Resistencia de Materiales

RESISTENCIA DE MATERIALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE BEDFORD EJERCICIO 1:

En la figura el área de la sección transversal de la barra BE es 3 pulg2. Determine el esfuerzo normal y la magnitud del esfuerzo cortante sobre e l plano indicado, en BE

Solución:

Análisis de barras

∑  = 0 (2)FBE + (6)FCF(sen(63.43)) = 80(6)

ANTHONY BEDFORD pág. 1


  = 0 (2)FBE + (4)FCF(sen(63.43)) = 0 De las 2 expresiones anteriores se obtiene: FBE = - 480.01 kip FCF = 368.16 kip

Hallando El esfuerzo normal

 =  = 3.46pulg A =    F = F B cos30 = 480.01 0.866 = 415.7 kip  σ = FA = 120.14  2

Hallando El esfuerzo cortante

kip  =  30 = 69.28  pulg cos30 cos30


RESISTENCIA DE MATERIALES EJERCICIO 2:

El área de la sección transversal de la barra CF del marco del problema 3-1.26 es 4 pulg 2. Determine el esfuerzo normal y la magnitud del esfuerzo cortante sobre el plano indicado en CF.

Solución:

Con el ejercicio anterior se obtubo el valor de F CF = 268.16 kip Hallando El esfuerzo normal

 = 4 = 6.97   = cos55 cos55 F = F C cos55 = 268.16 0.574 = 153.92 kip  σ = FA = 23.31 

Hallando El esfuerzo cortante

kip  =  55 = 31.5   pulg cos30



La armadura espacial que se muestra soporta una carga vertical de 800 lb. El área de la sección transversal de las barras es 0.2 pulg 2. Determine el esfuerzo normal en el miembro AB.

Solución:

Hallando las direcciones de las fuerzas:

 = ⟨0.267|0.802|0.535⟩  = ⟨0.625|0.469|0.625⟩  = ⟨0.371|0.557|0.743⟩ ANTHONY BEDFORD pág. 4


TAC TAB TAD

= 0.267T i – 0.802T j + 0.535T k = -0.625T i – 0.469T j - 0.625T k = 0.371T i – 0.557T j – 0.743T k

∑  = 0 ∑  = 0 ∑  = 0

AC

AB

AD

AC

AC

AB

AB

AD

AD

0.627TAC - 0.625TAB + 0.371TAD = 0 -0.802TAC - 0.469TAB - 0.557TAD - 800 = 0 0.535TAC - 0.625TAB - 0.743TAD = 0

TAC = -664.82 lb TAB = -378.95 lb TAD = -159.94 lb

Hallando el esfuerzo normal en AB

 = . = 1894.75  



EJERCICIO 4:

La armadura espacial del problema 3-1.28 tiene soportes de rodillos en B, C y D. Determine el esfuerzo normal en el miembro BC

∑  = 0 ∑ = 0

B + C + D = 800 lb 6 C = 800(4) C = 533.33 lb

´ TCD = - 0.164TCDi – 0.986TCDk TAC = - 0.267TACi + 0.802TCA j – 0.535TACk TBC = - 0.64TBCi – 0.768TBCk

∑ = 0 ∑ = 0 ∑ = 0

0.164TCD - 0.64TBC - 0.267TAC = 0 0.802TAC + 533.33 = 0 - 0.986TCD - 0.768TBC - 0.535TAC = 0

TAC = -665 lb TCB = 308.347 lb TCD = 120.654 lb

Hallando el esfuerzo normal en BC

 = . = 1541.735  



A continuación se muestra el diagrama del cuerpo libre de la parte de la grúa de construcción situada a la izquierda del plano. Las coordenadas de los nudos A,B y C son (1.5, 1.5,0) , (0,0,1), y (0,0, -1), respectivamente. Las fuerzas axiales P 1, P2 y P3 son paralelas al eje x. las fuerzas axiales P 4, P5, P6 apuntan en las direcciones de los vectores unitarios e4 = 0.64i - 0.64j – 0.426k e5 = 0.64i – 0.64j + 0.426k e6 = 0.832i -0.555k

Solución:





 = ⟨0.64|0.64|+0.426⟩ / = [r x FμB]μB = {[21.5 1.5 0   44]. } = -257.927i – 257.92j + 171.68k



/ = [rC x PμB]μB = {[1.5 1.5 1     ]. } = -0.819P3i -0.819P3 j + 0.545P3k


RESISTENCIA DE MATERIALES 

∑/ = 0 -257.92 – 0.819P3 = 0 -257.92 – 0.819 P3 = 0 68 + 0.545P3 = 0 P3 = -315.01 x 103 N

Hallando el esfuerzo en el miembro 3

 =  = 63  EJERCICIO 6:

Sobre una barra sin cargar se hacen dos marcas separadas 2 pulg. Cuando la barra se somete a fuerzas axiales P, la separación de las marcas es de 2.004 pulg. ¿Cuál es la deformación axial de la barra cargada?

Solución

Como

δ = ∈ Lo ∈ =  = 0.004 2 = 0.002



La longitud total de la barra sin cargar del problema 3-2.1 es 10 pulg. Utilice el resultado del problema 3-2.1 para determinar la longitud total de la barra cargada. Al resolver este problema

δ = ∈ Lo 0.002 =   0.002 = 10 10 Lf = 10.02 pulg.

EJERCICIO 8:

Si las ejercidas sobre la barra del problema 3=2.1 son P = 20 kip y el área de la sección transversal de la barra es A = 1.5 pulg 2 . ¿Cuál es el modulo de elasticidad del material

Solución:

=∈  =  ∈  ANTHONY BEDFORD pág. 9


20  10 =  0.002 1.5  E = 6.67 x 106   EJERCICIO 9:

Una barra prismática con una longitud L = 6m y con una sección transversal circular con un diámetro D = 0.02m se encuentra sometida a fuerzas de compresión de 20 kN en sus extremos. La longitud y el diámetro de la barra deformada se miden y se determinan como L’ = 5.94m y D’ = 0.02006m. ¿Cuáles son el modulo de elasticidad y la relación de

poisson?



∈ = .−  = 0.01 =

   = 6.37  10  ´   .  

=∈ E = 6.37  10  

=

 ∈∈ =

   

= 0.3



Una Barra que se muestra a continuación tiene un módulo de elasticidad E = 30x10 6 psi y una relación de poisson v = 0.32. Además, tiene una sección transversal circular con un diámetro D = 0.75 pulg. ¿Qué fuerza de compresión se debe ejercer sobre el extremo derecho de la barra para aumentar su diámetro a 0.752 pulg?







∈t = − = 0.0027  =  ∈∈ ∈ = 0.0083 ∈ = −  Lf = 8.925 pulg.



 =  ∈ 

F = 30x100.0083  0.75 π 2  F = 1.1 x 10 lb



¿Qué tensión se debe ejercer sobre el extremo derecho de la barra del problema 3=2.5 para aumentar su longitud a 9.02 pulg? ¿Cuál será el diámetro de la barra después de aplicar esta carga?







∈ = .−  = 0.002 

 . 

= 30x100.002

T = 2.65 x 10 lb  =  ∈∈ D′  0.75 0.75 0.32 =  0.002 D’ = 0.7495 pulg

EJERCICIO 12:

Una barra prismática tiene una longitud de 300mm y una sección transversal circular con un diámetro de 20mm. Su modulo de elasticidad es 120 GPa y su relación de poisson es 0.33. En los extremos de la barra se aplican fuerzas axiales P que hacen que su diámetro disminuya a 19.948 mm. (a) ¿Cuál es la longitud de la barra cargada?. (b) ¿Cuál es el valor de P?

Solución:







∈t = − = 0.0026  =  ∈∈ = 0.33 = . ∈ ∈ = 0.07879 ∈ = −. . = 0.078779 Lf = 0.3236 m







 .  

= 120x100.323637

P = 1.22 x 10 7 N

EJERCICIO 13:

La barra de la figura tiene un modulo de elasticidad E = 30x10 6 psi, una relación de poisson v = 0.32, y una sección transversal circular con diámetro D = 0.75 pulg. Hay una holgura b = 0.02 pulg entre el extremo derecho de la barra y la pared rígida y luego se suelda a esta, ¿Cuál será el diámetro de la barra después de soldada?







. = 0.0022 ∈ = − =   ∈  =  ∈∈ = 0.32 =  . ∈ = 0.000704 ∈t = − = ´−. . = 0.000704

D′ = 0.749472 pulg



Después de que la barra del problema anterior haya sido soldada a la pared rígida, ¿Cuál es el esfuerzo normal sobre un plano perpendicular al eje de la barra?



 =  ∈ 

P = 30x100.0022  0.75 π 2  P = 29157,91 lb EJERCICIO 15:

Cuando no están cargadas, las barras AB y AC de la figura cada una tiene longitud de 36 pulg y un área transversal de 2 pulg 2. Su módulo de elasticidad es E = 1.6 x 10 6 psi. Cuando el peso W se suspende en A, la barra AB aumenta su longitud en 0.1 pulg. ¿Cuál es el cambio de longitud de la barra AC?


RESISTENCIA DE MATERIALES Solución:

Hallando las fuerzas normales P AB y PAC

∑  = 0 ∑ = 0

0.94 PAC + 0.5PAB = 0 W + 0.342PAC = 0.866PAB

PAC = - 0.508W PAB = 0.954W

Hallando W

Barra AB 

 =  ∈ 

0.954W = 1.6x10 0.1 2 36 W = 9317,494 lb

Hallando el cambio de longitud de la barra AC 

 =  ∈ 

0.508W = 1.6x10 δC 2 36 δAC = - 0.0532 pulg.



Si se suspende un peso W = 12 000lb de la armadura del problema 3-2.10, ¿Cuáles son los cambios en la longitud de las dos barras? Solución:

Barra AB



 =  ∈ 

0.95412000 = 1.6x10 δB 2 36 δAB = 0.129 pulg.

Barra AC 

 =  ∈ 

0.50812000 = 1.6x10 δC 2 36 δAC = - 0.069 pulg.



En la figura, las barras AB y AC cada una tiene una longitud 300mm y un área transversal de 500m2 y un módulo de elasticidad E = 72 GPa. Si se aplica una fuerza descendente de 24 kN en A, ¿cuál será el desplazamiento resultante del punto A?

Solución:


∑ = 0 ∑  = 0

PAC = PAB 0.5 PAC + 0.5 PAB = 24 kN

PAC = 24 kN PAB = 24 kN



Hallando el desplazamiento de A



 =  ∈ 

24 x 10 = 72x10 Lf0.3 500 x 10− 0.3 Lf = 0.3002 m 

(0.3002)2 – (0.2598)2 = X2 X = 0.1504



d = X – 0.15 = 0.0004 m = 0.4 mm



Las barras AB y AC de la armadura del problema 3-2.12 cada una tiene longitud de 300mm, y un área transversal de 500m2 y están fabricadas del mismo material. Cuando se aplica una fuerza descendente de 30 kN en el punto A, este se deflacta hacia abajo 0.4mm. ¿Cuál es el módulo de elasticidad del material?

Solución:

X = 0.1504 m




∑ = 0 ∑  = 0

PAC = PAB 0.5 PAC + 0.5 PAB = 30 kN

PAC = 30 kN PAB = 30 kN

Hallando el modulo de elasticidad E

 =  ∈  30 x 10 = E0.3002 0.3 500 x 10− 0.3 E = 90 GPa



La barra CF del marco del problema 3-2.18 tiene un área transversal A=0.5 pulg 2 y un módulo de elasticidad E=14 x 106 psi. Después de aplicarse una fuerza descendente en C, se mide la longitud y se determina que ha aumentado en 0.125 pulg. ¿Qué fuerza se aplicó en C? A=0.5 pulg2 E=14 x 106 psi

Datos.



c =

SOLUCION:



0.125 pulg.

c =

FC =?

∗ ∗

→ FC =

 ∗∗ 

Reemplazando datos: FC = (0.125) (14x106)(0.5) 2√5

= 195655.95lb

Ahora del nudo en C: F F = -TCF senα → F = 195655.95 sen63.430 =174992.44lb F = 175 kip Rpta.

TBC α

TCF

α = tan-1 (4/2) = 63.430

EJERCICIO 20:

En la figura ambas barras tienen un área transversal de 0.002 m 2 y un módulo de elasticidad E=70 GPa. Si se aplica en A una fuerza descendente de 80 KN. ¿Cuáles son los cambios resultantes de las longitudes de las bar ras?

Datos:

SOLUCION: D.C.L de la estructura. 2

A= 0.002 m E= 70 GPa F= 80 KN

BX

 , 

CX

AB

AC

F

=?

Para la barra CA:

T BA

30

300

→

CX = -TBAcos30o TBA = - 159958.52N

CY



.. = 0.0053 = 5.28mm . −. = 0.00396 = -3.96mm = .

AB =

 ANTHONY BEDFORD pág. 21

BX = CX = 138528.14N

F ∑FX = 0

CX

∑ MB = 0 F(4) = CX (2.31)

AC


Si se aplica una fuerza descendente de 200 kN en el punto A de sistema del problema anterior. ¿Cuáles son los desplazamientos vertical y horizontal resultantes de punto A?

→ D.C.L:

∑Mc = 0 → BX (2.31)= 200(4) → CX = BX = 246.3 KN

De la barra CA: CX = TBA cos30O TBA= 400 KN

) = 9.89mm CA = (. .

3). ( 400x 10 BA = . = 13.2 mm

,

→ LCM = 4.00989 m

→ LBM= 4.632 mm

Del triángulo BMC: (2.31)2 = (LBM)2 + (LCM)2 – 2(LBM) (LCM) cos α → α = 29.910 Además LBM = 2.31 Senß sen29.91o

→

ß = 89.070 £ = 0.930

Del triángulo CNM: V = 4+u = LCM o o Sen0.93 sen89.07 sen90o


→ u = 9.36 mm v = 65.08 mm


Las dos barras de la figura tienen un área transversal de 3 pulg 2 y un módulo de elasticidad E=12 x 106 lb/pulg2. Si se aplica una fuerza horizontal de 40 kip en A dirigida hacia la derecha de la barra. ¿Cuáles son los cambios resultantes en la longitud de las barras?

Datos: A = 3 pulg2 E = 12 x 106 lb/pulg2 F = 40 Kip AC =? AB

 , 

-TBAcos40o – TCAcos70o + F = 0 F= TBAcos40o + TCAcos70o…. (1)

Nudo A: TCA

∑FX = 0 →

700

∑ FY = 0 → F

TBAsen70o + TCAsen40o = 0 TCA=-TBA(0.684)… (2)

0

40

TBA

De (2) y (1):

40 = TBAcos40o - TBA (0.684) cos70o → TBA = 75.17 Kip,

TCA = -51.42 Kip Ahora:



AB =



.  ^  . = 0.1949 pulg 

Rpta.

.  ^  . = 0.091 pulg 

Rpta.

AC =

EJERCICIO 23:

Si se aplica una fuerza horizontal de 40 kip dirigida hacia la derecha del sistema del problema anterior ¿Cuáles son los desplazamientos resultantes vertical y hori zontal del punto A?

Del problema 3-2.22:

 = 0.1949 pulg  = -0.0192 pulg AB

AC

Se tiene: LCA = L1 = 63.85 pulg LBA = L2= 93.34 pulg


→



63.82pulg L2f = L2 + AB =93.534pulg

L1f = L1 -

AC=




Del triángulo BCA:

BC = L1 0 Sen30 sen400

→ BC==49.67pulg

(L1F)2 = (BC)2 + (L2f )2 – 2(BC) (L2f ) cosß ß = 39.7580

Del triángulo BCA’:

Del triángulo BMA’: → MA’= pulg

(60)2+ (93.534)2-2 (60) (93.534) cos50.2420 → MA’= 71.905

71.905 = 93.534 → α = 89.786 sen50.242 senα

, ø = 0.2140

Del triángulo MA`N: a= (MA`) sen0.2140 → a= 0.2685 pulg b= 0.404 pulg

EJERCICIO 24:

La pieza de conexión AB de los alicates que se muestran a continuación tienen un área transversal de 40 mm 2 y un módulo de elasticidad E=210 GPa. Si se aplican a los alicates fuerzas F=150 N. ¿Cuál es el cambio de longitud de la pieza de conexión AB? Datos: A = 40 x 10 -3 m2

SOLUCION:



E = 210 GPa F = 150 N AB =?



AB =



Analizando un elemento del alicate: BY

.       

AB =

(FAB) (9.07x109) ….. (1)

DY ∑MD = 0 → F(130) = -BY (30)

BY = -650N F

100mm

30mm

Analizando la barra AB:

BY


→

De (1) :



AB =

[(-650)/(sen23.2o)](9.07x10-9)




23.2o

AB =

-0.015mm

Rpta.

EJERCICIO 25:

Supóngase que se quiere diseñar los alicates del problema 3-2.24 para que se les puedan aplicar fuerzas F de hasta 450 N. La pieza de conexión AB está fabricada de un material que puede soportar un esfuerzo normal de compresión de 200 MPa. Con base a este criterio. ¿Cuál debe ser el área mínima transversal que debe tener la conexión AB? ∑ MB = 0 → F (130) = BY (30) → BY = 1.95 KN

De la barra AB: FAB = BY / (sen23.2o) = 4.95 KN

→ Amín =

.    

= 2.474  10− m = 24.74 mm 2

2

EJERCICIO 26:

La barra que se muestra en la figura tiene un área transversal A y un módulo de elasticidad E. El extremo izquierdo de la barra se encuentra fijo. Existe una holgura inicial b entre el extremo derecho de la barra y la pared rígida (figura 1). La barra se retira hasta que entra en contacto con la pared rígida y luego se retira a ésta (figura 2). Obsérvese que este es un problema estáticamente indeterminado porque no se puede determinar únicamente a partir de la estática la fuerza axial después de haberla soldado. (a) ¿Cuál es la condición de compatibilidad de este problema?. (b) ¿Cuál es la fuerza axial en la barra después de haberla soldado en la pared?

a)

b) (FAC)(LAC) - (FCB)(LCB) = b → EA EA

(FA)(x) EA

FA x - FL + FA L + F x - FA x = b → EA EA EA EA EA




B/A =

b →

- (F-FA)(L-x) EA

 - AC

CB =

= b

(FA – F) L + F (X) = b EA EA

b


La barra de la figura tiene un área transversal A y un módulo de elasticidad E. Si se aplica una fuerza axial F en C dirigida hacia el extremo derecho. ¿Cuál es el esfuerzo normal en la parte de la barra situada a la izquierda de C? (Estrategia: dibuje un diagrama de cuerpo libre de toda la barra y escriba la ecuación de equilibrio. Luego aplique la condición de compatibilidad según la cual el aumento en la longitud de la parte de la barra situada a la izquierda de C debe ser igual a la disminución de la longitud de la parte de la barra situada a la derecha de C?

Ec. De equilibrio: F1 + F = F 2….(1) Ec. De compatibilidad:

 + 1

2 =

0

→ F1 LAC = - F2 LCB → F1 (L/3) = - F2 (2L/3) → F1 = -2F2…. (2) EA EA

De la ec. (2), reemplazando en (1): -2F 2 + F = F2 → F = 3F2 → F1 = -2F 3 Por tanto: = F1 = 2F



A

3A

EJERCICIO 28:

En el problema anterior ¿Cuál es el resultante desplazamiento del punto C? De la figura del ejercicio anterior:

 =  +  C

AC

CB

= FA (L/3) - FB (2L/3) = 0 EA EA

EJERCICIO 29:

La barra del problema anterior tiene un área transversal A=0.005m 2, un módulo de elasticidad E=72 GPa, y L=1m. Está fabricada de un material que puede soportar sin riesgo un esfuerzo normal (de tensión o de compresión) de 120 MPa. Con base a este criterio, ¿cuál es la máxima fuerza axial que se puede aplicar en C?

A= 0.005m2 E= 72 x 109 Pa L= 1m Max = 120 MPa FC MAX =?




Como: FA = 2FB → FA > FB → FA = 600 KN, FB = 300 KN A= max= FA A

 

Por tanto: FC = FA + FB = 900 KN


EJERCICIO 30:

La barra que se ilustra tiene una sección transversal circular y un módulo de elasticidad E=70 GPa. Las partes A y C tienen un diámetro de 40mm y la parte B tiene un diámetro de 80mm. ¿Si F1 = 60 KN y F2 = 30 KN, ¿cuál es el esfuerzo normal en la parte B?

Del D.C.L de toda la estructura: ∑ F X = 0 → F1 – F2 = FA + FC → 30000= FA + FC …. (1)

 =   

Ec. De compatibilidad: FA (LA) E AA

_

FC (LC) E AC

B

A

= (F1 – FA)(LB) E AB

De la ecuaciones (1) y (2) : FA = 24KN En tanto:

 = -(F – F ) = B

1

A

AB

-36000 = -3 (5.03 x 10 )


C

→

1.5 FA – FC = 30000 … (2)

, FC =16KN -7.16 MPa

Resistencia de Materiales

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