ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI
Siempre los primeros, dejando huella
ÁNGULOS ENTRE LAS MANECILLAS (HORARIO Y MINUTERO) Las posiciones de las manecillas de un reloj dependen una de la otra. 4*º
12
11 1*
1
12
4*º
2
º * 4
"ra#i$ue la posición de las a%ujas & el 'n%ulo recorrido por el !orario( cuando son las ):2*
6º
6º
º * 4
4
6
º * 1
8
)
)
1 división <> 1 minuto <> 6º 9n el minutero se cumple: /x/ divisiones <> /x/ minutos
Análisis del recorrido de ls !"#s M ; 9 M ; 9 H H 0d iv ? min 0%r ado s 0d iv ?m in 0% rad os 6*
46 * º
7
4*º
4*
18 * º
2( 7
17 º
17
5* º
7@
)( 7º
⋮
⋮
⋮
⋮
Minutero Minutero
+ara el an'lisis de los recorridos se inicia desde la !ora exacta( en este caso( empe,amos desde las ):**( se o-serva $ue desde esa !ora !asta la !ora indicada !an transcurrido 2* minutos( entonces el minutero !a !ec!o un recorrido de 2* minutos( mientras $ue el !orario !a-r' -arrido un 'n%ulo de 1*º. Minutero Horario
→
x min.
→
x div.
→
RELACI$N ENTRE EL RECORRI%O %EL MINUTERO Y EL HORARIO
M = 12 H M : ecorrido ecorrido del minutero en minutos minutos H : ecorrido ecorrido del !orario en minutos minutos
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2* º =1*º 2
2* min
una determinada !ora( las manecillas de un relo relojj #or #orma man n dos dos 'n%ul 'n%ulos os:: / α / & / θ / 0ver #i%ura convencionalmente el $ue se calcula es el men menor 'n%u 'n%ulo lo / α / ( pero si nos pidieran calcul calcular ar el otro otro 'n%ul 'n%ulo o / θ / ( -astar3a con recordar $ue: / α θ 4 6*º / .
Horari Horario o
x º 12 x div. 12 x div. 12
7
6
7
xº
2 * m i n 2 u t o s
5
4
8
1
1*
1
4*º
5
12
11
4*º
6º 6º 6º
11
E#e&'lo Il"srio*
11
12
1 2
1*
θ 5
α
β
46*º
4
α
8
)
6
7
+ara calcular el 'n%ulo $ue #orman las manecillas de un reloj a una determinada !ora o para calcular la !ora conociendo el 'n%ulo $ue #orman las manecillas( de-emos tomar como punto de partida la !ora exacta m's próxima( pero anterior a la !ora indicada como dato.
93
RAONAMIENTO MATEM!TICO
COM"ENDIO ACAD#MICO $
M,TO%O -RÁCTICO -ARA CALCULAR EL ÁNGULO ENTRE LAS MANECILLAS %EL RELO.
Crierio *
Gi la !ora es expresada en el #ormato de las 2 !oras( Csta de-e expresarse en notación de las 12 !oras 0su #orma tradicional. 9s decir( si son las 15:* !oras( por lo tanto: H = ) & M=* .
θ
I) CUAN%O EL MINUTERO SE ENCUENTRA ANTES /UE EL HORARIO α
11 m 2
4*H
Gi nos dicen $ue las manecillas del reloj se encuentran superpuestas( entonces el 'n%ulo entre las manecillas 0 α I ser' cero 0*º( podemos utili,ar cual$uiera de las dos #órmulas
Sol"ci0n* m=1*
eempla,ando: 11 α 4* 1* 2 9valuando:
2
α
4
8
R'1
67º
α
Gi nos indican $ue las manecillas est'n opuestas( entonces el valor de α I es 18*º. Gi nos piden !allar una determinada !ora por primera ve,( se considera $ue el minutero se encuentra antes $ue el !orario( utili,aremos:
1
1* 5
Crierio +* Crierio 4*
12
11
α
)
7
6
11 m 2
Gi nos piden !allar una determinada !ora por se%unda ve,( se considera $ue el !orario se encuentra antes $ue el minutero( utili,aremos:
Sol"ci0n*
11
Eatos:
1**º
12
1 2
1* 5
4
4*H
8
R'1
6
-ro6le& 2 ABuC !ora indica el relojD a 2:71
7
12
11
- 2:72 c 2:74
α
)
α
11 m 2
α
4*H
ABuC 'n%ulo #orman las a%ujas de un reloj a las :*D
H= m=* eempla,ando: 11 α * 4* 2 9valuando:
11 m 2
4*H
Crierio 5*
II) CUAN%O EL HORARIO SE ENCUENTRA ANTES /UE EL MINUTERO α
4* )
Crierio 3*
ABuC 'n%ulo #orman el !orario & el minutero a las :1*D Eatos: H=
θ
11 * 2 1*º
2
1*
2 α
α
5
e 2:7J 4*JJ
8
4*º
θ θ
9+
4* *
12
11
CRITERIOS A TOMAR EN CUENTA
11 2* 2 11*º
7
6
Sol"ci0n*
sean las 12:2*( el valor de H asumir' el valor de cero. 0 H = * & M=2*
4
d 2:7 )
Crierio 2* Fuanndo
1
Hacemos( un analisis
1*
!aciendo unos tra,os
5
auxiliares e indicando al%unos an%ulos.
1 2 2 α
α
8
x º 2
4
)
6
7
/ x / mi n < > ( 6 x ) º
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-ro6le& 3
Eel %r'#ico:
α
4*º
x º 2
... 0
4*º
46*º
06xº 2α
ABuC !ora indica el %r'#icoD a 4:48 - 4:46
K 0
Ee 0 & 0
c 4:4)
x 6x + 2 4* − = 44* 2
d 4:45
R'1
2:7
8
11
4*º
12
1
4*º
2
1* 4*º
5
4
8
α
2
α
)
6
4*º −α
18*º
2
x 2
6 : 27
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7
i n m / / x
6
x
6 (
> <
x º 2
2 α=xº
K0
6x º 18*º
K 0
dems( del %r'#ico:
2α
6 x ) º
1*
Ee 0 & 0 ( reempla,ando & resolviendo:
7
xº 1*
6x º 18*º
xº +15*º = 6xº 15* = 7x ⇒ x=48 Lue%o la !ora ser':
4:48
R'1
-ro6le& +
46*º
ABuC 'n%ulo #ormar'n las manecillas de un reloj a las :4D a 7*º - 6)º c 7º d 7º e 4º
Sol"ci0n* Eatos:
La !ora pedida es:
x º 2 º )
(
K0
18*
º * 1 + α 2
Eel es$uema:
18*º
esolviendo: )x
4
α
)
eempla,ando 0 & 0
6x
2
8
K0
4*º α 17*º
1
5
4*º
Ge ve $ue:
12
1*
/ x / m in < >
4*º
2α
7
6
11
α
en el %r'#ico
6x
"ra#icando & adicionandos datos:
nali,ando
4α
º * 1 + α 2
Sol"ci0n*
Sol"ci0n*
6x
4
α
)
-servando el %r'#ico determinar $uC !ora es: 7 a 6 : 27 ) 12 11 ) 1 - 6 : 27 7 2 1* 12 c 6 : 27 7 5 4 2 d 6 : 27 α α 8 ) 4 e 6 : 27 ) 7 6
x 2
2
5
e 4: 4)J 4*JJ
-ro6le&
α
1
1*
7x = 2)* ⇒ x=7 La !ora ser':
12
11
x= 7 )
18* )
R'1
x=27
7 )
m H
4º
9l minutero adelanta al !orario( aplicaremos: α
11 m 2
4*H
94
RAONAMIENTO MATEM!TICO
-ro6le& 7
eempla,ando: 11 4 2
α
4*
α
18) 12*
α
6)º
R'1
-ro6le& 4 A $uC !ora entre las 4 pm & las pm( las manecillas de un reloj #orman un 'n%ulo de 8*º por primera ve,D 5 a 4 ! 1 - 4 ! 6 min min 11 11 7 4 min min c 4 ! 7 d 4 ! ) 11 11 8 min e 4 ! 2 11
Sol"ci0n* Eatos:
α H
COM"ENDIO ACAD#MICO $
8*º 4
Sol"ci0n* Gi se superponen entonces el 'n%ulo α *º podemos utili,ar cual$uiera de las dos #órmulas. α
11 m =5* 2
4* 4
8*
La !ora ser':
4! 1
ó α
4*H
11 m 2
*º 1
11 m 2
11 m 2 m=1
α H
*º=
eempla,ando:
8*º
4*H
eempla,ando:
11 m 2
4*H
11 m 2
&
+ara emplear la #órmula se de-e tener en cuenta $ue la !ora de-e estar expresada en su #orma tradicional( entonces en ve, de decir entre las 14:** & las 1:** !oras diremos entre la 1:** pm & las 2:** pm Eatos:
+or el criterio *7
α
A $uC !ora entre las 14 & las 1 !oras( las manecillas de un reloj se superponenD 4 7 a 14 ! ) - 14 ! 6 min min 11 11 7 ) c 14 ! 7 d 14 ! 4 min min 11 11 2 e 14 ! 8 min 11
5 11
5 min 11
11 m 2 4*
4* 1
m=7
Lue%o( la !ora pedida: 14 ! 7
7 11
7 min 11
R'1
R'1
-ro6le& 5 ABuC an%ulo #ormar'n las manecillas de un reloj cuando sean 7 minutos antes $ue la 1:2* pmD a 6*º - 46º c 7º d 7*º e 44º
TIEM-O TRANSCURRI%O Y TIEM-O /UE 8ALTA TRANSCURRIR +ara este tipo de pro-lemas se emplean de manera pr'ctica( los si%uientes es$uemas: 1 d3a < > 2 !
Sol"cion* 7 minutos antes $ue la 1:** p.m. ser' 12:*6( por el criterio *1( el valor de H=* Eatos:
m H
iempo transcurrido
6 *
9l !orario se encuentra antes $ue el minutero( aplicaremos: α eempla,ando: 11 6 4* * α 2
95
11 m 2
4*H
α
44º
Hora exacta
iempo $ue #alta transcurrir
Hora 0 1
Hora 0 2
iempo transcurrido
Hora exacta
iempo $ue #alta transcurrir
R'1 www.antorai.com.pe
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-ro6le& 2
-ro6le& 3
9l tiempo $ue #alta para las 11 a.m. dentro de 1* minutos es excedido en 6 minutos por los 4@7 del tiempo transcurrido del d3a. ABuC !ora esD a 1*:*7 a.m. - 6:7* a.m. c 5:77 a.m. d 5:7* a.m. e 1*:17 a.m.
Sol"ci0n* 9sto es 6 menos 4 $ue los (7x ) 7
$u3 est' la !ora exacta
n alumno le dice a su ami%a: cuando la suma de las ci#ras de las !oras transcurridas sea i%ual a las !oras por transcurrir te espero donde &a tN sa-esI. A $uC !ora es la citaD a 12 a.m. - 1* p.m. c ) a.m. d 5 p.m. e 11 p.m.
Sol"ci0n* $u3 est' la !ora pedida
*:** Eentro de 1* min
*:**
7x
11:** a.m.
1*
4x − 6
H o r a s r a n s c u r ri d a s
1 d3a < > 2 !oras
a- a - 2 Eescomponiendo & resolviendo: 1*a + - + a + - = 2 11a + 2- = 2 ⇒
1 1 ! o ra s < > 1 1×6 * m i n. < > 6 6 * m i n.
Eel %r'#ico( tememos:
4x
6
H o r a s p o r t r a n s c u r r ir
Eel es$uema:
Eespejando: x
Lo $ue #altar' para las 11( pero dentro de 1* min.
1*
a+-
a-
iempo transcurrido
7x
2:**
66* a=
Eespejando:
82 min
2 (12 − -) 11
anteando adecuadamente( concluiremos $ue:
Ge +ide: 7x
7 82
Hora pedida:
1* min
6 : 7* a.m.
6 H 7* min
-=1
&
a=2
R'1 Lue%o ser'n las 21 !oras( es decir las 5:** p.m.
-ro6le& Gon m's de las 2 sin ser las 4 de esta madru%ada( pero dentro de * minutos #altar'n para las a.m.( el mismo tiempo $ue transcurrió desde la 1 !asta !ace * minutos. ABuC !ora esD a 2:2* a.m. - 2:4* a.m. c 2:4* a.m. d :17 a.m. e 6:12 a.m.
Sol"ci0n $u3 est' la !ora exacta
Eentro de * min
Hace * min
*:**
x
* min
:* * a.m.
x
* min
-ro6le& + Eentro de ! se veri#icar' $ue el tiempo transcurrido del d3a ser' 8@4 de lo $ue #alta por transcurrir( m's 2 !oras. ABuC !ora ser' cuando transcurran a partir de estos momentos cierta cantidad de !oras numCricamente i%ual a la dCcima parte del 'n%ulo $ue #orman las a%ujas actualmente 0sexa%esimalesD a 5: ** p.m. - 2:** p.m. c 6:** p.m. d 8: ** pm e 1*:** p.m.
Sol"ci0n* Eel enunciado( podemos construir el si%uiente %r'#ico:
La !ora dentro de !oras
Lo $ue #alta para las :** a.m. pero dentro de * min.
iempo transcurrido desde la 1:** a.m. !asta !ace * min.
4 ! or a s < > 4 ( 6 * m in . ) < > 1 8 * m in .
x
*
*:**
2:**
8x + 2
Eel es$uema se o-tiene:
*
x
R'1
4x
18*
H o r a s r a n s c u r ri d a s
H o r a s p o r t r a n s c u rr i r
1 d3a < > 2 !oras
esolviendo:
x
7* min
Ge%Nn %r'#ico:
Lue%o la !ora pedida ser':
1:** a.m.7* min* min= 2:4* a.m.
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8x + 2 + 4x = 2
R'1
esolviendo:
x=2
97
RAONAMIENTO MATEM!TICO
COM"ENDIO ACAD#MICO $
Sol"ci0n* Lue%o( dentro de !oras ser'n las: 8 ( 2) + 2 = 18 !oras
tiempo transcurrido 42 !oras
+or lo tanto( la !ora exacta es las 1:** !oras o las 2:** p.m. & el 'n%ulo $ue #orman las manecillas ser': 11 * α 4* 2 α 6*º 2 6* =6H Ge%Nn el enunciado: 1*
R'1
Hora pedida: 2 : ** + 6 H= 8:** p.m.
-RO:LEMAS SO:RE A%ELANTOS Y ATRASOS* Gur%en como consecuencia del #uncionamiento de a$uellos relojes de#ectuosos 0malo%rados( los cuales re%istran adelantos o retrasos respecto a la !ora seOalada por un reloj de #uncionamiento normal. G L
Hora $ue marca un reloj $ue se atrasa.
1* : ** a.m.
6 : ** p.m.
Lunes
Martes
Ge o-serva $ue !an transcurrido 42 !oras( entonces en todo este tiempo se !a-r' atrasado 42 × 4 = 56 minutos( o 1 !ora & 46 minutos( por lo tanto( la !ora $ue estar' marcando el reloj ser': 6 p.m. − 1 H 46 min= :2 p.m.
O:S +uedes utili,ar la re%la de tres para tener el atraso total:
traso otal
E9L; L
Hora eal
Hora $ue marca un reloj $ue se adelanta
R'1
iempo ranscurrido
4 min
1H
x min
42 min
x = 4 min × 42=56 min Lue%o se tiene $ue: Hora marcada = Hora real − traso otal = 6:** pm − 56 min = : 2 p.m.
R'1
-ro6le&
+ara este tipo de pro-lemas de-emos tener en cuenta las si%uientes relaciones: Hora eal=Hora Marcada − delanto
Hora eal=Hora Marcadatraso
+ara $ue un reloj vuelva a marcar la !ora exacta sus manecillas de-en estar en la misma posición( esto ocurrir' cuando el !orario dC una vuelta completa( por ello tendr3an $ue transcurrir 12 !oras de adelanto o atraso 0)2* minutos.
-ro6le& 2 partir de las 1* a.m. de !o& lunes( un reloj empie,a a atrasarse por cada !ora( 4 minutos. ABuC !ora estar' marcando el d3a martes a las 6 pmD a 4:26 p.m. - :2 p.m. c 7:*6 p.m. d 4:76 p.m. e :21 p.m.
9
n reloj se adelanta 1 min por !ora( si empie,a correctamente a las 12 del mediod3a del d3a jueves 16 de setiem-re. AFu'ndo volver' el reloj a seOalar la !ora correctaD a 1* de octu-re - 16 de octu-re c 4* de setiem-re d de octu-re e 2* de octu-re
Sol"ci0n* iempo ranscurrido
delanto otal
1H
1 min
x
)2* min
x = )2* H < > 4* d3as Lue%o la #ec!a pedida ser': 16 de setiem-re4* d3as 16 de ctu-re R'1
O:S Gi uno !ace %irar en cual$uier sentido las manecillas !asta $ue el !orario complete una vuelta( retornando a la posición en $ue se encontra-a se ver' $ue dic!o reloj( continNa marcando la !ora correcta.
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NOTA*
-ro6le& 3 n reloj se adelanta ) minutos cada !ora & otro se atrasa 14 minutos cada !ora( am-os relojes se ponen a la !ora a las 12 del d3a AEespuCs de cu'nto tiempo el primero estar' alejado 4* minuos respecto al otroD a 2* min - )* min c 5* min d 17 min e 417 min
Sol"ci0n* 9l primer reloj se adelanta ) minutos en 1 !ora 9l se%undo reloj se atrasa 14 minutos en 1 !ora 9ntonces se puede concluir $ue en una !ora los dos se alejar'n: ) + 14 = 2* min
iempo ranscurrido
lejamiento otal
1H
2* min
x 4 x = Hora = 5* min 2
nl caso ser3a( $ue am-os relojes coincidan con la !ora marcada & otro es $ue mar$uen am-os la !ora correcta 0$ue en al%unos casos pueden coincidir
-ro6le& 4 Ge%Nn una le&enda !ace muc!o tiempo exist3a un pue-lo $ue el d3a lo divid3a en 8 !oras & cada !ora en 8* minutos. Gi ellos indica-an $ue eran las 7 !oras con 4* minutos( ABuC !ora sera realmente se%Nn un reloj actualD a :4* p.m. - :2* a.m. c 6:4* p.m. d 7:4* p.m. e :)J4*JJ p.m.
Sol"ci0n* 7 H 4* min <> 7 H
4* min
R'1
Lue%o:
ctual
-ro6le& + n reloj se atrasa 4 minutos cada 2 !oras & otro se adelanta 2 minutos cada !ora( si se malo%raron en el mismo instante. partir de este Nltimo momento( despuCs de cu'ntos d3as volver'n a marcar simult'neamente la !ora correcta. a 2* - 7 c 12* d 6* e 57
-ri&er relo#
iempo ranscurrido
traso otal
2H
4 min
1
)2* min
1 =
)2* ( 2) 4
nti% Qedad
2 H
8
x
4 8
+or re%la de tres
x=
125 8
⇒
x = 16
1 8
Lue%o ser'n las:
16H +
Sol"ci0n* Ee-emos encontrar un tiempo en $ue am-os se distorsionan 12 H o un mNltiplo de 12 H( pero primero !allemos por separado el tiempo en $ue se adelantan o se atrasan 12 H o )2* min.
4 4 H= H 8 8
1H = 16H ) P 4* PP 8
: )P 4*PP p.m.
R'1
N;MERO %E CAM-ANA%AS EN UN %ETERMINA%O TIEM-O nali,ando para un reloj $ue indica la !ora con i%ual nNmero de campanadas. /n/ campanadas
= 8* H ⇒ 1 = 2* d3as
1
2
4
7
n−1
n
Se!"ndo relo# iempo ranscurrido
traso otal
1 H
2 min
2
)2* min
2 =
)2* ( 1)
= 8* H ⇒ 1 = 17 d3as 2 Lue%o marcar' la !ora correcta cada 2* d3as & el otro cada 17 d3as por lo tanto para $ue am-os coincidan en marcar la !ora correcta( de-er' transcurrir un tiempo comNn $ue conten%a exactamente a 2* & 17( el cual ser': MFM ( 2*(17 ) = 6*
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R'1
/ n − 1 / ntervalo s o
o
; Fampanadas=; ntervalos1
-ro6le& 2 Ge tiene un reloj $ue indica la !ora con i%ual nNmero de campanadas. Gi para indicar $ue son las 6:** a.m. demoró 1* se%undos( Acu'nto se demorar' para indicar $ue son las 11:** a.m. del mismo d3aD a 2* s - 1* s c 27 s d 18 s e 12 s
99
RAONAMIENTO MATEM!TICO
COM"ENDIO ACAD#MICO $
Sol"ci0n*
-ro6le&
Fuando el reloj indica las 6:** a.m.( ella toca 6 campanadas( por lo tanto( !a& 7 intervalos & como se demora 1* se%undos en tocar( cada intervalo de tiempo entre campanada & campanada es de 2 se%undos( como se indica en la si%uiente #i%ura:
1
2
2s
4
2s
2s
7
2s
Sol"ci0n* Eatos: 1 = 12 F 1 = ) 2 = 46 F2 = D
/6/ campanadas 6:**
n reloj demora 12 se%undos en dar ) campanadas. AFu'ntas campanadas dar' en 46 se%undosD a 16 - 1) c 18 e 15 e 2*
6
2s
eempla,ando en la #órmula: 12 46 = ) −1 F2 −1 esolviendo: F 2 = 15 R'1
/7 / intervalos !ora( para indicar las 11:** a.m.( de-e tocar 11 campanadas( & por lo tanto !a& 1* intervalos de tiempo( ver %r'#ico: /11/ campanadas 1
2 2s
4 2s
2s
7 2s
6 2s
) 2s
8 2s
5 2s
1* 2s
11 2s
/1*/ intervalos
R como cada intervalo de tiempo es de 2 se%undos( en total se demor' en tocar 1*02=2* s.
R'1
2* s
21 AFu'l
es el menor 'n%ulo $ue #orman las manecillas de un reloj( a las: 12 ! 2* minD a 58º - 127º c 11*º d 146º e 2*º
1 Hallar el suplemento del complemento del 'n%ulo $ue #orman las manecillas a las :2* p.m. a 5*º - 1**º c 11*º d 8*º e 1)*º
31 9ntre las & las 7( a $uC !ora por primera ve, se #orma un 'n%ulo de 67º. a ! 1* min
METO%O A:RE=IA%O plicaremos:
S 1 S 2 S e
1 F1 − 1
=
2 F2 − 1
c ! 47 min
=t e e ! 25
:
iempo $ue se mantendr' para dar F 1
:
campanadas iempo $ue perdurar' para dar
:
campanadas 9l intervalo de tiempo entre campanada
F2
& campanada.
) min 11 7 min d ! 47 11 - ! 44
4 min 11
+1 ?Fu'ntos #orma un so-repasó a 2* min d 26 min
minutos despuCs de las 4 !oras se 'n%ulo de 74º( lue%o $ue el minutero al !orarioD - 22 min c 18 min e 16 min
41 He-er A'lic&os l >0r&"l en el 'ro6le& nerior1 Eatos: F 1 = 6 1 = 1* F 2 = 11 2 = D
eempla,ando en la #órmula:
2 1* = 6 − 1 11 − 1 esolviendo:
2 = 2* s
2<<
R'1
le dice a su enamorada:Ie espero en el lu%ar de siempre( cuando despuCs de las 8 p.m. las manecillas de mi reloj estCn en l3nea rectaI. A $uC !ora exactamente es la citaD 8 a 8 ! 1* min 72 s 11 - 5 ! 1* min 7* s c 8 ! 17 min 8 d 5 ! 1* min 72 s 11 6 s e 8 ! 1* min 7 11
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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI
Siempre los primeros, dejando huella
51 9l
examen semanal de la academia aimondi empie,a a las :17 p.m. & de-e terminar entre las 6 & las ) p.m.( cuando las manecillas del reloj de la academia #ormen un 'n%ulo de *º por se%unda ve,. AFu'nto tiempo dura el examenD a 2 ! - 2 ! 17 min c 2 ! 2* min d 2 ! 27 min e 2 ! 1* min
71 osita
se diri%e a su tra-ajo( cuando las manecillas de su reloj est'n superpuestas entre las 8 & las 5 a.m.( & lle%a a su tra-ajo entre las 2 & las 4 p.m. Aen cuanto tiempo osita lle%o a su tra-ajoD a 2 ! - 4 ! c ! d 6 ! e ) !
1 9ntre
las 1:** ! & las 17:** !. A $uC !ora las manecillas #ormar'n un 'n%ulo $ue sea i%ual a los 2@4 de su suplementoD a 1:2 - 1:7 c 1:24 d 17:7 e 17:2
91 ABuC !ora es en el %r'#ico adjuntoD 8 a 1* : 42 ! 11
1
2
1* α
- 1* : 47
5
) c 1* : 44 ! 11 d 1* : 42 e 1* : 41
12
11
4 α
8
5 ! 11
)
6
7
221
ABuC !ora marca el reloj mostradoD 5 a 5 : 24 ! 11 12 11 1 5 - 5 : 21 ! 2 1* 11
5 ! 11
n reloj se adelanta 4 minutos cada 5 minutos. Gi a!ora marca las 7 !oras 4* minutos & !ace 4 !oras & 2) minutos $ue se adelanta( la !ora correcta es: a :21 - :45 c 6:4* d :4* e 6:8
2+1
Giendo la 1:** p.m. empie,a a atrasarse un reloj minutos cada !ora. ABuC !ora indicar' cuando la !ora correcta sea las 8:** p.m. del d3a si%uiente@ a 7:21 - 6:42 c 6:4* d 7:76 e 6:8
241
Tulio le pre%untó a MarilN so-re la !ora & ella respondió: Ra pasaron las 11 & #alta poco para las 12. dem's dentro de 14 minutos #altar'n para las 14 !oras la misma cantidad de minutos $ue !a-3a pasado desde las 11 !asta !ace ) minutosI.Ge%un lo expresado por MarilN( $uC !ora es: a 11:21 - 11:42 c 11:7) d 11:7* e 11:76
271
l o-servar mi reloj veo $ue el minutero est' antes $ue el !orario #ormando xºI.Lue%o de 4* minutos o-servo nuevamente mi reloj & veo $ue el minutero est' delante del !orario #ormando xºI. Hallar el ma&or 'n%ulo $ue #orman en este instante. a 58(7º - 287(7º c 18*(7º d 82(7º e 2))(7º
d 5 : 27
231
AFu'nto mide el complemento del suplemento del 'n%ulo menor #ormado por las manecillas de un reloj a las 11 !oras con 17 minutosD a 2º 4*J - 22º 4*J c 24º *J d 22º 47J e 24º 7*J
8 ! 11
5 ! 11
n reloj se adelanta 2 minutos cada cuarto de !ora( si esto ocurre !ace 11 ! & dic!o reloj marca en este instante las 7 ! 2 min. AFu'l es la !ora correctaD a 6 ! 1* min - ! 1 min c 7 ! 1* min d ! 72 min e ! 2 min
251
2<1
c 5 : 22
21
α
5
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21
Ge pone en #uncionamiento un reloj $ue se adelanta 8 minutos cada !ora. AFada cu'ntas !oras marcar' la !ora exactaD a 6* - 5* c 12* d 2* e 17*
291 a 4
-
α
8
5 e 5 : 41 ! 11
AFada cu'nto tiempo las a%ujas de un reloj #orman entre si un 'n%ulo de 5*ºD 8 8 5 a 42 min - 4 c 7 min min 11 11 11 ) ) d 6 min e 42 min 11 11
)
6
7
c d e
ABuC !ora indica el reloj de la #i%uraD 2 2 ! 4 min 12 ) 11 1 2 ! 44 min 2 1* ) 4 α 5 4 2 ! 4 min ) 2α 7 8 2 ! 44 min ) ) 7 1 6 2 ! 42 min )
2<2
RAONAMIENTO MATEM!TICO
COM"ENDIO ACAD#MICO $
<1
ABuC !ora marca el reloj de acuerdo al %r'#icoD 4 min. a 4 ! ) 11 12 11 1 2 min. - 4 ! 8 2 11 1* c 4 ! 5
1 min 11
d 4 ! ) min
5
4 176º
8
)
e 4 ! 8 min
6
7
21
n reloj se atrasa 7 minutos cada !ora( si se sincroni,a exactamente a las cero !oras. ABuC !ora marcar' cuando realmente sean las 2:2* p.m.D 4 a 1:1* p.m. - 1 : 7 p.m. 11 c 1 : 8 : 2* p.m. d 1 : ) :16 p.m. e 1: 5 : 41 p.m.
1
n reloj se adelanta 2 minutos cada 4 !oras A $uC !ora empe,ó a adelantarse( si a las 11 ! 17 min de la noc!e marca las 11 ! 2) minD a 7:18 a.m. - 7:1) a.m. c 7:41 a.m. d 7:*) a.m. e 7:17 a.m.
31
n reloj $ue se atrasa 2 minutos en cada !ora( es sincroni,ado !o& al mediod3a. BuC tiempo como m3nimo de-er' transcurrir para $ue vuelva a marcar la !ora correcta. a 1* d3as - 17 d3as c 2* d3as d 7 d3as e 27 d3as
+1
n reloj se adelanta 1 min & 12 se%undos cada !ora( ajustando a las 6 de la tarde. ABuC !ora marcar' cuando o#icialmente sea las 5 de la maOana del d3a si%uienteD a 5 ! 1* min - 5 ! 18 min c 5 ! 17 min d 5 ! 2* min e 5 ! 22 min 17 se%undos en tocar 2 16 campanadas AFu'ntas campanadas tocar' en 2mI se%undosD a m - m1 c m2 d m4 e mU1
41
Gi un campanario tarda
Academia
Raimondi El sistema efectivo para tu ingreso a la Universidad
2<
21 ABuC
'n%ulo #orman las manecillas de un reloj a las 4:2 p.m.D a 42V - V c 76V d 2V e 7*V
1 nmediatamente despuCs de las 7:** p.m.( Aa $uC !ora las a%ujas de un reloj #orman un 'n%ulo de 4)V por se%unda ve,D a 7:4* p.m. - 7:4 p.m. c 7:2 p.m. d 7:42 p.m. e 7:48 p.m.
31 9ntre la 5 & las 1*( Aa $uC !ora las manecillas de un reloj #orman un 'n%ulo de 61V por primera ve,D a 5:42 - 5:1 c 5:48 d 5:46 e 5:4
+1 9ntre
las & las 7( Aa $uC !ora las a%ujas de un reloj se encuentran opuestasD 2 6 a ! 71 min - ! 7 min 11 11 ) ) c ! 7 min d ! 74 min 11 11 6 min e ! 74 11
41 9nri$ue
inicia un viaje cuando las manecillas de un reloj est'n superpuestas entre las 8 & las 5 a.m. & lle%a a su destino entre las 2 & 4 p.m. del mismo d3a cuando las manecillas del reloj #orma-an un 'n%ulo de 18*V. AFu'nto demoró 9nri$ue en su viajeD a 7 ! 2* min - 6 ! 4* min c 6! d 6 ! 2* min e 6 ! * min
51 9n un reloj el minutero se encuentra antes $ue el !orario #ormando un 'n%ulo $ue mide θ VI( lue%o de 2 minutos( el minutero se encuentra despuCs del !orario #ormando un 'n%ulo $ue mide tam-iCn θ VI. Halla el valor de θ I. a 8V - 7V c 6*V d 66V e )2V
71 Mat3as se despide de Ton's un domin%o a las ):4 p.m. Gi acuerdan volver a encontrarse despuCs de 7857 minutos( A$uC d3a & a $uC !ora ocurrir' dic!o encuentroD a jueves ):78 p.m. - jueves 5:5 p.m. c viernes 8:*8 p.m. d viernes 1*:12 p.m. e jueves ):77 p.m.
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1 n
-arco parte un d3a s'-ado a las 6:** a.m. & lle%a a su destino despuCs de 858) minutos( A$uC d3a & a $uC !ora lle%ar' a su destinoD a viernes( 11:) a.m. - viernes( 11:27 a.m. c viernes( 1*:22 a.m. d jueves( 11:7) p.m. e jueves( 1):) p.m.
91 Ee-ido
a un desper#ecto( un reloj se atrasa * se%undos en cada !ora $ue pasa. Gi se i%uala a las 6:** a.m.( ABuC !ora marcar' cuando en realidad sean las 5:** p.m. del mismo d3aD a 8:* p.m. - 8:7* p.m. c 5:1* p.m. d 5:2* p.m. e 5:4* p.m.
2<1
las 8:** a.m. se i%uala un reloj $ue se adelanta a ra,ón de 17 se%undos cada !ora. ABuC !ora marcar' este reloj cuando en realidad sean las :** p.m. del d3a si%uienteD a :*8:** p.m. - :1*:17 p.m. c :*5:4* p.m. d :*):7 p.m. e :*8:7 p.m.
221
n reloj tiene 4 minutos de atraso & se atrasa 4 minutos por cada 2 !oras transcurridas. Gi son las 8:**am de un lunes( Acu'ndo & a $uC !ora el reloj tendr' un atraso de 1 !oraD a martes( 1*:** p.m. - miCrcoles( 2:** a.m. c martes( 11:** p.m. d miCrcoles( *:** m. e miCrcoles( :** a.m.
21
Fierto reloj se i%uala el 1 de junio a las a.m. pero de-ido a una #alla el primer d3a se adelanta 1 minuto( el se%undo d3a 2 minutos( el tercer d3a 4 minutos & as3 de manera sucesiva. ABuC !ora marcar' este reloj a las :** a.m. del 1 de julio del mismo aOoD a 11:7 a.m. - 5:4* a.m. c 1:1* p.m. d 11:*7 a.m. e 1*:7* a.m.
231
n reloj se adelanta 2 minutos cada !ora. Gi es sincroni,ado en este momento( A$uC tiempo como m3nimo de-e transcurrir para $ue vuelva a marcar la !ora correctaD a 14 d3as - 5 d3as c 11 d3as d 17 d3as e 8 d3as
2+1
Eos relojes de#ectuosos marcan la !ora exacta a las 12:** & a partir de ese momento uno comien,a a adelantarse a ra,ón de 2 minutos cada !ora & el otro se atrasa a ra,ón de 4 minutos cada !ora( Alue%o de cu'nto tiempo volver'n a marcar simult'neamente la !ora correctaD a 17 d3as - 2* d3as c 4* d3as d 7 d3as e 6* d3as
241
Ge tiene un reloj $ue se adelanta 4 minutos cada dos !oras. ABuC !ora ser' en realidad cuando mar$ue las 11:17 a.m.( si se sa-e $ue !ace 4* !oras marcó por Nltima ve, la !ora correctaD a 1*:4* p.m. - 1*:7 p.m. c 1*:1* p.m. d 1*:7* p.m. e 11:*7 p.m.
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251
Fierto d3a & a cierta !ora de 155) se veri#icó $ue el do-le del nNmero de d3as transcurridos era i%ual a los d3as $ue #alta-an transcurrir. ABuC d3a & a $uC !ora ocurrió a$uelloD a 2 de ma&o( :** p.m. - 4* de a-ril( 1*:** p.m. c 1 de ma&o( :** a.m. d 15 de a-ril 6:** p.m. e 12 de ma&o( 1*:** a.m.
271
Gi $ueda del d3a( en !oras( la suma de las dos ci#ras $ue #orman el nNmero de las !oras transcurridas( A$uC !ora esD a 6 p.m. - ) p.m. c 8 p.m. d 5 p.m. e 7 p.m.
21
Ra pasaron las 4:** p.m.( pero todav3a no son las :** p.m. de esta tarde. Gi !u-iera pasado 27 minutos m's( #altar3an para las 7:** p.m. los mismos minutos $ue pasaron desde las 4:** p.m. !asta !ace 17 minutos( A$uC !ora esD a 4:7 p.m. - 4:77 p.m. c 4:4* p.m. d :*7 p.m. e :** p.m.
291
Gon m's de las ( pero aNn no son las 6 de la tarde. Gi el tiempo $ue !a-3a transcurrido desde las 1 !asta !ace 17 minutos( es i%ual a del tiempo 7 $ue #altar' transcurrir !asta las 6( pero dentro de 17 minutos. ABuC !ora es en este instanteD a :2* p.m. - :4* p.m. c 7:1* p.m. d 4:2* p.m. e 4:* p.m.
<1
9ntre las 6 & )( Aa $uC !ora las manecillas del reloj #orman un 'n%ulo de 8V por primera ve,D a 6:2 - 6:2* c 6:26 d 6:28 e 6:4*
21
Waltan para las 8:** a.m. la mitad de los minutos $ue pasaron desde las 6:** a.m. de esta maOana !asta la !ora actual. ABuC !ora indica el relojD a ):2 a.m. - 6:72 a.m. c ):*1 a.m. d ):2* a.m. e ):22 a.m.
1
ntes de $ue el minutero pase so-re el ! orario( Aa $uC !ora entre las 7 & las 6( las a%ujas de un reloj #orman un 'n%ulo rectoD 7 1* a 7 ! 11 - 7 ! 1* min min 11 11 5 2 c 7 ! 11 d 7 ! 11 min min 11 11 e 7 ! *5 min
31
9n el la-oratorio se determinó $ue al encender una vela( est' tarda-a en consumirse totalmente 126* se%undos. Gi se enciende la vela a las 8:7* a.m.( Aa $uC !ora se consumira totalmenteD a 5:21 a.m. - 5:12 a.m. c 5:11 a.m. d 5:16 a.m. e 5:41 a.m.
2<3
RAONAMIENTO MATEM!TICO
+1
COM"ENDIO ACAD#MICO $
9n el aOo 2*** 0-isiesto( 9liana se dio cuenta $ue las !oras transcurridas del aOo exced3an en 7** !oras a las !oras $ue #alta-an transcurrir. 9n $uC #ec!a & a $uC !ora 9liana !i,o dic!a o-servación. a 2 de junio( 8:** a.m. - 2 de ma&o( 4:** p.m. c 4 de julio( 11:** a.m. d 12 de julio( 1*:** a.m. e 7 de a%osto( 11:** p.m.
321
41
31
Xilma sale de su casa a las 5:7 a.m. se%Nn su reloj & lle%a a la o#icina a las 1*:7 a.m. se%Nn el reloj de la o#icina. Lue%o se entera $ue su reloj esta-a atrasado en 12 minutos & el de la o#icina ten3a un adelanto de 8 minutos en realidad( Acu'ntos minutos demoró Xilma en lle%ar a la o#icinaD a 4* - 7 c * d 7* e 6*
51
Marcos se despide de odri%o el lunes a las ):** p.m. & acuerdan $ue se volver'n a encontrar dentro de 417 minutos. ABuC d3a & a $uC !ora volver'n a reunirseD a miCrcoles( 6:77 a.m. - jueves( :77 a.m. c jueves( 6:77 a.m. d jueves( 6:77 p.m. e viernes( :77 a.m.
71
na evaluación tendr' una duración de 7** se%undos si dic!a evaluación comen,ar' a las 5:** a.m.( Aa $uC !ora terminar'D a 1*:** a.m. - 1*:2* a.m. c 1*:4* a.m. d 1*:4 a.m. e 1*:7* a.m.
1
Gi el do-le de las !oras transcurridas en un d3a es i%ual al cu'druple de las $ue #altan para terminar el d3a( A$uC !ora ser' dentro de !orasD a 8:** p.m. - 6:**pm c :** p.m. d ):2* p.m. e 5:** p.m.
91
9l lunes a las 1*:** a.m.( +at& o-servó $ue su reloj esta-a 2 minutos adelantado. 9l miCrcoles si%uiente a las :** a.m. advirtió $ue dic!o reloj esta-a atrasado 1 minuto( lue%o se deduce $ue el reloj de +at& !a-r' marcado la !ora exacta en al%Nn momento. A9n $uC d3a & a $uC !ora marcó la !ora exactaD a martes( 2 a.m. - miCrcoles( 6 a.m. c martes( 5 a.m. d lunes( 11 p.m. e martes( 6 a.m.
3<1
Hace !oras #alta-a para aca-ar el d3a( el triple del tiempo $ue #altar' para aca-ar el d3a dentro de 7 !oras. ABuC !ora esD a 2:4* p.m. - 2:47 p.m. c 2:* p.m. d 2:7 p.m. e 2:7* p.m.
2<+
AFu'l es la !ora $ue marca el si%uiente relojD
a 1*:47 - 1*:46
142º
c 1*:4) d 1*:48 e 1*:45 Ge sa-e $ue el reloj de TosC se atrasa 2 minutos cada !ora. Gi es i%ualado en este momento( Acu'nto tiempo de-e transcurrir como m3nimo para $ue vuelva a marcar la !ora correctaD a 14 d3as - 1 d3as c 17 d3as d 16 d3as e 18 d3as
331
Han transcurrido * d3as para $ue un reloj $ue se adelanta mar$ue de nuevo la !ora correcta( Acada cu'ntas !oras se adelanta 6 minutosD a 24 - 8 c 27 d 26 e 2)
3+1
AFu'l es la !ora $ue marca el si%uiente relojD
2 min 4 1 ) ! 24 min 14 1 ) ! 2 min 14 4 ) ! 24 min 14 2 ) ! 24 min 14
a ) ! 2 - c d e
α α
341
ABuC !ora marca el reloj mostrado en la #i%uraD 5 a 5 ! 21 min 11 - 5 ! 21
8 min 11 α
c 5 ! 22 min d 5 ! 24
5 min 11
e 5 ! 2
)5 min 5:2 )@11 11
α
351
l mirar mi reloj considerC e$uivocadamente el minutero por el !orario & viceversa( por lo $ue lle%ue 77 minutos antes a mi cita. Gi en la !ora correcta el !orario estuvo entre las 2 & las 4 & el minutero entre las 4 & las . AFu'l era la !ora #alsaD a 4:11:1) - 4:11:21(8 c 4:12:1 d 4:11:2)( e 4:12:21(7
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