ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI
Siempre los primeros, primeros, dejando huella
ÁNGULOS ENTRE LAS MANECILLAS !ORARIO " MINUTERO#
"ra#i$ue la posición de las a%ujas & el 'n%ulo recorrido por el !orario( cuando son las ):2*
Las posiciones de las manecillas de un reloj dependen una de la otra. 4* º
12 1
1*
6º 6º 6º
11 2
1 6º 6º
4 8
8
)
º * 4
d ivi si ón ón
< >
1
m in in u to to
< >
6º
9n el minutero se cumple: /x/ divisiones divisiones < > /x/ minutos
º
M;9 0d iv ? m in
M; 9 0%ra d o s
H 0d iv?m in
H 0 % ra d o s
6*
46*º
7
4*º
4*
18*º
2( 7
17º
17
5*º
7@
)( 7 º
M
M
M
una determin determinada ada !ora( las manecill manecillas as de un relo relojj #orm #orman an dos dos 'n%u 'n%ulo los: s: / α / & / θ / 0ver #i%ura convencionalmente el $ue se calcula es el menor 'n%ulo /α / ( pero si nos pidieran calcular el otro otro 'n%u 'n%ulo lo /θ / ( -astar -astar3a 3a con recorda recordarr $ue: $ue: /α θ 4 6 * º / . 11
Minutero nutero
Horario Horario
→
xº x min.
→
x div.
→
x º 12 ÷ x 12 ÷ div. x 12 ÷ div.
RELACI'N ENTRE EL RECORRIDO DEL MINUTERO " EL !ORARIO M = 12 H M : ecorri ecorrido do d el minutero en minutos minutos H : ecorri ecorrido do del !orario !orario en minutos
Ejemplo Ilus(ra(i)o*
///0an(orai0%om0pe
7
æ 2* ö ÷ = 1*º ç ç ÷ ç 2 ÷ è ø
2* min min
An$lisis del re%orrido de las a&ujas
M
6
+ara el an'lisis de los recorridos se inicia desde la !ora exacta exacta(( en este este caso( caso( empe,a empe,amos mos desde desde las ):**( se o-serva $ue desde esa !ora !asta la !ora indicada !an transcurrido 2* minutos( entonces el minutero !a !ec!o un recorr recorrido ido de 2* minuto minutos( s( mientr mientras as $ue el !orari !orario o !a-r' -arrido un 'n%ulo de 1*º. Minutero Hora rio
7
6 1
4 º * 1
4*º
5
2 * m i n 2 u t o s
5
12
4*º
º * 4
)
1
1*
4*º
11
12
11
12
1 2
1*
α β
4 6* 6* º
θ
5
4
α
8
)
6
7
+ara calcular el 'n%ulo $ue #orman las manecillas de un reloj a una determinada !ora o para calcular la !ora !ora conoci conociend endo o el 'n%ulo 'n%ulo $ue #orman #orman las mane maneci cill llas as(( de-e de-emo moss toma tomarr como como punt punto o de partida la !ora exacta m's próxima( pero anterior a la !ora indicada como dato.
M+TODO RÁCTICO RÁCTICO ARA CALCULAR EL ÁNGULO ENTRE LAS MANECILLAS DEL RELOI# CUANDO CUANDO EL MINUT MINUTERO ERO SE ENCUENTRA ENCUENTRA ANTES .UE EL !ORARIO 12
RA3ONAMIENTO MATEMÁTICO
α
11
4*H
2
COMENDIO ACAD+MICO 4
m
Cri(erio 7* Gi nos indican $ue las manecillas est'n
•
ABuC 'n%ulo #orman el !orario & el minutero a las :1*D
m= 1*
eempla,ando: 11 4* 1* α 2 9valuando: α
por primera ve,( se considera $ue el minutero se encuentra antes $ue el !orario( utili,aremos:
1
11
4*H
α
2
m
2
1*
Cri(erio 9* Gi nos piden !allar una determinada !ora
•
α
5
4
8
por se%unda ve,( se considera $ue el !orario se encuentra antes $ue el minutero( utili,aremos:
Rp(a0
67º
12
11
es 18*º.
Cri(erio 8* Gi nos piden !allar una determinada !ora
•
Solu%i5n* Eatos: H=
αI
opuestas( entonces el valor de
)
7
6
11 m 2
α
4* H
II# CUANDO EL !ORARIO SE ENCUENTRA ANTES .UE EL MINUTERO
α
11 2
m
4*H
ro:lema 4
ABuC 'n%ulo #orman las a%ujas de un reloj a las :*D
ABuC !ora indica el relojD a 2:71
Solu%i5n*
- 2:72
11
Eatos: H= m= * eempla,ando: 11 α * 4* 2 9valuando: α
1 * *º
Rp(a0
12
1
4 α
8
α
8
e 2:7J 4*JJ
6
7
7
6
Solu%i5n*
4*º
12
11
Hacemos( un analisis
CRITERIOS A TOMAR EN CUENTA
!aciendo unos tra,os
Cri(erio 4* Fuanndo sean las 12:2*( el valor de H asumir' el valor de cero. 0 H = * & M= 2* 11 θ 2* 4* * 2 θ 11*º
•
Cri(erio 6* Gi la !ora es expresada en el #ormato de las 2 !oras( Csta de-e expresarse en notación de las 12 !oras 0su #orma tradicional. 9s decir( si son las 15:* !oras( por lo tanto: H = ) & M= * . 11 * 4* ) θ 2 θ 1* º
•
Cri(erio 2* Gi nos dicen $ue las manecillas del reloj se encuentran superpuestas( entonces el 'n%ulo entre las manecillas 0 α I ser' cero 0*º( podemos utili,ar cual$uiera de las dos #órmulas
17
1 2
1*
2 α α
5
auxiliares e indicando •
4
)
)
2 α
5
d 2:7 5
1 2
1*
c 2:74
2
1*
12
11
8
x º 2
4
al%unos an%ulos. )
6
/x / m in < >
7
( 6x ) º
Eel %r'#ico:
α
4*º
06xº 2 α
x º 2
... 0
4*º
46*º
K 0
Ee 0 & 0 æ xö 6x + 2 ç 4* - ÷ ÷= 44* ç ç è ø 2÷
7x = 2)* Þ La !ora ser':
x= 7 2: 76
Rp(a0
ro:lema 6 ///0an(orai0%om0pe
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI
Siempre los primeros, dejando huella
-servando el %r'#ico determinar $uC !ora es: 7 a 6 : 27 ) 12 11 ) 1 - 6 : 27 7 2 1* 12 c 6 : 27 7 5 4 d 6 : 27 α α 8 ) 4 e 6 : 27 ) 7 6 2
Eel es$uema: α
11
2α
12
4* º
1
4*º
en el %r'#ico
2
1* 4*º
5
4 8
Ge ve $ue:
α
2
x 2 4α
4*º
2α
17*º
α
18*º
2
Ee 0 & 0 ( reempla,ando & resolviendo: xº 1*
6x º 18*º
xº + 15*º = 6xº 15*
=
7x Þ
Rp(a0
4: 48
ABuC 'n%ulo #ormar'n las manecillas de un reloj a las :4D a 7*º - 6)º c 7º d 7º e 4º
46*º
K0
Solu%i5n*
18*º
2
x= 4 8
Lue%o la !ora ser':
Eatos:
x
K 0
ro:lema 7
eempla,ando 0 & 0 6x
6x º 18*º
7
6
4*º −α
K0
1*
(
)
α
4*º
)
/ x / m in < > 6 x º
4*º
6x
K0
dems( del %r'#ico:
nali,ando
6x
2 α= xº
2
Solu%i5n*
α
x º
m H
4 º
9l minutero adelanta al !orario( aplicaremos:
esolviendo: )x
x=
18*
La !ora pedida es:
6 : 27
7
18 *
x= 27
)
Rp(a0
)
7
ABuC !ora indica el %r'#icoD
- 4:46
12 2
c 4:4) 5
2
)
6 12
Solu%i5n*
7
11 1 "ra#icando & adicionandos datos: 2 1* 5
4 x º 2÷
α º * 1
///0an(orai0%om0pe )
α
11 4 2
α α
18) 6)º
4*
12*
Rp(a0
A $uC !ora entre las 4 pm & las pm( las manecillas de un reloj #orman un 'n%ulo de 8*º por primera ve,D 5 min min a 4 ! 1 - 4 ! 6 11 11 7 4 min min c 4 ! 7 d 4 ! ) 11 11 8 min e 4 ! 2 11
º * 1
+ α
8
4*H
ro:lema 8 4
α 8
e 4: 4)J 4*JJ
m
1
1*
d 4:45
2
eempla,ando:
ro:lema 2
11
11
)
a 4:48
α
+ α
2
6
º ) x 6
(
> 7 < i n m / / x
Solu%i5n* 18
RA3ONAMIENTO MATEMÁTICO 8 *º 4
α
Eatos:
COMENDIO ACAD+MICO 4
H
α
Eatos:
+or el criterio *7
H
*º 1
eempla,ando: α
11
4*H
2
m
*º =
11 m 2
m
4*
11
eempla,ando: 8*º 11 m = 5* 2
8*
La !ora ser':
11
4* 4
2
2
1
m= 7
7 11
m
m = 1 4 !
4* 1
5 11
5 min 11
Lue%o( la !ora pedida:
14 ! 7
7 11
Rp(a0
min
Rp(a0 TIEMO TRANSCURRIDO " TIEMO .UE
ro:lema 9 ABuC an%ulo #ormar'n las manecillas de un reloj cuando sean 7 minutos antes $ue la 1:2* pmD a 6*º - 46º c 7º d 7*º e 44º
+ara este tipo de pro-lemas se emplean de manera pr'ctica( los si%uientes es$uemas: 1 d3a < > 2 !
Solu%ion* 7 minutos antes $ue la 1:** p.m. ser' 12:*6( por el criterio *1( el valor de H=* m H
Eatos:
6 *
9l !orario se encuentra antes $ue el minutero( aplicaremos: α
eempla,ando: α 11 6 4* * 2
11 2
m
iempo transcurrido
Hora 0 2
iempo transcurrido
4 4º
Hora exacta
ro:lema 4
A $uC !ora entre las 14 & las 1 !oras( las manecillas de un reloj se superponenD 4 7 min min a 14 ! ) - 14 ! 6 11 11 7 ) min min c 14 ! 7 d 14 ! 4 11 11 2 min e 14 ! 8 11
9l tiempo $ue #alta para las 11 a.m. dentro de 1* minutos es excedido en 6 minutos por los 4@7 del tiempo transcurrido del d3a. ABuC !ora esD a 1*:*7 a.m. - 6:7* a.m. c 5:77 a.m. d 5:7* a.m. e 1*:17 a.m.
Solu%i5n*
Gi se superponen entonces el 'n%ulo α utili,ar cual$uiera de las dos #órmulas. 11 2
m
4*H
ó
α
4*H
*º & podemos
Eentro d e 1* min
*:**
7x 11 2
m
9sto es 6 menos 4 $ue los ( 7x ) 7
$u3 est' la !ora exacta
Solu%i5n*
α
iempo $ue #alta transcurrir
Rp(a0
ro:lema ;
iempo $ue #alta transcurrir
Hora 0 1
4*H
α
Hora exacta
11:* * a.m.
1*
4x - 6
12 4
12 4
iempo transcurrido
Lo $ue #altar' para las 11( pero dentro de 1* min.
12 4 +ara emplear la #órmula se de-e tener en cuenta $ue la !ora de-e estar expresada en su #orma tradicional( entonces en ve, de decir entre las 14:** & las 1:** !oras diremos entre la 1:** pm & las 2:** pm
1 1 !o ra s < > 1 1´6 * min . < > 6 6* m in .
Eel %r'#ico( tememos: 7x Eespejando: x
1*
4x
6
66*
82 min
Ge +ide:
19
///0an(orai0%om0pe
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 7x
7 82
Hora pedida:
1* min
6 :7*
Siempre los primeros, dejando huella Lue%o ser'n las 21 !oras( es decir las
6 H 7* min
5 : * * p . m .
Rp(a0
a . m.
Rp(a0
ro:lema 7 ro:lema 6 Gon m's de las 2 sin ser las 4 de esta madru%ada( pero dentro de * minutos #altar'n para las a.m.( el mismo tiempo $ue transcurrió desde la 1 !asta !ace * minutos. ABuC !ora esD a 2:2* a.m. - 2:4* a.m. c 2:4* a.m. d :17 a.m. e 6:12 a.m.
Solu%i5n
Solu%i5n*
$u3 est' la !ora exacta
*:**
x
Eel enunciado( podemos construir el si%uiente %r'#ico:
Eentro de * min
Hace * min
* min
La !ora dentro de !oras
: * * a .m .
*:**
x
* m in
12 4
Horas ranscurridas
166666666666666662 66666666666666664
1 d 3a < > 2 6 ! o ra s
Eel es$uema se o-tiene:
x
Horas por transcurrir
12 4
4 !o ra s < > 4 ( 6 * m in .) < > 1 8* min .
*
4x
16666662 666666416666662 6666664
Lo $ue #alta para las :** a.m. pero dentro de * min.
x
2:**
8x + 2
12 4
iempo transcurrido desde la 1:** a.m. !asta !ace * min.
esolviendo:
Eentro de ! se veri#icar' $ue el tiempo transcurrido del d3a ser' 8@4 de lo $ue #alta por transcurrir( m's 2 !oras. ABuC !ora ser' cuando transcurran a partir de estos momentos cierta cantidad de !oras numCricamente i%ual a la dCcima parte del 'n%ulo $ue #orman las a%ujas actualmente 0sexa%esimalesD a 5: ** p.m. - 2:** p.m. c 6:** p.m. d 8: ** pm e 1*:** p.m.
Ge%Nn %r'#ico: *
x
8 x + 2 + 4x
18*
7* min
esolviendo:
x
=
=
2
2
Lue%o la !ora pedida ser': 1:** a.m. 7* min * min=
Rp(a0
2 : 4 * a . m .
ro:lema 2 n alumno le dice a su ami%a: cuando la suma de las ci#ras de las !oras transcurridas sea i%ual a las !oras por transcurrir te espero donde &a tN sa-esI. A $uC !ora es la citaD a 12 a.m. - 1* p.m. c ) a.m. d 5 p.m. e 11 p.m.
Lue%o( dentro de !oras ser'n las: 8 ( 2 ) + 2 = 18 !oras +or lo tanto( la !ora exacta es las 1:** !oras o las 2:** p.m. & el 'n%ulo $ue #orman las manecillas ser': 11 4* 2 * α 6 *º α 2 6* = 6 H Ge%Nn el enunciado: 1* Rp(a0 Hora pedida: 2 : * * + 6 H= 8 : * * p . m .
Solu%i5n* $u3 est' la !ora pedida
*:**
2:**
a
a-
+
-
16666662 666666416666662 6666664 Horas ranscurridas
RO=LEMAS SO=RE ADELANTOS " ATRASOS*
Horas por transcurrir
12 4 1 d 3a < > 2 ! o ra s
Gur%en como consecuencia del #uncionamiento de a$uellos relojes de#ectuosos 0malo%rados( los cuales re%istran adelantos o retrasos respecto a la !ora seOalada por un reloj de #uncionamiento normal.
Eel es$uema: a- a - 2 Eescomponiendo & resolviendo: Þ 1*a + - + a + - = 2 Eespejando:
a
=
G L
11a
+
2-
=
E9L; L
2
2 ( 12 - - ) 11
anteando adecuadamente( concluiremos $ue: - =1
///0an(orai0%om0pe
&
a
=
2
Hora $ue marca un reloj $ue se atrasa.
Hora eal
Hora $ue marca un reloj $ue se adelanta
1;
RA3ONAMIENTO MATEMÁTICO
COMENDIO ACAD+MICO 4 a 1* de octu-re c 4* de setiem-re e 2* de octu-re
+ara este tipo de pro-lemas de-emos tener en cuenta las si%uientes relaciones: H o ra
H o r a
e al=
H o ra
e a l =
H o ra
M a r ca d a
-
=iempo =ranscurrido
delanto =otal
1H
1 min
x
)2* min
.t ra s o
+ara $ue un reloj vuelva a marcar la !ora exacta sus manecillas de-en estar en la misma posición( esto ocurrir' cuando el !orario dC una vuelta completa( por ello tendr3an $ue transcurrir 12 !oras de adelanto o atraso 0)2* minutos.
ro:lema 4 partir de las 1* a.m. de !o& lunes( un reloj empie,a a atrasarse por cada !ora( 4 minutos. ABuC !ora estar' marcando el d3a martes a las 6 pmD a 4:26 p.m. - :2 p.m. c 7:*6 p.m. d 4:76 p.m. e :21 p.m.
Solu%i5n* tiempo transcurrido 42 ! oras
1 * : * * a .m .
6 : * * p .m .
Lunes
Martes
Ge o-serva $ue !an transcurrido 42 !oras( entonces en todo este tiempo se !a-r' atrasado 42 ´4 = 56 minutos( o 1 !ora & 46 minutos( por lo tanto( la !ora $ue estar' marcando el reloj ser': 6 p.m . - 1 H 46 min =
Solu%i5n*
.d e la n t o
Ma r ca d a
- 16 de octu-re d de octu-re
6 : 2 6 p . m .
x = )2* H < > 4* d3as Lue%o la #ec!a pedida ser': 16 de setiem-re 4* d3as 1 6
d e
Rp(a0
>ctu-re
O=S Gi uno !ace %irar en cual$uier sentido las manecillas !asta $ue el !orario complete una vuelta( retornando a la posición en $ue se encontra-a se ver' $ue dic!o reloj( continNa marcando la !ora correcta.
ro:lema 2 n reloj se adelanta ) minutos cada !ora & otro se atrasa 14 minutos cada !ora( am-os relojes se ponen a la !ora a las 12 del d3a AEespuCs de cu'nto tiempo el primero estar' alejado 4* minuos respecto al otroD a 2* min - )* min c 5* min d 17 min e 417 min
Solu%i5n* 9l primer reloj se adelanta ) minutos en 1 !ora 9l se%undo reloj se atrasa 14 minutos en 1 !ora 9ntonces se puede concluir $ue en una !ora los dos se alejar'n: ) + 14 = 2* min
=iempo =ranscurrido
lejamiento =otal
1H
2* min
x
Rp(a0
=
x 4 Hora 2
4* min =
5* min
Rp(a0
O=S
ro:lema 7
+uedes utili,ar la re%la de tres para tener el atraso total:
n reloj se atrasa 4 minutos cada 2 !oras & otro se adelanta 2 minutos cada !ora( si se malo%raron en el mismo instante. partir de este Nltimo momento( despuCs de cu'ntos d3as volver'n a marcar simult'neamente la !ora correcta. a 2* - 7 c 12* d 6* e 57
traso =otal
=iempo =ranscurrido
4 min
1H
x min
42 min
x = 4 min ´42= 56 min Lue%o se tiene $ue: Hora marcada = Hora real - traso otal = 6:** pm - 56 min =
6 : 26 p.m.
Rp(a0
Solu%i5n* Ee-emos encontrar un tiempo en $ue am-os se distorsionan 12 H o un mNltiplo de 12 H( pero primero !allemos por separado el tiempo en $ue se adelantan o se atrasan 12 H o )2* min.
rimer reloj ro:lema 6 n reloj se adelanta 1 min por !ora( si empie,a correctamente a las 12 del mediod3a del d3a jueves 16 de setiem-re. AFu'ndo volver' el reloj a seOalar la !ora correctaD
1>
=iempo =ranscurrido
traso =otal
2H
4 min
=1
) 2* m in
///0an(orai0%om0pe
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 1
=
)2* ( 2 ) 4
=
8* H Þ
1
Siempre los primeros, dejando huella
2* d3a s
=
Se&undo reloj
;
=iempo =ranscurrido
traso =otal
61 H
2 min
=2
) 2* m in
)2* ( 1 )
MFM( 2*(17 )
=
Rp(a0
6*
F am pa na da s= ;
NOTA* nl caso ser3a( $ue am-os relojes coincidan con la !ora marcada & otro es $ue mar$uen am-os la !ora correcta 0$ue en al%unos casos pueden coincidir
Solu%i5n* Fuando el reloj indica las 6:** a.m.( ella toca 6 campanadas( por lo tanto( !a& 7 intervalos & como se demora 1* se%undos en tocar( cada intervalo de tiempo entre campanada & campanada es de 2 se%undos( como se indica en la si%uiente #i %ura: /6/ campanadas
Ge%Nn una le&enda !ace muc!o tiempo exist3a un pue-lo $ue el d3a lo divid3a en 8 !oras & cada !ora en 8* minutos. Gi ellos indica-an $ue eran las 7 !oras con 4* minutos( ABuC !ora sera realmente se%Nn un reloj actualD a :4* p.m. - :2* a.m. c 6:4* p.m. d 7:4* p.m. e :)J4*JJ p.m.
Solu%i5n* 7 H 4* min < > 7 H
4 H 8
6:**
1
4 H 8
=
8
x
4 8
+or re%la de tres 12 5
Þ
8
x
=
4
2s
2 s
7
2s
6
2 s
/7 / intervalos !ora( para indicar las 11:** a.m.( de-e tocar 11 campanadas( & por lo tanto !a& 1* intervalos de tiempo( ver %r'#ico: /11/ campanadas
nti%Sedad
2 H
2
2 s
1
ctual
x=
:n te rva lo sM 1
Ge tiene un reloj $ue indica la !ora con i%ual nNmero de campanadas. Gi para indicar $ue son las 6:** a.m. demoró 1* se%undos( Acu'nto se demorar' para indicar $ue son las 11:** a.m. del mismo d3aD a 2* s - 1* s c 27 s d 18 s e 12 s
ro:lema 8
Lue%o:
o
ro:lema 4
= 8* H Þ 1 = 17 d3as 2 Lue%o marcar' la !ora correcta cada 2* d3as & el otro cada 17 d3as por lo tanto para $ue am-os coincidan en marcar la !ora correcta( de-er' transcurrir un tiempo comNn $ue conten%a exactamente a 2* & 17( el cual ser':
2 =
o
2 2 s
4 2s
2s
7 2 s
6 2 s
) 2s
8 2s
5 2 s
1* 2s
11 2s
/1* / intervalos
16
Q como cada intervalo de tiempo es de 2 se%undos( en total se demor' en tocar 1*02=2* s.
1
2* s
8
Rp(a0
Lue%o ser'n las: 16H +
1H 8
=
16H ) P 4* PP
6 : ) P 4 * PP p. m .
Rp(a0
METODO A=RE@IADO
N?MERO DE CAMANADAS EN UN DETERMINADO TIEMO nali,ando para un reloj $ue indica la !ora con i%ual nNmero de campanadas.
plicaremos:
R 1
:
R 2
:
R e
:
/n/ campanadas 1
2
4
///0an(orai0%om0pe
7
/ n − 1 / n te rva lo s
n−1
n
1 F1
−
=
1
2 F2
−
1
= te
iempo $ue se mantendr' para dar F 1 campanadas iempo $ue perdurar' para dar F 2 campanadas 9l intervalo de tiempo entre campanada & campanada.
11
RA3ONAMIENTO MATEMÁTICO
COMENDIO ACAD+MICO 4
Apli%amos la 5rmula en el pro:lema an(erior0 Eatos: F 1 = 6 1 = 1* F 2 = 11 2 = D
eempla,ando en la #órmula: 1* 6 −1
2
=
11 − 1
esolviendo: 2
=
Rp(a0
2* s
ro:lema 6 n reloj demora 12 se%undos en dar ) campanadas. AFu'ntas campanadas dar' en 46 se%undosD a 16 - 1) c 18 e 15 e 2*
Solu%i5n* Eatos: 1 = 12 F 1 = ) 2 = 46 F2 = D
eempla,ando en la #órmula: 12 46 = ) −1 F 2 −1 esolviendo: F2 = Rp(a0
a 8 ! 1* min 72
8
s 11 - 5 ! 1* min 7* s c 8 ! 1 7 min 8 s d 5 ! 1* min 72 11 6 s e 8 ! 1* min 7 11 90 9l examen semanal de la academia aimondi empie,a a las :17 p.m. & de-e terminar entre las 6 & las ) p.m.( cuando las manecillas del reloj de la academia #ormen un 'n%ulo de *º por se%unda ve,. AFu'nto tiempo dura el examenD a 2 ! - 2 ! 17 min c 2 ! 2* min d 2 ! 27 min e 2 ! 1* min
;0 osita se diri%e a su tra-ajo( cuando las manecillas de su reloj est'n superpuestas entre las 8 & las 5 a.m.( & lle%a a su tra-ajo entre las 2 & las 4 p.m. Aen cuanto tiempo osita lle%o a su tra-ajoD a 2 ! - 4 ! c ! d 6 ! e ) !
>0 9ntre las 1:** ! & las 17:** !. A $uC !ora las
15
manecillas #ormar'n un 'n%ulo $ue sea i%ual a los 2@4 de su suplementoD a 1:2 - 1:7 c 1:24 d 17:7 e 17:2
10 ABuC !ora es en el %r'#ico adjuntoD 40 AFu'l es el menor 'n%ulo $ue #orman las manecillas de un reloj( a las: 12 ! 2* minD a 58º - 127º d 146º e 2*º
c 11*º
8 ! a 1* : 42 11
$ue #orman las manecillas a las :2* p.m. a 5*º - 1**º c 11*º d 8*º e 1)*º
) ! c 1* : 44 11 d 1* : 42
20 9ntre las & las 7( a $uC !ora por primera ve, se e 1* : 41
#orma un 'n%ulo de 67º. a ! 1* min c ! 47 min e ! 25
- ! 44 d ! 47
) 11
min
7 min 11
4 min 11
70 BFu'ntos minutos despuCs de las 4 !oras se #orma un
1 2
1* α
- 1* : 47
60 Hallar el suplemento del complemento del 'n%ulo
12
11
5
11
4 α
8
)
!
11 8
5
7
6
!
40l o-servar mi reloj veo $ue el minutero est' antes $ue el !orario #ormando xºI.Lue%o de 4* minutos o-servo nuevamente mi reloj & veo $ue el minutero est' delante del !orario #ormando xºI. Hallar el ma&or 'n%ulo $ue #orman en este instante. a 58(7º - 287(7º c 18*(7º d 82(7º e 2))(7º
'n%ulo de 74º( lue%o $ue el minutero so-repasó al !orarioD a 2* min - 22 min c 18 min d 26 min e 16 min
440ABuC !ora marca el reloj mostradoD
80 He-er le dice a su enamorada:Ie espero en el lu%ar
- 5 : 21
5 ! 11
c 5 : 22
5 ! 11
de siempre( cuando despuCs de las 8 p.m. las manecillas de mi reloj estCn en l3nea rectaI. A $uC !ora exactamente es la citaD
4
a 5 : 24
5 11
! 11
12 1 2
1* α
5
4 α
///0an(orai0%om0pe
8 )
6
7
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI d 5 : 27 e 5 : 41
5 11
Siempre los primeros, dejando huella
!
e 2 ! 42
5 ! 11
460n reloj se adelanta 2 minutos cada cuarto de !ora( si esto ocurre !ace 11 ! & dic!o reloj marca en este instante las 7 ! 2 min. AFu'l es la !ora correctaD a 6 ! 1* min - ! 1 min c 7 ! 1* min d ! 72 min e ! 2 min
420n reloj se adelanta 4 minutos cada 5 minutos. Gi a!ora marca las 7 !oras 4* minutos & !ace 4 !oras & 2) minutos $ue se adelanta( la !ora correcta es: a :21 - :45 c 6:4* d :4* e 6:8
470Giendo la 1:** p.m. empie,a a atrasarse un reloj minutos cada !ora. ABuC !ora indicar' cuando la !ora correcta sea las 8:** p.m. del d3a si%uiente a 7:21 - 6:42 c 6:4* d 7:76 e 6:8
480Tulio le pre%untó a MarilN so-re la !ora & ella respondió: Qa pasaron las 11 & #alta poco para las 12. dem's dentro de 14 minutos #altar'n para las 14 !oras la misma cantidad de minutos $ue !a-3a pasado desde las 11 !asta !ace ) minutosI.Ge%un lo expresado por MarilN( $uC !ora es: a 11:21 - 11:42 c 11:7) d 11:7* e 11:76
490AFu'nto mide el complemento del suplemento del 'n%ulo menor #ormado por las manecillas de un reloj a las 11 !oras con 17 minutosD a 2º 4*J - 22º 4*J c 24º *J d 22º 47J e 24º 7*J
4;0AFada cu'nto tiempo las a%ujas de un reloj #orman entre si un 'n%ulo de 5*ºD 8 8 min min a 42 - 4 11 11 ) ) min min d 6 e 42 11 11
c 7
5 11
min
4>0Ge pone en #uncionamiento un reloj $ue se adelanta 8 minutos cada !ora. AFada cu'ntas !oras marcar' la !ora exactaD a 6* - 5* c 12* d 2* e 17*
410ABuC !ora indica el reloj de la #i%uraD a 2 ! 4 - 2 ! 44 c 2 ! 4
2 ) ) 4
min min
min ) 7 min d 2 ! 44 )
11
///0an(orai0%om0pe
1
c 4 ! 5
1 11
min
d 4 ! ) min
5
4 176º
8
e 4 ! 8 min
)
6
7
640n reloj se atrasa 7 minutos cada !ora( si se sincroni,a exactamente a las cero !oras. ABuC !ora marcar' cuando realmente sean las 2:2* p.m.D 4 p.m. a 1:1* p.m. - 1 : 7 11 c 1 : 8 : 2* p.m. d 1 : ) : 1 6 p.m . e 1 : 5 : 4 1 p .m .
660n reloj se adelanta 2 minutos cada 4 !oras A $uC !ora empe,ó a adelantarse( si a las 11 ! 17 min de la noc!e marca las 11 ! 2) minD a 7:18 a.m. - 7:1) a.m. c 7:41 a.m. d 7:*) a.m. e 7:17 a.m.
620n reloj $ue se atrasa 2 minutos en cada !ora( es sincroni,ado !o& al mediod3a. BuC tiempo como m3nimo de-er' transcurrir para $ue vuelva a marcar la !ora correcta. a 1* d3as - 17 d3as c 2* d3as d 7 d3as e 27 d3as
670n reloj se adelanta 1 min & 12 se%undos cada !ora( ajustando a las 6 de la tarde. ABuC !ora marcar' cuando o#icialmente sea las 5 de la maOana del d3a si%uienteD a 5 ! 1* min - 5 ! 18 min c 5 ! 17 min d 5 ! 2* min e 5 ! 22 min 17 se%undos en tocar 16 2 campanadas AFu'ntas campanadas tocar' en 2mI se%undosD a m - m1 c m2 d m4 e mU1
680Gi un campanario tarda
Academia
2 α
5
4
2α
)
min ) 60ABuC !ora marca el reloj de acuerdo al %r'#icoD 4 min . a 4 ! ) 11 12 11 1 2 min . - 4 ! 8 2 11 1*
12
1*
8
1
6
Raimondi El sistema efectivo para tu ingreso a la Universidad
7
44
RA3ONAMIENTO MATEMÁTICO
COMENDIO ACAD+MICO 4 e jueves( 1):) p.m.
10 Ee-ido a un desper#ecto( un reloj se atrasa *
40 ABuC 'n%ulo #orman las manecillas de un reloj a las 4:2 p.m.D a 42V d 2V
- V e 7*V
c 76V
60 nmediatamente despuCs de las 7:** p.m.( Aa $uC !ora las a%ujas de un reloj #orman un 'n%ulo de 4)V por se%unda ve,D a 7:4* p.m. - 7:4 p.m. c 7:2 p.m. d 7:42 p.m. e 7:48 p.m.
20 9ntre la 5 & las 1*( Aa $uC !ora las manecillas de un reloj #orman un 'n%ulo de 61V por primera ve,D a 5:42 - 5:1 c 5:48 d 5:46 e 5:4
70 9ntre las & las 7( Aa $uC !ora las a%ujas de un reloj se encuentran opuestasD 2 min a ! 71 11 ) min c ! 7 11 6 min e ! 74 11
- ! 7 d ! 74
6 11 ) 11
se%undos en cada !ora $ue pasa. Gi se i%uala a las 6:** a.m.( ABuC !ora marcar' cuando en realidad sean las 5:** p.m. del mismo d3aD a 8:* p.m. - 8:7* p.m. c 5:1* p.m. d 5:2* p.m. e 5:4* p.m.
40 las 8:** a.m. se i%uala un reloj $ue se adelanta a ra,ón de 17 se%undos cada !ora. ABuC !ora marcar' este reloj cuando en realidad sean las :** p.m. del d3a si%uienteD a :*8:** p.m. - :1*:17 p.m. c :*5:4* p.m. d :*):7 p.m. e :*8:7 p.m.
440n reloj tiene 4 minutos de atraso & se atrasa 4 minutos por cada 2 !oras transcurridas. Gi son las 8:**am de un lunes( Acu'ndo & a $uC !ora el reloj tendr' un atraso de 1 !oraD a martes( 1*:** p.m. - miCrcoles( 2:** a.m. c martes( 11:** p.m. d miCrcoles( *:** m. e miCrcoles( :** a.m.
460Fierto reloj se i%uala el 1 de junio a las a.m. pero min min
de-ido a una #alla el primer d3a se adelanta 1 minuto( el se%undo d3a 2 minutos( el tercer d3a 4 minutos & as3 de manera sucesiva. ABuC !ora marcar' este reloj a las :** a.m. del 1 de julio del mismo aOoD a 11:7 a.m. - 5:4* a.m. c 1:1* p.m. d 11:*7 a.m. e 1*:7* a.m.
420n reloj se adelanta 2 minutos cada !ora. Gi es 80 9nri$ue inicia un viaje cuando las manecillas de un reloj est'n superpuestas entre las 8 & las 5 a.m. & lle%a a su destino entre las 2 & 4 p.m. del mismo d3a cuando las manecillas del reloj #orma-an un 'n%ulo de 18*V. AFu'nto demoró 9nri$ue en su viajeD a 7 ! 2* min - 6 ! 4* min c 6! d 6 ! 2* min e 6 ! * min
90 9n un reloj el minutero se encuentra antes $ue el !orario #ormando un 'n%ulo $ue mide θ VI( lue%o de 2 minutos( el minutero se encuentra despuCs del !orario #ormando un 'n%ulo $ue mide tam-iCn θ VI. Halla el valor de θ I. a 8V - 7V c 6*V d 66V e )2V
;0 Mat3as se despide de Ton's un domin%o a las ):4 p.m. Gi acuerdan volver a encontrarse despuCs de 7857 minutos( A$uC d3a & a $uC !ora ocurrir' dic!o encuentroD a jueves ):78 p.m. - jueves 5:5 p.m. c viernes 8:*8 p.m. d viernes 1*:12 p.m. e jueves ):77 p.m.
>0 n -arco parte un d3a s'-ado a las 6:** a.m. & lle%a a su destino despuCs de 858) minutos( A$uC d3a & a $uC !ora lle%ar' a su destinoD a viernes( 11:) a.m. - viernes( 11:27 a.m. c viernes( 1*:22 a.m. d jueves( 11:7) p.m.
46
sincroni,ado en este momento( A$uC tiempo como m3nimo de-e transcurrir para $ue vuelva a marcar la !ora correctaD a 14 d3as - 5 d3as c 11 d3as d 17 d3as e 8 d3as
470Eos relojes de#ectuosos marcan la !ora exacta a las 12:** & a partir de ese momento uno comien,a a adelantarse a ra,ón de 2 minutos cada !ora & el otro se atrasa a ra,ón de 4 minutos cada !ora( Alue%o de cu'nto tiempo volver'n a marcar simult'neamente la !ora correctaD a 17 d3as - 2* d3as c 4* d3as d 7 d3as e 6* d3as
480Ge tiene un reloj $ue se adelanta 4 minutos cada dos !oras. ABuC !ora ser' en realidad cuando mar$ue las 11:17 a.m.( si se sa-e $ue !ace 4* !oras marcó por Nltima ve, la !ora correctaD a 1*:4* p.m. - 1*:7 p.m. c 1*:1* p.m. d 1*:7* p.m. e 11:*7 p.m. 490Fierto d3a & a cierta !ora de 155) se veri#icó $ue el do-le del nNmero de d3as transcurridos era i%ual a los d3as $ue #alta-an transcurrir. ABuC d3a & a $uC !ora ocurrió a$uelloD a 2 de ma&o( :** p.m. - 4* de a-ril( 1*:** p.m. c 1 de ma&o( :** a.m. d 15 de a-ril 6:** p.m. e 12 de ma&o( 1*:** a.m.
///0an(orai0%om0pe
ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 4;0Gi $ueda del d3a( en !oras( la suma de las dos ci#ras $ue #orman el nNmero de las !oras transcurridas( A$uC !ora esD a 6 p.m. - ) p.m. c 8 p.m. d 5 p.m. e 7 p.m.
4>0Qa pasaron las 4:** p.m.( pero todav3a no son las :** p.m. de esta tarde. Gi !u-iera pasado 27 minutos m's( #altar3an para las 7:** p.m. los mismos minutos $ue pasaron desde las 4:** p.m. !asta !ace 17 minutos( A$uC !ora esD a 4:7 p.m. - 4:77 p.m. c 4:4* p.m. d :*7 p.m. e :** p.m.
410Gon m's de las ( pero aNn no son las 6 de la tarde. Gi el tiempo $ue !a-3a transcurrido desde las !asta 1 !ace 17 minutos( es i%ual a del tiempo $ue #altar' 7 transcurrir !asta las 6( pero dentro de 17 minutos. ABuC !ora es en este instanteD a :2* p.m. - :4* p.m. c 7:1* p.m. d 4:2* p.m. e 4:* p.m.
609ntre las 6 & )( Aa $uC !ora las manecillas del reloj #orman un 'n%ulo de 8V por primera ve,D a 6:2 - 6:2* d 6:28 e 6:4*
c 6:26
640Waltan para las 8:** a.m. la mitad de los minutos $ue pasaron desde las 6:** a.m. de esta maOana !asta la !ora actual. ABuC !ora indica el relojD a ):2 a.m. - 6:72 a.m. c ):*1 a.m. d ):2* a.m. e ):22 a.m.
660ntes de $ue el minutero pase so-re el !orario( Aa $uC !ora entre las 7 & las 6( las a%ujas de un reloj #orman un 'n%ulo rectoD 7 1* min min a 7 ! 11 - 7 ! 1* 11 11 5 2 min min c 7 ! 11 d 7 ! 11 11 11 e 7 ! *5 min
6209n el la-oratorio se determinó $ue al encender una vela( est' tarda-a en consumirse totalmente 126* se%undos. Gi se enciende la vela a las 8:7* a.m.( Aa $uC !ora se consumira totalmenteD a 5:21 a.m. - 5:12 a.m. c 5:11 a.m. d 5:16 a.m. e 5:41 a.m. 6709n el aOo 2*** 0-isiesto( 9liana se dio cuenta $ue las !oras transcurridas del aOo exced3an en 7** !oras a las !oras $ue #alta-an transcurrir. 9n $uC #ec!a & a $uC !ora 9liana !i,o dic!a o-servación. a 2 de junio( 8:** a.m. - 2 de ma&o( 4:** p.m. c 4 de julio( 11:** a.m. d 12 de julio( 1*:** a.m. e 7 de a%osto( 11:** p.m.
680Xilma sale de su casa a las 5:7 a.m. se%Nn su reloj & lle%a a la o#icina a las 1*:7 a.m. se%Nn el reloj de la o#icina. Lue%o se entera $ue su reloj esta-a atrasado en
///0an(orai0%om0pe
Siempre los primeros, dejando huella 12 minutos & el de la o#icina ten3a un adelanto de 8 minutos en realidad( Acu'ntos minutos demoró Xilma en lle%ar a la o#icinaD a 4* - 7 c * d 7* e 6*
690Marcos se despide de odri%o el lunes a las ):** p.m. & acuerdan $ue se volver'n a encontrar dentro de 417 minutos. ABuC d3a & a $uC !ora volver'n a reunirseD a miCrcoles( 6:77 a.m. - jueves( :77 a.m. c jueves( 6:77 a.m. d jueves( 6:77 p.m. e viernes( :77 a.m.
6;0na evaluación tendr' una duración de 7** se%undos si dic!a evaluación comen,ar' a las 5:** a.m.( Aa $uC !ora terminar'D a 1*:** a.m. - 1*:2* a.m. c 1*:4* a.m. d 1*:4 a.m. e 1*:7* a.m.
6>0Gi el do-le de las !oras transcurridas en un d3a es i%ual al cu'druple de las $ue #altan para terminar el d3a( A$uC !ora ser' dentro de !orasD a 8:** p.m. - 6:**pm c :** p.m. d ):2* p.m. e 5:** p.m.
6109l lunes a las 1*:** a.m.( +at& o-servó $ue su reloj esta-a 2 minutos adelantado. 9l miCrcoles si%uiente a las :** a.m. advirtió $ue dic!o reloj esta-a atrasado 1 minuto( lue%o se deduce $ue el reloj de +at& !a-r' marcado la !ora exacta en al%Nn momento. A9n $uC d3a & a $uC !ora marcó la !ora exactaD a martes( 2 a.m. - miCrcoles( 6 a.m. c martes( 5 a.m. d lunes( 11 p.m. e martes( 6 a.m.
20Hace !oras #alta-a para aca-ar el d3a( el triple del tiempo $ue #altar' para aca-ar el d3a dentro de 7 !oras. ABuC !ora esD a 2:4* p.m. - 2:47 p.m. c 2:* p.m. d 2:7 p.m. e 2:7* p.m. 240AFu'l es la !ora $ue marca el si%uiente relojD a 1*:47 - 1*:46
142º
c 1*:4) d 1*:48 e 1*:45
260Ge sa-e $ue el reloj de TosC se atrasa 2 minutos cada !ora. Gi es i%ualado en este momento( Acu'nto tiempo de-e transcurrir como m3nimo para $ue vuelva a marcar la !ora correctaD a 14 d3as - 1 d3as c 17 d3as d 16 d3as e 18 d3as
42
RA3ONAMIENTO MATEMÁTICO 220Han transcurrido * d3as para $ue un reloj $ue se
COMENDIO ACAD+MICO 4
adelanta mar$ue de nuevo la !ora correcta( Acada cu'ntas !oras se adelanta 6 minutosD a 24 - 8 c 27 d 26 e 2)
270AFu'l es la !ora $ue marca el si%uiente relojD a ) ! 2 - ) ! c ) ! d ) ! e ) !
2
4 1 24 14 1 2 14 4 24 14 2 24 14
min min min
α
α
min min
280ABuC !ora marca el reloj mostrado en la #i%uraD a 5 ! 21 - 5 ! 21
5 11 8 11
min
min
c 5 ! 22 min d 5 ! 24
5 min 11
e 5 ! 2
)5 min 5:2 )@11 11
α
α
290l mirar mi reloj considerC e$uivocadamente el minutero por el !orario & viceversa( por lo $ue lle%ue 77 minutos antes a mi cita. Gi en la !ora correcta el !orario estuvo entre las 2 & las 4 & el minutero entre las 4 & las . AFu'l era la !ora #alsaD a 4:11:1) - 4:11:21(8 c 4:12:1 d 4:11:2)( e 4:12:21(7
47
///0an(orai0%om0pe
