Resistencia de Materiales Fase I (1)

RESISTENCIA DE MATERIALES 

Introducción y Conceptos Básicos



Ing. Juan Carlos Valdez Valdez Loa Loaiza iza

AREQUIPA - PERÚ

PRIMERA UNIDAD: Esfuerzo Simple Objetivos Específicos:

Contenidos:

1.Intr 1.In trod oduc ucci ción ón al cu curs rso o y 1 Esfuerzo Simple definiciones básicas de 1.Equilib 1. Equilibrio rio de un cuerpo cuerpo resistencia de materiales. deformable 2.Esfuerzo 1.Análisis de los conceptos 3.Esfu 3. Esfuerzo erzo Normal Normal de esfuerzo. promedio 4.Esfu 4. Esfuerzo erzo Cortante Cortante promedio 5.Diseño 5. Diseño de conexione conexioness 6.Aplicaciones

SEGUNDA UNIDAD Deformación Simple Objetivos Específicos:

Contenidos:

1.Análisis de la deformación en una sección donde se aplica una carga axial.

2. Deformación Simple 1.Deformación 2.Defor 2. Deformación mación unitaria unitaria 3.Diagra 3. Diagrama ma Esfuerzo Esfuerzo Deformación 4.Ley Hooke 5.Razón 5. Razón de de Poisson Poisson 6.Defor 6. Deformación mación Axial Axial 7.Aplicaciones

TERCERA UNIDAD Torsión Objetivos Específicos:

Contenidos:

1.Entendimiento del 3. Torsión efecto de las cargas de 1.Deformación por torsión torsión sobre 2.Fórmulas de torsión determinados miembros 3.Transmisión de potencia circulares 4.Angulo de giro 5.Aplicaciones

CUARTA UNIDAD Fuerza Cortante y Momento Flector Objetivos Específicos:

Contenidos:

1.Calculo del momento flector y fuerza cortante en una viga. 2.Realización de diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes en vigas estáticamente determinadas.

4. Fuerza Cortante y Momento Flector 4.1 Diagrama de fuerza cortante 4.2 Método grafico de diagramas de fuerza cortante y de momento 4.3 Deformación flexiónate de un elemento 4.4 Aplicaciones

QUINTA UNIDAD Flexión en Vigas Objetivos Específicos:

Contenidos:

Análisis de deflexiones en 5. Deflexiones en vigas vigas 5.1 Ecuaciones de la curva de Análisis de límites deflexión tolerables de deflexión. 5.2 Deflexiones por integración de la ecuación del momento flexionante. 5.3 Deflexiones por integración de la fuerza cortante y de la carga. 5.4 Aplicaciones

SEXTA SEXT A UNIDAD UNIDAD Columnas Objetivos Específicos:

Contenidos:

Describir las condiciones de los soportes, los tipos de cargas y los materiales usados para las columnas.

6.1 Introducción 6.2 Pandeo y estabilidad 6.3 Columnas con extremos articulados y empotrados 6.4 Columnas con cargas axiales excéntricas 6.5 Formulas de diseño de columnas ( Euler ) 6.6 Aplicaciones

Evaluación:

Evaluación Permanente: 40% Controles escritos sobre contenidos dados (anticipados y no anticipados). Trabajos individuales y grupales y exposición en clase. Participación diversa en clase.

10. EVALUACIONES: Evaluación Permanente: 40% PERMANENTE 1 = C1*0.2 + C2*0.2 +PTP*0.2 + IB*0.4 C1 = Control 1 C2 = Control 2 PTP = Promedio de Trabajos Prácticos IB = Investigación Bibliográfica (Fundamentos de la Resistencia de Materiales)

PERMANENTE 2 = C3*0.15 + C4*0.15 + PTP*0.15 + TI*0.55 C3 = Control 3 C4 = Control 4 PTP = Promedio de Trabajos Prácticos TI = Trabajo Integrador (*) En cada permanente el docente podrá adicionar puntos por participación en clase. • •

Examen Parcial: 30% Examen Final: 30%

Política de recuperación de controles o nota de trabajo por inasistencia: i nasistencia: Solamente podrán recuperar una evaluación o la entrega de algún trabajo en fecha posterior a la indicada por el profesor, aquellos estudiantes que cuenten con la justificación de la Dirección de Ingeniería Industrial tramitada dentro de las 48 horas después de ocurrida la inasistencia. Salvo indicaciones extraordinarias de la l a autoridad.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Singer, J. Resistencia de Materiales. COMPLEMENTARIA Beer, F.; Johnston, R.; DeWolf, J.; Mazurek, D. Mecánica de Materiales. Mc GrawHill, quinta edición. Hibbeler, R. Mecánica de Materiales. Pearson, octava edición. Gere, J. Mecánica de Materiales. Sexta Edición

METODOLOGÍA El curso se desarrolla con presentaciones del profesor apoyadas con diapositivas y videos, complementadas con prácticas desarrolladas en clases. Se encargarán trabajos de aplicación, intervenciones, se promoverá la realización de un trabajo de investigación que será desarrollado por el alumno al final del curso consistente en la redacción de un documento en el cual reflexione sobre la aplicación de algún programa de calculo en la Resistencia de Materiales. Se promoverá el aprendizaje para la era digital y el aprendizaje basado en evidencias.

MATERIAL DE TRABAJO 1. Cuaderno cuadriculado de 100 Hojas. 2. Lapiceros de colores y reglas. 3. Calculadora científica. 4. Libro referencia.

TRABAJO FINAL PROYECTOS 1. Representar y calcular un modelo estructural de la vida real.

1. Trabajo grupal 5 integrantes. 2. Presentar una maqueta y/o simulación de un modelo estructural. 3. Memoria de cálculo de esfuerzos, deformaciones, etc. de los elementos principales. (en formato Paper). 4. Exposición del trabajo final.

https://www.youtube.com/playlist?list=PLhAhTtngFTI3Pv0qrTtWQhlTOFLqWlwnX

1. Puntualidad. 2. Prohibido uso de celulares. 3. Prohibido comer o beber dentro de clases. 4. No realizar tareas ajenas que no sean del curso. 5. No interrumpir el dictado de clases. 6. Cualquier conducta inadecuada el alumno será retirado de clase. 7. Coordinar cualquier duda o anuncio primero con el docente.

Formas de Presentar Correctamente los Trabajos Grupales



Formas INCORRECTAS de presentar los Trabajos Grupales





Calificación de los Trabajos Grupales

QUE HACE UN INGENIERO? Un Ingeniero Diseña y Construye Maquinarias y Edificios. Maquinarias y Edificios se les puede agrupar bajo un termino o concepto: Estructuras. Si un Ingeniero Diseña y Construye Estructuras ..Que es una estructura? …

Estructura: • Combinación de elementos unidos entre si para soportar cargas

(Resistencia); • Los materiales deben deformarse y recuperar su forma (Rigidez); • Mantener su posición original (Estabilidad).

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S

Resistencia de Materiales estudia el comportamiento de los sólidos deformables y permite establecer el material mas apropiado además de determinar la forma y dimensiones adecuadas que habrá que darles a los prismas macizos cuando se emplean como elementos de una edificación, estructura ó maquinaria. Por lo tanto, un Ingeniero requiere no solo conocer estos conceptos sino también principios prácticos que le permitan valerse en cualquier tipo de proceso estructural, cuyas aplicaciones están dadas en: • Área aeroespacial; • Agricultura; • Electromecánica. • Minería.



Quienes estudian Estructuras?

Mecánica: Comportamiento de las Estructuras sin considerar las deformaciones.

 Fi  0  Mi  0 Resistencia de Materiales: Lleva en cuenta la deformación.

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S CONCEPTO DE ESFUERZO (σ): Esfuerzo Normal aparece cuando la

fuerza actúa en el centro de gravedad de la sección recta del elemento estructural y se desplaza a lo largo de su eje de simetría.

P



P 

A

P

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S CONCEPTO DE ESFUERZO (σ): Esfuerzo de corte busca es cortar el

elemento, esta fuerza actúa de forma tangencial al área de corte. P

t



t P



P 1 2 Ac

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S CONCEPTO DE ESFUERZO (σ): Esfuerzo admisible y Factor de

Seguridad

N 

N



C arg a _ ultima C arg a _ de _ Diseño  C arg a _ Permisible C arg a _ de _ Trabajo  Esfuerzo _ ultimo Esfuerzo _ de _ Di seño

 Esfuerzo _ de _ Trabajo Esfuerzo _ Permisi bl e

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S CONCEPTO DE ESFUERZO (σ): Esfuerzo admisible y Factor de

Seguridad

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S DEFORMACION

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S Diagrama de Esfuerzo - Deformación

Ensayo de tracción. Ley de Hooke. Ensayamos a tracción una probeta de un determinado material. Para distintos valores de la carga medimos la tensión ( ) y la deformación unitaria ( ) producidas. Representando gráficamente se obtiene el siguiente diagrama. E: Módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young Cte. Para cada material En el Acero: E = 2,1 · 106 kp/cm2

LEY DE HOOKE 



E

e 

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S DEFORMACION

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S ESFUERZOS TÉRMICOS

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S ESFUERZOS POR TORSIÓN Cuando se aplican 2 pares de igual

magnitud pero en sentido contrario en la misma dirección perpendicular al eje del

elemento. En una estructura es el esfuerzo mas dañino.

Genera un esfuerzo de corte por torsión.

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS POR TORSIÓN

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR Y ESFUERZO CORTANTE

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S ESFUERZOS POR FLEXIÓN Deformación causada por una fuerza

lateral.

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S CONCENTRACIÓN DE TENSIONES POR FLEXION

POR TORSIÓN CARGAS AXIALES

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S CONCENTRACIÓN DE TENSIONES POR FLEXION

POR TORSIÓN CARGAS AXIALES

R E S IS TE NC I A DE MATE R IA L E S CONCENTRACIÓN DE TENSIONES SIMULACIONES NUMÉRICAS


RESISTENCIA DE MATERIALES Próxima Clase: Resumen de los Capítulos I y II del Singer. (Objetivos de Cada Capitulo). Tipos de Reacciones. Sistema de Unidades.

MECÁNICA La Mecánica es una rama de las ciencias físicas que estudia el estado de reposo o movimiento de los cuerpos que están sometidos a la acción de las fuerzas. En genera la Mecánica puede dividirse a su vez en tres ramas: Mecánica de cuerpos rígidos. Mecánica de cuerpos deformables. Mecánica de fluidos.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EQUILIBRIO DE UN CUERPO DEFORMABLE Cargas externas: Un cuerpo puede estar sometido a dos tipos de cargas: 1. Fuerzas de superficie: Estas cargas son causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie de otro. Fuerza concentrada, distribuida y fuerza resultante. 2. Fuerzas de cuerpo: Estas fuerzas se desarrollan cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo sin contacto físico entre estos. Por gravitación de la tierra (Peso) y electromagnetismo.

REACCIONES EN LOS SOPORTES (APOYOS) Las fuerzas de superficie que se desarrollan en los soportes o puntos de contacto entre los cuerpos se llaman reacciones. Por regla general si el soporte impide la traslación en una dirección dada, entonces debe desarrollarse una fuerza sobre el elemento en esa dirección. Del mismo modo, si se impide la rotación, debe ejercerse un momento sobre el elemento.

REACCIONES EN LOS SOPORTES BIDIMENSIONALES CON FUERZAS COPLANARES Apoyo De Rodillos: Apoyo estructural que impide la traslación en cualquier dirección excepto la del propio plano. También llamado rodillo. APOYO DE RODILLOS

REACCIONES EN LOS SOPORTES BIDIMENSIONALES CON FUERZAS COPLANARES Apoyo de Articulación: Punto que sirve de unión y en el que se apoya el arranque de un arco o bóveda. APOYO DE ARTICULACION

REACCIONES EN LOS SOPORTES BIDIMENSIONALES CON FUERZAS COPLANARES Apoyo Móvil :Solo es capaz de generar una reacción, en una dirección determinada. APOYO GUIA O MOVIL

REACCIONES EN LOS SOPORTES BIDIMENSIONALES CON FUERZAS COPLANARES Apoyo Empotrado :Restringe el movimiento en el plano vertical, horizontal y generación de momento. Ejemplo Palo empotrado en un poyo de hormigón

APOYO EMPOTRADO

REACCIONES EN LOS SOPORTES BIDIMENSIONALES CON FUERZAS COPLANARES

Clasificación de apoyos: apoyos en 3D 

Una sección en tres dimensiones: 6 grados de libertad (g.d.l.). ◦

◦





3 traslaciones: u, v y w según los ejes x, y, z respectivamente. 3 rotaciones: x,  y , z, alrededor de los ejes x, y, z respectivamente.

Los apoyos lo que hacen es restringir grados de libertad (eliminan posibilidades de movimiento) Por cada restricción en g.d.l. aparece una reacción: ◦

◦

Fuerzas: R x, R y , R z si lo que se restringe es una traslación Momentos: Mx, M y , Mz, si lo que se restringe es una rotación.

Regla de la mano derecha para representar

Restricción de los g.d.l. de desplazamiento

Clasificación de apoyos: en 2D. Articulados 

Una sección en 2D presenta 3 grados de libertad (g.d.l.) ◦

◦



2 traslaciones: u, v según los ejes x, y respectivamente 1 rotación: z alrededor del eje z.

Un apoyo articulado fijo: restringe las traslaciones. Rotación libre. Tendremos 2 reacciones (R x y R y ). Rx

Rx Ry 

Ry

Un apoyo articulado móvil: restringe sólo una traslación. Rotación libre. Tendremos 1 reacción (R x o R y ).

Clasificación de apoyos: en 2D. Empotramientos 



Los empotramientos restringen el giro de la sección en ese punto, por tanto, también aparece una reacción en forma de momento Mz. Empotramiento: restringe las traslaciones y rotación. Tendremos 3 reacciones (R x, R y y Mz). Rx

Rx Mz Ry



Mz Ry

Empotramiento móvil: restringe sólo una traslación y la rotación. Tendremos 2 reacciones de fuerza (R x o R y ) y un momento de empotramiento Mz.

M

Clasificación de apoyos: en 2D. Apoyos elásticos 



Se representan como muelles lineales (con rigidez respecto a desplazamientos lineales ) y muelles torsionales (con rigidez respecto a giros θ). Las reacciones, R para los lineales y M para los torsionales, son proporcionales a estos desplazamientos y giros en función de su rigidez (constante elástica, k = Sm).

Apoyos semi-rígidos. Sin rigidizadores: se deforman elasticamente al aplicar la carga

MUELLE LINEAL

MUELLE TORSIONAL

Ensayo de carga con placa para medir la elasticidad del terreno .

ECUACIONES DE EQUILIBRIO El equilibrio de un cuerpo requiere un equilibrio de fuerzas para impedir que el cuerpo se traslade o teng tenga a mo movi vimi mien ento to acele celera rado do,, y un bala balanc nce e de momentos para impedir que el cuerpo gire. Si fijamos un sistema coordenado 3D (x,y,z) con origen en el punto “o”

En un sistema con fuerzas coplanares que se encuentran en el plano x-y.

Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

Ejercicio 5:

Ejercicio 6:

Ejercicio 7:

Analizando la barra AC:

Analizando la barra AB:

Ejercicios de Aplicación y Tema de Investigación Resolver los problemas del Capitulo I del Singer. 101-129 En Word. Usando el MDSolid. Grupos de 4 personas.

RESISTENCIA DE MATERIALES La res is tencia de materiales es

una rama de la mecánica que estudia los efectos del esfuerzo y la deformación de un cuerpo sólido que esta sometido a una carga externa. El esfuerzo se encuentra asociado con la resistencia del material del que esta hecho el cuerpo, mientras que la deformación es una medida de elongación (cambio de tamaño) que experimenta este.

ESFUERZO SIMPLE: OBJETIVOS 1. Utilizar unidades correctas para las cantidades que se presentan en el estudio de resistencia de materiales, tanto en el sistema métrico de unidades SI, como en el sistema de unidades de uso común en Estados Unidos (sistema inglés). 2. Utilizar los términos masa y peso correctamente y ser capaz de calcular el valor de uno cuando se da el valor del otro. 3. Definir esfuerzo. 4. Definir el esfuerzo normal directo, tanto de tensión como de compresión. 5. Representar esfuerzos normales en elementos sometidos a esfuerzo. 6. Definir deformación normal. 7. Definir esfuerzo cortante directo y los términos cortante simple y cortante doble.

ESFUERZO SIMPLE: INTRODUCCIÓN La resistencia de materiales amplía el estudio de las fuerzas que se inició en mecánica, pero existe una diferencia obvia entre ambas materias. El campo de la mecánica abarca fundamentalmente las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre un sólido indeformable. En contraste con la mecánica, la resistencia de materiales estudia y establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los sólidos. Además, no supone que los sólidos son idealmente indeformables, como en la primera, sino que las deformaciones, por pequeñas que sean, tienen gran interés. Las propiedades del material de que se construye una estructura o una máquina afectan tanto a su elección como a su diseño, ya que se deben satisfacer las condiciones de resistencia y de rigidez. El estudio de la resistencia de materiales depende del entendimiento de los principios de esfuerzo y deformación producidos por cargas aplicadas en una estructura o máquina y los miembros que conforman tales sistemas. Estos principios se presentan aquí y aplican a tipos de carga relativamente simples con énfasis en su análisis. Es decir, en los problemas se dan las cargas y la geometría de los miembros y la deformación producida por el esfuerzo.

ESFUERZO SIMPLE: INTRODUCCIÓN

La palanca no debe romperse ni curvarse excesivamente

ESFUERZO SIMPLE:ANÁLISIS DE FUERZAS INTERNAS En mecánica, se determinaría la resultante de las fuerzas aplicadas para averiguar si el sólido se encuentra o no en equilibrio. La resistencia de materiales estudia la distribución interna de esfuerzos que produce un sistema de fuerzas exteriores aplicadas. En general, el sistema de fuerzas internas equivale a una fuerza y un par resultantes que, por conveniencia, se descomponen según la normal y la tangente a la sección. La notación empleada en la figura inferior identifica tanto la sección de exploración como la dirección de las componentes de la fuerza y del momento. El primer subíndice indica la cara sobre la que actúan las componentes, y el segundo la dirección de cada una de ellas. Por tanto, Pxy es la fuerza que actúa sobre la cara X en la dirección de Y.

Sección de exploración a-a a través de un sólido sometido a la acción de varias fuerzas.

Componentes de los efectos internos en la sección de exploración a-a.

ESFUERZO SIMPLE:ANÁLISIS DE FUERZAS INTERNAS


Cada componente representa un efecto distinto de las fuerzas aplicadas sobre el sólido, en esta sección, y recibe un nombre especial, que se indica a continuación: Pxx, Fuerza axial. Esta componente corresponde a la acción de tirar (o de empujar) sobre la sección. Tirar (o jalar) representa una fuerza de extensión o tracción que tiende a alargar el sólido, mientras que empujar representa una fuerza de compresión que tiende a acortarlo. Se representa generalmente por P. Pxy ,Pxz.. Fuerzas cortantes. Son componentes de la resistencia total al deslizamiento de la porción de sólido a un lado de la sección de exploración respecto de la otra porción. La fuerza cortante total se suele representar por V y sus componentes, Vy y Vz determinan su dirección. Mxx Momento torsionante. Esta componente mide la resistencia a la torsión del sólido considerado, y se suele representar por T. Mxy ,Mxz, Momentos flexionantes. Estas componentes miden la resistencia del cuerpo a curvarse o flexionarse respecto de los ejes Yo Z, y se suelen expresar, simplemente, por My, y

ESFUERZO SIMPLE: ANÁLISIS DE FUERZAS INTERNAS


De todo lo anterior, se deduce que el efecto interno de un sistema de fuerzas exterior dado depende de la elección y orientación de la sección de exploración. En particular, si las cargas actúan en un plano, que se suele considerar como el plano XY, las seis componentes de la figura se reducen a tres: La fuerza axial Pxx (o P), la fuerza cortante Pxy (o V) y el momento flexionante Mxz (o M). En estas condiciones, como se observa en la figura 1-4a, estas com ponentes equivalen a una fuerza resultante R.

ESFUERZO SIMPLE:

Uno de los problemas básicos de la ingeniería es seleccionar el material más apropiado y dimensionarlo correctamente, de manera que permita que la estructura o máquina proyecta da trabaje con la mayor eficacia. Para ello, es esencial determinar la resistencia, la rigidez y otras propiedades de los materiales. Por el término esfuerzo directo nos referimos a casos en los que la fuerza total aplicada es compartida por igual por todas las partes de la sección transversal del miembro que soporta la carga

ESFUERZO SIMPLE:

=F/A

σ

= esfuerzo normal directo: tensión o compresión (Mpa, PSI, kgf/cm 2) F= carga axial directa (KN, N, Kgf, lbf, KIPS) A= área de sección transversal del miembro sometido a F (m 2, mm2. in2, ft2)

σ

1. El miembro cargado debe ser recto. 2. La sección transversal del miembro cargado debe ser uniforme a todo lo largo del tramo considerado. 3. El material del cual está hecho el miembro debe ser homogéneo. 4. La carga debe aplicarse a lo largo del eje centroidal del miembro de modo que no haya tendencia a flexionarlo. 5. Los miembros sujetos a compresión deben ser cortos para que no haya tendencia a pandearse (consulte en el capítulo 11 el análisis especial requerido para miembros largos y esbeltos sometidos a esfuerzo de compresión, y por el método para decidir

ESFUERZO SIMPLE: Ejercicio 8:

Consideremos dos barras prismáticas de igual longitud y distinto material, suspendidas como se ve en la figura. Si solamente se sabe que las barras pueden soportar las cargas máximas indicadas, no se puede afirmar a priori qué material es más resistente. Supongamos, pues, que la barra 1 tiene una sección de 0.1 cm2 y la barra 2 de 10 cm2. Ahora sí es posible comparar sus resistencias, reduciendo los datos a la capacidad de carga por unidad de área de la sección transversal. Esfuerzo Carga aplicada Área de la sección transversal

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Normal Ejercicio 9: La figura muestra un pedestal diseñado para soportar cargas dirigidas hacia abajo. Calcule el esfuerzo en el perfil cuadrado en la parte superior del pedestal para una carga de 27 500 lb. La línea de acción de la carga aplicada está centrada en el eje del perfil y la carga se aplica por medio de una placa gruesa que distribuye la fuerza en toda la sección transversal del pedestal. Carga F 27 500 lb A =(1.50 in)2 = 2.25 in2 2 σ = F/A 27 500 lb/2.25 in 2 σ = 12 222 lb/in σ = 12 222 psi

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Normal Ejercicio 10: Un tubo de acero con un diámetro interno de 100 mm soporta una carga axial (de tensión) de 400 kN. Determine el diámetro externo del tubo si el limite del esfuerzo axial es de 120 MN/m2

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Normal Ejercicio 11: Una barra homogénea de 800 kg-f (AB) es soportada en sus extremos por cables como se muestra en la figura. Calcular las pequeñas áreas de cada cable si esfuerzo no excede de 90MPa para el bronce y de 120 MPa para el acero. 1) Diagrama de Cuerpo Libre

2) Cálculo de las reacciones

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Normal Ejercicio 12: La barra homogénea se muestra en la Fig. es soportado por un pasador liso en C y un cable que va desde A hasta B alrededor de la clavija suave a D. Encontrar la tensión en el cable si su diámetro es de 0,6 pulgadas y la barra pesa 6000 libras 1) Diagrama de Cuerpo Libre


ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Normal Ejercicio 13: Una barra de aluminio está unido rígidamente entre una barra de acero y una varilla de bronce, como se muestra en la Fig. Las cargas axiales se aplican en las posiciones indicadas. Encontrar el valor máximo de P que no excederá de una tensión en el acero de 140 MPa, de aluminio de 90 MPa, o en bronce de 100 MPa.

1) Diagrama de Cuerpo Libre


ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Normal Ejercicio 14: Para la armadura mostrada en la Fig., calcular las tensiones en los miembros del CE, DE y DF. El área de la sección transversal de cada miembro es 1,8 in2. Indica la tensión (T) o de compresión (C). 1) Diagrama de Cuerpo Libre

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Normal Para la armadura mostrada en la Fig., calcular las tensiones en los miembros del CE, DE y DF. El área de la sección transversal de cada miembro es 1,8 in2. Indica la tensión (T) o de compresión (C).


ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Normal Ejercicio 15: Encuentra las tensiones en los miembros BC, BD, y CF de la armadura mostrada en la Fig. Indicar la tensión o compresión. El área de la sección transversal de cada miembro es de 1600 mm2. 2) Cálculo de las reacciones

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Normal Encuentra las tensiones en los miembros BC, BD, y CF de la armadura mostrada en la Fig. Indicar la tensión o compresión. El área de la sección transversal de cada miembro es de 1600 mm2. 2) Cálculo de las reacciones

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Cortante El esfuerzo cortante (o de cizallamiento), a diferencia del axial (o de tensión o de compresión), es producido por fuerzas que actúan paralelamente al plano que las resiste, mientras que los de tensión o de compresión lo son por fuerzas normales al plano sobre el que actúan. Por esta razón, los esfuerzos de tensión y de compresión se llaman también esfuerzos normales, mientras que el esfuerzo cortante puede denominarse esfuerzo tangencial.

Ejemplos de secciones sometidas a cortante.

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Cortante Simple A menudo se inserta un pasador o remache en un agujero cilíndrico a través de piezas para conectarlas, como se muestra en la figura. Cuando se aplican fuerzas perpendiculares al eje del pasador, existe la tendencia de seccionarlo a través de su sección transversal, produciéndose un esfuerzo cortante. Esta acción a menudo se conoce como cortante simple, Porque una sola sección transversal del pasador resiste la fuerza cortante aplicada. En este caso, el pasador normalmente se diseña de modo que el esfuerzo cortante quede por debajo del nivel que haría que el pasador falle.

Conexiones de pasador que ilustra el cortante simple

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Cortante Doble Cuando una conexión por pasador se diseña como se muestra en a figura, dos secciones transversales resisten la fuerza aplicada. En este arreglo el pasador se ve sometido a cortante doble.

Conexiones de pasador que ilustra el cortante doble

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Cortante Doble Ejercicio 21: ¿Qué fuerza se requiere para perforar un agujero de 20 mm de diámetro en una placa que es de 25 mm de espesor? La resistencia al corte es 350 MN / m2

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Cortante Doble Ejercicio 22: Un agujero ha de ser perforado de una placa que tiene una resistencia a la cizalladura de 40 ksi. El esfuerzo de compresión en el punzón se limita a 50 ksi. (A) Calcular el máximo espesor de la placa en la que un agujero de 2,5 pulgadas de diámetro puede ser perforado. (B) Si la placa es de 0,25 pulgadas de espesor, determinar el diámetro del orificio más pequeño que puede ser perforado.

ESFUERZO SIMPLE: Esfuerzo Cortante Doble Ejercicio 23: Encontrar diámetro del perno más pequeño que se puede utilizar en la horquilla que se muestra en la Fig. si P = 400 kN. El esfuerzo de cizalladura del perno es 300 MPa.

ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO Este esfuerzo, a diferencia del esfuerzo de compresión que existe en el interior de los cuerpos bajo la acción de cargas exteriores, es el que se produce en la superficie de contacto de dos cuerpos. Ya hemos visto algún ejemplo de este tipo de esfuerzo de compresión, como la presión sobre el terreno bajo una columna, o la presión en las placas de apoyo. Ahora, examinaremos el esfuerzo de contacto entre un eje y su cojinete, o entre un remache o un p erno y las paredes del orificio de las placas que sujeta.

La deformación de la placa superior por el esfuerzo de contacto, está muy exagerada. (El subíndice b es del inglés bearing = aplastarniento.). Pb=Abσb = (td)σb

ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO Ejercicio 24: En la Fig., se asume que un remache de 20 mm de diámetro une a las placas que son cada una de 110mm de ancho. Las tensiones admisibles son 120 MPa en el material de la placa y 60 MPa para el remache. Determinar: (a) el espesor mínimo de cada placa; y (b) la mayor tensión media a la tracción en las placas.

ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO Ejercicio 25: La junta de solape que se muestra en la Fig. está sujeta por cuatro remaches de ¾ de pulgada de diámetro. Calcular la carga máxima P de seguridad que se puede aplicar si el esfuerzo de cizallamiento en los remaches es limitado a 14 ksi y la tensión en las placas de soporte está limitado a 18 ksi. asumir la carga aplicada se distribuye uniformemente entre los cuatro remaches.

Ejercicios de Aplicación y Tema de Investigación

Resolver los problemas del Capitulo II del Singer. 201-219 En Word. Usando el MDSolid. Grupos de 4 personas.

DEFORMACIÓN SIMPLE: INTRODUCCIÓN El Capitulo anterior se dedicó exclusivamente a la resistencia de un material, es decir, a las relaciones entre fuerza (carga), la superficie y el esfuerzo. En este capitulo se estudia otro gran campo de la resistencia de materiales, los cambios de forma, es decir, las deformaciones que acompañan a un determinado estado de fuerzas. Aunque se limita al caso de barras cargadas axialmente, los principios y métodos que se desarrollan son aplicables también a los casos más complejos de torsión y de flexión. En particular, se estudian las relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas que, junto con las condiciones de equilibrio y las relaciones fuerzadeformación, permitan resolver los problemas estáticamente indeterminados. En el capítulo 1 se desarrolló la fórmula de esfuerzo directo y se estableció como sigue: σ=F/A = esfuerzo normal directo: tensión o compresión F= carga axial directa A= área de sección transversal del miembro sometido a F

σ

DEFORMACIÓN SIMPLE: INTRODUCCIÓN El Capitulo anterior se dedicó exclusivamente a la resistencia de un material, es decir, a las relaciones entre fuerza (carga), la superficie y el esfuerzo. En este capitulo se estudia otro gran campo de la resistencia de materiales, los cambios de forma, es decir, las deformaciones que acompañan a un determinado estado de fuerzas. Aunque se limita al caso de barras cargadas axialmente, los principios y métodos que se desarrollan son aplicables también a los casos más complejos de torsión y de flexión. En particular, se estudian las relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas que, junto con las condiciones de equilibrio y las relaciones fuerzadeformación, permitan resolver los problemas estáticamente indeterminados.

DEFORMACIÓN SIMPLE: INTRODUCCIÓN

DEFORMACIÓN SIMPLE: INTRODUCCIÓN

DIAGRAMA ESFUERZO - DEFORMACIÓN El Capitulo anterior se dedicó exclusivamente a la resistencia de un material, es decir, a las relaciones entre fuerza (carga), la superficie y el esfuerzo. En este capitulo se estudia otro gran campo de la resistencia de materiales, los cambios de forma, es decir, las deformaciones que acompañan a un determinado estado de fuerzas.

Características del Diagrama Esfuerzo - Deformación


No existe relación lineal. Las deformaciones aumentan rápidamente para cada incrementoEm esfuerzo




Teoría de primer orden: hipótesis 





Comportamiento del material elástico lineal: ley Hooke. Desplazamientos y deformaciones pequeños Esto permite: 





Plantear el equilibrio en la estructura sin deformar. Obtener la solución resolviendo un sistema lineal de ecuaciones. Aplicar el principio de superposición: los esfuerzos y deformaciones provocados por el sistema de cargas Teoría de 2º orden: equilibrio (1+2) son iguales a la suma de los por el enprovocados la estructura deformada:

Módulo de elasticidad de diferentes metales

A continuación se resumen las definiciones de las propiedades de resistencia claves de aceros: 1. El límite proporcional es el valor de esfuerzo en la curva de esfuerzo – deformación en el que la curva se aparta por primera vez de una línea recta. 2. El límite elástico es el valor de esfuerzo en la curva de esfuerzo – deformación en el que el material se ha deformado plásticamente; es decir, cuando ya no recobrará su tamaño y forma originales después de que se retire la carga. 3. El punto de cedencia es el valor de esfuerzo en la curva de esfuerzo – deformación donde existe un incremento significativo de la deformación con poco o ningún incremento del esfuerzo. 4. La resistencia a la tensión es el valor más alto del esfuerzo aparente en la curva de esfuerzo –deformación.

ESFUERZO DE TRABAJO Y FACTOR O COEFICIENTE DE SEGURIDAD El esfuerzo de trabajo es el esfuerzo real que soporta el material bajo la acción de unas cargas, y no debe sobrepasar al esfuerzo admisible, que es el máximo al que puede ser sometido el material, con un cierto grado de seguridad en la estructura o elemento que se considere. En un diseño real, el esfuerzo admisible σd ha de ser inferior al limite de proporcionalidad, con objeto de que pueda aplicarse en todo momento la relación lineal entre esfuerzos y deformaciones que establece la ley de Hooke, y en la que se basa toda la teoría subsiguiente. Sin embargo, como es difícil determinar exactamente el límite de proporcionalidad, se acostumbra tomar como base para fijar el esfuerzo admisible el límite de fluencia (σy) o, en su defecto, el esfuerzo último dividiéndolos entre un número N, convenientemente elegido, que se llama factor o coeficiente de seguridad:

LEY DE HOOKE: DEFORMACIÓN AXIAL - DISTORSIÓN Consideremos de nuevo el diagrama esfuerzo-deformación representado en la figura y observemos su parte rectilínea. La pendiente de la recta es la relación entre el esfuerzo y la deformación; se llama módulo de elasticidad y se representa por la letra E:

Pendiente de la línea esfuerzo-deformación: Que se suele escribir de la forma: Que no expresa otra cosa que la ley de Hooke

LEY DE HOOKE: DEFORMACIÓN AXIAL - DISTORSIÓN

O lo que es igual:

Recalquemos que en la validez de la expresión hay que tener en cuenta las hipótesis siguientes: 1. La carga ha de ser axial. 2. La barra debe ser homogénea y de sección constante. 3. El esfuerzo no debe sobrepasar el limite de proporcionalidad.

DEFORMACIÓN ANGULAR (O POR CORTANTE) - DISTORSIÓN

Las fuerzas cortantes producen una deformación angular o distorsión, de la m isma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales, pero con una diferencia fundamental. Un elemento sometido a tensión experimenta un alargamiento, mientras que un elemento sometido a una fuerza cortante no varía la longitud de sus lados, manifestándose por el contrario un cambio de forma, de rectángulo a paralelogramo como se observa en la figura.

DEFORMACIÓN ANGULAR (O POR CORTANTE) - DISTORSIÓN

La deformación angular media se obtiene dividiendo δs entre L. Por tanto, tan γ = δs/L, como γ es siempre muy pequeño, tan γ=γ con lo que: Suponiendo que la ley de Hooke también es válida en el cortante, existe una relación lineal entre la distorsión y el esfuerzo cortante dada por: en donde G es el módulo de elasticidad al cortante llamado a veces «módulo de rigidez». La relación entre la deformación tangencial total y las fuerzas cortantes aplicadas es donde V representa la fuerza cortante que actúa sobre la sección de área As que la soporta.

Ejercicio 26: Una barra de bronce se sujeta entre una barra de acero y una barra de aluminio como se muestra en la Fig. cargas axiales se aplican en las posiciones indicadas. Encontrar el mayor valor de P que no excederá de una deformación total de 3,0 mm, o las siguientes tensiones (esfuerzos): 140 MPa en el acero, 120 MPa en el bronce, y 80 MPa en el aluminio. Supongamos que el conjunto se preparó adecuadamente para evitar el pandeo. Uso Est = 200 GPa, Eal = 70 GPa, y Ebr = 83 GPa.

Ejercicio 27: El barra rígida ABC se muestra en la Fig. está articulada en A y con el apoyo de una barra de acero en B. Determinar el mayor valor de la carga P que se puede aplicar a C si la tensión en la barra de acero se limita a 30 ksi y el movimiento vertical del extremo C no debe exceder de 0,10 in.

Ejercicio 28: Una losa de hormigón uniforme de peso total W se va a unir, como se muestra en la Fig. a dos barras cuyos extremos inferiores están en el mismo nivel. Determinar la relación de las áreas de las barras de manera que la losa se mantendrá a nivel.

Ejercicio 29: Las barras rígidas AB y CD muestran en la Fig. son compatibles con pasadores en A y C y las dos barras. Determinar la fuerza máxima P que se puede aplicar como se muestra si su movimiento vertical está limitado a 5 mm. Descuidar los pesos de todos los miembros.

Las barras rígidas AB y CD muestran en la Fig. son compatibles con pasadores en A y C y las dos barras. Determinar la fuerza máxima P que se puede aplicar como se muestra si su movimiento vertical está limitado a 5 mm. Descuidar los pesos de todos los miembros.

Las barras rígidas AB y CD muestran en la Fig. son compatibles con pasadores en A y C y las dos barras. Determinar la fuerza máxima P que se puede aplicar como se muestra si su movimiento vertical está limitado a 5 mm. Descuidar los pesos de todos los miembros.

ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS (O HIPERSTÁTICOS) Con frecuencia aparecen conjuntos de elementos cargados axial mente en los que las ecuaciones de equilibrio estático no son suficientes para determinar las fuerzas que, en cada sección, soportan. Estas condiciones se dan en estructuras en las que las reacciones o las fuerzas resistivas internas exceden en número al de ecuaciones independientes de equilibrio que pueden establecerse. Tales casos se llaman estáticamente indeterminados y requieren ecuaciones adicionales que relacionen las deformaciones elásticas en los distintos elementos. La variedad de casos es tan grande que es preferible describirlos mediante ejemplos que muestren cómo se aplican los principios generales siguientes: l. En el diagrama de cuerpo libre de la estructura o de parte de ella, aplicar las ecuaciones del equilibrio estático. 2. Si hay más incógnitas que ecuaciones independientes de equilibrio, obtener nuevas ecuaciones mediante relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas. Para ver con claridad estas relaciones, dibujar un esquema, exagerando las deformaciones elásticas.

Ejercicio 30: Una barra de acero de 50 mm de diámetro y 2 m de largo está rodeado por una cáscara de un hierro fundido 5 mm de espesor. Calcular la carga que comprima la barra combinada con una deformación total de 0,8 mm en la longitud de 2 m. Para el acero, E = 200 GPa, y para el hierro fundido, E = 100 GPa.

Ejercicio 31: Una columna de madera, 8 in. X 8 in. En sección transversal, se refuerza en cada lado por una placa de acero de 8in de largo y t in de espesor. Determine el espesor t de manera que la columna soporta una carga axial de 300 kips sin exceder una tensión máxima en la madera de 1200 psi o una tensión en el acero máximo de 20 ksi. Los módulos de elasticidad son 1,5 × 106 psi para la madera, y 29 × 106 psi para el acero.

Ejercicio 32: Una columna de hormigón armado de 200 mm de diámetro está diseñado para soportar una carga axial de compresión de 300 kN. Determinar el área requerida del acero de refuerzo si las tensiones admisibles son 6 MPa y 120 MPa para el hormigón y el acero, respectivamente. Uso Eco = 14 GPa y 200 GPa = Est.

Una columna de hormigón armado de 200 mm de diámetro está diseñado para transportar un orificio axial carga de compresión de 300 kN. Determinar el área requerida del acero de refuerzo si las tensiones admisibles son 6 MPa y 120 MPa para el hormigón y el acero, respectivamente. Uso Eco = 14 GPa y 200 GPa = Est.

Ejercicio 33: El conjunto de la Fig. consiste en una barra rígida, ligera, AB, fijado en O, que está unido a las varillas de acero y aluminio. En la posición mostrada, bar AB es horizontal y hay un hueco, Δ = 5 mm, entre el extremo inferior de la barra de acero y su soporte de pasador en C. Calcular la tensión en la barra de aluminio cuando el extremo inferior de la varilla de acero está unido a su soporte.

Ejercicio 34: El conjunto de la Fig. consiste en una barra rígida, ligera, AB, fijado en O, que está unido a las varillas de acero y aluminio. En la posición mostrada, bar AB es horizontal y hay un hueco, Δ = 5 mm, entre el extremo inferior de la barra de acero y su soporte de pasador en C. Calcular la tensión en la barra de aluminio cuando el extremo inferior de la varilla de acero está unido a su soporte.

Ejercicio 35: La barra compuesta en la Fig. se une firmemente a los soportes inflexibles. Calcule el esfuerzo en cada material causado por la aplicación de la carga axial P = 50 kips.

La barra compuesta en la Fig. se une firmemente a los soportes inflexibles. Calcule el esfuerzo en cada material causado por la aplicación de la carga axial P = 50 kips.

Ejercicio 36: Las dos varillas verticales unidos a la barra rígida, ligera, en la Fig. son idénticos excepto para la longitud. Antes de la carga W se adjunta, el bar era horizontal y las barras eran libre de estrés. Determinar la carga en cada varilla de W = 6600 lb.

ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO Es bien conocido el hecho de que los cambios de temperatura provocan en los cuerpos dilataciones o contracciones, de manera que la deformación lineal δT, viene dada por:

en donde α es el coeficiente de dilatación lineal, que se expresa en m/m °C, o simplemente (°C)-1, L es la longitud y ΔT es la variación de temperatura en °C. Por la ecuación de dimensiones de la fórmula se deduce que δT se expresa en las mismas unidades que L. Si no se impide la deformación debida a la temperatura, como ocurre en los sistemas estáticamente determinados, no aparecerán esfuerzos en la estructura, pero en multitud de casos no es posible evitar que las deformaciones térmicas estén total o parcialmente impedidas. Como resultado de ello aparecen fuerzas internas que contrarrestan, también parcial o totalmente, estas deformaciones. Los esfuerzos originados por estas fuerzas internas se llaman esfuerzos térmicos, o esfuerzos de origen térmico. A continuación se indica el procedimiento general para determinar las fuerzas y los esfuerzos originados cuando se impide la deformación térmica.


1. Se considera a la estructura descargada de toda fuerza aplicada y sin ligaduras que impidan la libre deformación térmica. Representar en un esquema estas deformaciones, ahora ya posibles, exagerando sus magnitudes. 2. Se aplica ahora a la estructura las fuerzas necesarias (desconocidas) para que vuelva a las condiciones iniciales de restricción de movimientos. Representar estas fuerzas en el esquema anterior. 3. relaciones geométricas entre las deformaciones debidas a la temperatura y las debidas a las fuerzas aplicadas en el esquema proporcionan unas ecuaciones que, junto con las de equilibrio estático, permiten determinar las fuerzas desconocidas.


en donde α es el coeficiente de dilatación lineal, que se expresa en m/m °C, o simplemente (°C)-1, L es la longitud y ΔT es la variación de temperatura en °C. Por la ecuación de dimensiones de la fórmula se deduce que δT se expresa en las mismas unidades que L. Si no se impide la deformación debida a la temperatura, como ocurre en los sistemas estáticamente determinados, no aparecerán esfuerzos en la estructura, pero en multitud de casos no es posible evitar que las deformaciones térmicas estén total o parcialmente impedidas. Como resultado de ello aparecen fuerzas internas que contrarrestan, también parcial o totalmente, estas deformaciones. Los esfuerzos originados por estas fuerzas internas se llaman esfuerzos térmicos, o esfuerzos de origen térmico. A continuación se indica el procedimiento general para determinar las fuerzas y los esfuerzos originados cuando se impide la deformación térmica.

Ejercicio 37: Una barra de acero con un área de sección transversal de 0,25 in 2 se estira entre dos puntos fijos la carga de tracción a 70 °C es de 1200 lb ¿Cuál será la tensión a 0 ° F? ¿A qué temperatura será la tensión cero? Suponga que α = 6,5 × 10-6 in/(in · °F) y E = 29 × 10 6 psi.

Ejercicio 38: Calcular el aumento de la tensión para cada segmento de la barra de compuesto mostrado en la Fig. si la temperatura aumenta a 100 ° F. Suponga que los soportes son inflexibles y que la barra se apoya de manera adecuada contra el pandeo.

Ejercicio 39: Como se muestra en la Fig. existe una brecha entre la barra de aluminio y la losa rígida que se apoya en dos barras de cobre. A 10 °C, Δ = 0,18 mm. Despreciando la masa de la losa, el cálculo de la tensión en cada varilla cuando la temperatura en el conjunto se aumentó a 95 °C. Para cada barra de cobre, A = 500 mm2, E = 120 GPa, y α = 16,8 m / (m·°C). Para la barra de aluminio, A = 400 mm2, E = 70 GPa, y α = 23,1 μm / (m · ° C).

Como se muestra en la Fig. existe una brecha entre la barra de aluminio y la losa rígida que se apoya en dos barras de cobre. A 10 °C, Δ = 0,18 mm. Despreciando la masa de la losa, el cálculo de la tensión en cada varilla cuando la temperatura en el conjunto se aumentó a 95 °C. Para cada barra de cobre, A = 500 mm2, E = 120 GPa, y α = 16,8 m / (m·°C). Para la barra de aluminio, A = 400 mm2, E = 70 GPa, y α = 23,1 μm / (m · ° C).

Ejercicio 40: Una barra horizontal rígida de masa despreciable está conectado a dos varillas como se muestra en la Fig. Si el sistema está inicialmente libre de esfuerzo. Calcular el cambio de temperatura que se causar una tensión de tracción de 90 MPa en la varilla de latón. Supongamos que las dos varillas se someten al cambio de temperatura.

Una barra horizontal rígida de masa despreciable está conectado a dos varillas como se muestra en la Fig. Si el sistema está inicialmente libre de esfuerzo. Calcular el cambio de temperatura que se causar una tensión de tracción de 90 MPa en la varilla de latón. Supongamos que las dos varillas se someten al cambio de temperatura.

Una barra horizontal rígida de masa despreciable está conectado a dos varillas como se muestra en la Fig. Si el sistema está inicialmente libre de esfuerzo. Calcular el cambio de temperatura que se causar una tensión de tracción de 90 MPa en la varilla de latón. Supongamos que las dos varillas se someten al cambio de temperatura.

Ejercicios de Aplicación y Tema de Investigación

Resolver los problemas del Capitulo II del Singer. 232-282 En Word. Usando el MDSolid. Grupos de 4 personas.

TORSIÓN: INTRODUCCIÓN E HIPÓTESIS FUNDAMENTALES En este capítulo se estudia el problema de la torsión y sus aplicaciones, pero sólo en el caso de árboles de sección circular, o de tubos de pared delgada. La torsión de árboles" de sección arbitraria es un problema complejo del que sólo se exponen las fórmulas de aplicación. Con la torsión se inicia, por otra parte, el estudio de los problemas en los que el esfuerzo no se distribuye uniformemente dentro de una sección. Aunque la teoría general de este tipo de problemas es complicada, su aplicación es sencilla, y una vez deducidas las fórmulas, no hay más que sustituir en ellas los valores de los datos y nada más.

TORSIÓN: INTRODUCCIÓN E HIPÓTESIS FUNDAMENTALES El procedimiento general que se sigue en todos los casos de distribución no uniforme de esfuerzos se puede resumir en los siguientes puntos: 1. Del examen de las deformaciones elásticas que produce un determinado tipo de carga, y la aplicación de la ley de Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en los distintos puntos de la sección, de manera que sean compatibles con las deformaciones. Tales relaciones se denominan ecuaciones de compatibilidad. 2. Aplicando las condiciones de equilibrio en el diagrama del cuerpo libre correspondiente a una porción del cuerpo, se obtienen otras relaciones entre los esfuerzos. Dichas relaciones, deducidas de la consideración del equilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas y las fuerzas resistentes interiores en una sección de exploración, se llaman ecuaciones de equilibrio. 3. Comprobación de que la solución del sistema de ecuaciones de los puntos l y 2 satisface las condiciones de carga en la superficie del cuerpo. Es decir, se han de verificar las condiciones de frontera impuestas.

TORSIÓN: INTRODUCCIÓN E HIPÓTESIS FUNDAMENTALES En la teoría de elasticidad se demuestra que si existe una solución que satisface estos tres grupos de ecuaciones, esta solución es única. Para deducir las fórmulas de la torsión se debe establecer una serie de hipótesis que pueden demostrarse matemáticamente y algunas de ellas, comprobarse experimentalmente. Las dos primeras corresponden a secciones circulares. 1. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. 2. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. 3. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. 4. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. 5. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.

3.2 DEDUCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE TORSIÓN: La figura muestra una barra circular (árbol circular macizo) sometida a un par de torsión T. La sección N gira con respecto a la sección M, como se muestra. Estas fuerzas cortantes generan esfuerzos cortantes en el elemento. Para que el elemento sometido a esfuerzo esté en equilibrio, en las caras superior e inferior del elemento deben actuar esfuerzos cortantes iguales. Cuando la barra circular se somete a un par de torsión externo, el material en cada una de sus secciones transversales se deforma de tal modo que las fibras en la superficie externas experimentan la deformación máxima. En el eje central de la barra no se produce deformación. Entre el centro y la superficie externa, la deformación varía linealmente con la posición radial r.

3.2 DEDUCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE TORSIÓN: Consideremos ahora una fibra cualquiera a una distancia r del eje del árbol. Por la hipótesis 3 de la sección 3-1, el radio de dicha fibra gira también el mismo ángulo θ, produciéndose una deformación tangencial δ. La longitud de esta deformación es el arco de círculo de radio p y ángulo θ y viene dada por: En estas condiciones la distorsión es: Y el esfuerzo cortante, según la ley de Hooke es:

Esta última ecuación se suele llamar ecuación de compatibilidade.

3.2 DEDUCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE TORSIÓN:

Árbol circular

Diagrama de cuerpo libre


Diagrama de cuerpo libre

Es el momento polar de inercia de la Sección recta


A fin de expresar θ en las unidades apropiadas (radianes): T: N.m L: m J: m4 Si deseamos expresar θ en grados, multiplicamos el segundo miembro de la ecuación por la fracción unitária 57.3 grad/rad (180 grad/ π rad). Sustituyendo el valor de G θ/L en obtiene:

por su equivalente T/J se

Fórmula de torsión

Máximo esfuerzo cortante


3.2 DEDUCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE TORSIÓN: En muchas aplicaciones prácticas, los árboles se utilizan para trasmitir potencia. Del estudio de la dinámica se sabe que la potencia P transmitida por un par constante T que gira a velocidad angular constante w está dada por:

Donde ω está medida em radianes por unidad de tempo. Si el árbol gira a uma frecuencia f revoluciones por unidad de tempo, ω=2πf, y se tiene:

Asi, el momento torsionante transmitido puede expresarse como:

Ejercicio 41: Un eje de acero 3 pies de largo que tiene un diámetro de 4 in. Se somete a una torsión de 15 klbf · ft. Determinar el máximo esfuerzo cortante y el ángulo de giro. Usar G = 12 × 106 psi.

Ejercicio 42: ¿Cuál es el diámetro mínimo de un eje de acero sólido que, sometido a un momento torsor de 12Kn.m, no debe experimentar una deformación angular superior a 3° en una longitud de 6 m ? Cual es el esfuerzo cortante máximo que desarrolla? Utilice G = 83 GPa.

Ejercicio 43: Un eje de acero de 2 pulgadas de diámetro gira a 240 rpm. Si el esfuerzo de cizallamiento se limita a 12 ksi, determinar la potencia máxima que puede transmitirse.

Ejercicio 44: Demostrar que el eje hueco circular cuyo diámetro interno es la mitad del diámetro exterior tiene una resistencia a la torsión igual a 15/16 de la de un eje macizo del mismo diámetro exterior.

Ejercicio 45 45:: Un eje de aluminio con un diámetro constante de 50 mm se carga por pares aplicados a engranajes unidos a ella como se muestra en la Fig. El uso de G = 28 GPa, determinar la relación ángulo ángulo de giro del engranaje de D con respecto al engranaje engranaje A.

Ejercicio 46 46:: Un eje de acero de 5m gira gira a 2 Hz y tiene 70 kW kW aplicada a 2m de la izquierda, donde se eliminan 20 kW. En el extremo derecho, se eliminan 30 kW y otros 20 kW salen del árbol árbol a 1,5 m desde el extremo derecho. (A) Determinar Determinar el diámetro del eje uniforme, uniforme, de modo que el esfuerzo cortante no será superior a 60 MPa. (B) Si se especifica un diámetro de eje uniforme de 100 mm, determinar el ángulo por el cual un extremo del eje está por detrás el otro extremo. Utilice G = 83 GPa.

Ejercicio 47 47:: Un eje de acero 5-m que gira a 2 Hz tiene 70 kW aplicada a una velocidad que es de 2 m de la izquierda final, donde se eliminan 20 kW. En el extremo derecho, 30 kW se eliminan y otro 20 kW sale del árbol a 1,5 m desde el extremo derecho. (A) Determinar el diámetro del eje uniforme, de modo que el esfuerzo cortante no será superior a 60 MPa. (B) Si se especifica un diámetro de eje uniforme de 100 mm, determinar el ángulo por el cual un extremo del eje está por detrás el otro extremo. Utilice G = 83 GPa.

Ejercicio 48:

Ejercicio 49:

3.3 ACOPLAMIENTO POR MEDIO DE BRIDAS: Una conexión o acoplamiento rígido muy empleado entre dos árboles es el que se representa en la figura, y que consiste en unas bridas o discos que forman cuerpo con cada árbol, y que se unen entre si mediante pernos o tornillos. El par torsor se trasmite por la resistencia al esfuerzo cortante de los pernos.

3.3 ACOPLAMIENTO POR MEDIO DE BRIDAS: En ocasiones, un acoplamiento tiene dos series concéntricas de pernos, como se observa en la figura. Llamando P1 y P2 a las fuerzas cortantes que soportan cada perno en los círculos exterior e interior, la resistencia del acoplamiento es:

las deformaciones angulares están relacionadas por:

Si los pernos tienen la misma área y son del mismo material, entonces:

Ejercicio 50: Un acoplamiento de brida de consta de diez pernos de diámetro 20 mm espaciados uniformemente alrededor de una círculo de pernos 400 mm de diámetro. Determinar la capacidad de par del acoplamiento si el esfuerzo cortante permisible en los tornillos es de 40 MPa.

Ejercicio 51: Un acoplamiento de brida de acero consta de diez pernos ½-in. de diámetro espaciados uniformemente alrededor un círculo 14 in. de diámetro. Determinar la capacidad de par del acoplamiento si el esfuerzo cortante permisible en los pernos es de 6000 psi.

Ejercicio 52: Una placa se sujeta a un elemento fijo y rigido mediante cuatro remaches de 20 mm de diámetro, como se indica en la figura. De terminar el máximo y mínimo esfuerzos cortantes que aparecen en los remaches.

Resistencia de Materiales Fase I (1)

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