Mecánica de Suelos II
RESISTENCIA AL ESFUERZO CORTANTE En
la
Mecánica
de
suelos,
la
resistencia
al
Esfuerzo
Cortante constituye la característica fundamental a la que se liga la capacidad de los suelos de soportar cargas sin que se produzca la falla. La resistencia de los suelos a esfuerzos de tensión y a esfuerzos de compresión no se toman en cuenta en la práctica de la Ingeniería porque la resistencia de los suelos a esfuerzos de tensión es casi nula en cambio la resistencia a esfuerzos de compresión (pura) es tan alta, que un suelo sometido a compresión fallaría
por
esfuerzo
cortante
antes
de
agotar
su
resistencia a la compresión propiamente dicha. Por
lo
anterior,
Resistencia
al
conocer
Esfuerzo
las
Cortante
características en
los
de
suelos,
es
la un
requisito para la solución de muchos problemas en el campo de
las
cimentaciones,
en
los
empujes
de
los
muros
de
contención y la estabilidad de taludes, por lo tanto se presentan los conceptos fundamentales sobre el tema. De acuerdo con la teoría de Mohr - Coulomb, la Resistencia al Esfuerzo Cortante de los suelos queda representada por la siguiente expresión:
τ f
=
C + σ ⋅ tan φ
Donde: τf
= Resistencia al Esfuerzo Cortante en la falla
C
= Cohesión del suelo
σ
= Esfuerzo normal actuante en el plano de falla
Ø
= Ángulo de fricción interna
Teniendo en cuenta que C y Ø son variables y no como propuso
inicialmente
Coulomb
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1
en
su
teoría,
ni
como
lo
Mecánica de Suelos II
estableció Mohr, pensando sobretodo en suelos granulares. Resulta entonces que la Resistencia al Esfuerzo Cortante de los suelos se debe a la cohesión y/o a la fricción. f ricción. El
valor
de
C
consolidadas
es
para
arenas
igual
a
y
cero.
arcillas Para
normalmente
arcillas
sobre
consolidadas, c > 0. Para la mayoría de los trabajos de rutina, los parámetros de la resistencia al corte de un suelo (es decir C y Ø) son determinados
por
medio
de
dos
pruebas
estándar
de
laboratorio. Ellas son: (a) la prueba de corte directo y (b) la prueba triaxial.
PRUEBA DE CORTE DIRECTO La
arena
seca
puede
ser
probada
adecuadamente
mediante
pruebas de corte directo. La arena se coloca en una caja de corte dividida en dos. Primero se aplica una fuerza normal a la muestra. Luego se aplica una fuerza de corte a la mitad superior de la caja para generar la falla en la arena. Los esfuerzos normal y cortante en la falla son:
'
σ
N =
τ
A
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2
R =
A
Mecánica de Suelos II
Donde A = área del plano de falla en el suelo, es decir, el área de la sección transversal de la caja de corte Varias pruebas de este tipo se efectuaron variando la carga normal.
El
ángulo
de
fricción
de
la
arena
determinarse trazando una gráfica de s (s=τ) contra
puede (=σ
σ'
para arena seca), como se muestra en la figura anterior.
τ σ '
φ = tan − 1
Para las arenas, el ángulo de fricción generalmente varía entre 26° y 45°, aumentando con la compacidad relativa de compactación. El rango aproximado de la compacidad relativa de compactación y el correspondiente del ángulo de fricción para
varios
suelos
de
grano
figura.
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3
grueso
se
muestran
en
la
Mecánica de Suelos II
PRUEBAS TRIAXIALES
Las pruebas de compresión triaxial pueden efectuarse en arenas
y
arcillas.
esquemático consiste
del
La
figura
arreglo
esencialmente
en
de
(a)
una
colocar
muestra
prueba una
un
diagrama
triaxial.
muestra
de
Esta suelo
dentro de una membrana de hule en una cámara de lucita transparente. Se aplica una presión de confinamiento (σ 3 ) alrededor de la muestra por medio del fluido en la cámara (generalmente
agua
o
glicerina).
Un
esfuerzo
adicional
( ∆σ ) puede también aplicarse a la muestra en la dirección axial para provocar la falla ( ∆σ = ∆σ f ). El drenaje del espécimen puede ser permitido o detenido, dependiendo de las condiciones de la prueba. Para arcillas, tres tipos principales de pruebas se efectúan con equipo triaxial: 1.
Prueba consolidada drenada (prueba CD)
2.
Prueba consolidada no drenada (prueba CU)
3.
Prueba no consolidada no drenada (prueba UU)
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4
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La tabla anterior resume esas tres pruebas. Para pruebas consolidadas drenadas, en la falla, Esfuerzo efectivo principal mayor =
σ
+ ∆σ f = σ 1 = σ '1
Esfuerzo efectivo principal menor =
σ
=
Cambiando en
σ
varias
3
3
3
'3
σ
se pueden efectuar más pruebas de este tipo muestras
de
arcilla.
Los
parámetros
de
resistencia cortante (C y Ø) se determinan dibujando el círculo de Mohr en la falla, como muestra la figura (b) y
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5
Mecánica de Suelos II
trazando una tangente a los círculos de Mohr. Esta es la envolvente de falla de Mohr-Coulomb. (Nota: Para arcillas normalmente consolidadas, C 0 ). En la falla ≈
2 σ '1 = σ '3 ⋅ tan 45 +
φ
φ + 2 ⋅ C ⋅ tan 45 + 2 2
En pruebas consolidadas no drenadas, en la falla, Esfuerzo total principal mayor =
σ
Esfuerzo total principal menor =
σ
3
3
Esfuerzo efectivo principal mayor = Esfuerzo efectivo principal menor =
Cambiando
σ
3
+ ∆σ f = σ 1
σ
3
+ ∆σ f − u f = σ '1
3 +
σ
u f
'
= σ 3
se pueden efectuar múltiples pruebas de este
tipo en varias muestras de suelo. Luego se dibujan los círculos de Mohr para los esfuerzos totales en la falla, como muestra en la figura (c), y se traza una tangente para definir la envolvente de falla. Esta se define por la ecuación
τ = C cu
+
σ ⋅ tan φ cu
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6
Mecánica de Suelos II
Donde C cu y φ cu son la cohesión consolidada no drenada y el ángulo
de
fricción,
respectivamente.
C cu
{Nota:
≈
0
para
arcillas normalmente consolidadas) Similarmente, esfuerzos
se
grafican
efectivos
en
los
la
círculos
falla
de
para
Mohr
de
los
determinar
las
envolventes de falla. Ellas obedecen la relación expresada en la ecuación. Para pruebas triaxiales no consolidadas no drenadas, Esfuerzo total principal mayor =
σ
Esfuerzo total principal menor =
σ
3
+ ∆σ f = σ 1
3
Ahora se dibuja el círculo de Mohr para esfuerzo total en la
falla,
saturadas,
como el
muestra valor
la
de
figura − σ 3 = ∆σ f
σ
1
(d). es
Para una
arcillas
constante,
independientemente de la presión de confinamiento en la cámara
σ
3
(también mostrado en la figura d). La tangente a
esos círculos de Mohr será una línea horizontal, llamada condición Ø=0 El esfuerzo de corte para esta condición es τ
=
C u
=
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7
∆σ f
2
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Donde
C u
= cohesión no drenada (o resistencia al corte no
drenada) La presión de poro desarrollada en la muestra de suelo durante la prueba triaxial no consolidada no drenada es u
La presión de poro u a
ua
=
+
u d
es la contribución de la presión
hidrostática de la cámara
σ
. Por consiguiente,
ua
=
3
B ⋅ σ 3
Donde B = parámetro de presión de poro de Skempton Similarmente, el parámetro de poro u d es el resultado del esfuerzo axial adicional
∆σ ,
u d
por lo que A ⋅ ∆σ
=
Donde A = parámetro de presión de poro de Skempton Sin embargo, ∆σ = σ 1 − σ 3
Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene u
El
Parámetro
B
=
de
ua
+
u d
=
B ⋅ σ 3
presión
+
A ⋅ (σ 1
de
− σ 3
poro
) en
suelos
suaves
saturados es 1, por lo que u
= σ 3 +
A ⋅ (σ 1
− σ 3
)
El valor del parámetro A de presión de poro del agua en la falla
variará
con
el
tipo
de
suelo.
A
continuación
se
muestra el rango general de valores de A en la falla para varios tipos de suelos arcillosos.
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PRUEBA DE COMPRESIÓN SIMPLE La prueba De compresión simple es
un
tipo
especial
de
prueba triaxial no consolidada y no drenada en la que la presión
de
confinamiento
en
la
figura. En esta prueba se aplica un esfuerzo axial
∆σ
al
espécimen para generar la falla (es decir,
). El
σ
3
=
0,
como
se
muestra
∆σ = ∆σ f
correspondiente círculo de Mohr se muestra en la figura. Note que para este caso Esfuerzo total principal mayor =
∆σ f =
qu
Esfuerzo total principal menor = 0 Al
esfuerzo
axial
en
la
falla,
∆σ f =
qu
se
le
denomina
resistencia a compresión simple. La resistencia al corte de arcillas ecuación
saturadas
τ = C cu
+
bajo
esta
condición
(Ø=0),
de
la
σ ⋅ tan φ cu , es τ
=
C u
=
qu
2
La resistencia a la compresión simple se usa como indicador de la consistencia de las arcillas.
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Mecánica de Suelos II
El esfuerzo unitario de ruptura será: qu
El
área
corregida
=
σ
P =
A'
será
c arg a =
área _ corregida
igual
al
=
2c
área
inicial
A
de
la
muestra dividida entre uno menos la deformación unitaria.
A ⋅ h = A'⋅h' = A'⋅(h − ∆ ) = A' (h − ε ⋅ h ) = A'⋅h(1 − ε ) De donde: A'
A =
1
−
ε
Los experimentos de compresión simple a veces se efectúan en suelos no saturados. Manteniendo constante la relación de
vacíos
de
un
espécimen
de
suelo,
la
resistencia
a
compresión simple disminuye rápidamente con el grado de saturación. La figura, muestra una prueba de compresión simple en proceso.
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PRUEBA DE LA VELETA La
veleta
es
un
dispositivo
que
sirve
para
medir
la
resistencia al corte de los suelos eminentemente cohesivos y suaves sin tener que extraer muestras inalteradas de los mismos; es decir, es un aparato que mide el corte de los suelos directamente en el lugar. El aparato consiste de dos placas metálicas cruzadas que forman cuatro aletas de forma rectangular, las cuales se hincan en el suelo hasta que la parte
superior
de
las
aspas
queden
lo
suficientemente
enterradas en el suelo que va a ensayarse. Esto se hace por medio de un vástago que sujeta dichas aletas y sobre el cual se aplica un par de fuerzas que se miden por medio de un dinamómetro en el maneral. La resistencia al corte del material cohesivo y suave se obtiene por medio de la fórmula: τ
P
= π
H d ⋅ d 2 ⋅ + 2 6
en la que:
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11
Mecánica de Suelos II
τ
= Resistencia máxima al corte de la arcilla en kg/cm2,
y que es igual a la cohesión c de la arcilla, igual a q u / 2 . P
= Par o momento aplicado en el maneral, en kg-cm. Es
un momento o par de ruptura aplicado. H = Altura de las placas rectangulares de la veleta, en centímetros. d = Anchura de las placas, en centímetros. La fórmula anterior se obtiene de la consideración de que el momento que se desarrolla en el área lateral de ruptura dada por el giro de las placas es: M L
=
(
π ⋅
d H S ) ⋅
⋅
d ⋅
2
y que el momento generado en cada una de las bases de giro de las paletas (base inferior y base superior) vale:
π ⋅ d 2 2 d ⋅ S ⋅ ⋅ M B = 4 3 2 En la obtención de este momento M B efecto
del
vástago
y
se
ha
se ha despreciado el
considerado
un
elemento
resistente en forma de sector circular, pues se ha tomado como brazo de palanca de la fuerza resistente la cantidad de "2/3 de d/2". En el momento de la falla el momento resistente será igual al
momento
aplicado;
por
lo
tanto,
estando
totalmente enterrada: M máx = P = M L + 2 ⋅ M B =
π
⋅ d 2 2
π ⋅ d 2 2 d ⋅ H ⋅ S + 2 ⋅ ⋅ S ⋅ ⋅ 3 2 4
de donde: τ
P
= π
H d ⋅ d 2 ⋅ + 2 6
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la
veleta
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Se puede observar que en la fórmula anterior el denominador es una constante del aparato que puede determinarse de una sola vez para la veleta que se tenga. Generalmente se hace que la altura H de las paletas sea igual al doble de la anchura d de las mismas.
PRUEBA DE PENETRACIÓN NORMAL Esta
prueba
fue
desarrollada
y
adoptada
por
“Raymond
Concrete Pile Company” en sus trabajos de exploración de suelos. Posteriormente (1958) la Prueba fue adoptada por la "American Society for Testing and Materials" (A.S.T.M.). Esta
prueba
necesarios sacamuestras
consiste para
en
hincar
normalizado.
contar 30 El
cm
el
número
dentro
hincado
del
de
del
golpes N suelo
un
muestreador se
hace dejando caer un peso de 63.5 kg desde una altura de 76.2 cm (ver figura). Para ejecutar la prueba se limpia primero la parte donde se va a hincar el muestreador, luego se ajusta cuidadosamente el muestreador al suelo y a la barra-guía del peso y se comienza a golpear la cabeza de la barra para que el sacamuestras penetre 15 cm en el suelo. A partir de este instante se cuenta el número de golpes N necesarios para que el sacamuestras penetre 30 cm más. Hecho esto se saca el muestreador y se extrae para su examen el material recogido en su interior.
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Mecánica de Suelos II
En la tabla 1 se muestran las relaciones aproximadas entre el
número
N de
resistencia
la
a
prueba
compresión
de
penetración
axial
no
normal,
confinada,
la la
consistencia de las arcillas, la compacidad relativa de los suelos granulares y el ángulo de fricción interna de éstos. Si las gravas, arenas o mezclas de ellas contienen menos de 5 % de arena fina o limo, auméntese en 5° los valores del ángulo de fricción interna dados en la tabla 2.
Tabla 1
Tabla 2
Los
valores
"N"
de
la
prueba
de
penetración
normal
de
campo, en los materiales no cohesivos, se deben multiplicar por el factor:
20 , entrando " pi " en Kg/cm2. La fórmula no es pi
Fc = 0.77 ⋅ log
válida para pi
<
0.25 Kg/cm2. En los materiales cohesivos wl
"N" no se corrige.
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14
Mecánica de Suelos II
Cuando no se cuenta con pruebas de laboratorio que sirvan para determinar la cohesión y el ángulo de fricción interna de los sucios, se podría emplear los valores siguientes (aproximados): el limo un Ø = 20°; la arena húmeda presenta un Ø de 10 a 15°; si la arena está seca su Ø es de 30 a 34°; la grava y la arena cementadas presentan, húmedas, un Ø de 34°, con una cohesión de 0.25 kg/cm2.
PROBLEMAS (Resueltos) Problema 1. En un aparato de corte directo se efectúan pruebas de corte a tres especimenes de arcilla, obteniéndose los resultados siguientes:
Determinar el valor de la cohesión y del ángulo de fricción interna del suelo. Solución:
En un sistema de ejes de coordenadas se dibuja la línea intrínseca uniendo los puntos obtenidos al graficar los resultados anteriores, como se Índica en la figura que sigue:
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Mecánica de Suelos II
Problema 2. A un espécimen cilíndrico de arcilla de 3.0 cm de diámetro por 7.5 cm de altura inalterado, se le somete a la prueba de compresión axial sin confinar, resultando como carga de ruptura un valor de 210 kg. La altura final de la muestra en el instante de la falla es de 7.1 cm. Determinar la cohesión de la arcilla.
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Solución:
Área inicial de la muestra = A = 7.0686 cm2 Deformación vertical de la muestra = Deformación unitaria
ε
0.4 =
=
7.5
A'
=
1
−
=
0.9467
ε
0.4 cm
0.0533
7.0686
A =
∆=
7.466cm 2
El esfuerzo de ruptura a compresión axial sin confinar " qu " vale: qu
210 =
7.466
=
28.127 kg / cm
2
El valor de la cohesión de la arcilla vale: C
=
qu
28.127 =
=
2
2
14.06kg / cm 2
=
1.406Tn / m 2
Problema 3. Se somete una muestra de suelo a una prueba de corte directo
bajo
resultando
una
una
presión
presión
normal
de
corte
de a
la
σ
=
1.3
ruptura
2 kg/cm ,
de
0.65
2 kg/cm . Determinar el ángulo de fricción interna de la
muestra ensayada. Solución:
Al aplicar la ecuación de Coulomb se tiene: τ
Por lo que tan φ
0.65 =
1.3
=
=
σ tan φ ⋅
0.5
y el ángulo de fricción interna φ = 26°30'
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17
Mecánica de Suelos II
Problema 4. Determinar el ángulo de fricción interna de una muestra de arena limosa que rompe en un ensaye a compresión triaxial con una
σ
1
=
2σ 3 .
Solución:
Con la conocida ecuación de Mohr para el caso se tiene:
2 2σ 3 = σ 3 ⋅ tan 45 +
φ
2
De donde:
tan 45 +
φ
= 2 = 1.4142
2
45 +
φ
= 55° 2 φ = 20°
Problema 5. Se hace la prueba de corte directo a tres especimenes con 2 área de 36 cm en la caja del aparato. Los esfuerzos
resultantes para cada esfuerzo normal son: Esfuerzo normal en kg/cm 2
_____0.65
El esfuerzo de corte en kg/cm 2 _____0.65
1.30 0.85
2.62 1.30
Solución:
Al dibujar estos resultados se obtiene que C = 0.33 kg/cm2 y Ø = 20°
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18
Mecánica de Suelos II
Problema 6. La línea de resistencia intrínseca se obtiene como
se
muestra en la figura del problema anterior, y se prueba un espécimen del mismo suelo en una máquina de compresión triaxial con una presión lateral
σ
3
=
1.83kg / cm 2 ; determinar
cuál es la compresión vertical de ruptura esperada de la muestra. Solución:
Como ya se dibujó la línea de resistencia intrínseca, el circulo de Mohr de la prueba triaxial para 1.83 kg/cm2 como σ
3
debe
ser
tangente
a
dicha
línea.
Para
centro del círculo a partir del valor de dibuje la línea "ad" con un ángulo de 45 +
φ 2
=
encontrar σ
3
=
el
1.83kg / cm 2 ,
55° que corte a
la línea de resistencia intrínseca en el punto "d", y en ese
punto
trace
una
normal
a
la
mencionada
línea
de
resistencia intrínseca perpendicular a ella, la que fija al centro del círculo. Se dibuja el círculo y donde corte al
Escuela de Ingeniería Civil
19
Mecánica de Suelos II
eje de las presiones normales (σ ) se encuentra el valor de σ
1
=
10.2kg / cm 2 .
Problema 7. Una veleta de 11.43 cm de longitud o del alto de las aletas, por 7.62 cm de diámetro de las mismas, se introduce a presión en el fondo de un sondeo de arcilla suave, hasta que las aspas de la veleta queden enterradas en la arcilla. Se aplica luego un par que se incrementa despacio hasta que se presenta la ruptura del suelo. El valor del par en el instante de la falla es de 456.24 kg-cm. Determinar el valor de la cohesión de la arcilla.
Escuela de Ingeniería Civil
20
Mecánica de Suelos II
Solución:
Con la ecuación que mide el valor del corte si las aspas de la veleta quedan bien enterradas en la arcilla se tiene:
τ
P
= C =
H d + 2 6
=
d 2
π
456.24
(3.1416 ) ⋅ (7.62 ) ⋅ (5.715 + 1.270 ) 2
456.24
=
1274.167
= 0.358kg / cm 2
PROBLEMAS (Propuestos) Problema 1. Se llevo a cabo una prueba de corte directo sobre arena seca. Los resultados fueron los Siguientes: Área del espécimen = 2 pulg x 2 pulg
Grafique
el
esfuerzo
esfuerzo
normal
y
de
corte
determine
el
en
ia
ángulo
falla de
contra
fricción
el del
suelo.
Problema 2. Una prueba triaxial consolidada-drenada sobre una arena produjo los siguientes resultados: Presión de confinamiento =
σ
3
= 30 lb/pulg3
Esfuerzo desviador en la falla =
∆σ
= 96 lb/pulg2
Determine los parámetros del esfuerzo cortante.
Problema
3.
Resuelva
el
problema
anterior
siguientes datos: Presión de confinamiento =
σ
3
= 20 lb/pulg3
Esfuerzo desviador en la falla = Escuela de Ingeniería Civil
21
∆σ
= 40 lb/pulg2
con
los
Mecánica de Suelos II
Problema 4. Una prueba triaxial consolidada-drenada sobre una arcilla consolidada normalmente dio un ángulo fricción Ø de 28°. Si la presión de confinamiento durante la prueba fue de 140 kN/m2, ¿cuál fue el esfuerzo principal mayor en la falla?
Problema 5. Se dan a continuación los resultados de dos pruebas triaxiales consolidadas-drenadas sobre una arcilla: Prueba I:
σ
=
Prueba II:
σ
=
3
3
140kN / m 2 ; σ 1( falla ) 2
280kN / m ;σ 1( falla )
=
=
368kN / m 2 2 701kN / m
Determine los parámetros de la resistencia por cortante, es decir, C y Ø.
Problema 6. Una prueba triaxial consolidada no drenada fue conducida en una arcilla saturada normalmente consolidada. Los siguientes son los resultados de la prueba: σ
3
=
σ
2 13lb / pu lg
1( falla )
=
2 32lb / pu lg
Presión de poro en la falla = u f = 5.5 lb/pulg2 Determine C cu , φ cu , C y φ .
Problema 7. Para una arcilla normalmente consolidada, se da = 28° y φ cu
φ
consolidada σ
3
=
= 20°. Si se efectúa una prueba triaxial
no
drenada
sobre
la
misma
arcilla
con
150kN / m 2 , ¿cuál será la presión de poro del agua en la
falla?
RESPUESTAS Problema 2.
38°
Problema 4.
387.8 kg/m2
Problema 6.
C cu
=
0,
φ cu
=
25° , C
Escuela de Ingeniería Civil
22
=
0 y φ = 34° .
