COLUMNAS
9.1 INTRODUCCION
Hast Hasta a aquí aquí las las disc discus usio ione ness sobr sobre e el anál anális isis is y dise diseño ño de elem elemen ento toss estructurales lo hicimos bajo dos puntos de vista: 1. La resistencia de la estructura; es decir, su capacidad para soportar el
sistema de cargas sin sufrir esfueros e!cesivos" 2. La capacidad de la estructura para soportar el sistema de cargas sin
e!perimentar deformaciones inaceptables" i naceptables" #or lo tanto, la resistencia y la rigide son factores importantes en el diseño, como se vio en los capítulos anteriores" $n este capítulo nos interesa la estabilidad de la estructura para soportar el siste istem ma de carga argass dad dado sin pres presen enta tarr un cam cambio bio ines inesp perado rado en su configu configurac raci%n i%n"" Nuestra Nuestra discusió discusión n se relacion relacionará ará principal principalmente mente con las
columnas; es decir, con el análisis y diseño de elementos prismáticos verticales que soportan caras a!iales de compresión; y se indicarán alunos m"todos que se emplean para diseñarlas# Los elemen elementos tos estruc estructur turale aless que sopor soportan tan carga cargass de compre compresi% si%n n pueden pueden dividirse en dos categorías amplias:
Los miembros gruesos y cortos que se denominan columnas cortas: suelen fallar por aplastamiento cuando el esfuero supera el límite de fluencia del material a la compresi%n"
fallan por por pandeo antes de que el esfuero Columnas esbeltas y largas , fallan alcance el límite de fluencia a la compresi%n" El pandeo de una columna puede definirse como la deformaci%n grande
repentina debido a un ligero incremento de una fuera e!istente de compresi%n, pasando de un estado de equilibrio estable a un estado de equilibrio inestable" 223
Los tres estados de equilibrio pueden ilustrarse con una pelota de tenis inm%vil sobre una superficie, como se muestra en la figura &"'" La pelota de la figu figura ra (a) (a) está está en una una posi posici ci%n %n de equi equililibr brio io esta establ ble e en el fond fondo o de la concavidad, debido a que la gravedad lo obliga a regresar a su posici%n de equilibrio si es perturbada" La pelota de la figura (b) se encuentra en una posi posici ci%n %n neut neutra rall de equi equililibr brio io sobr sobre e el plan plano o hori horio ont ntal al,, debi debido do a que que permanecerá en cualquier nueva posici%n a la cuál sea desplaada, sin tender a regresar ni a seguir movi*ndose" +in embargo, la pelota de la figura (c) se encuentra en una posici%n inestable de equilibrio en la parte superior de un promontorio, ya que, si es perturbada, la gravedad hará que se mueva an más lejos de su ubicaci%n original hasta que, finalmente encuentre una posici%n estable de equilibrio como en (a)"
-igura &"' #ara #ara el estu estudi dio o de colu column mnas as los los tres tres esta estado doss de equi equililibr brio io tien tienen en las las características siguientes:
$%U&L&'(&O $S)A'L$ , se tiene cuando la columna soporta carga inferior a la de pandeo y el desplaamiento producido por cualquier perturbaci%n lateral es totalmente recuperable cuando se retire dicha perturbaci%n"
$%U&L&'(&O N$U)(O , es cuando la columna soporta la carga de pandeo, y entonces te%ricamente debe ser posible deformar ligeramente las columnas formando una onda sinusoidal de amplitud pequeña" $sto puede demostrarse fácilmente aplicando lentamente fueras de compresi%n a tiras delgadas de metal" 224
Los tres estados de equilibrio pueden ilustrarse con una pelota de tenis inm%vil sobre una superficie, como se muestra en la figura &"'" La pelota de la figu figura ra (a) (a) está está en una una posi posici ci%n %n de equi equililibr brio io esta establ ble e en el fond fondo o de la concavidad, debido a que la gravedad lo obliga a regresar a su posici%n de equilibrio si es perturbada" La pelota de la figura (b) se encuentra en una posi posici ci%n %n neut neutra rall de equi equililibr brio io sobr sobre e el plan plano o hori horio ont ntal al,, debi debido do a que que permanecerá en cualquier nueva posici%n a la cuál sea desplaada, sin tender a regresar ni a seguir movi*ndose" +in embargo, la pelota de la figura (c) se encuentra en una posici%n inestable de equilibrio en la parte superior de un promontorio, ya que, si es perturbada, la gravedad hará que se mueva an más lejos de su ubicaci%n original hasta que, finalmente encuentre una posici%n estable de equilibrio como en (a)"
-igura &"' #ara #ara el estu estudi dio o de colu column mnas as los los tres tres esta estado doss de equi equililibr brio io tien tienen en las las características siguientes:
$%U&L&'(&O $S)A'L$ , se tiene cuando la columna soporta carga inferior a la de pandeo y el desplaamiento producido por cualquier perturbaci%n lateral es totalmente recuperable cuando se retire dicha perturbaci%n"
$%U&L&'(&O N$U)(O , es cuando la columna soporta la carga de pandeo, y entonces te%ricamente debe ser posible deformar ligeramente las columnas formando una onda sinusoidal de amplitud pequeña" $sto puede demostrarse fácilmente aplicando lentamente fueras de compresi%n a tiras delgadas de metal" 224
$%U&L&'(&O &N$S)A'L$ , en teoría es posible que las columnas alcancen equilibrio inestable cuando las cargas superan a la carga de pandeo, entonces una mínima perturbaci%n lateral producirá falla por pandeo" $l pandeo es una de las principales causas de fallas en estructuras por lo que la posibilidad de que ocurra, siempre debe considerarse en el diseño" .uestro estudio se refiere nicamente a la estabilidad elástica de columnas" $s bueno mencionar tambi*n que las columnas pueden fallar plásticamente, y en este caso resulta irreversible" Las condiciones de equilibrio para la estructura idealiada se muestran en la gráfica de carga a!ial P versus versus ángulo de rotaci%n
(figura &"/)" $l punto 0,
donde el diagrama de equilibrio se bifurca, se llama punto de bifurcaci%n" La línea horiontal para equilibrio neutro se e!tiende una corta distancia hacia la iquierda y hacia la derecha del eje vertical por lo que el ángulo puede puede ser horario o antihorario; y esta línea se e!tiende una corta distancia por que nuestra hip%tesis se basa en que
es un ángulo pequeño"
Figura 9.2 1iagrama de los tipos de equilibrio para
el pandeo de una estructura idealiada" 225
*#+ AN-$O -$ COLUMNAS LA(.AS LA(.AS ($C)AS ($C)AS La primera soluci%n para el pandeo de columnas largas la public% en '232 el matemático suio eon!ard "uler #1$%$&1$'(). $l prop%sito de este análisis es determinar la carga a!ial de compresi%n mínima para la cuál una columna e!perimentará defle!iones laterales"
-igura &"4" $n la figura figura &"4 se muestra muestra una column columna a esbel esbelta ta recta de longit longitud ud articulada articulada en los e!tremos, e!tremos, sujeta a fueras fueras a!iales de compresi% compresi%n n P en cada uno de los e!tremos"
)$O(&A -$ $UL$( a/ Column Columna a con e!trem e!tremos os articu articulad lados os 5onsid*rese la columna con carga a!ial P que que se muestra en la figura &"6 que produce una defle!i%n *y+ a una distancia distancia ! de de un e!tremo" Los e!tremos de la columna tienen juntas articuladas, de modo que no e!iste momento en en ellos" La columna columna es perfectamente recta recta y está hecha de un material elástico lineal que obedece la ley de Hoo7e; como se supone que no tiene imperfecciones se llama columna ideal. #ara fines de análisis, consideramos un sistema coordenado con su origen en el soporte 8 y con el eje x a a lo largo del eje longitudinal de la columna +uponemos que el plano ,&y es es un plano de simetría de la columna y que 226
cualquier fle!i%n tiene lugar en ese plano" La idea es tener un sistema coordenado id*ntico al utiliado en nuestro estudio previo de -igas" 9omento flector en 5 / &P y d / y d, /
"I
d / y d, /
P "I
P " y
y
&"'
&"/
$sta es una ecuaci%n diferencial
#".D)
homog*nea lineal de segundo orden
con coeficientes constantes" / +i hacemos: 0 P "I
enemos: d / y /
d,
0 /y &"4
P "I
= , C /Cos
P "I
= , &"3
>tiliando condiciones de frontera: $n: , : , y :
C / :
$n , , y
C '1en
C 1 Sen
-igura &"6
227
P EI
P "I
0
9.6
&"?
$sta ecuaci%n se satisface si C 1 / % si +í
C ' ,
1en
la ecuaci%n (&"3) se reduce a
P "I
y / %
lo que nos indica que la
columna no se habrá pandeado" $ntonces la soluci%n que se requiere es:
Sen
y despejando P ,
P P 0 n EI EI
P n /
/
"I
/
9.7
&"@
Cargas Criticas
La menor carga crítica para una columna con e!tremos articulados se obtiene cuando n / 1, en la ecuaci%n (&"@)
el menor valor de P que
producirá la condici%n de pandeo con arqueo simple viene a ser el P cr : P cr
2
EI 2
9. 9
$sta e!presi%n se conoce como 01(MULA -$ $UL$( "
La ecuaci%n de la curva elástica despu*s de que la columna ha
pandeado es: x
y C 1 Sen
9.10
9atemáticamente e!iste un nmero infinito de valores de P que satisface la ecuaci%n (&"@)" 8sí, la soluci%n
k
2
proporciona pandeo en dos
semiondas, la de 4 en tres semiondas, etc", (figura (&"3))" +in embargo en situaciones reales esto rara ve ocurre, ya que el gran esfuero asociado con la primera condici%n crítica generalmente garantia el colapso inmediato . or consiuiente, la cara de pandeo de una
columna con e!tremos articulados es, para todos los 2ines prácticos la que se o3tiene mediante la ecuación 4*#*).
-ig" &"3 9odos de falla de columnas 1e la ecuaci%n de la elástica (&"') notamos que el valor de la defle!i%n má!ima:
y máx C 1 ,
es indeterminado" $sto se debe a que la ".D (&"/) es una
apro!imaci%n linealiada de la ".D real que gobierna la curva elástica"
+iempre que se tenga
P P cr , la condici%n
sen 02 A , no puede satisfacerse y
la soluci%n dada por la ecuaci%n (&"') para la defle!i%n no e!iste; entonces debemos tener C 1 / % , y la 3nica con4iguraci5n posible para la columna es la
recta6 por lo tanto; si
P P cr la configuraci%n recta de la figura (&"4) es estable"
$n cuanto al momento de inercia
de la secci%n transversal, está en relaci%n
con el eje alrededor del cuál se presenta la fle!i%n" #ara una columna articulada en los e!tremos y carga conc*ntrica, sin arriostramiento intermedio para restringir el movimiento lateral, la 4le,i5n se presenta alrededor del e7e *d8bil+ 6 que es el e7e de momento de inercia mnimo" 8sí entonces , para geometras de secci5n trans-ersal di4erentes a la circular #:)6 la carga crtica debe calcularse !aciendo I I min en la ecuaci%n (&"&); y si ocurre pandeo, *ste
tendrá lugar en un plano perpendicular al correspondiente eje principal de
inercia" 8sí por ejemplo en la secci%n rectangular de base *b+ y altura *!+6 el min es con respecto al eje centroidal paralelo a ! e igual a :
=
I
h b3 12
$n una secci%n circular el momento de inercia es igual para ambos ejes
principales
$l valor del esfuero debido a la carga crtica se denomina es4uer;o crtico: cr
cr
La relaci%n
P Cr <
/
/
"
recuerde que : < R /
< "
R
/
B R
&"''
se denomina la relación de es3elte5 de la columna" $l
radio de giro mnimo R es el que se utilia para el cálculo de # cr .
La ecuaci%n (&"'') puede graficarse considerando en el eje de las *y+ a en el eje de las * x+ a la relaci%n de esbelte
B
R "
cr ;
y
$sta gráfica se conoce como
la cur-a de "uler " La figura (&"?) muestra además de la curva de "uler , una gráfica empírica para el caso del acero estructural"
Figura 9.6" 5omparaci%n de resultados e!perimentales con la curva de $uler"
6L&M&)$ -$ 7AL&-$89 -$ LA CA(.A -$ $UL$( 8 partir del gráfico de la figura (&"?) y los comentarios anteriores, resulta evidente que la teora de "uler no es segura para valores de =R pequeñas" #or consiguiente resulta til calcular el valor límite de =R por debajo del cual no debe aplicarse la teoría de "uler ; 8ste se denomina mite de -alide; " $n el caso de la figura &"?, este valor es:
R
A @"
+e considera que este límite es el punto en el cual el esfuero igual al esfuero de fluencia columna es:
0O(MULAS $M&(&CAS
y;
P y <
de "uler es
es decir, el punto donde la carga de la
$n te!tos universitarios se presentan f%rmulas empíricas que relacionan el esfuero crítico
cr
con la relaci%n de esbelte
R
" $stas formulaciones son
el resultado de los esfueros por e!tender la curva de $uler; la cuál como hemos visto es válida para raones de esbelte grandes, a la regi%n de las raones de esbelte intermedias y pequeñas" $sencialmente, en el rango de los valores intermedios y pequeños de
R
se utilian una línea recta y una
parábola tangentes a la curva de "uler (ver la figura &"2)" $stas f%rmulas empíricas tienen la forma: a b A R
P
Los valores de las constantes
a
a b A R
P
y
2
y b dependen del rango de
R
, el material
utiliado y de la aplicaci%n industrial específica" $n el diseño se utilia un -actor de +eguridad que depende generalmente de la compañía en la que se trabaja" $n algunas oportunidades la f%rmula y el
>."
que se utilicen se determinan en
c%digos estatales impuestos por el gobierno" Las diferencias e!istentes entre ellos son notables, y por lo tanto no permiten e!traer algunas conclusiones tiles a esta discusi%n"
-igura &"2 (a)
-igura &"2 b
8 continuaci%n se dan las f%rmulas empíricas obtenidas para el acero 1. -%rmula lineal:
a b a y b son Ctes. (9.12) 30 150 R A R P kgf incluído el F S (9.13) Para el Acero : 1125 5 2 A R cm P kgf Sí : 30 984 (9.14) R 2 A cm
P
/" -%rmula parab%lica:
R
140
;
a b A R
P
2
(9.15) 2
P kgf (9.16) Para el Acero : 1055 0.023 A R cm2 3. -ormula de Cordon Dan7ine:
BD 1?% #
P A
Para el acero :
P A
a
R
2
(9.17 )
1 b
1266
1
1 18000 R
kgf 2
cm 2
(9.18)
9ás adelante, en este te!to presentamos algunos reglamentos reconocidos para el diseño de columnas con perfiles laminados"
Columnas con otras condiciones de soporte
La f%rmula de $uler se obtuvo para una columna con e!tremos articulados o que puede girar libremente en sus e!tremos" +in embargo, es comn que las columnas esten soportadas de diferente manera" #or ejemplo el caso de una columna empotrada E libre" 8 medida que la columna se pandea la carga se desplaa y en ! el desplaamiento es FyG" 8 partir del diagrama de cuerpo libre (figura (&"@)) el momento interno en la secci%n arbitraria es 9 A #( y)" $n consecuencia, la ecuaci%n diferencial de la curva de defle!i%n es: EI
d 2 y dx
2
P ( y )
d 2 y dx
2
P EI
y
P
EI
(&"'&)
8 diferencia de la ecuaci%n (&"'), esta ecuaci%n es no homog*nea debido al t*rmino no nulo en el lado derecho" La soluci%n consta de una soluci%n complementaria y una soluci%n particular, y C 1 sen
P
P x C 2 cos x EI EI
Las constantes se determinan a partir de las condiciones de frontera" $n ! A , y A , de modo que 5/ A " #or otra parte, dy dx
C 1
P EI
cos
P
x C 2 EI
(a)
-igura &"@
P EI
sen
P
x EI
dy
$n x A ,
dx
0
y 1 cos
$n x !,
y se
La soluci%n trivial
5' A ; por lo tanto la curva de defle!i%n es:
P x EI
requiere: A
P ! 0 EI
cos
indica que no ocurre pandeo para cualquier valor de #,
por lo que s%lo consideramos:
cos
P
! 0 que EI
La menor carga crítica se produce cuando n A '"
se cumple si: P cr
2
EI
4 2
P ! n EI 2
(&"/)
$n comparaci%n con la ecuaci%n (&"&) se observa que una columna empotrada libre soportará s%lo un cuarto de la carga crítica que puede aplicarse a una columna soportada por pasadores en sus e!tremos" Las cargas críticas para columnas con diversos tipos de condiciones en los soportes pueden determinarse con la ecuaci%n diferencial de la curva de defle!i%n siguiendo el procedimiento descrito en la secci%n anterior al analiar la columna de e!tremos articulados, por lo que no se estudiarán al detalle aquí" $n figura &"& se dan los resultados para los tipos de soporte más comunes" Longitud efectiva de columnas:
5omo se mencion% antes, la f%rmula de $uler, ecuaci%n (&"&) se obtuvo para el caso de e!tremos articulados o que giran libremente" $n la que L representa la distancia sin soporte entre los puntos de momento cero" $sta f%rmula puede adecuarse para determinar la carga crítica en las columnas que tienen otros tipos de soporte en sus e!tremos, siempre que F G represente la distancia entre los puntos de momento cero" $sta distancia se denomina Longitud efectiva de la columna !e (o articuladoarticulado
!e A
)" #or tanto para una columna con e!tremos
L, figura &"&a" #ara la columna con e!tremos
empotradolibre, se encontr% que la curva de defle!i%n, ecuaci%n (&"/) es la mitad de la curva para la columna con e!tremos articulados y tiene una longitud de /L, figura &"&b" #or lo tanto, la longitud efectiva entre los puntos de momento cero es
Le A / L" $n la figura &"& tambi*n se muestran ejemplos de
otras dos columnas con diferentes soportes en sus e!tremos"
$n ve de especificar la longitud efectiva de la columna, manuales y c%digos de diseño proporcionan f%rmulas que emplean un coeficiente sin unidades FIG llamado factor de longitud efectiva; y que se define a partir de: !e " !
##
"(&"/')
$n la figura &"& se proporcionan valores específicos de I" Columnas con otras condiciones de soorte
a) 8rticulada
b) $mpotrada
c) $mpotrada
articulada #c r A/$J BL/
libre #c r A /$J B6L/
empotrada #c r A 6/$J BL/
d) $mpotrada articulada #c r A /"6?/$J BL/
#
L
I A' ;
l
AL
IA/ ;
l
A /L
IA "3 ; l A "3 L
IA"?&&;
l
A "?&& L
Figura 9.9 5argas críticas, longitudes efectivas y factores de longitud efectiva para
columnas ideales"
#or lo tanto, la f%rmula de $uler puede escribirse como: P cr
2
EI
( "! ) 2
(&"//)
K bien cr
#roblema &"'
2
E
( "! ! R) 2
(&"// a)
$n el esquema se representa una biela de acero que mide
@ pies y su secci%n transversal es de 6 ! / pulg / " $l pist%n tiene un diámetro de /3G "
$ A 4 ! ' ? psi" #uede considerarse que la biela está articulada en los dos e!tremos en el caso de fle!i%n en el plano del dibujo; y que sus e!tremos están empotrados en el caso de fle!i%n en plano perpendicular al del dibujo"
+KL>5JN.
5aso a) Los dos e!tremos articulados +egn el enunciado del problema, el pandeo ocurre alrededor del eje !" I x
2 43 12
32 $u l" 4 3
Delaci%n de esbelte:
r
8 12 32 ! 3
48 3 $u l" 4 83.3
42
>tiliamos f%rmula de $uler P cr
/
"I
/
Deemplaando valores tenemos para P cr P cr
2
30 10 6 (32 ! 3)
8 12
2
3.43 10 5
!b
5aso b) 5olumna con e!tremos empotrados: La secci%n transversal FgiraG alrededor del eje y
La longitud equivalente es:
/
La secci%n transversal FgiraG alrededor del eje FyG
y
P cr
4 23 12
8 2
8 3
2
EI
$u l" 4
3.43 105 !b
12 2
#ara calcular la má!ima presi%n que puede soportar el cilindro cuyo diámetro es de /3 mm, debemos comparar los valores de P cr y aplicar el menor valor" $n el caso particular del problema los dos valores son iguales P max
3.43 10 5
4
25 2
P max 694.68 $si
COLUMNAS CON CA(.A $:CN)(&CA >ORU< D" < "C
$n las secciones anteriores de este capítulo
analiamos
columnas
ideales en que las cargas a!iales
# e
actan sobre los centroides de las
O
secciones transversales" +upondremos ahora que la carga se aplica
con
una
pequeña
e!centricidad e medida desde el eje de la columna" 5onsideramos columna articulada
P
en sus e!tremos (figura &"')"
O
$l momento flector en la secci%n
y
localiada en la posici%n x: A < P #y@e)
-igura &"'
1onde y es la defle!i%n de la columna"
La ecuaci%n diferencial de la curva de defle!i%n es:
"I y Q P y e y Q
+i hacemos
P "I
( y
'
e)
P " 2 EI
La ecuaci%n (') se acomoda a la forma: y QA / y
Ae
( /)
y C 1 sen"x C 2 cos kx e 234
$n donde C 1 y C ? son constantes de integraci%n en la soluci%n homog*nea y #&e) es la soluci%n particular"
Las condiciones de frontera para determinar C 1 y C ? se obtienen de las defle!iones en los e!tremos de la columna" $n x % , y A
5/ A e
$n x A , y A
: C ' sen A e' cos A
C '
P obtenemos:
e ' cos 0 sen 0
$sta e!presi%n de 5 ' podemos ordenarla usando identidades trigonom*tricas: ' cos / / sen/
2e sen 2 k ! 2 sen k ! 2 C 1 e 2 sen k ! 2 cos k ! 2 cos k ! 2
(9.23)
O
la ecuacion de la elastica :
/
sen k ! 2 y e senkx e cos kx e cos k ! 2
(9.24) /
-L$5H8 9ROJ98: #ara columna con e!tremos y
articulados la defle!i%n má!ima ocurre en
x
A B2
y
Deemplaando en la ecuaci%n de la elástica
e sen k ! 2 cos k ! 2
sen k ! 2 e cos k ! 2 e
-igura &"''
Deduciendo y dando la e!presi%n de la secante, sen 2 k ! 2 cos 2 k ! 2 1 e cos k ! 2
e sec k ! 2 1
(&"/3)
Deemplaando la e!presi%n de A , queda la siguiente e!presi%n para la defle!i%n má!ima:
P e sec 1 EI 2
$+->$DSK 9ROJ9K: 235
(&"/3 a)
$l momento flector má!imo:
ma, / P # @e)6 con la e!presi%n obtenida para
FG, ser
& máx P e sec k ! 2 1 e
& máx P e sec(k ! 2)
(9.26)
$l cuál genera esfueros de fle!i%n (similar al caso de vigas), tanto de tracci%n como de compresi%n; delimitados por la línea neutra" $l esfuero normal de compresi%n, que debe tomar en cuenta tanto al de fle!i%n como al de compresi%n propiamente: $sfuero má!imo debido a la fle!i%n:
#
donde
C es
4le, . .
la distancia del eje neutro a la fibra con mayor esfuero"
$l esfuero debido a la carga de compresi%n :
#
comp
P <
#or lo tanto el esfuero total de compresi%n debido a la fle!i%n y a la carga normal combinados, si el material es dctil, está dado por: max
max
P e sec(k ! 2) c 2
A r
P A
P ec 1 sec k ! 2 A r 2
(9.25)
o p <
ma!
'
P sec / / r "< r
ec
...
(&"/3a)
que es la e!presión de la Secante para columna articulada en los extremos con carga excéntrica "
La f%rmula de la secante da el esfuero má!imo de compresi%n en funci%n del esfuero promedio P=<6 el m%dulo de elasticidad E , la relaci%n de esbelte k! r
'
r
y la relaci5n de e,centricidad : $e laci'n de excentrici dad
ec r 2
(9.26)
5omo su nombre lo indica, la relaci%n de e!centricidad es una medida de la e!centricidad de la carga en comparaci%n con las dimensiones de la secci%n 236
transversal" +u valor num*rico depende de la posici%n de la carga, pero los valores característicos caen en el intervalo de a 4, siendo los valores más comunes menores que '" 5on objeto de hacer uso efectivo de la ecuaci%n &"'@, pueden dibujarse curvas que muestren a P=< y =r para diferentes valores de ec=r ? para cualquier material dado" La figura &"'/ muestra un conjunto de estas curvas para un material con (o bien
ma!
ma!
6 lb B pu lg / y " 4(' ) ? lb B pu lg /
/@ .Pa y " /' Pa )"
#ara estas propiedades del material,
pueden obtenerse soluciones gráficas a partir de la ecuaci%n &"'@" ambi*n pueden usarse hojas de cálculo en computadoras digitales para resolver directamente la f%rmula de la secante con el uso de t*cnicas iterativas" La envolvente e!terior de la figura &"'/, que consta de la línea horiontal
6: Alb B pu lg/ y
de la curva de "uler corresponde a una e!centricidad igual
a cero" .%tese que la curva de "uler se trunca en el esfuero má!imo admisible del material igual a 6 IlbBpulg /" 5on el m%dulo de Poung igual a 4 ! '? LbBpulg/ , el truncamiento se presenta cuando =r A @? +egn los valores, en la gráfica &"'/, se observa que la e!centricidad juega un papel importante en la disminuci%n de la carga admisible en los rangos de columna corto e intermedio (relaciones de esbelte menores de '3 para el acero)" #ara relaciones grandes, las curvas para las diferentes relaciones de e!centricidad tienden a fusionarse con la curva de $uler" $n consecuencia la f%rmula de $uler puede usarse para analiar columnas con relaciones de esbelte grandes" #ara casos diferentes a los de la deducci%n, dependiendo de las condiciones de apoyo, FG es la longitud equivalente"
237
-igura &"'/
(O'L$MAS ($SU$L)OS
238
#roblema &"/
>na columna esbelta está empotrada en su base y tiene una
carga e!c*ntrica de ? I. en el e!tremo libre" La columna se fabrica de un tubo de acero de '3 mm de diámetro e!terno y '/3 mm de diámetro interno; tiene una longitud de 4 m" 1educir la ecuaci%n para la defle!i%n del e!tremo libre de la columna
y
halle
la
e!centricidad
má!ima
permisible de la carga, si el esfuero má!imo
98O
no debe e!ceder de //3 9#a" >tilice " A / C#a
+KL>5JN.
#or la ecuaci%n &"'? obtenemos para la defle!i%n del e!tremo libre:
$ste tipo de columnas, se considera
con e!tremos articulados segn el esquema siguiente:
0 / e sec ' / P A "I
P cr
2 EI 2
2
P EI cr
lo (ue nos da
239
' /
k
2
P 2 P cr 2
P P cr
0
0
P P cr
y esta e!presi%n lo reemplaamos en la ecuaci%n del
ma,
P P ec ' / sec < r / P cr
(e!tremos articulados)
#ara la columna del problema con e!tremos empotradolibre, la longitud equivalente es,
ma,
/
0 /
0
P P e c ' / sec < r P cr
primero hacemos el cálculo de P cr :
/
'3: 6 '/3 6 ?6 2: 362' "@? /
= /:: = ': 4 =
P cr
luego,
NeDtons
/ = 4 :::
P P cr
? 2362'"@?
/"@& rad '??T
Deemplaando valores en la e!presi%n del
e igualando al valor de
//3 9pa" 1 e150 ! 2 225 600000 sec(166 % ) 150 2 125 2 150 4 125 4 64 64
225 111 .12 3 .6 e
e 93 .4 mm
la sec ci'n)
240
( res$ecto al centro de
#DK0L$98+ D$+>$LK+ #DK0L$98 &"4" 1os perfiles laminados de acero (canales de /3"6 cm !
42"' IgBm) están fijados por placas de amarre formando una columna de secci%n compuesta" La separaci%n de los perfiles es de '/"2 cm, tal como se muestra en la figura; y la longitud de la columna es de 2"?/ m" 5alcular la má!ima carga a!ial admisible"
241
y
/3"6 cm
!
!
C
#lacas de uni%n
y '/"2
y
CU : centroide del conjunto
C
1atos del perfil (8J+5) !
8rea A 62"/6 cm/ Dadio de giro: DP A '"24 cm DO A @"6 cm
dA'"32 cm
242
+KL>5JK. 9omentos de inercia con respecto al centroide del conjunto" $n eje ! no hay variaci%n, se mantiene en el centro" B#con7unto) A
/ B (cada perfil)
Dadio de giro R B#con7unto) A DO(cada perfil)
R B#con7unto) A @"6 cm
$n yU :
EF A
I y &
R y &
2 A
/ E (cada perfil) V / 8 d/
2 I y 2 A d 2 2 A
2 A I C
d 2 2 A A 2
R d 2 y
2
12.7 R y & 1.73 1.57 8.10 cm 2 2
como R EF R B la columna se pandea respecto al eje yU (=)
Delaci%n
de esbelte :
R
2"?/ "@'
&6
5arga admisible: 9ediante Cordon Dan7ine, '/?? P < ' (' B '@::: ) (&6 ) /
@62 Ag4 B cm /
# A @62 ! / ! 62"/6 A 2&"?3 Igf = .K8 : recu*rdese que el pandeo se produce respecto al eje d*bil de fle!i%n #DK0L$98 &"6"
Los cables 05 y 01 están tensos e impiden el movimiento
del punto 0 en el plano !" >sando la f%rmula de $uler, un factor de seguridad de /"3 y despreciando la tracci%n en los cables, determinar la carga centrada admisible #" >se $ A /& ! '? lbBpulg/
S # 0
W @!"
/ pies P
5
1
8
+KL>5JN.
1e tablas del 8J+5, para el perfil W @ ! '3 'O A 6@ pulg
6
;
'P
A 4"6' pulg6
+egn el enunciado del problema, consideramos para la columna un e!tremo empotrado y el otro articulado:
longitud equi-alent e :
' /
, / , '/
pu lg
tenemos entonces para la carga crítica: P cr /"3 P /"3 P
/
/
"I y
/
= /& = ' ? = 4"6'
"2 = /6 /
(se considera el menor) # 46 3@' lb
P A '4"@4 Alb
F!"#L$% E"&'!'C$% &$!$ CL#"($%.
C$!$% $&L'C$*$% E( EL CE(+!
Los siguientes ejemplos de f%rmulas de diseño de columnas son aplicables a columnas cargadas centralmente, de acero estructural, aluminio y madera" Las f%rmulas dan los esfueros permisibles en t*rminos de la geometría de la estructura, como longitud, dimensiones transversales y condiciones de apoyo" 8sí pues para una columna dada, el
esfuero permisible puede
obtenerse con facilidad" 8 menudo la elecci%n de una columna requiere un procedimiento iterativo o de tanteos" al procedimiento es necesario siempre que no conocamos de antemano qu* f%rmula de diseño usar" #uesto que cada f%rmula es válida s%lo para un cierto intervalo de relaciones de esbelte y se desconoce la relaci%n de esbelte en tanto no se elija la columna, por lo general no se sabe qu* f%rmula es aplicable hasta no hacer un tanteo por lo menos" >n procedimiento comn de tanteos para escoger una columna que deba soportar una carga a!ial dada es el siguiente: ') +e estima el esfuero permisible (.ote en las gráficas que un límite superior para
perm
es el esfuero permisible para una columna de
longitud cero)" $ste esfuero se obtiene con facilidad a partir de las f%rmulas de diseño y el esfuero estimado debe ser menor o igual que este límite superior" /) +e calcula un valor apro!imado de la secci%n transversal <6 mediante la relaci%n :
<
P perm
4) +e define la secci%n de la columna que d* el área necesaria, calculando una dimensi%n requerida o seleccionando una columna de una tabla de perfiles disponible" 6) 5onociendo las dimensiones de una columna de prueba del paso (4), se determina el esfuero permisible
perm
en la columna usando la f%rmula
de diseño apropiada" 3) +e calcula la carga permisible :
P perm perm <
y se compara con la
carga real P " ?) +i la columna no es adecuada para soportar la carga dada, se escoge una columna de mayor < y se repite el proceso" $n el caso contrario de que la
columna de la impresi%n de estar sobrediseñada por que la carga permisible es mucho mayor que la carga dada, se toma una columna menor y se repite el proceso"
$n algunos casos puede hallarse un procedimiento directo de diseño que evite los pasos del procedimiento de tanteos"
AC$(O $S)(UC)U(AL
Las f%rmulas usadas en la actualidad en $stados >nidos se basan en investigaciones realiadas hace muchos años por el tructural tability Researc! Council #RC)6 que es una organiaci%n profesional de ingeniería"
Las f%rmulas propuestas por el RC dan el esfuero má!imo en la columna" 5uando la relaci%n de esbelte =r es grande, el esfuero má!imo se basa en la carga de $uler" ma!
/
"
A B r /
(&"/2)
donde la longitud efectiva A se usa para que la f%rmula sea aplicable a diversas condiciones de soporte" La ecuaci%n (&"/2) es válida s%lo cuando los esfueros en la columna son menores que el límite proporcional" $n la mayoría de situaciones suponemos que el límite proporcional del acero es igual al esfuero de fluencia
y "
+in
embargo, las secciones laminadas de acero (como las secciones W de patín ancho) contienen esfueros residuales considerables los cuáles pueden ser tan grandes como la mitad del esfuero de fluencia" #ara una columna con estas características, el límite proporcional se alcana cuando el esfuero a!ial ma, debido a la carga de compresi%n es igual a la mitad del esfuero de fluencia : ma!
:"3 E
(&"/@)
#ara encontrar la relaci%n de esbelte mínima para la cuál es aplicable la ecuaci%n (&"/2), reemplaamos esta ltima relaci%n y despejamos el valor correspondiente de A=r , que se conoce como la relaci5n de esbelte; crtica :
/ / "
A r C
E
(&"/&)
La relaci%n de esbelte crítica dada por la ecuaci%n (&"/&) determina la frontera entre el pandeo elástico y el inelástico para columnas laminadas de acero# +i la relaci%n de esbelte real es igual o mayor que ( A=r )5 puede usarse la f%rmula de $uler para el esfuero má!imo ($c" &"/2)" La ecuaci%n (&"/2) puede e!presarse en forma adimensional dividiendo entre el esfuero de fluencia
y
y luego sustituyendo en la ecuaci%n (&"/&): 2
máx )
2 E
"! r
2
)
"! r C "! r
si
2
2
"! $ r r C
"!
(&"4)
$sta ecuaci%n está graficada en la figura &"'/ y marcada como curva de "uler. #ara la regi%n de pandeo inelástico, donde
A , r r C
A
el esfuero má!imo
como propone el ++D5, está dado por una 45rmula parab5licaG 2
máx )
1
"! r C "! 2 r
2
si
"! r r C
"!
(&"4')
La gráfica de esta ecuaci%n es una parábola con tangente horiontal en donde el esfuero má!imo es igual a $n la relaci%n de esbelte crítica
y
0 , r C
0 r
,
" la curva se une suavemente a la curva
de "uler (ambas curvas tienen la misma pendiente en el punto en que se juntan)" $sta f%rmula empírica proporciona una curva de diseño que se ajusta a la forma general de las f%rmulas te%ricas y además es simple en su uso" +u valide para usarlo en el diseño se ha comprobado en numerosas pruebas"
-igura &"'/ -%rmulas de diseño para columnas de acero estructural "l
má!imo las f%rmulas propuestas por el +tructural +tability Desearch 5oncil #RC) (ecuaciones &"4 y &"4')" 8demás el
f%rmulas para los factores de seguridad aplicables a los esfueros má!imos" 4
A A 3 4 r ' r n' 4 @ A @ A 4 r C r C n2
23 12
"! "! $ r r C
1.92
8sí pues el >.. es 3B4 cuando cuando
A A r r C
A A " r r C
0 r
y
(&"4/ )
(9.33)
aumenta en forma gradual hasta /4B'/
#ara relaciones de esbelte mayor, el factor de
seguridad permanece constante en dicho valor Las f%rmulas
entre los factores de seguridad apropiados; es decir:
mH,
2 "! adm r C 1 1 2 ) n1 "! 2 r
adm E
A / r C / A / n / r
"! r r C
"!
A $ r r C
A
(9.34)
(&"43)
$stas ecuaciones para los esfueros admisibles tambi*n están traadas en la figura &"'/" Las especificaciones de la 8J+5 fijan un límite superior de / para la relaci%n de esbelte
0 r
"
$n el manual del 8J+5, la simbología difiere un tanto de la utiliada en este te!to; por ejemplo la relaci%n de esbelte crítica se denota C CG A C C r C
/ /" E
(&"4?a)
P los esfueros admisible y de fluencia se denotan por > a y > E respectivamente" > a adm
> y y
(&"4? b, c )
5on estos cambios de notaci%n y sustituyendo n1 y n? , obtenemos las f%rmulas de diseño ($cs" &"46 y &"43) en la forma presentada en el manual 8J+5"
> a
A B r / ' > y / / C C 3 4(A B r ) (A B r )/ / 4 @ C c @ C C
> a
'/ /" /4 (A B r )/
A C c r
A $ C c r
(& "42 a )
(& "42 b )
$l 8J+5 especifica el m%dulo de elasticidad " A /& 7si %
$luminio
Las f%rmulas de diseño para columnas de aluminio se presentan en las especificaciones de la
"adera
Las National Designe "speci4ication 4or ood Construction publicadas por la 8merican -orest and #aper 8ssociation rigen por lo general, el diseño de los miembros estructurales de madera" Las f%rmulas
<>P<
para los esfueros permisibles en
columnas rectangulares de madera cortas, intermedias y largas con unidades inglesas o unidades I se presentan en la tabla &"/"
La 8merican -orest and #aper 8ssociation proporcionan una sola ecuaci%n (.ational 1esign +pedification for Wood 5onstruction) para obtener el esfuero permisible en columnas cortas, intermedias y largas bajo carga centrada: para una columna con secci%n transversal rectangular de lados estabilidadG 5p" La variaci%n de
b
pem con
y
d
(con dXb), que considera el F-actor de
la relaci%n LBd se muestra en la siguiente
figura"
$jemplo de secci%n de columna de láminas aglutinadas
Yariaci%n de perm en funci%n de LBd
1onde $ es el m%dulo de elasticidad ajustado para el pandeo de columnas" Las columnas con LBd que e!ceden a 3 no son admitidas por el .ational 1esign Wood 5onstruction" #DK0L$98 $Z$9#LK
C$
1 21.98 10
3 d 2
2 0.90
1 21.98 10 3 d 2 2 0.90
La columna soporta una carga #A 4/ 7ips,
2
&
1 21.98 10
3 d 2
0.90
$erm
P A
(a)
32 2 d
$erm c C $
P por la ecuaci%n ('"62):
#or dato el esfuero ajustado de compresi%n y paralelo a la fibra F cG es: c
1.060 k$si
C$
$erm
1.060
30.19 d 2
(b)
Deemplaando (b) en (a), obtenemos 30.19
d 2
1 21.98 10
3 d 2
2 0.90
Desolviendo para
*d+ por
1 21.98 10 3 d 2 2 0.90
2
1 21.98 10
3 d 2
0.90
tanteos y por error, se obtiene d A ?"/6 pulg
9aterial
8cero estructural con un punto de fluencia [y (a) 8leaci%n de aluminio /'6? (b) 8leaci%n de aluminio ??'? (b) #iea de madera con una secci%n rectangular b\d donde db (c)
0loque a compresi%n yBo rango intermedio (LBr es la relaci%n efectiva -%rmulas y limitaciones 0
! r
C c
2 2 E
C c
FS
y
5 3
3 ! ! r
adm
r
9.5
9. 5 d
! r
66
''
1 ( ! ! r ) 2 1 FS 2 C c
1 ! ! r
''
d
0
r
3
8 C c 8 C c
r
! 212 1.585 &Pa r
adm
19 klb ! $u l" 2
adm
! ! 20.2 0.126 "$si 139 0.868 &Pa r r
adm
r )
y
/ '/ '&4 .Pa adm /@ 0lb B pu lg r ! ! 12 55 adm 30.7 0.23 "$si r r !
B
131 &Pa
> c =
0 "?2' " B > c
ad
r ad
0
adm
' B d 6 > c ' 4 0
a 9anual of +teel 5onstruction, &] edici%n, 8merican Jnstitute of steel construction, .ueva Por7, '&3& b +pecifications of 8luminio structures, 8luminio 8ssociation, Jnc", Washinton, 1"5", .ueva Por7, '&@? c imber 5onstruction 9anual, 4a edicion 8merican Jnstitute of imber 5onstruction, Zohn Wiley ^ +ons, Jnc", .ueva Por7 '&@3 -c $s el esfuero admisible para un bloque corto a compresi%n paralelo a la fibra
#DK0L$98+ D$+>$LK+ 9$1J8.$ HKZ8 1$ 5RL5>LK $O5$L 8l final de los enunciados de los problemas, se inserta la hoja de cálculo e!cel con los datos y respuestas de cada problema
a
