Problema 1 Para el estado plano que se muestra determinar: a). Los esfuerzos principales y sus respectivos planos. b). Las componentes del esfuerzo girado a 30° 3 0° contra las agujas del reloj. c). Dibujar los estados planos finales de la parte a
– Reemplazando valores se obtiene que:
Luego por propiedad decimos que:
Calculamos
:
Aplicando la propiedad de Invariantes, se tiene que:
Luego:
Reemplazando se obtiene que:
Cuando
sentido antihorario:
Por propiedad de invariantes:
Dibujando los estados finales:
Problema 2
Se muestran dos planos que pasan por un punto de un cuerpo en cada uno de dichos planos se han determinado los esfuerzos normal y cortante, determinar por círculo de mohr lo siguiente: a). El ángulo que forman dichos planos
b). Los valores de los esfuerzos principales. c). El valor del esfuerzo cortante máximo en dicho punto
….
….
Elevando al cuadrado y restando, se obtiene lo siguiente:
Operando:
– –
Luego reemplazamos en (1) y en (2):
Operando:
Luego sabemos que:
Luego:
Por propiedad de Invariantes:
Por ultimo hallamos
:
Problema 3 Para la figura mostrada que se muestra determinar los planos principales y los esfuerzos normales principales para el estado de esfuerzos planos que resulta de superponer los 2 estados de esfuerzo plano.
B
A En A: Analizando la figura
En B: Analizando la figura
1er caso:
2do caso:
Sabemos:
=-
De (I), (II) Y (III):
Ahora: el total
Aplicamos:
Por invariantes:
+
Problema 4
Se indican dos planos que pasan por un punto de un cuerpo determinar: a) los valores de los esfuerzos principales. b) el valor del esfuerzo cortante máximo en dicho punto.
Solución:
y
X
Y
15
=-
-
=-
Ahora:
Reemplazando:
x
Problema 5 Si el esfuerzo principal mínimo vale el estado de tensión indicado
a)
empleando el círculo de mohr determinar para
x
b) Los esfuerzos principales así como sus planos c) El esfuerzo de corte máximo y su plano d) Hallar los esfuerzos en cada plano
MN
, ŤMN ,
NP
y
Ťxy
Solución: a)
– – x +
x +
x=
y)
/2 -
= - 70
)/2 -
0
b) Tag 2αp = 2 Ť xy /
x –
y
Tag 2αp = 2 (-210) / -560
αp1 = 18.435 º αp2 = -71.565 º Esfuerzos principales
x +
y )
/2 +
–
= ?
= - 70
, ŤNP
– +
)/2 -
= max
c) Tag 2αp X Tag 2αc = -1
Tag 2αc = - ( αc1 = -26,565 º
x–
) / 2 Ť xy
y
αc2 = 63,435 º
Esfuerzo máximo y mínimo cortante
Ť 1,2 1,2 =
–
max
min
Ť max
Ť min
=
Problema 6
Dado el sistema de esfuerzos determinar: a) El esfuerzo normal
b) Los esfuerzos principales
c) El esfuerzo cortante máximo
Solución:
1) Calculo del esfuerzo normal
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
2) Calculo del esfuerzos principales:
Luego
–
Por invariantes:
3) Calculo de los esfuerzos máximos y mínimos:
Luego:
Por invariantes:
Problema 7 Se sabe que para cada una de las orientaciones dadas de los ejes se conoce que
,
, ,
. Hallar:
a) los esfuerzos normales principales y sus planos. b) El esfuerzo de corte máximo. m áximo.
=
Solución: Observamos que el plano gira 300 en sentido antihorario:
,
,
,
, α =300
El singo negativo quiere decir que el sentido del esfuerzo de corte es antihorario y se comprueba con el grafico.
–
Por invariantes:
Por invariantes:
Problema 8 Para el sistema de esfuerzos que se muestra en la figura. a). Hallar el esfuerzo b).
y
Esfuerzo en el plano B:
233.33
Esfuerzo normal y cortante en el plano C:
Esfuerzo cortante en el plano B:
Problema 9 Si a un cuerpo se le aplica un sistema de cargas se genera el estado de esfuerzos α, si se le aplica separadamente otro estado, si se aplica separadamente otro estado carga se genera el estado de esfuerzo, pero si se aplican a la vez los dos sistemas de cargas se generan el estado Ω, cuyos
esfuerzos principales se muestran en el estado I a) los esfuerzos del estado Ω b) los esfuerzos del estado α c) hallar y graficar los planos correspondientes a los esfuerzos principales y cortante máximo del estado α
Solución:
Ω
=
a)
=
b)
=
–
Entonces:
c)
=+58.3
Problema 10 En el elemento ABCD de una placa metálica se han medido los siguientes esfuerzos
,
máximo es igual a 5
, además se conoce que el esfuerzo cortante
, calcular:
a). Los esfuerzos cortantes en las caras BC y AB b). Los esfuerzos principales, magnitud y dirección c).
,
A
B
C
D
Siendo
para el plano CD
Hallando el ángulo en que se encuentran:
Calculo de los Esfuerzos Normales principales:
Por propiedad de invariantes:
Hallando los ángulos de corte:
Problema 11 Para el estado de esfuerzos mostrada a) Determine los esfuerzos en AB b) Calcule los esfuerzos principales, el cortante máximo y muestre en un esquema los planos asociados a cada esfuerzo
1500 Psi =
B
40°
2000 Psi C
100°
A 1750
D
E
Solución a)
40°
1500 =
C
B
2000=
100°
A
D
E
Analizando el plano AE 1500 =
40°
A
C
B
2000=
100°
Siendo
para el plano AE
D
E
Analizando el
plano AB
1500 = B
40°
A
100°
C
2000=
E
D
Siendo
para el plano AB
b) hallando el ángulo
y
Calculando los planos los esfuerzos principales:
Por propiedad de invariantes:
Hallando el ángulo
y
Esfuerzos principales Esfuerzos cortante máximo
B
C
A
E
B A
C
D E
D
PARTE II Problema 1
Se dan los componentes del esfuerzo en un punto de un cuerpo Calcular : a). Los esfuerzos principales y sus planos correspondientes. b). Los esfuerzo de corte máximo y mínimo y los planos correspondientes. correspondientes.
⁄ ⁄ ⁄ a) Esfuerzos principales y sus respectivos planos
Luego por propiedad decimos que:
Calculamos
⁄ ⁄
b)
,
√
Problema 2
Para el estado plano que se muestra en la figura Calcular : a). Los esfuerzos normales normales principales y sus respectivos respectivos planos . b). calcular los esfuerzos máximo y mínimo y los planos correspondientes. c). Calcular
a) Esfuerzos principales y sus respectivos planos
Luego por propiedad decimos que:
Calculamos
b)
,
c).
Problema 3
Para el estado plano que se muestra calcular: a)
σx, σy, τxy
b) calcular el esfuerzo max, min y sus respectivos planos.
a) =(-60+0)/2+((-60+0)/2)cos(60)-0sen(60) σx =(-60+0)/2+((-60+0)/2)cos(60)-0sen(60)
σx=-30-30/2=-45kgf/cm² σy=-60-(45)=-15kgf/cm² τxy= -30 /2=-15 kgf/cm²
b)
σmin, σmax,
σmax=-30+ σmin=-30-
=-60kgf/ cm²
tg2αp1=-2X0/-60=0 αp1=0 αp2=90
=0kgf/cm²
Problema 4 Un estado plano de esfuerzos consta de un esfuerzo desconocidos cuyo sentido se muestra. a.) Calcular la magnitud de
y de esfuerzos cortantes y
para lo cual el mayor esfuerzo normal es 10000 Psi.
b.) Calcular y su respectivo plano. c.) Dibujar los estados planos finales de los esfuerzos principales.
SOLUCIÓN:
a.)
b.)
c.)
?,
= 8000 Psi
= 10000 Psi
Problema 5 Para el estado plano que se muestra en la figura c) Calcular:
,
,
d) Calcular los esfuerzos principales y sus respectivos planos
⁄
a)
,
,
b)
,
,
,
( ()
Problema 6 Para un punto en el estado plano de tensión que se muestra pasan los planos indicados
y que en todos los planos que pasan por el
punto se originan esfuerzos normales de compresión. compresión.
.
Hallar: a) b) c)
y
con sus respectivos planos.
Solución: a)
b)
c)