDCI.. ~ pnSxillUl • 2. En lOIl llt.l'w est.adOlt de resoBaDC;.,

.1.

l. l.lllamill(1I1 del.. .....

rr1.• a1ai.ltllma """' ~ltflnl.4lllUlDlll' ~ cundo hly d~pt',..

116o, .1 ubeceo resulta o peqllefto o ill'pnclabl•. Elliat.eml 11I&1I..do con perturbaci6n par.métrica !lO es el úniCO. S. puede lodlen 1.Od. 1111.1 . . .la da ,¡,tamo ,implos/, complle.doa donde u posible l• • pariclón do la !'flOn.nel. par. métrica. ED I Itfllra S58 ~ representan 1_ da esl.O$ 115l.llmu.

En el "'odlllo comÍlII (Iig_ 558, 01 'pAl'M4I J. Pl'imtrl re!IOno~¡. p.r.m. !.Tleo, 11 v.rior 11 10n¡lt\1d del"'Uo COJ:l un' Ir«Utnel. 11\1.1 .1 doblo do l. I~ di lu oac:iI.clonn Ir.nsytfSll•.

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La barro solIcitad. por un. fueno p\1lunlf (fI1l. 558, 1» entra en el ..t.do d. l'UD1l1n<:IIr,rlm6Irlc. cU'Ddo l. free\1end. g t i \.lI.mbi<Í1l 11\111 11 doble do l. lree\1ellci. e lu oeclloclonel tr'IlIIYel'Mlu (0). EsL. ú1tlma deber'Cl.lcul.1'Ill ,.... 1. borr., wolando ell cU~n\.ll.l. 1\10"" COllSt.oll\.e di compresi6n P" 1.1 COné1icUio que ocompt.""" lo 1'ft00onci' p.ram6trlu .0 01 euo de II barra lompr;. lllld... denomino con lreeueuel. coodici6n d. ett.obllidld din6mieo d. l. bilT'l. 811 el \01'(:.r .jtmplo (fill. ~, e) el reelplell\O dllJldrlco III somete I l. te· Ci6D d. l. presión pIl!sf,nlf q\11 ....rl. 5eIlun 11 ley 1'=p,+4.p.nQl. Aqul t i _ r i o _ _ 11 1recue;Dc:b d. lu Qkilal;lo_ illllionut8 .s. l. b6"..1d1 • epnd.o IctCla l. preM611 1',_ Lo UllII Inferior de 11 I'eSOII'Dc:ia 'pIl'IC1I _lIdo g .. -.:.o 1 Zao_ Lu oac:l1ecl_ lO llIl tblIma ...,hk.o putdell ow¡ir DO mIo blJo l. _ 15611 .s. l.a$ runu peri6.dIClll ..... ~ perturbtdOl'lt, SiDO tamlú co.ndo IctClaIl fld
.. dl_llIIlI ...,..... ,~... ill wiolod de IlllllplO .lIIpll q\ll 1Iu.ln el reOÓ_DO de las IU1.OoE1IaI;l~ putdlo.alllUl"I1 mOttlmllllto OsciI.torio d.1I cuenl. dl1 ..;01111 que, • d.!.

1-. . .

f"'tocla d. lo r.uerdu d. ot~ llU'tlUlIltol.Ol IUvsl""I., • perturbad. 110 por UD pIpe, litIO por tl movimiento ulIil0l1ll1 del lI'eo. EII'~ el arco J l. c:uuda surge 11M lueru d. Irlul6n. 21 coefklut4 de frice16!> depeodt de J• .-.Icoeidad dellDOl'lml..lO MIaren I'8IpKlOlla cuerda. Clllil· do 1, ..¡ocld.eI flI lIul•• l. 'riccl611 (lricel61l d, NJlC*l) flI mbiln' lIisl11inu,.• •1 UKe' l. nlocldad ret.ti.... Eo l. fl¡u.r- S5i .. nllfWl!ll.b1 la dapendlnda apl'Oll-.cla ,ot.. ~ coelidellta de IrioeKio I J l....loc.! ad "JIU... /l. Sooponae_ q arco!ll mil"' por l. C\lerd•• t..lueru d. fricclón .nutte la tilda -.le..l _ lo ~lt.. 1, teus460 de l. curda. En cierto llIom'lIto ( . e.! ,",oto" de "'I¡ul'l :;ro). l:CHDi... Z11 el d••Uu.klllO de le c:v.wda mlpel;to .1

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fll' NO.

amo. Ello 0lIt.' ,.1".oQl.do 000 l. c1i!Ullinucl6n dela fuuu d. [rh:e.l611. La CUt.... de comillllu • mOVIl$O bICI. la ilqulnda ml.nl... qUI el .ro;o ,¡¡un lDovi~n_

dOMl haela J. derveba. La ",,¡ocid.d ...Ieti.,. 1\llIItO"" mientras qUI Ja fU'fu

de r.lul60 dl.mlnuye. La Cl,\6rdl, debido I SIl Inerell. pUlO por .11 p,,"I~.i6n lnielll de equilibrio. IU veloold.d diaminuYI hllta h.ce~ igual. eero y comlenra de ouO"'O • movena hlcll la de~ha. Su yelooldad _pecto al arco ditmlouye, lI luer... do fricción urutra t1~ nuoyo lI cuerda huta el punto A di lnlerl'\lpel6n y el proc:eso lIe repile. 81 II earlcted.tlc. d. l. fricción Ilit. SS9) no dlallunuyora roo ellumento de l. '1010ddad, no aur¡lrlln 1.. autooseil.donel. Pira obtoner l. clrlcterlltlcl nec~l' ni dlll frl«16n, el .reo &O Ilota roo ro1010nll. Como vemOl an el ejemplo Inallaldo .1 Ilalllml 11 UD 1lb~0la O!ICihtotlo .lntrlnMeOO. La 1«16u nt.eflOl !lO 11 parl6cllcl. La ....r¡ll lMoCeAril I!lra m.otener 1.. ottillcionea IlfOvleM de la ll:IlDO dll vlolilllata y !le tr&IlMllte por el .~.

1.I1lUtooIeilldOllN tiellen gru imporUllCla par. alKhOl problel1llll pri.,.

tlcos y p1utoao .n 1II11cbas CU05 oerllll!l probl.m" a 101 roDSlnlclorel II c.rur nu...... lIl'qul.... Un ")emplo dI l!lto. probl.1ElIS n.1.Unlllellt. compUtados 7 ndacioo.adOl coa las ,"too.r;i!&ciool!l eI,.n plrtk1illl'. el caso del n'DlIO qUI CO_te la 1.. autO'flbraclones del 11. del. ...160 .cOlOpl6adu eh II torIl61l Y la n....i6n eU.no!D 01 ell oe enCUeBtra en el. nlljo ..rodioilllico. Otro e}lllllplD po,¡od.. Illf et probI... muy i.. portant. de lu auto...lbracio". eH In roed .. di=trlc.e:a

deo! aotom6v¡1 wlIldo

t

le

ID,",ve I ....ao ...Iocidid.

111. cargu de Imp.aclt

Se entiende por earga de Impacto lod. ea.r¡. que, en Lénnin05 ¡:ener.lee, varía dpiduoente. El problem. dol dlcwD delu eslructurU 'ometidas a Clrgil de Impacto presonla de por si muebas difieulladea que no ,iempre se pueden vencer por 105 ml!lodos más simples. A esto se reJiere. ante lodo. el aniliJIis del eslado tensional en la son. de «mueto de los cuerpos que choeao )' el proceso de variación, en

lunel6n del tiempo, d. 1.. (u.enu de CQntlc:lo. Le oec:esidad de CQnsidern en 1011 c:boques bl1lX05 1011 gradOll de Iibe.r\l.d ldic:ioDt.11I del euerpo etbOeo erea mudes compliucion•. En otros usos da aolicltlcl6n eslOlI pde. de Ubertld pueden IporuH. Un gun plIpel 8ll .1 proee!lO dal cboque lo Juep .1 I.ctor de 11. disperai6n de 1, eoer¡ÍI que • muy dlfkU de lIIaliur. Mis Idallnte ve.-.mouob.menteIOll mélodOll mbeimplesde dlculo que no proporciou.o rno e:netilud, p8l'O que permiten d. mi· Den. eorrecta v.torar el orden d. los desplaumient08, teDlionea y deformaelooOll durante el Impacto. V6llmos c:6mo .etúa 1. urge de lmpac:to .obre al ai'tem. de un ar.do de liberUld (fig. 56t), La masa m so mueve en dlreccl6n hor!10nt.a1 con la velocidld u. y es parada por e.I elolllenlo elástico de le figura 56t en formll de muelle. CoDslderamOll que la masa del muelle ll!I despreciablemente pequeiia en ¡¡ompuael6o ¡¡DO la. del pel;O.

I

CUlndo el peso entl'l en eootleto con el muel.le eu velocidad enmien¡a a disminuir y euando lOOl la el1flrrl. cmética del peso eo lraworme eo enerala potencial del muelle comprimido, el peso ae parar'. mientras que l. fuena que comprime el muelle alclou.ri su Yllor mbimo. Comenzará después el movimiento en direcci6n COnLrula y la fuena do Interaeei6n entre 01 peso y el muelle dl!mi· nuir'. Al restlblecer 01 muolle BU longitud lnldal, 01 pello, en el uso de que no e:lutlo fuenas do fricei6n, recibir' su volocidad inielal u" poro en direcci6n contrari•. El proceso dal movimiento c:onlunto del peso y del muelle ae puede de!lCribir por la ecuacióo de In O5CJlaclooesarm6n1euque y. c:onocemos, E... el sen ~t + C. coe gt, eiendo CIl=VlI"k\" la InlCuenei. de 1" oaclla.e1oollS proplll del peso unido .1 muelle. Con.slderamOll que el tiempo t.se mIde desde el momeo.to eo que e.I peso enlra tlJI cooLlc:lo (:DO el muelle. Entoneee obtendremoa lu siplelltes (:DodieloDC$ ioiclales: cuaDdo t-O

I IlJ. CUfU'" ,.., ..,.

t-O J

l-u..

MI

Esto nos permite determinar lu eOllStutts C. )' COI CI=O~'

y en tollee!l

C.-O,

t _ !!: 5llIl Wt.

•

.

La ley de 'f'ariaclón del: dll8plalllmiento del pellO llD 'onción del tiempo !II di en 11 figura 562. El de.!Jpl,umleoto mh:lmo I8ri

-,

....... =ti ,

y tendré lugar 11 pasar uo tiempo igull a

t

desde el momento de eDtrar en eont.aetoel peso y el muelle. La mhlma magnitud de l. fullr'Zl que comprime el muelle we donomlna toriO cUmlmlca y es, p ....... ~_..!L. u" lO6"

(fS.3S)

La magnitud de laluena p ... se puede determinar también di la condicl6n del bal.nee ene~tico. Igualaado la enllrgla eidtie. del peso en movimiento)' la aner¡la potencial del muelle eomprimldo obtllodr«DOI, de dond. ball.mOlt, p•••

_v.

~_~

.,)u

"11

l"Multade que coincide con la upresl6n (t5.38). El planteamiento enerpUeo elII preferibla lO aqUIlIos CIliOS cuando SIl raqu[e~ obtener aolame.o.te 1011 Vllorll8 mbhnos di In fuenas dlll'mlClll y de 181 nechas dinémicu y no lMl pretende determln'r lIS leY8ll del movlmlenlo de las muu. Ea los dleulOll pr'ctlcos precinmeole" de Ill'Ilo lMl treta. Veamos ahora el caso del movimiento vertical dol pO&O qua choca (fig. 563). Aqul. al plantear el bolanco energ'tlco, es necesario tener en consideración la varlaci6n de la elle",!" potencial del peso eD 01 dospluamlonto l. igual e l. fleelu. dltt'miCl que recIbe 01 muelle,

K.+n =U,

.iendo K., l. lIflergia clo6tlea del pellO en eJ nlOlIlento d. eolrlr en cootaeto toO el muelle, n, la variacl60 de l. eoer¡l. potencial del pellO en el desplanmiento l.)' u. la IIntll"lla elástica del muelle comprimido. Es ob"io que,

,"

D_m,/•. U- z ""!'· EOloDt8.l,

'"

C.p.

xv.

O,dl4clonu d. l
El producto 6"mB es Igual a la nacha l .... que recibe el lDuelle hajo la acción de la luerza igual al peso de la masa que Clle, pero aplicada estéticameote. Por lo tanto, 1~-2lJ"K.-2f•.J4 =0,. de donde se ob~iene

14 =1.... [1.+'/ 1.+~&l· V I...

La magnitud que figura entre 108 corchetes se danomina cotft· citnte dinámico. Anotándolo por x,

x""i+ ..

/t+~,

V

1;'1

(15.39)

obtendn¡mos

f. _ K/...•

Fil·

{15.40)

,19. r.&4.

El cooficiente dinámico oluestra cuáotas veces lo flecha debida al impacto, es mayor que la lIecha que ocurre cuando la carga se aplica estaticamente. En la mismo proporción varlan las fuenall interiores y las tensiones, (t5.'lt) La magnitud K depende, ante todo, de la rigide~ dolsislema y áe la energía cinética del peso que cae. Si, por ejemplo, el pese se aplica al sistema elhtico de manera repentina ain veJocidad inicial entono Cllll la energía cinética urá K.=O y K=2. En este caeo la flecha mi· x.Jma es dos veces mayor que la que surge an el caso de solicitación estilica. Las tensiones tambIén resultan ser dos veces mayores. Todo lo lIicbo hesta aquí se refiere al caso cuande el peso choca directamente con el elemento elástico de masa muy pequeiia. Gene· ralmente entre el.peso que choca y el sistema "lbUco existe una pie!a intermedia (el par:ochoquesl de masa m, (Iig. 564). Al estudiar al i"lpacto en este caso es necesario diferenciar dos tipos de deformaciones: 188' defclMnaciones locales de los pesos, que Ilparecen en la ~ona de contacte, y las deformaciones generales del muelle. Las deformaciones locales se rigen por leyes complejas y no ee pueden determinar con los métodos de l. resisteSlCia de los materia-

1M. E. lo que se refiere. las dl!Iorm.eiones reneralM del muelle.

'-tu 51 determinen Ucilmente sobre le bue de 111 macion. en.erp.

ticu, consider.odo qua el Impacto entre el peso Y al plfacboques no tII elástico y que las dOl muu despu'- del impaeo MI mueven con le nlocidld común 111. Entonces de l. condici6n de coWlervecl6n di le cantidad de movim.iento Bll obtiene, /lI1i', _

6

(lit +m,) Ii'"

v,_v.",+• ...,'

El proceso posterior de compresl6n del muelle transcurre de la millma forma que en 101 cuos analizados anteriormente. La úuica dilerllllela cOruliste en que abora ell lugar de la masa /!I con el muello ehoce le mll.~ m + m, eon l. velocidad l1,eo lugar de 11•• La euergl. cin'lite COITMPOlldl(lJlt8 Mr'. I .,- (m

+111,) v~ =

«

...=.1..-.

l+~

•

sieodo K" COlllO anles, l. eoer¡ia eio4iUea del pe!lo en movimiento. lo tanto, cUlodo exialel. lnt.emledia dal plflcboques se puedllll Iplicar lea 16rmulu .oterio~. introduciendo l. corree· e160 indicada eo le m.,nilud de l. eneraia cinitica. La fórmula (15.39) será eo esl.e caso.

Por

mua

x=t

+Vrll<+::'=:'='~(~II"~~K::J.~:::::;:)

111,

(15.42)

Eo la magnitud mil' puede iocluir tambi'n la mua del muelle,".. reducida previamente al punto de impacto (v6anae los ejomplOl 15.ft Y 15.t2). Entonces, en 18 f6rmul8 (15.42), en Jugar do m" se doborá introducir /lI,+km.., ,Ieodo k el eoefleieote de rerlllcei60 do la masa del muelle. Se debe, sin embargo, tener ea cuenu que este método de consideración de la masa del elemenlo elbtico puede precisar el cálculo aolameole en lo que H refiere. la determinacIón lIe los despluamie.otClS, pero no de las tenslon-. EjempSo 1$.1~ La call1lla qUI peu P_'.!.lJ hal•• Ia ••Ioeldad de 1 mIt. R..I!ceM"¡ dlculo d. compro!IKlóe d. l. ~D
...de,.,..,

01 &Im6dulo de .lutiddloti del callle .1. tnuWill, debido a que • 111 cordóe, el bull.DlI .Ioor , ... el m6d.lo d. ,Jutleld.d 0111 ..a1.trial d. Iw hUae.

Rn esW e.uo l>O'" plledll'llQllT\r I l. l6nll..¡. (15.39),.,. la doteo'alDlel6• •e! _Rel...'" .lIafml«l pue.tG '1'''' e.a .. IDOlll.nto del dloq.. 10m-- 01 ubl. IoetCil ,. l. "'P IBl.f,tk.a ipalal . - d.la ubiu. Al ,.,.._ la Ablna • •_

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C.pltll.lo XVI

METODOS ExPERIMENTALES DE INVESTlGACION DE lOS ESTADOS TENSIOIAL

Y DE DEfORIACIOlll

I 112. Enuyo de los malerlel" y tnsayo d. lu eslructmras

Cuando se babia de los métodos elperimontales da medicl6n de las deformaciones y de la! ten.aione5 Re debe diferenciar anl.ro los onsayos meGÍnlc:os do los roeterialell y los ensayoe da la3 O:!Itructuru. El ell!8yo de loe D1alerial811 se reaHu pare detennlnar In ce· rlcterbliee mee'nicel tala como el limite de fluencia, limite de rotu~. módulo de eluLieidld. eLe. Puede telllUl~tI l.Imbib el tllMyo con el prop6eito de Investigar, por ejemplo, las condiciones de re3i3t.encia en 108 estados le.woll8la complejos o. 8ft ¡reDeral. para establecer las propiedad. meúDku del material en 1.. di v.,.. 11II1 eondicioD8I. LO!! ensayoe de los meleriel. 1I8 I'Nliun con prohew, cuy.. dimensiones y fMmU puede.o ...ufar N(Ún los aJNIn.toe de medici6n de que se dilponge y In propln eondicio:l8ll de IIIS el1laYoa. Pan. obtener ceracterbUeas objetivo del material 118 debe CUlO· plir 11 coodicI6o de bomogeneidad del .tado teulODaI, • dedr. M debe garanlJur que el estado tellliOllal 11M conltante pan. t«W. los pUDios de le probel.l que se ensaya. Esta condiel6n se cumple. por ej8lllplo. al treceionar, en parte, al coroprimir une probeta corta y el lor.¡ionar un tubo de paredes delgedu. La variación de In proplededes del DlRterial en elltos ensayos ocurre simultáneamonte en tOOo 01 \'olumen do la probeta y e!I fácil do evalu9.r cuanlltati· vamento. En 105 ensayos 9. tor.¡16n de probatas machas y an 1015 en· uyoa a f1exi6n, el estado teMional no 8lI bomogéneo. Lit vari9.eloo.., cualitatiVa! de laa propledldes del mlteriel en puntos lilladOlJ 00 ontinaD vlln.cionll3 IOMihles dI lu earactorlstleas de la proheu. Los procesos qUI tnnaeurren en el mlterlel te manifiestan sólo en IU Talor medio .,Ios relultedOl de los en3IYos ulgen un estudio su· plemen'lrio durante el cUII se pierde el grado de objetiYided. La ex.igenci. de bomogeneid.~ del 8lltado toDaillD.ll impUca Hriu liDlitacionf:$ lob~ 10lS nBO.Il.Idos de muchos tipoa de IIlSIYOl!l. En partieuler, huta .bo.-a DO ae ha conseguido rea.liur 8QSI.yos objetivos 611 CODdieiones de tracción tri.xial homogéoe.. Elte tlltado tensional 58 puede crear por .bon solamente en puntos a...

lados de II probe"', por ejemplo, en el centro d. unl esfen maciu que MI calien'" r'pidUDlUlté desde el ezteriOf. Uno de los tipos de eUlYos mecbleos IOn las prut!b,.. I«nol6,ku que permiten obtener ean.ctertaLlus que no son objetiv.., sino aolameDLe compuallvas de 10lI mlterlal• ., qu.e se llevan a cabo en condiciones se"8l'ameote fOIlamenlldas. A .te tipo se refiere la determinacl6n de la dure&a, tenacidad y olfos. Eu cierta medida a 113 prueba! tac.D.ol6gius se refieren tambib Jos ell9Yo!! para l. determinacl6n d. l. rmiatencl•• la fatiB'. Cu.ndo se babia d&l ttl!Iyo de UDe estruotura se tiene en cuentl l. determlnaci6n de l. reallltencia de toda un. mAquin., de SWJ nudos por separado o dI modelos. Este elUlYo Uene el prop6silo, por Llnll parte, de comprobar 111 ..actitud de los cálculos realizados y, por otra, de comprobar 1M proceaoa tecnológicos admlUdos pIre le elaboracl6n de 103 lIudoe y 01 montaJo, puesto que en el oa!o de prOC8ll11S tecnológloos Insuficientemente eorrectos puede ocurrir un. debiUI.tlci6n local de la ettructurl. El ellSlYO de la! estructurl3 estj ampliamente desarrollado en las raIDU de la técnica eomo l. oonstrucci6n de .vlones y la oonstrucci6n de eoheles donde debido. la necesidad de er.onomi&ar el peso, 1011 problemu de la rl!l!lllltenei. son fuod.meDUlles. Al crear una nueva m'quina, 1115 divers03 nudos uua ver llaboradoa le someten a ensayos estjtiCOl huta obtener l. rotura complete pare determia.r la, ul denominad., carga. da rotura. Esta ea.r¡a se compara después con la obtenid. por el c.iltu.lo. El earkter de la .plicaci6o de IIlI fuenu en 10lI el1HY03 eadliCOl se establece de maDera que le imllen lu cargal d. tn:bl;jo JIIof8 un tIlO determln.do da dl~ulo, preYilmente elegido, por ejemplo, eo el cun del chasis del avión, el momento de .terrlsaje, eu el calo de tu .1.., la salide del picado, ete. Aparte de los enllYOS etIt'ticos eGU frecueRol. su'1' Is necesidad de f'il.lhar ensayOII dlnblicOll. Por ejemplo, !IOn muy difundid03 los enll8.y03 de los dl8POlllllvOll qua trabejan en las eondicionea de vibraoiones. EstOll enSlyOll se realizan en m(lSas vlbratorlas 88pecil1111 para diferon~ freeuonolu y amplitudOl. En estos eosayos l. medloión de las delormeolnnes y de I.s tell9loullS en 111 pleus vlbrADtes del dlapOlitlvo g1Inoralmenle no se realiu. Se ju~ga eobrel. rfllSistenoia de nudOll .Islados snlameute en el caso de que Jle destruyan. En loda una serie de CU03 los ensay03 dlntmlc03 se ree.li&an, midiendo con oscil6grafos I.u defonn.cionell que tranlCurren r'pid.mente y que lIurgen en 1011 nudos mú peligrOllOll. Los métndosll~tUlIIll de Investigación experimental de In estNet\1nlS IIRSlonldu 18 reduoen, de un. u otra melle,., a l. medición dil'8Cta de lu defonn.donea que surgen en .1 objeto que se Nlllya. Les tensiones se detennin'lI de manera indirecta e trav& de 11.1 deJonn.cion8!l, ha..úndose en la ley de Hooke. En el caso de defor· 1Dl010nea plútiu8, la deLenDinlci6n de tu teJl:líonl!l!l, .1 eQI.IJar

laI Mtrutturas, guo.,..lment, no se 11.... a U1bo J H determlu u· c1usivamellte la t.lrp d. rotura o eJ valor de II luena euodo 'pa~ CIO aÚllolDu de la I plIrieiÓll de defonn.ciOll. plb~. Pln medir 115 dllfQnllaeioom se emplNIl vnios rMtodoa dif... rentes. Mú adelante nos dattndremOll e.n l. medición de I.u delormlelo.a. mediante dlapoaJUvos (telllÓmetros) bllSldOl en priociplos de medici6n tJ)ee!nleos 1 elklrieoa. Se IPlisaran tambléD los todOl ópUto. de los rayos X. de lu franjal de muné y de recubri·

IQ"

miento

eGO

bernb.

, 113. Delerlllillllcidn de ,.. ddormaclenu con 1.lIIÓmetr-o. metinlClOl El principio del trabajo del te0ll6mentro mednieo se bu. en la medicl6n de la distancia entre dos punlo.! de la probeta Intel )' dt'&pué3 de 1. solicit.lcl6n. La dieuncia loiclel entN! eslOll dos

t'

rÓJ' 1

a)

~

¡. fl .. 58a.

puntOlllKl denomllUl buo del tensómetro l. La fazón entre 01 loeremonlo de Jalongitud de l. base M y I nos da el valor medio delalu< camiento eo' la dlreccl6n del t(!n.s60'letro. Si el ost.adodeIormaelonal el! homogéneo, entontell el re!lultaelo de la medición detennlnari el valor eJ:lleto de la deformación que se bl18Ca como oc:urre, por ejamplo, en el caso ele 11 tracción de UDe bina (fiJ. 566, o). Si las deformadoDes 1 lo largo de la bue V.llrian entonces el valor medio medido ele la deformacl6n aeri tanto mú pf'6J:imo .1 valor reel, cuuto menor Jea la ball d.1 teD56metro (dile .1 uso de la flexión de la bam., fil. 566, b). Al eDSllyaJ' los mawial. a tracción, euando está gua.ll.liuda la homorene.lelad d. las deformleionee, la longhuel de 11 bu. lI8 110'11'" por las dimension. de l. probeta y lI8 8SC~ .... nde. Generalm6.llte en euo el ...101' de 1 es 50, tOO, 150 Y 200 mm.

.t.

Al ensayar las eslrueluru, el aumlll1w de la base se limita por el errOl' relaelonado eon la b.euIOIeD6Id.d de las deformaelooes '1 l. disminud6n de 14 blle, por 1. pérdld. de encUlud debida 1 101 erroI(l8 de l~ InlItrwnentOll. GentU'&Lme.Jlte la baae de los t&n:I6metros medoleoa que se emplean en loa ense'lOS de las estructuras 08 del OIden do 2+20 mm. Parl l1 medlci6n oxael.l de loa alargamlentos el!BUcos al determinar el m6dulo de elasticidad ·del m.terial ae emplea Impliamellte el UOSÓmelr'O de MlIt.ona eGn palloCA 6pUee (flg. 56?).

FIl. 15417.

El tane6metro conata delliBt.6n rlgldo 1 que.M Iprleta 1 11 probela mediante 11 1'reJ14' de tomillo 2. El cuchH10 tuperlor 3 del liat611 rl¡ido es loroh'll. En eaUd.d de S8fUdo cuchillo se emplllll el priml templado I de secel611 róIDblCll. La loo¡itud de I1 dilgunal del prilme 18 CJ. El espejo 5 MI UDe rlgidlmeote 1l prbm•. A I1 diatlllw L de.l espejo M lDlltale 11 re¡la p1Idueda lom6vil6. AJ alargarse la probltl, el upejo gira y el o*rvldor por el tubo 1, "e la lectora CGtJ"85pondiente en la Imagen de I1 fII\C.Ila reflej.d•. El .umnnto dal diapoait!vo le dotormina por la rez6n entre I1 dlferencll da lu lectlU'1S eo la eacala lO w'JlImetros y le magnitud Al que también se mide en mUimetros. El ingulo de giro del eapejo,

.,

at _ _ •

•

La dlfertlDe1. 8DtTe 101 lecturas en l. regla antes J despda de le

8OUclt.eión . . terlielldo en cuenta que a. u pequeiio, Ac.L·2a.. Elhnlnando el 'llIulo 11.. halblD08 el eoefieieale de .umeoto del diapositivo,

_.la

Gen.... ImMllll eII el tllJlt6metro de M.rt.lns l. de m'llen tal que (l. el&te16n del lam.fto L) /;::1'500.

te instal.

p

JI. . . . .

P.r. evitar 10Il errore!! relleionldos eoo l. tracd6n exdntrlea de l. probeta y con l. pOlllble (lul6.o se pr.etlu la Instalacl6n de dos tellSÓmetr06 COIDO le indica eo la figura 568. Escogiendo el v.lor medio de 10Il dOSl'dl.llpOllthO$ SI elimloa " Influencia dela flexl6n. El tellll6metro doble de Martel1ll .., Inc6modo PU&5to que requiere un tnbajo minucioso parl Il1lItalarlo. Menos u.ctos. pero m'" c6modos en al trabajo .on los tens6mlll'Ol de bueoa recomendacl6n, MIL y de Boy'rsblooy de base graDde repr&580tados en 113 flgu. ru 569 y 570. BI teM6mat.ro MIL (fI,. 56tl') tiene UOl base de tOO mm 1 .,tj compuellto por palancu artlculadu. &Ita" un teMÓmetl"o dobla qua se Instala ID Ja probeta por UD sujetador con mueUe.. El apoyo Werlor 1 • iJl.at6vil y ~ IUperiot constituye UD todo eco la palanea 2.

El despluamiento del ex~remo inferior de esta palanca se trall~mite al elemenw 3 y de Mte a la aguja 4. Mediante el tornillo 5 ~e puede hacer coincidir antes del ensayo la aguja con el cero. Si las deform!ldones de la probete son \.an grandes que la aguja sale fUera de lO!!

'.

7~ Flg. 510.

limites de 1/1 escala graduada, con este miemo tornillo eo puede volver durante 01 onSllyo le aguja a IIU posioión Inicial. La amplificaión del tens6metro MIL es 500. El hnsómetro de Boyá1'3hinov (flg. 570) en lugar de articulecloD('!J mecánicllS tiene una articulación elbtlca compuesta por dO!! muelles planOll 1, 2. Las pleu9 da aluminio 9,4 giran al traCOioner la probeta respooto al punlo de intersección de los muelles. La orticulación Illbtica tiene le ventaja de que carece de la zoca muerta que es característica para 1811 articulacIones comunes mecánicas y es debide a le fricción seca. El tens6metro tiene dos cuchillos de acero l.emplado 5, 6 con los euales 1'10 fijo en le probeta medieute los tornillos 7. DureRte La instalación el diapositiva se cierra medianto le espiga 8 que lija ¡aa piezas 3, 4. LIllI deformadones se miden con los Indicadores 9.

El teosóm6lro d6 Boyársbinov permite realizar lu mediciontl!l sin cambiar de pOlllción la escala cuando las delormaCionlll! son menores del '%. Los otros tensÓmetf08 110 permiten una medición tan amplia de las defonnaeiones. La base del tensómetro es I-SO mm y le ampllficación es de cerca de 500. Al medir las deformaciones de IlIs probetas que se eIlllayan 11: tracción y compresiÓn Sil recomienda el leIlllómetro da Lijariev da palll:n(;a .bidráulica' (fig. 571). Las piezII8 fundamentales de este tensómetro 9CII las cajas meUlicas onduladas (tubOll ooduladOll f1axib181l o ailIones 1, 2¡ que formao un. ca vidad cerrada que se comunica con el capll.r a. La eavidad entre las cajaa ondul.das se llena de Iíqu.ido. Al alargarse la probeta, el vo1u.tt1en de la cavidad lIumenta y baj. asl le magnitud h el nival del liquido en al capilar. De la condición de invarillbilldad del volumen del IiquJdo Be obtiene, (nR'-nr")

tif~hF.

siendo R, el radio medio del sillón grende y r, el del siUón pequllño, F, el áraa de la seeeión del capilar. Asl pUM, la amplificación del tensómetro resulta nR"_r" -py depende de las dlme.usiooell de los silIOlles y del capilar. Generalmente la amplificación es del orden de 2000. Le Instalación del dispOllltJvo en la probeta se rllllliza con el tornillo 4. Pafe variar el nivel del liquido en el capiler y para instalar el diaposH.ivo en cero se emplea al tornillo 5. La base mloima del dispOllitivo es cerca de 20 mm. El aspecto general del t6oSÓmetro de Lfjerjev se de en le figura 572. Entre los tensómetrOl'l mecáJlicOl'l que se emplean no sólo para 1011 ensayOll meclinicOl'l de los materiales sino también para los ensayos de las 89tructuras y que tienen base relatlvamante pequeña, el más dHundido en la práctica de los leboretoriO!l, es el tans6metro de palanees ertlculadas de Huggenberguer (fig. 573) cuya base 05 20 mm y le amplificación, ee~ de 1 OQO. Los teosómetros meCll.nicos de menor b8lle no tienen graJl .pllcación y son únicos. Los intentos de algunos investigadores de Introducir en le práctica de los laboratoriOll estos teIlllómetros no ban tellido éxito puesto que, al ensayar los materiales, son preIeribles los tenaómotros de baso mayor y pera ensayar las estructuras los tonsómetros ban sido sustituidO!! en la actualidad por los ca.ptador69 teollOméuicOll de resistencia.

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§ 114. Cllpladoff. len.omélricOll de resistencia En la técnica dEl 106 ensayos de las estructuras en las últJmas décadas se han difundido ampliamente los captador,es leIl.'lométric06

de hilo resistente. El captador tensornétdco de hilo r6!listente clinsta dEl UD a1ambrEl fino en fonoa de 2igzag que se pega. 11 llIlB fcanja de papel (fig. 574) de espesor 0,015-0,030 mm. A los extremos del alambre, por soldadura., se unen los cables.

El captador se pega sobre la ~uperficle de la pien que se inYastiga de man&tS que 111 dimelllli6n de la bUEl. 1 coincida con la direcci6n en que se desea medir la deformaci6n. Cuando el tem6metro esti bien pegado. el alambre se, alarga junto COn la superficie del objeto que SIl es~udia y la rasistencla óhmica del alambra varia, lo que se registra como el Indh:e de la deformación. La experiencia demue'ltra que la variación llnit..arla de (a l'65isteo· eia óhmica del alambre e'I proporciooal e su alargamiento, = =Y08. siendo Yo, el coeficiente de senslbllidad tellsomlitrlca del captador, magnitud adimeo"ionlll que depende de las propiedades 'bicas del materIal. Parlllos mal.eriales que se emplean eD los capt8dores U1nsométricos de resistencia. Yo varía entre 2 y 3.5. Para el conlltanttl.n, por ejemplo, V.=2.0-2,1. para el nicromo 2,t-2,3 y para el hilo de invar, 3,2-3,5, etc. El captador tensllmétrico de hilo res.istente debLdll a les curvos de ilste en los lUtremos da las lilas, r/l8CCilln8 no s610 11 las deformacíones longitudloales, s.lno tambi6n a las transversales y

6:

ti:

OR

T=ye.. +

,

s"

siendo 8 Y ti" los IIlargaplientoll en la dirección de los ejes ~ e " (lIg. 574) YYY6, los coeficientes de sensibilidad tensométrlea longitudínal y trenllversal del captador que se deUltminan durante el ca· librado.

1111.

c.,Jab",• .. ""I'.....~

Uo DUpitud de l. debido a lo cunas en 101 Ulr'emOS de lu (l. lu, "lil~ .NI' un potO menor que ell:O'litle.ate de eensibilidld telsooultriea del ala[ll.bNl Y.. A medid. que eumeata la bue 1 l. dif. "-fiel. enlle , y Y. disminuye J. en el caso del eaptador que eom6n· meeta 18 emplea de bue 1_20 mm, . .ulta Insi¡nlficaotl. El eoeIl· tiente 3 es unl magnitud lImbién pequeñl, del milmo orden. En (0lII captadores de bISO pequena (J<5 mm), la ma,oitud de ti es comparable con y y, al calcu"'r w tensiones, debe tenerse eo cuenta el coeficiente de se~lbllid.d tensoruétriea transvenal. Al estudiar el estado tensiona!. en los elementos de una 8!tructura compleja, con frecuenda eurge la necesidad de datermlnar no 1610 la magnitud, lino también 1.1 dirección de Iu !.enliones prlnclpalell. Bn este caso '0 practica la Inatalael6n en la lonl que S8 invesllgl,

de lte!I ellpta.dolUl simultáneamente y en dlreeciones qua fortllu 'ngulos da 45 0 (fig_ 575); se colOllll como se dice, unl roseta de captadorOll. Sobre la blSe de 101 lrllll alugamientos medidOl!l se puede, 810 dilicull.ld, obtener los alarglmientos principalet!l y el ángulo que determina la posición de los ejes prlncipaJee. Esto se telliu de le mInera slguJlote: supongamos dadas las deformaciones seg60 los ejes principales ~ e fI (fig. 576). Como la proyección de l. linea quobrada A.A'B'n sobra el eje / es Igual al8egmenlo AB, es fácHdemoslrar que la diferencia de los segmentos A'B ' y A.B, es decir, el IDcnlmenl() absoluto de AB es,

.

.

Ti rl. cae ql + ¡¡lb senlp,

. ..

tiendo" y ", los despl.umientD:l segun 101 'JI- ~ e y. El alara.miento unlta.r1o MgilD. el eio / seni,

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l,dm¡1 IJaUlm ep &1JtuJed enluod opom¡p ro opo'l,m &183 '1t'~)1 enb OzJIUJW ¡ap pnl¡d,m l' IJqOl dl.n{ er .ropWldl:l 'Ip 'p09'1'" -e,¡ '1 ep U9!:l'tRÁ '1 JOO Á (IBIÁ 'loqJJ 'u.ltq) l¡qtw.lOJ'P M""II O1u'llI8l' un I odild ,. 'I:loel~;e" ep 1IIt:lJl1,mora&1 1IIW0p'tIdrot PI' 'lOuanjS8 &O, JTPIm IUd 'iUOJU10 nBJ.r.l iIf Ip U9!:lIPU '1 1 ulfll o()l»nJ 19b ~lqlnK SO'jo'tDal' 'p P'P!1r.l Ira -"0pl1dr.l Il101 uunp -oJluJ 18 O%JInl n, ep 119!:l!palD '1 &lid P:lÁ!lJ$OdifP SCllpnUJ 113 '.a -o¡:lIVJJOJ'P n¡ ep U91:llpllD '1 &lid 019' 00 1I~ld1lJlJ" l!'lI91l!'i*J Ip co'fl1,woru&1 5Q,IOPl1dl:l Il101 o1ltN9 pp -.uJElpom 1:1111* I( 113 '1I("1:1ol-'d 1lU0!»IJ!1' 1'1 VI 5OJ1e1D9rt191 ep .l()).I11..oo 1I91:1'll1llUl '1 '&tI

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re-liUf las mediciones I diatancl. sio a. iouodIKCi6o de di.!lpOlIIUVOl adleion.hl$ complieadO!!. DUrlot. los ensayOll est'tlCOI, el e.pudor que ,e pega en la super· flcle de la pilu que so InvesUga 10 conecta con &} dispositivo de medlcl6n n¡úe el ch:eulto eD pUllnte(lig. 578) y le, lecturas 50 toman por el g.lvan6metto. Un. de lu cuatro resillleoe11ll del puenle, por ejemplo. R 1 es l. retbl,8ncia del captador. El resto de las resislenciu 58 escoge de m.h.,. que C\1fIndo DO ezlsUln .larpuJieotOll de 11 pln. (.ntell del ensayo) el puente H encuentre equilibrado y l. comente en el g¡olv.nómelro il. _ Igual. cero. P'r'II .110 fllI netuario que 58 cumpla la NlI.e16n :'IIl'uleoto, R,

R.

Jr,-R;"

(111.1)

Generalmente, eD calidad de resistencia R. se esenge el llllgundo captador que M liuel .1 primero y las resLstencla. R, y R. Jll ClICogt!n igu.l. Lambl6o. Asl pUe9.

R,_R.=R••

R,_R,_R,

ee decir, que se cumple la condici60 (16.1). P1ut.. Ddo la ecUlci6n d. Ktrcbboff p.... los circuitos de 1f, nruTa 576 es Ucil demoetru que, en el eale del pueote no equilJbrldo, 1. corrienle que pua por el galvan6metro ser'. I

.-

¿

RIR, R,R, n.R.R.+H,R.R.+R,H,R.+R,R.k,

(1.6.2)

Aqulllllsupooe que J. rMilItancia interior d. la rueota dell corriente ":! del pl"loómelro EI!I mu":! Inferior 1 R" R , R, Y R,. Cu.ndo tr.biJa el captador, b. t'IllIisteocla R, ..ad. ID I1 m'loitud!iR y

R,_R.+!iR" R,_R._R. 8. = R,_ La expresión (16.2) .01 eotonces

~ 4R 1.- 2(HR,)·=;¡;· Aal PUM, 11 corriente que PUl! por el ,alvan6melro es proporcional a l. vulaclóll de la r8LSialencla del captador y, 'POr lo taoto, también a 11 deformaciÓfl que se mide. El .rror 'uodlmenul de loe eapt.ldorea t&lUOlD4trkos di rl!l5l&tancia 1!15 el error que prol'OCI 11 temperltW1l. Al "Irilr 11 tempuatura, la l'e'isl.llncil del Clptedor varía tambl'n considerablemeote. Por ejemplo, en .1 ClSO del captador de co.ll9taol4o pepdo en la eupertlcle de una pleu de acero, al variar la tempeTltu... 1",la va· rlacl6n do la rll6lstencla 6hmlca corresponde a uoa varlaci6n do la tensión do 7 kgf/cm" en la probotl de Icoro. Para compensar 01 efror relaclonldo con la temperatura. al Clptedor R. se uoe al circuIto eo puaol.lll1n pegarlo al capudor R, y se cubre con UD material lisll'

dor térmico, por ejemplo, con un trozo de [¡elt.r(!. En elite euo la lAmpertlUirtl de los dos eaptldOlUJ rMulta set" igull Y ler' Igual, pOr lo tanto. tambWo la vatiad6n de 1.. rellL!ltentlu R, y R, orialuad. por la temper.tu.... El equiJibrtldo del puente no &8 alte... puesto que ligue en vigor la rellci6n (16.1). Cuando se investiga el estldo teQ,Sionel da W1a eslnlelura eompleJa se dispone de un nCimero muy graode de elptadortll de los cual8:!l .!MI deben toma.. Iu medielones. El ..alvan6metro y IUl1l!ltleneiu R. y R. no se cambian mieotras que 101 par. de rosjsleneias R, y R" pa... eada punto en euesti6n, se eonectan su· eesivamente para tomar lu medleiones. Para evll.llr los erroros relaeionados eon J. varlael60 dol voltaje 8, diNetamenta anto! de too mar la meditl6n se equilibra el puente eon l. resisteneia vllriable r (rig. 579). F4te método de medlcl6n es vlllido. el.ro esU, cl1llndo lis earg.. varlan e5tllticattlcnt•. n.. 571. P,... 1011 procesos dll variación r'pida 111 ..... curre a disposlLivO! de registro especillOl. Pa111 la medición do II! deformaelones se usao los oscilógrafos y en el .quema le Introduee un amplificador.

,

I

115. •flodo 4phco de delerlllinlcltln de In tenlllnu 1lIf'lfil.llle modelO' I1lnsptrenle.

El método óptico de esLudio de les tellllionlliS eOMiste en que un modelo Lranlp.areot. d. uu material 6pticame.nlolletivo (eo la m.y. ri. de los tI!O$ de uistales orginieos eapocialee) en osudo de ten,i6n aa ilumina con luz polarizada. La im.gen del modelo en II pll.ntalla rll8ulw entonces cubierta de UD sIatema de franjas cuya forma y poslei6n se determina por el e"l.lI.do teDsional del modelo. Anellzando el euadro obtenido se puede obtener la magnitud de lee ten!lones que surgen. Lo más fácil de anallUlt coo el mdtodo 6ptico es el e:ltsdo teuslonal pleno en roodolO$ de esJl6!lor constante. Exlsteo tambih métodos de invesllgeclón delll8tado tension.1 de volumen. Este problema sin embal'tO. ta'lulla bastante mb complie.do, tanto en lo que se raliare a la tllenlea del ensayo tomo. l. interpretación de los resultadoe obtanidoe. Veamos el caso de i1umlulci6n de un modelo piano coo luz mouocromátiCl. El esquenu del dlsposilivo !8 ve en la figura En ti, S es la fuente de la IU1; 1, el cOlldensedor; 2, el rnlfiJ; 6, el objetivo y 7. l. pantalla. El modelo I se illStall entre los elementos pol.riudoru S y 5. El primero se denOOlinl pol...b.dor y elllolguodo 'Qall1a-

sao.

doro Los ejes ópticos del polariudor y del analizador forman entre sr un ángulo de 90°. El haz da luz que at:raviella el pob.rlzador a se polariza en el plano boriwntal (el vector de la polarización se ubica horizontalmente y lu oscilaeiones ópticas tienen lugar en el plano vettical). El haz polnrltado, dada la posición mu~ua de los ejes ópticos, no puede pasll.r por el analizador y, como resullado, la pantalla no 1HI ilumina. El polarblldor y el analizador están. como se dice, instalado.~ pllra obtener la obscuridad. Al cargar el modelo, éste adquiere la posibilidad de girer el plano de pob.rhaclón de la

Flf. S8O.

lui que lo atravIesa en funcióu de lo magnitud de las tensiones. Entonces, la luz con el plano de polarización girado pasa por el analizador y forma 00 la pantallo la ¡magllo del modelo que se investiga cubierto do un aistema de franjltS claras y ob9Curas. Veamos ests cuestiÓn con más detallo. La luz polarizada tiene 5'U /l.DaloglB en las O$!I/l.clones mecánicas planas tfanaversales erl las que el desplazllmiento u varl. según la ley armónica, u-=asenwt. aiendo w. la frecuencia do las oscilaciOD09 trallllvel'llll18ll igual a la froouencia de la ooda de la luz; a, la amplitud de lu oscilaciones cOlTeapondlentea a la lumiDllncia del hu. Supongamos que el hu polarizado an al pleno horizootal Ifig. 581) pasa por el modelo trallBparente tallBlonado. Los desple. I8rnientos an el piaDO vertical OA !le descomponen según los ejes principales ;r; e g. EotOIlCes, u.. _a coa a; seo «¡t, uy"",asenClsanrot.

El material que etI ópticamente activo, cuaodo se encuentra OD estado de lenaión.ee hace anisotr6pico, raault.ando qua las velocidades de la luz e.. y 7 en los planos Oz y 011 son diferentes. Será diferente tambh!n al Uompo oecoaarlo para que la IUII cruce [a l'mioa do es-

pesor h,

. '.

I~-~, t

'.

tu ecuaciones d. lu (lndu en

_~

I~ pln~ (h; J O, despuÓ$ di salir de la Umina sel'lio respet· tlvamente. u.,,_4Mn.aseolll(t_',,)·l u,-=4eo!oasoolD(l-t,). (i6.3)

r

Asi puu, 113 oocilacionea resul·

""'-6 lan duplaudas en fase. Est.e des!aSllj8

\l.!l,

/oI(t,_I.).

Por el analludor insulado para obtener la obsc:.uridad P'" sarin solamente las ascllatlones que ocurren eD el piaDo boriJontal, es decir, u.' _OB~_OB, _ _ OA.co!«-OA 1 seo a, o de Icuerdo I las expresIones (163).

u' -o MD e:teos« (aee. (t_t,,)_aeo 111 ( t - 1,». Dll3pués do

lrU1.~forlD.eionell

olemeo13l85 5Itl obUeo. defw.iU\lllneoll.

/,_t.

u' .... alOo2a.&en'O>~.eDI'ltl

(/.+1,) l--r •

Como vemos le ampll\ud de La onda quo cruz6 le probeta y el anelludor c.enl., (16.4)

Por lo ltlnto l. InUlnsldad d. la lut que incide 80 1. pantall. d. pende del desfuaje III(',-'J J del agulo «. Cuando el plaoo de polarhaci6n coincide eoo la direeei6n de uno de losejm priDCiJHIII/IIII. aen 2ct ...O. Eo este eno bo pe.atf;Ua en los puntos correspondienlM. pennanllCltlÍ. ob8eura. Lo mi!mo ocurrir' en los puntos de il ¡mirto del modelo. donde II diferencia de J.q (ases

sea multiple de n (16.5)

aiendo n. un nlÍ.mero enUlro ubilu.r1o. AlII PUeIJ, CQrno ~ultado en la pantalla, se ob\ieDBo franjas obscuras de doblB procedencia. Ante \odo, apareee una o varlaa franjas obscuras en laa que la direeclón de los ejes pritlcipales coincide con los planos de polarización. Estas lineas se denominan isoeHnas (Uneaa de igual inclinación de las tensiones principales). El segundo sistema de franjas ob!jcuras eorresponde a loa valores de t,_l~

"-,

iguales a O, n, 2n... El ensayo demuestra que la diferencia de las fases (la diferencia del tiempo con que le luz reeorre loa plenos Oil y 0:1:) es proporcional y (f~, es de<:ir, a 18 diferencia de laa tensiones

o,

t -1 =.!..-~=kh(o -o) '''c,c~

''''

siendo k el factor de proporcionalidad que de¡l'Bnde de la actividad 6ptica del material, Por lo tanto, para cada franja del segundo tipo la diferoneia de las tensiones o,-o~ es, de acuerdo a la expresi6n (16.5), constante e Igual a, 2n 2n 2n 2n O; wf
;

El número n indica el Olden de la franja. La magnitud k (constante óptica) se determina lácilmente, enSllyando previamente una probeta a tracci6n simple. Si .'lB trae<:iona en la luz polarizada una barra priwuHica del mismo material que el modelo, eotonces la imagen de la probeta en la pantalla se oscurece aUCe'livamente cuando la tensión en la probetá pe9l pOl 1011 valores

~;

2iíX, etc.

Midiendo la variación de la carga entra dos oscurecimientos con.'letutivos, obtendremos, a=;;¡¡¡¡-,

'"

determlnudo asl para al valor dado de lo) (pan el color dado) la magnitud de k. Las [ranjas obsemas en el modelo correspondientes a valores constantes. de a,-a" se diferonciQn fácilmente da las lineas ísoclinaa. Si giralUOII sln'ulUneamenle el polarizador y el aoalhador en sus planos, B:'I deeir, sí \'oriamos el ángulo 1%, entonces las lineas ¡so-

elinu cambiarán de conligurJlcJ6n, mleoU'll.!ll que lu franjas o -0.._ _ wO.!IIL puouoec:erin eolUltJIntes. Al iDveeUgar el tllIlado dnslooa' en uo modelo plano M reeUJ1'e pnerelment.e a ~t.e mlitodo. Gireodo el pllDO de polarbaeión (eo la mlyorJa de 1011 ea.soo ean un Intervalo de 88 eOD.!lltruye J.I r.mllia d. 1.. lineas i.soc:linas I:{I/l lu indiaelan. eerTeSpOfldleole:! de 10.& io¡uIOll. Sobl'1l la base de 1... isoc:lJ· on a UeU obtener despu4s 11.1 .....yec:torias de las tenslontlll priDclpala en el modelo.

5'

Varllodo bo arga sobrll el modelo, maotenillodo invariables las posieiooes del polarizador )' del .oalilad«, se puede observar l. aperic:lóo y el desplu.mieoto de las fraoiaS en 11 ilJ'IIgeo del modelo. Por ejemplo, durante la flexión de una barra pri!lJJlática se obtiene el &iatema de 'reojaa reprflllentlldo eo la figura 582. En la parte c.ntral del modelo donde lilloe lugar l. flexl6n pura se olnlervll tuta dlstrlbueJóo uniforme de las franju. Eato quiere decir que las tenaiolll!ll eo la a!turIl de la sección all distribuyen Iloealmente. Al aumentar 111 carga, en JO.!II bordes superior e lolorior IIp...ecen nuevllI lranj.. que .!lié despllllln hacia !JI Hota neoue. Les lunjas lIEI eondeoll8.n de esta fonoa, pero le distribución le m.ntiene uniforme. Realil8ndo Ja e.1V' de l. harra a partir de cero !Uuit. "eH determinar el orden de e.da fnoje e indiclr exactamenle JI difel'1lnei. col'l'e.oJpondlntl deo-O'. m'(odo 6ptJeo no permite determinar la mlgnitud de 0'.. y fI, por tepllredo. PII'll .,110 51! reeulTfI I IJl'LOdos Ill.IiUlree. Uno de estos IJllhodos I:{IllIiste ea !JI medief6n eoo UD te.aómetro espllCi.1 la vllril' ción del e9pesu del modelo en los d¡yersos puntOll. Como dA el proporcionel a JI Nm' de in tenaionflll,

Er

~--r-{O.+07)' coooeieodo la luml ., l. diferencl. de lu U!UlioDIIS, .. fieil ealeul.r lae propl.. tensiones. Sin embarro ,e prdltft elm'todo que eoosl..!llle ea el empleo de lu ec:ueeion. ¡eoenlflll de 11 teorla de 11 eluU. eldld, coo la integrac:lón poIIterior de J.. luenea loteriotell de -coerdo e lal dirKeionllS obtenides de las teMiooflll priDclpalllS. LI dMCripel6n mú deteU.dl de este mitodo eale fue... de los lXIereos del euno de resisteneia de materWes.

116. MUr>da

d. 1... 1"""¡'"

d~ Ml<#rl

Las pQ.!libllidades del DlOtodO 6pUco 00 se egotan con el ejemplo analizado anteriormente de la iluminación del modelo plano con lus monocromática. Con frecuencia dicba iluminación se realiza con luz blanca. En este caso, en la pant.alla, en lugar de franjas obscuras y daras se observan franjas de colores que abarcan de manenl con~i­ nua too03 los color'e:!l del espooteo. Existen m'todllll de iluminaci6n de los modelos CaD eliminaci6n de las lineas isoclin!lS. Se conocen métod.os de investigaci6n del estado tensiona! en modelos esUireos, cuando .se tcongelu la aoisotropia 6ptica y se corta posteriormente el modelo en probetas planas. § 116. Método de las franjas de muaré

Este método ha comenzado a emplearse para el estudio del estado I.lloslonal hace relativamente poco tiempo y todllvfll se conoce poco 11 pesar do pNl!i6ntar ciertas ventajas. El mótodo de mU,anl 09 ba"" en el efecto que COIlSÍJlt8 en la aparición de Franjas elara.s y obseuras cuando Sil sobreponen dos redes de parámlltros igualu o que se diferencian poco. El cuadro qua se obliene se denomJna amare. En la figuro 583 8!ltá representado la rotogre.fia que ilustra este ofooto. Si Be fijo una de las redes al objeto que se estudie, al delormarsa >e, se desfigura la red, la distancia tmtr!, las lineas varia y no será ya con~tante y, al mismo tiempo, se f1e:lionan las mismllS lineas. Respectivamente varia el cuadro de las franjas de muaré. Se puede juzgar sobre la deformaci6n del objeto, fartiendo de la forma y posi· ción de estas franjas. Veamos el caso mas simple. Supongamos que se tracdone una franja sobre la cual se pega una red cuyas Uoee.s son tt'ao.sversales (fig. ~). Sobre esta red se sobrepone libremente otra igual a la primera y con la misma orientaciÓn de las Iinoas. Mientes! la probeta 00 se deforma las lineas de las t1ldes sobrepuestas dadn un fondo uniforme: gris si cada linea se sitúa sobre la otra lín&a y obscuro si la línea de una red .se sitúa en~t1l dos linees de la ot~a. Al traccionar la probeta aumenta la distancia entre las lineas de la primera red y apafCC(ln frsnjss de mllllré rectas de orientación transversal, como se ve de la figura 583, b. Es Ucil determinar cuál es la distancia entre "las franjas de muaré. Veamos el corte transversal del aistama de líneas (flg. 585). En Is perte derecha se represeota el corte de hi red patr6n sin deformar (el paso es a), en la izquierda, el eorte do la roo ddormada. Su paso es a .. 11,,,,,,a(1+e).

siendo

1':,

el elargamiento de la probeta que S6 ensaya.

En el centro de la franja de mURré obscuro (punto A) la linea de una de las redes se sitúa sobre el claro de la otra. Del esquema se deduce ,que en el segmento S igual 1lI paso de las franjaR de muaré, en la red sin deformllr eotran n lineas, mieotU.9 que en la otra red n-1. Por lo tanto,

S=na.

(t6.6)

Por otra parte S _ (n- t) a,_ donde se obtiene,

n=...!L 6 n=I+I. ftl-a

I

Volviendo a la e:a:presl6n (t6.6) se obtlem:l,

•

• "" S_d'"

Como el parámetro a de la red se conoce, queda por medir la dbtancia S entre las (ranlaa de muare y calcular e. En el ejemplo que se anaUta se ve claramente la esencia d!:'1 método y su diferencia fundamental del óptico de luz poJarizadll.

a

a, 8

FIl, 684.

Flg. 681.

El muan! aparllte como consllCuencia del dllllplnamieoto mutuo de les redre. Este 811 una especie de indicador de los despluamienloa. Para dete.on.inar la delormación media eo un tramo se debe comparar la pO$ición de dos franjas contiguas. El muaré es en este sentido semeJante al tens6metro, pero no determina el desplazamiento rliscreto de un punto, sino un cuadro continuo de loa desplazamientos en la zona.

En el mtltodo óptico de luz polariuda las cosas son diferenUIII. Aqul la lnnja surge no como consecuencia del despluamiento, siul) como consecuencia de la defonnacJ6n local. El eorareeimieoto o con-

densación de 1M franjas no certifica le magnitud de las deformacIones, sino el gradiente de la variación de áatlll, como 8fI demostró en el ejemplo en la ligul'll 582. En el C880 de tracción homogénea de una placa de un mate:rial ópticamente activo no S8 observarán franjas algunas. OcurriráS()1a· mente UD obscureclmi(mto o clarecilniento periódico de la imagen cuando la deIormaclón que surge pasa por un valor determinado. En el método de muartl el clareeimiento. que eigue al obscureeimiento ocurre cuando no se da la deformación aino el dellpl8Zll.mieoto de una roo respecto a la otra como sólido indeformable, en la magujo

tud 2"'

Paaaodo al lenguaje del enil.lieiS 8e puede decir que la deformación se determine por las ·primeras derivadas de los desplan.mientos respecto e las coordenadas ~ e lJ. El método de muaré, por lo t.e.ato, exige obligatoriamente la derivacióu de las fUllciones de loo desplazamientos que se obael"Van. Esw se reeliu en forma implícita cuando se mide el peso de le8 franjea, es dedr, la diferencia de 108 de9pluamient06. Esta opereci6n está relacionada. claro está, COD la p6rdlde de exactitud lo que impone limitaciones al empleo del método de las lranjas de muare. Si las deformucione9 son pequeñas las franjas se sitúan e grandes diStanciaa entra al. Dentro de los IImit8!l de la !ona que se analiza, habrá pocas franjas y la deformacl6n media qua &e mide en grandes segment06 no da una Idea suficientemente completa del cuadro del esLado tell5lonal. Al mismo tiempo las propias franjas resultan mal deflnfdas y determfnar de una manere ciare su poslei6D y dirección resulta dilicult050. Lo más conveniente es emplear el método de las franjas de muaré alH donda se Il!Ipera la 8p11ricf6n da delormaciones relativamente grandes. A este caso se refieren los problemas relacionados con el análisis de los cuerpos que se deforman pU.stieamente o con el comportamiento de las estructuras con f1ueDcle plástica. Es importante d/lStacar que el adlisis de estoo problemas está fuere de la aplicaci6n del método ISptico. En le figure 588, está representado el cuadro de las franjas de muaré que apllreteD al comprimir un disco en la direooilSn del diámetro vertical de un meteriel cuyo m6dulo de elestlcided es pequeño. En el caso a) les lIneas de la red son horh:ontalll8 y en el caso b), verticales. Cada una de la8 fI'tlnjas constituye el lugar geométrico de loo puntos de despleumientos 19ueléa perpondicu!el'(lS a las lineas l1e la red. Se ve claramente que la Irecuencia de las frenjas es en el caso e) mayor qua en el caso b). Eslo quiera decir que la daformacJlSn en el sentido vertical 8l:l mayor que en el horizontal.

'111. M'fOlU

M lo.. 1"'''1'' M .........

."

Una de 11.5 \'IrJtd.des del mitodo de 1.., fl'llnju de mu.ri es el m'todo de deteflllioe.ci6n dI los dll8plaumlaoLm .ngubne de .. IUperficie defonllad., en perticul.r, da l••uperficie elúliCl de In platu , membrlUlU. En la figul'll 587 SI I'lIprmenta el esquem. del dupoe,iLivo. Aquí SI eoloca la red sobre la pantalla cillndriea. y l. superficie que .!le in\'llItip 58 traLl de manerl que .dquien Id propied.des de UD 118pejo. La red que 58 reflejl de esta .!Iuperficie se upone dos veces del mi.!lDlO di.!lposilivo eD pelicula (ologrUica. Le primera ves p.ra la plac. &irl fluionar y despu6e pna la placa 1IeJ.ionlda. En l. pelicula.!le refleja el despluamlento de la red debIdo • !J. variaci6n de l. orientación .nguln de l. lIuperficill que refleja , Pantalla

~"r
llllminarfor

".-....:'-r"'(~)~ p

d

fll. U,7.

, lparece ui el efecto d. mUIr'. A diferencia de 1u Inajas de la n· rurt S86 .qui c.d. franja cOlllltituye ellug.r geom4ilrico de 101 pUDtos

de 1¡u.1 lnelinlcl6tl de la suparfiele en el pllno petpeadicular I las HDClU de II red tnuda en la platilla. Conociendo los dlll'lplul' milolos Ingullrel .se eatlbieee II ley de varilción de la curvature de II pllce y después .. calculan las lGUlooes. En calidad de ejeJDplo, eo la figure 588 se tepNienLl una place rl!Ctlngular empotrad. eo dos tn.mos deon ml3mo borde :JJolieitada por un, (uene conceotnd,. En la figura 589 JI da el Cltadro de la diatrlbuelóo de les freuju de muari pan dos CUO!ll de eiluaci60 de l. red. Huta II ,clllalidad u hilo crsado variu modilicacionee del m.. lodo de le, fraojal! de mUlri y 56 hao desarrollado varios proc&dlmJootos quo aumentao eu e.llclHlld y efeotivided. En la, IDaoos del lnvatigador este método es un bueo complemento del arsenal de procedimient.ol9 para el adllalJ dol estado tenaiond,

,todo

• 117. • de 101 r1rOl X d. determlnenl6n lIe le. tenlione' El _tollo de l . ~101 X .. d.....i_l6. dI lu teosl_ .. Naa ell le 1DIdki611 la di.tuc.le 11Ilno l . cIoe le no! crist.aliaa del_tel. Etb oIl.ulKle arte.r por 0101 " _ poi' le _14. d. la tempenl.all '1 por le eccloa dll.u fu«tu. EIl el ~ slrl ur¡ar .. ~ la di5t&Dc:ia IJI.lno 101 '10m'" CoIII~O IIU 'llcancl. GOlll la dbluda -.llda .. ollUeDe el al...• pmiell.to wllUrlo '1 d.p". de lutroduclr la correod6e ~pandieote a le WIIIP'I"tun, • d.e~i.oI. la "'-160. De asto .. deod_ 1101 partieu.leridad hapor1.aDtI dtl aMtodo u loe r.,01 X. Plnultl decermio.r 1u ItDll~n .. el m.tal "0 ",I""lela al ee\do alo tell!lo- . Eo 1.. mediclOllll GOlIllVOII de lu "'....irlOll .. _ l . l. Wooeaei6a del tem6metro aollno l. lI'l.tIiclura alo l.8uiOll85 PUl CGmpanor d",pu. 1... leclur.. del d1Jpoeltl.o eOIal despu. de la aolleltacl6n. Lu pnotensiooes en 115 aslnaeturu (..,notura, te~ 0_ tecaol6:lllcul tlO pIleden IIr captedu po~ 101 teDIÓmatroe. EllÚlodo dlllo. reyOl X¡¡.los ",lo... ablolu1.oll delu leulorlllS. Po. el l:Il4lodo dll {os '.)'(11 X .. puedeo, por elllmplo, determinar 1M tenillonO!l reeldllliea ,o la Ion. de l. eo&tura IOlIlada dO!lpu6a d. qve 11 enrrle lo qvo no N pIlad. h.acar GOlll terl3Ómetl'Ol. Coll1O ..belDOl!, 101 rl101 X 8Ul'll'erl ev.odo vo hu d••lectro""" qUllIll mU.VID .....0 nlocldad ioctde lO le. IIlperflele de un me\al. El hu de al.ctmne. .. ereoa eo .1 tllbo d. Roeolpo, calealaodo el m.meo\.O J acaIer.odo daspv. loe .Iectrona en el campo de all.l 1.Ins!6n. Loe eleclro_ qve locldllll lID el 'riMO del Ivbo 11.1.0 origen 1 la ndlecl6r1 Roeot¡on qUol .. dlfliode priM:ipal_te '0 l. oIlno:c.i6a perpeoclicular al bu {II¡. S9Ol. Ollrl.llte ellnobejo, itI. 6nodOll call_ te mlKbo ' " enfrl.m.illOlo .. 11...... cabo con ..".•. P.... a.-lar le ..._ cl6r1 de "lar, al w.bo Gel '0040 ea baee de coINw. !I.pectro deJa ellliai60 del wbo de ROIIOlfell depead. del ....ta1 'D al ~e.1 l.cld. el ha. electrónico (_1401 de .... bejo del úodo) 1 de la magnlllld
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24_n-&="),,

(t8.7)

Ea'" .. la coDdlcl6o d. Bragg. Ella dem\lll$lra queJa ntf:!nJón d. to. raY(III X de lliel10 "lano puede ocurrir solamente

cUludll

,1 rayo incldenw fona.. 1;011 lllte

plano UD toeulo dewnnlnado • que lIatJ.fI.~ la relaci6n Indll.,.4a. EIIIÚn'lerG " se de.oOlnina orden d. nf!oxi6n. V•• .bora el esquema de la refl,xlóll del •• yo X de la superfic!e d. l. probeta qlle lB IlItudia. El hu que Incide DOnl1a1.lnelll.e 111 11 al,lpedlele abuu uei

m""

úea. de t .5-2 mm de dl'lXIekO. En e!lte Area, comO) demuestran I~ ellA)'OIl, entn. el araD uúmero d'Ori8~lelI iluminad"" 8lI elKUlotra !:DIlrelmeow .ulielanle cantidad de aietal. orlenud"" d. tal mIUle•• qoe sua p 11.111>5 Y1"" I'ad.mékoll d.l rayo imldeow satisfaceD l. condlo16n d, Bragg. Eo elite UIIO lielltl lugar la Téfluf60 del reyo en los crlsW. (1Ig.59::l. Loa r.yos ruUajadOl formao WlI ..... perflcle cónica que Uelle enllll v'rl.1ce Ull 'n¡ulod'e360o-4/). SI eo el camloo de .\011 rayO:'! lIlI IlDlca una Ji!IlUcula loto¡¡r'fiea, eo ella ape.l'fICeri: \lll ch"Culo de radio" (Ila. 5~2). E& Ob'l'¡O que IlI'jt8O"-2&) __ ",26=., jl6.8)

•

siendo a, l. dl!l!.llDeie de l. tinte a le superficie del meuJ. Lu mllfllltudes de /1. Y' llll mideD determinl ul el '1l¡Il10 11. Volvl611do ala upNal60 (t6.7) y conoelendo I1 0D8illld de le onde ~ y el ordeo de nlluJ611 lO se pueda ohtelllt d, el d&e:ir, Ja dl!ltaw::la aD~ 1011 plaDoedel uilltal. Esta maaDlIlld 110 debe competir ellO el tamai\o d. del ulil\llslD tenalOllar. Aal se dawmioll el alUlllImlallto eo I1 dlnoccl6n perpendlcwar al pllUlo nfiectm del aill.a1. LI I'M!Iucl6D prktlc.a d• •tu operaelollfl!l p.-ntl. une ...ri. d. dlficlllUdM, cuyo orl¡$D I'IIdlu eo que todas 1.. medlclo_ debeD.r NaUudu C(l1I Ilna llDetltud que aarlnUCIIla determinlcl6n di la difll'lllll'la entre d y do, magnitud que lll8 muy peQooi'ia.

¡ ...

8w¡., lalto todo. l. dlfJeull.d rol.ciClnd. C
Be

tleoe cicn.o espesor que se debe tener lO cuenta enl., rnediclOlMl pata Int;.oou_

cir l. cctnCCJÓn.

Lu dlflcull.d811 que IW1{ilO lIII re.tuel VIO de lOanerll. .itulente. EII .1 puoto de l. ""pedid. que". IDvestiga el metel. limpio J'" ata" qulmieomeDte con 'ddo. Le superficie limpie llII eubre dtspuill! Ill'eoorelmeDte por a1melooo electrollUeo) COD eJ"letales de elgón otro metal. Af tltudi........tl"llotllru de ICAro pare elite prop6llilo lit IlIIIplu. fD l. mlyorl. de I~ e&!lllll, el oro. ED l. rOlogra.

fle, oobn 1I tIIlleull, M obtleDetl lu IInou de 1111 rIJOS X que .. telleJon de loa cristales del hleno y del oro. CoIDO I~ czllltolell de orll . . eplice" eleet.rolltlea· mellte y no~ú.n teniliOlJ.dos, le puedo eOllllderu que le conoce le dlouDl:le entre las '!
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7""'-r(o.+ol)' " J' Plu detoe'Dlb.11 401 toelL!iOIlIlS y el {ngulo que ea...ctoerlu. lu dlfECelones prlnciptles en el CIlIO geDer.:! lIS ..-rio rNllu..r dOl mediciones m"'. Esto medlclo.." 11I "",1111\!. Uumloaodo la ~perliclo q..... lI8 10"eaUgI 00 an la dl~ cilln nomuu sino COn cierta Inclinación (pll1' ejemplo 45") en diferente! plll.llOO como lI8 PU;'¡I VOl en la figura 595. Aai pues, el prolJlama dala detoer'!UDaclón de los ejes principal"" y de 1.. UI1WOOllll prlncipalllll tlena an principio ""lUCión. A pe&II' d. que, ell eómpuacl60 tOn 01.ro!J métodos, el método d. los rI)'OII X JIYIlIOnta vental" Indudables, al dewmlnu lea teilaionea residuales 110 ba nK:ibido ésta en la prActica d.111I lnvllSt1pclonea d. laboratorio un amplio uao. Esto aa upliUl. ante todn. por 1.. dlmell.!iones da los aparltos UoadOll y por lo eompllUldo del tratamh14k1 de loa ~ltadOl de lu medIciones. El método d. loa rayoa X eS relatlvamenwpooo lIa<)l.o puesl.o que la medicIón de laa Iinua eo 1I pellcoll esU relacIonada cOn ehortts aill'Omcloks. El método d. loa "yoa X ~Iene por Ol\lmo u"a pal11cularidad IISpeellioa ¡lIe dilicl1lta IIU apllcacl6n. Como la rellui6n de loa rayoa X tialll clel1a selac:t "Idad :respecto. los plan... d. la red e.rIlIlaIlnl, SlIrge la Interrogante lObA la aniaotropla el"tlca de los cmlala. El ob¡ato que lO lnveoltiga eoI. hablando en lé.1111nOl JPe
§ l18. Método de recubrJmienl" can barnll El método de recubrimiento con bITol. coDllste en que ...,b... la eupe1"licil limpil do la eetrottura qua 81 l!lvatISI, &e aplica una eapa Itna de bl."ie. Al

aac:a... h\e 'onoa 1I0a pelleull fin. fuo11eJnenle unidl con 01 met.!. La compo-

alcI6n del bamb SIl lI1COgI de tll manet'l que.1 alarpmleneo de la pallcull du' rente la rolura SIl dlli arde.. de loa ale.lt1'JD,lfJ1toa elbtieoa dal metll. AllOlicl. tlr el objeto qUI .. ensaya lO iI IOQI,. de 1M \enal0De3 elevadu. In al .&eubrlmiento de blrl1b aplree.. una red de grle_ta! pequeñlt. .' _ El elllloyo demuestra que tu grletea .. orienlao perpendicnlumente al eja del Ila!'lfl-lllienlO mhlmo. Eo el ceso d. un m'lterial is6tropo ato oorralpllnde 1 la dlrecel6n de la telllll6n de t.accl6o priocipal. EI1 el IIImi. ~rlI1~ll1!nte lI/l ",o bien tu grlelaa y asl l!cilmeote $1 IilStableee 11 dlrllCCi6n de loa e es principal"" en la .Ona que .. eatudll. SI !lO IIj. el momento da la aporld6n a las grleti" $1 eatabl_ ul tlmbi6n el allrge.mtenlo CO\'T$(Ipondlente a la carga dete!"mioeda. El alargamiento durante la rotura del blrnl. 1lO estlblee.e pan el ea... tanldo de éste lI1edilnte. e~eyOl oomparaUvos «lO probetla plloa" y Can 1I ubiCI~16n de tens6metros mec:inicos. . Al determinar tu '11lI1oDU prlDClpalell e.. Iu IOnu de teoalonea da compreailin /le n>CUrnI generalmBnte a UD método artlliclal. La atructur... carga previa. menta y IObrn la luperlic!e tell$lonadl se 'Ipllca el nlCub.imiento coo blml•• Durante la deaelrga en 1.. IOnu de oompresl6n apal'llU11 11'0 grietas..

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litr que permile con procedimientos ,¡mplo uuhlecer l. dlreul6n de los ejll$ prlnt:,pel.. ID lu ""DaI que nos llltfl.-.O y determinar de m.nlr. eprolimldl al OrdlD d. lu tensionn que letÚlln. Dupu61 de 0$\08 e_yo. prey¡os uf.ta l. JIOIIlhilidld d••Itu•• 101 c:.ptedOf'$'l UllLloOm6trlCO!l d. l'ftlstanel. d. la m_lIQ,. lU5 rulooaJ pua obtelUlr ti cuadro UICt.o .w .u4o tooDSlo~.

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INDICE DE MATERIAS

Alabeo ItO. 361 Alargamiento aI••oluto 35 - convencional en el momento de la totura 66 _ real 110 el momooto d. la rotura 67 - unitario 35 Al¡roritmo m.dnico 470, 521 Amortiruamiellto IIn..1 49:'AnalO(l'la de la membrana 101 "Folo de dl.tonión 26 AlI ""Iropia 14, Z71 Arta aectol'bl 346 _ """t34 -, ",orlo mombran.l de t. 3i I Ulculo b~.do eo lOIl deolpl.umle.... toe admi!libll!!l 30 - buIldo eo IN l....lOOeil odlPlai· bies 29 -, esquema el. 13 - por ,,1 m~todo d" hUI cergu 11IPI~

-

399

por ,,1 ID~tocIO de lu urges d.

rotllra 30, 395 Captador d" rmmocia 544 Car.ct&rlalica del dcl.. 412 Caracterialio:u Be<:toria1es 350 Carga t7 - cl~llca 16, 410 _ dhuiJlllca 5Z9 - eal.tlca 4t

•

C.rga de Impaclo 5:!9 - límJtII 380, 3% - d. rotura 380, 395 CutigHaoO', t.e1M'eIPa de 187 Centro ele Iluióo ~ - de gravedad j 15 - de tOl'llióo 365 Cid..,. semejan"" 414 Circuloe de Mohr 257 CDeflciente de lo b""" elástica 160 de la calid.d de la rnperlieie 426 - del ciclo 412 da dila'aeióo tármlca 31 - din'míco saz - electivo de coocenl.raci6n 423 - dol factor ..... IB 428 CDefleien", de PoÍ8l'lon 49 - do reducción d.. la loo¡rilud 447 - da reduedtin de l. 11,1"& 5i5 - de redue<;itio d. 1.. tIIn$ioo. admlalbles 459 - da &eflIlridad 78 - da aegurid.d hallado en les cargaa HIPltlt 79 de aegurldad a la eillabilldad 439 - da Be¡rurl
'"

_ udnlrica d.. 1... hafTM da par.. dll:!l delgada! 371 CollCllnUacl61l de ",Mianes 4111 Condición de C.dolin 303 Colltinuidad 14 _ de h.. dafOl'maelon ... 20 Cuello 57 Cuerpo amorfo 59 - er~l¡no 59 Deformadtin 23 _ activa 375

581 Delormación angular 26

- 1Ilútlu M! Delormael6n lioaal - paslu sr5 -

pl.aUce 57, 479

-

III.. pl.. 4()4, t<\.mlOI 31

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_ residual 375

Descarga da l. probeu 57 Deeplaumleoto 2S - ~1aJ' 23 _ .IlU 23 - completo 23 Ue5pluamllolOll en alStflmM hiper-

0StUleoe 242

Diagrama da coiuprttlll6n 69 _ de 1.. delplazamientoll 40

de l. dleto,,160 85, 404 de lu fUInas 38 de los momentoll 87. 121

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resistenela I 11 'aU¡a 618

_ de lu ten&iODIllI 38 - de l.raeel6n ~ Dislocación 62 Dlaeo de rotael6n "plda 305

Ollltorslón 81

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OureJ.II 72

Ener¡l. elbtlc. de l. form. 273 - eUltJc. en l. wrlIi611 92 _ elbtic. In la tracción 41 - elúUca de l. v.ri811i6n del volumen 273 En,.yo d. l()ll m'UrI,lfll y enuyo d. lit!! estrucl.uru :>36 - • lreccl6n-comp~i6n 51 Esquema de cüculo 13 EabeLte, ~ .Beea16n de lIWl.l1ela 56 E.sJ¡'6em.tiuel6D d. lo, dleg'&JJlu E.slabilldad 43ll - de InUloa y tuboll 463 _ de bll1l'U 439 - .... el caso de deform.clOl1&8 plWieu 4.58

- contr. pert.l1I'badOlHlll gr.ndee ., contnl perturbacIones pequellu 4.16 - d.l. fonn. pl.na lIll l. Ilulón 460 Emdo defonoaclonal 26, 267 teosioo.1 23, 245 l.eoalonal biuiel o plllllo 2M - teDlIioo.1 homogfueo ~, 53S - t.easlooal limite 215 - tensloo.l mOllonl.1 o IInaal 2S4 Salados l.eosion.les $$(J)IIJIUIl.M 271 Eetir.mienlo del m.terl.l 58 &atructl1l" de \¡(u.l ....l.teo.ci. 40 EuJer, problema 439

a.

&uae;6.. diferencial d. l. lIadón 1St

_ de L.plece 312 - del método del", deformIdaDes 44 - del m6todo de lo fuen.u 2.14 - de los 'ni! CDOIDln\oll 231 EcuaciÓn unlveraal 155 Beuaelone5 callÓnlcu 216 &(..,10 d. borde 341

Eje da '" barra 15

- cenl.ra! 115 _

OIUI.rO 136

_ prhlolpal 121 Ejoi eentl"a1ll111 de loe",!. tI::' - prin<:ipal(llll de iaen:l. 121 _ principal... de lu tensí"""" 251 Elastleldad 14, 56 _, limite do 85 Elipsoide de 118 tenslOllIlS 2M EoduuoClmleoto por deform.d60 ...

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Eneflr\a elútlc. 41, 119 - erúl[ea en el CMO gelll1'&l de -

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Fac:1.or de 427 COnt6D.I.... lón 419 _ _ala

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Petil" ltmlte de "",latencl•• l. 4t5 Fin 6n 21, 127 - dll5"l.de 137, 183 - elúUco-plútlca 384. _ IDDgitudlOal y t,."",,_1 al.lDolt'D&U ~t - de un' pl.ea cin:ul... 320 - de un. pl.C11 rectt.ngular 332 I"lerl6n p\l.fll 21, 12'7, 134 - recta 1S7 - tr.l\l!IYersal 21, 127 142 Floend., limIte de - plútlca 14 ~lirmuJ. da H'lgb y Pollard 431 - de ZburIY81tl 145 Fr,,«ilid.d 69 'r.oj. d. da\ll......leoto 60 Frecueod. 487 _ clrc:ulllr 467 f'\Iena concentr.d. 15 - conante 20, 130

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de supení"!" t6

de volumen t6

Cadol!lI¡ wndiei'lR" de SOS G.adu (11 hlpe=tatlcldad W'il Grados de lib
d. l. formo 280

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_, ley generalizada de Z68 Integral de

Moo.

188

lotenaidad de 11.' deformado .."" 401 _ de 1"" tIllUlionllll 40t ilIvariebilidad cinMlIl.tlca 23

IllvarilJltell del enado dilormaciooel

""

_ del lllIudo tcn.lonai 254 hutl'opía 1'. Kirchhofl. hlp6tel1b de 320

Lamé, problema do 2% ",place, llO;uacl6n de 312 Ley de Hook. 26, 35, 51 _ d. Hooke eo la dilltollllón SI _ de Hooke llenerali~ada 268 _ do reeipl'OCidad de las ttlU!lonllll t.llgone¡elell 49, Z47 Ligedul'all 208 L1mil.il de claslieided ll~ de de de de

llullJlCI. 6S f1u&neia pl&sllca 76 pMporcionaüdad 64

rem\.ellcia • la raUga 415

Ma... Nducld. SIS Matori.18l!l alll!IÓtropOll U _ frágilBO! 69 - pl"tieOll 69 hhíto;>do ener¡¡élioo d. cálculo de las UlTimo erít,e.. 465 - de 1... ftl,nju de muará 553 - de 1.. fuerz ... 214 - de lu fuerza., <'Cu.elon... e.. ,,/>. nieu del 203 - óptico 5-46 _ de I<>s parímetrD!l de origen [;21 _ de Raylelgb 513 _ dI ~ub'iDlientOll con Inrnit 562 _ de loe reyO'! X (de Roenlgenl 5[,7 - de las silCcionC8 17 _ d. Vcr..chaguln 194, 351 M6dulo del duli.a¡nient" 51 _ de ellJllicidad 36 _ pole. de la _-e;óo 90 _ de la 'GCCión en l. flexión 133 Mobr, circulo de 257 _, circulo limite do 262 - , in~.l de 188 _,Ieon. de rcsisttncia do 281 Momento adal de InerCia 116 _ elItftlco 114

Momenlo !ledor 20 - flecwr timi'" 388 !lector, Nlgla dc los s\gn06 dcl 129 principal de inen:ia 121 _ polar de inercia 89 _ tol'!M 20 _ torsor, regla de lO!!! slgoO! del 86 Muar6 SS3 MueU"" 199

Núcleo central lt>ll Número crItico de

rovolllC¡on~

Oscl1aciooes 465

-

forndaa 495

_ longitudinalea 508 propllll 487, 492, 502 _ transversales de la viga 510 Probll!lll& da Euler 439

_ de Lawé 296

S2$

flldh:e dt MlIlt'....

ped!l abierto 104 _ <:erudo I~ _ eompuesl.o 106 _ de plINdes delgadas 104 Placa 309 _ drculu 320 - reetaogUlu 332 PlanOll ¡rrlnelpal.. 252 Plutlddad 69 Polsson. coeficiente d/l 49 Principio de las dimenslÓJIe!'l origlnaI~ 24 _ de Saiot-VelU.nt 33 _ de $Iperp08ld6n de tu luenas 26 Producto d/l inercia 118 ProporciDnalidad l . limite do 64 Prueba de Brloell - tecnol6g1ca 587

Ree«16n d/l ligadura l7 R~rocldad do 1011 dt!lpluam!eolo!l - de lll!!l t(\o,ionts !.aogllociat", 49. 247 _ do 1011 trab«IOll 204 Recubrimiento Gen bullir 562 R'lla de Vereacbaguio 194, 351 R/I ajaelóo 75 flOS/lrvR d/l Msia1.eoc;" 78, '1:17 fleaietaneia II _ e. 1. fatIga oi08, '10 -, tenrla de 279 Reaonancia 495 - ¡aralllél.rh:lI 526 RI¡¡: dll20 de la balTa a la Oerlón 138 - d. la placa a l. 0.:1:I6n 324 _ a la t.orsióo 89 flock",ell, pnleb. de flDlura, IImit.e do 116

Sl.tema O!IWeu 209, 238 _ pla.no _ espacial 208, 287 Superflcle eU.tlc:e. 320

'"

- 111001. 309

Superposlci6n 27 Ten,i6n 22 _ adllll!lblo 78 - eompleta 22 equlvaleota 277 loul 420 oomlnal 420.

IIOrm.1 22

prlncip.1 251 wngenelal 22 wngenelal en l. nell'lón HZ, 352 TellSÓmolro 55, 538 Teol'1llll. de Cutigllano 184 - de reciprocld.d de los IrabejOll y desplaumiootO!! 207 - de lO!! l.l'es momento!! 331 Tenrla de 1011 ""tad.... límite! 275 - WBwbrllJlal de le bóveda 313 - de la 'plañl~ldad 400 - de mlltanda de Mohr 281 Tlem!O de Bf&eto 74 TONl n 21, 81 Traccl6n 21, 32 - etwlllrle. 167 _ "-,,",,,!.rIca d
-

de paredes d~lll'adll!!l 2911 da paNdee gru...... 295

n

Saiot-Venllnt, principio de 33 Seeel6n tr.osve.....l l5 Simetría, propleded de 224 Sistema bll!!le 214 - cineldticam
Veresebaguln, m6lodo de 194, 351 Viga eootínua 231 _ lI
1"

Voladizo 132

Zhurav,kl, f6rmula \I
A nuestrosleclOres: Mil" edila libro, lOVi~ tradllQOOs al espalloI, iD¡I&., frands, 'ra~ y otros idlom., extranjeros. Enlre ellos fllluran Iu mejores Obrlll de w distintas

ramas ele la c1enda y la tkolca: manu.ales para los centros de enscftanl.ll superior y CSCUellll IcmoIógio;as; lilcratUlll sobte ciencias naturales y mtdícal. Tamblm se Incluyen lOonOjl"lfllll, libros de dl~ul¡a­ ción e1tntlfiCll Yciencia f)CCi6D. Dirijan sus opiniones ala Editorial Mir, 1 RizhUi per., 2, 129820, Mo¡.có., 1.110, GSP, URSS.