Repaso Analisis Vectorial Capítulo 1-2-3.pdf

Teorí eoríaa del Camp Campo oI Capí Capítu tulo lo 1: Análisis vectorial

 Ing. Eduardo Varela S.

Introducción y motivación •

•

Electromagnetismo: rama de la física o ingeniería eléctrica el éctrica que estudia fenómenos eléctricos y magnéticos Aplicaciones: microondas, antenas, fibra óptica, resonancias magnética, motores, trafos, etc.

 S uma de V ect ec tores or es

Ley Asociativa: Ley Distributiva:

 S is tema de C oordenadas R ectang ulares

Dis tintos Puntos en un S is tema de C oordenadas R ectang ulares

E lemento Diferencial de Volumen

C omponentes Ortog onales de un Vector 

C omponentes Ortog onales de un Vector Unitario

R epres entación Vectorial en términos de  s us componentes rectang ulares

E xpres iones Vectoriales en C oordenadas R ectang ulares Vector B:

Magnitud de B:

Vector Unitario en la direction de B:

E jemplo de Vector 

C ampo Vectorial Estamos acostumbrados a pensar en un vector específico:

Un campo vectorial es una función definida en el espacio que tiene magnitud  y la dirección en todos los puntos:

donde r = (x,y,z)

Producto E s calar de Vectores Producto escalar de vectores:

  =   ∙ 

El producto escalar (llamado también producto punto) es un escalar, por ejemplo el trabajo de una fuerza.

  ∙  =    cos  Proyección de B sobre el vector unitario a.

Propiedades del Producto escalar de vectores:

  ∙  =   +   +     ∙  =  ∙    ∙  = 2 =  

2

Producto E s calar de Vectores Dado

Se encuentra que:

Por definición:

Note que:

Proyecciones de un Vector us ando Producto E s calar de Vectores

B

•

a da el componente de B en

la dirección horizontal.

(B

•

a)Da un componente de vector 

de B en la dirección horizontal 

Producto Vectorial de Vectores Producto vectorial de vectores:

 =   × 

El producto vectorial (llamado también producto cruz) es un vector, por ejemplo el momento de una fuerza.

  ×  =     sin  Donde aN  es el vector unitario ortogonal de A tomado por la regla de la mano derecha: También se puede obtener el producto cruz de dos vectores mediante la siguiente fórmula:

     ×  =          La dirección de A x B se toma con la regla de la mano derecha.

Propiedades del Producto Vectorial de vectores:

  ×  = −  × 

La propiedad anterior muestra que el producto cruz no es conmutativa.

Producto Vectorial de Vectores Por definición:

donde Por lo tanto:

O …

C oordenadas C ilíndricas El punto P tiene coordenadas   z) Especificado por P( 

Vectores Unitarios en Coordenadas Cilíndricas

Diferenciales en C oordenadas Cilíndricas C=2*pi*r 

  d  dz  dV =   d 

Trans formaciones en C oordenadas Cilíndricas

Producto Punto en Coordenadas C artes ianas y C ilíndricas

E jemplo de trans formación entre coordenadas cartes ianas y cilíndricas Transforme el vector,

en coordenadas cilíndricas: Se inicia con:

Finalmente:

C oordenadas E s féricas El punto P tiene coordinadas especificadas por P(r   )   

 S uperficies C ons tantes en C oordenadas Esféricas

Vectores Unitarios en Coordenadas Esféricas

Diferencial de Volumen en C oordenadas Esféricas

dV = r2 sin drd  d  

Producto Punto en Coordenadas C artes ianas y E s féricas

E jemplo de trans formación entre coordenadas cartes ianas y es féricas Transforme el campo vectorial,  , en coordenadas esféricas

Operador (Nabla/del) •

Útil para definir:

1. E l g radiente (de un campo escalar)

*Genera un campo vectorial 



Indica la dirección en la cual el campo vectorial varía más rápidamente

 2. La Diverg encia (de un campo vectorial)

*Genera un campo escalar 



Mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea el volumen

Teorema de la divergencia (Gauss-Ostrodradsky)

 3. E l rotacional (de un campo vectorial) *Genera un campo vectorial  

Operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

Teorema de Stokes

4. E l Laplaciano (de un campo escalar)

*Genera un campo escalar 



Operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio