resistencia de materiales

escuela de arquitectura UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE CURSO ESTRUCTURAS 3

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1er semestre 2006 Profesor: Luis Leiva Ayudante: Ana María Ortega

GUIA DE EJERCICIOS Nº 1 1.- En la viga de la figura determine la luz L máxima que puede tener la viga considerando el criterio de resistencia a la flexión y el criterio de rigidez Acero A37 – 24 ES

F adm = 1440 kg/cm2

E = 2100000 kg/cm2

Carga repartida = ∆ máx: 5QL4 / 384 EI Carga puntual centrada = ∆

máx: PL3 / 48 E

∆ adm = L/300

Solución 1.- Cálculo de cargas 1.- Carga repartida q = 5000 kg/m 2.- Carga puntual P = 2000 kg

2.- Cálculo de momento máximo Momento máx.= Momento max q + Momento máx p

(principio de superposición)

Momento máx.:

qL2 / 8

Momento máx.:

5000 kg/m L 2 / 8

+

2000 kg L / 4

Momento máx.:

625 kg/cm L 2

+

500 kg L

+

PL / 4

1

3.- Criterio de resistencia F máx. ≤ M máx / W

F adm ≤

1440 kg/cm2

Para calcular W: I / h / 2 Esta es una sección no llena y simétrica, por lo tanto, para calcular la inercia deben restarse los espacios vacíos

Ix: (bh3 / 12) – (b`h` 3 / 12) Ix: 20 cm x (44 cm) 3 / 12 – ((9,5cm x (38cm)3 /12) x 2) Ix: 141973.33 – 86880,66 cm4 Ix: 55092.67 cm 4 W: 55092.67 cm 4 / 44 cm /2 W: 2504.21 cm 3 Reemplazar W M máx / W ≤

6,25 kg/cm L2 + 500 kg L - 3606062.4 kg cm ≤ 0 Lo anterior equivale a una ecuación cuadrática: ax2 + bx +c = 0 a = 6.25 b = 500 c= - 3606062.4 L=x x: -b+-√ b2 – 4ac / 2a L = - 500 +- √ 5002 – 4 x 6.25 x (-) 3606062.4 / 2 x 6.25

1440 kg/cm2

2

L = - 500 +- √250000 + 90151560 / 12.5

2

L = - 500 + 9507.97 / 12.5 L = 9007.97 / 12.5

6,25 kg/cm L + 500 kg L / 2504.21 cm3 ≤ 1440 kg/cm2 6,25 kg/cm L + 500 kg L ≤ 1440 kg/cm 2 x 2504.21 cm 3 2

6,25 kg/cm L + 500 kg L ≤ 3606062.4 kg cm

L = 720.6 cm L = 7.2 mt

2

4.- Criterio de deformación ∆ max ≤ ∆ adm ∆ q + ∆ P ≤ ∆ adm

5 q L4 / 384 EI + PL3 / 48 EI ≤ L/ 300 5 x 50 kg/cm x (720.6 cm) 4 / 384 x 2.1 x 10 6 kg/cm2 x 55092.67 cm4 + 2000 kg x (720.6 cm)3 / 48 x 2.1 x 10 6 kg/cm2 x 55092.67 cm 4

≤

720.6 / 300 cm 1.518 cm

+

0.134 cm ≤ 2.402

1.652 cm ≤ 2.402 cm Por lo tanto la viga cumple

3

2.- Dimensionar la viga V1 de acero Datos: -Biblioteca con estantes de 2,4 m -γ hormigón

= 2500 kg/m3

-Acero = A 37-24 ES

E acero = 2100 000 kg/cm2

- Para la sobrecarga se consideran los estantes. (ver tabla)

4

1. Cálculo de cargas q: Peso propio de la losa + sobrecarga de uso Peso propio:

g

hormigón x e losa x ancho área tributaria

Peso propio: 2500 kg/m 3 x 0.12 mt x 3m= 900 kg /mt = 9 kg/cm Sobrecarga: estante

5

Sobrecarga: 2

500 kg/m x ancho de área tributaria

F adm = 2400 / 1.67 = 1437.2 kg / cm2

0.05 kg/cm2 x 300 cm = 15 kg/cm

750 000 kg cm / W cm2

q: Peso propio de la losa + sobrecarga de uso q: 9 kg/cm + 15 kg/cm = 24 kg/cm

750 000 kg cm / 1437.2 kg / cm 2 ≤ W

1437.2 kg /

512. 87 cm3 ≤ W Buscar en la tabla de perfiles IPE Wx cercano:

2.- Momento máx: El caso de la viga considera 2 momentos máx, por lo tanto se calculan los 2 y se utiliza el mayor 2

≤

2

1.- ql /8 = 24 kg/cm x 500cm /8 = 750 000 kg cm 2.- 9 / 128 ql 2 = 9 / 128 24 kg/cm x 500cm 2= 421 875 kg cm

Se propone el perfil IPE 300 Wx: 557 cm3

4.- Criterio de deformación ∆ máx < ∆ adm

ql4 / 185 EI < L/300 24 kg / cm x (500 cm) 4 / 185 x 2100 000 x 8360 < 500/300

3.- Criterio de resistencia

0,46 < 1.6

F máx. ≤ F adm

Por lo tanto la viga cumple.

F máx = M / W 6

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Fijarse en la tabla la distancia entre apoyos (3mts) y la carga (550 kg /m

2)

Al espesor del hormigón se le suman 5 cms (ver tabla anterior) Por lo tanto se propone un espesor de losa de 14cms

3.- Altura de viga

9



4.- Verificación de la viga

358.3 cm3 ≤ W

4.1- Cálculo de cargas

Se propone un perfil IPE 270 Wx = 429 cms 3

q sobrecarga = 400 Kg. / m2 q sobrelosa = 150 Kg. / m 2 q losa colaborante = 303.6 Kg. / m 2 (dato sacado de tabla de cubicación y cargas de peso propio, 1ª tabla) q *= 853.6 Kg. / m 2 x 3 (area tributaria) = 2560.8 kg /m q total = q* + q peso propio de la viga q peso propio de la viga = 18.8 kg / m2 (dato sacado de tabla de perfiles) q total = 2579.6 kg /m = 25.79 kg / cm

Para verificar esta viga se deben calcular nuevamente las cargas (dado a que existe un nuevo peso propio de viga) y utilizar el criterio de deformación

1.- cálculo de cargas q *= 853.6 Kg. / m 2 x 3 (area tributaria) = 2560.8 kg /m q total = q* + q peso propio de la viga q peso propio de la viga = 36.1 kg / m2 (dato sacado de tabla de perfiles)

4.2 Momento máximo q total = 2596.9 kg /m = 25.96 kg / cm

2

M. máx = ql / 8 M. máx = 25.79 kg / cm x 400 cms 2 / 8 = 515920 kg cm

4.3 Criterio de resistencia F máx. ≤

F adm

M máx / W ≤ 1440 kg/cm2 (el W se obtiene de la tabla de perfiles) 515920 kg cm / 146 cm 3 ≤ 1440 kg/cm2 3533 kg/cm2 ≤ 1440 kg/cm2

2.- Criterio de deformación 5 ql4 / 384 E I ≤ L / 300 ( la inercia se obtiene de la tabla de perfiles) 5 x 25.96 kg / cm x 400 cms 4 / 384 x 2.1 x 106 x 5790 ≤ 400 / 300 0.71 cms ≤ 1.33 cms Por lo tanto la viga cumple. //

La viga no cumple, para buscar una viga q si cumpla se debe obtener el W requerido: F máx. ≤ M máx / W

F adm ≤

1440 kg/cm2

515920 kg cm / W ≤ 1440 kg/cm2 515920 kg cm /1440 kg/cm 2 ≤ W 11

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