CAPITULO III RESISTENCIA AL ESFUERZO CORTANTE DE LOS SUELOS La determinación de la resistencia al corte de los suelos, o resistencia al esfuerzo cortante, es uno de los puntos fundamentales de toda la mecánica de suelos, y constituye un paso previo para cualquier aplicación de análisis de la estabilidad de obras de ingeniería. El primer trabajo que trató de explicar la génesis de la resistencia de los suelos es debido al ingeniero Coulomb (1776). La primera idea consistió en atribuir a la fricción entre las partículas del suelo la resistencia al corte. Coulomb consideró que los suelos fallan por esfuerzo cortante a lo largo de planos de deslizamiento, sin embargo, si un cuerpo sobre el cual actúa una fuerza normal P ha de deslizarse sobre una superficie rugosa siempre es necesario que se presente una fuerza F proporcional a P. La fuerza F actúa en la superficie paralela al plano y se denomina fuerza cortante. Entonces el esfuerzo cortante τ=F/A. La fricción entre partículas de suelo que se pretenden movilizar se determina en función de la tangente del ángulo de fricción interna de los suelos, que es una constante del material. Entonces s = σ tan ɸ. También existen otros materiales, las arcillas, que poseen otra fuente de resistencia al esfuerzo cortante y esta se refiere a las fuerzas intergranulares derivadas de la tensión superficial, que es la fuerza intermolecular que actúa en la superficie de un líquido y en contacto con las partículas sólidas del suelo, similar a una membrana elástica en estado de tensión. A este tipo de fuerzas, Coulomb la denominó cohesión, y la consideró también una constante de los materiales para un estado de humedad dado. En las arcillas la resistencia por cohesión es independiente de la fuerza normal P, comportándose como si en ellos ɸ=0. Entonces s = c. Debemos considerar que la cohesión es la atracción entre partículas de una misma sustancia, las partículas sólidas de los suelos de arcilla, esta atracción se debe a la tensión superficial del agua intergranular que actúa como membrana elástica que mantiene unidas las partículas de suelo. En general, los suelos presentan características mixtas, es decir presentan cohesión y fricción por lo que la resistencia es una combinación de estas dos componentes. La ecuación general de resistencia al esfuerzo cortante es conocida en Mecánica de Suelos como la Ley de Coulomb y se expresa como: Su= c + σ tan ɸ Los suelos cuya resistencia al esfuerzo cortante se deriva únicamente del rozamiento entre partículas se lo denomina “suelo puramente friccionante”, mientras que a los suelos cuya resistencia se deriva de la cohesión se los denomina “suelos puramente cohesivos”. En el caso general se los denomina como suelos “cohesivos y friccionantes”.
Terzaghi (1925) estableció, en base a experimentaciones, que la presión normal debe ser sustituida por la presión efectiva, es decir que la presión que controla los fenómenos de resistencia al corte no es la presión total sino la presión efectiva. La expresión sería: Su= c + σ’ tan ɸ Hvorslev hizo notar que el valor de la cohesión no es una propiedad intrínseca del material sino que varía con el contenido de humedad, sin embargo también es preciso mencionar que para un grado de humedad (o saturación) el valor puede ser considerado una constante. Además, la cohesión también se puede derivar de algún cementante natural presente en la masa de suelo. La ecuación de Coulomb permite graficar una relación entre σ vs τ, donde la ordenada para σ=0, sería el valor de la cohesión.
11.1.- ESTADO TENSIONAL PLANO Cuando sometemos a una masa de suelo a un incremento de presiones producidas por algún tipo de estructura u obra de ingeniería, se genera en el suelo un cambio en el estado tensional (estado de esfuerzos). Cuando la carga exterior aplicada tiene una magnitud tal que supera a la resistencia del suelo, se producirá la falla o colapso del suelo y por ende de la estructura apoyada en él. La condición de falla no provoca la rotura de los granos que forman la masa de suelo sino que se trata de un deslizamiento que ocurre entre grano y grano. Dado que el deslizamiento relativo de los granos del suelo, que se produce en la rotura, no está restringido a un plano específicamente determinado, debemos conocer las relaciones que existen entre las distintas tensiones actuantes sobre los diferentes planos que podrían pasar por un punto dado. Sobre todo plano que pasa a través de una masa de suelos actúan, en general, tensiones normales y tangenciales. Las normales actúan en dirección perpendicular al plano y las segundas en dirección paralela al plano. Se denominan planos principales a aquellos sobre los cuales solamente actúan presiones normales, es decir donde los esfuerzos tangenciales son nulos. Las presiones normales que actúan sobre los planos principales se denominan tensiones principales. Otro de los principios fundamentales que debemos tener en cuenta es que por un punto pasan tres planos principales, los que se cortan a 90°. Los esfuerzos que actúan en estos planos se nombran de manera decreciente de su magnitud como máximo, intermedio, y mínimo (σ1, σ2, y σ3,
respectivamente). Una particularidad del estado tensional tridimensional es cuando las tensiones σ2 y σ3 son iguales, en ese caso se está considerando un estado tensional plano. El análisis tensional plano se realiza a partir de una probeta de suelo sometida a los esfuerzos principales mayor y menor. Es decir que las caras de la probeta son planos principales y por tanto las tensiones tangenciales son nulas; en este contexto, en la cara superior e inferior actúa el esfuerzo principal mayor y en las caras laterales actúa el esfuerzo principal menor.
En el plano inclinado, que no es un plano principal, se desarrollan esfuerzos normales y tangenciales no nulos, que deben estar en equilibrio (equilibrio de fuerzas). En el elemento infinitesimal triangular con catetos ortogonales de dimensiones dx, dz, supone un valor de dy=1, y un ángulo que relacione trigonométricamente sus lados. En estas condiciones, se tienen las siguientes relaciones trigonométricas:
tan θ=
dz ; d =d tanθ dx z x cos θ=
dx dx ; ds = ds cos θ
Haciendo equilibrio de fuerzas en ejes ortogonales rotados con un ángulo , tenemos que en sentido perpendicular al plano el equilibrio viene dado por:
σ∗d s =σ 1∗d x∗cos θ+σ 3∗d z∗sen θ
θ+σ 3∗d x∗tanθ∗¿ sen θ σ∗d x =σ 1∗d x∗cos ¿ cos θ 2 2 σ =σ 1∗cos θ+σ 3∗sen θ 1−cos (¿¿ 2 θ) σ =σ 1∗cos2 θ+σ 3∗¿ σ =σ 3 +(σ 1−σ 3 )∗cos 2 θ ( σ −σ )∗1 σ =σ 3 + 1 3 (1+cos 2θ) 2 2 σ=2 σ 3+(σ 1−σ 3 )∗(1+cos 2 θ) σ 1 ¿ 1+ σ 1 (¿ 3)+ ( σ 1−σ 3) cos 2 θ 2 2 σ =¿ De igual forma, en sentido paralelo al plano inclinado, el equilibrio de fuerzas viene dado por:
τ∗d s=σ 1∗d x∗sen θ−σ 3∗d z∗cos θ τ∗d x =σ 1∗d x∗sen θ−σ 3∗d x∗tan θ∗cos θ cos θ τ =σ 1∗sen θ−σ 3∗sen θ cos θ τ =σ 1∗sen θ∗cos θ−σ 3∗sen θ∗cos θ σ (¿ ¿ 1−σ 3)∗sen 2θ 1 τ= ¿ 2 Estas ecuaciones nos permiten calcular las tensiones normales y tangenciales sobre un plano inclinado cualquiera, con inclinación con respecto a la horizontal. Para graficar estos valores en un diagrama σ vs τ, siendo τ las ordenadas, se recurre al siguiente desarrollo matemático de las ecuaciones anteriores:
σ (¿ ¿ 1−σ 3)∗sen 2θ 1 τ= ¿ 2 σ ¿ 1−σ (¿ 3) 2τ sen 2 θ= ¿
σ ¿ 1−σ (¿ 3) 2τ ¿ ¿ ¿ sen 2 2 θ=¿ σ 1 ¿ 1+ σ 1 (¿ 3)+ ( σ 1−σ 3) cos 2 θ 2 2 σ =¿ σ (¿ ¿ 1+σ 3 )+(σ 1−σ 3) cos 2 θ 2 σ=¿ 2 σ −(σ 1+ σ 3 ) cos 2 θ= (σ 1−σ 3)
[
2 σ −( σ 1+ σ 3 ) cos 2 θ= (σ 1−σ 3 ) 2
2
]
Aplicando la identidad trigonométrica sen22 + cos22 = 1, se tiene:
σ (¿ ¿ 1−σ 3) 2τ ¿ ¿ ¿ ¿
σ ¿ 1−σ (¿ 3) 2 ¿ ¿ 2 ¿ [τ] ¿ σ (¿ ¿ 1−σ 3) 2 ¿ ¿ σ 1 +σ 3 1 σ− ¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 3 σ 1 +σ ¿ 1 σ− ¿ 2 ¿ ¿ ¿ Esta expresión es similar a la ecuación general de la circunferencia (x-h) 2+(y-k)2=r2. Es decir que las coordenadas del centro de la circunferencia son
1 [ ( σ 1+ σ 3 ) ;0] , y el radio es 2
1 ( σ −σ ) . 2 1 3 Esta expresión representa lo que en Mecánica de Suelos se denomina el Círculo de Mohr. Este círculo representa el estado tensional plano que es posible, en un punto del subsuelo debido a los esfuerzos principales σ1, y σ3. Cuando los esfuerzos son geoestáticos σ1= σ’v; y σ3= σ’h. Cuando se imponen cargas, de una estructura, el esfuerzo principal mayor se incrementa y genera un nuevo campo tensional. Si el nuevo estado de esfuerzos alcanza la envolvente de resistencia del material se presenta la falla por esfuerzos cortantes en el material del subsuelo. De igual forma es posible alcanzar la envolvente de resistencia del material si se reduce el esfuerzo principal menor (o esfuerzo de confinamiento), por ejemplo durante una excavación.
En el estado incipiente de falla se tiene que el círculo es tangente a la envolvente de resistencia al corte del material, por lo tanto el radio es perpendicular a dicha envolvente por lo que es factible obtener el ángulo de plano de falla con el siguiente manejo matemático. El ángulo suplementario de 2 es 180-2. Por lo tanto tenemos:
ɸ=90-(180-2) ɸ = -90 + 2 2 = 90 + ɸ = 45 + ɸ/2
A partir del estado de falla incipiente es posible establecer las siguientes consideraciones: 1. Si el círculo de Mohr para un determinado estado de esfuerzo queda totalmente por debajo de la envolvente, el suelo será estable para ese estado de esfuerzo. 2. Si el estado de esfuerzo es tangente a la envolvente, se habrá alcanzado la resistencia máxima del suelo, en un determinado plano (=45° + ɸ/2) a través del mismo. Este plano se denomina plano de falla. 3. No es posible mantener en el interior del suelo un estado de esfuerzo cuyo círculo de Mohr corte a la envolvente correspondiente a ese suelo. Cualquier intento de imponer ese estado de esfuerzo daría lugar a deformaciones ilimitadas, es decir a la falla. Para suelos netamente friccionantes (c=0) se tienen las siguientes relaciones:
(σ 1−σ 3 ) (σ 1+ σ 3 ) σ1 −1 σ3 sen ∅= σ1 +1 σ3 sen ∅=
σ1 σ +1 = 1 −1 σ3 σ3
sen ∅
( )
sen ∅
σ1 σ1 − =−1−sen ∅ σ3 σ3
σ1 ( 1−sen ∅ )=1+ sen ∅ σ3 σ 1 1+ sen ∅ = σ 3 1−sen ∅ 1+ sen ∅ N∅= ; 1−sen ∅ 1 1−sen ∅ = N ∅ 1+ sen ∅ PROBLEMAS RESUELTOS EN CLASE
EJERCICIO No. 1 El estado de esfuerzos planos de un cuerpo está definido por los siguientes esfuerzos: 1= 6 Kg/cm2 de compresión 3= 1.5 Kg/cm2 en tensión Determine, por el círculo de Mohr, los esfuerzos normal y tangencial para un plano inclinado 10° con respecto al plano en que actúa el esfuerzo principal menor (horizontal).
σ 1 1 (¿ ¿ 1+ σ 3)+ (σ 1−σ 3) cos 2 θ 2 2 σ =¿
=0.5*(6+1.5)Sen(20˚) = 1.28 Kg/cm2
=0.5*(6-1.5)+0.5*(6+1.5)Cos(20˚) = 5.77 Kg/cm2
σ (¿ ¿ 1−σ 3)∗sen 2θ 1 τ= ¿ 2
EJERCICIO No. 2 En una prueba triaxial realizada en una muestra de arena, la presión de cámara es de 3.2 Kg/cm2 y el esfuerzo desviador es de 8.3 Kg/cm2. Suponiendo que la envolvente de falla de la arena es una recta que pasa por el origen, determine el ángulo de la arena.
sen ∅=
(σ 1−σ 3 ) (σ 1+ σ 3 )
=arc Sen((8.3-3.2)/(8.3+3.2) = arc Sen(5.1/11.5) = 26,326˚
EJERCICIO No.3 En una prueba de corte directo drenada, hecha a una muestra de arena puramente friccionante, el esfuerzo normal sobre la muestra fue de 3 Kg/cm2 y el esfuerzo cortante horizontal en la falla fue de 2 Kg/cm2. Suponiendo una distribución uniforme de esfuerzos en la zona de falla y una envolvente de resistencia recta y pasando por el origen, determínese por medio del círculo de Mohr, la magnitud y dirección de los esfuerzos principales en la falla.
=arc Sen(2/3) =arc Sen(2/3)=33.7˚ = 45 + ɸ/2= 61.84˚ 2 = 123,69 Sen 2= Cos 2=
σ 1 1 (¿ ¿ 1+ σ 3)+ ( σ 1−σ 3) cos 2 θ 2 2 σ =¿ σ (¿ ¿ 1−σ 3)∗sen 2θ 1 τ= ¿ 2
EJERCICIO No. 4 En un suelo fino no saturado se tuvieron los siguientes resultados en un conjunto de tres pruebas triaxiales rápidas. 3 (Kg/cm2)= 0.25 0.75 1.5 1 (Kg/cm2)= 1.05 2.05 3.10 Calcule el valor de los parámetros de cálculo c y que podría considerarse para la elaboración de un proyecto. EJERCICIO No.5 Se han hecho tres pruebas triaxiales drenadas con cierto suelo predominantemente friccionante, obteniéndose los siguientes resultados Prueba 3(T/m2) 1(T/m2) 1 2 8.2 2 4 16.0 3 6 24.4 Dibuje el Diagrama de Mohr de las tres pruebas y calcule el valor del ángulo del suelo. Calcule en cada caso el esfuerzo cortante actuante en el plano de falla, en el instante de la falla.
