Modulo de Fisica i - Analisis Vectorial do

Análisis Vectorial 1

Capítulo

2

Análisis Vectorial El análisis vectorial, que se inició a mediados del siglo pasado, constituye hoy día una parte esencial de las matemáticas necesaria para matemáticos, físicos, ingenieros y demás científicos y técnicos. Esta necesidad no es casual; el análisis vectorial no solo constituye una notación concisa y clara para presentar las ecuaciones del modelo matemático de las situaciones físicas y problemas geométricos, sino que, además, proporciona una ayuda inestimable en la formación de las imágenes mentales de los conceptos físicos y geométricos. En resumen, el análisis vectorial puede considerarse, sin lugar a dudas, como el más rico lenguaje y forma del pensamiento de las ciencias físicas.

M. R. Spiegel

1. SIST SISTEMA EMAS S DE COO COORDE RDENA NAD DAS 1.1. INTRODUCCIÓN: Muchos aspectos en física se relacionan de una u otra forma con posiciones en el espacio. P.e. para describir el movimiento de un objeto requiere un método para describir la posición del objeto en diferentes tiempos. Esta descripción se hace mediante el uso de coordenadas. Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable. diferenciable. En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia u origen y una base vectorial ortonormal ortonormal,, * quedando así definidos los ejes coordenados.

Los sistemas de coordenadas se utilizan para describir la posición de un punto en el espacio. Un sistema de coordenadas consiste en: • Un punto de referencia que llamaremos origen Ejes específicos con escalas y etiquetas • Instrucciones de cómo designar un punto relativo al origen y a los ejes •

*

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas

Separatas para el curso De Física

2

Física I

1.2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS La coordenadas más utilizadas como sistema de referencia en física es el sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados escalados,, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente (análogamente en se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto ( P) es igual a la proyección ortogonal de la recta OP de dicho punto sobre un eje determinado: P(X,Y,Z).

En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente. †

1.3. SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES En ocasiones es más conveniente representar un punto en el plano por medio de sus coordenadas polares planas (r,θ) como se muestra en la figura. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r , θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen de coordenadas, coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasion es se adopta la convención de representar el origen por (0,0º). ‡

† ‡

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares

Lic. Carlos E. Joo G.

[email protected]

Análisis Vectorial 3 1.3.1.

Representación Representación de punt os con co n coordena coor denadas das polares

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL . •

•

El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL . El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL .

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos: •

•

Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r , θ) se puede representar como ( r , θ ± n×360°) o (−r , θ ± (2 (2n + 1)180°), 1)180°), donde donde n es un [4] [4 ] número entero cualquiera. cualquiera. El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo. polo.[5[5]] Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar r a números no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, [0, 360°) o (−180°, 180°] (en [6] [6 ] radianes, [0, 2π) o (−π, π]). π]).

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes radianes,, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes. radianes.[7 1.3.2.

Conversión de coordenadas

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x . A. Conversión de coordenadas coo rdenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

B. Conversión de coordenadas co ordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: (aplicando

el

Teorema

de

Pitágoras) Pitágoras) Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:


4 Física I

Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. real. Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. • Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π]. Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( arctan denota la inversa de la función tangente tangente)): •

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

x,y)=(-3.50; -2.50)m como se muestra Ejemplo: 1) Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano xy son ( x,y en la figura. Encuentre las coordenadas polares de este punto: SOLUCION: debe usar los signos para determinar que el punto se encuentra en el tercer cuadrante. Es decir que θ=216º y no 35,5º (se debe sumar 180º más), y r=4,30m.

En el mundo de las abejas. Cuando una abeja sale a explorar y encuentra alimento en una flor, esta de inmediato regresa a su panal para informarle a las demás cómo llegar a la comida que acaba de encontrar. Esto lo hace moviéndose mediante un patrón especial, definido con mucha precisión. Este lenguaje debe ser de tipo vectorial vectori al ¿Qu ¿Qué é debe decir la la abeja abeja a sus compañeras compañeras para especif especificar icar dónde se encuentra encuentra la flor fl or en relación con el panal?. ¿emplearía coordenadas cartesianas o polares?¿porqué?¿qué usaría la abeja como origen de sus coordenadas? - La abeja debe comunicar a sus compañeras cuán lejos está la flor y en qué dirección deben volar. Ésta es exactamente la clase de información que proporcionan las coordenadas polares, siempre que el origen de las coordenadas sea el panal.

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp Lisp)).

1.4. COORDENADAS COORDENADAS CILÍNDRICAS CILÍNDRICAS§ Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo ángulo,, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana plana.. Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ, z), donde: • ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY §

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas


[email protected]

Análisis Vectorial 5 •

•

φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY. z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS** El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r , el ángulo polar o polar o colatitud θ y el azimut φ. Algunos autores utilizan la latitud latitud,, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes radianes)), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π). Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

2. VECTORES. 2.1. DEFINICIONES.†† El término vector tiene distintos significados de acuerdo al contexto: 2.1.1. En matemática • •

espacio cio vectorial vectorial.. Vector , en álgebra lineal, es todo segmento de recta dirigido en un espa Vector (espacio euclídeo) un conjunto ordenado de números reales, o elementos de un cuerpo.

2.1.2. En física

‡‡

En física física,, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física del cual depende únicamente un módulo (olongitud (o longitud)) y una [1] [1 ] [2] [2 ] [3] [3 ] [4] [4 ] dirección (u orientación orientación)) para quedar definido. definido. Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos o ; es decir, bidimensional bidimensional o tridime tridimensiona nsional.l. Ejemplos La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan • sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige. La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de • su intensidad o módulo, de la dirección en la que opera. El desplazamiento de un objeto. •

**

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/coordenadas-rectangulares/coordenadas-rectangulares.pdf †† http://es.wikipedia.org/wiki/Vector ‡‡ http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_%28f%C3%ADsica%29


6 Física I

2.2. ELEMENTOS DE UN VECTOR . Punto de aplicación.- está dado por el origen del vector. Intensidad, módulo o magnitud.- es el valor del vector y generalmente, está dado en escala. Pe. 5 unidades de longitud equivale a 5n (si se tratase de fuerza). Sentido.- es la orientación del vector. Dirección.- está dada por la línea de acción del vector o por todas las líneas rectas paralelas a él. La dirección del vector se puede identificar con un ángulo ( ) antihorario medido desde el eje positivo x hasta la ubicación del vector.

y A

α

Todo vector queda bien definido conociendo su módulo y su dirección (y sentido) siendo éstos sus elementos.

2.3. Notación Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar ). Ejemplos: ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El • módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente correspondiente al vector: ... ... En los textos manuscrit anuscritos os se escribe: ... ... para los vectores y ... ... o ... para los módulos. Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la •

forma , ... ... resultando muy muy útil esta notación para los vectores que representan representan el desplazamiento. Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuenteme frecuentemente nte con un circunfl circunflejo ejo encima, por ejemplo . NOTACIÓN GENERAL:

A

=

A ∠θ

2.4. CLASES CLA SES Y RELACIONES RELA CIONES ENTRE VECTORES : a) Vectores colineales.- son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción. b) Vectores concurrentes.- son aquellos vectores cuya líneas de acción, se cortan en un solo punto. Los vectores concurrentes tienen el mismo origen. sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).


c) Vectores coplanares.- son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano. d) Vectores iguales.- son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido. e) Vectores equipolentes.- Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

f)

Vectores libres.- El [email protected]


conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido. no están aplicados en ningún punto en particular.

j)

g) Vectores opuestos (- A ).- se llama vector opuesto (- A ) de un vector cuando tienen tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario.

h) Vector de posición.- El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

i)

Vectores linealmente dependientes.- Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal:

Vectores linealmente independientes.- Varios son vectores libres linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros a1 = a2 = ··· = an =0

k) Vectores ortogonales.- Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto

escalar es cero l)

Vectores ortonormales.- Dos vectores son ortonormales si: Su producto escalar es cero. Los dos vectores son so n unitarios.

2.5. Vector posición. Coordenadas de un Vector §§ A. Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P. §§

http://www.vitutor.com/geo/vec/a_3.html


8 Física I

B. Coordenadas Coordenadas o componentes c omponentes de un vector en el pl ano

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas coordenadas o componentes componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

EJEMPLO 2.1.

Hallar las componentes de un vector cuyos extremos son:

EJEMPLO 2.2.

Un vector

tiene tiene de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce

el extremo B(12, −3).

Las componentes más usadas son las rectangulares, es decir expresado en la suma de vectores mutuamente perpendiculares, del mismo modo que se definió para las coordenadas polares. V = V x iˆ + V y jˆ o también V = u xV x + u yV y , en términos de sus vectores unitarios. Además se puede 

demostrar que:



u

=

ux

cos α + u y senα .

Nótese que las componentes de un vector en una dirección son iguales a las proyecciones del vector en esa misma dirección ( una paralela al eje de referencia y otra perpendicular).

2.6. MÓDULO DE UN VECTOR EN EL PLANO El módulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por . El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero .

Módulo de un vector a partir de sus componentes :


[email protected]


EJEMPLO 2.3. Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

EJEMPLO 2.4. Propiedades Propiedades del mód ulo: 1. El módulo del vector nulo es cero y el vector nulo es el único vector cuyo módulo es cero. 2.

Donde K es un número cualquiera y u es un vector cualquiera.

3.

. Para cualquier pareja de vectores.

2.7. VECTOR UNITARIO: Un vector unitario es un vector cuya magnitud es uno y es útil para indicar el sentido y la dirección de un determinado vector. Matemáticamente el vector unitario se halla 

dividiendo el vector entre su respectivo módulo. µ = 

EJEMPLO 2.5.

Si

V 

V

.

es un vector de componentes componentes (3, 4), hall hallar ar un vector unitario de su misma

dirección y sentido.

2.8. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL PLANO: En cualquier dirección es posible determinar el respectivo vector unitario (También se llama versor), en el plano cartesiano, en las direcciones “x” y “y”, los vectores unitarios reciben nombres especiales, estos son i y j respectivamente. Cualquier vector puede ser expresado en el plano cartesiano en función de los vectores unitarios principales i y j.

2.9. METODOS DE ADICIÓN DE VECTORES COPLANARES i. METODO DEL PARALELOGRAMO

ii. ii . METODO DEL TRIÁNGULO Y DEL POLÍGONO

iii. RESTA DE VECTORES


10 Física I

Para restar restar dos vectores libres libres y se suma con el opuesto de .

Dados dos vectores : b , el vector

y

, y dos números: a y se dice que es una

combinación lin eal eal de

y

.

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

iv. iv . PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR El producto de un número número k por un vector otro vector: De igual dirección que el vector

es

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección Por ejemplo: Esta combinación lineal es única

.

Del mismo sentido que el vector positivo.

si k es

De sentido contrario del vector negativo

si k es

De módulo Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes

del

EJEMPLO 2.6.

vector. combinación

Dados los vectores: , hallar el vector lineal

El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores

v. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

MÉTODO ANALITIC ANAL ITICO O PARA LA ADICIÓN DE VECTORES VECTORES 2.10. MÉTODO (EN EL PLANO) . *** Para comprender comprender la regla de adición de vectores consideremos primero el caso de los desplazamientos.

***

Alonso-Finn: Fisica, tomo I, Mecánica.


[email protected]


Si una partícula se desplaza primero de A a B, y se representa por el vector d 1 , y de la misma forma de de B a C, representada por d 2 2 , el resultado será equivalente a un desplazamiento único de A a C, representado por d , de modo que escribiremos simbólicamente d=d 1+ d 2 . Esto no es lo mismo que d=d 1+d 2, que se refiere solamente a las magnitudes y no valen para este caso. Ahora generalicemos el procedimiento para cualquier clase de vectores. Decimos entonces que: V =V 1+V 2 si se obtiene como en la figura, además se observa que la suma vectorial es conmutativa, consecuencia directa de la geometría del método. Para calcular la magnitud del vector resultante V vamos a deducir la conocida ley de los cosenos: La figura muestra la operación de adición donde se cumple V=V 1+V 2 , para calcular su magnitud utilizamos el teorema de pitágoras. (AC)2=(AD)2+(DC)2. Pero AD=AB+BD= V 1+V 2 cosθ y DC= V 2 senθ, por consiguiente: V 2=(V 1+V 2 cosθ)2 + (V 2 senθ)2= 2

2

= V 1 +V 2 +2 V 1V 2 cosθ .

(I.1)

Para conocer la dirección del vector necesitamos hallar un ángulo medido de un punto de referencia cualquiera, si por el contrario deseamos conocer su sentido debemos hacerlo desde un sistema de coordenadas que es un marco referencial general. Deduciremos entonces la ley de Senos: De la figura vemos en el triángulo ACD, que CD=AC senα , y que en el triángulo BCD, que CD=BC senθ. Por consiguiente consiguiente : V senα =V 2 senθ. ó

V senθ

=

V 2 senα

.

Análogamente, en el triángulo ABE, que BE=V 1senα , y que en el triángulo BCE, que BE=V 2 senβ. Por consiguiente consiguiente : V 1senα=V 2 senβ. Y combinando ambos resultados, obtenemos. V senθ

=

V 1 sen β

=

V 2 senα

.

(I.2)

Nótese que en el caso particular cuando V 1 y V 2 son perpendiculares que se cumple nuevamente el teorema de Pitágoras. Propiedades de la suma de vectores ††† Asociativa +( + ) =( Conmutativa

+

)+

+ = + Elemento Ele mento neutro + = Elemento Ele mento opuesto †††

http://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.html


12 Física I

+ (−

)=

Para restar dos vectores libres

y

se suma

con el opuesto de

.

Se puede demostrar también que para la diferencia de vectores se cumple que: 2

2

2

2

2

V =(V 1+V 2 cosθ) - (V 2 senθ) = V 1 +V 2 -2 V 1V 2 cosθ .

y además esta diferencia es anticonmutativa (figura 3-11)

EJEMPLO 2.7.


(P.36-37)(Alonso – Finn)

[email protected]


EJEMPLO 2.8.

(P.64)(Serway): UN VIAJE DE VACACIONES

EJEMPLO 2.9.

(P.42)(Alonso-finn)


14 Física I

EJEMPLO 2.10.

EJEMPLO 2.11. EJEMPLOS I.6.(P.22-23 I.6.(P.22-23)(Sea )(Sears-Zemans rs-Zemansky) ky)

A partir de esta generalización se han deducido los métodos gráficos para la adición y sustracción de vectores que comúnmente conocemos. Si le resulta complicado al alumno entender el proceso realizado, la respuesta la encontraremos en el hecho de que hasta ahora se han trabajado los problemas mecánicamente sin caer en la cuenta de los principios matemáticos que determinan su comportamiento.

2.11.APLICACIONES 2.11. APLICACIONES EN EL EL PLANO EJEMPLO 2.12. (FISICA I-LUIS RODRIGUEZ VALENCIA-U.SANTIAGO) Para la situación indicada en la figura, determine la altura del punto Pen términos de los ángulo α, β y . la distancia d

de donde

y restando

de donde sigue el resultado

Solución. Podemos escribir


[email protected]


2.12. VECTORES EN EL ESPACIO Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas co ordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro

2.13. NOTACIÓN A TRAVÉS DE SUS COMPONENTES Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial. vectorial. En coordenad coordenadas as cartesianas, los vectores unitarios se representan representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las siguientes notaciones son las mas típicas para representar a los vectores:

Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse también entre paréntesis y separadas con comas: o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales. reales. Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

2.14.COSENOS 2.14. COSENOS DIRECTORES Y COMPONENTES DE UN VECTOR Hasta ahora hemos hablado de dos componentes, correspondientes al plano xy, sin embargo en el espacio las componentes respectivas serán: V x , V y , y V z. se puede verificar que sus componentes se calculan así: V x=V sen θ cos φ, V y=V sen θ sen φ,

..........................................................I.3) Separatas para el curso De Física

16 Física I V z=V cos θ,

Donde θ (ó γ) es el ángulo que hace el vector con el eje Z, y donde φ es el ángulo que hace la proyección del vector en el plano XY con el eje X De modo modo que vectorial vectorialm mente V = V x iˆ + V y jˆ + V z k ˆ o también V = u xV x + u yV y + u zV z ; además : 

V x=V cos α, V y=V cos β, V z=V cos θ,



....................................................................(I.4)

Donde α es el ángulo que hace el vector con el eje -X, y donde β es el ángulo que hace el vector con el eje -Y. aclaremos que en este caso especial los valores X y Y será positivos en las direcciones de la figura.

Vz

Se cumple, cumple, por cálculo cálculo directo: directo: 2 2 2 2 V =V x +V y +V z , ................................................. (I.5Vx ) Vy

y de esta relación se obtienen los cosenos directores. 2

2

2

cos α + cos β + cos θ

=

1 ................................................................................................. (I.6)

2.15. MODULO DE UN VECTOR EN EL ESPACIO El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero . Cálculo del módulo conociendo sus componentes



Dados los vectores vectores EJEMPLO 2.13. Dados

y

, hallar hallar los módulos de

y

·

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

2.16. Distancia entre entre dos puntos La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

EJEMPLO 2.14. Hallar la distancia


entre

los

puntos

A(1,

2,

3)

y

B(−1,

[email protected]

2,

0).


EJEMPLO 2.15. (P.40)(Alonso – Finn)

EJEMPLO 2.16. (P.40-41)(Alonso – Finn)

EJEMPLO ADICIONAL(P.41)(Alonso – Finn): expresar la ecuación de una línea recta paralela al vector V=uxA+uyB+uzC y que pasa por el punto P0. Es una de las formas usadas en geometría analítica para expresar una línea recta. 2.17.ADICION 2.17. ADICION DE VARIOS VECTORES Para la adición de varios vectores, sean estos V , V 2 , V 3 , …, …, no hay más que extender el procedimiento anterior de la figura 3.18, de modo que, conocidas los vectores en sus componentes rectangulares, se procede a sumar los módulos correspondientes: 





1


18 Física I

(

) (

) (

)

V = V 1 x iˆ + V 1 y jˆ + V 1 z k ˆ + V 2 x iˆ + V 2 y jˆ + V 2 z k ˆ + V 3 x iˆ + V 3 y jˆ + V 3 z k ˆ + ... 

(

)

V = (V 1 x + V 2 x + V 3 x + ...)iˆ + V 1 y + V 2 y + V 3 y + ... jˆ + (V 1 z + V 2 z + V 3 z + ...)k ˆ ............................. (I.7) 

De modo que: V x = (V 1 x + V 2 x + V 3 x + ...) =

(

V y = V 1 y + V 2 y + V 3 y

∑ V cosα + ...) = ∑ V senα .................................................................................. (I.8) i

ix

i

i

iy

i

Donde α i es el águlo que hace con el semieje positivo X . EJEMPLO 2.17. Obtener la suma de los vectores A(-5, 2, ‡‡‡ 3) y D(2, 3, -1) con modulo resultante. ‡‡‡ Hacemos la grafica primero, dándole valores a los puntos con i, j, k por ejemplo…A = -5i + 2j + 3k B = 2i + 3j -1k Hacemos la grafica…

Ya teniendo la grafica con puntos vectoriales y su rectángulo sigue sacar el modulo del vector resultante. La formula es: Vector Resultante = √(-3)2 + ( 5)2 + (2)2 Vector Resultante = √9 + 25 + 4 Vector Resultante = √38 Vector Resultante = 6.16

Teniendo los puntos A, B se crea un rectángulo paralelo a los puntos, se toman los puntos A y B y se realiza una suma. (-5i + 2j + 3k) + (2i + 3j -1k) = -3i + 5j + 2k El punto del rectángulo a trazar es C (-3i + 5j + 2k). La grafica queda queda así

‡‡‡

http://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/


[email protected]


EJEMPLO 2.18. (P.23)(Sears-Zemansky)

2.18.PRODUCTO 2.18. PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores A y B se denota con A ⋅ B . Por esta notación, el producto escalar se denomina también producto punto. Para definir en producto escalar A ⋅ B dibujamos A y B , nos valemos de las graficas, representando a los vectores unidos por su origen: Definimos A ⋅ B como la magnitud de A multiplicada por la componente de B paralela a A , expresado de la siguiente manera: 

































A ⋅ B = A ⋅ B cosθ = A ⋅ B cosθ ............................................................................................ (I.9)

donde θ , el ángulo entre éstos vectores, está entre 0º y 180º. También funciona a la inversa (conmutativa), es decir, como la magnitud de B multiplicada por la componente de A paralela a B . 





El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo (si está entre 0º y 90º, menos 90º), negativo (si está entre 90º y 180), o cero (El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero). Obviamente A · A = A2 , ya que el ángulo en este caso es cero. (alonso finn). Usaremos el producto escalar para definir el trabajo realizado por una fuerza, (el cual es una cantidad escalar). Podemos calcular el producto escalar de forma directa, conociendo las componentes rectangulares de cada vector, para lo cual es importante saber que: ˆ • k ˆ = (1)(1) cos 0º = 1 y que, ˆ = iˆ • k ˆ = (1)(1) cos 90º = 0 ....... (I.10) iˆ • jˆ = jˆ • k iˆ • iˆ = jˆ • jˆ = k De modo que: 



(

) ( B iˆ

ˆ A • B = A x iˆ + A y jˆ + A z k

•

x

+

)

ˆ B y jˆ + B z k

( ) + ( A jˆ. B iˆ + A jˆ. B jˆ + A jˆ. B k ˆ ) y por las relaciones de las ecuaciones (I.9): + ( A k ˆ. B iˆ + A k ˆ. B jˆ + A k ˆ. B k ˆ ) = A x iˆ. B x iˆ + A x iˆ. B y jˆ + A x iˆ. B z k ˆ y

x

y

y

y

z

z

x

z

y

z

z

A • B = A x . B x

+

A y . B y

+

A z .B z ................................................................................................. (I.11)

Por lo tanto el producto escalar de dos vectores, es la suma de los productos de sus respectivas componentes. Este producto permite calcular directamente el ángulo θ entre dos vectores cuyas componentes conocemos, empleando las ecuaciones (I.11) y (I.9).

Propiedades Propiedades del producto escalar escalar Conmutativa Asociativa Distributiva El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo. Separatas para el curso De Física

20 Física I

EJEMPLO 2.19. (P.26)(Sears-Zemansky)

EJEMPLO 2.20. (P.27)(Sears-Zemansky (P.27)(Sears-Zemansky)) CALCULO CAL CULO DE ÁNGULOS CON EL PRODUCTO PRODUCTO ESCALA ESCALAR R

2.19.PRODUCTO 2.19. PRODUCTO VECTORIAL


[email protected]

Análisis Vectorial 21 





El producto vectorial de dos vectores A y B , también llamado producto cruz se denota con A × B . (Usaremos (Usaremos este producto para describir describir el par o torque y la cantidad cantidad de de movimiento movimiento angular, campos magnéticos). Definimos el producto vectorial de dos vectores como un vector perpendicular al plano formado por A y B , con una magnitud igual a A ⋅ Bsenθ . Es decir si A × B = C ,entonces: C = A × B = ABsenθ , ..................................................................... (I.12) que es la magnitud del producto vectorial. Y θ es un vector entre 0 y 180º(0 ≤θ≤180º), de modo que el módulo siempre es positivo como toda magnitud de vector. Si los vectores son paralelos (o antiparalelos) el producto vectorial será cero (θ=0 ó θ=180º). Obviamente el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero. Puesto que el producto vectorial A × B = C es un vector perpendicular, es decir un vector en el espacio necesitamos encontrar su dirección (y sentido) §§§ Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado. Pare determinar la dirección del producto vectorial A × B imagine que gira el vector A hasta alinearlo con B , enroscando los dedos de su mano derecha con la perpendicular al plano en ese sentido, la dirección la dará el pulgar de su mano (figura). El producto vectorial no es conmutativo así: A × B = − B × A ,............................................................................ ...................................................................................................................................... ..........................................................I.13 ( ) Su dirección se puede determinar por la regla de la mano derecha, o la regla del tornillo. Nótese que la magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores, o es igual al doble del área del triángulo formado con su resultante (figura): 





































El valor de su magnitud es igual a A ⋅ Bsenθ ; pero Bsenθ = h que viene a ser la altura del paralelogramo de modo que C = A × B = ABsenθ = Ah = área del paralelogramo. 



 

B ,

Si conocemos las componentes de A y podemos calcular las componentes del producto vectorial similarmente al procedimiento usado para el producto escalar. Deducimos entones la tabla de multiplicación de los vectores unitarios. ˆ × k ˆ = (1)(1) sen0º = 0 ; el cero en negritas nos iˆ × iˆ = jˆ × jˆ = k recuerda que cada producto es un vector cero, es decir uno con todas sus componentes igual a cero y dirección indefinida. Usando las ecuaciones anteriores (I.12) y (I.13) y la regla de la mano derecha: iˆ × jˆ = − jˆ × iˆ = k ˆ jˆ × k ˆ = −k ˆ × jˆ = iˆ ................................................................................................................. (I.14) ˆ × iˆ = −iˆ × k ˆ = jˆ k

De modo que:

(

)(

)

ˆ × B iˆ + B jˆ + B k ˆ A × B = A x iˆ + A y jˆ + A z k x y z §§§

IMPORTANTE: una línea orientada define una dirección. Las líneas paralelas orientadas en el mismo sentido definen la misma dirección, pero si tienen orientaciones distintas definen direcciones opuestas (o antiparalelos). Sentido define por tanto una orientación arbitraria designada para distinguir una de otra, puede ser positiva o negativa; y no es tan importante al resolver un problema vectorial.


22 Física I

( ) + ( A jˆ × B iˆ + A jˆ × B jˆ + A jˆ × B k ˆ ) y por las relaciones de las ecuaciones (I.14): + ( A k ˆ × B iˆ + A k ˆ × B jˆ + A k ˆ × B k ˆ ) = A x iˆ × B x iˆ + A x iˆ × B y jˆ + A x iˆ × B z k ˆ

A × B

=

y

x

y

y

y

z

z

x

z

y

z

z

( A B y

z −

)

A z B y .iˆ + ( A z B x

−

(

A x B z ) jˆ + A x B y

−

)

ˆ ................................ (I.15) A y B x k

También puede determinarse utilizando matrices y determinantes. ˆ k

iˆ

jˆ

A × B = A x

A y

A z ; si no ha estudiado matrices mejor no utilice ésta forma.

B x

B y

B z

Nota: si decidiésemos escoger un sistema coordenado cuyos ejes tienen una representación distinta a las convencionales, entonces los valores de la tabla (I.10) cambiarían de signo. Cabe notar que el producto vectorial nos puede representar la orientación de una superficie (y su correspondiente valor) en el espacio.

EJEMPLO 2.21. P.50)(Alonso-Finn)


[email protected]


EJEMPLO 2.22. (P.30)(Sears-Zemansky) CÁLCULO DE UN PRODUCTO VECTORIAL


24 Física I

2.20.PRODUCTO 2.20. PRODUCTO MIXTO **** El producto mixto de los vectores, es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. El producto mixto se representa por : El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

EJEMPLO 2.23. Calcular el producto mixto de los vectores:

VOLUMEN DEL PARAL ELEPÍPEDO ELEPÍPEDO El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice. EJEMPLO 2.24. Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores

Volumen de un tetraedro El volumen de un tetraedro tetraedro es igual a 1/6 1/6 del producto mixto, en valor absoluto

EJEMPLO 2.25. Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7). ****

http://www.vitutor.com/analitica/vectores/producto_mixto.html


[email protected]


PROPIEDADES DEL PRODUCTO MIXTO El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen.

Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0 LINKS DE CONSULTA: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-054304/Distancia.html#1.1%20M%C3%B3dulo%20de%20un%20vector http://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:Vectores http:////ww http: www.m w.monog onografi rafias.com as.com/t/trabajos6 rabajos64/vector/vector2.shtml 4/vector/vector2.shtml


Modulo de Fisica i - Analisis Vectorial do

Recommend Documents