Resistencia de Materiales I - Ing. Gómez Ugarte Guido.pdf

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA CARRERA DE INGENIERÍA INGENIERÍA CIVIL

MATERIAL DE APOYO DIDÁCTICO DE LA ENSEÑANZA APRENDIZAJ APREN DIZAJ E EN LA ASIGNA TURA DE RESISTENCIA DE MATERIAL MATERIALES ES I

Trabajo dirigido, Por Adscripción, Para Obtener el Diploma Académico de Licenciatura en Ingeniería Civil.

Presentado por: JUAN JHONNY GARCIA LUIZAGA MARIO VARGAS LEDESMA

Tutor: Ing. Guido Gómez Ugarte.

COCHABAMBA – BOLIVIA

Mayo, 2007

DEDICATORIA A nuestros queridos padres y a nuestros hermanos (as) por brindarnos su apoyo incondicional durante nuestro trabajo.

ii

AGRADECIMIENTOS A Dios por darnos la luz y guía espiritual para nuestro crecimiento, tanto intelectual intelectual como moral. A nuestros padres por el amor que nos brindaron, sus sacrificios, su amistad y compañerismo. A nuestros hermanos por la ayuda que nos dieron. Al Ing. Guido Gómez Gómez por toda su ayuda, ayuda, para que sea posible este proyecto. A nuestros tribunales: Ing. Ing. Oscar Florero Ortuño, Ing. Orlando Camacho, Ing. José Meruvia M. Por su ayuda y colaboración desinteresada. Al Director de la Carrera de Ingeniería Civil, Ing. Armando Escalera V. A nuestros docentes de la carrera por sus consejos y enseñanzas, haciendo de nosotros buenos ciudadanos. A la Universidad por abrirnos las puertas y cobijarnos hasta la culminación de nuestros estudios. Y a todos nuestros amigos que nos ayudaron y nos apoyaron. ¡Muchísimas Gracias!

iii

FICHA RESUMEN

El presente documento ha sido elaborado con un propósito de ofrecer al estudiante un apoyo sobre la materia, este documento servirá como texto de guía de consulta para la materia: “Resistencia de Materiales I”, orientando a los estudiantes de la carrera de Ingeniería Civil – Ingeniería Mecánica – Electromecánica de la facultad de Ciencia y Tecnología de la Universidad Mayor de San Simón. Se hace conocer que el documento ha sido desarrollado en base a observaciones y recomendaciones dadas por el docente de la materia Ing. Guido Gómez Ugarte, fundamentadas en su totalidad por el conocimiento y la gran experiencia que tiene en el campo profesional. La estructura del documento esta planteada de la siguiente manera. PRIMERA PARTE La primera parte comprende de CAPITULO I a CAPITULOV, que están basados en las determinaciones de las tensiones que actúan en cada capitulo. SEGUNDA PARTE La segunda parte comprende de CAPITULO VI a CAPITULOX, basados en las determinaciones de las tensiones en las vigas, las deformaciones debido a la flexión.

El CAPITULO X, es un resumen de todos los capítulos avanzados, el la cual c ual se realiza un análisis completo de todas las tensiones presente en la sección critica.

iv

INDICE GENERAL Pág. DEDICATORIA AGRADECIMIENTO FICHA RESUMEN INDICE GENERAL INDICE DE TABLAS OBJETIVOS

ii iii iv v ix ix-1

JUSTIFICACIÓN

ix-2

INTRODUCCIÓN I.-CONCEPTOS BÁSICOS I.1.- MECÁNICA I.2.- ESTÁTICA I.3.- DINÁMICA I.4.- RESISTENCIA DE MATERIALES I.5.- PRINCIPIO DE FUERZAS I.5.1.- FUERZAS CONCURRENTES I.5.2.- FUERZAS NO CONCURRENTES II.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO III.- CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA III.1.- Inercia III.2.- Momento de inercia IV.- CENTROIDES DE AREAS V.- MOMENTOS DE INERCIA DE AREAS VI.- TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS (TEOREMA DE STEINER) EVALUACIÓN DIALOGADA DEL TEMA (CUESTIONARIO) PROBLEMAS RESUELTOS DE CENTROIDE Y MOMENTOS DE INERCIA

Pág. 1 1 1 1 2 2 2 3 3 5 5 5 5 5 6 7 12

CAPITULO I CONCEPTO DE ESFUERZO 1.1.- INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN 1.2.- CARGA AXIAL (ESFUERZO NORMAL) 1.3.- CARGA SOMETIDO A TENSIÓN (TRACCIÓN - COMPRESIÓN) 1.3.1.- TRACCIÓN 1.3.2.- COMPRESIÓN 1.4.- SISTEMA DE UNIDADES 1.5.- PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 1.6.- PROCEDIMIENTO DEL ENSAYO 1.6.1.- ENSAYO DUCTIL a).- ENSAYO DE TRACCIÓN DE MATERIAL DUCTIL 1.6.1.1.- DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN

Pág. 25 26 26 26 26 28 29 29 29 29 30

1.6.1.2.- PROCEDIMIENTO • •

Zona elástica Zona Plástica

1.6.1.3.- CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA (TRACCIÓN) b).- ENSAYO DE COMPRESIÓN DE MATERIAL DUCTIL b.1).- CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA COMPRESIÓN

1.6.2.- ENSAYO FRÁGIL 1.6.2.1.- CURVA ESFUERZO DEFORMACION (FRÁGIL) 1.6.3.- CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN ( TRACCIÓN-COMPRESIÓN) 1.7.- CURVA REAL Y APARENTE

a).- Curva aparente de esfuerzo deformación unitaria en tracción. b).- Curva real de esfuerzo deformación unitaria en tracción. c).- Curva aparente de esfuerzo deformación unitaria en compresión. d).- Curva real de esfuerzo deformación unitaria en compresión. 1.8.- RESUMEN DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN

a).- El límite de proporcionalidad. b).- El límite elástico. c).- El límite de fluencia. d).- El límite último o esfuerzo ultimo. e).- Punto de rotura. CLASE DIALOGADA DEL TEMA (CUESTIONARIO) PROBLEMAS RESUELTOS DE TENSIONES NORMALES PROBLEMAS PROPUESTOS DE TENSIONES

30 30 31 33 33 34 35 35 36 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 39 41 46

CAPITULO II TENSIÓN CORTANTE Pág.

2.1.- TENSIÓN CORTANTE SIMPLE 2.2.- TENSIÓN CORTANTE DOBLE 2.3.- DIMENSIONAMIENTO PREGUNTAS SOBRE EL TEMA PROBLEMAS RESUELTOS DE TENSIONES CORTANTES PROBLEMAS PROPUESTOS DE TENSIONES CORTANTES

50 51 52 52 53 57

CAPITULO III ESFUERZO Y DEFORMACIÓN CARGA AXIAL Pág.

3.1.- INTRODUCIÓN 3.2.- DEFORMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL 3.3.- COMPARACIÓN DE DIAGRAMAS DE DISTINTOS MATERIALES 3.4.- LEY DE HOOKE 3.5.- DEFORMACIÓN TANGENCIAL 3.6.- DIMENSIONAMIENTO A LA RIGIDEZ

59

59 60 60 60 61

3.7.- DIFERENCIAS DE LA GRÁFICA DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN DE LOS METALES Y NO METALES 3.8.- ECUACIONES PARA DEFORMACIONES TRANSVERSALES 3.9.- ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE LOS MATERIALES (CUESTIONARIO) PROBLEMAS RESUELTOS DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN RESOLUCIÓN DE SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS PROBLEMAS PROPUESTOS DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN

61 62 63 64 71 76

CAPITULO IV VARIACIÓN DE TENSIONES INTERNAS Pág.

4.1.- INTRODUCCIÓN 4.2.- ESFUERZO EN UN PUNTO 4.3.- MÉTODO GRÁFICO PARA SU DETERMINACIÓN DE LAS TENSIONES MÁXIMAS 4.4.- CÓMO SE USA EL CÍRCULO DE MOHR Y LUEGO CÓMO FUNCIONA 4.5.- DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DE CÍRCULO DE MOHR PREGUNTAS TEORICAS PARA EL ESTUDIANTE PROBLEMAS RESUELTOS DE CÍRCULO DE MORH PROBLEMAS PROPUSTOS DE CÍRCULO DE MORH

84 84

84 86 86 88 89 100

CAPITULO V RECIPIENTES DE PARED DELGADA Pág.

5.1.- INTRODUCCIÓN 5.2.- OBJETIVOS 5.3.- DEDUCCIÓN DE LAS TENSIONES CIRCUNFERENCIALES Y TANGENCIALES 5.4.- TENSIÓN CIRCUNFERENCIAL 5.5.- TENSIÓN LONGITUDINAL 5.6.-TENSIONES PRINCIPALES PARA EL CILINDRO DE PARED DELGADA PREGUNTAS TEÓRICAS PARA EL ESTUDIANTE PROBLEMAS RESUELTOS DE CILINDROS DE PARED DELGADA PROBLEMAS PROPUSTOS DE CILINDROS DE PARED DELGADA

103 103 103 104 105 105 106 107 113

CAPITULO VI FLEXIÓN EN VIGAS Pág.

6.1.- INTRODUCCIÓN 6.2.- HIPÓTESIS 6.3.- OBJETIVOS 6.4.-TIPOS DE APOYOS EN LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES 6.5.-DEDUCCIÓN DE ECUACIÓN DE ESFUERZO A FLEXIÓN PROBLEMAS RESUELTOS DE FLEXIÓN EN VIGAS PROBLEMAS PROPUESTOS DE FLEXIÓN EN VIGAS

116 116

116 117 117 119 129

CAPITULO VII ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS Pág.

7.1.- INTRODUCCIÓN 7.2.- HIPÓTESIS 7.3.- OBJETIVOS 7.4.- DEDUCCIÓN DE ECUACIÓN DE ESFUERZO CORTANTE A FLEXIÓN 7.5.- GRÁFICAS DE LOS ESFUERZOS CORTANTES DE PERFILES 7.6.- PERFILES (SECCIONES) DE ACERO 7.6.1.- PERFILES W 7.6.2.- PERFILES S 7.6.3.- PERFILES C 7.6.4.- PERFILES L 7.6.5.- PERFILES RECTANGULARES HSS 7.6.6.- PERFILES CIRCULARES HSS PROBLEMAS RESUELTOS DE CORTANTE A FLEXIÓN EN VIGAS PROBLEMAS PROPUESTOS DE CORTANTE A FLEXIÓN EN VIGAS

134 134 134 135 136 137 137 137 138 138 139 139 140 147

CAPITULO VIII DEFORMACIÓN EN VIGAS DEBIDO A FLEXIÓN Pág. 8.1.- INTRODUCCIÓN 8.2.- HIPÓTESIS 8.3.- OBJETIVOS 8.4.- DEDUCCIÓN DE ECUACIÓN DE ESFUERZO A FLEXIÓN 8.5.- DIFERENTES CASOS DE LAS CONDICIONES DE APOYO PROBLEMAS RESUELTOS DE DEFPRMACIÓN DEVIDO A FLEXIÓN PROBLEMAS PROPUESTOS DE DEFPRMACIÓN DEVIDO A FLEXIÓN

154 154 154 155

156 157 168

CAPITULO IX TORSIÓN EN VIGAS 9.1.- INTRODUCCIÓN 9.2.- OBJETIVOS 9.3.- HIPÓTESIS 9.4.- DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CORTANTE Y LA DEFORMACIÓN ANGULAR DEBIDO A LA TORSIÓN 9.5.- ANÁLISIS DE LAS TENSIONES MÁXIMAS PREGUNTAS TEÓRICAS DE LOS CAPITULOS VI- VII-VIII - IX PROBLEMAS RESUELTOS DE ESFUERZOS CORTANTES A TORSIÓN PROBLEMAS PROPUESTOS DE ESFUERZOS CORTANTES A TORSIÓN

CAPITULO X

174 174 175 176 177 178 179 183

TENSIONES COMBINADAS EN EL ESPACIO (FLEXO – TRAXO – TORSIÓN) Pág. 10.1.- INTRODUCCIÓN 10.2.- ANÁLISIS DE LAS TENSIONES MÁXIMAS CASO VIGA DE SECCIÓN CIRCULAR a).- DETERMINACIÓN DE LAS TENSIONES RESULTANTES b).- DETERMINACIÓN DE LA SECCION CRÍTICA c).- DIAGRAMA DE TENSIONES RESULTANTES EN EL PLANO d).- DETERMINACION DEL PUNTO CRÍTICO DE LAS DIAGRAMAS e).- ECUACIONES PARA SU DIMENSIONAMIENTO 10.3.- ANÁLISIS DE LAS TENSIONES MÁXIMAS CASO VIGA DE SECCIÓN CIRCULAR a).- DETERMINACIÓN DEL PUNTO MAS CRÍTICO EN CASO DE SECCIÓN RECTANGULAR PROBLEMAS RESUELTOS DE FLEXIÓN EN EL ESPACIO PROBLEMAS PROPUSTOS DE FLEXIÓN EN EL ESPACIO

185 185 185 186 186 186 186 187 187 188 206

INDICE DE TABLAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -2 PERFILES C (CANALES) AMERICANAS TABLA A -3 PERFILES L (ANGULARES) LADOS IGUALES, AMERICANAS TABLA A -3 PERFILES L (ANGULARES) LADOS IGUALES, AMERICANAS TABLA A -3 PERFILES L (ANGULARES) LADOS DESIGUALES, AMERICANAS TABLA A -3 PERFILES L (ANGULARES) LADOS DESIGUALES, AMERICANAS TABLA A -4 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) EUROPEOS TABLA A -5 PERFILES I (VIGAS NORMALES) EUROPEOS TABLA A -6 PERFILES C ( O U )(CANALES) EUROPEOS CONCLUSIONES Y RECOMNDACIONES RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS BIBLIOGRAFIA

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-12-13-

INDICE GENERAL Pág. DEDICATORIA AGRADECIMIENTO FICHA RESUMEN INDICE GENERAL INDICE DE TABLAS OBJETIVOS

ii iii iv v ix ix-1

JUSTIFICACIÓN

ix-2

INTRODUCCIÓN I.-CONCEPTOS BÁSICOS I.1.- MECÁNICA I.2.- ESTÁTICA I.3.- DINÁMICA I.4.- RESISTENCIA DE MATERIALES I.5.- PRINCIPIO DE FUERZAS I.5.1.- FUERZAS CONCURRENTES I.5.2.- FUERZAS NO CONCURRENTES II.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO III.- CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA III.1.- Inercia III.2.- Momento de inercia IV.- CENTROIDES DE AREAS V.- MOMENTOS DE INERCIA DE AREAS VI.- TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS (TEOREMA DE STEINER) EVALUACIÓN DIALOGADA DEL TEMA (CUESTIONARIO) PROBLEMAS RESUELTOS DE CENTROIDE Y MOMENTOS DE INERCIA

Pág. 1 1 1 1 2 2 2 3 3 5 5 5 5 5 6 7 12

CAPITULO I CONCEPTO DE ESFUERZO 1.1.- INTRODUCCIÓN 1.2.- CARGA AXIAL (ESFUERZO NORMAL) 1.3.- CARGA SOMETIDO A TENSIÓN (TRACCIÓN - COMPRESIÓN) 1.3.1.- TRACCIÓN 1.3.2.- COMPRESIÓN 1.4.- SISTEMA DE UNIDADES 1.5.- PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 1.6.- PROCEDIMIENTO DEL ENSAYO 1.6.1.- ENSAYO DUCTIL a).- ENSAYO DE TRACCIÓN DE MATERIAL DUCTIL 1.6.1.1.- DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN

Pág. 25 26 26 26 26 28 29 29 29 29 30

1.6.1.2.- PROCEDIMIENTO • •

Zona elástica Zona Plástica

1.6.1.3.- CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA (TRACCIÓN) b).- ENSAYO DE COMPRESIÓN DE MATERIAL DUCTIL b.1).- CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA COMPRESIÓN

1.6.2.- ENSAYO FRÁGIL 1.6.2.1.- CURVA ESFUERZO DEFORMACION (FRÁGIL) 1.6.3.- CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN ( TRACCIÓN-COMPRESIÓN) 1.7.- CURVA REAL Y APARENTE

a).- Curva aparente de esfuerzo deformación unitaria en tracción. b).- Curva real de esfuerzo deformación unitaria en tracción. c).- Curva aparente de esfuerzo deformación unitaria en compresión. d).- Curva real de esfuerzo deformación unitaria en compresión. 1.8.- RESUMEN DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN

a).- El límite de proporcionalidad. b).- El límite elástico. c).- El límite de fluencia. d).- El límite último o esfuerzo ultimo. e).- Punto de rotura. CLASE DIALOGADA DEL TEMA (CUESTIONARIO) PROBLEMAS RESUELTOS DE TENSIONES NORMALES PROBLEMAS PROPUESTOS DE TENSIONES

30 30 31 33 33 34 35 35 36 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 39 41 46

CAPITULO II TENSIÓN CORTANTE Pág.

2.1.- TENSIÓN CORTANTE SIMPLE 2.2.- TENSIÓN CORTANTE DOBLE 2.3.- DIMENSIONAMIENTO PREGUNTAS SOBRE EL TEMA PROBLEMAS RESUELTOS DE TENSIONES CORTANTES PROBLEMAS PROPUESTOS DE TENSIONES CORTANTES

50 51 52 52 53 57

CAPITULO III ESFUERZO Y DEFORMACIÓN CARGA AXIAL Pág.

3.1.- INTRODUCIÓN 3.2.- DEFORMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL 3.3.- COMPARACIÓN DE DIAGRAMAS DE DISTINTOS MATERIALES 3.4.- LEY DE HOOKE 3.5.- DEFORMACIÓN TANGENCIAL 3.6.- DIMENSIONAMIENTO A LA RIGIDEZ

59

59 60 60 60 61

3.7.- DIFERENCIAS DE LA GRÁFICA DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN DE LOS METALES Y NO METALES 3.8.- ECUACIONES PARA DEFORMACIONES TRANSVERSALES 3.9.- ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE LOS MATERIALES (CUESTIONARIO) PROBLEMAS RESUELTOS DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN RESOLUCIÓN DE SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS PROBLEMAS PROPUESTOS DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN

61 62 63 64 71 76

CAPITULO IV VARIACIÓN DE TENSIONES INTERNAS Pág.

4.1.- INTRODUCCIÓN 4.2.- ESFUERZO EN UN PUNTO 4.3.- MÉTODO GRÁFICO PARA SU DETERMINACIÓN DE LAS TENSIONES MÁXIMAS 4.4.- CÓMO SE USA EL CÍRCULO DE MOHR Y LUEGO CÓMO FUNCIONA 4.5.- DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DE CÍRCULO DE MOHR PREGUNTAS TEORICAS PARA EL ESTUDIANTE PROBLEMAS RESUELTOS DE CÍRCULO DE MORH PROBLEMAS PROPUSTOS DE CÍRCULO DE MORH

84 84

84 86 86 88 89 100

CAPITULO V RECIPIENTES DE PARED DELGADA Pág.

5.1.- INTRODUCCIÓN 5.2.- OBJETIVOS 5.3.- DEDUCCIÓN DE LAS TENSIONES CIRCUNFERENCIALES Y TANGENCIALES 5.4.- TENSIÓN CIRCUNFERENCIAL 5.5.- TENSIÓN LONGITUDINAL 5.6.-TENSIONES PRINCIPALES PARA EL CILINDRO DE PARED DELGADA PREGUNTAS TEÓRICAS PARA EL ESTUDIANTE PROBLEMAS RESUELTOS DE CILINDROS DE PARED DELGADA PROBLEMAS PROPUSTOS DE CILINDROS DE PARED DELGADA

103 103 103 104 105 105 106 107 113

CAPITULO VI FLEXIÓN EN VIGAS Pág.

6.1.- INTRODUCCIÓN 6.2.- HIPÓTESIS 6.3.- OBJETIVOS 6.4.-TIPOS DE APOYOS EN LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES 6.5.-DEDUCCIÓN DE ECUACIÓN DE ESFUERZO A FLEXIÓN PROBLEMAS RESUELTOS DE FLEXIÓN EN VIGAS PROBLEMAS PROPUESTOS DE FLEXIÓN EN VIGAS

116 116

116 117 117 119 129

CAPITULO VII ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS Pág.

7.1.- INTRODUCCIÓN 7.2.- HIPÓTESIS 7.3.- OBJETIVOS 7.4.- DEDUCCIÓN DE ECUACIÓN DE ESFUERZO CORTANTE A FLEXIÓN 7.5.- GRÁFICAS DE LOS ESFUERZOS CORTANTES DE PERFILES 7.6.- PERFILES (SECCIONES) DE ACERO 7.6.1.- PERFILES W 7.6.2.- PERFILES S 7.6.3.- PERFILES C 7.6.4.- PERFILES L 7.6.5.- PERFILES RECTANGULARES HSS 7.6.6.- PERFILES CIRCULARES HSS PROBLEMAS RESUELTOS DE CORTANTE A FLEXIÓN EN VIGAS PROBLEMAS PROPUESTOS DE CORTANTE A FLEXIÓN EN VIGAS

134 134 134 135 136 137 137 137 138 138 139 139 140 147

CAPITULO VIII DEFORMACIÓN EN VIGAS DEBIDO A FLEXIÓN Pág. 8.1.- INTRODUCCIÓN 8.2.- HIPÓTESIS 8.3.- OBJETIVOS 8.4.- DEDUCCIÓN DE ECUACIÓN DE ESFUERZO A FLEXIÓN 8.5.- DIFERENTES CASOS DE LAS CONDICIONES DE APOYO PROBLEMAS RESUELTOS DE DEFPRMACIÓN DEVIDO A FLEXIÓN PROBLEMAS PROPUESTOS DE DEFPRMACIÓN DEVIDO A FLEXIÓN

154 154 154 155

156 157 168

CAPITULO IX TORSIÓN EN VIGAS 9.1.- INTRODUCCIÓN 9.2.- OBJETIVOS 9.3.- HIPÓTESIS 9.4.- DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CORTANTE Y LA DEFORMACIÓN ANGULAR DEBIDO A LA TORSIÓN 9.5.- ANÁLISIS DE LAS TENSIONES MÁXIMAS PREGUNTAS TEÓRICAS DE LOS CAPITULOS VI- VII-VIII - IX PROBLEMAS RESUELTOS DE ESFUERZOS CORTANTES A TORSIÓN PROBLEMAS PROPUESTOS DE ESFUERZOS CORTANTES A TORSIÓN

CAPITULO X

174 174 175 176 177 178 179 183

TENSIONES COMBINADAS EN EL ESPACIO (FLEXO – TRAXO – TORSIÓN) Pág. 10.1.- INTRODUCCIÓN 10.2.- ANÁLISIS DE LAS TENSIONES MÁXIMAS CASO VIGA DE SECCIÓN CIRCULAR a).- DETERMINACIÓN DE LAS TENSIONES RESULTANTES b).- DETERMINACIÓN DE LA SECCION CRÍTICA c).- DIAGRAMA DE TENSIONES RESULTANTES EN EL PLANO d).- DETERMINACION DEL PUNTO CRÍTICO DE LAS DIAGRAMAS e).- ECUACIONES PARA SU DIMENSIONAMIENTO 10.3.- ANÁLISIS DE LAS TENSIONES MÁXIMAS CASO VIGA DE SECCIÓN CIRCULAR a).- DETERMINACIÓN DEL PUNTO MAS CRÍTICO EN CASO DE SECCIÓN RECTANGULAR PROBLEMAS RESUELTOS DE FLEXIÓN EN EL ESPACIO PROBLEMAS PROPUSTOS DE FLEXIÓN EN EL ESPACIO

185 185 185 186 186 186 186 187 187 188 206

INDICE DE TABLAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -1 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) AMERICANAS TABLA A -2 PERFILES C (CANALES) AMERICANAS TABLA A -3 PERFILES L (ANGULARES) LADOS IGUALES, AMERICANAS TABLA A -3 PERFILES L (ANGULARES) LADOS IGUALES, AMERICANAS TABLA A -3 PERFILES L (ANGULARES) LADOS DESIGUALES, AMERICANAS TABLA A -3 PERFILES L (ANGULARES) LADOS DESIGUALES, AMERICANAS TABLA A -4 PERFILES H (VIGAS DE ALA ANCHA) EUROPEOS TABLA A -5 PERFILES I (VIGAS NORMALES) EUROPEOS TABLA A -6 PERFILES C ( O U )(CANALES) EUROPEOS CONCLUSIONES Y RECOMNDACIONES RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS BIBLIOGRAFIA

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-12-13-

OBJETIVOS



Este texto es la herramienta principal para los estudiantes, que proporciona una explicación breve.



Emplear los conocimientos adquiridos para dimensionar los materiales.



Este material de apoyo didáctico, es una herramienta que permite al estudiante, seguir con el avance del temario de la materia.

ix -1

JUSTIFICACIÓN



El continuo avance de la tecnología, exige a los nuevos ingenieros la permanente actualización del conocimiento y la aplicaron de nuevas técnicas.



De esta manera la materia de Resistencia de materiales I, es una necesidad dentro de la carrera de ingeniería Civil, es necesario considerar todas las actividades dentro del proceso “Enseñanza – Aprendizaje” para la capacitación del alumno en la formación de su perfil curricular.



Desde hace mucho tiempo, el estudiante no tenia idea, que libro va a comprar y de que autor, para realizar el seguimiento al avance del tema.



Si bien, el alumno se compra un libro, pero se encontraba con el problema de que en ese libro, no tenía todo el contenido de la materia.

ix-2

Resistencia de Materiales I U.M.S.S – Ing.Civil

Introducción

---------------------------------------------------------------------------------------------------

INTRODUCCIÓN --------------------------------------------------------------------------------------------------Por los cursos de física I y II se conocen los conceptos de vectores de fuerza y momento, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos que se utilizan en el análisis de estructuras simples en reposo. Estos conceptos se ampliaron a un mas en un curso de la estática y estructuras isostaticas, en los cuales las nociones de diagramas de cuerpo libre que se aplica a estructuras simples se estudiaron minuciosamente. El diagrama de cuerpo libre de una estructura o parte de ella es la pictografía que permite extraer y escribir con facilidad y sistemáticamente las ecuaciones de equilibrio de la estructura. Al analizar el equilibrio de los cuerpos en reposo, se supone que los cuerpos o algunas de sus partes están compuestos de materiales rígidos en los que no se presentan deformaciones o movimientos. Naturalmente, se esperaría en elementos estructurales reales que los materiales se deformen y cambien de forma. I.- CONCEPTOS BASICOS I.1.- MECÁNICA La mecánica es la ciencia que estudia el equilibrio y movimiento de los cuerpos. I.2.- ESTÁTICA La estática es parte de la mecánica que estudia las leyes del equilibrio. I.3.- DINÁMICA Parte de la mecánica que trata de las leyes del movimiento en relación con las fuerzas que lo producen.

1


Introducción

---------------------------------------------------------------------------------------------------

I.4.- RESISTENCIA DE MATERIALES Es el estudio de las propiedades físicas de cuerpos sólidos, y son esfuerzos internos y deformaciones producidas por alguna fuerza externa o peso propio del cuerpo.

I.5.- PRINCIPIO DE FUERZAS El principio de fuerzas esta basada en la parte de la mecánica, es creada por la acción de un cuerpo sobre otro, la fuerza es un vector que posee magnitud y dirección. Además de estos valores, se necesita un punto o línea de acción para determinar el efecto de una fuerza sobre un sistema estructural.

B

φ A

AB = Magnitud A = Cola del vector B = Cabeza del vector φ = Sentido o dirección

Dichas fuerzas pueden ser concentradas o distribuidas. Una fuerza es concentrada, cuando es aplicada sobre un punto. Una fuerza es distribuida cuando actúa sobre una sección.

I.5.1.- FUERZAS CONCURRENTES Cuando la intersección de las líneas de acción de las fuerzas pasan por un solo punto. El efecto que produce es de traslación. F3 F2 F1

Por equilibrio estático debe cumplirse ΣFx=0 y ΣFy=0 (ver fig.a)

2


Introducción

---------------------------------------------------------------------------------------------------

I.5.2.- FUERZAS NO CONCURRENTES Son aquellas fuerzas cuyas líneas de acción, al menos una de ellas no pasa por un solo punto. El efecto que produce es traslación y rotación.

F1 F3

F2 En el plano tenemos tres ecuaciones de la estática. ΣFx=0, ΣFy=0 y ΣM=0

II.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO Cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio estático, no ocurre traslación, ni rotación en ninguna dirección. 

No hay traslación, si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo debe ser igual a cero. ΣFT=0



No hay rotación, si la suma de todos los momentos con respecto a cualquier punto debe ser igual a cero. ΣM=0

Cuerpos bidimensionales.- Las ecuaciones de equilibrio se escriben así: Ver fig.a

Fig.a.

3


Introducción

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Donde ΣR x y ΣR y son la suma de los componentes de las fuerzas en la dirección de los ejes perpendiculares (x, y) respectivamente y ΣM=0, es la suma de todos los momentos al rededor de cualquier punto en el plano de las fuerzas.

Cuerpos tridimensionales.- Las ecuaciones de equilibrio se escriben así: Ver fig.b.

Fig. b. La suma de las componentes de las tres fuerzas (R x, R y, R z) establecen que para un cuerpo en equilibrio no hay fuerza resultante que produzca una traslación en ninguna de las tres direcciones y las tres ecuaciones de momento ( ∑Mx, ∑My, ∑Mz) establecen que para un cuerpo en equilibrio no hay momento resultante que produzca rotación alrededor de un mismo eje coordenado u otro paralelos. En resumen de la Fig.b tenemos:

R x es una fuerza axial, produce un esfuerzo normal que puede ser tracción o compresión.

σ

= R X

N

A

R y, R z son fuerzas tangenciales que producen esfuerzos cortantes. τ = RY A

, τ = R Z A

Mx produce una fuerza cortante debido al momento torsionante.

M * r I

τ =

X

P

My, Mz son momentos flexionantes que producen esfuerzos. * Z σ = M Y ……Esfuerzo en el plano (X – Z) I YY

* Y

σ = M Z I ZZ

……Esfuerzo en el plano (X – Y) 4


Introducción

---------------------------------------------------------------------------------------------------

III.- CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA Los centroides y los momentos de inercia de las áreas son conceptos que surgen repetidamente en el análisis de los problemas de resistencia de materiales. III.1.- Inercia, es la resistencia que tiene un cuerpo para estar en reposo o para cambiar de velocidad en movimiento. III.2.- Momento de inercia

Es la resistencia de un cuerpo para girar (rotación).

IV.- CENTROIDES DE AREAS Considérese un área A en el plano (x – y) las coordenadas de un elemento de área dA, definimos el primer momento de área A con respecto al eje x como la integral.

xdA ∫   ∑ A x →x= x = ∑ A ∫ dA A

xdA ∫   ∑ A y →y= y = dA ∑ A ∫

i

A

A

i

A

Analógicamente, el primer momento de área A con respecto al eje y es la Integral.

V.- MOMENTOS DE INERCIA DE AREAS Los momentos de inercia de un área son integrales semejantes en su forma a las que se usan para determinar el centroide de área. Es el segundo momento de inercia de área A con respecto a los ejes (x,y) y se define como la integral.

I = ∫ x dA 2

y

A

5


Introducción

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Definimos ahora el momento polar de inercia del área A con respecto al origen de coordenadas, como la integral.

I = ∫ ρ dA 2

p

A

Donde ρ es la distancia del origen al elemento dA. Mientras esta integral es nuevamente una integral doble, es posible en el caso de una área circular elegir elemento de dA en forma de anillos circulares y reducir el calculo de Ip a una integral única. Se puede establecer una importancia relación entre el momento de inercia polar de un área dada y los momentos de inercia Ix e Iy de la misma área como: ρ 2 = x 2 + y 2 entonces se puede escribir de la siguiente forma.

I

p

= ∫ ρ 2 I p = dA = ∫ ( x 2 + y 2 )dA = ∫ x2 dA + ∫ y 2 dA A

I

p

= I x + I y

A

A

A

Para el caso circular tenemos I x = I y ⇒ I p =

πφ 4

32

VI.- TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS (TEOREMA DE STEINER) Supóngase que se conocen los momentos de inercia I de un área A en términos de un sistema de coordenadas (x – y) con su origen en el centroide de A, y el objetivo consiste en establecer los momentos de inercia en términos de un sistema de coordenadas paralelas a (x – y). Ahora se dibuja a través del centroide “C” del área un eje “ BB” que es paralelo a (x – y), dicho eje recibe el nombre de eje centroidal. Representado con y d la distancia del elemento dA hasta “ BB”; se escribe y= y d + d, donde “d” es la distancia entre los ejes (x – y) y “ BB”. Sustituyendo (yd + d) en lugar de “y” la integral de momento de inercia se escribe.

6


Introducción

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I = ∫ y2 dA

→ I = ∫ (yd + d)2 dA → desarrollando tenemos:

I = ∫ (yd)2dA + 2d ∫ yd dA + d2 ∫ dA la primera integral representa el momento de inercia Î de área con respecto del eje centroidal “ BB”. La segunda integral representa el primer momento con respecto de “ BB”; puesto que el centroide “C” de área esta localizada sobre dicho eje, por lo tanto la segunda integral debe ser igual a cero, ya que ∫ ydA es el momento estático de área respecto al centro de gravedad, finalmente, se observa que la ultima integral es igual al área total A. por lo tanto se tiene.

∫ (yd)2 dA = I 2d ∫ yd dA= 0 d2 ∫ dA = Ad2 2

I = I + Ad

El valor de la distancia “d” es desde la línea neutra al centroide de cada figura: 3 I = bh /12 para una figura rectangular de base “b” y altura “h”.

EVALUACIÓN DIALOGADA DEL TEMA (CUESTIONARIO)

1.- ¿Qué es inercia en (I x)? R.- Es la resistencia u oposición de un cuerpo al cambio de movimiento alrededor del eje “X” 2.- ¿Qué es inercia en (I y)? R.- Es la resistencia u oposición de un cuerpo al cambio de movimiento alrededor del eje “Y” 3.- ¿Qué es inercia en (I z)? R.- Es la resistencia u oposición de un cuerpo al cambio de movimiento alrededor del eje “Z”

7


Introducción

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4.- ¿Qué es módulo de elasticidad? R.- Tiene dos explicaciones, una grafica y otro significado del material: Desde el punto de vista grafica se dice que es la pendiente de la recta o línea de proporcionalidad del rango elástico. Desde el punto de vista conceptual del comportamiento del material, se dice que es la rigidez que ofrece el material.

5.- ¿Qué es fragilidad? R.- Es el material que no presenta resistencia al impacto 6.- ¿Qué es tenacidad? R.- Es el material que presenta resistencia al impacto.

FRAGILIDAD Vs. TENACIDAD

8


Introducción

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7.- ¿Que son los grados de libertad? Son coordenadas linealmente independientes que sirven para describir el Movimiento de un cuerpo

X1, Y1 son coordenadas linealmente independientes. X2, Y2 son coordenadas linealmente independientes Existen tres grados de libertad. (X, Y, θ )

8.- ¿Qué es una reacción? R.- La reacción es una magnitud debido a la acción externa de un cuerpo, ésta reacción está ligada con los grados de la libertad, los cuales se deben las unas a las otras y reciprocadamente. La mejor explicación se da con ejemplo: Ejemplo 1.- Sistema de una barra en apoyo móvil.

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Introducción

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Ejemplo 2.- Sistema de una barra en apon fijo

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Introducción

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Ejemplo 3.-El sistema presenta una barra empotrada.

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Introducción

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CENTROIDE Y MOMENTOS DE INERCIA PROBLEMA 1.- Para el área plana mostrada en la figura, determinar las coordenadas del centroide con respecto a los ejes dados, si el diámetro interior de la sección hueca es 40mm

Lo más conveniente es dividir en figuras conocidas, que se puede fácilmente detectar sus centros de gravedad de cada una de ellas.

Figuras conocidas

A (mm2)



y

(mm)

(mm)

(mm3)

60 60 60

40 80 105.46

576*103 -301.6*103 339.3*103

120*80=9.6*103 - π 402= - 5.027*103 ½ π 602=5.655*103

Rectángulo Circulo Semicírculo



ΣA = 10228

x =



613700 10228

x A

x

y A





Σ x A 613700



(mm3)

384*103 -402.2*103 596.4*103

Σ y A 578200



→ x = 60.002mm

 → y = 56.53mm 10228

 578200

y =

Las coordenadas del centroide son (60.002,56.53)

12


Introducción

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PROBLEMA 2.-Para el sistema mostrado en la figura. Determinar las coordenadas del centro de gravedad. Con respecto al eje dado.

Secciones Triangulo Rectángulo Semicírculo Circulo

∑

Área(cm 2) 3600 9600 5655 -5027 13828

x (cm)

y (cm)

xA

yA

40 60 60 60

-20 40 105.46 80

144000 576000 339300 -301620 757680

-72000 384000 596376.3 -402160 506216.3

757680 Σ AX ⇒X = ⇒ X = 54.8 cm 13828 Σ A 506216.3 Σ AY ⇒Y = ⇒ Y = 36.6 cm Y = Σ A 13828

X =

13


Introducción

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PROBLEMA 3.-La figura mostrada esta hecha a partir de un pedazo de alambre delgado y homogéneo, Determinar la ubicación del centro de gravedad. Con respecto al eje dado.

10 ( 0 ) + 24 (12 ) + 26 (12 ) Σ LX i ⇒X= ⇒ X = 10 cm Σ L 10 + 24 + 26 Σ LY i (10 )( 5 ) + 24 ( 0) + 26 ( 5 ) = ⇒ Y = 3 cm Y = Σ L 60 X =

PROBLEMA 5.-Determínese la ubicación del centro de gravedad del cuerpo de revolución homogéneo mostrado en la figura, el cual fue obtenido uniendo una semiesfera y un cilindro y removiendo un cono.

Volumen (cm 3) -376991.1184 1130973.355 452389.342 1206371.579

Secciones Cono Cilindro Semiesfera

∑

x (cm)

75 50 -22.5

xv(cm )

-28274333.88 56548667.75 -10178760.2 18095573.67

3 h 2 h ∴ Como → V = π r h → X = 3 4 2 π 3 Semiesferas → V = 0.54 r 2 → X = r 3 8 con respecto al eje de coordenadas. Y = 0 ΣVx i 18095573.67 ⇒ X = ⇒ X = 15 cm X= ΣV 1206371.579 Como → V =

π

2

r h→ X =

14


Introducción

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PROBLEMA 6.-Localizar el centro de gravedad del elemento de maquina hecho de acero que se muestra en la figura. El diámetro de cada agujero es de 1cm. Con respecto al eje dado.

x =

4r 4*2 ⇒x= ⇒ x = 0.8488cm 3π 3π

Figuras Rectángulo Cilindro ¼ Cilindro

∑

Vol. (cm3) 4.5 -0.3927 -0.3927 1.571 5.2856

x (cm)

y (cm)

0.25 -1 0.25 -1 0.25 -1 1.3488 -0.849

z (cm)

vx

2.25 1.125 1.5 -0.098175 3.5 -0.098175 0.25 2.1189648 3.0476148

vy

vz

-4.5 0.3927 0.3927 -1.3334 -5.0480

10.125 -0.589 -1.374 0.3927 8.5542

ΣVx 3.0476148 ⇒ X = ⇒ X = 0.58 cm 5.2856 ΣV ΣVy −5.0480648 ⇒Y = ⇒ Y = −0.955 cm X= ΣV 5.2856 ΣVz 8.55425 X= ⇒ Z = ⇒ X = 1.618 cm 5.2856 ΣV

X=

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Introducción

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PROBLEMA 7.-Para una sección rectangular de base b y de altura h. Determinar el momento de inercia respecto a un eje paralelo a la base por el centro de gravedad y un eje que coincida con la base.

∫ dI = ∫ y dA ⇒ I = ∫ y dA ⇒ I = ∫ y 2

2

x

x

2

x

h/2

( bdy )

3 ⎛ −h ⎞ ⎤ I x = b ∫ y dy ⇒ I x = ⇒ I x = ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ −h / 2 3 −h / 2 3 ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ b ⎛ h 3 h3 ⎞ bh3 I x = ⎜ + ⎟ ⇒ I x = ……….. Con respecto al centro de gravedad 3⎝ 8 8 ⎠ 12 h/2

by 3

2

b ⎡⎛ h ⎞

3

Con respectoa la base h

I x = ∫0 by dy ⇒ I x = 2

by

3

3 h

⇒ I x =

bh

0

3

3

………………respecto a la base

PROBLEMA 8.-Se dibuja un triangulo de base b y altura h; el eje x se selecciona de tal forma que coincida con la base del triangulo. Determine el momento de inercia con respecto al eje x, con respecto a la base y con respecto al centro de gravedad del triangulo.

Reemplazar 2 en 1 3

bh ⎛b ⎞ I x = ∫ y ⎜ ( h − y ) ⎟ dy ⇒ I x = → con respecto a la base −h 3 ⎝h ⎠ h

2

Con respecto al centor de gravedad Por teorema de Steiner

bh3

2

3

bh ⎛ bh ⎞⎛ h ⎞ I x = I x + Ady ⇒ I x = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⇒ I x = 12 ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠ 36 2

16


Introducción

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PROBLEMA 9.- Para una sección circular. Determinar el momento de inercia polar y los momentos rectangulares con respecto a ambos ejes (x,y)

r

r

dI P = u dA ⇒ ∫ dI P = ∫ u 2 ( 2π u ) du ⇒ I P = 2π ∫0 u 3 du 2

0

r

4

π r4 π ⎛d ⎞ π d4 2π u 4 d I P = como r= ⇒ I P = ⎜ ⎟ ⇒ I P = ⇒ IP = 4 0 2 2 2⎝2⎠ 32 Determinación de momentos de inercia con respecto a los ejes dIP = u 2 dA ⇒ ∫ dI P = ∫ ( x2 + y 2 ) dA ⇒ I P = ∫ x2 dA + ∫ y 2 dA I P = I x + I Y ⇒ I x = I Y → caso I P = 2 I x ⇒

πd4

32

= 2 I x ⇒ I x =

circular π d 4

64

…… Respecto al centro de gravedad.

PROBLEMA 10.- Determinar el producto de inercia del triangulo recto mostrado en la figura, con respecto a ejes centroidales que son paralelos a los ejes (x,y)

2

1 ⎡ ⎛ x ⎞ ⎤ ⎛1 ⎞ I xy = ∫ X eYedA ⇒ I xy = ∫ x ⎜ y ⎟ dA ⇒ I xy = ∫ x h 1− dx ⇒ 2 ⎢⎣ ⎜⎝ b ⎟⎠ ⎥⎦ ⎝2 ⎠ 2

b2 h2 1 2 b ⎛ x ⎞ I xy = h ∫ x ⎜1 − ⎟ dx ⇒ Integrando I XY = 2 0 ⎝ b⎠ 24 Con respecto al centro de gravedad. I xy = I xy + x * y * A ⇒ b2 * h2

24

= I xy + (1/ 3b)(1/ 3h)(1/ 2bh) ⇒ I xy = −

b 2 h2

72

17


Introducción

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PROBLEMA 11.- Determinar el momento de inercia con respecto a ambos ejes y el producto de inercias a partir de la figura presentada a continuación.

Paso 1.- Determinación del centro de gravedad 6*30*10 + 20*4*10  → x = 10cm 6*30 + 20* 4  6*30*15 + 20*4*32  y = → y = 20.23cm 6*30 + 20*4

x =



Paso 2.- Utilizando los ejes paralelos o el Teorema se Steiner calculamos los momentos de inercia. ⎛ b * h3  2⎞ ′ A dy bh y y ( ) ( ) = + → = + − ( ) ∑ ∑ ⎜ ⎟ I x I0 I x ⎝ 12 ⎠ 2

6*303 20*43 2 2 4 I x = 12 + 180(15 − 20.23) + 12 + 80(32 − 20.23) → I x = 29612.82 cm ⎛ h * b3  2⎞ ′ A dx bh x x ( ) ( ) = + → = + − ( ) ⎟ I y ∑ I 0 I y ∑ ⎜ 12 ⎝ ⎠ 2

30*63 4*203 2 2 4 I y = 12 + 180(10 − 10) + 12 + 80(10 −10) → I y = 3206.67 cm   ′ = A y − y x − x′) ) → I xy = 180*( −5.23)*(0) + 80*(11.77)*(0)→ I xy = 0 ( )( ( ∑ I x y

18


Introducción

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PROBLEMA 12.- Determinar el momento de inercia con respecto a ambos ejes y el producto de inercias a partir de la figura presentada a continuación.

Paso 1.- Determinación del centro de gravedad  12*2*6 + 10*1*6 + 4*1*6  228  →x= → x = 6cm 12*2 + 10*1 + 4*1 38  12*2*1 + 10*1*6 + 4*1*12.5  134  y = →y= → y = 3.53cm 12*2 + 10*1 + 4*1 38

x =

Paso 2.- Utilizando los ejes paralelos o el Teorema se Steiner calculamos los momentos de inercia.

⎛ b * h3  2⎞ I x = ∑ ( I 0 + A(dy ) ) → I x = ∑ ⎜ 12 + bh( y − y ′) ⎟ ⎝ ⎠ 2

3 12*23 4*13 2 1*10 2 2 4 I x = 12 + 24(1 − 3.53) + 12 + 10(6 − 3.53) + 12 + 4(12.5 − 3.53) → I x = 628.14 cm

⎛ h * b3  2⎞ I y = ∑ ( I 0 + A(dx) ) → I y = ∑ ⎜ 12 + bh(x − x ′) ⎟ ⎝ ⎠ 2

3 3 2*123 2 10*1 2 1*4 2 4 I y = 12 + 24(6 − 6) + 12 + 10(6 − 6) + 12 + 4(6 − 6) → I y = 294.16cm

  ′ ( )( = A y − y x − x ′) ) → I xy = 24*( −2.53)*(0) +10*(2.47)*(0) + 4*(8.97)*(0) → I xy = 0 ( ∑ I xy

19


Introducción

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PROBLEMA 13.- Determinar los momentos de inercia máximos y mínimos

Paso 1.- Determinar el centro de gravedad lo mismo que el ejercicio anterior se tiene las coordenadas del centroide (3.94, 4.48). Paso 2.- Utilizando los ejes paralelos o el Teorema se Steiner calculamos los momentos de inercia. ⎛ b * h3  2⎞ I x = ∑ ( I 0 + A( dy) ) → I x = ∑ ⎜ 12 + bh( y − y′) ⎟ ⎝ ⎠ 2

10* 23 2*33 1*153 2 2 2 4 I x = 12 + 20(1 − 4.48) + 12 + 6(3.5 − 4.48) + 12 + 15(9.5 − 4.48) → I x = 918.39cm ⎛ h * b3  2 2⎞ ′ A dx bh x x ( ) ( ) = + → = + − ( ) ∑ ∑ ⎜ ⎟ I y I0 I y ⎝ 12 ⎠ 2*103 3* 23 15*13 2 2 2 4 I y = 12 + 20(5 − 3.94) + 12 + 6(9 − 3.94) + 12 + 15(0.5 − 3.94) → I y = 523.51cm   I xy = ∑ ( A( y − y′)( x − x′) ) → I xy = 20*(−3.48)*(1.06) + 6*(− 0.98)*(5.06) + 15*(5.02)*(− 3.44)

∴ I

xy

= −362.56cm4

Paso 3.- Calculo de los momentos de inercia máximos y mínimos −2 I xy

Tan2θ =

I

x

− I y

→ Tan2θ =

2*362.56 → 2θ = 61.43 918.39 − 523.51

( I + I ) + ( I − I ) Cos2θ

− I xySen2θ 2 2 (1441.9 ) (394.88 ) Cos 61.43 + 362.56 Sen61.43 → I x′ = 1133.78 cm 4 = + I x′ 2 2 I x′ =

x

y

x

y

+ I ) ( I − I ) ( I Cos 2θ = −

+ I xySen2θ 2 2 (1441.9 ) (394.88 ) Cos 61.43 − 362.56 Sen61.43→ I y′ = 308.12 cm 4 = − I y′ 2 2 I

I

x

x′

y

− I ) ( I Sen 2θ = x

x′y′

x

y

2

y

−

→ I x′y′ =

I xyCos 2θ

( 394.88 ) 2

Sen61.43 − 362.56 Cos61.43

→ I

x′y′

=0

20


Introducción

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PROBLEMA 14.- Para una figura L mostrada a continuación. Se pide determinar los momentos de inercia máximos. Para ambos ejes (x,y).

3

3

3

3

3 (1) 1( 6 ) 2 2 + A(dy ) ⇒ I x = + 3 ( 0.5 − 2.17 ) + + 6 ( 3 − 2.17 ) ⇒ Ix = Σ 12 12 12 4 I X = 30.75 cm bh

3

2

1( 3 ) 6 (1) 2 2 + A(dx ) ⇒ I y = + 3 ( 2.5 − 1.17 ) + + 6 ( 0.5 − 1.17 ) ⇒ Iy = Σ 12 12 12 I y = 10.75 cm 4 hb3

2

I xy = ΣXYA ⇒ I xy = (1.33)( −1.67 )( 3 ) + ( −0.67 )( 0.83 )( 6 ) ⇒ I xy = −10 cm 4

I x ' =

I x + I y

2

2

I x ' = 34.89 cm

I y ' =

I x + I y

2

2

⎛ I − I ⎞ 30.75 + 10.75 ⎛ 30.75 −10.75 ⎞ 2 10 + ⎜ x y ⎟ + I xy ⇒ I x ' = + ⎜ + − ( ) ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4

2

2

⎛ I − I ⎞ 30.75 + 10.75 ⎛ 30.75 −10.75 ⎞ 2 − ⎜ x y ⎟ + ( I xy )2 ⇒ I x ' = − ⎜ + ( −10 ) ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠

I y ' = 6.61 cm 4

21


Introducción

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PROBLEMA 15.- Para una figura U mostrada se pide determinar los momentos de inercia máximos con respecto a los ejes (x, y)

Determinación del centro de gravedad.

( 7 )( 0.5) + 4 ( 3) + 7 ( 5.5) ΣAX ⇒ X= ⇒ X = 3 cm ΣA 18 ( 7 )( 3.5) + 4 ( 0.5 ) + 7 ( 3.5 ) ΣAY Y= ⇒Y= ⇒ Y = 2.83 cm 18 ΣA X=

Determinación de los momentos de inercia. 3 ⎡ 1 ( 7 )3 4 (1) 2⎤ 2 + A(dy ) ⇒ I x = ⎢ + 7 ( 3.5 − 2.83) ⎥ 2 + + 4 ( 0.5 − 2.83 ) ⇒ Ix = Σ 12 12 ⎢⎣ 12 ⎥⎦ I X = 85.5 cm 4

bh3

2

3

3

7 (1) 7 (1) 43 2 2 2 + A(dx ) ⇒ I y = + 7 ( 0.5 − 3) + + 7 ( 5.5 − 3 ) + + 4 ( 0 ) ⇒ Iy = Σ 12 12 12 12 4 I y = 94 cm hb3

2

Determinación de producto de momentos de inercia. I xy = ΣXYA ⇒ I xy = (. − 2.5 )( 0.67 )( 7 ) + ( 2.5 )( 0.67 )( 7 ) + 0 ( −2.33 )( 4 ) ⇒ I xy = 0 cm

Determinación de los momentos de inercia máximas. Como

I xy = 0 ⇒ I x ' = I y ⇒ I x ' = 94 cm 4 I y ' = I x ⇒ I y ' = 85.5 cm 4

22


Introducción

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PROBLEMA 16.- Para una figura L mostrada a continuación. Se pide determinar los momentos de inercia máximos. Para ambos ejes (x,y).

Ix = Σ

bh3

+ A(dy )2 ⇒

12 3 3 3 (1) 1(1)3 2 1( 6 ) 2 + 3 ( 0.5 − 2.1) + + 6 (3 − 2.1) + +1(1.5 − 2.1) 2 ⇒ I x = 12 12 12 4 I X = 26.913 cm Iy = Σ

hb3

+ A(dx ) 2 ⇒

12 3 3 1( 3) 6 (1) 1(1)3 2 2 I y = + 3 ( 2.5 − 1.4 ) + + 6 ( 0.5 −1.4 ) + +1(3.5 −1.4) 2 ⇒ 12 12 12 I y = 15.733cm 4 I xy = ΣXYA ⇒} I xy = ( 3)(1.1)( −1.6 ) + ( 6 )( −0.9 )( 0.3 ) +1(2.1)( −0.6) ⇒ I xy = −8.16 cm4

I x ' =

I x + I y

2

2

I x ' = 31.2141 cm

I y ' =

I x + I y

2

2

⎛ I − I ⎞ 26.913 + 15.733 ⎛ 26.913 −15.733 ⎞ 2 8.16 + ⎜ x y ⎟ + I xy ⇒ I x ' = + ⎜ + − ( ) ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4

2

2

⎛ I − I ⎞ 26.913 + 15.733 ⎛ 26.913 −15.733 ⎞ 2 − ⎜ x y ⎟ + ( I xy )2 ⇒ I x ' = − ⎜ ⎟ + ( − 8.16 ) 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠

I y ' = 11.432 cm4 I x′y ' ≅ 0 cm 4

23


Introducción

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PROBLEMA 17.- Para una figura U invertida mostrada se pide determinar los momentos de inercia máximos con respecto a los ejes (x, y)

Determinación del centro de gravedad.

( 7 )( 0.5) + 4 ( 3) + 7 ( 5.5) ΣAX ⇒ X= ⇒ X = 3 cm 18 ΣA ( 7 )( 3.5) + 4 ( 7.5 ) + 7 ( 3.5 ) ΣAY Y= ⇒Y= ⇒ Y = 4.39 cm 18 ΣA X=

Determinación de los momentos de inercia. 3 ⎡ 1 ( 7 )3 4 (1) 2⎤ 2 + A(dy ) ⇒ I x = ⎢ + 7 ( 3.5 − 4.39 ) ⎥ 2 + + 4 ( 0.5 − 4.39 ) ⇒ Ix = Σ 12 12 ⎢⎣ 12 ⎥⎦ I X = 129.1178 cm 4

bh3

2

3

3

7 (1) 7 (1) 43 2 2 2 2 + A(dx ) ⇒ I y = + 7 ( 0.5 − 3) + + 7 ( 5.5 − 3 ) + + 4 ( 0 ) ⇒ Iy = Σ 12 12 12 12 4 I y = 94 cm hb3

Determinación de producto de momentos de inercia. I xy = ΣXYA ⇒ I xy = ( −2.5 )(− 0.89 )( 7 ) + ( 2.5 )( −0.89 )( 7 ) + 0 ( −2.33 )( 4 ) ⇒ I xy = 0 cm

Determinación de los momentos de inercia máximas. Como

I xy = 0 ⇒ I x ' = I x ⇒ I x ' = 129.1178 cm4 I y ' = I y ⇒ I y ' = 94 cm 4

24


Capitulo I

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CAPITULO I CONCEPTO DE ESFUERZO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1.1.- INTRODUCCIÓN El principal objetivo del estudio de resistencia de materiales es dar al ingeniero los medios para analizar y diseñar diferentes maquinas y estructuras portantes. Tanto el análisis como el diseño de una estructura, implican la determinación de esfuerzos y deformaciones. Este primer capitulo esta dedicado al concepto de tensión simple, que es el estado de un cuerpo, estirado por la acción de fuerzas que lo solicitan, ver figura 1.1

Figura 1.1 25


Capitulo I

------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.2.- CARGA AXIAL (ESFUERZO NORMAL) Se dice que una barra está sometido a carga axial, cuando la dirección de la carga corresponde al eje de la barra, la fuerza interna es por lo tanto normal al plano de la sección y el esfuerzo es descrito como un esfuerzo normal. Así, la ecuación de la tensión normal de un elemento sometido a carga axial es: σ =

P / A

Un signo positivo nos indicara un esfuerzo de tracción y un signo negativo nos indicara un esfuerzo de compresión.

1.3.- CARGA SOMETIDO A ESFUERZO (TRACCIÓN - COMPRESIÓN) 1.3.1.- TRACCIÓN El elemento de la figura 1.2, está sometido a esfuerzo de tracción, cuando la carga P tiende a alargar al elemento.

Figura 1.2 1.3.2.- COMPRESIÓN El elemento de la figura 1.3, esta sometido a esfuerzo de compresión, cuando la carga P tiende a encoger al elemento.

Figura 1.3 El esfuerzo en dicha sección se designa con la letra griega “ σ” (sigma), se obtiene dividiendo la magnitud de la carga “P” entre el área de la sección transversal “A”.

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Capitulo I

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Por otra parte teniendo dos elementos 1 y 2 de la figura 1.4 veremos, de qué depende el esfuerzo, si los elementos son de secciones transversales y cargas diferentes, los mismos sometidos a esfuerzos de tracción. Por mas que F2 > F1 se ve que σ1 > σ2

Figura 1.4 El elemento 1 y 2 se rompa o no bajo la carga actuante, depende no sólo del valor encontrado para la fuerza F, también depende del valor de la sección transversal de la barra y del material que está hecho.

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Capitulo I

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1.4.- SISTEMAS DE UNIDADES EQUIVALENCIAS EXACTAS ENTRE LAS UNIDADES DEL SISTEMA INGLES (US) Y EL SISTEMA TÉCNICO (ST) MAGNITUDES Fuerza Fuerza longitud Esfuerzo y presión Momentote de fuerza

Trabajo y energía

US

ST

1 lb 1 kip 1 lb/ft 1 kip/ft 1 lb/in2 (psi) 1 lb/ft2 (psf) 1 lb/in2 (ksi) 1 lb . in 1 lb .ft 1 kip . in 1 kip .ft 1 ft . lb

UNIDADES

= 0.4536 = 453.6 = 1.4862 = 1486.2 = 0.07031 = 4.8825 = 70.3081 = 4882.5 = 0.01152 = 11.5216 = 138.257 = 0.13826

Kgf Kgf Kgf/m Kgf/m Kgf/cm2 Kgf/m2 Kgf/cm2 Kgf/m2 Kgf.m Kgf.m Kgf.m Kgf.m

EQUIVALENCIAS EXACTAS ENTRE LAS UNIDADES PRINCIPALES DEL SISTEMA INGLES (US) Y EL SISTEMA INTERNACIONAL (SI) MAGNITUDES Longitud Área Volumen Fuerza Fuerza /longitud Esfuerzo ( y presión

Momento de fuerza

US 1 in 1 ft 1 in2 1 ft2 1 in3 1 ft3 1 lb 1 kip 1 lb/ft 1 kip/ft 1 lb/in2 1 kip/ft2 1 kip/in2 1 kip/ft2 1 lb . in 1 lb . ft 1 kip .in 1 kip . ft

SI = 2.54 Cm = 30.48 Cm = 6.452 Cm2 =929.03 Cm2 = 16.39 Cm3 = 0.028 m3 = 4.448 N = 4.448 KN = 14.59 N/m = 14.59 KN/m = 6.895 kPa = 47.88 Pa = 6.895 MPa = 47.88 kPa = 0.113 N.m = 1.356 N.m = 0.113 Kn.m =1.3558 KN.m

SI

US

1 cm 1m 1 cm2 1 cm2 1 cm3 1 m3 1N 1 KN 1 N/m 1 kN/m 1 kPa 1 Pa 1 MPa 1 KPa 1N.m 1N. m 1 KN . m 1 KN . m

= 0.3937 = 3.281 = 0.1550 = 10.764 = 0.0610 = 35.336 = 0.2248 = 0.2248 = 0.0685 = 0.685 = 0.1450 = 0.02088 = 0.1450 = 0.02088 = 8.8495 = 0.7376 = 8.8495 = 0.7376

In Ft In2 Ft2 In3 Ft3 Lb Kip Lb/ft kip/ft Lb/in2 kip/ft2 kip/in2 kip/ft2 Lb . in Lb . ft kip . in kip . ft

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Capitulo I

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1.5.- PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES Para un diseño de algún elemento estructural o componente de maquina, el diseñador debe predecir el comportamiento del material frente a las acciones externas para los cuales ha sido concebido. Es de vital importancia e imprescindible conocer el comportamiento del material, es decir de sus propiedades mecánicas. Bueno, como se tiene tantos materiales, y como cada uno de estos tiene comportamiento diferente unas de otras, lo que se ha hecho es dividir en dos grupos, estos grupos son: MATERIALES DÚCTILES y MATERIALES FRÁGILES Es entonces que para el conocimiento de propiedades de los materiales, muchos autores han optado el ensayo de ESFUERZO DEFORMACION, para un material de acero de bajo contenido de carbono, porque éste es más representativo para un material dúctil por su gran deformación plástica.

1.6.- PROCEDIMIENTO DEL ENSAYO 1.6.1.-ENSAYO DUCTIL a) ENSAYO DE TRACCIÓN DE MATERIAL DUCTIL Laboratorio Aparato hidráulico con mordazas sea de tracción o compresión Se debe tener una probeta de material de sección cilíndrica o rectangular como se muestra en la figura 1.5  Se debe tener un extensómetro de precisión (para medir o calibrar las longitudes variantes en cada instante de aumento de carga).  Un medidor de diámetros de precisión  Un monitor que grafique la curva esfuerzo deformación, por medio de un sistema de coordenadas en cual se graficará la curva esfuerzo deformación, representando en el eje de las abscisas la deformación y en el eje de las ordenadas el esfuerzo.

Figura 1.5 Comportamiento de la probeta durante el ensayo. a) Estado original. b) Empezando a cargar. c) Entrando a la zona plástica. d) El material se rompe. 29


Capitulo I

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1.6.1.1.- DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN

Figura 1.6 1.6.1.2.- PROCEDIMIENTO •

ZONA ELÁSTICA

Cargado del punto “O” al punto“A” (hasta el limite de proporcionalidad).

0 ≤ ε ≤ ε A

Figura 1.7 Una vez que está la probeta situado en las mordazas, se procede al cargado de cargas sucesivas de tracción, tal que la deformación partiendo de cero llega hasta el punto “A” ver figura1.7, cuya trayectoria descrita por el monitor es lineal en consecuencia el esfuerzo es proporcional a la deformación , lo que ocurre al material es un comportamiento elástico, que significa que sí se lo descarga en ese rango incluyendo el punto “A”, retornará a su estado original sin ningún cambio en su longitud( L o). 30


Capitulo I

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Cargado del punto “A” al punto “B” (hasta el limite elástico)

<

ε A ε ≤ ε B Se sigue cargando constantemente, y el material va deformándose, pero ya no es proporcional el esfuerzo a la deformación, porque ocurre que desde el punto “A” hasta el punto “B”, la trayectoria ya no es lineal es diferente, pero sigue en el rango elástico. Ver figura 1.8 •

ZONA PLÁSTICA

Región de fluencia. Cargado del punto “B” al punto “C”

<

ε B ε < ε C

Figura 1.8 Una vez desprendido del punto “B” el material presenta un incremento significativo de la de formación con poco o ningún aumento de carga alguna, y la trayectoria descrita por el monitor es de forma zigzag, ver figura 1.8, éste es el tramo de fluencia, en el cual se ve punto de fluencia superior y punto de fluencia inferior, de este rango se toma el promedio y se lo idealiza como una línea recta (ver línea segmentada paralela a la abscisa en la fig. 1.8), a lo cual corresponde esfuerzo de fluencia “ σ y ”. Esto significa que si se descarga en cualquier punto del rango de fluencia, el material no retorna a su estado original de longitud, quedando así una elongación. Región de endurecimiento por deformación. Cargado del punto “C” al punto “D”

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Capitulo I

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ε C ≤ ε ∠ε D

Figura 1.9 En ésta región reiniciamos el cargado con la carga de tracción, y el monitor describe una pendiente brusca hasta alcanzar el punto “D” el cual es la resistencia máxima o esfuerzo ultimo “( σ U )”. Ver Figura 1.9 Región de esfuerzo post-ultimo (extricción)

Cargado del punto “D” al punto “E”

ε D ≤ ε ≤ ε E

Figura 1.10 Desprendido del punto “D” se necesitará cargas menores para continuar deformando, y en éste rango denominado post-ultimo ver figura 1.10, se presenta el fenómeno de la extricción que es un estrechamiento en la sección transversal, como se puede ver en la figura 1.11

Figura 1.11

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Capitulo I

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Una vez llegado al punto “E” el material se rompe, ver Figura 1.12

Figura 1.12 Concluimos de este ensayo que los principales causantes de la ruptura en los materiales dúctiles son los esfuerzos cortantes. 1.6.1.3.- CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA (TRACCIÓN)

Figura 1.13 b).- ENSAYO DE COMPRESIÓN DE MATERIAL DUCTIL

Figura 1.14 33


Capitulo I

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b.1).- CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA EN COMPRESIÓN

Figura 1.15 ETAPA 1.- Es el inicio de la compresión, de tal manera que la probeta se comporta de manera elástica, y está en la línea de la proporcionalidad, que significa que si se deja de comprimir la probeta retornara a su estado original. ETAPA 2.-Es la etapa en la cual la probeta empieza a fluir, es aquí que la pendiente disminuye conforme va aumentando el esfuerzo y se inicia la zona plástica, significa que si se deja de comprimir en esta etapa, la probeta no retorna a su estado original, quedando una deformación residual. ETAPA 3.- En esta, la probeta va deformándose más y adquiere una pendiente mucho más pronunciada quedando aplanada la probeta. Muchos autores indican que en varios materiales es difícil de distinguir el punto de fluencia, es por ello que se acude a un artificio de paralela. Consiste en trazar una paralela a la porción rectilínea línea de proporcionalidad de tal manera que corte a la abscisa en 0.2%, se toma este valor que es arbitrario y muchos lo hacen, el otro extremo cortara a la curva en un punto y ese es el punto de fluencia del material. Figura. 1.16.

Figura 1.16

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Capitulo I

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1.6.2.- ENSAYO FRÁGIL El procedimiento de ensayo frágil es similar al dúctil, con la diferencia de que el material frágil tiene muy poca deformación plástica presentándose de inmediato la ruptura ver figura 1.17, con ausencia del fenómeno de extricción.

Figura 1.17 Comportamiento de la probeta durante el ensayo. a) Estado original b) Empezando a cargar c) Entrando a la zona plástica y se rompe

1.6.2.1.-CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN FRÁGIL

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Capitulo I

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Figura 1.18 Viendo la figura 1.18, la ruptura ocurre en una superficie perpendicular a la carga. Concluimos que los principales causantes de la ruptura en los materiales frágiles son los esfuerzos normales.

1.6.3.-CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN (TRACCIÓN- COMPRESIÓN)

Figura 1.19 El esfuerzo como una función de la deformación para ensayo de tracción y compresión en materiales frágiles. Según los ensayos de tracción y compresión para materiales frágiles dio como resultado, que el esfuerzo último en tracción es mucho menor que al esfuerzo ultimo de compresión. σU

− COMPRESION

>>σ

U −TRACCION

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Capitulo I

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1.7.- CURVA REAL Y APARENTE

Figura 1.20

Las cuatro curvas son obtenidas del mismo ensayo, el común de estas curvas es que coinciden hasta el límite elástico, luego se separan a excepción de las curvas reales.

a).- Curva aparente de esfuerzo deformación unitaria en tracción.- El cálculo de esfuerzo se lo realiza al dividir la carga con el área de la sección transversal original. La pendiente de la región post-ultima esta en depresión a comparación con la real de tracción. b).- Curva real de esfuerzo deformación unitaria en tracción.- El cálculo de esfuerzo se lo realiza al dividir la carga con el área decreciente de la sección transversal. La pendiente de la región post-ultima esta ligeramente pronunciada.

c).- Curva aparente de esfuerzo deformación unitaria en compresión.- El cálculo de esfuerzo se lo realiza al dividir la carga con el área de la sección transversal original. La pendiente de la región post-ultima bruscamente pronunciada

d).- Curva real de esfuerzo deformación unitaria en compresión.- El cálculo de esfuerzo se lo realiza al dividir la carga con el área creciente de la sección transversal. La pendiente de la región post-ultima esta ligeramente pronunciada

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Capitulo I

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1.8.- RESUMEN DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN

Figura 1.21 a).- El límite de proporcionalidad de un material se define como el máximo valor del esfuerzo para el cual este a un es proporcional a la deformación unitaria. Por debajo del cual si se deja de aplicar la carga, entonces vuelve a su estado inicial. b).- El límite elástico de un material es definido como el máximo valor de un esfuerzo que se puede aplicar sin causar una deformación unitaria permanente. c).- El límite de fluencia es aquel punto en el que aparece un considerable alargamiento sin ningún aumento de carga. Más allá del punto de fluencia el material se deforma sin necesidad de aumentar ninguna carga. d).- El límite último o esfuerzo ultimo , es el punto máximo de la ordenada de la curva. e).- Punto de rotura se presentan dos casos, el de la rotura aparente y de la rotura real, ver figura 1.22 ,

Figura 1.22 Para realizar un análisis sobre el dimensionamiento se tendrá que verificar que la tensión “σ” no debe de exceder a la tensión admisible σ , siendo esta tensión la división del esfuerzo debido a fluencia sobre el factor de seguridad (n). Por tanto se tiene Para

σ

=

σ ≤ σ

⇒ σ =

P A

≤ σ ……………………………

(1.1)

σ f σ r = , siempre: nr > nf >1 n

n

r

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Capitulo I

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CLASE DIALOGADA DEL TEMA (CUESTIONARIO) 1.- Que es momento flector? R.- Son componentes que miden la resistencia del cuerpo a curvarse o flexar con respecto a los ejes. 2.- Que es el momento torsor? R.- Son componentes que miden la resistencia a la torsión del sólido considerado. 3.- Que es una fuerza axial? R.- Es un componente que mide la acción de estirar o empujar sobre la sección. 4.- Bajo hipótesis se puede aplicar la ecuación (1.1). R.- Cuando el material es homogéneo, de sección constante, la tensión de trabajo debe ser menor que el de admisible. 5.- Cuales son los criterios de dimensionamiento que existe? R.- A la resistencia, rigidez, fatiga, aplastamiento. 6.- A que criterio de dimensionamiento pertenece la ecuación (1.1). R.- A la resistencia. 7.-En que zona se tiene que dimensionar? R.- En la zona elástica. 8.- Que dice la ley de Hooke? R.- Que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación. 9.- En que parte de la sección, la fuerza tiene que actuar para que exista una tensión uniforme? R.- En el centro de gravedad de la sección 10.- A mayor factor de seguridad, hay mayor seguridad o menor seguridad? R.- Mayor seguridad y mayor costo.

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Capitulo I

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11.- ¿Qué es dureza? R.- Es la resistencia u oposición de un material a rayado por otro. Donde haya fricción tiene que haber dureza Donde haya dureza tiene que haber fricción

ser

Donde haya impacto tiene que haber tenacidad Donde haya tenacidad tiene que haber impacto Donde haya fricción más impacto Tiene que haber

Dureza superficial Tenacidad del alma Esto se logra con templado a temperatura

12.- ¿Qué es resistencia? R.13.- ¿Qué es el esfuerzo de trabajo? R.- Es a la carga a la cual realmente hace su servicio de función. 14.- ¿Cuándo falla un material? 15.- ¿Qué es ductilidad? R.- Es cuando el material tensionado se comporta como hilos. Capacidad de deformarse 16.- ¿Qué es maleabilidad? R.- Es cuando el material que al doblarlo se comporta como laminas. 8.- Dibuje la grafica (esfuerzo- deformación) del material frágil y dúctil.

Materiales frágiles (Cerámicas, Vidrios, algunos plásticos, etc.) Materiales dúctiles (Acero, Aluminio, bronce, etc.). 40


Capitulo I

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PROBLEMAS RESUELTOS DE TENSIONES NORMALES PROBLEMA 1.1.- Para la estructura mostrada en la figura, determinar las tensiones de cada bloque. Donde A 1 = 2 cm2, A2 = 5 cm2 A3 = 8 cm2.

Solución: Como no se sabe que fuerza actúan sobre cada uno de los bloques, se tendrá que realizar un diagrama de fuerzas internas.

Por definición de esfuerzos tenemos ( σ=F/A)

σ1=F1/A1

→

σ1=

5000 Kg 2cm2

→

σ1=2500

σ2=F2/A2

→

σ2=

3000 Kg 5cm2

→

σ2=600

σ3=F3/A3

→

σ3=

8000 Kg 8cm2

→

σ3=1000

Kg/cm2

Kg/cm2

Kg/cm2

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Capitulo I

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PROBLEMA 1.2.- Para la estructura mostrada en la figura, determinar las tensiones de cada bloque. Donde A 1 = A2 = A3 = 2cm2.

……………………………………………………………………………………………. Solución: Como no se sabe que fuerza actúan sobre cada uno de los bloques, se tendrá que realizar un diagrama de fuerzas internas.

Por definición de tensiones tenemos ( σ=F/A)…………ecuación (1.1)

σ1=F1/A1

→

σ1=

5000 Kg 2cm2

→

σ1=2500

Kg/cm2

σ2=F2/A2

→

σ2=

3000 Kg 2cm2

→

σ2=1500

Kg/cm2

σ3=F3/A3

→

σ3=

8000 Kg 2cm2

→

σ3=4000

Kg/cm2

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Capitulo I

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PROBLEMA 1.3.- Sabiendo que la porción central del eslabón BD, tiene una sección uniforme de 800 mm2, halle la magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo normal en esa porción de BD sea de 50MPa.

1.92 0.56 α = 73.74 tan α =

R

⇒ R = σ BD A ⇒ R = ( 50 )( 800 ) ⇒ A R = 40 KN σ BD =

0 P (1.4 + 1.4 sen30 ) + R y (1.4 + 0.56 ) −

Σ M C =

R x (1.92 − 1.4 ) = 0 P = −33.1 K N

⇒

P = 33.1 KN

PROBLEMA 1.4.-Cual es la altura a la cual una pared de concreto puede ser construida, si se especifica que el esfuerzo de ruptura del material es de 2400 psi. Con un factor de seguridad de 4 y con un peso específico del concreto de 150lb/pie 3, (psi =Lb/pulg2).

σr =

W A

σ r = γ

⇒ σr =

*h ⇒ h =

γ V

A σ r γ

⇒ σ r =

γ Ah

A

86400lb / pie2 ⇒h= 150lb / pie3

⇒

h = 576 pies

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Capitulo I

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PROBLEMA 1.5.- Dimensionar la barra BD sabiendo que σf =4200kg/cm2 con factor de seguridad de 2 en tracción y tiene un factor de seguridad de 3 en compresión, además tomar en cuenta que es de acero y de sección circular.

Solución.- Según la Fig. b, se tiene:

M A= 0→ (-2)(2t) –(2 Sen 60 ) (12t) + 4 VC = 0 →

VC = 6.2 t

M C=0 → (2)(2t) –(2 Sen 60 ) (12t) + 4 VA = 0 → Análisis por nudos

V A = 6.2 t

Σ

Σ

Nudo C Nudo B

Σ Fy =0

→ - VC + T5 Sen 60 = 0 → T5 = 7.16 t

Σ Fx =0

→ T4 - T5 Cos 60 = 0

→ T4 = 3.58 t

Σ Fy =0

→ 2T- T3 Cos 30 = 0

→ T3 = 2.31 t de compresión

Utilizando los conceptos de dimensionamiento tenemos: σBD =T3/A ≤ σ

Normalizando tenemos

→ 4*2.31*103 / π ø2 ≤ 4200/3 → ø ≥ 1.45cm

ø=

⅝″

→

ø= 1.58cm

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Capitulo I

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PROBLEMA 1.6.- A partir de la fig.a. Calcular el diámetro del cable BC que soporta la barra AC, si σf =4200kg/cm2, P= 3000Kg. Con un factor de seguridad de 2.

Solución.- Con referencia a la figura b se tiene: Cos α = 4/5 del triangulo rectángulo ABC ΣM A=

0→ (-3TCosα)+4(3000Kg)=0→ (-3T (4/5)+4(3000Kg)=0 →T= 5000Kg

Utilizando los conceptos de dimensionamiento tenemos: σBC =T/A ≤ σ

→ 4(5000)/ π ø2 ≤ 4200/2 → ø ≥ 1.74cm


ø=

3/4″ →

ø= 1.905cm

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Capitulo I

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PROBLEMAS PROPUESTOS DE TENSIONES 1.1.- Un tubo de aluminio esta rígidamente sujeto entre una barra de bronce y una barra de acero. Según se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en las posiciones indicadas. Calcular el esfuerzo en cada material.

1.2.- Para la estructura mostrada en la figura determinar los esfuerzos de cada bloque. Donde: A1 = 2.5 cm2, A2 = 5 cm2 y A3 = 7 cm2

1.3.- Para la estructura mostrada en la figura determinar los esfuerzos de cada bloque. Para A1 = 2 cm2, A2 = 5 cm2 y A3 = 8 cm2.

1.4.- Todas las barras de la estructura articulada de la figura, tienen una sección de 30mm por 60mm. Determine la máxima carga que puede aplicarse sin que los esfuerzos no excedan en las barras AB, BC y AC de 100MPa, 80MPa y 60MPa

1.5.- Una columna de hierro fundido (o fundición) soporta una carga axial de compresión de 250kN. Determinar su diámetro interior si el exterior es de 200mm y el esfuerzo máximo no debe de exceder de 50MPa.

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Capitulo I

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1.6.- Dimensionar la barra AB sabiendo que σf =2600kg/cm2, con factor de seguridad de 2 en tracción y tiene un factor de seguridad de 3 en compresión, además tomar en cuenta que es de acero y de sección circular.

1.7.- A partir de la figura presentada. Calcular el diámetro del cable BC que soporta la barra AC, si σf =4200kg/cm2 con un factor de seguridad de 2.

1.8.- Sabiendo que la porción central del eslabón BD tiene una sección uniforme de 600 mm2, halle el esfuerzo de la porción BD, si la magnitud de la carga P = 40kN.de radio igual 1.4m.

1.9.- Sabiendo que la porción central del eslabón BD tiene una sección uniforme de 800mm2, halle la magnitud de la carga “P” para la cual el esfuerzo normal en esa porción de BD sea de 50MPa. 1.10.- Un soporte de madera escuadrada de 20 por 20cm descansa a través una placa de apoyo de acero de 30 por 30cm sobre una base de hormigón como se muestra en la figura. Determinar el valor de P si la tensión de compresión admisible en la madera es de 110kg/cm2 y en el hormigón de 50kg/cm 2. ¿Cual debe ser la dimensión d de apoyos de la base si la presión sobre el terreno no debe de exceder de 4kg/cm 2?

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Capitulo I

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1.11.- Para mover un camión se conectan dos cables en A y se estiran por medio de dos grúas colocadas en B y en C, como se muestra en la figura sabiendo que la tensión en cada cable es de 10 KN en AB y 7.5 KN en AC. Determinar la magnitud y la dirección de la resultante de las dos fuerzas que ejercen en A. Y dimensionar el cable AB si 2 σ =1050N/cm .

1.12.- Sabiendo que la tensión en los cables AB y AC es de 510Kg y 425Kg respectivamente. Determinar la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables y dimensionar los cables si: σ = 1050

Kg cm

2

1.13.- Calcular el diámetro de los 3 cables que se unen en un punto D y sostienen una carga de 5000kg. Como se ilustra en la figura. Si el esfuerzo admisible de trabajo para los cables es 1050kg/cm 2.

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Capitulo I

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1.14.- Cada uno de los cuatro eslabones verticales que conectan a los dos miembros horizontales tienen una sección transversal rectangular de 10 x 40mm y cada pasador, 14mm de diámetro. Calcule el máximo valor del esfuerzo normal medio causado por la carga de 24KN en los eslabones que conectan. a).- Los puntos B y E b).- Los puntos C y F.

1.15.- Un tren de aterrizaje de una avioneta. Determinar la tensión de compresión en el

terrapuntas AB producida en el aterrizaje por una reacción del terreno R=2000Kg. AB forma un Sol: 620Kg/cm2. ángulo de 530 con BC.

1.16.- La zapata de concreto que se muestra en la figura, esta cargada en su parte superior con una carga uniformemente distribuida de 20KN/m 2. Investigue el estado de esfuerzo en un nivel a 1m arriba de la base. El concreto tiene un peso específico de aproximadamente 25KN/m3. Sol: 28.8KN/m2.

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Capitulo II

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CAPITULO II TENSIÓN CORTANTE

---------------------------------------------------------------------------------------------------------2.1.- TENSIÓN CORTANTE SIMPLE La tensión cortante simple, a diferencia de la tensión de tracción y compresión, está producida por fuerzas que actúan paralelamente al plano que las soporta. La tensión cortante puede denominarse tensión tangencial. Los esfuerzos cortantes ocurren en pernos, pasadores y remaches usados para unir diversos elementos estructurales y componentes de la maquinas.

Considerándose por ejemplo los elementos Ay B unidos por un roblón ver (fig.2.1), si los elementos están sometidos a fuerzas de tensión, de magnitud P, se desarrollaran esfuerzos en la sección del remache que corresponde al plano de corte .

50


Capitulo II

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El esfuerzo cortante ( τ ) tau, se obtiene según la ecuación τ =

P ⎡ Kg ⎤ ver fig.2.2. A ⎢⎣ cm 2 ⎥⎦

Figura 2.2 Las unidades de medida son al igual que la tensión interna del capitulo 1

2.2.- TENSIÓN CORTANTE DOBLE Para desarrollar la ecuación de la cortante doble nos basamos en un pasador que esta sometido a una fuerza P.

Figura 2.3

Desde el punto de vista, se realiza un análisis sobre la ecuación de τ = F/A donde nuestro problema es calcular su equivalencia de la fuerza F. Σ Fx =0

→

P–F–F=0

→

P =2F

→

F = P/2

Sustituyendo esta última ecuación tenemos la siguiente expresión matemática que nos permite calcular el valor del esfuerzo cortante.

τ = P/2A

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Capitulo II

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Grafica del comportamiento de la tensión cortante ( τ ) Vs deformación unitaria ( γ ).

Figura 2.3 τ =

τ f = τ r n f n r

Para

n >n r

f

>1

2.3.- DIMENSIONAMIENTO Para efectos de dimensionamiento se realiza una generalización de la ecuación de la cortante de la forma siguiente.

τ

=

V/A

≤ τ

……………………………………………….. (2.1)

Donde:

“V“ es la fuerza cortante tangencial a la sección “A” es la sección critica de los remaches, pasadores y pernos. “ τ ” tensión cortante. “ τ ” tensión cortante admisible. PREGUNTAS SOBRE EL TEMA 1.- Cuales son las condiciones para aplicar la ecuación (2.1)? R.- Sección constante, la fuerza “V” tiene que ser tangencial al plano de corte, la tensión cortante de trabajo tiene que ser menor a la tensión admisible.

2.- Los pasadores se tienen que dimensionar a: Tracción o tensión cortante? R.- Tensión cortante. 3.- Por que los diámetros se tienen que normalizar? R.- Por que el resultado que se obtiene de los cálculos no existe en el mercado. 4.- Si sobre un remache actúa una reacción horizontal y otra vertical: cual se utiliza para dimensionar? R.- Ninguna de ellos, se tendrá que utilizar la resultante de las dos reacciones. 52


Capitulo II

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PROBLEMAS RESUELTOS DE TENSIONES CORTANTES PROBLEMA 2.1.- Determinar el esfuerzo cortante de una conexión, sea perno, pasador o remache de la siguiente, con una fuerza P = 40kN y un diámetro del pasador d=25 mm.

Solución. Aplicando la ecuación de la cortante tenemos: π 2 π 2 2 A= φ → A = * (25 mm ) → A = 490.87 mm 4 4 A = 490.87*10-6 m 2

τ =

P 2A

→ τ =

50000 2*490.87*10

-6

τ = 50.93MPa

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Capitulo II

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PROBLEMA 2.2.- La masa de la barra homogénea AB mostrada en la figura, es de 2000Kg, la masa esta apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie vertical lisa en A. Determine el diámetro mas pequeño que se puede usarse en B, si su esfuerzo cortante esta limitado por 60MPa.

Solución Como existe su masa de la barra entonces existirá un peso que va a actuar en el centro dicha barra.

∑ M

B

= 0 ⇒ 3 *19600 − H A * 8 = 0 ⇒ H A = 7350 N

∑ H

=0→

∑V

= 0 → 19600 + V B = 0 → V B = 19600 N

R =

− H

A

+

H

B

=0→

H

B

= 7350 N

7350 2 + 19200 2 → R = 20558.76 N

Dim en sion am ient o

τ =

R 2 A

≤ τ → 

20558.76 2

2π d

≤ 60 ∗ 10 6 → d = 14.9 m m

4

54


Capitulo II

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 2.3.- A partir de la fig.a presentada. Calcular el diámetro del pasador A que soporta la barra AC a cortante doble, si σf =4200kg/cm2 y τ f =0.5σf con un factor de seguridad de 2.

Solución.- En base a la fig.a b se tiene: Cos α = 4/5 del triangulo rectángulo ABC ΣM A=

0→ (-4TCosα)+5(3000Kg)=0 →-4T (3/5)+5(3000Kg)=0 → T = 6250Kg

ΣV

= 0→ VA + T Senα -3000 =0→VA = -2000Kg

ΣH

= 0→ H A – T*Cosα =0→HA = 3750Kg

2 2 R = 3750 + 2000 → R = 4250Kg

Utilizando los conceptos de la teoría tenemos τ =

R 2 A

≤ τ → τ = 

4250 2* πφ 2 4


≤ 1050 → φ ≥ 1.605cm

ø=

3/4″

→

ø= 1.905cm

55


Capitulo II

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 2.4.- Calcular el diámetro del perno que tiene que soportar la acción de las fuerzas axiales que se presentan en la fig.a, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos de 2 σf =4200kg/cm y un τ f =0.5 σf, con un factor de seguridad de 2

Solución Primero se tiene que realizar un diagrama de fuerzas, para determinar el valor de la fuerza cortante como se observa en la fig.b, de los cuatro placas solo se transforma en dos placas.

τ =

τ n

f

⇒τ =

0.5* 4200 2

⇒ τ = 1050 ∴τ =

F

C

A

≤τ →

4000 πφ 2 4

≤ 1050 → φ ≥ 2.2024 cm

Normalizando tenemos φ ≥ 2.202cm ⇒ φ = 1″ ⇒ φ = 2.54cm

PROBLEMA 2.5.- Calcular el diámetro del remache que tiene que soportar la acción de las fuerzas axiales, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos admisibles (2100Kg/cm 2 esfuerzo normal y un esfuerzo cortante admisible de 1050Kg/cm 2).

Solución: Realizando el diagrama de fuerzas se tiene que:

Se reduce a la siguiente figura:

τ =

V A

≤τ ⇒

4*2000 Kg πφ 2

≤ 1050

Kg cm 2

Normalizando Ø ≥ 1.557 cm ⇒ Ø =

⇒ φ ≥ 1.557 cm 3 ′′ 4

⇒ Ø = 1.905 cm

56


Capitulo II

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMAS PROPUESTOS DE TENSIONES CORTANTES 2.1.- Una polea de 750mm sometida a la acción de las fuerzas que indica la figura, esta montada mediante una cuña en un eje de 50mm de diámetro. Calcule el ancho b de la cuña si tiene 75mm de longitud y el esfuerzo cortante admisible es de 70MPa.

2.2.- Para un esfuerzo admisible de trabajo de

σ =2100Kg/cm y τ = 0.5σ . Calcule el 2

diámetro del remache.

2.3.- Para un esfuerzo admisible de trabajo de

σ =2100Kg/cm2 y τ = 0.5σ . Calcule el

diámetro del remache.

4.4.- Calcular el diámetro del remache que tiene que soportar la acción de las fuerzas axiales que se presentan en la figura adjunta, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos de 2 σf =4200kg/cm y un τ f =0.5 σf, con un factor de seguridad de 2.

2000Kg 4000Kg 3500Kg 1500Kg

57


Capitulo II

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.5.- A partir de la figura presentada. Calcular el diámetro del pasador A que soporta la barra AC a cortante simple, si σf =2100kg/cm2 y un τ f =0.5σf con un factor de seguridad de 3.

2.6.- Determinar la longitud “a” requerida en la estructura mostrada, considerando que el esfuerzo cortante de trabajo es de 350kg/cm 2. Las dimensiones de las barras es de 10*20cm y el ángulo que forman las barras con la horizontal es de 45 0 y P=3500Kg.

2.7.- Se aplican dos fuerzas a la pieza BCD, tal como se muestra en la figura. Calcular: a) El diámetro de la barra AB si el esfuerzo ultimo es de 600 MPa, con un factor de seguridad de 3. b) El diámetro del pasador C si el esfuerzo cortante ultimo es de 350 MPa, con el mismo factor de seguridad del anterior inciso. c) Determinar el espesor del soporte de la pieza en C, sabiendo que el esfuerzo de aplastamiento admisible es de 300 MPa.

58


Capitulo III

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

CAPITULO III ESFUERZO Y DEFORMACIÓN BAJO CARGA AXIAL

---------------------------------------------------------------------------------------------------------DETERNINACION DE LAS DEFORMACIONES ELASTICAS PRODUCIDAS POR CARGAS DE TRACCION Y COMPRESION 3.1.- INTRODUCION En el capitulo 1 se analizaron las tensiones debido a las cargas aplicadas a una estructura o maquina. En este capitulo se discutirá acerca de las deformaciones de un elemento estructural, tal como una barra o una platina sometida a carga axial. Primero se definirá deformación normal unitaria ε en el elemento como la del esfuerzo σ versos la deformación unitaria ε , a medida que la fuerza aplicada al elemento aumenta, se obtendrá un diagrama de esfuerzo – deformación para el material utilizado. De tal diagrama se pueden determinarse algunas propiedades importantes del material. Tales como su modulo de elasticidad y si el material es frágil o dúctil.

3.2.- DEFORMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL Sea una barra BC, de longitud L. y sección transversal A que esta suspendida de B (Fig.3.1.a). Si se aplica una fuerza P en el extremo C, la barra se alarga (fig.3.1.b).elaborando una grafica de la magnitud de P contra la deformación δ (delta), se obtiene un determinado diagrama de carga – deformación (fig.3.1.c)

59


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Se observa que si se produce un alargamiento δ en la barra BC por medio de la fue rza P. Se define deformación normal unitaria en una barra bajo carga axial como el alargamiento por unidad de longitud de dicha barra. Representado por ε (epsilon) se tiene. ε = δ/L ……………………………………………………………………. (3.1)

3.3.- COMPARACIÓN DE DIAGRAMAS DE DISTINTOS MATERIALES

3.4.- LEY DE HOOKE

Figura 3.2

La mayor parte de las estructuras se diseñan para sufrir pequeñas deformaciones, que involucran solo la parte lineal del diagrama esfuerzo – deformación. Para la parte inicial del diagrama anterior, el esfuerzo σ es directamente proporcional a la deformación ε y puede escribirse δ= FL/AE

→ (δ/L) = (F/A)(1/E) →

= σ(1/E)

ε

→σ

=E ε ………………(3.2)

Esta relación es la ley de Hooke, llamada así en honor del matemático Ingles Robert Hooke (1635 – 11703). El coeficiente E se llama modulo de elasticidad propio de cada material o también llamado modulo de Young en honor del científico Ingles Thomas Young (1773 – 1829). Como la deformación unitaria ε no tiene dimensiones, el modulo E se expresa en las mismas unidades del esfuerzo.

3.5.- DEFORMACIÓN TANGENCIAL

Las fuerzas cortantes producen una deformación angular, de la misma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales, pero con una diferencia fundamental. Un elemento sometido a tensión experimenta un alargamiento, mientras que un elemento a una fuerza cortante, no varia la longitud de sus lados, manifestándose por el contrario un cambio de forma de rectángulo a paralelogramo, como se observa en la figura 3.3.

Figura 3.3 60


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------δ δ ⇒ tan γ ≈ γ ⇒ γ = La ley de Hooke también es valida en la tan γ = L L cortadura, existe una relación lineal entre la deformación tangencial y la tensión cortante dada por. τ = Gγ ………………………………………………….(3.3)

δ

=

P * L *G

⇒ δ =τ

L G

⇒

δ L

=

τ G

∴τ = G *ε ……………….(3.4)

En donde G es el modulo de elasticidad de la cortante llamada” módulo de rigidez”. Existe otra relación de suma importancia entre las constantes G, E y μ (coeficiente de poisson) para un material dada. E G= ……………………………………………(3.5) 2(1 + μ )

3.6.- DIMENSIONAMIENTO A LA RIGIDEZ Para efectos de dimensionamiento se realiza una generalización de la ecuación de la rigidez llamada deformación de la siguiente manera.

δ=

FL/AE ≤ δ ………………………………………………………. (3.6)

Esta ecuación solo se aplica bajo las siguientes condiciones: 

La fuerza que actúa sobre la sección tiene que ser constante.



El material tiene que ser homogéneo.



La sección tiene que ser constante en toda la longitud.

3.7.- DIFERENCIAS DE LA GRAFICA DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN DE LOS METALES Y NO METALES

61


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Aplicando los conceptos de la ley de Hooke al punto 3.5 se tiene una grafica visualizada del comportamiento de la tensión cortante ( τ ) Vs deformación unitaria ( γ ).

Figura 3.5 τ

=

τ = τ n n f f

r

Para

n >n r

>1

r

3.8.- ECUACIONES PARA DEFORMACIONES TRANSVERSALES

ε X

=

ε Y

=

=

ε Y

=

=

ε Y

=

− μσ Y

E σ Y − μσ X E

−σ X − μσ Y

ε X

ε X

σ X

E σ Y + μσ X E

−σ X + μσ Y E −σ Y + μσ X E

+ μσ Y

ε X

=

σ X

ε Y

=

−σ Y − μσ X

E E

62


Capitulo III

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.9.- ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS SOBRE LOS MATERIALES (CUESTIONARIO) 1.- Cuando se dice que los materiales son dúctiles?

R.- Se dice que un material es dúctil cuando tiene deformaciones plásticas de gran magnitud antes de romperse.

2.- Cuando se dice que los materiales son frágiles?. R.- Ciertos materiales, como el hierro fundido, el acero rico en carbono y la mampostería, que presentan relativamente poca deformación plástica antes de fracturarse, se denominan frágiles.

3.- Que significa envejecimiento?. R.- El término envejecimiento se refiere a un cambio gradual en las propiedades de los materiales que pueden ocurrir con el tiempo. Estos cambios pueden suceder de manera más rápida a temperaturas elevadas. El envejecimiento puede ser parte del proceso normal de un material, como en el caso del curado del hormigón.

4.- Cuando se dice que un material es frágil? R.- Se dice que un material es frágil o quebradizo cuando se rompe o se fractura antes de presentar una deformación plástica significativa. La tiza es un material quebradizo muy conocido. Los materiales de mampostería, ladrillos, concreto y piedras- también son frágiles.

5.- Cuando se dice que un material es dúctil?. R.- Se dice que un material es dúctil si puede soportar una deformación plástica significativa antes de romperse. Un material que no es dúctil o maleable se denomina frágil.

6.- Que es la elasticidad? R.- La elasticidad es un modelo del comportamiento de los materiales y se basa en la presunción (sospecha) de que el esfuerzo es una función univoca de la deformación. Si se asume que el esfuerzo es una función lineal de la deformación, el modelo se denomina linealmente elástico. De lo contrario se llama elástico no lineal.

7.- Que es plasticidad? R.- La plasticidad de un modelo del comportamiento de los materiales con base en la presunción (sospecha) de que existe un esfuerzo de fluencia y que se puede desarrollar una deformación plástica o permanente cuando se alcanza el esfuerzo de fluencia. La relación entre el esfuerzo y la deformación plástica se denomina regla de flujo

63


Capitulo III

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMAS RESUELTOS DE ESFUERZO - DEFORMACIÓN

PROBLEMA 3.1.- A partir de la figura mostrada determinar, la deformación máxima de la sección circular: Si el σf =2100kg/cm2, con un factor de seguridad de 2 y E = 2.1 x 10 6kg/cm2.

Solución Se conoce todos los datos para hallar la deformación, al excepción de la sección, por lo tanto lo primero que se calculara el diámetro de la sección con la ecuación de esfuerzo.

σ=P/A ≤ σ

→ (5000Kg ÷ A) ≤ (2100 ÷2) → A ≥ 4.762 cm2

(π÷4)*(ø2) ≥ 4.762 cm 2

→ ø ≥ 2.46cm


ø= 1″ →

A = (π÷4)*(2.54)2

→

ø= 2.54cm

A = 5.067 cm2

Calculo de la deformación máxima

δ= FL/AE

→ δ= (5000 x 100) ÷ (5.067 x 2.1 x10 6) →

δ=

0.047cm.

64


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3.2.- Para el sistema que se muestra a continuación. Calcular la deformación total y el esfuerzo máximo .Considerando que A 1 = 1.5 cm2, E1 = 1.5 x 10 6kg/cm2 y A2 = 4 cm2, E2 = 2.1 x 10 6kg/cm2.

Solución

2

F= 5000Kg

Para solucionar este ejercicio se tiene que seguir los siguientes Pasos: 1.- Equilibrar el sistema con un R = 7000Kg. 2.- Realizar un diagrama de De esfuerzos internos. 3.- El esfuerzo máximo se presenta donde actúa la fuerza R

100cm

80cm 1

P=2000Kg Diagrama de esfuerzos internos de los bloques.

δ1= F1L1/A1E1

→ δ1= (2000 x 80) ÷ (1.5 x 1.5 x10 6) → δ1= 0.0711cm.

δ2 = F2L2/A2E2 δT= δ1 + δ2

→ δ2= (7000 x 100) ÷ (4 x 2.1 x10 6) → δ2= 0.0833cm.

→ δT=

0.0711 cm. + 0.0833 cm.

→

δT=

0.1544cm.

Calculo del esfuerzo máximo: R= 2000Kg+5000Kg → R=7000Kg

→ (7000 Kg÷ 4 cm2) →

σmax=R/A2

σmax=

1750 kg/cm

65


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3.3.- Un tubo de acero se encuentra rápidamente sujeto por un perno de aluminio y por otro de bronce, tal como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en los puntos indicados. Calcule la deformación total del sistema, sin que no exceda un esfuerzo de 80MPa en el aluminio, E al=70 GPa; de 150MPa en el acero Eac=200GPa y de 100MPa en el bronce E br =83 GPa.

Aluminio 200mm2

Bronce 500mm2

Acero 400mm2

P 1

2

3

1m 2m 2.5m

3P 2P Solución Como no se sabe que fuerza actúan sobre cada uno de los bloques se tendrá que realizar un diagrama de esfuerzos internos.

→ σal= (P ÷200 mm2) ≤ 80MPa → P≤ 16000 N σac=2P/Aac ≤ σ → σac= (2P ÷400 mm2) ≤ 15MPa → P≤ 30000 N σ br =P/A br ≤ σ → σ br = (4P ÷500 mm2) ≤ 100MPa → P≤ 12500 N σal=P/Aal ≤ σ

Por lo tanto el valor de P máximo del sistema es:

Pmáx = 12500 N

→ δal= (12500 x 1) ÷ (2*10 -4 x70*109) → δal= 0.08cm. δac = FacLac/AacEac → δac= (25000 x 2) ÷ (4*10 -4x200*109) → δac= 0.0625cm.

δal= FalLal/AalEal

δ br = F br L br /A br E br

→ δ br = (50000 x 2.5) ÷ (5*10 -4 x 83*109) → δ br = 0.3012cm.

La deformación total es la suma de todas las deformaciones δT= - δal + δac + δ br

→ δT=- 0.089 + 0.0625 + 0.3012 → δT= 0.2747cm.

66


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3.4.- Una varilla de acero de sección constante 300 mm 2 y un longitud de 150m, se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga P =29kN que suspende de su extremo inferior. Si su peso propio ( γ ) de la varilla es de 9000 N/m3 y E = 200 GPa. Calcular la deformación máxima de la varilla.

Como existe su peso propio de la varilla, no se puede aplicar la ecuación de la deformación (δ (δ= FL/AE), se tiene que realizar por integración.

Fy = P + W

→ Fy = P + γ V →

dδ= Fydy/AE

→

∫

δ

0

dδ

Fy = P + γ A y

L

= ∫0 〈 p + γ Ay 〉 dy / AE →

δT =

PL/AE + g L2/2E

δT= (29000 x150) ÷ (300*10 -6x 200*10 9) + (9000 x150 2) ÷ (2x 200*10 9)

δT=

0.073m.

67


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3.5.- A partir de la figura determinar, el diámetro de la barra de acero de 2 sección circular: si σ f = 2100 Kg / cm y δ = L / 1000 en cm con un factor de seguridad de 2 y E = 2.1*10 6 Kg / cm2

Por resistencia

σ=

P A

≤σ ⇒ Ø ≥

4 P

πσ

⇒ Ø ≥

8 (5000)

π ( 2100)

Ø ≥ 2.46 cm Por deformación

δ=

PL AE

≤ δ ⇒

(5000)(100 ) ⎛ π 2 ⎞⎟ ⎜⎜ Ø ⎟(2.1*10 6 ) ⎝⎜ 4 ⎠⎟

≤

100 1000

Ø ≥ 1.74 cm

Se escoge el mayor diámetro y se normaliza : Ø ≥ 2.46cm ⇒ sea Ø = 1′′ ⇒ φ = 2.54cm

PROBLEMA 3.6.- Halle la deformación de la barra de acero mostrada en la figura sometido bajo la acción de las cargas dadas E = 29*106 psi E = 29*106 psi

Solución: Realizando

un diagrama tenemos.

(60 *10 )(12) (15 *10 )(12) ( 30 *10 )(16) 3

δT = δ1 + δ 2 + δ3 ⇒ δT =

(0.9) E

3

−

(0.9) E

3

+

(0.3) E

δ T = 75.9 *10−3 u lg

68


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3.7.- Una barra cónica de sección circular esta suspendida verticalmente de longitud de 150m., el diámetro de la base es de 20 m., el modulo de elasticidad es de 2.1*106Kg./cm2. Con un peso propio de 18000Kg./m 3. ¿Calcular el alargamiento de la barra?

Deformación d δ = A x

Py dy A x E

= Es variable

Carga debida al peso propio Volumen del cono Area es A x

Vx

=

Py π 3

= γ *V x

r x y ⇒ Py 2

= π r

2 x

l

0

0

3

2 x

( (π / 3) γ r y )d y γ ⇒ δ = 3 E ∫ ∫ d δ = ∫ (π r ) E δ

π

= γ r x2 y

2 x

l

0

dy

⇒ δ = 3.214*10−6 mm 2

δ

( 0.018 ) (1.5 ) = ⇒ δ = 3.214*10−6 6 ( 6 ) ( 2.1*10 )

PROBLEMA 3.8.- Una placa de acero delgada tiene la forma trapezoidal de espesor de 12mm, y varia unifórmenle desde un ancho de 50mm.hasta 100mm.con una longitud de 450mm, lo cual esta aplicada con una carga axial de 5 toneladas. Calcular la deformación de la placa para un E=2.1*10 6kg/cm2.

Solución. 5 − 2.5 Y − 2.5 2.5 x + 2.5 = ⇒Y = x

45

x

A x

= e ( 2Y ) ⇒

45 Ax = 2eY

= 2 *1.2Y ⇒ Ax =

Δδ = δ =

Pdx A x E

P E

δ

6 45 l

⇒ ∫0 Δδ = ∫0

45

x +6 Pd x

( ( 6 / 45) x + 6 ) E

dx

∫ ( ( 6 x / 45) + 6) .........Integrando 0

⎡ 45 ⎛ 6 x ⎞ 45 ⎤ δ = ⎢ ln ⎜ + 6 ⎟ ⎥ 6 2.1*10 ⎢ 6 ⎝ 45 ⎠ 0 ⎥⎦ ⎣ 5000

δ =

5000 45

⎡ln (12 ) − ln ( 6 ) ⎤⎦ 2.1*106 6 ⎣ 5000*45 δ = ln ( 2 ) ⇒ δ = 0.124 mm 6 2.1*10

69


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3.9.- Para el sistema que se muestra a continuación ¿calcular la deformación total y el esfuerzo normal máximo?

= 2 *106 kg / cm 2 γ 2 = 85000 kg / m3 σ 2 = 1050 kg / cm 2 E2 = 1.8 *106 kg / cm 2 3 γ 3 = 90000 kg / m σ 3 = 2100 kg / cm 2 E2 = 1.5 *106 kg / cm 2 E1

Solución. σ3

P3

=

A3

⇒ σ 3 =

2000 + 7.65 A3 A3

π

≤ 2100 ⇒ Ø3 ≥ 1.103 cm ⇒ Ø3 =

1 ′′ 2

π

2 2 2 A3 = *φ ⇒ A3 = * (1.27) ⇒ A3 = 1.2667cm

σ2

=

4 P2

A2

⇒ σ 2 =

4 3509.69 + 6.8 A2 A2

≤ 1050 ⇒ Ø2 ≥ 2.07 cm ⇒ Ø2 = 1"

π π A = 4 *φ ⇒ A = 4 * (1.54) ⇒ A = 1.86265cm 2

2

2

2

2

2

D = 2 ( 50 tan 2 ) + 2.54 ⇒ D = 6.032 cm ⇒ D = 2 5 8 " π

2

∴ Amax = ( 6.6675 ) ⇒ Amax = 34.915 cm2 σ max

=

4 R

Amax

⇒ σ max =

61522.36 34.915 cm

2

⇒ σ max = 1762.06 kg / cm2

Cálculo de deformaciones δ1

=

4 RL1 π E1DØ2

;

δ 2

=

P2 L2 A2E 2

; δ 3

=

P3 L3 A3E 3

δ T = δ1 + δ 2 + δ 3 δ T =

( 4 ) ( 61544.15 ) (50 ) (3544.15 ) (80 ) (2009.69 ) (85 ) + + ⇒ π ( 2 *10 6 ) ( 6.6675 ) ( 2.54 ) (1.86265 ) (1.8 *10 6 ) (1.2667 ) (1.5 *10 6 )

δ T = 0.21cm

70


Capitulo III

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS I NDETERMINADOS

PROBLEMA 3.10.- Para el sistema que se muestra, calcular los esfuerzos normales en las barras elásticas (E=constante)

……………………………………………………………………………………………. Solución. ΣM A = 0 ⇒ −2aT 2 − 4aT 1 + 2qa 2 + 30a (3a ) = 0 2T2 + 4T1 = 2qa + 90a 2T2 + 4T 1 = 2 (15)(1) + 90 (1) T2 + 2T 1 = 60........(1) Análisis por deformación

δ2 2a

=

δ 1 4a

⇒ δ1 = 2δ 2

(T1 )( )(6a ) (2)(T2 )(4a ) = (2) E (1) E Análisis de la deformación de la barra

8 T1 = T 2 .... ...... .... .... .... ..( 2) 3 Sustitu Sustituye yendo ndo

(2) en (1)

⎛8 ⎞ T2 + 2 ⎜⎜ T2 ⎟⎟⎟ = 60 ⇒ T2 = 9.47 K N ⎝⎜ 3 ⎠ T1 = 25.25 K N

Cálculo de los esfuerzos T 25.25 KN ⇒ σ1 = 12.625 KN / cm 2 σ1 = 1 ⇒ σ1 = 2 A1 2 cm σ2 =

T2 A2

⇒ σ2 =

9.47 KN 2 1 cm

⇒ σ 2 = 9.47 KN / cm 2

71


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3.11.- La barra representada en la figura esta firmemente empotrada en sus extremos. Determinar los esfuerzos en cada material.

……………………………………………………………………………………………. Solución :

∑Fx=0 ⇒ R 1+R 2=200KN………………………………………. (1) Por deformaciones se tiene δT=0

⇒ δaluminio - δacero = 0 ⇒ δaluminio= δacero

R ( 20) ( R1 )(30) = 2 ⇒ R1 = 2.54R2 ..........................................................( 2) (1200)( 200) (900)( 70) Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se tiene R1 = 143.5024 KN R2 = 56.497 K N Cálculo de los esfuerzos

σalum =

R2

σalum =

⇒

A 56.497 KN −

900*10 3 m2

⇒ σalum = 62.8 Pa

R σ acero = 1 ⇒ A 143.5024 ⇒ σacero = 120 Pa σacero = −6 1200*10

72


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3.12.- Barra rígida BDE se apoya en dos conectores AB y CD. El conector AB es de aluminio de 70 GPa con 500 mm 2, el conector CD es de acero de 200GPa con 600 mm 2, para cierta carga. Hallar la deformación en el punto E

Se considera momento positivo en el sentido Horario Σ

B

= 0 ⇒ − 0.2 R1 + 0.6 (30 ) = 0 ⇒ R1 = 90 KN

Σ

D

= 0 ⇒ 0.2 R + 0.4 (30) = 0 ⇒ R = −60 KN

Cálculo de deformaciones Barra:AB ⇒ δ1 =

RL AE

⇒ δ 1 =

(60 )(300)

(70 *10 )(500 *10 ) −6

9

δ 1 = 0.514mm Barra:CD ⇒ δ2 =

RL AE

⇒ δ 2 =

(90000)( 0.4)

(200 *10 )( 600 *10− ) 9

6

δ 2 = 0.3mm 0.514 200 − x δ e 400 + x

= =

0.3

⇒ x = 73.71mm

x 0.3

73.71

⇒ δ e = 1.928mm

PROBLEMA 3.13.- Para el sistema mostrado las barras achuradas son rígidas. Calcular el desplazamiento vertical del punto C.

El punto C tiene una fuerza F figtisia que actua ambos lados

En el tramo CD ΣMD =0 ⇒ -2( 50) + 4 F = 0 ⇒ F = 25 KN En el tramo AC

ΣM A = 0

3T + 4.5F = 0 ⇒ T = 37.5K N 4.5 ⎛⎜ 37500 ⎞⎛ 3 δ δ C ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎞ = ⇒ δ C = ⎜⎜ ⎟⎜ 200 *109 ⎟⎠ 3 4.5 3 ⎝ 300 *10−6 ⎠⎝

δ C = 2.81mm

73


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3.14.- Los conectores BC y DE son de acero (E=29*10 6 psi) y tienen ½ pulg. de ancho y 1/4 pulg. de espesor. Halle la fuerza en cada conector cuando se aplica una fuerza P =600 lb.al elemento rígido AF, Calcular también la deformación en el punto A Σ M F = 0 ⇒ −4 R − 2 R1 + 8 P ⇒ 2 R + R1 = 2400......(1) Por deformaciones δ 4

=

R =

δ 1 2 5 2

⇒ δ = 2δ 1 ⇒

4

=

δ A 2

AE

R1 .........(2)

⇒ R1 = 400lb δ

R ( 4)

=

2 R1 (5)

AE

Resolviendo (1) y (2 )

R = 1000lb

⇒ δ A = 2δ ⇒ δ A =

( 2)(1000)(4) ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜⎜ * ⎟(29 *106 ) ⎜⎝ 2 4 ⎠⎟

−3 δ A = 2.21*10 pu lg

PROBLEMA 3.15.- Para el sistema que se muestra, calcular el desplazamiento del punto A. todos los módulos son iguales y las secciones también son iguales de 2 cm 2 y E=2.1*106kg/cm2.

ΣFV = 0 ⇒ R − 5000 − (50 ) (3 2 ) = 0 ⇒ R = 5212.132 k g Para el nodo B y A se trata de fuerzas concurrentes

ΣFy = 0 ⇒ T1 =

R 2 sen 45

⇒ T 1 = 3685.534 kg T2

Del gráfico de tiene δ 3

=

= 3535.534 k g

δ1 cos 45

y δ 4

=

δ 1 cos 45

⎡ ( 3685.534 ) + 3535.534 ⎤ ⎢ ⎥ ⇒ δ A = 0.0073 cm δ A = 6 cos45 ⎢ ( 2 ) ( 2.1*10 ) ⎥⎦ ⎣ δ A = 0.073 mm 1*3

74


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 3.16.- Un miembro compuesto de 3 barras prismáticas es comprimido por una carga P a cierta distancia X. Se pide calcular el valor de P y el valor de X, a partir de la siguiente figura.

= 2.1*10 6 kg / cm 2 E2 = 7 *105 kg / cm 2 E3 = 1.4*10 6 kg / cm 2 L1 = L2 = L3 σ 1 = 1400 kg / cm 2 σ 2 = 700 kg / cm 2 σ 3 = 1050 kg / cm 2 x = ? P = ? E1

⇒ ΣFy = 0 ⇒ P = R1 + R2 + R3................ (1) 1.5 R1 + 5.5 R2 + 9 R3 Σ M A = 0 ⇒ −1.5 R1 − 5.5 R2 − 9 R3 + xP = 0 ⇒ x = ............ (2 ) Por equilibrio esático

P

Por deformaciones se tiene qué δ1 R1l

∴δ1 = δ 2 ⇒ δ1 = δ 3 ⇒ Como σ 1

(15) ( 2.1*10 6 ) R1l

=

=

R2l

( 25 ) (7 *10 6 )

R3l

R1 A1

≤ σ 1 ⇒ R1 = A1σ 1 ⇒ R1 = (15 cm 2 ) (1400 ) kg / cm 2 ⇒ R1 = 21000 kg

Sustituyendo R 1 = 21000 en ( 3) Verificamos σ 2

=

Sustituyamos R 1 Verificamos

∴

⇒ R1 = 1.8 R2 .......... (3 )

⇒ R1 = 2.25R3 ………………….(4)

(15 )( 2.1) (10 )(1.4) =

= δ 2 = δ 3

R2 A2

≤ σ 2 ⇒

⇒ R2 =

11666.67 25

21000

=

R3 A3

≤ σ 3 ⇒

9333.33 10

⇒

R2=11666.67Kg

≤ 700 ⇒ 466.67 ≤ 700........ ok .

= 21000 en ( 4 ) ⇒ R3 =

σ3

1.8

21000 2.25

⇒ R3 = 9333.33 k g

≤ 1050 ⇒ 933.33 ≤ 1050.............ok !

P = R1 + R2

+ R3 ⇒ P = 21000 +11666.67 + 9333.33 ⇒ P = 42000 kg (1.5 )( 21000 ) + (5.5 )(11666.67 ) + (9 )(9333.33 ) = ⇒ x = 4.28 cm 42000

75


Capitulo III

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMAS PROPUESTOS DE ESFUERZO - DEFORMACIÓN

3.1.- Una barra cónica de sección circular esta suspendida verticalmente de longitud de 150m, el diámetro de la base es de 20mm, E = 1.5 x 10 6kg/cm2.con un peso propio de 200000Kg/m3.Calcular el alargamiento de la barra.

3.2.- Una barra prismática de longitud L, sección transversal A, se suspende verticalmente de un extremo. Llamando M a su masa total, calcular la deformación de la barra.

3.3.- Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varia linealmente desde D de un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento que le producirá una fuerza P de tensión.

3.4.- Una barra de sección circular que varia linealmente desde un diámetro “D” en un extremo hasta otro menor “d” en el opuesto, se suspende verticalmente de su extremo mas ancho. Si la densidad del material es” ρ ”, determinar el alargamiento debido a su peso propio. Aplicar el resultado a la deformación del alargamiento de un sólido de forma cónica suspendido de su base.

3.5.- A partir de la figura mostrada determinar, la deformación máxima de la sección circular: Si el σf =2100kg/cm2, con un factor de seguridad de 2 y E = 2.1 x 10 6kg/cm2.

3.6.- Para el sistema que se muestra a continuación. Calcular la deformación total y el esfuerzo máximo .Considerando que A 1 = 1.6 cm 2, E1 = 1.5 x 10 6kg/cm2 y A2 = 4 cm2, E2 = 2.1 x 10 6kg/cm2.

76


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.7.- Un tubo de acero se encuentra rápidamente sujeto por un perno de aluminio y por otro de bronce, tal como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en los puntos indicados. Calcule la deformación total del sistema, sin que no exceda un esfuerzo de 180MPa en el aluminio, E al=70 GPa; de 150MPa en el acero E ac=200GPa y de 100MPa en el bronce E br =83GPa.

3.8.-Una varilla de acero de sección constante 300mm 2 y un longitud de 120m, se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de P = 30kN que suspende de su extremo inferior. Si su peso propio ( γ ) de la varilla es de 90000 N/m 3 y E = 200 GPa. Calcular la deformación máxima de la varilla.

3.9.- Calcular el esfuerzo máximo y la deformación máxima del bloque que se muestra a continuación. q = 8000 kg / m L = 100 cm

= 1.5*10 6 kg / cm 2 A = 10 cm 2 σ max = ? δ max =

E

3.10.- Dos bloque están suspendidas como se muestra en la figura, donde A 1 = 1.6cm2,

E1= 1*106kg/cm2y A2=2.5 cm2, E2= 2*106kg/cm2. Calcular los esfuerzos de ambos bloques.

77


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.11.-Tres bloques están unidos como se muestra en la figura. Don de los esfuerzos admisibles de trabajos son: σ1 = 120MPa, con E1= 83GPa, σ2 = 140MPa, con E2 = 200GPa y σ3 = 80MPa, con E 3 = 70GPa. Determinar la deformación total.

3.12.- Dos barras de acero idénticas están unidas por medio de un pasador y soportan una carga de 50000Kg, como se muestra en la figura. Halle la sección de las barras necesaria para que la tensión normal en ellas no sea mayor de σf =1200kg/cm2.Hallar también el desplazamiento vertical del punto B para E= 2.1*10 6kg/cm2.

3.13.- La armadura de la figura que soporta las cargas de 30KN y 70KN con un esfuerzo de trabajo de σt=1200kg/cm2, determinar la sección necesaria de las barras DE y AC. Hallar el alargamiento de la barra DC en toda su longitud de 6m. Cuyo modulo de elasticidad es de E= 2.1*10 6kg/cm2.

3.14.- Para la barra rígida BDE se apoya en dos conectores de aluminio AB y CD. Con 70GPa y tienen una sección de 600 mm 2, halle la mayor carga P que puede suspenderse del punto E, si la deformación en ese punto no debe de pasar de 0.004m.

78


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.15.- Un tornillo de acero que sujeta, mediante unas arandelas y tuerca, un tuvo o manguito de bronce. El paso del tornillo es de 0.80mm, la sección recta del tubo de bronce es de 900mm2 y la del tornillo de acero es de 450mm 2. se aprieta la tuerca hasta conseguir en el manguito de bronce un esfuerzo de compresión de 30MPa . Determinar el esfuerzo del bronce si a continuación se le da a la tuerca una vuelta más. ¿Cuantas vueltas habrá que dar ahora en sentido contrario para reducir tal esfuerzo a cero?

3.16.- Las fundiciones rígidas A y B están conectadas por dos pernos CD y GH de acero con diámetro de

3 4

“y están en contacto con los extremos de una barra de aluminio EF

con diámetros de 1.5 pulg. Cada perno tiene rosca simple con un paso de 0.1 pulg. Y después de colocadas, las tuercas en D y H se aprietan un cuarto de vuelta. Sabiendo que el Eac = 29*106 psi y Eal = 10.1*106 psi, halle el esfuerzo normal en la barra.

3.17.- Una varilla esta formada de tres partes distintas, como se indica en la figura, y soporta unas fuerzas axiales de P1= 5000Kg y P 2= 2000Kg. Determinar los esfuerzos en cada material si los extremos están firmemente empotrados en unos muros rígidos e indeformables. Para lo cual se conoce: A 1 =2A2=3 A3, L1 =L2=L3, E1=1.2*105kg/cm2, E2=1.8*105kg/cm2 E3= 2.1*10 6kg/cm2 y el diámetro de la barra tres es de 1cm.

3.18.- Una varilla esta formada de tres partes distintas, como se indica en la figura, y soporta unas fuerzas axiales de P1= 5000Kg y P 2= 2000Kg. Determinar los diámetros en cada material si los extremos están firmemente empotrados en unos muros rígidos e indeformables. Para lo cual se conoce: A 1 =2A2=3 A3, L1 =L2=L3, E1=1.2*105kg/cm2, E2=1.8*105kg/cm2 E3= 2.1*10 6kg/cm2 y los esfuerzos admisibles son: σ1=600kg/cm2, σ2=800kg/cm2 y σ2=1200kg/cm2.

79


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.19.- Un miembro compuesto de tres bloques prismáticos es comprimido por una carga P a cierta distancia X. se pide calcular el valor de dicha carga P y la distancia X con los siguientes datos: E1=2.1*106kg/cm2, E2=7*105kg/cm2 y E3= 1.4*106kg/cm2 y los esfuerzos admisibles son: σ1=2100kg/cm2, σ3=700kg/cm2 y σ2=1050kg/cm2.

3.20.- Para la figura mostrada: Calcular el diámetro de los cables 1 y 2, para ello se tiene que A2=2.25A1, E1=0.7 E2 y los esfuerzos admisibles son: σ1=1100kg/cm2 y σ2=1050kg/cm2.

3.21.-Calcular el alargamiento producido en la barra AB debido a la fuerza centrifuga en el momento en que el esfuerzo unitario máximo de tracción es de 1000kg/cm 2, E=2*106kg/cm2, en sección recta y un peso especifico de 8kg/dm 3.

3.22.- Una barra de longitud L, sección transversal de área A1 y modulo de elasticidad E1, ha sido colocado en el interior de un tubo de igual longitud L pero de área A 2 y modulo E2 (ver la figura). ¿Cual es la deformación de la barra y del tubo cuando se ejerce una fuerza P sobre la platina rígida del extremo, si A1=2.5A2 y E1=1.6E2.

80


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.23.- Un bloque completamente rígido de masa M se apoya en tres varillas situadas en un mismo plano, como indica la figura. Calcular el valor máximo de M.

Cobre

Acero

L=160 mm

L=240 mm

A=900 mm2

A = 1200mm 2

= 120GPa σ = 70 Pa

E

E

= 200GP a σ = 140 Pa

3.24.- Para la figura mostrada: Calcular el diámetro de los cables 1 y 2, para ello se tiene que A2=1.5A1, E1=0.7 E2 y los esfuerzos admisibles son: σ 1=1100kg/cm2 y σ 2=1050kg/cm2.

3.25.- Hallar las dimensiones de los dos cables y el diámetro del pasador B, para lo cual tiene que cumplirse las condiciones dadas a continuación. Los cables son del mismo material. Dimensionar los cables Ø 1 = ?

=? 2 σ = 1050 kg / cm τ = 0.5σ A1 = 2 A2 Ø 2

Pasador: σ = 2100 kg / cm 2

= 0.5σ Ø = ?

τ

81


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.26.- Para el sistema mostrado en la figura, determinar el alargamiento de la articulación B. ACB=5cm2, ECB=1.1 x 10 6Kg/cm2, ABA=20cm2, EBA=2 x 106Kg/cm2.

3.27.- Una varilla de cobre se introduce en un cilindro hueco de aluminio. La varilla sobresale 0.0275mm, como se indica en la figura. Determinar la carga máxima P que se puede aplicar al conjunto por intermedio de la placa de apoyo con los datos que se especifican seguidamente. Cobre: 12mm2, E=12 x 10 5Kg/cm2 y σ =1400Kg/cm2. Aluminio: 20mm2, E=7 x 10 5Kg/cm2 y σ =750Kg/cm2.

3.28.- Una viga perfectamente rígida esta articulada en un extremo y suspendida de dos varillas de igual sección y material, pero de distinta longitud, como se indica en la figura. Determinar la fuerza de tracción en cada varilla si W=3300Kg.

3.29.- Una barra de L= 45cm de longitud y de 16mm de diámetro, hecha de material homogéneo e isotropito, se alarga 300μm y su diámetro decrece 2.4μm al ser sometido a una fuerza axial de 12kN. Calcular el modulo de elasticidad y la relación del modulo de poisson del material.

82


Capitulo III

---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.30.- Tres varillas, situadas en un mismo plano, soportan conjuntamente una fuerza de 1000Kg, como se indica en la figura. Suponiendo que antes de aplicar la carga ninguna de las tres estaba ni floja, ni con tensión. Determinar las tensiones que aparecen en cada una. Eacero=2.1 x 106Kg/cm2 y E bronce=8.4 x 105Kg/cm2.

3.31.- Cada uno de los cuatro eslabones verticales que unen los dos elementos horizontales esta hecho de aluminio (E=70GPa) y tienen una sección uniforme rectangular de 10 x 40mm. Para la carga mostrada, halle los desplazamientos: a) del punto E, b) del punto F, c) del punto G.

3.32.- Los extremos inferiores de las barras de la figura, están al mismo nivel antes de colgar de ellas un bloque rígido que pesa 20000Kg. Las barras de acero tienen una sección de 6cm2 y Eacero=2.1 x 106Kg/cm2. La barra de bronce tiene una sección de 9cm 2 y E bronce=8.4 x 10 5Kg/cm2. Determinar la tensión en las tres barras.

83


Capitulo IV

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CAPITULO IV VARIACIÓN DE TENSIONES INTERNAS ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.1.- INTRODUCCIÓN

Las variaciones de los esfuerzos internos se basan en un concepto muy importante que es el circulo de Mohr , las ecuaciones obtenidas de la transformación de un esfuerzo en el plano lo introdujo el ingeniero alemán Otto Mohr (1835 – 1918) y se conoce como Circulo de Mohr para esfuerzo plano.

4.2.- ESFUERZO EN UN PUNTO Se define esfuerzo en un punto por las componentes que actúan en varias direcciones en el espacio, se puede representar por los esfuerzos que actúan en varias direcciones sobre un elemento diferencial de volumen que rodea el punto considerado. Cuyos esfuerzos se denotaran σ x ,σ y y τ xy . Pero además existen tensiones máximas y mínimas, como también cortante máximo. Para su determinación existen dos métodos que son: el método grafico y el método analítico.

4.3.- MÉTODO GRÁFICO PARA SU DETERMINACION DE LAS TENSIONES MÁXIMAS

84


Capitulo IV

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Del capitulo 1 recordemos σ X =

Cosα =

σ

N

A A′

⇒ A′ =

A

P A

y Sen2α = 2 * Senα * Cosα

Como el esfuerzo S =

Cosα P * Cosα * Cosα

= S * Cosα ⇒ σ N =

τ = S * Senα ⇒ τ =

A

P * Cosα * Senα

⇒σ

N

⇒ τ = σ X

P A′

⇒ S =

P * Cosα A

= σ X Cos 2α …………(4.1) * Sen2α

………………(4.2) 2 A Del estudio de la trigonometría nosotros recordamos que las identidades trigonometricas tenemos que: Cos 2α = Cos 2α − Sen 2α ………………………………………………….. (4.3) Sen 2α + Cos 2α = 1 ……………………………………………………….. (4.4) Cos 2α + 1 Combinando las ecuaciones (4.3) y (4.4) tenemos Cos 2α = ….. (4.5) 2 σ σ * Cos 2α ⇒ Sustituyendo la ecuación (4.5) en (4.1) tenemos σ N = X + X 2 2

σ N −

σ X =

σ X * Cos2α

2

2

2

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒ ⎜σ N − σ X ⎟ = ⎜ σ X ⎟ * Cos 2 2α …….…. (4.6) 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ 2

⎛ ⎞ De la ecuación (4.2) tenemos τ 2 = ⎜ σ X ⎟ * Sen2 2α ………………………(4.7) ⎝ 2 ⎠ Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (4.6) + (4.7) tenemos 2

2

2

2

⎛ σ X ⎞⎟ + τ 2 = ⎛⎜ σ X ⎞⎟ * ( Sen 2 2α + Cos 2 2α ) Según la ecuación (4.4) se tiene ⎜σ N − 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜σ − σ X ⎟ + τ 2 = ⎜ σ X ⎟ que es exactamente la ecuación de una circunferencia de ⎜ N 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ σ ⎞ σ centro ⎜ X ;0 ⎟ y de radio R = X ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ Graficando tenemos una circunferencia con radio R dada.

σ = σ X 1

⇒

σ

max

Existe un esfuerzo máximo, al igual que la cortante máxima.

85


Capitulo IV

---------------------------------------------------------------------------------------------------------El círculo de Mohr permite determinar las componentes del esfuerzo en términos de un sistema de coordenadas, haciendo girar a través de un ángulo especifico. Uno se puede preguntar por que se analiza este método en una época cuando las computadoras hacen que la mayoría de los métodos gráficos parezcan obsoletos. La razón es que el Círculo de Mohr permite visualizar las soluciones de las dos ecuaciones y además permite entender sus propiedades, hasta un punto que no es posible con otros enfoques.

4.4.- COMO SE USA EL CÍRCULO DE MOHR Y LUEGO COMO FUNCIONA Supóngase que se conocen las componentes ( σx, σy ,τ xy ) y se quiere determinar los esfuerzos máximos (σ1) y mínimos (σ2) al igual que la cortante máxima ( τ max ) se tendrá que seguir los siguientes pasos:

Paso 1.- Establecer un sistema de ejes horizontal y vertical con esfuerzos normal medido a lo largo del eje horizontal y el esfuerzo cortante medido a lo largo del eje vertical. El esfuerzo normal positivo se mide a la derecha y el esfuerzo cortante positivo se mide según el sentido de las manecillas del reloj.

Paso 2.- Se grafican dos puntos de coordenadas ( σx; τ xy ) y (σy; τ yx ). Paso 3.- Se dibuja una línea recta que conecte los dos puntos, la intersección de dicha línea con el eje horizontal (eje de esfuerzos) genera el centro del círculo (σ0). Se traza el círculo con centro (σ0) y que además pase por los puntos ( σx; τ xy ) y (σy; τ yx ).

Paso 4.- Se ubica los ejes (x; y) dependiendo las coordenadas de los esfuerzos, la abertura entre el eje horizontal de esfuerzos y los ejes (x;y) será 2α y el complemento con la línea de cortante máximo será de 2 β .

Paso 5.- Se busca los esfuerzos máximos (σ1) y mínimos (σ2) al igual que la cortante máxima (τ max ), las direcciones de los planos principales α y β

4.5.- DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DE CÍRCULO DE MOHR Considerando un elemento diferencial de una sección cualquiera, además que uno de los esfuerzos es mayor que el otro tenemos ( σx> σy).

86


Capitulo IV

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Aplicando los 5 pasos mencionados anteriormente se tiene la grafica completa.

Con referencia a la grafica del círculo de mohr se tiene las ecuaciones generales de los esfuerzos máximos y mínimos.

σ X + σ Y = σ 0

Centro de la circunferencia

2

σ = σ + R ⇒ σ 1

0

σ = σ 2

0

+ σ σ = X

1

Y

2

+ = σ X σ Y −

− R ⇒ σ 2

2

+

2

⎛ σ X − σ Y ⎞ ⎜ ⎟ + (τ )2 …………….(4.8) XY ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2

⎛ σ X − σ Y ⎞ ⎜ ⎟ + (τ )2 …………………..…(4.9) XY ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2

max

= R

Tan 2α =

⇒

τ

max

2 *τ XY

(σ − σ ) X

=

⎛ σ X − σ Y ⎞ ⎜ ⎟ + (τ )2 ………………………………(4.10) XY ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

⇔

2α + 2β = 90 0 …………………………………….(4.11)

Y

PARA DIMENSIONAMIENTO = σ1 ≤ σ ………………………………………………………………………(4.12) τmax= R ≤ τ ……………………………………………………………………..…(4.13) σmax

Plano de esfuerzos máximos Siempre “ τ = 0 ”

Plano de cortantes máximos No siempre “ σ = 0 ”

87


Capitulo IV

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PREGUNTAS TEORICAS PARA EL ESTUDIANTE

1.-Cual es el rango que de valores de coeficiente de poisson ( μ )? R.- El rango de Valores es de 0< μ <1/2 para cualquier material de ingeniería. 2.- Que valores mas corrientes de ( μ ) se suele utilizar para el acero? R.- Los valores que se utiliza son de 0.25 a 0.30 3.- Para que sirve el circulo de Mohr? R.- Para visualizar las soluciones de las ecuaciones (4.8), (4.9), (4.10) y (4.11).A demás permite entender sus planos principales.

4.- En los planos principales de los esfuerzo, cual es el valor máximo de la tensión cortante? R.- Su valor máximo es siempre cero (0). 5.- En los planos principales de las tensiones cortantes máximas, el valor de la tensión es cero? R.- No siempre es cero (0), por que existe tensión normal que es el centro de la circunferencia.

6.- Para dimensionamiento a la resistencia, que ecuaciones se tiene que utilizar? R.- Siempre se tiene que dimensionar con las tensiones máximas: en este caso con las ecuaciones (4.12) y (4.13).

7.- Que tensión soportan mas los materiales frágiles? R.- Soportan más a la compresión 8.- Que tensión soportan menos los materiales frágiles? R.- Soportan menos a la tracción. 9.- Que tensión soportan mas los materiales dúctiles? R.- Soportan más a la compresión. 10.- Que tensión soportan menos los materiales dúctiles? R.- Soportan menos a la tensión cortante.

88


Capitulo IV

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CÍRCULO DE MORH

PROBLEMA 4.1.- Para el elemento mostrado en la figura. Determinar: a).- Los esfuerzos máximos, esfuerzos mínimos y la cortante máximo. b).- Dibujar el gran circulo de morh. c).- Dibujar los planos principales de esfuerzos y cortantes máximos

a).- Los esfuerzos máximos, esfuerzos mínimos y la cortante máximo ⎛ σ X + σ Y ⎞ = σ max ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎝ ⎠

2

⎛ σ X − σ Y ⎞ ⎜ ⎟ + (τ )2 XY ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2

⎛ 5000 + 3000 ⎞ ⎛ 5000 − 3000 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + (1000 ) ⇒ σ max = 4000 + 1414.21 σ max ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠

σ

max

= 5414.21

Kg cm 2 2

⎛ 5000 + 3000 ⎞ ⎛ 5000 − 3000 ⎞ 2 1000 = − + ( ) ⇒ σ max = 4000 − 1414.21 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ min ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠

σ max = 2585.79

Kg cm 2 2

2 ⎛ σ X − σ Y ⎞ 5000 − 3000 ⎞ 2 ⎛ 2 ⎟ + (1000 ) ⇒ τ max = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + (τ XY ) ⇒ τ max = ⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠

= 1414.21 max

τ

Kg cm 2

Determinación de las direcciones de los planos α y β

Sen2α =

τ XY ⇒ Sen2α = R

1000 1414.21

⇒ α = 22.5 0

2α + 2 β = 90 0 ⇒ 2 * 22.5 0 + 2 β = 90 0 ⇒ β = 22.5 0

89


Capitulo IV

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b).- Dibujo del circulo de morh

c).- Dibujo de los planos principales de esfuerzos y cortantes máximos

Plano de esfuerzos máximos

Plano de cortantes máximos

90


Capitulo IV

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PROBLEMA 4.2.- El estado de esfuerzos mostrados en el plano ocurre en un punto

critico de una maquina. Como resultado de varias pruebas de tensión tal como se muestra en la figura, Calcular el factor de seguridad si el esfuerzo cortante a la fluencia es de 125MPa.

n=

τ f τ max

n : Factor de seguridad 2

τ max = R ⇒ τ max

⎛ 80 + 40 ⎞ 2 = ⎜ ⎟ + 25 ⇒ ⎝ 2 ⎠

τ max = 65 MPa

∴n =

125 65

⇒ n = 1.92 ⇒ n = 2

PROBLEMA 4.3.- En un punto de un cuerpo, el estado de esfuerzo es el resultado de dos estados separados que se muestran en las figuras a) y b) .Calcular el estado de esfuerzo que resulta de la acción simultanea de esos dos estados. (σ max = ? , σ min = ? y τ max = ? )

91


Capitulo IV

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución: Del grafico b) se tiene los siguientes resultados

τ ' = Rsen ( 30 ) ⇒ τ ' = 30sen ( 30 ) ⇒ τ ' = 15 σ x ' = − R cos ( 30 ) ⇒ σ x ' = −30 cos ( 30 ) ⇒ σ x ' = −25.98 σ y ' = R cos ( 30 ) ⇒ σ y ' = 30 cos ( 30 ) ⇒ σ y ' = 25.98

Realizando la suma de los esfuerzos se tiene:

σ max =

σ x + σ y 2

2

⎛ σ − σ y ⎞ 2 + ⎜ x ⎟ + τ xy ⎝ 2 ⎠ 2

σ max σ max

⎛ −25.98 − 25.98 ⎞ 2 = 0+ ⎜ ⎟ + 20 2 ⎝ ⎠ = 0 ± 32.8 MPa ⇒ σ max = 32.8 MPa σ min = −32.8 MPa τ max = 32.8 MPa

92


Capitulo IV

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 4.4.- Para el elemento mostrado en la siguiente figura. Determinar los

esfuerzos máximos y mínimos, así también se pide calcular las deformaciones en dirección X y en dirección Y para un E=2.1*10 6kg/cm2y un coeficiente de poisson de 0.3, donde las longitudes en X es de 50cm., y en dirección Y es de 40cm.

σ max = σ max = σ min = σ min = τ max = τ max =

σ x + σ y 2

2

⎛ σ − σ y ⎞ 2 + ⎜ x ⎟ + τ xy ⇒ ⎝ 2 ⎠

5000 + 2000 2 σ x + σ y 2

2

⎛ 5000 − 2000 ⎞ 2 2 + ⎜ ⎟ + 500 ⇒ σ max = 5081.14 kg / cm 2 ⎝ ⎠ 2

⎛ σ − σ y ⎞ 2 − ⎜ x ⎟ + τ xy ⇒ ⎝ 2 ⎠

5000 + 2000 2 σ max − σ min

⇒

2 5081.14 −1918.86

Sen2α =

2 τ xy τ max

2

⎛ 5000 − 2000 ⎞ 2 2 − ⎜ ⎟ + 500 ⇒ σ min = 1918.86 kg / cm 2 ⎝ ⎠

⇒ τ max = 1581.14 kg / cm 2

⇒ 2α = 18.43 ⇒ α = 9.22º ⇒

2α + 2 β = 90º ⇒ 2 β = 71.57 ⇒ β = 35.78º Determinación de las deformaciones σ x − μσ y 5000 − ( 0.3 )( 2000 ) εx = ⇒ ε x = ⇒ ε x = 2.095*10 −3 ⇒ δ x = 0.105 cm 6 E 2.1*10 σ y − μσ x 2000 − ( 5000 )( 0.3 ) −3 cm εy = ⇒ ε y = ⇒ ε y = 2.381*10 −4 ⇒ δ y = 9.524*10 6 E 2.1*10

93


Capitulo IV

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Determinación de los planos principales

PROBLEMA 4.5.- Calcular el diámetro del remache que tiene que soportar la acción de las fuerzas axiales, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos admisibles (2100Kg/cm2 esfuerzo normal y un esfuerzo cortante admisible de 1050Kg/cm 2).

σ max =

σ x + σ y 2

5000 + 0 2 A 2500

A

+

2

⎛ σ − σ y ⎞ 2 + ⎜ x ⎟ + τ xy ≤ 2100 ⎝ 2 ⎠ 2

2

⎛ 5000 − 0 ⎞ ⎛ 2000 ⎞ + ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ≤ 2100 2 A A ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3201.56

A

≤ 2100 ⇒ Ø1 ≥ 1.86 cm

τ max = R ≤ 1050 ⇒

3201.56

≤ 1050 ⇒ Ø2 ≥ 1.97 cm A Normalizando Ø ≥ 1.97 cm ⇒ Ø = 1" ⇒ Ø = 2.54 cm

94


Capitulo IV

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 4.6.- Dimensionar el remache de la unión para un esfuerzo de trabajo de 1050kg/cm2 y un cortante de trabajo de 350kg/cm 2.

De la gráfica de D.C.L se tiene

σ

x

σ

x

τ

xy

τ

xy

= = = =

5000 * Sen50 0

A′ 1949.313 A 5000* Cos50 0 A′ 3635.67

−

+

2000* Cos50 0

A′

2000* Sen50 0

A′

⇒ σ x =

⇒ τ xy =

5000* Sen 250 0

A

−

2000* Sen50 0 * Cos50 0

5000* Cos50 0 * Sen50 0

A

A

+

2000* Sen 250 0

A

A

2

⎛ σ x − σ y ⎞ 3764.05 ⎛ 1949.313 ⎞ ⎛ 3635.67 ⎞ 2 R = ⎜ ⎟ + τ xy ⇒ R = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⇒R= A A ⎝ 2 A ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ sen2α =

τ xy

R

2

0 ⇒ 2α = 74.99 0 ⇒ 2α + 2 β = 90 0 ⇒ 2 β = 15.01

σ max = σ 0 + R ≤ σ ⇒ 4*(4738.704) π φ

2

1949.313 2 A

+

3764.05

A

≤ 1050

≤ 1050 ⇒ Ø1 ≥ 2.397 cm

1

τ max = R ≤ τ ⇒

4*(3764.05) π φ

≤ 350 ⇒ Ø2 ≥ 3.7004 cm

2

Normalizando φ ≥ 3.7004 cm Tenemos 2

Ø=1 1 2 " ⇒ Ø = 3.81 cm

95


Capitulo IV

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 4.7.- Una fuerza única horizontal de 150 lb. se aplica el extremo D, de la

palanca ABD. Sabiendo que la porción AB de la palanca tiene un diámetro de 1.2 pulg., calcular los esfuerzos máximos principales en el punto H.

Determinación de momentos M t = (18 pu lg )(150lb ) ⇒ M t = 2700 lb. pu lg M x = (10 pu lg )(150lb ) ⇒ M x = 1500 lb. pu lg Determinación de los esfuerzos M y * Y (1500 )( 0.6 )( 64 ) σy = ⇒ σ y = ⇒ σ y = 8842 lb / pu lg 2 4 I π (1.2 ) σx = τ xy =

M y * X I M t * R I P

⇒ σ x = 0

⇒ τ xy =

( 2700 )( 0.6) ( 32 ) ⇒ τ xy = 7957.75lb / pu lg 2 4 π (1.2 )

Determinación de los esfuerzos máximos y mínimos σ max =

σ x + σ y 2

2

⎛ σ − σ y ⎞ 8842 2 ⎛ 8842 ⎞ 2 + ⎜ x + ⇒ = + + τ σ 7957.75 ( ) ⎟ xy max ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

σ max = 13524.35 lb / pu lg 2 σ min =

σ x + σ y 2

2

⎛ σ x − σ y ⎞ 8842 2 ⎛ 8842 ⎞ 2 τ σ − ⎜ + ⇒ = − ⎟ xy min ⎜ ⎟ + ( 7957.75) 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

σ min = − 4682.35 lb / pu lg 2 2

τ max

⎛ σ − σ y ⎞ 2 ⎛ 8842 ⎞ 2 = ⎜ x lb / pu lg 2 ⎟ + τ xy ⇒ τ max = ⎜ ⎟ + ( 7957.75 ) ⇒ τ max = 9103.35 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2

96


Capitulo IV

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 4.8.- Calcular el diámetro del perno que tiene que soportar la acción de las fuerzas axiales que se presentan en la figura adjunta, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos de σf =4200kg/cm2 y un τ f =0.5σf, con un factor de seguridad de 2.

Solución Del diagrama de esfuerzos internos se tiene

σ ma x =

σ x + σ y 2

2

⎛ σ − σ y ⎞ 2 + ⎜ x ⎟ + τ xy ≤ σ 2 ⎝ ⎠ 2

2

⎛ 5000 ⎞ ⎛ 2000 ⎞ + ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ≤ 2100 ⇒ φ ≥ 1.77 cm A A 2 A 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5000

2

τ ma x = R = 2

⎛ σ x − σ y ⎞ 2 ⎜ ⎟ + τ xy ≤ τ 2 ⎝ ⎠ 2

⎛ 5000 ⎞ ⎛ 2000 ⎞ ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ ≤ 1050 ⇒ φ ≥ 1.807 cm ⎝ A ⎠ ⎝ A ⎠ Normalizando Ø ≥ 1.807 cm Tenemos

Ø=

3 ′′ 4

⇒ Ø = 1.905 cm

97


Capitulo IV

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 4.9.- Calcular el diámetro del remache que tiene que soportar la acción

de las fuerzas axiales que se presentan en la figura adjunta, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos de σf =4200kg/cm2 y un τ f =0.5σf, con un factor de seguridad de 3.

Solución: Después de realizar un diagrama de esfuerzos internos se tiene.

De la gráfica de D.C.L se tiene

σ

= x

τ xy =

10000

+

5000* Cos60 0

A A′ 5000* Sen60 0

⇒ τ xy =

A′

⇒σ x =

10000

+

5000* Cos60 0 * Sen60 0

A 5000* Sen60 0 * Sen60 0 A

2

A

⇒ τ xy =

⇒ σ x =

12165.06

A

3750

A

⎛ σ x − σ y ⎞ 7145.605 ⎛ 12165.06 ⎞ ⎛ 3750 ⎞ 2 R = ⎜ ⎟ + τ xy ⇒ R = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⇒R= A ⎝ 2 A ⎠ ⎝ A ⎠ ⎝ 2 ⎠ sen2α =

τ xy

R

2

2

0 ⇒ 2α = 31.650 ⇒ 2α + 2 β = 90 0 ⇒ 2 β = 58.35

σ max = σ 0 + R ≤ σ ⇒

2 A 7145.605

+

7145.605

A

≤ 1400 ⇒ φ ≥ 3.498cm

≤ 700 ⇒ φ ≥ 3.605 cm A Normalizando φ ≥ 3.605 cm Tenemos ⇒ φ =1 1 2 " ⇒ φ = 3.81 cm

τ

max

= R ≤ τ ⇒

12165.06

98


Capitulo IV

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 4.10.- Calcular el diámetro del remache que tiene que soportar la acción de las fuerzas axiales, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos admisibles: L σ = 2100 Kg / cm 2 , τ = 1050 Kg / cm 2 y δ = ( cm ) .E=2.1 x 10 6Kg/cm2. 2000

Solución

σ max =

σ x + σ y 2

10000 + 0 2 A 5000

A

+

2

⎛ σ x − σ y ⎞ 2 + ⎜ ⎟ + τ xy ≤ 2100 ⎝ 2 ⎠ 2

2

⎛ 10000 − 0 ⎞ ⎛ 2000 ⎞ + ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ≤ 2100 ⎝ 2A ⎠ ⎝ A ⎠

5385.165

A

≤ 2100 ⇒ Ø1 ≥ 2.51 cm

τ max = R ≤ 1050 ⇒

5385.165

≤ 1050 ⇒ Ø2 ≥ 2.5554 cm A 10000* L F *L L δ = ≤δ ⇒ 2 ≤ ⇒ φ ≥ 3.4822cm πφ 2000 A * E *2.1 x10 6 4

Normalizando Ø ≥ 3.482 cm ⇒ Ø = 1

1 ′′ 2

⇒ Ø = 3.81 cm

99


Capitulo IV

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMAS PROPUSTOS DE CÍRCULO DE MORH

4.1.- Para el elemento mostrado en la figura. Determinar:

a).- Los esfuerzos máximos, esfuerzos mínimos y la cortante máximo. b).- Dibujar el gran circulo de morh. c).- Dibujar los planos principales de esfuerzos y cortantes máximos

4.2.- Para el elemento mostrado en la figura. Determinar: a).- Los esfuerzos máximos, esfuerzos mínimos y la cortante máximo. b).- Dibujar el gran circulo de morh. c).- Dibujar los planos principales de esfuerzos y cortantes máximos

4.3.- Calcular el diámetro del remache que tiene que soportar la acción de las fuerzas axiales que se presentan en la figura adjunta, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos de 2 σf =4200kg/cm y un τ f =0.5σf, con un factor de seguridad 2.

4.4.- Calcular el diámetro del remache que tiene que soportar la acción de las fuerzas axiales que se presentan en la figura adjunta, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos de 2 σf =4200kg/cm y un τ f =0.5σf, con un factor de seguridad 2.

4.5.- Calcular el diámetro del perno que tiene que soportar la acción de las fuerzas axiales que se presentan en la figura adjunta, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos de 2 σf =4200kg/cm y un τ f =0.5σf , con un factor de seguridad 3.

100


Capitulo IV

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.6.- Si se conoce el esfuerzo admisible de trabajo de 2200Kg/cm 2 y un cortante

admisible de 1100Kg/cm2. Calcule el diámetro del perno. L a). a).- Sin sob sobrepas epasar ar δ = (cm) , con E=2.1*10 6Kg/cm2. 1000 b).-Con un ángulo de inclinación inclinación de 60 0, y σf =4200kg/cm2 y un τ f =0.5σf con un factor de seguridad de 3.

4.7.- A partir de las figuras, se pide determinar: a) Los esfuerzos máximos, mínimos y la cortante máxima. b) Graficar los planos principales de esfuerzos máximos y cortantes máximos. Cuyas dimensiones son base, alto y ancho de (3,3 y 2) cm.

4.8.- Realizando una prueba en una construcción se encontró un esfuerzo admisible de 1800Kg/cm2 y un esfuerzo cortante admisible de 650Kg/cm 2. La fuerza axial Px=8000Kg y la fuerza paralelo al plano de corte F c=6000Kg.Calcular las deformaciones unitarias εx y εy si b=2a, el modulo de elasticidad de E=1.5 * 10 6Kg/cm2 y con un modulo cortante de 1.8 * 10 6Kg/cm2. Para base, alto y ancho de (b, b y a). 4.9.- Para la figura mostrada. Se pide determinar: a) El diámetro del pasador en el punto A. b) El diámetro de los remaches en la plancha y el diámetro del cable para ello los esfuerzos de trabajo son: Esfuerzo normal de 2100Kg/cm 2. y un esfuerzo cortante de de 50 % de esfuerzo normal.

101


Capitulo IV

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.10.- Para la figura representada se pide dimensionar: a).- El diámetro del perno del pasador A. σf =2100kg/cm2, τ f =0.5 σf y n=3 b).- El diámetro del cable con σf =2800kg/cm2, τ f =0.5 σf y un n=2 c).- El diámetro de los remaches la unión de la figura para un σf =4200kg/cm2 y un τ f =0.5σf con un factor de seguridad de 3.

4.11.- Para la figura mostrada. Calcular: a) El diámetro del pasador en el punto A. b) Los diámetros de los cables, considerando que los cables son del mismo material pero de longitudes distintas.

4.12.- Encontrar los esfuerzos normal y cortante máximos de la figura para un diámetro del remache de ¾ de pulgada.

4.13.- Para la figura presentada a continuación se pide dimensionar: a).- El diámetro de los remaches en los puntos A y B. σf =4200kg/cm2, τf =0.5σf n=2 b).- Hallar las deformaciones de los cables si σ1=σ2=2100kg/cm2 si n=2.

4.14.- Calcular el diámetro del roblón si: σf =4200kg/cm2, τ f =0.5σf y n=2.

102


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

CAPITULO V RECIPIENTES DE PARED DELGADA ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

5.1.- INTRODUCCIÓN

Los recipientes de pared delgada constituyen una aplicación importante del análisis de esfuerzo plano. Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexión, puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente. Las paredes de un recipiente a presión de pared delgada ideal actúan como una membrana (es decir, las paredes resisten flexión).

5.2.- OBJETIVOS  

Conocer que tipo de tensiones genera la presión. Criterios de dimensionamiento.

5.3.- DEDUCCIÓN DE LAS TENSIONES CIRCUNFERENCIALES CI RCUNFERENCIALES Y TANGENCIALES Cuando la pared del recipiente es “delgada”, la distribución del esfuerzo a través de su espesor (e) no varia de manera significativa y por lo tanto se supondrá que es uniforme o constante. Con esta suposición, se analizara ahora el estado de esfuerzos en recipientes de presión cilíndrica y esférica de pared delgada. En ambos casos se entiende que la presión dentro del recipiente es la presión manométrica, puesto que mide la presión por encima de la presión atmosférica, la que se supone que existe, tanto en el interior como en el exterior de la pared del cilindro.

103


Capitulo V

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Sea un cilindro de pared delgada de diámetro “D” y de longitud “L” sometido a una cierta presión.

Diferencia del comportamiento de los esfuerzos en las paredes de los cilindros.

Cilindros de pared gruesa

Cilindros de pared delgada

5.4.- TENSIÓN CIRCUNFERENCIAL

Para su análisis se realiza un corte A − A′ el la distancia mas larga que en este caso la distancia mas larga resulta ser el diámetro de la circunferencia.

Por hidráulica I se conoce que P =

F

σ C =

2 A′

⇒

σ C =

P * D * L 2 * e * L

F A

⇒

⇒ F = P * A ⇒ F = P * D * L

= C

σ

P*D 2e

…………………………(5.1)

104


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

5.5.- TENSIÓN LONGITUDINAL

Para su análisis se realiza un corte B − B ′

P * π * D 2 4 ⇒ σ L = π * D * e

F

σ L = A′

⇒

= L

σ

P* D 4e

…………………………..(5.2)

5.6.-TENSIONES PRINCIPALES PARA EL CILINDRO DE PARED DELGADA Se toma un elemento en el cilindro, con las respectivas tenciones tal como se observa a continuación.

Para su dimensionamieto se toma los esfuerzos máximos.

σ max = σ C =

P*D

σC τ max =

− σ L

2e 2

≤ σ …………………………………………………..(5.3) ≤ τ ………………………………………………….(5.4)

Donde: P = Presión (Kg/cm2) D = Diámetro del cilindro (cm.) e = Espesor del cilindro (cm.) Ecuaciones para las deformaciones unitarias para los cilindros.

ε c = ε L =

σ C − μσ L

E σ L − μσ C E

Deformación unitaria en dirección circunferencial. Deformación unitaria en dirección longitudinal.

105


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PREGUNTAS TEÓRICAS PARA EL ESTUDIANTE

1.- Que diferencia hay entre cilindros de pared gruesa y de pared delgada? R.- En cilindros de pared gruesa, la distribución de tensiones no es uniforme, mientras en los cilindros de pared delgada la distribución de tensiones es casi uniforme.

2.- Existe tensión cortante en los cilindros de pared delgada? R.- No existe la tensión cortante, pero hay una tensión máxima a 45 0. 3.- Que es el esfuerzo de trabajo? R.- Es el esfuerzo real que soporta el material bajo la acción de unas cargas, y no debe sobrepasar al esfuerzo admisible ( σ ).

4.- Bajo que criterio se realiza el corte A − A′ ? R.- Se realiza con la finalidad de conseguir mayor tensión circunferencial, y siempre se tiene que hacer el corte en la distancia mas larga.

5.- Que son las fuerzas internas? R.- Son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforma en cuerpo rígido. 6.- Que son las fuerzas externas? R.- Son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido, las fuerzas externas causaran que el cuerpo se mueva o aseguran que éste permanezca en reposo.

7.- Que son los cables? R.- Son elementos flexibles capaces de soportar únicamente tensión y que están diseñados para soportar cargas concentradas.

8.- Cuales son los dos criterios de dimensionamiento del espesor del cilindro en una gata hidráulica? R.- Se tendrán que dimensionar a la Resistencia y a la rigidez. 9.- Cuales son las dos ecuaciones para dimensionar a la resistencia los cilindros de pared delgada? R.- Las dos ecuaciones que se tiene que utilizar son (5.3) y (5.4). 10.- Cual es la relación geométrica que define la diferencia entre cilindro de pared gruesa y delgada. R.- La relación es

e

D

≤ i

1 20

para que sea de pared delgada.

106


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMAS RESUELTOS DE CILINDROS DE PARED DELGADA

PROBLEMA 5.1.- Calcular el espesor del cilindro, el diámetro final, a si mismo se pide determinar el numero de remaches, para una presión de 5Kg/cm2, con un diámetro de 100cm. Para cuyo efecto se tiene σf =2100kg/cm2, τ f =0.5σf , E=2.1*10 6kg/cm2, factor de seguridad de 2 y el modulo de poisson de μ =0.3.

Dimensionamiento del espesor del cilindro P * D 5 *100 σ max = σ C = 2e ≤ σ ⇒ e ≥ 2 *1050

⇒ e ≥ 0.238cm



σ C τ max =

− σ L 2

≤ τ ~ ⇒

e≥

5 *100

⇒

8 * 525

e ≥ 0.119cm 1

″

⇒ e= 0.3175cm 8 Determinación de los esfuerzos circunferencial y longitudinal El mayor espesor y normalizando tenemos e =

σ C = σ L =

P * D 2e P * D 4e

5 *100

⇒

σ C =

⇒

σ L = 4 * 0.3175

2 * 0.3175 5 *100

σ C = 787.4

⇒

σ L = 393.7 cm

Determinación de las deformaciones unitarias 787.4 − 0.3 * 393.7 σ C − μ *σ L

⇒

ε C =

ε C =

6

E 2.1 *10 Determinación del diámetro final del cilindro

L

FC

Kg

⇒

cm 2 Kg 2

⇒ ε C = 3.1871 *10 −4

= L + δ C ⇒ π * DF = π * D +π * D*εC ⇒ DF = D*(1+ εC) ⇒

DF =100.032cm

Determinación de número de remaches del cilindro para φ = τ =

F

P

N * A

≤ τ ⇒ N ≥

P*D*L 2 2* π * φ *τ 4

1

″

2

⇒ N ≥ 56.39 ⇒ N = 57

107


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 5.2.- Calcular el espesor del cilindro y las longitudes finales, tanto

circunferencial y longitudinal, a si también calcular el numero de roblones, si la presión interna que actúa es de 5Kg/cm 2 y el diámetro del cilindro es de 100cm., ver figura.

Dimensionamiento del espesor del cilindro σC =

PD

≤ σ ⇒ e ≥

2e

τ max =

PD 8e

( 5 )(100 ) ⇒ e ≥ 0.119 cm ( 2 )( 2100 )

( 5)(100 ) ≤ τ ⇒ e ≥ ⇒ e ≥ 0.059 ( 8)(1050 )

cm

Sea

e=

1 ′′ 16

⇒ e = 0.159cm

Cálculo de los esfuerzos circunferenciales y longitudinales σC =

PD

σ L =

PD

2e 4e

( 5)(100 ) ⇒ σ C = 1572.33 kg / cm 2 ( 0.159 )( 2) ( 5)(100 ) = ⇒σ L = 786.16 kg / cm 2 ( 0.159 )( 4)

⇒σC = ⇒σL

Determinación de las deformaciones unitarias 1572.33 − ( 0.3 )(786.16 ) σ − μσ L εC = C ⇒ εC = ⇒ ε C = 6.3642*10−4 6 2.1*10 E 786.16 − ( 0.3 )(1572.33 ) σ − μσ C ε L = L ⇒ ε L = ⇒ ε L = 1.4974*10−4 6 2.1*10 E Determinación de las longitudes finales circunferencial y longitudinal

L f ( L ) = l + δ L ⇒ L f ( L ) = l + ε Ll ⇒ L f ( L ) = l (1 + ε L ) L f ( L ) = 120 (1 + 1.4974*10 −4 ) ⇒ L f ( L ) = 120.018 cm L f (C ) = π D + δ C ⇒ L f (C ) = π D + ε Cπ D ⇒ L f (C ) = π D (1 + ε C ) L f (C ) = π (100 ) ⎡⎣1 + 6.3642*10 −4 ⎤⎦ ⇒ L f (C ) = 314.36 cm τ =

F r NAP

≤ τ ⇒

P N

π

D2

2

( 5)(100 ) N 1050 ≤ ⇒ ≥ 2 2 π ( ØP ) 1050* π * ( ØP ) 4

4 N ≥ 37.9 ⇒ N = 38 para ØP = 1/ 4"

108


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 5.3.- Una tubería de acero de 12pulg. De diámetro exterior esta

fabricada en platina de ¼ de pulg. Y soldada lo largo de una elipse que forma un ángulo de 22.5° con un plano perpendicular al eje de la tubería. Sabiendo que actúa una fuerza axial de 40000lb. y un troqué de 80000lb.pulg se aplica como dirección normal y tangencial a la soldadura . Determinación de las tensiones presentes PRESION ⇒

σC=

P=

P * d i 2e

P * d i

40000*4 π *(11.5) 2

⇒σ C =

⇒ P = 385.1

lb pu lg 2 .

lb 385.1*11.5 ⇒ σ C = 8857.3 1 pu lg 2 . 2* 4

385.1*11.5 lb ⇒ σ L = 4428.65 1 pu lg 2 . 4e 4* 4 * R 80000*6*32 lb τ = M T 4 ⇒ τ = τ 279.54 ⇒ = pu lg 2 . π *11.54 d i π * 32

σ L =

⇒σ L =

Ubicación de los esfuerzos

2

2

⎛ σ − σ L ⎞ ⎛ 8857.3 − 4428.65 ⎞ 2 + τ 2 ⇒ R = ⎜ R = ⎜ C ⎟ + 279.54 ⇒ R = 2232 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sin 2α = σ '=

τ

⇒ sin 2α =

R σ C + σ L 2

279.54 2232

+ R cos γ ⇒ σ ' =

⇒ 2α = 7.14º 8857.3 + 4428.65 2

+ 2232 cos(45 + 7.14) ⇒

σ ' = 8012.83 lb / pu lg 2 σ + σ L 8857.3 + 4428.65 σ '= C − R cos γ ⇒ σ ' = − 2232 cos 52.14 ⇒ 2 2 2 σ ' = 5273.12 lb / pu lg

τ ' = R sin γ ⇒ τ ' = 2232* Sen52.14 ⇒ τ ' = 1762.2 lb / pu lg 2

109


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 5.4.- La parte cilíndrica del tanque de aire comprimido, esta soldada en hélice la cual forma un ángulo de 28 0 con la horizontal .determinar el espesor del cilindro, si la presión manométrica es de 8Kg/cm2, sabiendo que el esfuerzo normal admisible perpendicular a la soldadura es de 2100Kg/cm 2.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

Solución p * D

σ

C

=

⇒σ

L

=

p*D

2e 4e Con los esfuerzos graficar el circulo de morh.

PD PD PD PD + − 0 0 e e e 2 4 2 4e σ max = σ 0 + RCos56 ≤ σ ⇒ 2 + 2 * Cos56 ≤ σ PD(3 + Cos560 ) 8*80*(3 + Cos56 0 ) ≤ σ ⇒ e ≥ ⇒ e ≥ 0.1356 cm σ max = 8e 8* 2100 PD PD PD PD + − 0 0 e e e 2 4 2 4e σ max = σ 0 − RCos56 ≤ σ ⇒ 2 − 2 * Cos56 ≤ σ PD(3 − Cos560 ) 8*80*(3 − Cos56 0 ) ≤ σ ⇒ e ≥ ⇒ e ≥ 0.093cm σ max = 8e 8* 2100 Se toma el mayor de los espesores Sea e =

1 ′′ 16

⇒ e = 0.15875cm …………………….solución

110


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 5.5.- La parte cilíndrica del tanque de aire esta comprimido mostrado es de platina de 3/8 de pulgada soldada en hélice la cual forma un ángulo de 30 0 con la horizontal. Halle la máxima presión manométrica admisible, sabiendo que el esfuerzo normal admisible perpendicular a la soldadura es de 1200Kg/cm 2.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

Solución

PD PD PD PD + − 0 0 e e e 2 4 2 4e σ max = σ 0 + RCos60 ≤ σ ⇒ 2 + 2 * Cos60 ≤ σ 8*0.9525*1200 PD(3 + Cos 600 ) Kg σ 21.414 = ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ P P σ max 8e 122*(3 + Cos60 0 ) cm 2 PD PD PD PD + − 0 0 2 4 2 4e e e e σ max = σ 0 − RCos60 ≤ σ ⇒ 2 − 2 * Cos60 ≤ σ PD(3 − Cos 600 ) Kg 8*0.9525*1200 ≤ σ ⇒ P ≤ ⇒ P ≤ 29.98 2 σ max = 0 cm 8e 122*(3 − Cos60 ) Se toma el menor valor de las presiones para que sea máxima. Kg Kg Sea P ≤ 21.414 ⇒ P = 21.41 2 …………………….solución 2 cm cm

111


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMA 5.6.- Determinar el espesor de la plancha, las longitudes finales, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos de σf =2100kg/cm2, τ f =0.5 σf, n=2. Si la presión interna es de 5kg/cm2, E=2.1*10 6kg/cm2, b=80cm μ =0.3.

Solución:

Dimensionamiento del espesor del cilindro σC =

F

⇒ σC =

2 A′

σ L =

p * b * b

τ max =

Pb

4b * b 8e

PhL 2e′L

⇒ σ L =

≤ τ ⇒ e ≥

⇒σC =

Pb 2e

≤ σ ⇒ e ≥

( 5)(80 ) ⇒ e ≥ 0.19 cm ( 2 )(1050 )

p *b 4e

( 5)(80 ) ⇒ e ≥ 0.095 cm (8 )( 525 )

Sea

e=

1′′ 8

⇒ e = 0.3175cm

Cálculo de los esfuerzos circunferenciales y longitudinales

( 5)(80 ) ⇒ σ C = 629.92 kg / cm 2 2e ( 2 )( 0.3175 ) ( 5)( 80 ) Pb σ L = ⇒σL = ⇒σ L = 314.96 kg / cm 2 4e ( 4 )( 0.3175 ) σC =

Pb

⇒ σC =

Determinación de las deformaciones unitarias 629.92 − ( 0.3 )(314.96 ) σ − μσ L εC = C ⇒ εC = ⇒ ε C = 2.54968*10 −4 6 E 2.1*10 314.96 − ( 0.3 )( 629.92 ) σ − μσ C ε L = L ⇒ ε L = ⇒ ε L = 5.9992*10−5 6 E 2.1*10 Determinación de las longitudes finales circunferencial y longitudinal

L f ( L ) = l + δ L ⇒ L f ( L ) = l + ε Ll ⇒ L f ( L ) = l (1 + ε L ) L f ( L ) = 150 (1 + 5.9992*10 −5 ) ⇒ L f ( L ) = 150.009 cm L f (C ) = 4b + δ C ⇒ L f (C ) = 4b + ε C 4b ⇒ L f (C ) = 4b (1 + ε C ) L f ( C ) = 4 ( 80 ) ⎡⎣1 + 2.54968*10−4 ⎤⎦ ⇒ L f ( C ) = 320.0816 cm

112


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROBLEMAS PROPUSTOS DE CILINDROS DE PARED DELGADA

5.1.- Considere un recipiente a presión cerrada cilíndrica de acero, como se muestra en la figura. El radio del cilindro es de 1000mm y el espesor de las paredes de 10mm: a) Determine los esfuerzos circunferencial y longitudinal, causados por una presión interna de 0.80MPa. b) Calcule el cambio en el diámetro del cilindro causado por la presión para E=200GPa y el modulo de poisson de μ =0.25.

5.2.- El tanque cilíndrico de almacenamiento no presurizado que se muestra en la figura, tiene un espesor de pared de

3 16

′′ y esta hecho de acero con resistencia ultima a

tensión de 60ksi. Hasta que altura h puede llenarse con agua, si se desea un factor de seguridad de 4 ( γ del agua = 1000Kg/ 5.3.- Una tubería de carga de 750mm de diámetro exterior y 12mm de espesor conecta a un embalse R con una estación generadora S. si h = 300m, halle los esfuerzos normal y cortante máximos en la tubería en condiciones practicas .tomando en cuenta que 3 (densidad H2O = 1000Kg/m ).

5.4.- Un contenedor esférico de gas hecho de acero tiene 5m de diámetro exterior y 10mm de espesor uniforme. Si la presión interna es de 400KPa. Halle los esfuerzos máximos normal y cortante en el contenedor. 5.5.- Un recipiente esférico de 10 pulg. De diámetro interno y ¼ pulgada de espesor esta hecho de acero con 600ksi de resistencia ultima a tensión. Halle el factor de seguridad con respecto a la falla por tensión cuando la presión manométrica es de 80ksi. 5.6.- Demuestre que el esfuerzo longitudinal en un cascaron esférico de pared delgada, pD de diámetro D y espesor t, sujeto a una presión interna P, esta dado por: σ = 4t 5.7.- Un recipiente cilíndrico a presión esta fabricado de placas de acero que tiene un espesor de 20mm. El diámetro del recipiente es 500mm y su L=3m. Determine la máxima presión interna que puede aplicarse si el esfuerzo en el acero esta limitado a 140MPa.

113


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

5.8.- Un depósito cilíndrico de agua de eje vertical tiene 80mm de diámetro y 12m de

altura. Si hade llenarse hasta el borde, determinar el mínimo espesor de las placas que lo 2 componen si el esfuerzo esta limitado a 400000Kg/m . 5.9.- El deposito de la figura se construyo con placa de 10mm de acero. Calcular la tensión cortante máxima que originara una presión interior de 1.2MPa

5.10.- Determinar el espesor de la plancha cilíndrica, el diámetro final y el numero de

remaches, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos de σf =4200kg/cm2 y τ f =0.5σf, con un factor de seguridad 2. Si la presión interna es de 5kg/cm 2, E=2.1*10 6kg/cm2 y μ =0.3.

5.11.- Calcular el espesor del espiral y el numero de remaches, para cuyo efecto se tiene 2 los esfuerzos de σf =4200kg/cm y τ f =0.5σf, con un factor de seguridad 3. Si la presión interna es de 5kg/cm2.

114


Capitulo V

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

5.12.- Determinar el espesor de la plancha, las longitudes finales y el numero de remaches, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos de σf =2100kg/cm2, τ f =0.5 σf, n=2. Si 2 6 2 la presión interna es de 5kg/cm , E=2.1*10 kg/cm , b=80cm μ =0.3.

5.13.- Calcular el espesor del cilindro, para cuyo efecto se tiene que un 6

σf =4200kg/cm

2

2

y un τ f =0.5σf con un factor de seguridad de 2, E=2.1*10 kg/cm y el modulo de poisson de μ =0.3. h 0=0.15mm.

5.14.- Un recipiente presurizado de 12 de diámetro exterior esta hecho de platina acero 0

de1/4 pulgada soldada en hélice que forma un de 22.5 con respecto a la horizontal como se muestra en la figura. Si la presión manométrica interior es de 250 psi y se aplica una fuerza axial P=40000lb y un torque de 80000lb *pulg. Calcular el esfuerzo y la cortante en dirección normal y tangencial a la soldadura. 5.15.- Determinar el espesor de la plancha cilíndrica, las longitudes finales circunferencial, longitudinal y el número de remaches, con la inclinación de 0 2 2 φ = 50 , con σf =2100kg/cm y τ f =0.5 σf, n=2. Si la presión interna es de 5kg/cm con 6 2 un diámetro D=80cm, E=2.1*10 kg/cm y el modulo de poisson de μ =0.3.

115


Capitulo VI

…………………………………………………………………………………………….

CAPITULO VI FLEXIÓN EN VIGAS -----------------------------------------------------------------------------------------------------

6.1.- INTRODUCCIÓN

Este capitulo tiene mucha importancia para estudiar el comportamiento de vigas, debido a una fuerza puntual sobre ella, se basa a la grafica de esfuerzos normales, esfuerzos cortantes y el momento flector máximo. Para cuyo efecto se tendrá que seguir las siguientes hipótesis. 6.2.- HIPÓTESIS • La sección transversal tiene que ser uniforme. • El material tendrá que ser homogéneo y obedece a la ley de Hooke. • Las cargas que actúan sobre la viga, tendrán que ser perpendiculares sobre la

viga. • El modulo de elasticidad a la tracción es aproximadamente igual al modulo de elasticidad al de compresión. • El esfuerzo de trabajo tendrá que ser menor al esfuerzo admisible. 6.3.- OBJETIVOS • Establecer que tipo de tensiones provoca la flexión. • Establecer la ecuación que nos permita hallar el valor de las tensiones y las

hipótesis bajo las cuales pueden aplicarse. • Dimensionar vigas sobre tiras a flexión. • El objetivo principal es como encontrar la ecuación del esfuerzo debido a M * Y flexión que esta dada de la forma siguiente : σ = I

116


Capitulo VI

…………………………………………………………………………………………….

6.4.- TIPOS DE APOYOS EN LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES

Los elementos estructurales generalmente se clasifican de acuerdo con los esfuerzos principales, por las cargas que los miembros deben soportar. Una viga soporta cargas que producen momentos de flexión. Una columna es un miembro en el cual están presentes tanto momento de flexión, como fuerzas de tracción y las fuerzas de compresión. En la práctica se presentan tres tipos de apoyos ideales. En la mayor parte de las situaciones prácticas las condiciones de apoyo de las estructuras pueden escribirse así en el siguiente cuadro.

G.L = Grados de libertad. 6.5.- DEDUCCIÓN DE ECUACION DE ESFUERZO A FLEXIÓN

Cuya deducción se realiza a base de las hipótesis mencionadas anteriormente, para el cual tendremos una viga de longitud “L”, tal como se observa en la siguiente figura.

117


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. Por otra parte se tiene que θ =

ds ρ

ff '

y θ =

y

ff ' ff ' y = ⇒ = Igualando ambas igualdades se tiene que ds ρ ρ y ds

ff ' Sustituyendo esta última expresión en la ecuación σ = E se tiene dx y E σ σ = E ⇒ = ……………………………………………….. (6.1 ) ρ ρ y

∑ M = 0 ⇒ Ey E M = ∫ σ dA * y ⇒ M = ∫ dA * y ⇒ M = ∫ y 2 dA ρ ρ z

Como ∫ y 2 dA = I zz ⇒ M =

E

σ

ρ

y

I zz ⇒ M =

I

zz

Para su dimensionamiente se tendrá que considerar:

M max * y max ≤ σ I

σ =

………………………………(6.2)

zz

Donde: = Tensión debido a flexión (

σ

Kg cm 2

)

ymax = Es la distancia desde la línea neutra hasta el punto de tracción (cm). Izz= Es el momento de inercia con respecto al eje (cm 4). Mmax = Momento flector máximo (Kg*cm).

118


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMAS RESUELTOS DE FLEXIÓN EN VIGAS

PROBLEMA 6.1.- Calcular los esfuerzos máximos de tracción y de compresión de la

sección transversal del perfil T.

Solución

Calculo de las reacciones ∑MA=0 ⇒ 500*4*2 - 5*R+2000*7=0 ⇒ R=3600Kg ∑MB=0 ⇒ - 500*4*3 - 5*V+2000*2=0 ⇒ V=400Kg Control ∑V=0 ⇒ V+R - 2000-500*4=0 ⇒ 0=0 Análisis de los esfuerzos tanto a tracción, como esfuerzo a compresión

σ

tracc

* M max y =

t

I

M max * y

σ comp. =

I

c

⇒ σ tracc =

Kg 400000*12.08 348.816 = cm2 13852.565 ⇒σ tracc

⇒ σ comp. =

Kg 400000*19.92 = 575.2 2 ⇒ σ comp. cm 13852.565

119


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.2.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del perfil I de 120 x 20cm.

Solución

Cálculo de Momentos por Áreas: Por Semejanza de triángulos:

Centro de masas en el eje “y” y =

∑ A ∑ A

Y

=

120*20*10 + 120*20*80 + 120*20*150 = 80cm 120 * 20 + 120 * 20 + 120 * 20

Calculando la Inercia por el teorema de Steiner 120 * 203 20 *120 3 120 * 20 3 2 2 I = + 2400 * (10 − 80) + + 2400 * (80 − 80) + + 2400 * (150 − 80) 2 12 12 12 4 I = 26560000 cm

σ trac =

Kg 200000*80 = 0.602 2 26560000 cm

σ comp =

Kg 200000*80 = 0.602 2 26560000 cm

120


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.3.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del perfil L de dimensiones dadas. ⇒ H=2000Kg

∑FH= 0 ∑MD= 0

2000*2 – 3000*3 – 500*3.5 – 1000*5 + 4BV=0 BV=3437.5Kg ∑FV= 0 ⇒ -1500 – 3000 – 1000 + BV + DV=0

DV=2062.5Kg Cálculo de Momentos por Áreas: MB = −

1000*2 = −1000 2

MC = −1000 + (

2437.5 + 1937.5 )*1 ⇒ 2

MC=1187.5 MD = 1187.5 − 1062.5 *3 = −2000 ME = −2000 + 1000* 2 = 0

Centro de gravedad de la sección transversal. 3* 0.5 + 7 * 4.5 y = ⇒ y = 3.3cm 3+7 Calculando la Inercia por el teorema de Steiner 3 3*13 2 1*7 I = + 3*(3.3 − 0.5) + + 7*(3.3 − 4.5)2 ⇒ I = 62.43cm4 12 12

Para

M= 1187.5Kg*m Kg 2000 Kg 118750 Kg * cm *3.3cm = 6477.03 2 σ trac = 10 cm2 + 4 cm 62.43cm Kg 2000 Kg 118750 Kg * cm *4.7cm = 8740.013 2 σ comp = 10 cm2 − 4 cm 62.43cm Para M= 2000Kg*m Kg 2000 Kg 200000 Kg * cm *4.7 cm 15256.86 + = ⇒ σ max En tracción 10 cm 2 62.43cm 4 cm 2 Kg 2000 Kg 200000 Kg * cm *3.3cm = − = ⇒ σ max En compresión 10371.84 σ comp 10 cm2 62.43cm 4 cm 2

σ trac =

121


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.4.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del angular T invertida.

Centro de masas en el eje “y” y =

∑ A * y ∑ A i

i

i

=

16 *1 + 10 *7 = 3.308cm 16 + 10

I = 5.33 + 16 * (3.308 − 1) 2 + 83.33 + 10 * (3.308 − 7) 2 = 310.2 cm4 Kg 50000 Kg * cm *8.692cm = 1401.03 2 ⇒ σ max En tracción 4 cm 310.2cm Kg 50000 Kg * cm * 3.308cm = 533.2 2 ⇒ σ max En compresión σ comp = 4 cm 310.2cm

= trac

σ

122


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.5.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal de angular C.

Cálculo de Momentos por Áreas: MB = 4000+3000= 7000 MC = 7000+1000*2/2= 8000 MD = 8000 - 1000*2/2= 7000 ME = 7000 – (3000+4000) = 0

Centro de masas en el eje y

I = 3.33 + 10 *(8.3125 − 1) 2 + 221.83 + 22 *(8.3125 − 7.5)2 + 5.33 + 16 *(8.3125 − 14)2 ⇒ I = 1297.3025cm 4

Determinación de los esfuerzos máximos 800000 Kg * cm *8.3125cm Kg = 5126.02 2 ⇒ σ max En tracción 4 cm 1297.3025 cm Kg 800000 Kg * cm *6.6875cm = = ⇒ σ max En compresión 4123.94 σ comp cm 2 1297.3025cm4

σ

trac

=

123


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.6.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal.

Cálculo de Momentos por Áreas:

Determinación de los esfuerzos máximos 20000000 N * cm *6cm = 1041.67 MPa ⇒ σ max En tracción 1152cm4 20000000 Kg * cm *6cm = = 1041.67 MPa ⇒ σ max En compresión σ comp 1152cm4

σ trac =

124


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.7.-Calcular el esfuerzo máximo a tracción y a compresión de la sección transversal del perfil T invertida de dimensiones dadas.

…………………………………………………………………………………………… Solución

900 ( 5 ) + 1200 ( 70 ) ⇒ Y = 42.14 cm 900 + 1200 3 90 (10 ) 2 I1 = + 900 ( 42.14 − 5 ) ⇒ I 1 = 1248941.64 12 3 10 (120 ) 2 I 2 = + 1200 ( 70 − 42.14 ) ⇒ I 2 = 2371915.52 12 I = I1 + I 2 ⇒ I = 3620357.16 cm4 (60000)(87.86) σ tracc. = ⇒ σ tracc. = 1.456 kg / cm 2 …...Esfuerzo de tracción máxima 3620357.16 ( 60000 )( 42.14 ) σ comp. = ⇒ σ comp. = 0.698 kg / cm 2 3620357.16 Y=

σ tracc. =

σ comp. =

(47500)(42.14) ⇒ σ tracc. = 0.553 kg / cm 2 3620357.16

( 47500 )(87.86 ) 3620357.16

⇒ σ comp. = 1.153 kg / cm 2 ….. Esfuerzo de compresión máxima

125


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.8.-Calcular la magnitud de la fuerza admisible P que actúa en la viga de la figura, par a un esfuerzo de trabajo de 1000Kg/cm 2

……………………………………………………………………………………………. Solución

I = I =

πd4

64

−

π *(d − 2e)4

64

………………Momento de inercia de una sección hueca

π ⎡ 4 4 12 − (12 − 8 ) ⎤ ⇒ I = 1005.31 cm4

64 ⎣

σ max =

M max * ymax

⎦

≤ σ ⇒

( 300 P )( 6 )

≤ 1000

I 1005.31 P ≤ 558.51 kg ⇒ P = 558.5 kg …………………. Solución

126


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.9.-Para la estructura mostrada, determinar el número de aceros longitudinales, diámetros y sus longitudes por tramos: Si σf =4200Kg/cm2, n=2.Para efectos de cálculo no considerar la tensión del hormigón.

I=

π

64

Ø 4 + Ay 2

M = 1150 x − 2000 x − 3 − 250 x − 3 2

2

+ 250 x − 5 2

∴1150 x − 2000 ( x − 3 ) − 250 ( x − 3 ) + 250 ( x − 5 ) − x = 5.40m M * ymax ≤ σ σ max = max NI

Tramo L – m

( 345000 )(18 ) 2 ⎡ π 4 π 2 ⎛ Ø⎞ ⎤ N ⎢ Ø + Ø ⎜ 18 − ⎟ ⎥ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 64 ∴ N = 3 Ø = 1" l1 = 5.6m

2

−

400 x −5 9

3

400 3 ( x − 5) = 0 9

Tramo m - n ≤ 2100

( 600000 )(18 ) 2 ⎡ π 4 π 2 ⎛ Ø⎞ ⎤ N ⎢ Ø + Ø ⎜ 18 − ⎟ ⎥ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 64 N = 3 Ø = 1 1 4 " l2 = 4.8m

≤ 2100

127


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.10.-Para la estructura mostrada, determinar el número de aceros longitudinales, diámetros y sus longitudes por tramos: Si σf =4200Kg/cm2, n=2.Para efectos de cálculo no considerar la tensión del hormigón.

I=

π

64

Ø 4 + Ay 2

M = 600 x − 1000 x −1 − 250 x − 3

2

2

+ 250 x − 5 + 2400 x − 5

∴ 600 x − 1000 ( x − 1) = 0 x = 2.5m σ max =

M max * ymax NI

≤ σ

Tramo L – m

( 60000 )(18 ) 2 ⎡ π 4 π 2 ⎛ Ø⎞ ⎤ N ⎢ Ø + Ø ⎜ 18 − ⎟ ⎥ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 64 ∴ N = 2

1 " 2 l1 = 2.7m

Ø =

Tramo m - n ≤ 2100

( 200000 )(18 ) 2 ⎡ π 4 π 2 ⎛ Ø⎞ ⎤ N ⎢ Ø + Ø ⎜ 18 − ⎟ ⎥ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 64 N = 3

≤ 2100

3 " 4 l2 = 4.7m Ø =

128


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMAS PROPUESTOS FLEXIÓN EN VIGAS

6.1.- Calcular los esfuerzos máximos de tracción y de compresión de la sección

transversal del perfil T.

6.2.- Determinar esfuerzos Máximos de la sección transversal del perfil I de 120x20 cm.

6.3.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del perfil L.

6.4.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del angular T

invertida.

6.5.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del angular C.

129


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. 6.6.- Dimensionar la viga de sección transversal circular para σ =2100 kg/cm 2 .

6.7.- Dimensionar la viga de sección transversal circular para σ =2100 kg/cm 2 .

6.8.- Dimensionar la viga de sección transversal rectangular para σ =1050 kg/cm 2 .



6.11.- Dimensionar la viga de sección transversal circular para σ =2100 kg/cm 2 .

130


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. 6.12.-Dimensionar la sección transversal de la viga, σf = 4200Kg/cm2, n= 2.

6.13.-Dimensionar la viga de sección transversal rectangular,

σf

= 2100Kg/cm2, n= 3.

6.14.-Dimensionar la viga de sección transversal circular hueca de espesor de 30mm, σ =2100

kg/cm 2 .

6.15.-Dimensionar la viga de sección transversal rectangular con espesor se 40mm, para

una tensión de fluencia de

σf

= 2100Kg/cm2, con un factor de seguridad de 2.

6.16.-Dimensionar la viga de sección circular hueca con espesor se 40mm, para una

tensión de fluencia de σf = 4200Kg/cm2, con un factor de seguridad de 2.

131


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. 6.17.- Determinar el modulo resistente (S) de la sección transversal de la viga mostrada.

6.18.- Determinar el modulo resistente (S) de la sección transversal de la viga mostrada.

Para una tensión de fluencia de σf = 4200Kg/cm2, con un factor de seguridad de 2.


Para una tensión de fluencia de σf = 200GPa, con un factor de seguridad de 2.


Para una tensión de fluencia de σf = 4200Kg/cm2, con un factor de seguridad de 3.

6.21.- Calcular las dimensiones para la sección transversal de la viga mostrada en la

figura si: σtrac.=600Kg/cm2, σcomp.=1400Kg/cm2.

132


Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. 6.22.-Determinar el número de las barras de acero longitudinales, diámetros y sus longitudes por tramos. Para efectos de cálculo no considerar la tensión del hormigón.

6.23.- Determinar el número de las barras de acero longitudinales, diámetros y sus

longitudes por tramos. Para efectos de cálculo no considerar la tensión del hormigón.





133


Capitulo VII

…………………………………………………………………………………………….

CAPITULO VII TENSIÓN CORTANTE EN VIGAS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------7.1.- INTRODUCCIÓN Este capitulo esta dedicado al estudio de los cortantes en vigas causados por fuerzas cortantes transversales. Es considerado también el problema relacionado con unir partes longitudinales separadas de una viga por medio de tornillos, pegamento o soldadura. El capitulo se limita al análisis elástico, que es el que mas se emplea para la resolución del tipo de problemas considerados. 7.2.- HIPÓTESIS • La sección transversal tiene que ser uniforme. • El material tendrá que ser homogéneo y obedece a la ley de Hooke. • Las cargas que actúan sobre la viga, tendrán que ser perpendiculares sobre la viga. • El modulo de elasticidad a la tracción es aproximadamente igual al modulo de elasticidad al de compresión. • El esfuerzo cortante de trabajo tendrá que ser menor al esfuerzo cortante admisible. 7.3.- OBJETIVOS • Establecer la distribución de tensiones cortantes y su comportamiento en la viga. • Hallar la ecuación que nos permita encontrar su valor en cualquier punto de la viga. • Establecer los criterios de dimensionamiento. • El objetivo principal es como encontrar la ecuación del esfuerzo cortante debido V * A′Y ′ a flexión que esta dada de la forma siguiente : τ = I * b

134


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.4.- DEDUCCIÓN DE ECUACIÓN DE ESFUERZO CORTANTE A FLEXIÓN Cuando se flexa una viga debido a la presencia de una carga, la experiencia muestra que existe un desplazamiento entre vías en la que produce limites cortantes a lo largo de la viga. Cuya deducción se realiza a base de las hipótesis mencionadas anteriormente, para el cual tendremos una viga de longitud “L”, tal como se observa en la siguiente figura.

σa dA’ = σa dA’ + τ dA h/2

h/2

∫y σ a dA′ = ∫y σ c dA

M ∫

h/2 y

a

I

M ∫ I

dA ′ =

a

dA ′ -

h/2

'

M ∫ dA c

I

M ∫

Recordando que σ a = M a * Y

∫τ dA

+

’

I

y

h/2 y

h/2 y

Aplicando las integrales ambos miembros tenemos.

h/2

'

+

∫ τ b dx

⇒ Operando tenemos

y

h/2 y

c

I

dA ' = τ b dx

⇒

Como M a - M c = dM ⇒ tenemos

M − M a

c

I

h/2

∫ yd A′

y

= τ b dx

h/2

dM

yd A′ = τ ∫ I * b * d x y

h/2

Recordando que

∫

yd A′ = A′ * y ′

y

y

dM dx

= V tenemos: τ =

V * A′ * Y ′ I * b

* A′ * Y ′  ≤ τ ……………….(7.1) I * b

Para su dimensionamiento tenemos: τ = V max Donde: τ = Tensión cortante debido a flexión (

Kg cm 2

)

Vmax = Es la vertical máxima que sale de la grafica de esfuerzos (Kg). I= Es el momento de inercia con respecto al eje (cm 4). A′ = Área a partir del punto de cálculo de esfuerzo cortante (cm 2). Y ′ = Distancia desde la línea neutra hasta el centro de A′ (cm). b = Base que varia de acuerdo al punto donde se quiere calcular (cm).

135


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.5.- GRÁFICAS DE LOS ESFUERZOS CORTANTES DE PERFILES

136


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.6.- PERFILES (SECCIONES) DE ACERO Los miembros estructurales mayormente utilizados son aquellos que tienen grandes momentos de inercia con relación a sus áreas.

7.6.1.- PERFILES W Los perfiles I tienen esta propiedad, generalmente los perfiles de acero se designan por la forma de sus secciones transversales, estas vigas son de patín ancho (denominadas vigas W).

La simbología que es utilizada es:

7.6.2.- PERFILES S Es muy utilizado en diseño de puentes ya que estos facilitan el escurrimiento del agua o la nieve que esta en contacto con el perfil esto debido a la pendiente que este presenta.

137


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.6.3.- PERFILES C Los perfiles C, pueden usarse en la construcción de armaduras planas conectadas a placas de nudo con pernos, remaches o soldadura . Con (x, y) ejes del centro de gravedad.


7.6.4.- PERFILES L. Los perfiles L son los más comúnmente usados, para minimizar las cargas de viento o por razones estéticas. Con (x, y) ejes del centro de gravedad.


138


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.6.5.- PERFILES RECTANGULAR HSS Los perfiles Rectangular y Cuadrado HSS son perfiles para uso expuesto, para minimizar las cargas de viento o por razones estéticas. Con (x, y) ejes del centro de gravedad.

7.6.6.- PERFIL CIRCULAR HSS Los perfiles Circular HSS o sección Tubular al igual que los perfiles Rectangular y Cuadrado HSS son utilizados para un uso expuesto. Con (x, y) ejes del centro de gravedad.

139


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMAS RESUELTOS DE CORTANTE A FLEXIÓN EN VIGAS PROBLEMA 7.1.- Calcular las dimensiones necesarias de las secciones transversales de las vigas rectangular de h=2b, para una tensión admisible de 2100Kg/cm 2 y la tensión cortante máxima de las mismas.

∑FH=0 → - HA + 500*2 + 3000=0→ HA= 4000Kg ∑MA=0

1000 + 1000*4 – 5*DV +1000*7=0 DV = 2400Kg ∑FV=0

AV + DV – 1000 – 500*2 – 1000=0 AV =600Kg Cálculo de Momentos por Áreas: MA=0

MB=600Kg*m

MC=600 – 400*2 → MC= – 200Kg*m MD= – 200 – 1800 → MD= – 2000Kg*m ME= – 2000 + 1000*2 → ME=0

h

3000 200000* 2 + ≤ 2100 ⇒ b ≥ 5.2276cm ⇒ b = 5.5cm y h=11cm 3 b*h b*h 12

τ

=

V

Kg * A′ * Y ′ 3 V 3 1400 ⇒τ = * ⇒τ = * ⇒ τ = 34.71 cm2 2 A 2 5.5*11 I * b

2

2

⎛ N ⎞ ⎛ 3000 ⎞ 2 2 τ Max = ⎜⎝ 2 A ⎟⎠ + τ ⇒ τ Max = ⎜⎝ 2*5.5*11 ⎟⎠ + 34.71 ⇒

τ Max = 42.66

Kg cm

2

.....Solucion de tensión cortante máxima

140


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 7.2.- Calcular la dimensión necesaria de la sección transversales de la viga y la tensión cortante máxima de la misma si σ = 2100

Kg cm

2

.

ΣFH = 0 → H = 0 ∑MB=0

- 2000*2 + 2000*5 +1500*20/3 - 10*C V =0 CV = 1600Kg ∑FV=0

BV + CV – 2000 – 1500 =0 BV =3900Kg Cálculo de Momentos por ecuación singular. M= - 2000X + 3900 (X - 2) - 100 (X - 2)2 - 5 (X - 2)3 Verificación de la ecuación de momento singular. Para X=12m →M =0 M= - 2000*12 + 3900 (10) - 100 (10)2 - 5 (10)3 =0

dM dX

2

= V ⇒ −2000 + 3900 − 200 ( X − 2 ) −15 ( X − 2 ) = 0 ⇒ X = 8.414 m

Para: X=8.414m 2 3 M = −2000*8.414 + 3900*6.414 −100*6.414 − 5*6.414 = 2753.32

σ max =

σ max * y max ≤ σ ⇒

400000*

I

4

π *φ

φ

2 ≤ 2100 ⇒ φ ≥ 12.47 ⇒ φ = 13cm

64 4 3

4 1900 3 π *132 4

V max ⇒ * τ max = * A

⇒τ max = 19.08

Kg cm 2

141


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 7.3.- Calcular la dimensión de la sección transversal y dibujar la distribución de las tensiones cortantes de la viga mostrada en la figura, de modo que no sobrepase los siguientes valores admisibles: σ = 150 MPa , τ = 75 MPa

(6a)(8a)3 (2)(2.5)(6a )3 − ⇒ I = 166a 4 I = 12 12 M * ymax 300000*4 a σ max = max ≤ σ = ≤ 150*106 ⇒ a ≥ 1.689*10 −2 ⇒ a = 1.7 cm 4 166a I Cálculo de esfuerzos cortantes 4

I = 166(1.7) ⇒ I = 1386.45cm

τ1 =

V * A* y I * b V * A '* y

4

⇒ τ 1 = 0

10000* 6*1.7 2 *5.95 τ2 = ⇒τ2 = ⇒ τ 2 = 72.96 N / cm2 I * b 1386.45*10.2 2 10000* 6*1.7 *5.95 τ3 = ⇒ τ 3 = 437.74 N / cm2 1386.45*1.7 10000*25.5 τ4 = ⇒ τ 4 = 531.54 N / cm2 2 166*1.7 σ x =

M max * ymax I

⇒

y max = 3a

30000*100*3*1.7 N 2 1386.45 cm σ x = 11035.38 N / cm2 σ x =

2

2 ⎛ 11035.38 ⎞ τ max = ⎜ + ( 437.74 ) ⇒ τ max = 5535.026 N / cm2 ≤ 75 MPa ⇒ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 55.35 MPa ≤ 75 MPa

142


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 7.4.- Calcular las dimensiones necesarias de las secciones transversales del perfil “I” y la cortante máxima de las mismas. Para σ = 150 MPa

∑MB=0

- 20*0.5+ 20*2 +20*3.5 - 4*E V =0 EV = 30KN ∑FV=0

AV + EV – 20– 20– 20 =0 AV =30KN Cálculo de Momentos por áreas. MA=0

MB=20KN*m

MC=20 + 10 → MC= 30KN*m MD= 30 – 10 → MD= 20KN*m ME= 20 – 20→ MD=0 σcomp

* y 6 ∑ A y = = i

i

A

σ max =

a a2 * +6a2 *4a+ 6a2 *7.5a

2 6a2 +6a2 +6a2

⇒ y = 4a

I = 166a

4

σ max * y max ≤ σ ⇒ 30000*4a ≤ 150*106 ⇒ a ≥ 1.68 ⇒ a = 1.7 cm 166a 4

I

30000*100*3*1.7 ⇒ σx=11035.39N/cm2 4 166*1.7 * A′ * y′ 10000* 6*1.7 2 *3.5*1.7 N V τ = ⇒τ = ⇒ τ = 437.74 2 4 166*1.7 *1.7 I * b cm

Para y=3a ⇒ σx=

2

2 ⎛ σ x ⎞ N ⎛ 11035.39 ⎞ 2 2 τ 437.74 5535.032 = + ⇒ = + ⇒ = ⎜ ⎟ τ Max τ Max ⎜⎝ 2 ⎟⎠ τ Max 2 cm ⎝ 2 ⎠

143


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 7.5.- Calcular las dimensiones necesarias de las secciones transversales del perfil “T” y la cortante en la línea neutra. Si σ = 1400

Kg cm

2

∑F=0 → - H + 3000=0→ H= 3000Kg ∑MA=0

M + 800*2 – 1000*3 –200=0 →M=1600Kg*m ∑FV=0 VA – 1600 +1000=0 →VA =600Kg Cálculo de Momentos por Áreas : MA=1600 MC=1600 + 300*0.75 → MC= 1825Kg*m MD= 1825 – 500*1.25 → MD= 1200Kg*m ME= 1200 – 1000*1 → ME=200Kg*m MF= 200 +0 →MF= 200Kg*m M’F= 200 – 200 → M’F= 0

* y ∑ A y = =8 i

i

A

I =

a *(8a )3

12

2

a

*4a+12a2 *9a 8a2 +12a2

⇒ y = 7a

6a *(2a )3 + 8a *(7 a − 4a) + + 12a *(9a − 7a )2 ⇒ I = 166.67a 4 12 2

2

N

* σ max y max + ≤ σ

σ max = A N

σ max = A

I

* 3000 182500*7 a σ max y max + ≤ σ ⇒ + ≤ 1400 ⇒ 20a 2

I a ≥ 1.76 ⇒ a = 1.8cm

τ =

V * A ′ * y ′ ⇒ τ I

*b

=

1 00 0 * 7 * 1.8 2 * 3 .5 * 1.8 Kg 45.37 τ ⇒ = 166.67 *1.8 4 * 1.8 cm 2

2

τ

L . N

166.67 a 4

⎛ ⎞ = ⎜ σ x ⎟ + τ 2 ⇒ τ ⎝ 2 ⎠

2

L.N

Kg ⎛ 1500 ⎞ 2 45.37 50.93 = ⎜ + ⇒ = ⎟ τ 2 L . N cm 2 ⎝ 20 *1.8 ⎠

144


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 7.6.- Seleccionar el perfil mas económico de sección transversal I y encontrar la cortante máxima, si el esfuerzo de trabajo es de 2100 kg/cm 2 ∑MB=0

– 1000+2000+8000 – 6*R 2 =0 R 2 = 1500Kg ∑ME=0

– 4000 – 4000 – 7000+ 6*R 1 =0 R 1 = 2500Kg Control ∑FV=0 → R 2+ R 1 –4000=0 Determinación de Sxx

σmax=

S

xx

N A

M max * y max ≤ σ

+

I

≥ M max ⇒

S yy ≥

σ

300000 ≥ 142.86 cm3 ⇒ S xx 2100

Perfil americano de ala ancha Buscamos de las tablas que están al final. Kg 3 S = 179cm → q = 17.9 cm2 xx

Kg 3 S = 163cm → q = 19.4 cm2 xx

Perfil Europeo Kg 3 S = 143cm → q = 25.5 cm2 xx

Se elige el perfil mas económico de carga q=18Kg/m M q = −9 x 2 + 96( x − 2) Para x=6m M (6) q = −9(6) 2 + 96(6 − 2) ⇒ M (6) q = 60 M T = 3000 + 60 ⇒ M T = 3060 kg.m M 306000 ∴σ max = T ≤ 2100 ⇒ ≤ 2100 ⇒ 1709.50 ≤ 2100 ok . 179 S xx

145


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. Determinación de la grafica de tensiones cortantes y la grafica

I = 2240cm4…….. Valor sacado de la tabla correspondiente al perfil elegido. σ max =

M max * ymax I

≤ 150*106 ⇒ a ≥ 1.689*10 −2 ⇒ a = 1.7 cm

Cálculo de esfuerzos cortantes τ1 =

V * A* y I * b V * A '* y

⇒ τ 1 = 0

1512*5.353*12.285 Kg ⇒ τ 2 = 4.4 2 I * b cm 2240*10.1 1512*5.353*12.285 Kg τ3 = ⇒ τ 3 = 92.48 2 2240*0.48 cm 100.44 1512*11.1226* 11.1226 ⇒ τ = 141.24 Kg τ4 = 4 2 2240*0.48 cm

τ2 =

σ x =

⇒τ2 =

M max * ymax I

⇔

y max = 12.02cm

306000*12.02 Kg 2 2240 cm σ x = 1642.02 Kg / cm 2 σ x =

2

τ max

Kg 2 ⎛ 1642.02 ⎞ = ⎜ + ( 92.48 ) ⇒ τ max = 826.202 2 ⎟ cm ⎝ 2 ⎠

Las dimensiones de la sección son: h=25.1cm b=10.1cm e=0.53cm ealma=0.48cm

146


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMAS PROPUESTOS CORTANTE EN VIGAS 7.1.-Construir el diagrama de esfuerzos cortantes horizontales τ para la sección transversal mostrada. Si σ = 2100

Kg cm

2

7.2.- Determinar el esfuerzo cortante máximo, estableciendo previamente las dimensiones de la sección transversal con el esfuerzos admisibles dados de σtrac.=2.3MPa, σcomp.=3.5MPa.

7.3.- Calcular las dimensiones de la sección transversal de la viga, si σadm.=1600Kg/cm2, τadm.=1000Kg/cm2.

7.4.- Calcular los esfuerzos cortantes producidos, cada 20mm, medidos desde la parte superior de la sección transversales mostrada en la figura; cuanto vale τmax =?

147


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.5.- Calcular las dimensiones necesarias de las secciones transversales de las vigas. Si σadm.=65Ton/m2.Hallar la tensión cortante máxima.

7.6.- Calcular el esfuerzo cortante máximo y las dimensiones de la sección transversal para la viga mostrada. Si σadm.=2.1MN/m2.

7.7.- Calcular las dimensiones necesarias de la sección transversal de la viga de la figura, si: σcomp.=2σtrac. Determinar la tensión cortante máxima.

7.8.- Calcular las dimensiones necesarias, para la sección transversal de la viga mostrada, dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes en todos los puntos necesarios y calcular τmax σ = 1050 Kg/cm2.

148


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.9.- Calcular las dimensiones necesarias de las secciones transversales del perfil “T” invertida y la cortante máxima del sistema mostrado. Si σ = 1400

Kg cm

2

7.10.- Calcular las dimensiones necesarias, para la sección transversal de la viga mostrada, dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes en todos los puntos necesarios y calcular τmax =?. σ = 1050 Kg/cm2.

7.11.- Calcular las dimensiones para la sección transversal de la viga mostrada en la figura si: σ=200MN/m2, τ=0.5σ y n=2.

7.12.-Una viga simplemente apoyada cargada como muestra la figura, tiene una sección I como la indica. Determinar la relación entre σmax y τmax.

149


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.13.-Calcular la magnitud de la fuerza P que actúa en la viga de la figura. Usar σadm.=1000Kg/cm2, τadm.=500Kg/cm2

7.14.- Calcular la dimensión de la sección transversal de la viga mostrada en la figura, de modo que no sobrepase los siguientes valores: σ=300MN/m2, τ=0.5 σ y n=2.

7.15.- Calcular las dimensiones de la sección transversal de la viga que satisfaga las condiciones de la resistencia, cuando P=80Kg, σ=1600Kg/cm2, τ=0.6σ y n=2.

7.16.- Calcular W en la viga de la figura, si σ=20MPa, τ=1.8σ y n=2, verifique los esfuerzos en los puntos de concentración de tensiones.

150


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.17.-Calcular la tensión cortante máxima. Si σ=52800Kg/m2, τ=0.6σ y n=2.

7.18.- Calcular el valor de M, en la viga de la figura, si: σ=10MPa, τ=2MPa, verificar los esfuerzos en los puntos de concentración de tensiones.

7.19.- Calcular la magnitud de la fuerza admisible P que actúa en la viga de la figura. Usar. σtrac.=352000Kg/m2, σcomp.=800Kg/cm2 y τ=3000000Kg/m2.

7.20.-Calcular las dimensiones transversales de la viga mostrada en la figura, de modo que no sobrepase los siguientes valores admisibles: σ=2400Kg/cm2, τ=0.6σ, n=2.

151


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.21.- Calcular las dimensiones necesarias de la sección transversal de la viga de la figura. Usar: σ=160MPa, τ=0.5σ, n=2.

7.22.- Seleccionar el perfil mas económico de sección I y encontrar la cortante máxima, si el esfuerzo admisibles de σ =4200 kg/cm 2

7.23.- Seleccionar el perfil mas económico de sección H y encontrar la cortante máxima, si el esfuerzo admisibles de σ =4200 kg/cm 2

7.24.- Seleccionar el perfil mas económico de sección “L” y encontrar la cortante máxima, si el esfuerzo admisibles de σ =4200 kg/cm 2

152


Capitulo VII

……………………………………………………………………………………………. 7.25.- Seleccionar el perfil mas económico de sección “C” y encontrar la cortante máxima, si el esfuerzo admisibles de σ =4200 kg/cm 2

7.26.- Seleccionar el perfil mas económico de sección “L” y encontrar la cortante máxima, si el esfuerzo admisibles de σ =1050 kg/cm 2 .

7.27.- Seleccionar el perfil mas económico de sección “L” y encontrar la cortante máxima, si el esfuerzo admisibles de σ =1050 kg/cm 2 .

7.28.- Calcular las dimensiones de la sección transversal y la tensión cortante máxima de la viga que satisfaga las condiciones de la resistencia, σ =1600Kg/cm2.

153


Capitulo VIII

…………………………………………………………………………………………….

CAPITULO VIII DEFORMACIÓN EN VIGAS A FLEXIÓN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------8.1.- INTRODUCCIÓN En los capítulos 6 y 7, se estudio el diseño de vigas por resistencia. En este capitulo se analizara otro aspecto de diseño de vigas que es la deformación de vigas debido a la flexión, en particular se trata de determinar la deformación máxima de una viga bajo una carga dada, ya que las especificaciones de diseño influyen generalmente un valor máximo admisible para la deformación (conocido también deflexión de viga).

8.2.- HIPÓTESIS

• • • •

La sección tiene que ser uniforme. El material tendrá que ser homogéneo y obedece a la ley de Hooke. Las cargas deben ser perpendiculares sobre la viga. La deformación máxima calculada debe ser menor que el de deformación admisible debido a la flexión.

8.3.- OBJETIVOS

• • •

Hallar el valor de la deformación en cualquier punto. Aplicar el criterio de dimencionamiento. El objetivo principal de esta parte es encontrar la ecuación elástica. ¿Cómo se deforma.

154


Capitulo VIII

…………………………………………………………………………………………….

8.4.- DEDUCCIÓN DE ECUACIÓN DE DEFORMACIÓN EN FLEXIÓN

Tanθ ≅ θ ⇒ Tanθ =

dy

d θ

d 2 y

= 2 ……. (8.1) dx dx ds dx d θ 1 De la Fig.b, tenemos d θ = pero ds ≅ dx ⇒ d θ = ⇒ = …….. (8.2) dx ρ ρ ρ dx

∴ θ =

dy dx

Derivando tenemos

Sustituyendo la ecuación (8.2) en la ecuación (8.1) tenemos:

d 2 y dx 2

=

1 ρ

..…… (8.3)

Recordando del capitulo 6 de flexión en vigas tenemos: 1 E * I M ⇒ = ………………………………………………(8.4) M = ρ E * I ρ Sustituyendo la ecuación (8.4) en la ecuación (8.3) tenemos: d 2 y M = ⇒ Esta es una ecuación diferencial elástica………………..(8.5) 2 E * I dx E * I *

dy dx

= ∫ Mdx 2 ⇒ EIY = ∫∫ Mdx 2 + C 1 X + C 2 Ecuación integral de la elástica.

Donde: E = Modulo de elasticidad propio del material (Kg/cm 2). I = Momento de inercia de la sección transversal de la viga (cm 4). Y = Es la deformación de la viga (cm). M = Ecuación singular de momento en función de X. C 1 y C 2 son constantes que están en función de las condiciones de frontera . 2 3 Cuyas unidades de C 1 es (Kg*m ) y de C 2 es (Kg*m ).

155


Capitulo VIII

…………………………………………………………………………………………….

8.5.- DIFERNENTES CASOS DE LAS CONDICIONES DE FRONTERA.

Las condiciones de frontera siempre se toman en los apoyos, de izquierda hacia la derecha.

156


Capitulo VIII

…………………………………………………………………………………………….

PROBLEMAS RESUELTOS DE DEFPRMACIÓN DEVIDO A FLEXIÓN

PROBLEMA 8.1.- Calcular la deformación máxima si E=2.1 x 10 6Kg/cm2

∑Fx=0 → - H + 1000+2000=0→

Solución:

H= 3000Kg ∑MA=0

–M+500*2+1000*3=0 →M=4000Kg*m ∑FV=0

VA – 1000 – 1000=0 →VA =2000Kg

Ecuación singular de momento para lo cual tiene que estar completo la carga para poder seccionar en el ultimo tramo, esta sección se hace con la finalidad de que el ultimo tramo contenga todas las ecuaciones de los anteriores tramos

M = −4000* x 0 + 2000 x − 250 x 2 + 250 x − 2 EI

dy dx

= −4000 x +1000 x 2 −

EIY = −2000 x + 2

1000

x − 3

3 Condiciones de contorno dy

x = 0 y = 0

⇒ c2 = 0

;

dx

250 3 250 12

x + 3

x + 4

250 3 250 12

2

x −2

3

+ c1

x −2

4

+ c1x + c2

=0

x= 0

⇒ c1 = 0

Para x=3m se da la deformación máxima. 1000 3 250 250 4 (3) − (3) 4 + (1) = −2000(3) 2 + EI δ MAX 3 12 12 10666.67 x10 6 Kg * cm3 ⇒ δ MAX = 0.15 cm EI δ MAX = −10666.67 ⇒ δ MAX = 3 15*30 2.1 x10 6 * 12

157


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 8.2.- Calcular la deformación máxima si E=2.1 x 10 6Kg/cm2.

Solución:

Determinación de las reacciones ∑MA=0

–M+500*1*1.5+2000*3=0 →M=6750Kg*m ∑FV=0

VA – 500 – 2000=0 →VA =2500Kg Ecuación singular de momento

0 2 2 M = −6750 x + 2500 x − 250( x − 1) + 250( x − 2) →

para x = 3 ⇒ M = −6750 + 2500(3) − 250(4) + 250 ⇒ M = 0 EI

dy dx

= −6750 x + 1250 x 2 −

EIY = −3375 x + 2

1250

x − 3

250

3 250

250

( x − 1) 3 + 4

x −1 +

3 250

3 12 Condiciones de borde para hallar c1 , c2

12 dy

x = 0

para

y = 0

⇒ c2 = 0

EIY = −3375 x + 2

para

1250

x − 3

250

x −1

4

+

dx

( x − 2) 3 + c1............primera integral 4

x − 2 c1x + c2 ......................... segund a integral

=0

x =0

250

⇒ c1 = 0 4

x − 2 ................Ecuación elástica

3 12 12 La deformación máxima se da para x=3 m 1250 3 250 250 2 (3) − (2) 4 + ⇒ EI δ MAX = −19437.5 EI δ MAX = −3375(3) + 3 12 12 (19437.5))(64) δ MAX = ⇒ δ MAX = 0.233cm 2.1* π *30 4

158


Capitulo VIII


Solución:

Determinación de las reacciones ∑MB=0→ –1600–1200+100–3000+600–3*V E +4*2100+360=0 → VE =1220Kg ∑ME=0→360+2100+1500+600+2*1200+100+3*VB – 800*4=0 → VB = –220Kg

Ecuación singular de momento 2 M = −400 x − 220 x − 2 + 400 x − 2

600 x − 4 EI

dy dx

=−

0

400 3

400 12

x = 2

Para

y = 0 x = 5

Para

y = 0

2

x −

+

2

x 3 − 110 x − 2

1

300 x − 4

0

+ 1200 x − 3 + 100 x − 3 + 1500 x − 4 +

+ 1220 x − 5

600 x − 4 + 610 x − 5 EIY = −

2

4

110 3

610 3

⇒0=− ⇒0=−

12 400

400

x −2

3

3

2

+ 600 x − 3 +100 x − 3 + 750 x − 4

2

+

+ c1 3

x−2

x −5

400

2

+

3

+

400 12

x −2

4

3

2

3

+ 200 x − 3 + 50 x − 3 + 250 x − 4 +

+ c1x + c2

(2) − 4

(5) 4 −

110 3 110

12 3 5c1 + c2 = 16773.33 − − − − − E .2

3 (0) + 2c1 + c2 ⇒ 2c1 + c 2 = 533.33 − − − − − E.1

(3)3 +

400 12

(3) 4 + 200(2)3 + 250(1) 3 + 300(1) 2 ⇒

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos: c1 = 5413.33

c2 = −10293.34

La defornación maxima se dá para x = 0 ⇒ δ max = −

10293.34 EI

⇒ δ max =

10293.34 *64 2.1* π * 25 4

⇒ δ max = 0.26cm

159


Capitulo VIII


Solución:

Determinación de las reacciones ∑MB=0→ –1400–2000+2*1800–3*V E +4*900=0→ VE =1266.67Kg ∑ME=0→900-1800+2*2000+3*VB – 4*1400=0 → VB = 833.33Kg

M = −350 x 2 + 833.33 x − 2

EI

dy

=−

dx 1266.67

2

350 3

x − 5

x + 3

2

833.33 2

350

1266.67

x − 5 + c1 x + c2

6 x = 2

para

y = 0

x =5

para

y = 0

2

+ 350 x − 2 + 2000 x −3 −1800 x −4 +1266.67 x −5

x−2

2

3

+

+

350 3

x −2

3

4

+

2

2

+ 1000 x − 3 − 900 x − 4 +

+ c1

EIY = −

12

2

x4 +

833.33 6

x−2

350 12

x −2

1000 3

x −3

3

3

− 300 x − 4 +

3

⇒0=− ⇒0=−

350 12 350

(2) 4 + (5)4 +

833.33

6 833.33

12 6 5c1 + c2 = 9750.015 − − − − − − E .2

(0)3 + 2c1 + c2

(3)3 +

350 12

(3)4 +

⇒ 2c1 + c2 = 466.67 − − − − − −E.1 1000 3

(2) 3 − 300 + 5c1 + c2 ⇒

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos: c1 = 3094.45

c2 = −5722.23

La defornación maxima se dá para x = 0 ⇒ δ max = −

5722.23 EI

⇒ δ max =

5722.23*64 2.1* π * 20 4

⇒ δ max = 0.35cm

160


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 8.5.- Calcular la deformación máxima de la estructura presente. Si σ =225 kg/cm 2 , τ = 0.5σ y E=2.1*10 6kg/cm2.

Solución

Se tiene que verificar los datos del problema

σ max =

M max * Y max I

≤ σ ⇒

( 320000 )(10 )(12 ) ≤ 225 ⇒ 480 ≤ 225 ⇒ no 3 (10) ( 20 )

cumple

∴ Los valores reales de la secciones serán: siendo b=h/2

( 320000 )( h / 2 )(12 ) ≤ 225 ⇒ b ≥ 12.87 3 b ( 2b )

cm ⇒ b = 13 cm ∴ h = 26 cm

161


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. Verificación al cortante por flexión τ max = τ max =

Vmax * A * y I * b 3 V max

2 A

≤ τ ⇒

≤ τ ⇒

3 2700 2 (13)(26)

≤ 112.5 ⇔ 11.98 ≤ 112.5

ok !

Con los valores verdaderos tenemos: 3

(13) ( 26 ) bh 3 ⇒ I= ⇒ I = 19040.67 cm4 I= 12 12 Ecuación general de momento singular M =2700x+500x-4000 x-1 -250 x-3

2

+3800 x-5 + 250 x − 5

M = 2700 x + 500 x − 500 x −1 − 4000 x −1 − 250 x − 3

2

2

− 500 x − 1

+ 3800 x − 5 +

2

250 x − 5 ............Ecuación general Verificación para x = 7m

⇒ 2

2

M = 2700 ( 7 ) + 500 ( 7 ) − 500 ( 6 ) − 4000 (6 ) − 250 (4 ) + 3800 (2 ) + 250 (2 ) ⇒ M = 0

Primera integral EI

dy

2

2

= 1350 x 2 + 250 x 2 − 250 x − 1 − 2000 x − 1 −

250

dx 250 3 x − 5 + c1 3

3

3

x − 3 + 1900 x − 5

2

+

Segunda integral EIY=450x 3 + 250 12

4

x − 5

250 3 250 2000 250 3 3 x − x −1 − x −1 − x −3 3 3 3 12

4

+

1900 3

x −5

3

+

+ c1x + c2

Condiciones de contorno para buscar c1 , c2 x=0

para

y=0

⇒ c2 = 0

x=5

para

y=0

3

⇒ 0 = 450 5 +

250 3

3

5 −

250 3

3

5 −1 −

2000 3

3

4 −

250 12

2

4

+ 5c1 ⇒

c1 = −3666.67

162


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. Sustituyendo los valores de la constante, se tiene una ecuación general de la deformación

Se busca una deformación en e tramo (B-C) para un intérvalo de 1< x < 3

Una función es máxima cuando su primera derivad es cero

d d

y

=0

x

1350 x 2 + 250 x 2 − 250 x −1

∴ Para

2

− 2000 x −1 − 3666.67 = 0 ⇒

x = 1.76 m ⇒ 3

EI δ 1 = 450 (1.76 ) +

δ 1 =

2

250

−3874.96

3

3

(1.76 ) −

250 3

3

(0.76 ) −

2000 3

3

( 0.76 ) − 3666.67 (1.76 ) ⇒

EI

Existe otra deformacion para x=7 3

EI δ 2 = 450 ( 7 ) +

δ2 =

−4666.69 EI

250 3

⇒ δ2 =

3 (7 ) −

250 3

3 ( 6) −

4666.69

( 2.1)(19040.67 )

2000 3

3 (6) −

250 12

4 ( 4) +

1900 3

3 ( 2) +

250 12

4 ( 2 ) − 3666.67 ( 7 )

⇒ δ 2 = δ max ⇒ δ max = 0.117 cm.

163


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 8.6.- Calcular la dimensión de la sección transversal de la viga mostrada Kg en la figura, de modo que no sobrepase los siguientes valores admisibles: σ = 1200 2 cm Kg τ = 720 , δ = 0.0025m y E= 4 x 10 5Kg/cm2. 2 cm

Solución

Análisis por flexión

σ max =

σ

max

* y

I

max

≤ σ ⇒

44000*6 a 664a 4

≤ 1200 ⇒ a ≥ 0.69 ⇒ a = 0.7 cm

Análisis a cortante por flexión τ1 = τ2 =

τ 2′ =

V * A* y I * b V * A '* y I * b V * A '* y

⇒ τ 1 = 0 2

⇒τ2 = ⇒ τ 2′ =

440*7 a *5.5 a 664 a 4 *7 a 440*7 a 2 *5.5 a

⇒ τ 2 = 7.44

Kg cm

⇒ τ 2′ = 17.36

2

Kg

664 a 4 *3a cm2 70a 3 2 440*16 a * 2 V * A '* y 16a ⇒ τ = 31.55 Kg τ3 = ⇒τ3 = 3 2 664a 4 *3a I * b cm I * b

164


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. 70a 3 2 440*16 a * V * A '* y 16a 2 ⇒ τ ′ = 94.66 Kg τ 3′ = ⇒ τ 3′ = 3 4 2 I * b cm 664a * a 72a3 2 440*16 a * 2 V * A '* y Kg 18 a τ4 = τ 97.37 ⇒τ4 = ⇒ = 4 2 664 a 4 * a I * b cm Para realizar el análisis a tensión cortante máxima será:

σ C′ =

σ * y

≤ σ ⇒

I

44000*2*0.7 664*0.7

4

⇒ σ C ′ = 386.39

Kg cm 2

2

2 ⎛ σ x ⎞ ⎛ 386.39 ⎞ 2 2 τ Max = ⎜ 2 ⎟ + τ ≤ τ ⇒ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ + 94.66 ≤ 720 ⇒ 215.14 ≤ 720 ⎝ ⎠

Análisis a la deformación 1240 2560 0 2 M =x +800 x-1 + x − 3 − 110 x − 3 3 3 620 2 1280 110 dy 2 3 EI x + 800 x − 1 + x −3 − x − 3 + c1 =− dx 3 3 3 620 3 1280 110 2 3 4 EIY = − x + 400 x −1 + x −3 − x − 3 + c1x + c 2 9 9 12 x=0

Para

y=0 x=3

Para

y=0

EIY = −

⇒ c2 = 0 ⇒0=− 620 9

620 9

(3)3 + 400 2

x + 400 x −1 3

Para x=5 ⇒ EIY = − δ 1 =

786.67 EI

≤

L

1000

620

⇒

9

2

+

2

+ 3c1 ⇒ c1 =

1280 9

x −3

(5)3 + 400 4

786.67 x10 6 4 x10 5 *664 a 4

2

+

3

−

260 3

110

12 1280 9

2

x −3 3

−

4

+

110 12

260 3 2

4

x

+

260 3

*5 ⇒

≤ 0.25 ⇒ a ≥ 1.86 ⇒ a = 2 cm

La solución es a=2cm

165


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 8.7.- Seleccionar el perfil H mas económico de acero y encontrar la Kg deformación máxima, si el esfuerzo admisible es de σ = 1050 . 2 cm

Solución

Determinación de S yy

σmax= + M N

max

A

S

yy

S

yy

* y

≤ σ

max

I

≥ M max ⇒ ≥

σ 400000 1050

⇒ S

≥ 380.95cm3

yy

Perfil americano de ala ancha 3 S yy = 397cm → q = 101.2

S

yy

= 432cm3 → q = 101.2

3 478 = → q = 96.8 cm yy

S

Kg cm2 Kg

cm Kg

cm

2

2

Para X=3.75m → MT=680.625+2843.75→ MT=3524.375Kg*m

σ Para

x=8m ⇒ M T = 419360 kg.cm

σ max =

3000

+

419360

123 478 901.71 ≤ 1050 ok !

σmax=

≤ 1050

= max

4500

+

N A

+ M max ≤ σ

S

yy

352437.5

123 478 774 ≤ 1050

≤ 1050

El perfil ha sido seleccionado con las siguientes dimensiones: b=30.8 cm ∴ h=30.5 cm ∴e alma = 0.99 cm e = 1.54cm ∴ I = 7290cm ∴ A = 123cm 4

2

166


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. Determinación de la ecuación singular de momento del problema 0

2

2 M =1388x-48.4x +500 x-3 -2000 x-3 − 250 x-5

50

50

−

x −5

3

3

+ 400 x −8

2

+

3

x − 8 + 5530 x − 8

3 Verificación para x = 10m

⇒ M = 0 2

M = 1388(10) − 48.4(10) + 500 − 2000 (7 ) − 250 (5 ) − 2

50 3

3

2

(5 ) + 400 (2 ) +

50 3

3

(2 ) +

5530 ( 2 ) ⇒ M = 0 Primera integral EI

dy

= 694 x 2 −

48.4

x + 500 x − 3 −1000 x − 3 3

dx 3 400 50 3 x − 8 + x −8 3 12 Segunda integral

4

2

−

250 3

y=0

12

x −5

4

+

4

−

50

x −5

5

60

+

⇒ c2 = 0

x=8

para

50

2

694 3 48.4 4 1000 250 2 3 x − x + 250 x − 3 − x −3 − x −5 3 12 3 12 400 50 2765 4 5 3 x − 8 + x −8 + x − 8 + c1 x + c2 12 60 3 Condiciones de contorno para buscar c1 , c2 x=0

+

+ 2765 x − 8 + c1

EIY=

para

3

x −5

⇒0=

694

(8)3 −

48.4

3 +8c1 ⇒ c1 = −8076.933 y=0

12

(8)4 + 250(5)2 −

1000 3

(5)3 −

250 12

(3)4 −

5 6

(3)5 +

x=10 m ⇒ Se da una deformación máxima 694 48.4 1000 250 5 400 3 4 2 3 4 5 4 EI δ max = (10) − (10) + 250(7) − (7) − (5) − (5) + (2) + 3 12 3 12 6 12 5 2765 5 3 (2) + (2) − 8076.933(10) 6 3 455.67 EI δ max = 455.67 ⇒ δ max = ⇒ δ max = 0.0298 cm ( 2.1)( 7290 ) Para

Para el intervalo de 3 ≺ x ≺ 5 dy 48.4 3 = 0 ⇒ 694 x 2 − EI x + 500 x − 3 −1000 x − 3 3 dx EI δ max = EI δ max

δ max =

694

(3.57)3 −

3 = −18944.79

18979.72

( 2.1)( 7290 )

48.4 12

(3.57) 4 + 250(0.57) 2 −

2

1000 3

− 8076.933 = 0 ⇒ x = 3.57 m (0.57) 3 − 8076.933(3.57) ⇒

⇒ δ max = 1.24 cm ……………. Solución

167


Capitulo VIII

…………………………………………………………………………………………….

PROBLEMAS PROPUESTOS

8.1.- Determinar la deformación máxima del debido a la flexión para una sección I E=2.1x106Kg/cm2.

8.2.- Calcular de deformación Y en X=4m, medido desde el apoyo 1.Usar E=80GPa.

8.3.- Calcular la deformación máxima en el centro de los apoyos de la viga de la figura. Donde: E=80GPa.

8.4.- Calcular las dimensiones necesarias de la sección transversal de la viga mostrada en la figura, de modo que no sobrepase los siguientes valores admisibles: 2 6 2 σ=1800Kg/cm , τ f =0.8σ, δf =0.0008 m y para un E=2.1x10 Kg/cm .

168


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. 8.5.- Calcular el valor de la deflexión de la viga en el centro entre los apoyos de la viga mostrada en la figura, donde E= 200GPa.

8.6.- Calcular la deflexión en el centro entre los apoyos de la viga de la figura. Donde E= 180GPa.

8.7.- Calcular la deformación máxima en la viga mostrada en la figura, si E=2.1x106Kg/cm2.

8.8.- Calcular la máxima deformación (EIYmax) para la viga mostrada en la figura.

8.9.- Calcular la deformación máxima en la viga mostrada en la figura, si 2 6 2 σ=2400Kg/cm , τ =0.6σ, n=2 y E=2.1x10 Kg/cm .

169


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. 8.10.- Calcular la deformación máxima en la viga mostrada en la figura, si E=2.1x106Kg/cm2.



8.13.- Hallar las el perfil mas económico, para σ=4200Kg/cm2, τ =0.5σ, n=2, δ=L/2000cm

y E=2.1x10 6Kg/cm2.


170


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. 8.15.- Calcular la deformación máxima en la viga mostrada en la figura, si 2 6 2 σ=4200N/cm , τ =0.5σ, n=3 E=2.1x10 N/cm .

8.16.- Calcular la deformación máxima en la viga mostrada en la figura, si el diámetro es de 20cm E=2.1x10 6Kg/cm2.

8.17.- Calcular la deformación máxima en la viga mostrada en la figura, si P=500Kg y E=2.1x106Kg/cm2.

8.18.-Determinar la deformación máxima de la sección transversal, E=2.1 x 10 6Kg/cm2 y X max =?

171


Capitulo VIII

…………………………………………………………………………………………….

8.19.- Determinar la deformación máxima de la sección transversal , E=2.1x106Kg/cm2 y X max =? .

8.20.- Determinar la deformación máxima de la sección transversal, E=2.1x10 6Kg/cm2.



172


Capitulo VIII

……………………………………………………………………………………………. 8.23.- Determinar la deformación máxima de la sección transversal, E=2.1x 10 6Kg/cm2.

8.24.- Determinar la deformación máxima de la sección transversal, E=2.1 x 10 6Kg/cm2

8.25.- Determinar la deformación máxima de la sección transversal, E=2.1 x 10 6Kg/cm2.

173


Capitulo IX

…………………………………………………………………………………………….

CAPITULO IX TORSIÓN EN VIGAS ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

9.1.- INTRODUCCIÓN El estudio de los problemas y sus aplicaciones de la torsión solo se analizara para el caso de las vigas de sección circular. En este capitulo se consideraran elementos sometidos a torsión, mas específicamente, se estudiaran los esfuerzos y deformaciones de sección circular, sometidos a pares de torsión.

9.2.- OBJETIVOS •

Establecer las ecuaciones que nos permitan hallar las tensiones normales y cortantes en una viga sometida a torsión y bajo las condiciones en los cuales es posible aplicar. • Establecer criterios de dimensionamiento.

174


Capitulo IX

…………………………………………………………………………………………….

9.3.- HIPOTESIS 



Las secciones tienen que ser circulares.

El momento torsión actúa en el plano perpendicular al eje de la viga.



La sección tiene que ser constante.



Material homogéneo en toda la longitud.



Cumple la ley de Hooke. Las tensiones no sobrepasan el límite de proporcionalidad.



175


Capitulo IX

…………………………………………………………………………………………….

9.4.- DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CORTANTE Y LA DEFORMACIÓN ANGULAR DEVIDO A LA TORSIÓN

Ecuación de la tensión cortante del capitulo III es: τ = G * γ ……….……...… (9.1) AB AB Del grafico 1 tan γ = y tan γ ≅ γ , por tanto se tiene γ = …..……. (9.2) L L Del grafico 1 se tiene que AB = θ * r ………………………………………....… (9.3) θ * r ……….. (9.4) Sustituyendo las ecuaciones (9.2) y (9.3) en (9.1) se tiene τ = G * L

Del grafico 2 se tiene que τ =

F A

⇒ dF = τ * dA ⇒ Mt = ∫ (τ * dA) * r ………. (9.5) ⎛ G * θ * r ⎞ ∫ ⎝ L ⎠⎟ * r * dA ⇒

Sustituyendo (4) en (5) se tiene M t = ⎜ Mt =

G * θ L

∫ r * dA ………………………………………………………………. (9.6) 2

∫ r * dA = I 2

Mt=

p

es la inercia con respecto al polo (inercia polar). Con lo cual se tiene que

G *θ * I P L

despejando θ tenemos el ángulo de torsión

* L M θ = G * I t

…………………………….(9.7)

P

176


Capitulo IX

……………………………………………………………………………………………. (9.7)Sustituyendo la ecuación (9.4) tenemos:

RESUMEN

9.5.- ANÁLISIS DE LAS TENSIONES MÁXIMAS.

Para encontrarlas tensiones máximas se analiza con el circulo de Mohr.

PARA SU DIMENSIONAMIENTO LAS TENSIONES MÁXIMAS SON:

M t max τ Max = σ Max =

* R Max

I

≤ { σ ó τ

→ Al

}

más critico……..(9.8)

P

Donde:

τ = Tension Cortante máximo (Kg/cm ) 2 σ = Tension Máxima (Kg/cm ). M = Momento Torsor Máxima (Kg*cm) 2

Max

Max

t max

Rmax =

φ

⇒ Distancia máxima, del eje neutro (cm). 2 θ = Angulo de torsión (grados y en radianes). L= Longitud de la viga (cm.). 4 I P = Inercia polar (cm ) 177


Capitulo IX

…………………………………………………………………………………………….

PREGUNTAS TEÓRICAS DE LOS CAPITULOS VI-VII-VIII Y IX

1.- La ecuación (9.8) sirve para dimensionar secciones rectangulares? R.- No sirve, por que la ecuación es deducida para el caso de sección circular. 2.- Por que se completa la carga distribuida hasta el final del tramo y se secciona el último tramo para hallar la ecuación singular de momento? R.- Se hace con la finalidad de que el último tramo contenga todas las ecuaciones de los anteriores tramos.

3.- Defina que es viga? R.- Son elementos prismáticos rectos y largos diseñados para soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento colocado horizontalmente.

4.- Defina que es columna? R.- Apoyo que sostiene los techos, vigas y losas, colocado verticalmente. 5.- Cuando una columna deja de ser columna. R.- Cuando cambia de su posición vertical hacia otra nueva posición horizontal. 6.- La forma de la gráfica de momento ya sea cóncava o convexa interesa para realizar los cálculos? R.- No interesa, por que solo nos necesitamos el valor numérico en la sección critica. 7.- Cuando uno sabe que el problema esta bien resuelto? R.- Cuando cumple todas las condiciones dadas, ya sean a la resistencia y a la rigidez. 8.- De donde salen las condiciones para determinar C 1 y C2? R.- De los apoyos de la viga. 9.- Las condiciones de apoyo son los únicos para todos los casos? R.- No son los únicos, por que dependen de los apoyos sobre la viga. 10.- En una viga empotrada en un extremo y libre en el otro, siempre se dará momento máximo en el empotramiento? R.- No siempre, por que depende de la fuerza puntual que actúan sobre la viga, ver ejemplo 7.5 pagina 144.

11.- Que momento de inercia tengo que utilizar para la ecuación (9.8)? R.- Se tiene que utilizar el momento de inercia con respecto al polo (Ip=

πφ 4 32

)

12.- Por que se escoge el valor menor de las vargas en la selección de perfiles, sin tomar casi en cuenta el valor del modulo de resistencia? R.- Por que los perfiles se comercializan de acuerdo al peso, a mayor peso costo elevado y a menor peso, es el más económico.

178


Capitulo IX

…………………………………………………………………………………………….

PROBLEMAS RESUELTOS DE TENSIÓN CORTANTE A TORSIÓN PROBLEMA 9.1.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección circular de diámetro 25cm, para el sistema mostrado a continuación: Si E=2.1x10 6Kg/cm2 y μ=0.3.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución

M t θ1=

* L1

G * I P

M t θ2=

* L2

G * I P

M t θ3=

* L3

G * I P

θ

T

⇒θ 1 =

70000*300 2.1 x10

6

π

* *(25) 2(1 + 0.3) 32

⇒θ 2 =

4

35000*200 2.1 x10

6

π

* *(25) 2(1 + 0.3) 32

⇒θ 3 =

⇒ θ 1 = 6.7797 x10 −4 *57.3 ⇒ θ 1 = 0.039 0

4

15000*100 2.1 x10

6

*

π

2(1 + 0.3) 32

*(25) 4

⇒ θ 2 = 2.2599 x10 −4 *57.3 ⇒ θ 2 = 0.013 0

⇒ θ 3 = 4.84267 x10 −5 *57.3 ⇒ θ 3 = 0.0028 0

0 = ∑θ i ⇒ θ T = −θ 1 + θ 2 + θ 3 ⇒ θ T = − 0.039 0 + 0.0130 + 0.0028 0 ⇒ θ T = 0.0232

En dirección anti horario a las manecillas del reloj

179


Capitulo IX

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 9.2.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección circular: Si σf =2100Kg/cm2, τ f =0.5σf , n=2, µ = 0.3 y E =1.8x10 6Kg/cm2.

Solución

M t max τ Max =

* R Max

I

≤ 525 ⇒

30000* π

P

M t θ1=

* L1

G * I P

M t θ2=

* L2

G * I P

M t θ3=

* L3

G * I P

θ

T

32

⇒θ 1 =

d

2 ≤ 525 ⇒ d ≥ 6.63cm ⇒ d = 7 cm

* d 4

20000*300 1.8 x10

6

π

* *(7) 2(1 + 0.3) 32

⇒θ 2 =

10000*200 1.8 x10

6

*

π

2(1 + 0.3) 32

⇒θ 3 =

4

*(7) 4

30000*250 1.8 x10

6

*

π

2(1 + 0.3) 32

*(7) 4

⇒ θ 1 = 0.03677 *57.3 ⇒ θ 1 = 2.110

⇒ θ 2 = 0.0122557 *57.3 ⇒ θ 2 = 0.70225 0

⇒ θ 3 = 0.045958*57.3 ⇒ θ 3 = 2.6334 0

0 = ∑θ i ⇒ θ T = −θ 1 +θ 2 +θ 3 ⇒ θ T = − 2.110 + 0.70225 0 + 2.6334 0 ⇒ θ T = 1.226

180


Capitulo IX

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 9.3.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección circular de diámetro de 12cm, F Z=5000Kg: Si, µ = 0.2 y E =1.5x10 6Kg/cm2.

Solución

M

t

Kg * cm = F Z * R ⇒ M t = 5000 Kg *50cm ⇒ M t = 250000

M t θ1=

* L1

G * I P

⇒θ 1 =

250000*300 1.5 x10

6

π

* *(12) 2(1 + 0.2) 32

4

⇒ θ 1 = 0.058946*57.3 ⇒ θ 1 = 3.38 0

En dirección anti horario a las manecillas del reloj

181


Capitulo IX

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 9.4.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección circular de diámetro de 15cm: Si F Z1=4000Kg, R 2=30cm, µ = 0.3 y E =1.5x10 6Kg/cm2.

Solución Kg * cm = F Z * R ⇒ M t = 3000 Kg *30cm ⇒ M t = 90000

M

t

M

t1

Kg * cm = F Z 1 * R ⇒ M t1 = 4000 Kg *50cm ⇒ M t1 = 200000

∑ M M

tA

t

= 0 ⇒ M tA + M t − M t1 = 0

+ 90000 − 200000 = 0 ⇒ M tA = 110000 Kg * cm

M t θ1=

* L1

G * I P

M t θ2=

* L2

G * I P

θ

T

⇒θ 1 =

110000*200 1.8 x10

6

*

π

2(1 + 0.3) 32

⇒θ 2 =

*(15) 4

200000*300 1.8 x10

6

*

π

2(1 + 0.3) 32

*(15) 4

⇒ θ 1 = 6.39379 x10 −3 *57.3 ⇒ θ 1 = 0.3664 0

⇒ θ 2 = 0.01744*57.3 ⇒ θ 2 = 0.9992 0

0 = ∑θ i ⇒ θ T = θ 1 +θ 2 ⇒ θ T = 0.3664 0 + 0.992 0 ⇒ θ T = 1.3656

182


Capitulo IX

…………………………………………………………………………………………….

PROBLEMAS PROPUESTOS DE TENSIÓN CORTANTE A TORSIÓN

9.1.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección transversal circular de diámetro 10cm, para el sistema mostrado a continuación: Si E=2.1x10 6Kg/cm2 y μ=0.3.

9.2.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección transversal circular de diámetro 15cm, para el sistema mostrado a continuación: Si E=1.8x10 6Kg/cm2 y μ=0.3.

9.3.- Calcular la dimensión de una viga de sección circular, para el sistema mostrado a continuación: Si E=2.1x10 6Kg/cm2, θ =0.80 y μ=0.2.

9.4.- Calcular la dimensión de una viga de sección transversal circular, para el sistema mostrado a continuación: Si E=2.1x106Kg/cm2, θ =1.20 y μ=0.3.

183


Capitulo IX

……………………………………………………………………………………………. 9.5.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección transversal circular de diámetro 10cm, para el sistema mostrado a continuación: Si E=2.1x10 6Kg/cm2 y μ=0.2.

9.6.- Calcular la dimensión de una viga de sección circular, para el sistema mostrado a continuación: Si E=2.1x10 6Kg/cm2, θ =0.50 y μ=0.2.

9.7.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección transversal circular de diámetro de 15cm: Si F Z1=4000Kg, R 2=20cm, µ = 0.3 y E =1.5x10 6Kg/cm2.

9.8.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección transversal circular de diámetro de 12cm, F Z=2500Kg: Si, µ = 0.3 y E =2.1x10 6Kg/cm2.

9.9.-Calcular la tensión cortante máxima y mínima de la sección transversal.

184


Capitulo X

…………………………………………………………………………………………….

CAPITULO X TENSIONES COMBINADAS EN EL ESPACIO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------(FLEXO – TRAXO – TORSIÓN)

10.1.- INTRODUCCIÓN Este capitulo se basa a un resumen de toda la materia, se analizara todos los efectos que se presenta cuando una viga es sometida a flexión en el espacio. 10.2.- ANÁLISIS DE LAS TENSIONES MÁXIMAS CASO VIGA DE SECCIÓN CIRCULAR

185


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. El problema consiste en encontrar los momentos máximos en los dos planos

a).- DETERMINACIÓN DE LAS TENSIONES RESULTANTES

b).- DETERMINACIÓN DE LA SECCIÓN CRÍTICA. 2 2 M R * R = + = M R M XY M XZ σ R I

c).- DIAGRAMA DE TENSIONES RESULTANTES EN EL PLANO.

d).- DETERMINACIÓN DEL PUNTO CRÍTICO DE LAS DIAGRAMAS (1 – 1).

e).- ECUACIONES PARA SU DIMENSIONAMIENTO

186


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 10.3.- ANÁLISIS DE LAS TENSIONES MÁXIMAS CASO VIGA DE SECCIÓN RECTANGULAR

El problema consiste en hallar los momentos máximos de los dos planos.

a).- DETERMINACIÓN DEL PUNTO MÁS CRÍTICO EN CASO DE UNA VIGA RECTANGULAR.

M XY σ R =

I

*Y max ZZ

+ M XZ

* Z max

I

≤ σ Para dimensionar a tensión admisible

YY

* A′ * Y ′ V XZ * A′ * Y ′′ + ≤ τ Para dimensionar a tensión cortante b h * * I ZZ I YY

V XY τ max =

187


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMAS RESUELTOS DE FLEXIÓN EN EL ESPACIO PROBLEMA 10.1- Calcular las dimensiones de una viga rectangular de h=2b, a partir de la estructura siguiente en base a los siguientes datos: σf =2100Kg/cm 2, n=3

……………………………………………………………………………………………. Solución

σ R

=

N A

+

M MAX ( xy ) * YMAX I XX

+

M MAX ( xz ) * Z MAX I YY

≤ σ

10000 (500000)(b)(12) (1000000)(b / 2)(12) + + ≤ 700 b(2b )3 (b)(2b) (2b )(b 3 ) b ≥ 17.49 cm. b = 18 cm. h = 36 cm.

188


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 10.2- Calcular el diámetro de una viga circular que cumpla las condiciones: σf =2100Kg/cm2, τ f =0.5σf , n=3, µ = 0.2, θ =0.250 y E =2.1x106Kg/cm2.

……………………………………………………………………………………………. Solución:

189


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. Determinación de la sección critica. 2 2 M = M + M ⇒ M = M = 10259.14 Kg * m ⇒ M = 1025914 Kg * cm R

XY

XZ

R

7500 2 + 7000 2 ⇒

R R

Determinación del punto critico.

M R * Y MAX

σ R

=

σ X

= σ n + σ R ⇒ σ X =

τ XY

I

,

σN

=

N A

,

τ t

=

M t * R I p

10000 (1025914)( Ø / 2) σ X 20000 16414624 + ⇒ = + π 4 π 4 π Ø2 π Ø 3 2 Ø Ø 4 64 M * R (350000)(Ø / 2) 5600000 = τ t = t ⇒ τ XY = ⇒ τ XY = 3 π

I p

σ MAX

=

σ x

32

πφ

Ø4

2

+σy ⎛ σ − σ y ⎞ 2 + ⎜ x ⎟ + (τ xy ) ≤ 1400 2 ⎝ 2 ⎠ 2

2

20000 16414624 20000 16414624 ⎞ ⎛ 5600000 ⎞ ∴ + + ⎛⎜ + ⎟ + ⎜ π Ø 3 ⎟ ≤ 1400 2 3 πØ πØ π Ø3 ⎠ ⎝ π Ø2 ⎝ ⎠

∴ Ø ≥ 19.9 cm. ⇒ Ø = 20 cm. θT

= ∑ θi ⇒

M t * L G * IP

≤ θ ⇔

(350000)(32)(2.4)(200) 180 * ≤ 0.25 π (2.1*106 )π Ø 4

Ø ≥ 20.79cm ⇒ Ø = 21 cm.

Solución es Ø = 21 cm.

190


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 10.3.- Calcular la deformación máxima en el plano (x-y) con los siguientes datos: σf =2100Kg/cm2, τ f =0.5σf , n=3y E =2.1x10 6 Kg/cm2.

Solución:

N M MAX ( x − y ) * Y MAX

σ R

=

⇒

( 400000 )( b ) ( 550000 )( b / 2 ) 3000 + + ≤ 700 3 3 ( b )( 2b ) b ( 2b ) ( 2b )( b )

A

+

I xx

+

M MAX ( x − z ) * Z MAX I yy

≤ 700

12

12 b ≥ 14.76 cm ⇒ b = 15 cm. ∴ h = 30 cm.

191


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. Verificación a la tensión cortante debido a la flexión. * A′ * Y ′ V XZ * A′ * Y ′′ + ≤ τ ⇒ b h * * I ZZ I YY

V τ max = XY 3

τ max = 2 *

3 2000 3 2500 V max( − ) + 3 * V max( − ) ≤ τ ⇒ = * + * ≤ τ ⇒ τ max A A 2 2 15*30 2 15*30 x y

x z

15 ≤ 350 Cumple la condición Ecuacion singular en el plano X-Y

2

M = −4000 − 250 x 2 + 250 x − 2 + 2000 x dy 250 3 250 3 = −4000 x + 1000 x 2 − EI x + x − 2 + c1 3 3 dx 1000 3 250 4 250 4 EIY = −2000 x 2 + x − x + x − 2 + c1 x + c2 3 12 12 Las condiciones de contorno se toman en los apoyos para determinar los valores de las dos constantes. dy x = 0 y = 0

⇒ c2 = 0

EI δ MAX EI δ MAX

;

dx

=0

x=0

⇒ c1 = 0

1000 3 250 4 250 4 ( 3) − ( 3) + (1) 3 12 12 10666.67 x106 Kg * cm3 = −10666.67 ⇒ δ MAX = ⇒ δ MAX = 0.15 cm 3 15*30 2.1 x106 * 12 2

= −2000 ( 3) +

192


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 10.4.- Calcular el diámetro y el ángulo de torsión máximo que puede soportar la viga, con los siguientes datos: σf =4200Kg/cm 2, τ f =0.5σf , n=3, µ = 0.3 y E =2.1x106Kg/cm2.

Solución:

2 2 M = M + M ⇒ M = M = 10394.71Kg * m ⇒ M = 1039471Kg * cm R

XY

XZ

R

7400 2 + 7300 2 ⇒

R R

193


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. Determinación del punto critico

σ X

= σ N +

σ X

=

τ

=

M R * Y MAX

3500 π

I

+

(1039471)( Ø / 2)

Ø2

4 M t * R I P

⇒

⇒τ =

π

Ø4

⇒ σ X =

64 (10000 )( Ø / 2) π

32

⇒ τ =

Ø4

14000 33263072 + 2 3 πφ

πφ

160000 πφ 3

2

⎛ ⎞ σ MAX = σ x + ⎜ σ x ⎟ + (τ ) 2 ≤ σ 2 ⎝ 2 ⎠ 2

7000 16631536

2

7000 16631536 ⎞ ⎛160000 ⎞ σ MAX = + + ⎛⎜ 2 + ⎟ + ⎜ π Ø 3 ⎟ ≤ 1400 2 3 3 πØ πØ π π Ø Ø ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ Ø ≥ 19.63 cm ⇒ Ø = 20 cm.

τ MAX

− = σ max σ min ⇒ τ 2

2

⎛ σ x ⎞ 2 = ⎜ ⎟ + (τ ) ≤ τ MAX ⎝ 2 ⎠ 2

2

⎛ 7000 + 16631536 ⎞ + ⎛ 160000 ⎞ ≤ 700 ⇒ Ø ≥ 19.63 cm ⇒ Ø = 20 cm. τ MAX = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ π Ø 3 ⎠ ⎝ π Ø 3 ⎠ ⎝ π Ø2

θ MAX θ MAX

M t * L

10000*200*2.6*32 x10−4 ⇒ θ = 1.57639 6 4 2.1x10 * π *20 G * IP = 1.57639 x10 −4 *57.3 ⇒ θ MAX = 0.00903 0

= Σθ i =

⇒θ =

194


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 10.5.- Calcular el diámetro de la viga si σ f = 2100kg / cm 2 ;τ f = 0.5σ f , con un factor de seguridad de 3, sin sobrepasar θ = 0.3 o , considerar que la deformación máxima en el plano (x-y) no sobrepase L/1000 en cm. E = 2.1*10 6 kg / cm 2 , μ = 0.3

Solución:

M R =

M

2 XY

2

+ M XZ → M R = 855132 Kg * cm

Paso 1.-Análisis a cortante por torsión M t max R τ MAX = ≤ τ → I p

( 50000 )( Ø / 2 )( 32 ) π Ø 4

≤ 350 ⇒ Ø ≥ 8.99cm ⇒ Ø=9cm.

195


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. Paso 2.- Análisis a rigidez por torsión M L θ = t ≤ θ GI p

( 50000 )( 2.6 )( 32 )(300 ) π Ø 4 ( 2.1*106 )

*57.3 ≤ 0.3º ⇒ Ø ≥ 13.79 cm ⇒ Ø = 14 cm

3.- Análisis a la resistencia

σX

=

350 π

4

+

855132(Ø / 2) π

Ø2

Ø4

14000 27364224 + 2 3

⇒ σ X =

πØ

π Ø

64 M * R 800000 τ 1 = t ⇒ τ 1 = ; 3 I P

π Ø

4V R 51216 ⇒ τ 2 = 34 π Ø 2 Analisis para el punto 1

τ2

=

σ MAX

⇒

=

σ X

2

+ σY ⎛ σ − σ Y ⎞ + ⎜ X + (τ 1 )2 ≤ σ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠

7000 13682112 π Ø2

+

π Ø3

2

2

7000 13682112 ⎞ ⎛ 800000 ⎞ + ⎛⎜ 2 + ⎟ + ⎜ π Ø 3 ⎟ ≤ 700 π Ø3 ⎠ ⎝ πØ ⎝ ⎠

⇒ Ø. ≥ 23.18 cm. − σ MIN τ MAX = ≤ τ ⇒ 2 Ø ≥ 23.18 cm. ⇒ Ø = 23.5 Analisis para el punto 2 σ MAX

σ MAX τ MAX

700

2

2

2

⎛ 7000 + 13682112 ⎞ + ⎛ 800000 ⎞ ≤ 350 ⎜ π Ø2 ⎟ ⎜ π Ø 3 ⎟ π Ø3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ cm. 2

700 51216 ⎞ = + ⎛⎜ 2 ⎞⎟ + ⎛⎜ ≤ 700 ⇒ Ø ≥ 5.17 cm 2 2 ⎟ Ø Ø πØ π π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

σ MAX

2

2

− σ MIN 7000 51216 ⎞ ≤ τ ⇒ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎟ ≤ 350 ⇒ Ø ≥ 6.86 cm ∴ Ø = 7 cm. 2 ⎝ π Ø ⎠ ⎝ π Ø 2 ⎠ 196


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 4.-Análisis a la deformación elástica (x-y)

= −6750 + 2500 x − 250( x − 1) 2 + 250( x − 2) 2 → para x = 3 ⇒ M = −6750 + 2500(3) − 250(4) + 250 ⇒ M = 0 dy 250 250 EI = −6750 x + 1250 x 2 − ( x − 1) 3 + ( x − 2)3 + c1 ............primera integral dx 3 3 1250 3 250 250 4 4 EIY = −3375 x 2 + x − x −1 + x − 2 c1x + c2 .........................segund a integral 3 12 12 M

Condiciones de borde para hallar c1 , c2 dy x = 0

para

EIY

y = 0

⇒ c2 = 0

= −3375 x 2 +

para

dx

=0

x =0

⇒ c1 = 0

1250 3 250 250 4 4 x − x −1 + x − 2 ................Ecuación elástica 3 12 12

La deformación máxima se da para x=3 m 1250 3 250 4 250 ⇒ EI δ MAX = −19437.5 (3) − (2) + 3 12 12 (19437.5))(64) 300 = ≤ ⇒ Ø ≥ 28.16 cm. 1000 π Ø 4 (2.1)

EI δ MAX δ MAX

= −3375(3) 2 +

La solución será Ø=28.5 cm.

197


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 10.6.- Calcular la deformación máxima en el plano (x-y), de modo que no sobrepase los siguientes valores:

σf =4200Kg/cm2, τ f =0.5σf ,

n=3, µ = 0.3 y E =2.1x10 6Kg/cm2.

Solución Diagramas en ambos planos

2 2 M = M + M ⇒ M = M = 1967.31Kg * m ⇒ M = 196731Kg * cm R

XY

XZ

R

1487.52 + 1287.52 ⇒

R R

198


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. Análisis del punto critico para el momento resultante

σ X

3250 (196731)(Ø / 2)

=

+

π

Ø

4 τ xy

<=

π

2

M t * R I P

64

Ø

⇒ τ xy =

4

⇒ σ X =

13000 6295392

+

πφ 2

πφ 3

(60000)(Ø / 2) π

32

Ø4 2

2

6500 3147696 ⎛ 6500 3147696 ⎞ ⎛ 960000 ⎞ σ MAX ≤ σ ⇒ σ MAX = + + ⎜ 2+ ⎟ +⎜ ⎟ ≤ 1400 π Ø2 π Ø3 π Ø 3 ⎠ ⎝ π Ø 3 ⎠ ⎝ πØ ⇒ Ø ≥ 11.35cm ⇒ Ø = 11.5 cm M l (60000)(150)(2.6)(32) θ = t ⇒ θ = *57.3 ⇒ θ = 0372º GI P π (11.5) 4 (2.1*106 ) Ecuación singular de momento

= 1487.5 x 0 − 1250 x + 250( x − 0.5) 2 − 250( x − 1) 2 →

M

250 250 ( x − 0.5) 3 − ( x − 1) 3 + c1............primera integral 3 3 dx 1487.5 2 625 3 250 250 4 4 EIY = x − x + x − 0.5 − x − 1 + c1x + c2 .........................segund a integral 2 3 12 12 Condiciones de borde para hallar c1 , c2 EI

dy

= 1487.5 x − 625 x 2 +

dy x = 0

para

y = 0

⇒ c2 = 0

para

dx

=0

x =0

⇒ c1 = 0

1487.5 2 625 3 250 250 4 4 x − x + x − 0.5 − x − 1 ................Ecuación elástica 2 3 12 12 La deformación máxima se da para x=1.5 m 1487.5 625 250 4 250 4 = (1.5)2 − (1.5)3 + 1 − 0.5 EI δ MAX 2 3 12 12 EIY

δ MAX

=

=

989.84375 ⇒ δ MAX = 0.55 cm. E * I

199


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 10.7.- Realizar un análisis completo del sistema mostrado a continuación para flexión en el espacio de una viga: σf =4200Kg/cm 2, τ f =0.5σf , n=2, µ = 0.3, θ =1.20 y E =1.5x106Kg/cm2.

1.-Realizar el diagrama de esfuerzos en los planos (x-y) y (x-z) Diagrama en el plano (x-y)

200


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. Determinación de las reacciones. M 1 = F * r ⇒ M 1 = 1000*0.1 ⇒ M 1 = 100 kg.m M 2 = F2 * r2 ⇒ M 2 = 3000*0.2 ⇒ M 2 = 600 kg.m M 3 = F3 * r2 ⇒ M 3 = 1200*0.3 ⇒ M 3 = 360 kg.m ∑ M + B =0 −800(2) − 1200 + 100 − 2(1500) + 600 − 3V 1 + 4(2100) + 360 = 0 V1 = 1220 kg. ∑ M + E =0 360 + 2100 + 1500 + 600 + 2(1200) + 100 + 3V − 800(8) = 0 V = − 220 kg. ∑ H =0 1000 − H + 1000 − 3000 + 1200 = 0 H = 200 kg. Diagrama en el plano (x-z)

201


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. Plano X-Z ∑ M + B =0 ⇒ R1 = 1266.67 kg.

∑ M

+

=0 ⇒ R = 833.33 kg. Determinación de momentos torsores M t = r * FZ ⇒ M t = 10*2000 ⇒ M t = 20000 kg.cm M t1 = r1 * FZ1 ⇒ M t1 = 20*1800 ⇒ M t1 = 36000 kg.cm M t2 = r2 * FZ 2 ⇒ M t2 = 30*900 ⇒ M t 2 = 27000 kg.cm 2.-Determinación de la sección crítica M R ( E ) = (2460) 2 + (900) 2 ⇒ M R ( E ) = 2619.46 kg.m M R ( D )

E

= (3940) 2 + (533.34) 2 ⇒ M R ( D ) = 3975.93 kg.m

⇒ M R = 397593 kg.cm

= (3420) 2 + (1966.67) 2 ⇒ M R (C ) = 3945.15 kg.m 3.-Diagrama de tensiones resultantes en el plano

M R (C )

4.-Buscar el punto mas crítico en los diagrmas de tensiones para (1-1) φ

N M max * y max 1200 397593* 2 1528 4049849 σ x = σ + ⇒σX = + ⇒ = + X π *φ 2 π *φ 4 A I Ø2 Ø3 4 64 Ø (27000) ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠ ⇒ τ = 137509.87 τ = τ 0 + τ ⇒ τ = 1

f

t

1

π

Ø4

1

Ø3

32 5.-Aplicación de las tensiones combinadas de círculo de mohr 2

σ max

τ max

2

764 2024920 ⎛ 764 2024924.5 ⎞ ⎛ 137509.87 ⎞ = 2 + + ⎜ 2 + ⎟ + ⎜ Ø3 ⎟ ≤ 2100 ⇒ Ø1 ≥ 12.452 cm Ø Ø3 Ø3 ⎝Ø ⎠ ⎝ ⎠

=

σ max

2

2

− σ min 764 2024924.5 ⎞ ⎛ 137509.87 ⎞ ≤ τ ⇒ τ max = ⎛⎜ 2 + ⎟ + ⎜ Ø3 ⎟ ≤ 1050 ⇒ Ø2 ≥ 12.46 cm Ø3 2 ⎝Ø ⎠ ⎝ ⎠

∴ Ø = 12.5 cm

202


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 6.- Dimensionamiento a la cortante por flexión en el punto (2-2)

V

R ( D )

= (880) 2 + (1433.33) 2 ⇒ V R ( D ) = 1681.914 Kg 2

τ max

⎛ ⎞ 2 ⎜ 764 ⎞ 4 1681.914 ⎟ ⎛ = ⎜ 2 ⎟ +⎜ * ⎟ ≤ 1050 ⇒ Ø3 ≥ 1.68 cm ⇒ Ø3 = 2 cm 2 π Ø Ø 3 ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ 4 ⎠

7.-Dimensionamiento a la torsión máxima

τ max

⎛Ø⎞ (29000) ⎜ ⎟ Mt * R ⎝ 2 ⎠ ≤ 1050 ⇒ Ø ≥ 5.2 ⇒ Ø = 5.5 cm = max ≤ τ ⇒ 4 4 I P

π

32

Ø4

8.-Dimensionamiento a la rigidez θ

9.-Dimensionamiento a la deformación debido a la flexión

EIY

= ∫∫ M dxdx + c1 x + c2

203


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. PLANO (x-y)

M

2

0

= −400 x 2 − 220 x − 2 + 400 x − 2 + 1200 x − 3 + 100 x − 3 + 1500 x − 4 + 0

600 x − 4 + 1220 x − 5 dy 400 3 400 2 3 2 2 EI x − 110 x − 2 + x − 2 + 600 x − 3 +100 x − 3 + 750 x − 4 + =− dx 3 3 1 2 600 x − 4 + 610 x − 5 + c1 400 4 110 400 3 4 3 2 3 x − x−2 + x − 2 + 200 x − 3 + 50 x − 3 + 250 x − 4 + 12 3 12 610 2 3 x − 5 + c1 x + c2 300 x − 4 + 3

EIY

=−

Condiciones de apoyo para determinar los valores de las dos constantes. x = 2

Para

y = 0

⇒0=−

400 4 110 3 (2) − (0) + 2c1 + c2 = 0 ⇒ 2c1 + c2 = 533.33 − − − − − ( E.1) 12 3

400 4 110 3 400 4 (5) − (3) + (3) + 200(2)3 + 50(2)2 + 250(1)3 + 300(1)2 + 5c1 + y = 12 3 12 c2 = 0 ⇒ 5c1 + c2 = 16773.33 − − − − − E.2 x =5

Para

⇒ 0− 0

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos: c1 = 5413.33 c2 = −10293.34 La defornación maxima se dá para x = 0 ⇒ δ max( x − y ) = −

10293.34 EI

204


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. PLANO X-Z

2

= −350 x 2 + 833.33 x − 2 + 350 x − 2 + 2000 x − 3 −1800 x − 4 + 1266.67 x − 5

M

EI

dz dx

=−

350 3 833.33 350 2 3 2 2 x + x−2 + x − 2 + 1000 x − 3 − 900 x − 4 + 3 2 3

1266.67 2 x − 5 + c1 2 350 4 833.33 350 3 4 1000 3 3 EIZ = − x + x−2 + x−2 + x − 3 − 300 x − 4 + 12 6 12 3 1266.67 3 x − 5 + c1 x + c2 6 Condiciones de apoyo para determinar los valores de las dos constantes. 350 4 833.33 3 (2) + (0) + 2c1 + c2 ⇒ 2c1 + c2 = 466.67 − − − − − − E.1 z = 0 12 6 x = 5 350 4 833.33 3 350 4 1000 3 Para ⇒ 0 = − (5) + (3) + (3) + (2) − 300 + 5c1 + c2 ⇒ z = 0 12 6 12 3 5c1 + c2 = 9750.015 − − − − − − E .2 Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos: c1 = 3094.45 c2 = −5722.23 5722.23 La defornación maxima se dá para x = 0 ⇒ δ max( x − z ) = − Para

x = 2

⇒0=−

EI 2

2

10293.34 ⎤ ⎡ 5722.23 ⎤ L δ R = ⎡⎣δ max( x − y ) ⎤⎦ + ⎡⎣δ max( x − z) ⎤⎦ ≤ ⇒ δ R = ⎢⎡ +⎢ ≤ ⇒ ⎥ ⎥ 1000 ⎣ EI ⎦ ⎣ EI ⎦ 1000 11776.959 200 11776.959 200 ≤ ⇒ ≤ ⇒ Ø ≥ 29.9 cm 1000 1.5* π Ø 4 1000 EI 64 sol : Ø = 30 cm 2

2

L

205


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMAS PROPUSTOS DE FLEXIÓN EN EL ESPACIO

10.1.- Determinar el momento resultante, la cortante resultante máxima y el diámetro de

la viga de sección circular.

10.2.- Determinar el momento resultante, la cortante resultante máxima, el momento y

el ángulo de torsión máximo de una viga de sección circular: si G = 6.9 x 10 6Kg/cm2.

10.3.- Hallar la deformación máxima, de modo que no sobrepase los siguientes valores:

=4200Kg/cm2, τf =0.5σf , n=2 y E =2.1x10 6Kg/cm2.

σf

10.4.- Hallar el diámetro de la viga de sección transversal, de modo que no sobrepase L los valores: σf =2100Kg/cm2, τf =0.5σf , n=2, δ = cm , µ = 0.3 y E =2.1x10 6Kg/cm2.

1000

206


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 10.5.- Hallar el diámetro de la viga de sección transversal, de modo que no sobrepase los valores: σf =2100Kg/cm2, τf =0.5σf , n=2, δ =

L

1000

cm µ = 0.3 y E =2.1x10 6Kg/cm2.

10.6.- Hallar el diámetro de la viga de sección transversal, de modo que no sobrepase

los siguientes valores: σf =2100Kg/cm2, τf =0.5σf , n=2, y E =2.1x10 6Kg/cm2.

10.7.- Hallar el diámetro de la viga de sección transversal, de modo que no sobrepase L cm , µ = 0.3 y E =2.1x10 6Kg/cm2. los valores: σf =4200Kg/cm2, τf =0.5σf , n=2, δ =

1000

10.8.- Hallar la dimensión de la viga de sección rectangular llena de h = 2b, de modo

que no sobrepase los siguientes valores:

=4200Kg/cm2, τ f =0.5σf y n=2.

σf

207


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 10.9.- Hallar la deformación en el plano (x-z) de la viga de sección transversal, de modo que no sobrepase los valores: σf =2100Kg/cm =2100Kg/cm2, τ f =0.5 =0.5σf y y n=2, E =2.1x10 6Kg/cm2.

10.10.- Hallar la deformación máxima en el plano (X – Y) de una viga de sección

rectangular llena de h = 2b, de modo que no sobrepase los siguientes valores: σf =4200Kg/cm =4200Kg/cm2, τ f =0.5 =0.5σf y n=2, E =2.1x106Kg/cm2.



=4200Kg/cm =4200Kg/cm2, τ f =0.5 =0.5σf y y n=2.

σf



=4200Kg/cm =4200Kg/cm2, τ f =0.5 =0.5σf y y n=2.

σf

208


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 10.13.- Hallar el diámetro de la viga de sección rectangular llena de h = 2b, de modo que no sobrepase los siguientes valores: σf =4200Kg/cm =4200Kg/cm2, τ f =0.5 =0.5σf , n=2.

10.14- Hallar la deformación máxima resultante de los dos planos de la sección

transversal, de modo que no sobrepase los valores: 0.3, θ =1.50, E =2.1x10 6Kg/cm2.

=2100Kg/cm =2100Kg/cm2, τ f =0.5 =0.5σf , n=2, µ =

σf

10.15.- Hallar la deformación máxima resultante de los dos planos de la viga de sección,

de modo que no sobrepase los siguientes valores: 0.2, θ =1.50 y E =2.1x10 6Kg/cm2

=2100Kg/cm =2100Kg/cm2, τ f =0.5 =0.5σf , n=2, µ =

σf

10.16.- Hallar la deformación máxima resultante de los dos planos de la viga de sección,

de modo que no sobrepase los siguientes valores: 0.3, θ =0.80 y E =2.1x10 6Kg/cm2.

=2100Kg/cm =2100Kg/cm2, τ f =0.5 =0.5σf , n=3, µ =

σf

209


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 10.17.- Hallar la deformación máxima en el plano (x-y), si: E =2.1x10 6Kg/cm2.

10.18.- Calcular el diámetro de la viga de la l a figura y el ángulo de torsión máxima, según

los datos, si: E =1.8 x 10 6Kg/cm2.

10.19.- Calcular el diámetro de la viga de la l a figura y el ángulo de torsión máxima, según

los datos, si: E =1.8 x 10 6Kg/cm2.

210


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 10.20.- Calcular el diámetro de la viga y la deformación máxima resultante de la figura, según los datos, si: E =2.1 x 10 6Kg/cm2.

10.21.-Calcular el diámetro de la l a viga de sección transversal, de modo que no sobrepase 2 los valores: σf =4200Kg/cm =4200Kg/cm , τ f =0.5 =0.5σf , n=2, µ = 0.3, θ =0.80 y E =2.1x10 6Kg/cm2.

10.22.- Calcular el diámetro de la viga de sección circular llena, de modo que no sobrepase los siguientes valores: θ =1.20, E =2.1x106Kg/cm2 y G=2.1x106Kg/cm2.

211


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 10.23.- Calcular el diámetro de la viga de sección transversal, de modo que no sobrepase los valores: σf =4200Kg/cm =4200Kg/cm2, τ f =0.5 =0.5σf , n=2, µ = 0.3, θ =10 y E =1.5 x 106Kg/cm2.

10.24.- A partir de la l a viga mostrada, para valores de:

=4200Kg/cm =4200Kg/cm 2, τ f =0.5 =0.5σf , n=2 y

σf

E =2.1 x 10 6Kg/cm2, se pide determinar: a).- El diámetro de la viga de sección circular llena y su deformación máxima resultante. b).- Las dimensiones dimensiones la sesión rectangular rectangular llena de base”b” base”b” y de altura altura “h=2b”. c).- Las deformaciones máximas en el planos (x-y) y en el plano (x-z) de una viga rectangular del inciso anterior.

10.25.- Calcular el diámetro de la viga de sección circular llena, de modo que no sobrepase los siguientes valores: µ = 0.3, θ =0.250 y E =1.5 x 10 6Kg/cm2.

212


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 10.26.- Calcular las dimensiones de la sección transversal de la viga mostrada, de modo que no sobrepase los siguientes valores: σ

= 2.4 MPa, θ = 20 , E = 200GPa. µ=0.3, δ x =

L

800

cm

10.27.- Calcular el diámetro de la viga y la deformación máxima resultante de la figura,

según los datos, si: µ = 0.3, E =2.1 x 10 6Kg/cm2.

10.28.- Calcular las dimensiones de la sección transversal de la viga mostrada, de modo L cm . que no sobrepase los siguientes valores: µ = 0.3, E =200GPa y δ x =

800

213


Capitulo X

……………………………………………………………………………………………. 10.29.- A partir de la l a viga mostrada, σf =2100Kg/cm =2100Kg/cm2, τ f =0.5 =0.5σf , n=3 y 6 2 E=2.1x10 Kg/cm , se pide determinar: a).- El diámetro de la viga de sección circular llena y su deformación máxima resultante. b).- Las dimensiones dimensiones la sesión rectangular rectangular llena de base”b” base”b” y de altura altura “h=2b”. c).- Las deformaciones máximas en el planos (x-y) y (x-z) de una viga rectangular del inciso (b).

10.30.- A partir de la l a viga mostrada,

σ =2100Kg/cm2, τ =0.5 σ y E =2.1x 10 6Kg/cm2,

se pide determinar: a).- El diámetro de la viga de sección circular hueca de e=4cm. σ =2100Kg/cm2, τ =0.5 σ b).- Las dimensiones dimensiones la sesión rectangular rectangular hueca de base”b” y de altura “h=2b”. “h=2b”.

10.31.- Calcular las dimensiones de la sección transversal de la viga mostrada, de modo L cm . que no sobrepase los siguientes valores: µ = 0.3, E =200GPa y δ =

2000

214

Tabla A-1 Perfiles H (vigas de ala ancha), americanos (W) unidades (S.I) Ala (o patín) Masa Aprox. Denominación

(Kg/m)

Área transversal

(mm2)

Altura (mm)

Ancho (mm)

espesor

Eje X - X espesor alma

I

(mm2) (mm2) (106mm4)

s

Eje Y - Y I

I

=

(106mm4)

c 3

3

s

I =

c 3

540 501 453 421 390 170 156 145 134 123 112 94.4

(10 mm3) 2550 2370 2160 2010 1870 1100 1020 946 874 806 738 621

W920x446 W920x417 W920x387 W920x365 W920x342 W920x313 W920x289 W920x271 W920x253 W920x238 W920x223 W920x201

447.2 418.1 387 364.6 342.4 312.7 288.6 271.7 253.7 238.3 224.2 201.3

57000 53300 49300 46400 43600 39800 36800 34600 32300 30400 28600 25600

933 928 921 916 912 932 927 923 919 915 911 903

423 422 420 419 418 309 308 307 306 305 304 304

42.7 39.9 36.6 34.3 32 34.5 32 30 27.9 25.9 23.9 20.1

24 22.5 21.3 20.3 19.3 21.1 19.4 18.4 17.3 16.5 15.9 15.2

8470 7880 7180 6710 6250 5480 5040 4720 4370 4060 3770 3250

(10 mm ) 18200 17000 15600 14600 13700 11800 10900 10200 9520 8880 8270 7200

W840x359 W840x329 W840x299 W840x226 W840x210 W840x193 W840x176

359.4 329.4 299.3 226.6 210.8 193.5 176

45800 42000 38100 28900 26800 24700 22400

868 862 855 851 846 840 835

403 401 400 294 293 292 292

35.6 32.4 29.2 26.8 24.4 21.7 18.8

21.1 19.7 18.2 16.1 15.4 14.7 14

5910 5350 4790 3400 3110 2780 2460

13600 12400 11200 7990 7340 6630 5900

389 349 312 114 103 90.3 78.2

1930 1740 1560 774 700 618 536

W760x314 W760x284 W760x257 W760x196 W760x185 W760x173 W760x161 W760x147

314.4 283.9 257.6 196.8 184.8 173.6 160.4 147.1

40100 36200 32800 25100 23500 22100 20400 18700

786 779 773 770 766 762 758 753

384 382 381 268 267 267 266 265

33.4 30.1 27.1 25.4 23.6 21.6 19.3 17.0

19.7 18 16.6 15.6 14.9 14.4 13.8 13.2

4270 3810 3420 2400 2230 2060 1860 1660

10900 9790 8840 6240 5820 5400 4900 4410

316 280 250 81.7 75.1 68.7 60.7 52.9

1640 1470 1310 610 563 515 457 399

W690x265 W690x240 W690x217 W690x170 W690x152 W690x140 W690x125

264.5 239.9 217.8 169.9 152.1 139.8 125.6

33700 30600 27700 21600 19400 17800 16000

706 701 695 693 688 684 678

358 356 355 256 254 254 253

30.2 27.4 24.8 23.6 21.1 18.9 16.3

18.4 16.8 15.4 14.5 13.1 12.4 11.7

2900 2610 2340 1700 1510 1360 1190

8220 7450 6740 4910 4380 3980 3500

231 206 185 66.2 57.8 51.7 44.1

1290 1160 1040 517 455 407 349

W610x241 W690x217 W690x195 W690x174 W690x155 W690x140 W690x125 W690x113

241.7 217.9 195.6 174.3 154.9 140.1 125.1 113.4

30800 27800 24900 22200 19700 17900 15900 14400

635 628 622 616 611 617 612 608

329 328 327 325 324 230 229 228

31 27.7 24.4 21.6 19 22.2 19.6 17.3

17.9 16.5 15.4 14 12.7 13.1 11.9 11.2

2150 1910 1680 1470 1290 1120 985 875

6780 6070 5400 4780 4220 3630 3220 2880

184 163 142 124 108 45.1 39.3 34.3

1120 995 871 761 666 392 343 300

1


(Kg/m)

Área transversal

(mm2)

Altura (mm)

Ancho (mm)

espesor


I

(mm2) (mm2) (106mm4)

s

Eje Y - Y I

I

=

(106mm4)

c 3

3

s

I =

c 3

29.5 14.4 12.1

(10 mm3) 259 161 136

W690x101 W690x92 W690x82

101.7 92.3 81.9

13000 11800 10400

603 603 599

228 179 178

14.9 15 12.8

10.5 10.9 10

764 646 560

(10 mm ) 2530 2140 1870

W530x219 W530x196 W530x182 W530x165 W530x150 W530x138 W530x123 W530x109 W530x101 W530x92 W530x85 W530x82 W530x74 W530x66

218.9 196.5 181.7 165.3 150.6 138.3 123.2 109 101.4 92.5 84.7 82.4 74.7 65.7

27900 25000 23100 21100 19200 17600 15700 13900 12900 11800 10800 10500 9520 8370

560 554 551 546 543 549 544 539 537 533 535 528 529 525

318 316 315 313 312 214 212 211 210 209 166 209 166 165

29.2 26.3 24.4 22.2 20.3 23.6 21.2 18.8 17.4 15.6 16.5 13.3 13.6 11.4

18.3 16.5 15.2 14 12.7 14.7 13.1 11.6 10.9 10.2 10.3 9.5 9.7 8.9

1510 1340 1240 1110 1010 861 761 667 616 552 485 479 411 351

5390 4840 4480 4060 3710 3140 2800 2480 2300 2070 1810 1810 1550 1340

157 139 127 114 103 38.7 33.8 29.5 26.9 23.8 12.6 20.3 10.4 8.57

986 877 808 726 659 362 319 280 256 228 152 194 125 104

W460*177 W460*158 W460*144 W460*128 W460*113 W460*106 W460*97 W460*89 W460*82 W460*74 W460*68 W460*67 W460*61 W460*60 W460*52

177.3 157.7 144.6 128.4 113.1 105.8 96.6 89.3 81.9 74.2 68.5 68.1 60.9 59.6 52

22600 20100 18400 16400 14400 13500 12300 11400 10400 9450 8730 8680 7760 7590 6630

482 476 472 467 463 469 466 463 460 457 459 454 450 455 450

286 284 283 282 280 194 193 192 191 190 154 190 189 153 152

26.9 23.9 22.1 19.6 17.3 20.6 19 17.7 16 14.5 15.4 12.7 10.8 13.3 10.8

16.6 15 13.6 12.2 10.8 12.6 11.4 10.5 9.9 9 9.1 8.5 8.1 8 7.6

910 796 726 637 556 488 445 410 370 333 297 300 259 255 212

3780 3350 3080 2730 2400 2080 1910 1770 1610 1460 1290 1320 1150 1120 943

105 91.4 83.6 73.3 63.3 25.1 22.8 20.9 18.6 16.6 9.41 14.6 12.2 7.96 6.34

735 643 591 520 452 259 237 218 195 175 122 153 129 104 83.4

W410*149 W410*132 W410*114 W410*100 W410*85 W410*74 W410*67 W410*60 W410*54 W410*46 W410*39

149.3 132.1 114.5 99.6 85 74.9 67.5 59.5 53.4 46.2 39.2

19000 16800 14600 12700 10800 9550 8600 7580 6810 5890 4990

431 425 420 415 417 413 410 407 403 403 399

265 263 261 260 181 180 179 178 177 140 140

25 22.2 19.3 16.9 18.2 16 14.4 12.8 10.9 11.2 8.8

14.9 13.3 11.6 10 10.9 9.7 8.8 7.7 7.5 7 6.4

619 538 462 398 315 275 246 216 186 156 127

2870 2530 2200 1920 1510 1330 1200 1060 924 773 634

77.7 67.4 57.2 49.5 18 15.6 13.8 12 10.1 5.14 4.04

586 512 439 381 199 173 154 135 114 73.4 57.7

2


(Kg/m)

Área transversal

(mm2)

Altura (mm)

Ancho (mm)

espesor


I

(mm2) (mm2) (106mm4)

s

Eje Y - Y I

I

=

(106mm4)

c 3

3

W360*990 W360*900 W360*818 W360*744 W360*677 W360*634 W360*592 W360*551 W360*509 W360*463 W360*421 W360*382 W360*347 W360*314 W360*287 W360*262 W360*237 W360*216 W360*196 W360*179 W360*162 W360*147 W360*134 W360*122 W360*110 W360*101 W360*91 W360*79 W360*72 W360*64 W360*57 W360*51 W360*45 W360*39 W360*33

1087.9 991 902.2 819 744.3 677.8 634.3 592.6 550.6 509.5 462.8 421.7 382.4 347 313.4 287.6 262.7 236.3 216.3 196.5 179.2 162 147.5 134 121.7 110.2 101.2 90.8 79.3 71.5 63.9 56.7 50.6 45 39.1 32.8

139000 126000 115000 104000 94800 86300 80800 75500 70100 64900 59000 53700 48700 44200 39900 36600 33500 30100 27600 25000 22800 20600 18800 17100 15500 14000 12900 11600 10100 9110 8140 7220 6450 5730 4980 4170

569 550 531 514 498 483 474 465 455 446 435 425 416 407 399 393 387 380 375 372 368 364 360 356 363 360 357 353 354 350 347 358 355 352 353 349

454 448 442 437 432 428 424 421 418 416 412 409 406 404 401 399 398 395 394 374 373 371 370 369 257 256 255 254 205 204 203 172 171 171 128 127

125 115 106 97 88.9 81.5 77.1 72.3 67.6 62.7 57.4 52.6 48 43.7 39.6 36.6 33.3 30.2 27.7 26.2 23.9 21.8 19.8 18 21.7 19.9 18.3 16.4 16.8 15.1 13.5 13.1 11.6 9.8 10.7 8.5

78 71.8 65.9 60.5 55.6 51.2 47.6 45 42 39.1 35.8 32.8 29.8 27.2 24.9 22.6 21.1 18.9 17.3 16.4 15 13.3 12.3 11.2 13 11.4 10.5 9.5 9.4 8.6 7.7 7.9 7.2 6.9 6.5 5.8

5960 5190 4500 3920 3420 2990 2740 2500 2260 2050 1800 1600 1410 1250 1100 997 894 788 712 636 575 516 463 415 365 331 302 267 227 201 178 161 141 122 102 82.7

(10 mm ) 20900 18900 17000 15300 13700 12400 11600 10800 9940 9170 8280 7510 6790 6140 5530 5070 4620 4150 3790 3420 3120 2830 2570 2330 2010 1840 1690 1510 1280 1150 1030 897 796 691 580 474

W310*500 W310*454 W310*415 W310*375 W310*342 W310*313 W310*283 W310*253 W310*226

500.4 454 415.1 374.3 343.3 313.3 283 252.9 226.8

63700 57800 52900 47700 43700 39900 36000 32200 28900

427 415 403 391 382 374 365 356 348

340 336 334 330 328 325 322 319 317

75.1 68.7 62.7 57.1 52.6 48.3 44.1 39.6 35.6

45.1 41.3 38.9 35.4 32.6 30 26.9 24.4 22.1

1690 1480 1300 1130 1010 896 787 682 596

7910 7130 6450 5760 5260 4790 4310 3830 3420

W360*1086

s

I =

c 3

1960 1730 1530 1360 1200 1070 983 902 825 754 670 601 536 481 426 388 350 310 283 229 207 186 167 151 61.5 55.7 50.6 44.8 24.2 21.4 18.8 11.1 9.68 8.18 3.75 2.91

(10 mm3) 8650 7740 6940 6200 5550 4990 4630 4280 3950 3630 3250 2940 2640 2380 2120 1940 1760 1570 1430 1220 1110 1000 904 817 478 435 397 353 236 210 186 129 113 95.7 58.6 45.8

494 436 391 343 310 277 246 215 189

2910 2600 2340 2080 1890 1700 1530 1350 1190

3


(Kg/m)

Área transversal

(mm2)

Altura (mm)

Ancho (mm)

espesor


I

(mm2) (mm2) (106mm4)

s

Eje Y - Y I

I

=

(106mm4)

c 3

3

s

I =

c 3

166 144 125 113 100 90.2 81.2 72.9 44.5 39.9 23.4 20.7 18.3 10.3 8.55 7.27 1.92 1.58 1.16 0.983

(10 mm3) 1050 919 805 729 652 588 531 478 1351 314 229 203 180 123 103 88.1 37.6 31 22.9 19.5

W310*202 W310*179 W310*158 W310*143 W310*129 W310*118 W310*107 W310*97 W310*86 W310*79 W310*74 W310*67 W310*60 W310*52 W310*45 W310*39 W310*33 W310*28 W310*24 W310*21

202.6 178.8 157.4 143.1 129.6 117.5 106.9 96.8 86.4 78.9 74.5 66.8 59.6 52.3 44.6 38.7 22.8 28.4 23.8 21.1

25800 22800 20100 18200 16500 15000 13600 12300 11000 10100 9490 8510 7590 6670 5690 4940 4180 3610 3040 2690

341 333 327 323 318 314 311 308 310 306 310 306 303 317 313 310 313 309 305 303

315 313 310 309 308 307 306 305 254 254 205 204 203 167 166 165 102 102 101 101

31.8 28.1 25.1 22.9 20.6 18.7 17 15.4 16.3 14.6 16.3 14.6 13.1 13.2 11.2 9.7 10.8 8.9 6.7 5.7

20.1 18 15.5 14 13.1 11.9 10.9 9.9 9.1 8.8 9.4 8.5 7.5 7.6 6.6 5.8 6.6 6 5.6 5.1

520 445 386 348 308 275 248 222 199 177 165 145 129 118 99.2 85.1 65 54.3 42.7 37

(10 mm ) 3050 2680 2360 2150 1940 1750 1590 1440 1280 1160 1060 949 849 747 634 549 415 351 28 244

W250*167 W250*149 W250*131 W250*115 W250*101 W250*89 W250*80 W250*73 W250*67 W250*58 W250*49 W250*45 W250*39 W250*33 W250*28 W250*25 W250*22 W250*18

167.4 148.9 131.1 114.8 101.2 89.6 80.1 72.9 67.1 58.2 49 44.9 38.7 32.7 28.5 25.3 22.4 17.9

21300 19000 16700 14600 12900 11400 10200 9280 8550 7420 6250 5720 4920 4170 3630 3230 2850 2270

289 282 275 269 264 260 256 253 257 252 247 266 262 258 260 257 254 251

265 263 261 259 257 256 255 254 204 203 202 148 147 146 102 102 102 101

31.18 28.4 25.1 22.1 19.6 17.3 15.6 14.2 15.7 13.5 11 13 11.2 9.9 10 8.4 6.9 5.3

19.2 17.3 15.4 13.5 11.9 10.7 9.4 8.6 8.9 8 7.4 7.6 6.6 6.1 6.4 6.1 5.8 4.8

300 259 22.1 189 164 143 126 113 104 87.3 70.6 71.1 60.1 48.9 40 34.2 28.9 22.4

2080 1840 1610 1410 1240 1100 982 891 806 693 572 534 459 379 307 266 227 179

98.8 86.2 74.5 64.1 55.5 48.4 43.1 38.8 22.2 18.8 15.1 7.03 5.94 4.73 1.78 1.48 1.23 0.913

746 656 571 495 432 378 338 306 218 186 150 95.1 80.8 64.7 34.8 29.2 24 18.1

W200*100 W200*86 W200*71 W200*59 W200*52 W200*46

99.5 86.7 71.5 59.4 52.3 46

12700 11100 9110 7560 6660 5860

229 222 216 210 206 203

210 209 206 205 204 203

23.7 20.6 17.4 14.2 12.6 11

14.5 13 10.2 9.1 7.9 7.2

113 94.7 76.6 61.1 52.7 45.5

989 853 709 582 512 448

36.6 31.4 25.4 20.4 17.8 15.3

349 300 246 199 175 151

4


(Kg/m)

Área transversal

(mm2)

Altura (mm)

Ancho (mm)

espesor


I

(mm2) (mm2) (106mm4)

s

Eje Y - Y I

I

=

(106mm4)

c 3

3

s

I =

c 3

9 7.64 4.10 3.3 1.42 1.15 0.869

(10 mm3) 108 92.6 61.1 49.6 27.8 22.6 17.4

W200*42 W200*36 W200*31 W200*27 W200*22 W200*19 W200*15

41.7 35.9 31.4 26.6 22.4 19.4 15

5310 4580 4000 3390 2860 2480 1900

205 201 210 207 206 203 200

166 165 134 133 102 102 100

11.8 10.2 10.2 8.4 8 6.5 5.2

7.2 6.2 6.4 5.8 6.2 5.8 4.3

40.9 34.4 31.4 25.8 20 16.6 12.7

(10 mm ) 399 342 299 249 194 163 127

W150*37 W150*30 W150*22 W150*24 W150*18 W150*14

37.1 22.9 22.3 24 18 13.6

4730 3790 2850 3060 2290 1730

162 157 152 160 153 150

154 153 152 102 102 100

11.6 9.3 6.6 10.3 7.1 5.5

8.1 6.6 5.8 6.6 5.8 4.3

22.2 17.2 12.1 13.4 9.16 6.87

274 219 159 168 120 91.5

7.07 5.56 3.87 1.83 1.26 0.918

91.8 72.6 50.9 35.8 24.7 18.4

W130*28 W130*24

28.2 23.7

3590 3020

131 127

128 127

10.9 9.1

6.9 6.1

11 8.84

168 139

3.81 3.11

59.6 49

W100*19

19.4

2470

106

103

8.8

7.1

4.76

89.9

1.61

31.2

S610*179

S610*118.9

178.9 158 149.2 133.9 119.1

22800 20100 19000 17100 15200

610 610 610 610 610

204 200 184 181 178

28 28 22.1 22.1 22.1

20.3 15.9 19 15.8 12.7

1260 1180 997 938 879

4140 3870 3270 3070 2880

35.1 32.8 20.1 18.9 17.9

345 328 218 209 201

S510*141 S510*127 S510*112 S510*97.3

141.8 126.9 111.9 97.8

18100 16200 14300 12500

508 508 508 508

183 179 162 159

23.3 23.3 20.1 20.1

20.3 16.6 16.3 12.7

674 633 532 494

2660 2490 2100 1950

21 19.5 12.5 11.7

230 218 154 147

S460*104 S460*81.4

104.7 81.6

13300 10400

457 457

159 152

17.6 17.6

18.1 11.7

387 335

1690 1470

10.3 8.77

129 115

S380*74 S380*64

74.6 63.9

9500 8150

381 381

143 140

15.8 15.8

14 10.4

203 187

1060 980

6.6 6.11

92.3 87.3

S310*74 S310*60.4 S310*52 S310*47

74.6 60.8 52.2 47.4

9500 7750 6650 6040

305 305 305 305

139 133 129 127

16.8 16.8 13.8 13.8

17.4 11.7 10.9 8.9

128 114 95.8 91.1

836 747 629 597

6.64 5.71 4.16 3.94

95.6 85.9 64.5 62.1

S250*52 S250*38

52.3 37.8

6660 4820

254 254

126 118

12.5 12.5

15.1 7.9

61.6 51.4

485 405

3.56 2.84

56.5 48.2

S200*34 S200*27

34.3 27.5

4370 3500

203 203

106 102

10.8 10.8

11.2 6.9

27 24

266 237

1.81 1.59

34.2 31.1

S610*157.6

S610*149 S610*134

5


(Kg/m)

Área transversal

(mm2)

Altura (mm)

Ancho (mm)

espesor


I

(mm2) (mm2) (106mm4)

s

Eje Y - Y I

I

=

(106mm4)

c 3

3

s

I =

c 3

1.30 1.08

(10 mm3) 26.8 23.6

S180*30 S180*22.8

29.7 22.7

3780 2890

178 178

97 92

10 10

11.4 6.4

17.6 15.3

(10 mm ) 198 172

S150*26 S150*19

25.5 18.4

3250 2340

152 152

90 84

9.1 9.1

11.8 5.8

10.8 9.08

143 119

0.952 0.750

21.2 17.9

S130*22 S130*15

21.9 14.8

2790 1880

127 127

83 76

8.3 8.3

12.5 5.3

6.33 5.11

99.6 80.4

0.690 0.507

16.6 13.4

S100*14.1 S100*11

14 11.3

1790 1440

102 102

70 67

7.4 7.4

8.3 4.8

2.81 2.52

55.2 49.4

0.362 0.311

10.3 9.28

S75*11 S75*8

11.1 8.4

1420 1070

76 76

63 59

6.6 6.6

8.9 4.3

1.2 1.04

31.6 27.4

0.238 0.190

7.56 6.43

6

Tabla A-2 Perfiles C (Canales), americanos unidades (S.I) Ala (o patín) Masa Aprox. Denominación

(Kg/m)

Área transversal Altura Ancho (mm) (mm) (mm2)

Eje X - X

espesor

espesor alma

I

(mm2)

(mm2)

(106mm4)

s

Eje Y - Y I

=

c

I

(106mm4)

s

I =

c

4.6 3.84 3.39

(103mm3) 62.4 55.5 51.4

X (mm)

C380*74 C380*60 C380*50

74.4 59.4 50.5

9480 7570 6430

381 381 381

94 89 86

16.5 16.5 16.5

18.2 13.2 10.2

168 145 131

(103mm3) 881 760 687

C310*45 C310*37 C310*31

44.7 37.1 30.8

5690 4720 3920

305 305 305

80 77 74

12.7 12.7 12.7

13 9.8 7.2

67.3 59.9 53.5

442 393 351

2.12 1.85 1.59

33.6 30.9 28.2

17 17.1 17.5

C250*45 C250*37 C250*30 C250*23

44.5 37.3 29.6 22.6

5670 4750 3780 2880

254 254 254 254

76 73 69 65

11.1 11.1 11.9 11.1

17.1 13.4 9.6 6.1

42.8 37.9 32.7 27.8

337 299 257 219

1.6 1.4 1.16 0.922

26.8 24.3 21.5 18.8

16.3 15.7 15.3 15.9

C230*30 C230*22 C230*20

29.8 22.3 19.8

3800 2840 2530

229 229 229

67 63 61

10.5 10.5 10.5

11.4 7.2 5.9

25.5 21.3 19.8

222 186 173

1.01 0.806 0.716

19.3 16.8 15.6

14.8 14.9 15.1

C200*28 C200*21 C200*17

27.9 20.4 17

3560 2600 2170

203 203 203

64 59 57

9.9 9.9 9.9

12.4 7.7 5.6

18.2 14.9 13.5

180 147 133

0.825 0.627 0.544

16.6 13.9 12.8

14.4 14 14.5

C180*22 C180*18 C180*15

21.9 18.2 14.5

2780 2310 1850

178 178 178

58 55 53

9.9 9.3 9.3

10.6 8 5.3

11.3 10 8.86

127 113 99.6

0.568 0.476 0.405

12.8 11.4 10.3

13.5 13.2 13.8

C150*19 C150*16 C150*12

19.2 15.5 12.1

2450 1980 1540

152 152 152

54 51 48

8.7 8.7 8.7

11.1 8 5.1

7.12 6.22 5.36

93.7 81.9 70.6

0.425 0.351 0.279

10.3 9.13 7.93

12.9 12.6 12.8

C130*13 C130*10

13.3 9.9

1700 1260

127 127

47 44

8.1 8.1

8.3 4.8

3.66 3.09

57.6 48.6

0.252 0.195

7.2 6.14

11.9 12.2

C100*11 C100*8

10.8 8

1370 1020

102 102

43 40

7.5 7.5

8.2 4.7

1.91 1.61

37.4 31.6

0.174 0.132

5.52 4.65

11.5 11.6

C75*9 C75*7 C75*6

8.8 7.3 6

1120 933 763

76 76 76

40 37 35

6.9 6.9 6.9

9 6.6 4.3

0.85 0.75 0.67

22.3 19.7 17.6

0.123 0.096 0.077

4.31 3.67 3.21

11.4 10.8 10.9

20.3 19.7 20

7

Tabla A-3 Perfiles L (angulares), de lados iguales, americanos unidades (S.I) Dimensiones (mm)

Masa Aprox.

Área transversal

(Kg/m)

(mm2

I

(106mm4)

(103mm3)

X O Y (mm)

s

I =

c

200 x 200x30 200 x 200x25 200 x 200x20 200 x 200x16 200 x 200x13 200 x 200x10

87.1 73.6 59.7 48.2 39.5 30.6

1110 9380 7600 6140 5030 3900

40.3 34.8 28.8 23.7 19.7 15.5

290 247 202 165 136 106

60.9 59.2 57.4 55.9 54.8 53.7

150 x 150x20 150 x 150x16 150 x 150x13 150 x 150x10

44 35.7 29.3 22.8

5600 4540 3730 2900

11.6 9.63 8.05 6.37

110 90.3 74.7 58.6

44.8 43.4 42.3 41.2

125 x 125x16 125 x 125x13 125 x 125x10 125 x 125x8

29.4 24.2 18.8 15.2

3740 3080 2400 1940

5.41 4.54 3.62 2.96

61.5 51.1 40.2 32.6

37.1 36 34.9 34.2

100 x 100x16 100 x 100x13 100 x 100x10 100 x 100x8 100 x 100x6

23.1 19.1 14.9 12.1 9.14

2940 2430 1900 1540 1160

2.65 2.24 1.8 1.48 1.14

38.3 31.9 25.2 20.6 15.7

30.8 29.8 28.7 28 27.2

90 x 90x13 90 x 90x10 90 x 90x8 90 x 90x6

17 13.3 10.8 8.20

21.7 1700 1380 1040

1.6 1.29 1.07 0.826

25.6 20.2 16.5 12.7

27.2 26.2 25.5 24.7

75 x 75x13 75 x 75x10 75 x 75x8 75 x 75x6 75 x 75x5

14 11 8.92 6.78 5.69

1780 1400 1140 864 725

0.892 0.725 0.602 0.469 0.398

17.3 13.8 11.3 8.68 7.32

23.5 22.4 21.7 21 20.6

65 x 65x10 65 x 65x8 65 x 65x6 65 x 65x5

9.42 7.66 5.84 4.91

1200 936 744 625

0.459 0.383 0.300 0.255

10.2 8.36 6.44 5.45

19.9 19.2 18.5 18.1

8

Tabla A-3 Perfiles L (angulares), de lados iguales, americanos unidades (S.I) Dimensiones (mm)

Masa Aprox.

Área transversal

(Kg/m)

(mm2)

55 x 55x10 55 x 55x8 55 x 55x6 55 x 55x5 55 x 55x4 55 x 55x3

7.85 6.41 4.90 4.12 3.33 2.52

1000 816 624 525 424 321

45 x 45x8 45 x 45x6 45 x 45x5 45 x 45x4 45 x 45x3

5.15 3.96 3.34 2.70 2.05

35 x 35x6 35 x 35x5 35 x 35x4 35 x 35x3 25 x 25x5 25 x 25x4 25 x 25x3

(103mm3)

X O bien Y (mm)

0.268 0.225 0.277 0.152 0.125 0.096

7.11 5.87 4.54 3.85 3.13 2.39

17.4 16.7 16 15.6 15.2 14.9

656 504 425 344 261

0.118 0.094 0.081 0.067 0.052

3.82 2.98 2.53 2.07 1.58

14.2 13.4 13.1 12.7 12.4

3.01 2.55 2.07 1.58

384 325 264 201

0.042 0.036 0.030 0.024

1.74 1.49 1.22 0.94

10.9 10.6 10.2 9.86

1.77 1.44 1.11

225 184 141

0.012 0.010 0.008

0.724 0.599 0.465

8.06 7.71 7.35

I

(106mm4)

s

I =

c

9

Tabla A-3 Perfiles L (angulares), de lados desiguales, americanos (unidades S.I)

Eje X - X Dimensiones (mm)

Masa Aprox.

Área transversal

(Kg/m)

(mm2)

200 x 150 x25 200 x 150 x20 200 x 150 x16 200 x 150 x13

63.8 51.8 42 34.4

8120 6600 5340 43.8

31.6 26.2 21.6 17.9

200 x 100 x20 200 x 100 x16 200 x 100 x13 200 x 100 x10

44 35.7 29.3 22.8

5600 4540 3730 2900

150 x 100 x16 150 x 100 x13 150 x 100 x10 150 x 100 x8

29.4 24.2 18.8 15.2

125 x 90 x16 125 x 90 x13 125 x 90 x10 125 x 90 x8

I

(106mm4)

Eje Y - Y I

I

I

Y (mm)

(106mm4)

236 193 158 130

66.3 64.5 63.1 62

15.1 12.7 10.5 8.77

139 115 93.8 77.6

41.3 39.5 38.1 37

22.6 18.7 15.6 12.3

180 147 121 94.8

74.3 72.8 71.7 70.5

3.84 3.22 2.72 2.18

50.8 41.8 34.7 27.4

24.3 22.8 21.7 20.5

3740 3080 2400 1940

8.40 7.03 5.58 4.55

84.8 70.2 55.1 44.6

50.9 49.9 48.8 48

3 2.53 2.03 1.67

40.4 33.7 26.6 21.6

25.9 24.9 23.8 23

25 20.6 16.1 13

3180 2630 2050 1660

4.84 4.07 3.25 2.66

58.5 48.6 38.2 31.1

42.2 41.2 40.1 39.3

2.09 1.77 1.42 1.18

32 26.7 21.1 17.2

24.7 23.7 22.6 21.8

125 x 75 x13 125 x 75 x10 125 x 75 x8 125 x 75 x6

19.1 14.9 12.1 9.14

2430 1900 1540 1160

3.82 3.05 2.5 1.92

47.1 37.1 30.1 23

43.9 42.8 42.1 41.3

1.04 0.841 0.697 0.542

18.5 14.7 12 9.23

18.9 17.8 17.1 16.3

100 x 90 x13 100 x 90 x10 100 x 90 x8 100 x 90 x6

18.1 14.1 11.4 8.67

2300 1800 1460 1100

2.17 1.74 1.43 1.11

31.4 24.9 20.3 15.5

31.1 30 29.3 28.5

1.66 1.33 1.10 0.853

25.9 20.5 16.8 12.8

26.1 25 24.3 23.5

100 x 75 x13 100 x 75 x10 100 x 75 x8 100 x 75 x6

16.5 13 10.5 7.96

2110 1650 1340 1010

2.04 1.64 1.35 1.04

30.6 24.2 19.7 15.1

33.4 32.3 31.5 30.8

0.976 0.791 0.656 0.511

18 14.3 11.7 9.01

20.9 19.8 19 18.3

90 x 75 x13 90 x 75 x10 90 x 75 x8

15.5 12.2 9.86

1980 1550 1260

1.51 1.22 1.01

24.8 19.7 16.1

29.3 28.2 27.5

0.946 0.767 0.636

17.8 14.1 11.6

21.8 20.7 20

s

=

c

(103mm3)

s

=

c

(103mm3)

X (mm)

10

Tabla A-3 Perfiles L (angulares), de lados desiguales, americanos (unidades S.I)

Eje X - X Dimensiones (mm)

Masa Aprox.

Área transversal

(Kg/m)

(mm2)

90 x 75 x6 90 x 75 x5

7.49 6.28

954 800

0.779 0.660

(103mm3) 12.3 10.4

90 x 65 x10 90 x 65 x8 90 x 65 x6 90 x 65 x5

11.4 9.23 7.02 5.89

1450 1180 894 750

1.16 0.958 0.743 0.629

80 x 60 x10 80 x 60 x8 80 x 60 x6 80 x 60 x5

10.2 8.29 6.31 5.30

1300 1060 804 675

75 x 50 x8 75 x 50 x6 75 x 50 x5

7.35 5.60 4.71

65 x 50 x8 65 x 50 x6 65 x 50 x5 65 x 50 x4

I

(106mm4)

Eje Y - Y I

I

I

Y (mm)

(106mm4)

26.8 26.4

0.495 0.421

(103mm3) 8.89 7.50

19.2 15.7 12.1 10.2

29.8 29.1 28.4 28

0.507 0.422 0.330 0.281

10.6 8.72 6.72 5.68

17.3 16.6 15.9 15.5

0.808 0.670 0.522 0.443

15.1 12.4 9.50 8.02

26.5 25.8 25.1 24.7

0.388 0.324 0.254 0.217

8.92 7.33 5.66 4.79

16.5 15.8 15.1 14.7

936 714 600

0.525 0.410 0.349

10.6 8.15 6.88

25.5 24.7 24.4

0.187 0.148 0.127

5.06 3.92 3.32

13 12.2 11.9

6.72 5.13 4.32 3.49

856 654 550 444

0.351 0.275 0.235 0.192

8.03 6.19 5.24 4.25

21.3 20.6 20.2 19.9

0.180 0.142 0.122 0.100

4.97 3.85 3.27 2.66

13.8 13.1 12.7 12.4

55 x 35 x6 55 x 35 x5 55 x 35 x4 55 x 35 x3

3.96 3.44 2.70 2.05

504 425 344 261

0.152 0.130 0.107 0.083

4.23 3.59 2.92 2.23

19.0 18.7 18.3 17.9

0.48 0.41 0.034 0.027

1.85 1.58 1.29 0.994

9.04 8.68 8.31 7.94

45 x 30 x6 45 x 30 x5 45 x 30 x4 45 x 30 x3

3.25 2.75 2.23 1.7

414 350 284 216

0.082 0.070 0.058 0.045

2.79 2.37 1.94 1.49

15.7 15.4 15 14.6

0.029 0.025 0.021 0.016

1.32 1.13 0.930 0.717

8.22 7.86 7.49 7.12

s

=

c

s

=

c

X (mm) 19.3 18.9

11

Tabla A-4 Perfiles H (viga de ala ancha), europeos (unidades S.T) Denominación (cm) 14-14 16-16 18-18 20-20 22-22

Masa Área Ala o patín Espesor (peso) transversal Altura Ancho Espesor Alma Kg/m cm2 cm. cm. cm. cm. 35.7 44 53 62.8 73.2

45.5 56 67.5 80 93

14 16 18 20 22

14 16 18 20 22

1.25 1.35 1.45 1.55 1.65

0.85 0.9 0.95 1 1.05

Eje X -X

I cm4 1534 2500 3856 5690 8105

Eje Y -Y I

s

=

c

cm3 219 312 428 569 736

I cm4 572 922 1410 2068 2929

s

I =

c

cm3 81.7 115 156 207 266

Tabla A-5 Perfiles I (vigas normales), europeos (unidades S.T)

Perfil

Dimensiones en mm.

І

h

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 45 50 55 60

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 450 500 550 600

b 42 50 58 66 74 82 90 98 106 113 119 125 131 137 143 149 155 170 185 200 215

e 3.9 4.5 5.1 5.7 6.3 6.9 7.5 8.1 8.7 9.4 10.1 10.8 11.5 12.2 13 13.7 14.4 16.2 18 29 21.6

e1 5.9 6.8 7.7 8.6 9.5 10.4 11.3 12.2 13.1 14.1 15.2 16.2 17.3 18.3 19.5 20.5 21.6 24.3 27 30 32.4

Masa Área Eje X - X Eje Y - Y (peso) Transversal I I I Kg/m I 4 2 s s 4 (mm ) c c cm cm =

7.58 10.6 14.2 18.3 22.8 27.9 33.5 39.6 46.1 53.4 61.1 69.1 77.8 86.8 97.1 107 118 147 180 213 254

7.95 8.32 11.2 14.4 17.9 21.9 26.3 31.1 36.2 49.9 48 54.2 61.1 68.1 76.2 84 92.6 115 141 167 199

77.8 171 328 573 935 1450 2140 3060 4250 5740 7590 9800 12510 15700 19610 24010 29210 45850 68740 99180 139000

cm3 19.5 34.2 54.7 81.9 117 161 214 278 354 442 542 653 782 923 1090 1260 1460 2040 2750 3610 4630

=

6.29 12.2 21.5 35.2 54.7 81.3 117 162 221 288 364 451 555 674 818 975 1160 1730 2480 3490 4670

cm3 3 4.88 7.41 10.7 14.8 19.8 26 33.1 41.7 51 61.2 72.2 84.7 98.4 114 131 149 203 268 349 434

12

Tabla A-6 Perfiles C (o U)(canales) ,europeos (unidades S.T)

Perfil

Dimensiones en mm. h

b

e

e1

Masa Área Eje X - X Eje Y - Y (peso) X Transversal I I I Kg/m I 4 2 s s 4 (cm) (mm ) c c cm cm =

=

50-25 60-30 8 10

50 60 80 100

25 30 45 50

6 6 6 6

6 6 8 8.5

0.8 0.89 1.45 1.55

5.1 6.4 11 13.5

4 5.02 8.64 10.60

20 32.6 106 206

cm3 8 10.8 26.5 41.2

3 5.62 19.4 29.3

cm3 1.76 1.10 6.36 8.49

12 14 16 18 20

120 140 160 180 200

55 60 65 70 75

7 7 7.5 8 8.5

9 10 10.5 11 11.5

1.6 1.75 1.84 1.92 2.01

17 20.4 24 28 32.2

13.4 16.01 18.84 22 25.3

364 605 925 1350 1910

60.7 86.4 116 150 191

43.2 62.7 85.3 114 148

11.1 14.8 18.3 22.4 27

22 25-8 25-10 30

220 250 250 300

80 80 100 90

9 10 10 13

12.5 12.5 16 14

2.14 2.14 2.88 2.14

37.4 42.5 53.7 60.7

29.4 34 22.20 47.65

2690 3770 5180 7310

245 302 414 487

197 238 440 349

33.6 40.6 61.7 51

13

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES



Se debe tener en cuenta que la elaboración del presente documento es y será un aporte, no solo para los estudiantes de la carrera de Ingeniería Civil de la Facultad de Ciencias y Tecnología de la Universidad Mayor de san Simón, si no para todas las personas de una u otra forma estén relacionados en el área de la resistencia de materiales I.



Estamos consientes de que la mejor forma de aprender los conceptos explicados en el desarrollo del documento, es llevarlo a la practica para posterior no encontrarse en obstáculos, para ello es mejor aplicar el criterio de conocimiento.



Esta es una guía sobre la metodología de trabajo y los pasos a seguir en la mencionada materia.



Se recomienda al estudiante para poder comprender bien los temas, leer por lo menos dos veces antes que el docente.



Una última recomendación para los estudiantes es, asistir a las clases de la teoría, ya que con eso se podrá captar con facilidad.

RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS CAPITULO I 1.1.- σ br.= 28.6MPa, σal.= 28.6MPa y σac.= 28.6MPa. 2

2

2

1.2.- σ1= 2000Kg/cm , σ2= 200Kg/cm y σ3= 500Kg/cm . 2

2

2

1.3.- σ1= 4000Kg/cm , σ2= 1000Kg/cm y σ3= 875Kg/cm . 1.4.- Pmax= 180KN. 1.5.- di=183.4mm. 1.6.- φ ≥ 1.25cm Sea φ

=

1 ′′

⇒ φ = 1.27cm

2

1.7.- φ ≥ 1.741cm Sea φ

=

3 ′′

⇒ φ = 1.905cm

4

1.8.- σBD.= 8.064MPa. 1.9.- P=62.745KN. 1.11.- φ ≥ 3.48cm Sea φ

=1

1.12.- 913lb,θ x = 50.60 ,θ

φ ≥ 0.786 cm Sea φ

=

3′′ 8

1.13.- T1=3814.1Kg

⇒

y

1 ′′ 2

⇒ φ = 3.81cm

= 117.6

⇒ φ =

0

yθ z = 51.8

0

0.9525cm y φ ≥ 0.718cm Sea φ

φ ≥ 2.15cm Sea φ

= 1′′ ⇒ φ =

T2=5160.26Kg

⇒


= 1′′ ⇒ φ =

T3=1282.05Kg

⇒


=

1 ′′ 2

CAPITULO II 2.1.- b=11.43mm 2.2.- φ

≥

= 1′′ ⇒ φ =

2.2023cm Sea φ

3 ′′

2.3.- φ

≥ 1.557 cm

Sea φ

=

2.4.- φ

≥ 1.557 cm

Sea φ

=

2.5.- φ

≥ 3.589 cm

Sea φ

=1

4 3 ′′ 4

2.54 cm

⇒ φ = 1.905 cm

⇒ φ = 1.905 cm

1 ′′ 2

⇒ φ = 3.81cm

2.6.- a=0.5cm 2.7.- a).- φ

≥ 1.596cm

b).- φ

≥

Sea φ

=

2.04cm Sea φ

c).- e ≥ 0.501cm Sea φ

3 ′′ 4

⇒ φ = 1.905 cm

= 1′′ ⇒ φ = =

1 ′′ 4

2.54 cm

⇒ φ =

2.54cm .

⇒ φ = 1.27 cm .

1.14.- 28.8MPa, - 48.8MPa

2.54cm .

0.635cm

=

3′′ 8

⇒ φ =

0.9525cm

CAPITULO III 3.1.- 0.157mm 3.2.- δ= MgL/2AE. 3.3.- δ= 4PL/πEDd 3.4.-

δ =

ρ gL2 ( D + d )

ρ gL2 d 2

−

6 E ( D − d ) 3 ED( D − d ) 3.5.- δ = 0.0733cm 2 3.6.- δ = 0.2024cm; σmax =750kg/cm 3.7.- Pmáx = 12KN, δT= 0.2148cm 3.8.- δT= 0.06324m 2 3.9.- σmax =1400kg/cm δ = 0.067cm 2 2 3.10.- σ1= - 535.71kg/cm y σ2=1657.14kg/cm 3.11.- δT= 0.1532cm 3.14.- Pmax= 24.8kN 3.15.- σ br =75.4MPa; 1.66 vueltas 3.16.- σ b= 10.29ksi 2 2 2 3.17.-σ1=2262.64kg/cm , σ2=1840.91kg/cm y σ3=705.58kg/cm 3.18.- Incompatible. 3.19.- Pmax= 47250Kg, X=4.28cm 3.20.- φ ≥ 0.842cm Sea media pulg. ⇒ φ = 1.27 cm 3.21.- δAB= 0.02cm 3.22.- δ= 0.2PL/A2E2 3 3.23.- M=22.38*10 Kg 3.24.- Incompatible. 3.25.- Incompatible. 3.26.- δB= 0.53cm 3.27.- Pmax= 464Kg 2 2 3.28.- T1=2250kg/cm , T2=3000kg/cm 3.29.- 89.52GPa, 0.225 CAPITULO IV 2 2 2 4.2.- σmax= 5123.106kg/cm , σmin= 3123.106kg/cm , τ max= 4123.106kg/cm . 4.3.- φ

≥

4.4.- φ

2.21cm Sea φ

≥ 1.88cm

4.6.- a).- φ

Sea φ

= 1′′ ⇒ φ =

3 ′′

=

4

⇒ φ = 1.905cm

= 1′′ ⇒ φ =

2.54 cm , b).- φ

3 ′′

⇒ φ = 1.905cm 4 2 2 2 4.7.- σmax= 4270.69kg/cm , σmin= 1229.31kg/cm , τ max= 1520.69kg/cm . α = 40.27 0 , β = 4.730 ≥

2.16cm Sea φ

2.54 cm

4.8.- a ≥ 2.88cm ⇒ a = 3cm ⇒ ε X 4.9.-

φ

≥ 3.554cm

C

φ

≥ p

φ

≥ r

Sea

2.93cm Sea 2.323cm Sea

φ φ

C

p

φ

=1

=1

r

=

1 ′′

0.0005195∴ε Y = −0.000548 ⇒

2

1 ′′

=

φ

C

⇒

4

= 1′′ ⇒

φ

p

= 3.81cm

= 3.175 cm

φ = 2.54 cm r

4.10.- φ

φ

≥ p

C

φ

≥ 1.226cm

r

4.11.- φ

≥ 1

φ 4.14.- φ

φ

2.806cm Sea

≥

2

φ

3.016cm Sea

1′′

⇒

8 ⇒

φ

Sea φ

=

3 ′′ 4

2.86 cm

φ = 1.27 cm φ = 2.54 cm 1

⇒

4

2

=

= 3.175 cm

r

3 ′′

=

φ

C

= 1′′ ⇒

1

φ

p

2

Sea

≥ 1.874cm

≥ 1.604cm

=

⇒

4

1 ′′

r

φ

2.312cm Sea

=1

C

φ

Sea

=1

p

1 ′′

φ

2

= 1.905 cm

⇒ φ = 1.905 cm

CAPITULO V 5.1.- σC= 80MPa, σL= 40MPa, Δ D = 0.7mm 5.2.- h= 60cm 5.5.- n=3 5.7.- 11MPa 5.8.- 1.2mm 5.9.- τ max= 21.05MPa. 5.10.- e ≥ 0.119cm Sea e =

1 ′′

⇒

16 1 ′′

5.12.- e ≥ 0.1904 cm Sea e =

⇒

8

5.13.- e ≥ 0.1374cm Sea e =

1 ′′ 16

e = 0.159 cm , Df =100.064cm, φ = e = 0.3175 cm Para φ =

⇒

1 ′′ 4

⇒ N =

1 ′′ 4

⇒ N = 119

97

e = 0.15875 cm

CAPITULO VI 6.1.-

σ

6.2.-

σ

6.3.-

σ

6.4.-

σ

max( tracción )

σ

max( tracción )

max( tracción )

max( tracción )

max( tracción )

= 189.79 = 1.807 =

=

Kg

cm Kg

cm

2279.18 2639.64

2

,

σ

max( compresión )

=

272.225

= 1.807 , 2 σ max( compresión)

Kg cm

2

Kg cm 2

, I

= 26560000 cm

Kg

K g

cm Kg

cm 2 Kg

, = 1306.58 2 σ max( compresión) 2

cm Kg

,σ max( compresión) = 1222.70

2

cm K g

,σ max( compresión) = 9778.21 2 cm 2 cm 6.7.- φ ≥ 11.33cm Sea ⇒ φ = 11.5cm 6.5.-

= 8601.89

6.8.- b ≥ 8.298cm ⇒ b = 8.5cm ∴ h = 2b ⇒ h = 17cm 6.9.- b ≥ 6.58cm ⇒ b = 7cm ∴ h = 2b ⇒ h = 14cm 6.11.- φ ≥ 18.11cm Sea ⇒ φ = 18.5cm 6.12.- φ

≥ 11.07 cm

Sea ⇒ φ = 11.5cm 6.13.- b ≥ 6.56cm ⇒ b = 7cm ∴ h = 2b ⇒ h = 14cm

, I

4

= 3417.62 cm

4

6.14.- φ

≥ 12.7 cm

Sea ⇒ φ = 13cm

6.16.- φ

≥ 12.4cm

6.17.- y

= 11.40 cm ,

Sea

⇒ φ = 12.5cm

I=2315.16cm4, S=203.08 cm 3

6.19.- S ≥ 99.55m 3 6.21.- a ≥ 1.23cm ⇒ a = 1.5cm 6.22.- Para φ = 1 6.23.- Para φ =

4

1 ′′ 2

6.24.- Para φ = 1 6.25.- Para φ =

1 ′′

1 ′′ 4

5 ′′ 4

⇒ N = 3 ∴ L =

6.2 m

⇒ N =

3∴ L = 6.2 m

⇒ N =

3∴ L = 8.2 m

⇒ N =

3∴ L = 3.2 m

CAPITULO VII 7.1.- b ≥ 4.56cm ⇒ b = 5cm 7.3.- b ≥ 4.54cm ⇒ b = 5cm ∴ h = 2b ⇒ h = 10cm Ton 7.5.- a ≥ 24.87cm ⇒ a = 25cm , τ m á x = 20.86 2 m Kg 7.9.- a ≥ 1.33cm ⇒ a = 1.5cm , τ m á x = 179.7 cm2 7.11.- d ≥ 20.93cm Sea ⇒ d = 21cm ∴ e = 2.1cm 7.12.- 2 7.13.- P=45Kg 4 7.15.-I=2315.16cm , b ≥ 1.67cm ⇒ a = 2cm 7.16.- 3.6kN 7.17.- y

=

20.19cm , I=95392.63cm4, P=80Kg, τ m á x = 12.54

7.19.- y

=

9.4cm , I=11562.5cm4, P=25Kg, τ m á x = 16.4

7.23.- Para

S

yy

≥

738.09cm3

⇒

Kg cm2

Kg cm 2

Perfil americano para q = 134

Kg m

h = 36.9cm, b = 35.6cm, e = 1.8cm, e1 = 1.12cm , τ m á x = 91.53 7.24.- τ m á x

=

789.34

CAPITULO VIII 8.1.- x = 2.44m ⇒ I

∴

Kg cm2

Kg cm 2 4

δ

= 17210.833cm ∴ 4

δ

8.3.- x = 5.5m ⇒ I

= 13852.56cm ∴

8.5.- x = 6.5m ⇒ y

= 12.09cm, I =

Máx

Máx

=

=

0.175cm

0.83cm

2322.44cm4 ∴δ Máx = 2.32cm

8.9.- b ≥ 7.46cm ⇒ b = 7.5cm ∴ h = 2b ⇒ h = 15cm ⇒ δ Máx = 1.69cm 8.11.- x = 5m ⇒ φ

≥

22.35cm ⇒ φ = 22.5cm ∴δ Máx = 3.942cm

S

yy

= 817cm

3

8.18.-

δ

Máx

=

2.82cm

8.20.- b ≥ 16.422cm ⇒ b = 16.5cm ∴ h = 2b ⇒ h = 33cm ⇒ δ Máx = 1.622cm 8.21.- b ≥ 9.806cm ⇒ b = 10 cm ∴ h = 2b ⇒ h = 20cm ⇒ δ Máx = 3.75cm CAPITULO IX 9.1.- θ = 0.5350 9.2.- θ = 0.0550 9.3.- φ ≥ 12.86cm ⇒ φ = 13cm 9.4.- φ

9.02cm ⇒ φ = 9.5cm

≥

9.5.- θ = 3.10170 9.6.- φ ≥ 11.54cm ⇒ φ = 12cm 9.7.- θ = 2.160 9.8.- θ = 1.307 0 9.10.- τ max= 73.46Kg/cm2, τ min= 48.97Kg/cm2 CAPITULO X 10.1.- φ

≥

21.75cm ⇒ φ = 22cm

10.3.- φ

≥

24.12cm ⇒ φ = 24.5cm ,

10.5.- φ

≥

δ

X −Y

= 6.871cm

41.078cm ⇒ φ = 41.5cm 10.6.- φ ≥ 20.28cm ⇒ φ = 20.5cm 22.96cm ⇒ φ = 23cm , 10.8.- b ≥ 11.07cm ⇒ b = 11.5cm ∴ h = 23cm 10.9.- b ≥ 10.233cm ⇒ b = 10.5cm ∴ h = 21cm , 10.7.- φ

≥

δ 10.10.- b ≥ 15.18cm ⇒ b = 15.5cm ∴ h = 31cm , δ

X − Z X − Z

=

0.372cm

= 1.26cm

10.11.- b ≥ 8.559cm ⇒ b = 9cm ∴ h = 18cm 10.13.- b ≥ 14.16cm ⇒ b = 14.5cm ∴ h = 29cm 10.15.- φ

≥ 13.37 cm ⇒ φ = 13.5cm

,

δ

Max

= 1.6428cm

10.17.- b ≥ 10.89cm ⇒ b = 11cm ∴ h = 22cm , 10.18.- φ

≥ 16.83cm ⇒ φ = 17 cm

10.19.- φ

≥ 17.34cm ⇒ φ = 17.5cm

δ

X −Y

=

4.4071cm

10.25.10.26.- D ≥ 20.89cm ⇒ D = 21cm ∴ d = 14.7cm 10.29.- a).- φ

≥ 18.54cm ⇒ φ = 19cm

,

δ

Max

= 1.368cm

b).- b ≥ 12.58cm ⇒ b = 13cm ∴ h = 26cm , c).- δ X −Y = 0.325cm , 10.30.- a).- φ

36.15cm ⇒ φ = 36.5cm b).- b ≥ 26.42cm ⇒ b = 26.5cm ∴ h = 53cm ≥

δ

X − Z

= 1.30cm

Resistencia de Materiales I - Ing. Gómez Ugarte Guido.pdf

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