BAB VIII STATISTIKA NON-PARAMETRIK
8.0 Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu : 1. Membeda Membedakan kan prosedu prosedurr uji paramet parametrik rik dan nonpa nonparam rametri etrik k 2. Menjela Menjelaskan skan macam-m macam-macam acam uji nonpar nonparame ametri trik k 3. Menj Menjel elas aska kan n asum asumsi si-a -asu sums msii yang yang haru haruss dipe dipenu nuhi hi dala dalam m bebe bebera rapa pa uji uji nonparametrik 4. Menyele Menyelesaik saikan an problem problem yang menggu menggunaka nakan n uji nonparam nonparametri etrik k 5. Menghit Menghitung ung korela korelasi si peringk peringkatr atrank ank !pear !pearman man
8.1 Statistia N!n"arametri N!n"arametri
!alah satu karakteristik prosedur-prosedur dalam metode statistika adalah kelayakan penggunaannya penggunaanny a untuk tujuan in"erensia #penyimpulan$ selalu bergantung pada asumsi-a asumsi-asum sumsi si tertent tertentu u yang kaku. kaku. %rosedu %rosedurr dalam dalam analisa analisa &arians' &arians' misalny misalnyaa : meng mengas asum umsi sika kan n bahw bahwaa samp sampel el haru haruss diam diambi bill dari dari popu popula lasi si-p -pop opul ulas asii yang yang berdistribusi normal nor mal dan mempunyai &arians yang y ang sama. (ika populasi yang dikaji tidak dapat memenuhi asumsi-asumsi asumsi-asumsi yang mendasari mendasari ujiuji parametrik'maka statistika nonparametrik dapat memenuhi kebutuhan tersebut dan tetap sah meski hanya berlandaskan pada asumsi-asumsi yang sangat umum. )ingkasnya' bila uji parametriknya dan nonparametrik dapat digunakan untuk data yang sama' kita seharusnya menghindari uji nonparametrik yang *cepat dan mudah+ ini dan mengerjakannya dengan teknik parametrik yamg lebih e"isien. ,kan tetapi' karena karena asumsi asumsi kenorma kenormalan lan seringka seringkali li tidak tidak dapat dapat dijamin dijamin berlakunya' berlakunya' dan juga karena kita tidak selalu mempunyai hasil pengukuran yang kuantitati" si"atnya' maka beruntunglah telah tela h disediakan sejumlah prosedur nonparametrik nonparame trik yang berman"aat.
Kelebi#an "r!se$ur n!n"arametri% n!n"arametr i%
1.
%rosedur %rosedur nonpar nonparame ametrik trik memerl memerlukan ukan asumsi asumsi dalam dalam jumlah jumlah yang yang minimum' minimum' sehingg sehinggaa kemungkinan untuk digunakan secara salah pun relati" kecil #ji-ujinya disertai
deng dengan an asum asumsi si-a -asu sums msii yang yang jauh jauh tida tidak k meng mengik ikat at diba diband ndin ingk gkan an deng dengan an uji uji parametrik padanannya$ padanann ya$ 2. %erhitu %erhitunganngan-perh perhitun itungann gannya ya dapat dapat dilakuk dilakukan an secara secara cepat cepat dan dan mudah mudah 3. onseponsep-kons konsep ep dan metodemetode-met metode ode prosedu prosedurr nonparamt nonparamterik erik mudah mudah dipahami dipahami bagi bagi peneliti yang dasar matematika dan statistikanya statistikan ya kurang 4. /apat /apat diter diterapk apkan an pada data data denga dengan n skala skala penguku pengukuran ran yang yang lemah lemah # /ata /atanya nya tidak tidak harus merupakan pengukuran kuantitati" tetapi dapat berupa respon yang kualitati"$
Kelema#an "r!se$ur n!n"aramtri% n!n"aramtri %
1. 2.
0idak mengg menggunak unakan an semua semua in"orm in"ormasi asi dari dari sampe sampell #kurang #kurang e"isi e"isien$ en$ 0idak setelit setelitii pengujian pengujian parame parametrik trik'' sehingga sehingga untuk untuk mencapai mencapai #peluang #peluang terjadi terjadinya nya kesalahan type kedua$ yang sama diperlukan sampel yang besar
8.&. 'ji Tan$a (Sam"el Tun))al*
ji tanda tanda merupaka merupakan n prosedu prosedurr nonparam nonparametri etrik k yang paling paling sederhan sederhanaa untuk untuk diterapkan' pada sembarang data yang bersi"at dikotomi yaitu data yang tidak dapat dicatat pada skala numerik tetapi yang hanya dapat dinyatakan melalui respons positi" dan negati". Misalnya : percobaan yang responsnya bersi"at kualitati" seperti *cacat+ atau *tidak *tidak cacat+' cacat+' atau atau dalam dalam percobaa percobaan n yang berhubungan berhubungan dengan indera indera perasa perasa yang responsnya berupa tanda plus bila penyicip rasanya dapat mengidenti"ikasi bumbu yang digunakan' atau minus bila tidak berhasil mengidenti"ikasi bumbu tersebut. ,sumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah: 1. !ampel !ampel yang diukur diukur adalah adalah sampel sampel acak acak dari suatu suatu populasi populasi dengan dengan median median yang belum diketahui 2. ariabel yang diukur diukur minimal minimal mempunyai mempunyai skala skala pengukuan pengukuan ordinal ordinal 3. arianel arianel yang yang diukur diukur adalah adalah &ariabel &ariabel kontin kontinyu yu
%rosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:
%engujian hipotesis: ~= μ ~ H 0 : μ 0 ~ ≠ μ ~ H 1 : μ 0 0entukan Level of Significance (α) 0entukan daerah kritis: 1. !atu !atu arah arah : %# %# ≤ x´ H 0 benar ¿ ≤ α ´ H 0 benar ¿ ≤ α 2. /ua /ua arah arah : 2 %# %# ≤ x
deng dengan an asum asumsi si-a -asu sums msii yang yang jauh jauh tida tidak k meng mengik ikat at diba diband ndin ingk gkan an deng dengan an uji uji parametrik padanannya$ padanann ya$ 2. %erhitu %erhitunganngan-perh perhitun itungann gannya ya dapat dapat dilakuk dilakukan an secara secara cepat cepat dan dan mudah mudah 3. onseponsep-kons konsep ep dan metodemetode-met metode ode prosedu prosedurr nonparamt nonparamterik erik mudah mudah dipahami dipahami bagi bagi peneliti yang dasar matematika dan statistikanya statistikan ya kurang 4. /apat /apat diter diterapk apkan an pada data data denga dengan n skala skala penguku pengukuran ran yang yang lemah lemah # /ata /atanya nya tidak tidak harus merupakan pengukuran kuantitati" tetapi dapat berupa respon yang kualitati"$
Kelema#an "r!se$ur n!n"aramtri% n!n"aramtri %
1. 2.
0idak mengg menggunak unakan an semua semua in"orm in"ormasi asi dari dari sampe sampell #kurang #kurang e"isi e"isien$ en$ 0idak setelit setelitii pengujian pengujian parame parametrik trik'' sehingga sehingga untuk untuk mencapai mencapai #peluang #peluang terjadi terjadinya nya kesalahan type kedua$ yang sama diperlukan sampel yang besar
8.&. 'ji Tan$a (Sam"el Tun))al*
ji tanda tanda merupaka merupakan n prosedu prosedurr nonparam nonparametri etrik k yang paling paling sederhan sederhanaa untuk untuk diterapkan' pada sembarang data yang bersi"at dikotomi yaitu data yang tidak dapat dicatat pada skala numerik tetapi yang hanya dapat dinyatakan melalui respons positi" dan negati". Misalnya : percobaan yang responsnya bersi"at kualitati" seperti *cacat+ atau *tidak *tidak cacat+' cacat+' atau atau dalam dalam percobaa percobaan n yang berhubungan berhubungan dengan indera indera perasa perasa yang responsnya berupa tanda plus bila penyicip rasanya dapat mengidenti"ikasi bumbu yang digunakan' atau minus bila tidak berhasil mengidenti"ikasi bumbu tersebut. ,sumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah: 1. !ampel !ampel yang diukur diukur adalah adalah sampel sampel acak acak dari suatu suatu populasi populasi dengan dengan median median yang belum diketahui 2. ariabel yang diukur diukur minimal minimal mempunyai mempunyai skala skala pengukuan pengukuan ordinal ordinal 3. arianel arianel yang yang diukur diukur adalah adalah &ariabel &ariabel kontin kontinyu yu
%rosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:
%engujian hipotesis: ~= μ ~ H 0 : μ 0 ~ ≠ μ ~ H 1 : μ 0 0entukan Level of Significance (α) 0entukan daerah kritis: 1. !atu !atu arah arah : %# %# ≤ x´ H 0 benar ¿ ≤ α ´ H 0 benar ¿ ≤ α 2. /ua /ua arah arah : 2 %# %# ≤ x
/imana : banyaknya tanda plusminus manapun yang lebih kecil
%erhitungan !tatistik ji: 3. itung itung semua semua selisih selisih dari penguran pengurangan gan masing-m masing-masi asing ng nilai sampel sampel dengan median hipotesis 4. 6eri 6eri tanda tanda #7$ jika jika selisih selisih 8 9 dan dan beri tanda tanda #-$ #-$ jika jika selisih selisih 9 5. (ika ada ada selisih selisih ; 9' 9' buang buang dan ukuran ukuran samp sampel el harus harus dikuran dikurangi gi <. itung %# ≤ x´ n∗0,5 ¿ deng dengan an dis distr trib ibus usii bino binomi mial al
dan dan
bandingkan dengan den gan = untuk n > 29 ?. (ika (ika n 819 819 dan p ; 9'5 atau atau jika np ; n@ 8 5' maka maka dapat dapat didek didekati ati dengan dengan distr distribu ibusi si normal normal dengan dengan membe memberi rikan kan "akto "aktorr koreks koreksii kontinuitas yaitu:
.
Z =
( x ± 0,5 )−0,5 n 0,5 √ n
%engambilan eputusan: 0olak 9 jika masuk dalam daerah kritis' dan terima 9 jika diluar daerah kritis k ritis
esimpulan: Menerima o menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan' sedang menolak o menunjukkan adanya perbedaan antara obyek.
+!nt!#-1
6erikut ini adalah data lama waktu #dalam jam'$sebuah jam'$sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali:
1.5' 2.2' 9.A' 1.3' 2.9' 1.<' 1.B' 1.5' 2.9' 1.2' dan 1.?. Cunakan uji tanda untuk menguji hipotesis pada tara" nyata 9.95 bahwa alat pencukur ini secara rata-rata dapat bekerja 1.B jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali. (awab:
%engujian hipotesis: ~=1,8 H 0 : μ ~ ≠ 1,8 H 1 : μ /engan Level of Significance (α);9'95' maka daerah kritis: B. /ua arah : 2 %# ≤ x´ H 0 benar ¿ ≤ 0,05 A. /ua arah : %# ≤ x´ H 0 benar ¿ ≤ 0,025 /imana : banyaknya tanda plusminus manapun yang lebih kecil
%erhitungan !tatistik ji:
/ata
1.5
2.2
2'1
1.3
2.9
1.<
1.B
1.5
2.9
1.2
1.?
0anda
-
7
7
-
7
-
7
-
7
-
-
DMedian ; 1'?1B2
11∗0,5 ¿ %# ≤ 5 ´ ⃒
; dengan distribusi binomial #lihat tabel$ ; 9'5
0ernyata lebih besar dari
∝
2
=0,025
eputusan: 0erima 9
esimpulan: )ata-rata bekerjaber"ungsi alat pencukur listrik tsb sama dengan 1.B jam
+!nt!#-&
!ebuah perusahaan taksi hendak menentukan apakah akan menggunakan ban radial atau ban biasa untuk meningkatkan penghematan bahan bakar. /uabelas mobil dipasang dengan ban radial dan kemudian dicoba pada sebuah lintasan tertentu. 0anpa mengganti supirnya' mobil-mobil yang sama kemudian dipasang dengan ban biasa dan dicoba sekali
lagi pada lintasan yang sama. onsumsi bahan bakar' dalam kilometer per liter' tercatat sebagai berikut: Mobil
6an radial
6an biasa
1
4.2
4.1
2
4.?
4.A
3
4.<
<.2
4
?.9
<.A
5
<.?
<.B
<
4.5
4.4
?
5.?
5.?
B
<.9
5.B
A
?.4
<.A
19
4.A
4.A
11
<.1
<.9
12
5.2
4.A
/apatkah kita menyimpulkan pada tara" nyata 9.95 bahwa mobil yang dilengkapi dengan ban radial lebih hemat bahan bakar dari pada mobil dengan ban biasaE Cunakan hampiran normal terhadap sebaran binom. (awab:
%engujian hipotesis: ~ − μ ~ H 0 : μ R B ; 9 ~ ~ H 1 : μ R− μ B > 0
6an )adia
4. 2
4. ?
4. <
?. 9
6iasa
4. 1
4. A
<. 2
<. A
0anda
7
-
-
7
l
<. ?
4. 5
5. ?
<. 9
?. 4
4. A
<. 1
5. 2
5' ?
<' A
<. B
4. 4
5. ?
5. B
<. A
4. A
<. 9
4. A
5' 3
<' 5
-
7
9
7
7
9
7
7
7
7
6an
%erhitungan: /engan sedikit perhitungan kita memperoleh A tanda plus' 2 tanda nol. !etelah tanda nol dibuang' n ; 12 dan ; A. arena n 8 19 dan p ; 9'5 maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan "aktor koreksi kontinuitas yaitu:
Z Hitung=
( 9− 0,5 )−0,5∗12 ; 1'44 √ ( 12 ) ( 0,5 ) (0,5 )
/aerah ritis: F 8 1.<45
eputusan: arena Z Hitung< Z Tabel ' maka terima o esimpulan :)ata-rata ban radial dan ban biasa sama saja.
8.,. 'ji Tan$a 'ntu ua Sam"el Ber#ubun)an
,sumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah: 1. !ampel yang diukur adalah sampel acak yang terdiri dari n pasangan hasil pengukuran dimana masing-masing pasangan pengukurannya dilakukan terhadap subyek yang sama 2. ariabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal 3. ariabel yang diukur adalah &ariabel kontinyu 4. e-n pasangan hasil pengukuran independen
%rosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:
%engujian hipotesis: ~ − μ ~ =d H 0 : μ i ; 9 1 2 ~ ~ H 1 : μ1− μ 2 ≠ 9 0entukan Level of Significance (α) 0entukan daerah kritis: a. !atu arah : %# ≤ x´ H 0 benar ¿ ≤ α ´ H 0 benar ¿ ≤ α b. /ua arah : 2 %# ≤ x /imana : banyaknya tanda plusminus manapun yang lebih kecil
%erhitungan !tatistik ji: ntuk masing-masing pengamatan' hitung selisih dari masing-masing
nilai dari dua sampel berpasangan. 6eri tanda #7$ jika selisih 8 9 dan beri tanda #-$ jika selisih 9
(ika ada selisih ; 9' buang dan ukuran sampel harus dikurangi ntuk n > 29 dan pengujian dilakukan dengan dua arah hitung 2%#
≤ x´ n∗0,5 ¿ dengan distribusi binomial dan bandingkan dengan = (ika n 819 dan p ; 9'5 atau jika np ; n@ 8 5' maka dapat didekati dengan
distribusi normal dengan memberikan "aktor koreksi kontinuitas yaitu: Z =
.
( x ± 0,5 )−0,5 n 0,5 √ n
%engambilan eputusan: 0olak 9 jika masuk dalam daerah kritis' dan terima 9 jika diluar daerah kritis
esimpulan: Menerima o menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan' sedang menolak o menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.
+!nt!#-,
!eorang peneliti mempelajari e"ek kebersamaan terhadap denyut jantung tikus. /enyut jantung 19 tikus dicatat' baik ketika masing-masing tikus sedang sendiri maupun ketika sedang bersama-sama. asil studi tersebut dicatat seperti data dibawah ini #dalam menit$: 0ikus
1
2
3
4
5
<
?
B
A
19
4<3
4<2
4<2
45<
459
42<
41B
415
49A
492
G
523
4A4
4<1
535
4?<
454
44B
49B
4?9
43?
D;etika tikus sendiri G; etika tikus berkumpul jilah dengan le&el signi"icance 5H apakah kebersamaan meningkatkan denyut jantung tikus-tikusE (awab:
%engujian hipotesis: ~ − μ ~ ≥d ≥ H 0 : μ 9 x y i ~ ~ H 1 : μ x − μ y <¿ 9
0ikus
1
2
3
4
5
<
?
B
A
19
4<3
4<2
4<2
45<
459
42<
41B
415
49A
492
G
523
4A4
4<1
535
4?<
454
44B
49B
4?9
43?
-<9
-32
71
-?A
-2<
-2B
-39
7?
-<1
-35
-
-
7
-
-
-
-
7
-
-
di
0anda
/ua arah : 2 %# ≤ 2´ 10∗0,5 ¿=2 ( 0,0547 ) %# ≤ 2´ 10∗0,5 ¿= 0,1094 > α ;9'95
eputusan: 0erima 9
esimpulan: ebersamaan tidak meningkatkan denyut jantung tikus-tikus tsb.
8.. 'ji /umla# Perin)at-Bertan$a il!2!n (Wilcoxon Rank Sum Test *
ji %eringkat-6ertanda Iilcoon adalah metode nonparametrik yang sangat sederhana yang ditemukan oleh Jrank Iilcoon pada tahun 1A45 untuk membandingkan nilai tengah dua populasi bukan normal yang kontinu. (adi singkatnya uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai beda lokasi median. ,sumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test adalah: 1. /ata merupakan sampel acak hasil pengamatan 1'2'...' n dari populasi satu dan sampel acak hasil pengamatan lain G1'G2'...'Gn 2. ariabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal 3. ariabel yang diukur adalah &ariabel kontinyu 4. edua sampel independen
%rosedur pengujian dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test ini adalah:
%engujian hipotesis: ~ = μ ~ H 0 : μ 1 2 ~ ~ H 1 : μ1 ≠ μ2 0entukan Level of Significance (α) 0entukan daerah kritis:
a. !emua nilai yang memenuhi %# ≤u ´ H 0 benar ¿< α ' jika n2 > B dan ujinya satu arah b. !emua nilai yang memenuhi 2 %# ≤u ´ H 0 benar ¿< α ' jika n2 > B dan ujinya dua arah c. !emua nilai > Kilai kritis yang sesuai dalam tabel 1B #buku Ialpole$' jika A > n2 > 29
%erhitungan !tatistik ji: 0entukan n1 #ukuran sampel yang lebih kecil$ dan n2 rutkan semua n1 7 n2 pengamatan dengan urutan dari kecil ke besar dan beri ranking 1'2'3 ...n17n2 pada tiap pengamatan dan jika terdapat pengamatan yang besarnya sama' maka pengamatan tsb diganti dengan
rata-rata ranking itung I1; (umlah ranking pada n1 I2; (umlah ranking pada n2
W 1 + W 2=
( n + n ) (n + n +1 ) 1
2
1
2
2
1 ; I1 -
2 ; I2 -
n1 ( n1 + 1) 2
n2 ( n2 + 1) 2
u ; Minimum dari 1 dan 2. Lari %#>u9 6enar$ kriterianya tolak 9 bila %#>u9 6enar$ > =.
/an jika n 829 distribusi sampel 1 dan 2 dapat didekati dengan distribusi normal dengan:
.
μU 1 =
n1 n2 2
dan
2
σ U 1 =
n1 n2 ( n1 + n2 + 1 ) 12
%engambilan eputusan: 0olak 9 jika masuk dalam daerah kritis' dan terima 9 jika diluar daerah kritis
esimpulan:
+!nt!#-
6erikut ini adalah data kekuatan dua jenis lempeng baja : Nempeng 6aja-
?5
4<
5?
43
5B
32
<1
5<
34
<5
Nempeng 6aja-G
52
41
43
4?
32
4A
52
44
5?
<9
jilah dengan le&el signi&icance 5H apakah kedua lempeng tsb mempunyai kekuatan yang berbedaE (awab:
~ = μ ~ H 0 : μ x y ~ ≠ μ ~ H 1 : μ x y
Nempeng 6aja-
?5
4<
5?
43
5B
32
<1
5<
34
<5
)anking
29
B
14'5
5'5
1<
1'5
1B
13
3
1A
Nempeng 6aja-G
52
41
43
4?
32
4A
52
44
5?
<9
)anking
11'5
4
5'5
A
1'5
19
11'5
?
14'5
1?
I1 ; 1'57375'57B713714'571<71B71A729;11B'5
W 2=
( n +n ) (n +n +1 ) 1
1 ; I1 -
2 ; I2 -
2
1
2
2
n1 ( n1 + 1) 2
n2 ( n2 + 1) 2
O I1 ;
; 11B'5 O
; A1'5 O
(20 ) ( 21) 2
(10 ) ( 11) 2
(10 ) ( 11) 2
−118,5=91,5
=63,5
=36,5
eputusan: 2 1 ,mbil ; 3<'5 dimana tabel ; 23 arena hitung 8 tabel terima 9
esimpulan: 0idak terdapat perbedaan kekuatan antara kedua baja tsb atau dengan kata lain kekuatan lempeng baja ; kekuatan lempeng baja G
8.3. 'ji il!2!n untu Pen)amatan Ber"asan)an
ji tanda hanya menunjukkan tanda-tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pengamatan dan median dalam kasus satu-sampel' atau tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pasangan pengamatan dalam kasus sampel berpasangan' tetapi tidak memperhitungkan besarnya selisih-selisih tersebut. !ebuah uji yang meman"aatkan baik arah maupun besar arah itu ditemukan pada tahun 1A45 oleh Jrank Iilcoon' dan sekarang uji ini dikenal sebagai uji "erin)at-bertan$a 4il!2!n5 atau dalam kasus pengamatan berpasangan disebut juga uji il!2!n ba)i "en)amatan ber"asan)an. ,sumsi yang digunakan dalam uji Iilcoon untuk %engamatan 6erpasangan adalah: 1. /ata terdiri atas n buah selisih di ; G i - i setiap pengukuran #i'Gi$ diperoleh dari pengamatan terhadap subyek yang samaterhadap subyek yang telah dipasangkan dalam sampel ini diperoleh dengaan cara acak 2. /ata minimal mempunyai skala pengukuran inter&al 3. ariabel selisih yang diukur adalah &ariabel acak kontinyu 4. !elisih-selisih tsb independen 5. /istribusi selisih populasi tsb setangkupsimetrik
%rosedur pengujian dalam uji Iilcoon untuk %engamatan 6erpasangan ini adalah:
%engujian hipotesis: ~ − μ ~ =d H 0 : μ 1 2 0 ~ − μ ~ ≠ H 1 : μ d0 1 2 0entukan Level of Significance (α) 0entukan daerah kritis: a. !emua nilai I yang memenuhi %#I ≤ w ´ H 0 benar ¿< α ' jika n 5 dan ujinya satu arah
b. !emua nilai I yang memenuhi 2 %#I ≤ w ´ H 0 benar ¿< α ' jika n 5 dan ujinya dua arah c. !emua nilai I > Kilai kritis yang sesuai dalam tabel 1? #buku Ialpole$'
jika 5 > n > 39 %erhitungan !tatistik ji: itung selisih dari setiap pasangan hasil pengukuran dan perhatikan
tandanya : di ; Gi - i !ingkirkan semua selisih yang besarnya nol' meskipun ukuran sampel n
akan berkurang 6erilah rankingperingkat pada ke-n selisih di tanpa memperhatikan
tandanya itung jumlah peringkat yang bertanda positi" #w7$ dan jumlah peringkat
yang bertanda negatip #w-$' kemudian ambil nilai w yang terkecil 6andingkan w terkecil dengan tabel 1? #buku Ialpole$ (ika n 8 39' distribusi I dapat didekati dengan distribusi Kormal dengan: μw=
n ( n + 1) 4
2
σ w =
dan
n ( n + 1 )( 2 n + 1) 24
/an !tatitik jinya adalah: Z =
( w− μ w ) σ w
%engambilan eputusan: 0olak 9 jika masuk dalam daerah kritis' dan terima 9 jika sebaliknya
esimpulan:
+!nt!#-3
!ekelompok peneliti mengkaji perubahan-perubahan hemodinamik pada pasien-pasien dengan pulmonary thromboembolism yang akut. 6erikut ini adalah data yang memperlihatkan tekanan arteri paru-paru rata-rata yang telah diobser&asi oleh peneliti-peneliti tsb sebelum dan setelah terapi urokinase 0ekanan arteri paru-paru rata-rata #dlm milimeter g$ %asien
1
2
3
4
5
<
?
B
A
9
(am #$
33
1?
39
25
3<
25
31
29
1B
24 (am #G$
21
1?
22
13
33
29
1A
13
A
Pngin diketahui apakah data ini menyediakan cukup bukti untuk menunjukkan bahw terapi urikinase menurunkan tekanan arteri paru' gunakan = ; 5 H (awab: ~ − μ ~ =d ≥ 0 H 0 : μ yi xi i ~ ~ H 1 : μ yi − μ xi ≠ d i <0
0ekanan arteri paru-paru rata-rata #dlm milimeter g$ %asien
0erapi
1
2
3
4
5
<
?
B
A
(am #$
33
1?
39
25
3<
25
31
29
1B
24 (am #G$
21
1?
22
13
33
29
1A
13
A
-12
9
-B
-12
-3
-5
-12
-?
-A
4
?
1
2
?
3
5
9
d i ; X i
Y i O
%eringkatranking
?
6uang
eputusan: /engan n ;B memperlihatkan bahwa peluang untuk mendapatkan w7 ; 9 dan I tabel #daerah kritis$ > < ' sehingga tolak 9
esimpulan: 0erapi urokinase benar-benar menurunkan tekanan arteri paru-paru
8.6. 'ji Runtun Sam"el Tun))al (One Sample Run Test *
ji runtun adalah uji yang didasarkan atas urutan pengambilan sampel pengamatan. ji ini berguna untuk menguji bahwa pengamatan memang diambil secara acak. 0idak peduli apakah pengamatan tsb kuantitati" atau kualitati"' uji runtun membagi data menjadi dua kelompok yang saling eksklusi"' seperti: laki-laki atau perempuan' cacat atau tidak cacat' gambar atau angka' diatas atau dibawah median dan lain sebagainya.
/engan demikian' barisan hasil percobaaanya hanya terdiri atas dua lambang. (adi andaikan bahwa n adalah ukuran sampel total' maka n1 adalah banyaknya lambang yang lebih sedikit' dan n2 adalah banyaknya lambang yang lebih banyak' maka ukuran sampel total n ; n1 7 n2. %rosedur pengujian dalam uji )untun ini adalah:
%engujian hipotesis: H 0 : !ampel berasal dari proses acak H 1 : !ampel tidak berasal dari proses acak 0entukan Level of Significance (α) 0entukan daerah kritis: a. !emua nilai yang memenuhi %# ≤ v H 0 benar ¿< α ' jika n1 dan n2 > 19 dan ujinya satu arah b. !emua nilai yang memenuhi 2 %# ≤ v ´ H 0 benar ¿< α ' jika jika n1
dan n2 > 19 dan ujinya dua arah %erhitungan !tatistik ji: itung runtun dari barisan sampel Nihat tabel 1A #buku Ialpole$ dengan n1 dan n2 serta = sesuai dengan
kasus (ika n1 dan n2 8 19' distribusi dapat didekati dengan distribusi Kormal dengan: n1 + n2 μv =1 +
[ ] 2 n1 n2
n1+ n2
¿ ¿ ¿
dan 2
σ v =
2 n1 n2 ( 2 n1 n2−n1− n2)
¿
/an !tatitik jinya adalah: Z =
( − μv ) σ v
%engambilan eputusan: (ika % #Q $ = maka tolak 9' dan terima 9 jika sebaliknya
esimpulan
!ebagai ilustrasi' misalkan dari 12 orang yang telah disur&ey dan ditanyai pendapatnya terhadap suatu produk tertentu' dan seandainya dari 12 orang tsb ternyata berjenis kelamin yang sama' hal tersebut pastilah jelas sangat kecil kemungkinannya dihasilkan dari suatu proses pengambilan yang acak dan sangat diragukan ke&alidannya. /i bawah ini adalah urutan barisan dari kedua belas orang tsb yang diwawancarai' jenis kelamin laki-laki dilambangkan dengan huru" N dan perempuan dengan lambang huru" %'
N N % % % N N % % N N N 6arisan di atas terdiri dari sampel n ; 12' dengan 5 runtun' dimana runtun yang pertama berupa dua N ' yang kedua tiga %' yang ketiga dua N dan demikian seterusnya. ji runtun untuk memeriksa keacakan didasarkan pada peubah acak ' yaitu banyaknya runtun total dalam hasil percobaan atau sampel. /alam buku Ialpole tabel ,.1A'menyediakan nilai-nilai %# > &D bila h9 benar$ diberikan untuk &D ; 2' 3' ....' 29 runtun' dan nilai-nilai n1 dan n2 yang lebih kecil atau sama dengan 19. Kilai kritis di salah satu ujung sebaran dapat diperoleh dari tabel tsb. /alam ilustrasi diatas' didapatkan lima % dan tujuh N. /engan demikian' dengan n1 ; 5 dan n2 ; ?' dari 0abel ,.1A #buku Ialpole$didapatkan bahwa: %# > 5 bila h 9 benar$ ; 9.1A? untuk pengujian satu arah dan untuk pengujian dua arah 2 %# > 5 bila h 9 benar$ ; 2# 9.1A?$ ; 9.3A4 8 = /engan = ; 9.95 tidak cukup alasan untuk menolak hipotesis bahwa sampel berasal dari proses acak #terima 9$ ji runtun juga dapat digunakan untuk memeriksa si"at keacakan suatu barisan hasil pengamatan atau percobaan menurut waktu' yang disebabkan oleh kecenderungan atau periodisitas. /engan menggantikan setiap pengamatan sesuai dengan urutan terjadinya dengan tanda plus bila terletak diatas median dan tanda minus bila dibawah median' dan membuang semua pengamatan yang persis sama dengan median' maka kita mendapatkan suatu barisan tanda-tanda plus dan minus yang dapat diuji si"at keacakannya seperti diilustrasikan dalam contoh berikut.
+!nt!#-6
!ebuah mesin diatur sehingga secara otomatis mengeluarkan minyak pengencer cat ke dalam sebuah kaleng. /apatkah kita mengatakan bahwa banyaknya pengencer yang dikeluarkan oleh mesin ini ber&ariasi secara acak bila isi 15 kaleng berikut' berturutturut' adalah 3.<' 3.A' 4.1' 3.<' 3.B' 3.?' 3.4' 4.9' 3.B' 4.1' 3.A' 4.9' 3.B' 4.2' dan 4.1 literE Cunakan tara" nyata 9.1. (awab.: 9: /ata diambil secara acak dari sebuah populasi 1: /ata tidak diambil secara acak Nangkah untuk mendapatkan statistik uji : 1. 0ulis data hasil pengamatan dalam sampel menurut urutan didapatnyaurutan terjadinya
2. 0entukan besarnya median sampel 3. /ata yang harganya lebih besar dari median diberi tanda positi" dan jika sebaliknya beri tanda negati" 4. 0entukan n1 #misal yang bertanda positi"$ dan n2 yang bertanda negati" 5. itung banyaknya runtun #$ <. Lari %# > & bila 9 benar$ dengan melihat tabel ?. (ika %# > & bila 9 benar$ > = 0olak 9 untuk uji satu arah dan untuk uji dua arah 0olak 9 jika 2 %# > = bila 9 benar$ > = %erhitungan untuk contoh-? tersebut diperoleh median ; 3.A. kemudian dengan mengganti setiap pengamatan dengan tanda *-* bila lebih kecil dari 3.A' dan membuang pengamatan yang sama dengan 3.A' maka diperoleh barisan : -
7 - - - - 7 7 7 7 - 7 7
dimana didapatkan n1 ; <' n2 ; ?' dan & ; <. eputusan: %# > < bila 9 benar$ ;9.2A< 8 = 0erima 9 #lihat 0abel ,.1A buku Iallpole dengan n1 ; <' n 2 ; ?' dan & ; <$ esimpulan: arena & ; < jatuh dalam wilayah penerimaan' maka terima hipotesis bahwa isi kaleng itu memang ber&ariasi secara acak. ji runtun' meskipun kuasa ujinya lebih rendah' dapat juga digunakan sebagai pilihan lain bagi uji jumlah peringkat Iilcoon untuk menguji bahwa dua sampel acak berasal dari dua populasi yang sama sehingga mempunyai nilai tengah yang sama. 6ila populasinya setangkup' penolakan pendapat bahwa sebenarnya sama setara dengan penerimaan hipotesis akternati" bahwa kedua nilai tengah tidak sama. ntuk melakukan uji ini'berikut adalah langkah-langkah pengujiannya:
0entukan hipotesis : 9: edua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak 1: edua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak
1. 2. 3. 4. 5. <.
Nangkah : Cabungkan kedua sampel menjadi sampel berukuran n1 7 n2 0ulis ke #n17n2$ buah data dari sampel gabungan menurut urutan nilainya Kyatakan data dari sampel ke-1 dengan , dan data dari sampel ke-2 dengan 6 itung banyaknya runtun #&$ Lari %# > = bila 9 benar$ dengan melihat tabel /aerah kritis #/aerah penolakan$: 0olak 9 jika %# > = bila 9 benar$ > = untuk uji satu arah 0olak 9 jika 2 %# > = bila 9 benar$ > = untuk uji dua arah
(ika n1 dan n2 8 19 dapat didekati dengan distribusi normal dengan :
[ ]
μ =
Z =
2 n1 n2
n1+ n2
+1
2
σ =
dan
2 n1 n2 ( 2 n1 n2−n1 − n2) 2
( n + n ) ( n + n −1 ) 1
2
1
2
( − μ ) σ +!nt!#-7
/ata berikut memperlihatkan penyimpangan-penyimpangan temperatur dari suhu normal' yang setiap hari dicatat di daerah 6andung dan daerah (akarta selama bulan ,pril 2919:
6andun g
(akarta
ari
1
2
3
4
5
<
?
B
A
19
11
%enyimpanga n
?
<
5
-2
-1
3
2
-<
-5
B
-4
0anda
7
7
7
-
-
7
7
-
-
7
-
ari
1
2
3
4
5
<
?
B
A
19
11
%enyimpanga n
5
B
-3
-?
-A
B
-1
-2
-3
2
3
0anda
7
7
-
-
-
7
-
-
-
7
7
(awab: 9: edua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak 1: edua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak n1; 11 n2;11 karena n1 dan n2 8 19' sehingga dapat didekati dengan distribusi normal' dengan:
[
μ =
2
2 ( 11 )( 11)
σ =
Z =
11+ 11
]+
1 ; 12
2 ( 11 )( 11)( 2 ( 11)( 11)−11−11)
( 11+ 11 )2 ( 11+ 11−1)
( − μ ) σ
;
( 11−12) 2,2887
; 5.23B
σ ;2.2BB?
; -9.43
%#Q -9.44$ ; 9.33 8 = 0erima 9 esimpulan: edua sampel memang berasal dari populasi yang diambil secara acak
8.7. 'ji Krusal-allis
ji ruskal-Ialls merupakan generalisasi uji dua sampel Iilcoon untuk k 8 2 sampel. /iperkenalkan pada tahun 1A52 oleh I. ruskal dan I. ,. Iallis' ji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol #9$ bahwa k sampel bebas berasal dari populasi yang identik. ji nonparametrik ini merupakan alternati" bagi uji J untuk pengujian kesamaan beberapa nilai tengah dalam analisis &ariansi jila ingin menghindar dari asumsi bahwa sampel diambil dari populasi normal. ,sumsi yang harus dipenuhi dalam uji ruskal Iallis adalah: 1. 2. 3. 4. 5.
/ata untuk analisis terdiri dari k sampel acak yang berukuran n1'n2'n3...'nk %engamatan-pengamatan bebas baik di dalam maupun diantara sampel-sampel ariabel yang diukur kontinyu !kala pengukuran minimal ordinal %opulasi-populasi identik kecuali dalam hal lokasi yang berbeda untuk sekurangkurangnya satu populasi
!truktur data dalam uji ruskal Iallis: !ampel
S
S
S
y 11
y 12
S
S
y 1 !
y 21
y 22
S
S
y 2 !
S y n 1
S yn2
S
S
y n!
%rosedur untuk memperoleh !tatistik ji: 1. Cabungkan semua sampel n ; n1 7 n2 7 n37... 7 nk 2. rutkan dari kecil ke besar dan beri peringkat' jika terdapat pengamatan yang sama ambil rata-rata rankperingkatnya 3. (umlah peringkatrank semua pengamatan n1 dan nyatakan dengan ) i 4. itung : H =
12
!
∑
Ri
2
n ( n+ 1) i =1 ni
−3 ( n+ 1)
5. (ika jatuh dalam daerah kritis 8
2
" α
dengan &;k-1 tolak 9' dan jika
sebaliknya terima 9
+!nt!#- 8
/alam percobaan untuk menetukan sistem peluru kendali mana yang lebih baik' dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. /atanya' setelah dikodekan' diberikan dalam 0abel 13.3. Cunakan uji ruskal-Iallis dan tara" nyata = ; 9.95 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut. 0abel 13.3 Naju %embakaran 6ahan 6akar !istem %eluru endali 1
2
3
24.9
23.2
1B.4
1<.?
1A.B
1A.1
22.B
1B.1
1?.3
1A.B
1?.<
1?.3
1B.A
29.2
1A.?
1?.B
1B.A 1B.B 19.3
(awab 9: etiga populasi identik #mempunyai median yang sama$ 1: etiga populasi tidak memiliki median yang sama %erhitungan: dalam tabel 13.4 kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.
0abel 13.%eringkat 6agi /ata Naju %embakaran bahan bakar !istem %eluru kendali 1
2
3
1A
1B
?
1
14.5
11
1?
<
2.5
14.5
4
2.5
A.5
1<
13
5
A.5
) 1 ; <1.9
B ) 2 ; <3.5
12
) 3 ; <5.5
!ekarang' dengan mensubtitusikan n1 ; 5' n 2 ; <' n3 ; B' r 1 ; <3.9' r 2 ; <3.5' dan r 3 ; <5.5' maka kita memperoleh nilai statistik uji yaitu : H =
12
!
∑
Ri
2
n ( n+ 1) i =1 ni H =
−3 ( n+ 1)
12 19 ( 19 + 1 )
[
2
61 5
+
63.5 6
2
+
65.5 8
2
]− (
3 19 + 1)
H = 1.!"
eputusan: karena tidak jatuh dalam wilayah kritisnya' yaitu 8 5.AA1' berarti tidak cukup bukti untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem peluru kendali itu.' dengan kata lain terima 9. (adi ketiga sistem peluru kendali mempunyai median yang sama.
8.8 K!eisien K!relasi Perin)at9 Ran S"earman
,da kalanya ingin diketahui korelasi antara dua &ariabel tidak berdasarkan pada pasangan data dimana nilai sebenarnya diketahui' tetapi menggunakan urutan-urutan nilai
tertentu atau biasa disebut )ank. 0eknik korelasi ini digunakan untuk &ariabel dengan data bertipe ordinal dan tidak berdistribusi normal' dimana korelasi spearman rank ini masuk dalam statistika nonparametrik. !elain itu dengan menggunakan teknik ini tidak lagi harus diasumsikan bahwa hubungan yang mendasari &ariabel yang satu dengan &ariabel yang lain harus linier. oe"isien korelasi !perman rank #r s$ dapat dihitung dengan menggunakan rumus : d n
(¿¿ i ) ∑ =
2
6
i 1
2
n ( n −1 ) r #=1−¿
/engan: d i=di#$arita# / #eli#i% tia$ $a#angran! n= banya!nya $a#angandata
/alam prakteknya' rumus diatas tetap digunakan meskipun terdapat nilai-nilai yang sama diantara pengamatan-pengamatan atau y. ntuk pengamatan-pengamatan demikian ini peringkatnya diberikan seperti dalam uji peringkat bertanda Iilcoon' yaitu dengan merata-ratakan peringkat yang diberikan seandainya ada pengamatan yang sama. Kilai r s biasanya dekat dengan nilai r yang diperoleh berdasarkan pengukuran numerik dan dita"sirkan secara sama pula. Kilai r s dapat terjadi dari O 1 sampai 71. Kilai 71 atau -1 menunjukkan adanya hubungan yang sempurna antara dan G' tanda plus dapat diartikan bahwa pemberian peringkat itu sejalan' sedangkan tanda minus berarti bahwa pemberian peringkat itu bertolak belakang. 6ila r s dekat dengan nol' dapat disimpulkan bahwa kedua peubah tidak berkorelasi. ,da beberapa keuntungan penggunaan r s dibandingkan dengan penggunaan r. !ebagai contoh' tidak lagi harus mengasumsikan bahwa hubungan yang mendasari antara dan G harus linear. Pni berarti bila datanya menunjukkan adanya hubungan yang kur&ilinear' maka korelasi peringkat cenderung lebih dapat dipercaya daripada korelasi biasa. euntungan kedua adalah tidak perlu mengasumsikan bahwa sebaran bagi dan G adalah normal. ntuk melakukan uji nyata bagi koe"isien korelasi peringkat' harus diketahui sebaran bagi nilai-nilai r s dibawah asumsi dan G bebas. Kilai kritis untuk = ; 9.95' 9.925' 9.91'
dan 9.995 telah dihitung dan diberikan dalam 0abel ,.22. 0abel ini dibuat menyerupai tabel nilai kritis bagi sebaran t' kecuali bahwa kolom paling kiri berisi banyaknya pasangan pengamatan dan bukan derajat bebas. arena sebaran nilai-nilai r s setangkup terhadap r s ; 9' maka nilai r s yang memberikan luas daerah sebesar = disebelah kanannya. 6ila hipotesis alternati"nya dua-arah' daerah kritis sebesar = dibagi dua sama besar di kedua ekor sebarannya. 6ila hipotesis alternati"nya negati"' maka daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kiri sebaran' dan bila hipotesis alternati"nya positi"' daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kanan sebarannya.
+!nt!# :
itunglah koe"isien korelasi antara hasil produksi departemen , dengan departemen 6 menggunakan teknik korelasi !pearman )ankT Sam"le Ke1 2 3 4 5 < ? B A 19 11 12 13 14
;asil Pr!$usi (t!n* e"artemen A (2* e"artemen B (<* 141.B BA.? 149.2 ?4.4 131.B B3.5 132.5 ??.B 135.? B5.B 141.2 B<.5 143.2 BA.4 149.2 BA.3 149.B BB 131.? B2.2 139.B B4.< 135.< B4.4 143.< B<.3 133.2 B5.A
(awab: Sam"el e-
=
>
Ran (2*
Ran (<*
d i= R ( x )− R ( y )
di
2
1 2 3 4 5 < ? B A 19 11 12 13 14 U
141.B 149.2 131.B 132.5 135.? 141.2 143.2 149.2 149.B 131.? 139.B 135.< 143.< 133.2 r # = 1−
BA.? ?4.4 B3.5 ??.B B5.B B<.5 BA.4 BA.3 BB B2.2 B4.< B4.4 B<.3 B5.A
6 ( 140,5 ) 14 ( 14
2
−1 )
12 B.5 3 4 ? 11 13 B.5 19 2 1 < 14 5
= 1−
14 1 4 2 ? 19 13 12 11 3 < 5 A B 700 2730
-2 ?.5 -1 2 9 1 9 -3.5 -1 -1 -5 1 5 -3
4 5<.25 1 4 9 1 9 12.25 1 1 25 1 25 A 149.5
=1−0,256 =0,744
Gang menunjukkan adanya korelasi positi" yang tinggi antara hasil produksi dari departemen , dan hasil produksi dari departemen 6.
SOA?-SOA? ?ATI;AN
1.
/ari 12 kali berobat ke dokter' seorang pasien harus menunggu 1?' 32' 25' 15' 2B' 25' 29' 12' 35' 29' 2<' dan 24 menit diruang tunggu. Cunakan uji tanda dengan = ; 9.95 untuk
menguji pernyataan dokter itu bahwa secara rata-rata pasiennya tidak menunggu lebih dari 29 menit sebelum dipanggil ke ruang periksa.
2.
/ata berikut menyatakan lama latihan terbang' dalam jam' yang dijalani 1B calon pilot dari seorang instruktur sebelum penerbangan solo mereka yang pertama: A' 12' 13' 12' 19' 11' 1B' 1<' 13' 14' 11' 15' 12' A' 13' 14' 11' dan 14. Cunakan uji tanda dengan = ;9.92 untuk menguji pernyataan instruktur tersebut bahwa secara rata-rata calon pilot bimbingannya berhasil terbang solo setelah 12 jam latihan terbang.
3.
!eorang petugas memeriksa 15 botol selai cap tertentu untuk menetukan persentase bahan campurannya. /ata yang diperoleh adalah sebagai berikut: 2.4' 2.3' 1.?' 1.?' 2.3' 1.2' 1.1' 3.<' 3.1' 1.9' 4.2' 1.<' 2.5' 2.4' dan 2.3. dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran binom' lakukan uji tanda pada tara" nyata 9.91 untuk menguji hipotesis nol bahwa presentase bahan campurannya adalah 2.5H lawan alternati"nya bahwa presentase bahan campuran rata-rata bukan 2.5H.
4.
!ebuah
perusahaan
elektronik
internasional
sedang
mempertimbangkan
untuk
memberikan perjalan memberikan liburan berikutnya biayanya bagi para sta" eksekuti" senior dan keluarganya. ntuk menentukan pre"erensi antara seminggu di awaii atau seminggu di !panyol' suatu contoh acak 1B sta" eksekuti" ditanyai pilihannya. /engan menggunakan hampiran normal bagi sebaran binom' lakukan uji tanda tara" nyata 9.95 untuk menguji hipotesis nol bahwa kedua lokasi itu sama- sama disukai lawan alternati"nya bahwa pre"erensinya mereka berbeda' bila ternyata 4 diantara 1B yang ditanyai lebih menyukai !panyol.
5.
!eorang pengusaha cat mengeluh bahwa lamanya mengering cat akrilik produksinya telah berkurang karena adanya sesuatu bahan kimia yang baru. ntuk menguji pendapat ini' 12 papan kayu dicat' separuh cat lama dan separuh lagi dengan cat baru. Namanya mengering' dalam jam' tercatat sebagai berikut:
%apan
Namanya mengering #jam$ Lat baru
Lat lama
1
<.4
<.<
2
5.B
5.B
3
?.4
?.B
4
5.5
5.?
5
<.3
<.9
<
?.B
B.4
?
B.<
B.B
B
B.2
B.4
A
?.9
?.3
19
4.A
5.B
11
5.A
5.B
12
<.5
<.5
Cunakan uji tanda pada tara" nyata 9.95 untuk menguji hipotesis bahwa bahan kimia baru itu tidak lebih dari yang lama dalam menguramgi lamanya mengering cat jenis ini.
<.
!uatu program diet baru dikatakan dapat mengurangi bobot seseorang secara rata-rata 4.5 kilogram dalam waktu 2 minggu. 6obot 19 wanita yang mengikuti program diet ini dicatat sebelum dan sesudah periode 2 minggu' berikut adalah datanya : Ianita
6obot sebelum
6obot sesudah
1
5B.5
<9.9
2
<9.3
54.A
3
<1.?
5B.1
4
<2.1
5
<4.9
5B.5
<
<2.<
5A.A
?
5<.?
54.5
B
<3.<
<9.2
A
<2.3
19
5A.2
5B.?
Cunakan uji tanda pada tara" nyata 9.95 untuk menguji hipotesis bahwa diit itu dapat mengurangi bobot badan seseorang sebanyak 4.5 kilogram' lawan alternati"nya bahwa pengurangan bobot itu kurang dari 4'5 kilogram.
?.
/ua jenis alat untuk mengukur kadar sul"ur monoksida di udara hendak dibandingkan. 6erikut ini diberikan hasil pencatatan oleh kedua alat tersebut selama periode 2 minggu:
ari
!ul"ur monoksida ,lat ,
,lat 6
1
2<.4<
25.41
2
1?.4<
22.53
3
1<.32
1<.32
4
29.1A
2?.4B
5
1A.B4
24.A?
<
29.<5
21.??
?
2B.21
2B.1?
B
33.A4
32.92
A
2A.32
2B.A<
19
1A.B5
29.45
11
2B.35
23.
12
22.?B
1B.A<
13
21.<4
1A.BB
14
1B.A3
23.44
/engan menggunakan hampiran normal' kerjakan uji tanda untuk menentukan apakah kedua alat itu memberikan hasil yang berbeda. Cunakan tara" nyata 9.91.
B. ,nalisislah data pada soal 1 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Iilcoon
A. ,nalisislah data pada soal 2 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Iilcoon.
19. 6obot badan' dalam kilogram' sepuluh orang sebelum dan sesudah berhenti merokok tercatat sebagai berikut: 66 sebelum
5B
<9
<2
?9
<4
?<
?2
<<
?5
66 setelah
<9
55
5B
<5
<4
?9
<1
?9
Cunakan uji peringkat-bertanda Iilcoon untuk menguji hipotesis' pada tara" nyata 9.95' bahwa berhenti merokok tidak dapat berpengaruh pada bobot badan seseorang' lawan alternati"nya bahwa bobot badan seseorang akan bertambah bila ia berhenti merokok.
11. ,nalisislah data pada soal 5 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Iilcoon.
12. erjakan kembali pada soal < dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Iilcoon.
13. /ari sebuah kelas matematika yang terdiri atas 12 siswa dengan kemampuan yang hampir sama' 5 orang diambil secara acak dan diberi pelajaran tambahan oleh guru. asil ujian akhir mereka adalah sebagai berikut :
Kilai /engan pelajaran tambahan
B?
?B
A1
B9
B5
?B
?5
BB
<4
B2
A3
?A
0anpa pelajaran tambahan
Cunakan uji jumlah peringkat Iilcoon dengan = ; 9.95 untuk menetukan apakah pelajaran tambahan mempengaruhi nilai. 14. /ata berikut menyatakan berapa lama' dalam jam' 3 jenis kalkulator ilmiah dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali :
alkulator ,
6
L
4.A <.1 4.3 4.< 5.3
5.5 5.4 <.2 5.B 5.5 5.2 4.B
<.4 <.B 5.< <.5 <.3 <.<
Cunakan uji ruskal-Iallis' pada tara" nyata 9.91' untuk menguji hipotesis bahwa lamanya ketiga kalkulator itu dapat digunakan sebelum harus diisi listrik kembali adalah sama.
15. Vmpat rokok cap ,' 6' L' dan / hendak dibandingkan kadar tarnya. /ata berikut menunjukkan berapa miligram tar itu ditemukan dalam 1< batang rokok yang dicoba: Lap ,
Lap 6
Lap L
Lap /
14
1<
1<
1?
19
1B
15
29
11
14
14
1A
13
15
12
21
Cunakan uji ruskal-Iallis' pada tara" nyata 9.95' untuk menguji apakah ada beda nilaitengah kadar tar yang nyata antar 4 rokok tersebut. 1<. /alam soal 4 halaman 3A5-<' gunakan uji ruskal-Iallis' pada tara" nyata 9.95' untuk menetukan apakah sebaran nilai yang diberikan oleh ketiga dosen itu berbeda nyata. 1?. /alam latihan ? halaman 3A<-?' gunakan uji ruskal-Iallis' pada tara" nyata 9.95' untuk menetukan apakah analisis kimia yang dilakukan oleh keempat labolatorium itu secara rata-rata memberikan hasil yang sama. 1B. !uatu contoh acak 15 orang dewasa disuatu kota kecil diambil untuk menduga proporsi mereka yang mendukung calon walikota yang baru. !elain itu dinyatakan pula apakah ia sarjana atau bukan. /engan melambangkan G bila responden itu sarjana dan 0 bila bukan sarjan' diperoleh barisan seperti berikut ini : 000 0GG0GG0G0000 Cunakan uji runtunan pada tara" nyata 9.1 untuk menetukan apakah barisan itu menunjang pendapat bahwa contohnya bersi"at acak atau tidak. 1A. !uatu proses pelapisan-perak digunakan untuk melapisi nampan atau baki. 6ila prosesnya terkendali dengan baik' tebal lapisan peraknya ber&ariasi secara acak mengikuti sebaran normal dengan nilaitengah 9.92 milimiter dan simpangan baku 9.995 milimiter. Misalkan bahwa dari 12 baki yang diperiksa berikutnya tebal lapisan peraknya adalah: 9.91A' 9.921' 9.929' 9.91A' 9.929' 9.91B' 9.923' 9.921' 9.924' 9.922' 9.923' 9.922. gunakan uji runtunan untuk menetukan apakah "luktuasi ketebalan itu masih bersi"at acak. Cunakan = ; 9.95 29. Cunakan uji runtun pada soal 3 pada halaman 445. 21. /alam suatu proses produksi' diadakan pemeriksaan secara berkala untuk mengetahui cacat tidaknya barang yang dihasilkan. 6erikut ini adalah barisan barang yang cacat L' dan yang yidak cacat 0 yang dihasilkan oleh proses tersebut: LL000L00LL0000 0LLL00L0000L0L /engan menggunakan hampiran berdasarkan contoh berukuran besar' lakukan uji runtunan dengan tara" nyata 9.95' untuk menetukan apakah barang yang cacat terjdi secara acak atai tidak 22. 6ila data dalam Natihan < pada halaman <5 dicatat dari kiri ke kanan sesuai dengan urutan asalnya' gunakan uji runtun dengan = ; 9.95 untuk menguji hipotesis bahwa data itu merupakan suatu barisan yang acak.
23. /ata berikut adalah nilai kalkulus pada ujian tengah semester dan ujian akhir bagi 19 mahasiswa : Mahasiswa
0!
,!
N.!.,
B4
?3
I.%.6
AB
<3
).I.
A1
B?
(.).N
?2
<<
(..N
B<
?B
/.N.%
A3
?B
6.N.%
B9
A1
/.I.M
9
9
M.K.M
A2
BB
)..!
B?
??
a. itunglah koe"isiensi korelasi peringkatnya b. jilah hipotesis bahwa koe"isien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan alternati"nya bahwa koe"isien itu lebih besar dari nol. Cunakan = ; 9.925. 24. ntuk bobot badan dan ukuran dada bayi dalam saol < pada halaman 3?B a. itunglah koe"isien korelasi peringkatnya b. jilah hipotesis pada tara" nyata 9.925 bahwa koe"isien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan alternati"nya bahwa koe"isien itu lebih besar dari nol. 25. itunglah koe"isien korelasi peringkat bagi curah hujan harian dan banyaknya debu yang terbawa dalam Natihan B pada halaman 34<. !uatu lembaga konsumen memeriksa sembilan o&en-gelombang-mikro untuk menentukan kualitasnya. asil peringkat berikut harga ecerannya tercantum dibawah ini: %abrik
%eringka t
arga #dlm W$
,
<
6
A
3A5
L
2
5?5
/
B
559
4B9
V
5
519
J
1
545
C
?
499
4
4<5
P
3
429
,pakah ada hubungan yang nyata antara kualitas dan harga o&en-gelombang-mikroE 2<. /ua juri dalam suatu pawai memberi peringkat pada B mobil berhias sebagai berikut:
Mobil 6erhias 1
2
3
4
5
<
?
B
(uri ,
5
B
4
3
<
2
?
1
(uri 6
?
5
4
2
B
1
<
3
a. itunglah koe"isien korelasi peringkatnya. b. jilah hipotesis bahwa koe"isien korelasi peringkat populasinya sama dengan nol lawan hipotesis alternati"nya bahwa koe"isien itu lebih besar dari nol. Cunakan = ; 9.95 c. jilah hipotesis bahwa dan G bebas lawan aktewrnati"nya bahwa kedua peubah itu tidak bebas' bila dari suatu contoh n ; 59 pasangan pengamatan diperoleh rs ; -9.2A. gunakan = ; 9.95. 2?. /ua macam makanan , dan 6 diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Pngin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti mengenai pertambahan berat daging ayam yang dikarenakan kedua macam makanan itu ataukah tidak. %ertambahan berat badan ayam #dalam ons$pada akhir percobaan adalah sebagai berikut : Makanan ,
3'1
3'9
3'3
2'A
2'<
3'9
3'<
2'?
3'B
4'9
3'4
Makanan 6
2'?
2'A
3'4
3'2
3'3
2'A
3'9
3'9
3'<
3'?
3'5
!elidikilah hal tersebut dengan menggunakan uji tanda. 2B. !epuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak. /alam bentuk peringkat' hasilnya diberikan dibawah ini.
!uam i
5
B
19
<
A
3
4
?
2
1
Pstri
B
5
19
1
?
4
<
A
2
3
,pakah nampak si"at *independen+ penilaian yang dilakukan oleh suami istriE 2A. /iberikan data berikut : ,
1'32
1'2B
1'22
1'23
1'1<
1'31
1'9<
1'23
6
9'AA
1'9B
9'AB
9'A<
9'A?
9'AB
9'BA
1'91
6erikanlah analisisnya dengan menggunakn uji median. 39. !ederetan tanaman telah diperiksa yang menghasilkan urutan : 2<' 35' 2?' 2A' 39' 1A' 32' 43' 1B' 2<' 2?' 25' 35' 49'2<' 25' 22' 29' 1?' berasal dari sebuah populasi dengan median sama dengan 23E
)VJV)VK!P
1. 6o'C.V.% ' unter'Iillam' unter' (.!tuart : *!tatistics Jor Vperimenters+' (ohn Iiley X !ons.1A?B 2. /raper' K.) : * ,pplied )egression ,nalysis #!econd Vdition$' (ohn Iiley X sons' 1AB1 3. /aniel' Iayne.I : * ,pplied Konparametric !tatistics' oughton Mi""lin Lompany' 1A?B 4. ogg' )obert .' and Vlliot ,. 0anis: *%robability and !tatistical Pn"erence+' %earson Vducation' 299< 5. Nedolter. (' ogg' )obert . : * ,pplied !tatistics "ot Vngineers and %hysical !cientists+' %earson %rentice all' 2919. <. Ialpole' )onald V.' et all: *%robability X !tatistics "or Vngineers X !cientists+' %rentice all' 299? ?. !piegel' Murray ).: *!eri 6uku !chaum: 0eori dan !oal-!oal !tatistika+' Vrlangga #0erjemahan$' 1ABB
